14秋季班09-二次函数的解析式教师版

初中数学备课组 教师 班级初三 学生

日期月 日 上课时间 教学内容：二次函数的解析式

二次函数内涵丰富，变化多端，它有三种形式的解析式：一般式，配方式和分解式•本节要讨论的是：怎样根据 不同的已知条件解析式的选取 ；在不同的几何背景下怎样寻找确定解析式的条件 ；怎样根据二次函数的图像

特征确定解析式的系数特征

二次函数解析式的三种形式

1. 一般式： 2

y -ax 2 bx • c(a = 0),图像顶点坐标为(一卫，里兰 —),对称轴是直线

x —

2a 4a 2a 2.配方式： 2

y 二a(x - m) - k(a = 0),图像顶点坐标为(-m, k),对称轴是直线x 二-m

3.分解式：

y =a(x-X i )(x-X 2),图像与x 轴的交点坐标是 A(X i ,0), B(X 2,0),对称轴是直线x=

? 例1如图3-2-1,已知二次函数的图像与工轴两交点之间的距海是4个单位，且顶点

sy q,求此二欢函数的解析式.

M 方迭T 一般式)：V •二次函数的图像顶点M 为〔一1,

4)t A 对称釉是貢线工=一｝・

设宜线x —— 1与工轴交点为N *则N<—0).

又设二次函数图像与皇轴交点的塑拯是4(^, 0)、Eg 0)’由丨

A& | ~ 4« *'» A/V = NE = 2山1 h —1 — 2 —— 3*Xj = -1+2 =

h 点仏H 的坐标分别是A(-a. 0). B<1, 0).

设二次歯数的解析式为y =尬十+屁+“将久 & M 的坐 扳优人，得

I 所我解析式为y = — — 2疋+ &

ffi J - i -1

0,

方法二£配方式h先求点A或点B的坐标，同方法一・

V二次函数图像的顶点坐标为(」1‘ 4), A设解析式为y = a(x+W+^

将B仃,0)坐标代入得3 + 4二0,解得a =亠L

/•所求解析式为$ - - Q + lf +4*

方法三(分解式)：先求点A或点B的坐标，同方法一*

•:二次憾数图像与丁轴交点的坐标是A(-3,0)、B(b 0),

A设解析式为y = aCr + 3)(工一1几将顶点坐标(一1.4)代入，得一4a = 4r =-L

:.所求解析式为y =—Q + —1).化为一般式，得y=-^十2工+ 3.

点评选择何种形式的解析式吳根攥题目的条件而定•①巳知田像所经过的三点坐标丫用一般，丸y = at' +屁+百(a 0) ♦建立关于a、b、c的三元一次方稅组求解j②已知图像顶点坐标或对称轴*用配方式y^a(r + m)l+k (a#0>*③已知图像与工轴的两金交点坐标是A

◎举-反三

i

根据已知条件，选择适当形式的解析式是求解二次函数解析式的关键.

1 -1根据下列条件，分别求出函数的解析式.

(D已知二次函数的图像经过点AW, -D> B(I, 0). C(-h 2)t

(2)已知抛物线的顶点为(1, -3人且与，轴交于点(0, l)i

⑶ 已知抛物线经过A(—3* 0). B(5, 0人C(0.^3)三点.

解(1)设二次菌数解析式为y = ai2 +bx + “由图像过点A(0・—1)*得疋=…1»又由于其图橡过点(1, 0). (一1, 2片可得

a + A = 11

4 I

冶…A = 3 r

因此，所求二次函数的解析式是y K 2#-工一1.

(2)因为拋物线的顶点为(1，一3),所以可设函数的解析式为> -a (z - 1)?- 3. 又由于抛

物线与，轴交于点(0, 可以得到1’(0-厅-3,得口-饥

因此，所求二次雷数的解析式是y = 4 Q - l)z十3,即y j 4^-8x + L

(3)圉为抛物线与工轴交于点A(-3, 0). B($»0),所以设二次歯数的解析式为y = a(x 4-3)

又由于抛物线与y轴交于点(0* —3),町以得到一3 = a(C + 3)(0 —5),解得皿=]・o

[ 1 7因此，所求二次函数的解析式捷y = —(jr + 3)(x —5),即y =三* —-'X — 3・

5 b □

1 -2求分别满足以下条件的二次歯数的解析式・

(1) 苗数图像的对称轴是直线x = 一 2,与/轴的一个交点坐标是(一5, °),与y 轴的交 点坐标是(山|)；

(2) 函数图像经过(一 1」)、＜0, I)两点，且歯数图像最高点的纵坐标为扌・

解(1) V (-5, 0＞关于对称轴乂=7 的对称点是(h 0), .

r.设解折式为 y = a(jr + s )(x —1)*

将(0,寺)代人•得一5。=*舟■，解得a ■— *・

因此、所求二次隔数的解析式是$ = — 丁“ 45) (=~ 1),即* 5=—丄— -—x 十

3 3 3 3 (2)如图3-2-2.根据观1)与(0, 1)两点关于直 线龙=一裆对紹

又图像垠高点的函数值为召所以価数圏像

& 4

的顶点为何■

设画数的解析式是$ = 4(工+ *)「+斗，将(0,"代入，得

I §

+ 丁 = 1 ■解得 a =— L J* Z-2

4 4 ＜ 2 -

同此▼所求二次陋数曲解析式是y =—(工 + g) +〒，即眾=*— x 3 —工4 1.

、 J f 4

点评本题的解题羌键是充分利用二次晶数图像的轴对称性*由对称点确定对称轴方 程，或由对称轴确定

对称点坐标，从而挖械出新的条件.

顶点是抛物线中的特殊点，起到^一个顶俩無的作用•住下面的题目中，是否隐