立体几何证明题专项练习一

1如图，四棱椎P —ABCD 的底面为直角梯形，∠ABC=90°，AD ∥BC ，BA=BC=1，AD=2，PA ⊥平面ABCD 。

（1）若E 是线段PA 的中点，证明BE ∥平面PCD 。

（2）证明：CD ⊥CP ；2.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC ，BC=2AD ，PB ⊥AC ，Q 是线段PB 的中点.（I ）求证：AQ//平面PCD. （II ）求证：AB ⊥平面PAC ；3.如图：已知四棱锥P ABCD -中，,PD ABCD ABCD ⊥平面是正方形，E是PA 的中点，求证：(1)//PC 平面EBD ；(2) B C ⊥P C 。

4. 如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2. （1）求证：DE ∥平面A 1CB ； （2）求证：A 1F ⊥BE ；（3）线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ?说明理由。

5. 如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD =PC =4，AB =6，BC =3。

（1）证明：BC ∥平面PDA ； （2）证明：BC ⊥PD ；（3）求点C 到平面PDA 的距离。

E6、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，为BC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．7.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．E DCBAPNMA BDCOCBAD1B 1A 1C （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；（3）求二面角A BC P --的大小．8.四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，2CD =，AB AC ==2．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）求二面角C AD E --的余弦值大小． 9.如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --正弦值的大小； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．为1的菱形，4ABC π∠=,10如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点（Ⅰ）证明：直线MN OCD 平面‖； （Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。

11如图，底面ABC 为正三角形，⊥EA 面ABC ， ⊥DC 面ABC ，a DC AB EA 22===，设F 为EB 的中点．（1）求证：//DF 平面ABC ；（2）求直线AD 与平面AEB 所成角的正弦值．12.如图，底面是正三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，12AA AB ==.（Ⅰ）求证：1//AC 平面1AB D ；（Ⅱ）求点A 1 到平面1AB D 的距离.C DE AB ACBDP5.（1）因为四边形ABCD 为长方形，所以BC ∥AD 。

又BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ，所以BC ∥平面PDA 。

（2）因为BC ⊥CD ，PDC ⊥平面ABCD 且PDC ABCD=CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面PDC 。

因为PD ⊂平面PDC ，所以BC ⊥PD 。

（3）取CD 的中点E ，连接PE ，AC 。

因为PD=PC ，所以PE ⊥CD 所以PE=7342222=-=-CE PC 。

因为PDC ⊥平面ABCD 且PDC ABCD=CD ，PE ⊂平面PDC ，所以PE ⊥平面ABCD 。

由（2）知BC ⊥平面PDC 。

又AD ∥BC ，所以AD ⊥平面PDC 。

又PD ⊂平面PDC ， 所以AD ⊥PD 。

设点C 到平面PDA 的距离为h ，则V C-PDA =V P-ACD ，所以31S △PDA ·h=31S △ACD ·PE ，所以h=PDA ACD S PE S ∆∆·=432176321⨯⨯⨯⨯⨯=273，故点C 到平面PDA 的距离为273。

6．在ADE ∆中，222AD AE DE =+，∴AE DE ⊥……3分PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥……6分又PA AE A =，∴DE ⊥平面PAE ……7分（2）DPE ∠为DP 与平面PAE 所成的角……10分在Rt PAD ∆，42PD =，在Rt DCE ∆中，22DE =……12分 在Rt DEP ∆中，2PD DE =，∴030DPE ∠=……13分7．（1）ABD ∆为等边三角形且G 为AD 的中点，∴BG AD ⊥……2分 又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴BG ⊥平面PAD ……4分（2）PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点，∴AD PG ⊥……6分 且AD BG ⊥，PG BG G =，∴AD ⊥平面PBG ，PB ⊂平面PBG ，∴AD PB ⊥……8分（3）由AD PB ⊥，AD ∥BC ，∴BC PB ⊥……9分 又BG AD ⊥，AD ∥BC ，∴BG BC ⊥……10分∴PBG ∠为二面角A BC P --的平面角……12分在Rt PBG ∆中，PG BG =，∴045PBG ∠=……13分 8.解：（1）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ， AB AC =，∴AF BC ⊥，又面ABC ⊥面BCDE ，∴AF ⊥面BCDE ，∴AF CE ⊥．2tan tan 2CED FDC ∠=∠=， ∴90OED ODE ∠+∠=，90DOE ∴∠=，即CE DF ⊥，CE ∴⊥面ADF ，CE AD ∴⊥．（2）在面ACD 内过C 点作AD 的垂线，垂足为G ．CG AD ⊥，CE AD ⊥，AD ∴⊥面CEG ，EG AD ∴⊥， 则CGE ∠即为所求二面角的平面角．233AC CD CG AD==，3DG=，3EG==，CE =222cos 2CG GE CE CGE CG GE +-∠==，9.（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，．AP BP =，PD AB ∴⊥． AC BC =，CD AB ∴⊥．PD CD D =，AB ∴⊥平面PCD ． PC ⊂平面PCD ，PC AB ∴⊥． （Ⅱ）AC BC =，AP BP =， APC BPC ∴△≌△．又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥． 又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且ACPC C =，BC ∴⊥平面PAC ．取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =，BE AP ∴⊥．EC 是BE 在平面PAC 内的射影，CE AP ∴⊥． BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角． 在BCE △中，90BCE ∠=，2BC=，BE AB ==sin BC BEC BE ∴∠==． （Ⅲ）由（Ⅰ）知AB ⊥平面PCD ，∴平面APB ⊥平面PCD ．过C 作CH PD ⊥，垂足为H ．平面APB 平面PCD PD =，CH ∴⊥平面APB ． CH ∴的长即为点C 到平面APB 的距离．由（Ⅰ）知PC AB ⊥，又PC AC ⊥，且AB AC A =， PC ∴⊥平面ABC ． CD ⊂平面ABC ， PC CD ∴⊥．在Rt PCD △中，12CD AB ==PD == 2PC ∴==． 332=⨯=PD CD PC CH ．∴点C 到平面APB ． 10.（1）取OB 中点E ，连接ME ，NE ME CD ME CD ∴，‖AB,AB ‖‖ 又,NE OC MNE OCD ∴平面平面‖‖MN OCD ∴平面‖（2）CD ‖AB, MDC ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角）作,AP CD P ⊥于连接MP ⊥⊥平面A B C D ，∵OA ∴CD MP ACBDPACBE P2,42ADP π∠=∵∴DP =222MD MA AD =+=，1cos ,23DP MDP MDC MDP MD π∠==∠=∠=∴ 所以 AB 与MD 所成角的大小为3π（3）AB 平面∵∴‖OCD,点A 和点B 到平面OCD 的距离相等，连接OP,过点A 作 AQ OP ⊥ 于点Q ，,,,AP CD OA CD CD OAP AQ CD ⊥⊥⊥⊥平面∵∴∴又 ,AQ OP AQ OCD ⊥⊥平面∵∴,线段AQ 的长就是点A 到平面OCD 的距离222221324122OP OD DP OA AD DP =-=+-=+-=∵，22AP DP ==22223322OA AP AQ OP ===∴，所以点B 到平面OCD 的距离为23 11证明：过F 作//FH EA 交AB 于H ，连结HC ，因为ABC DC ABC EA ⊥⊥平面，平面，所以EA//DC,FH//EA,FH//DC ∴又，而F 是EB 的中点，12FH AE DC ∴==，所以四边形CDFH 是平行四边形，所以DF//HC,又ABC DF ABC HC ⊂⊄平面，平面，所以DF//ABC 平面. (2)ABC 为正三角形，H 为AB 中点，CH AB ∴⊥EA ABC CH ABC CH EA EA AB=A⊥⊂⊥⋂面，面，，EA AB EAB CH EAB DF//CH DF EAB ⊂∴⊥∴⊥、面，面，面∴AF 为DA 在面EAB 上的射影，所以DAF ∠为直线AD 与平面AEB 所成角，在RT AFD 中15AF=2,5,DF 3,sin 5a AD a a FAD ==∠=所以直线AD 与平面AEB 所成角的正弦值为15512证明：（Ⅰ）连接1A B 交1AB 于O ，连接OD ，在1BAC ∆中，O 为1BA 中点，D 为BC 中点1//OD AC ∴ 111,OD AB D AC AB D ⊂⊄面面 11//AC AB D ∴平面1DH BB ∴⊥11DH A B BA ∴⊥面且3sin 302DH AD =⋅=1111A AB D D AA B V V --=即1151323232h =解得255h =解法二：由①可知11//AC AB D 平面∴点1A 到平面1AB D 的距离等于点C 到平面1AB D 的距离…………8分1AD B ∆为Rt ∆1152ADB S ∆∴=1322ADC ABC S S ∆∆==分 设点C 到面1AB D 的距离为h 11C AB DB ADC V V --=即1151323232h =⨯解得255h=。