立体几何证明题专项练习一

1如图，四棱椎P —ABCD 的底面为直角梯形，∠ABC=90°，AD ∥

BC ，

BA=BC=1，AD=2，PA ⊥平面ABCD 。

（1）若E 是线段PA 的中点，证明BE ∥平面PCD 。 （2）证明：CD ⊥CP ；

2.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，

AD//BC ，BC=2AD ，

PB ⊥AC ，Q 是线段PB 的中点.

（I ）求证：AQ//平面PCD. （II ）求证：AB ⊥平面PAC ；

3.如图：已知四棱锥P ABCD -中，,PD ABCD ABCD ⊥平面是正方形，E

是PA 的中点，

求证：(1)//PC 平面EBD ；(2) B C ⊥P C 。

4. 如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中

点，点F 为

线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2. （1）求证：DE ∥平面A 1CB ； （2）求证：A 1F ⊥BE ；

（3）线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ?说明理由。

5. 如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD =PC =4，AB =6，BC =3。 （1）证明：BC ∥平面PDA ； （2）证明：BC ⊥PD ；

（3）求点C 到平面PDA 的距离。

E

6、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，为BC 的中点．

（1）求证：DE ⊥平面PAE ；

（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．

7.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a

的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．

E D

C

B

A

P

N

M

A B

D

C

O

C

B

A

D

1

B 1

A 1

C （1）若G 为A

D 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；

（3）求二面角A BC P --的大小．

8.四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面

BCDE ，

2BC =，2CD =，AB AC ==2．

（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；

（Ⅱ）求二面角C AD E --的余弦值大小． 9.如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥；

（Ⅱ）求二面角B AP C --正弦值的大小； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．

为1的菱形，4

ABC π

∠=

,

10如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长

OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为

BC 的中点

（Ⅰ）证明：直线MN OCD 平面‖； （Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。

11如图，底面ABC 为正三角形，⊥EA 面ABC ， ⊥DC 面

ABC ，

a DC AB EA 22===，设F 为EB 的中点．

（1）求证：//DF 平面ABC ；

（2）求直线AD 与平面AEB 所成角的正弦值．

12.如图，底面是正三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，

12

AA AB ==.

（Ⅰ）求证：

1//AC 平面1AB D ；

（Ⅱ）求点A 1 到平面1AB D 的距离.

C D

E A

B A

C

B

D

P

5.（1）因为四边形ABCD 为长方形，所以BC ∥AD 。 又BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ，所以BC ∥平面PDA 。

（2）因为BC ⊥CD ，PDC ⊥平面ABCD 且PDC ABCD=CD ，BC ⊂平面

ABCD ，

所以BC ⊥平面PDC 。因为PD ⊂平面PDC ，所以BC ⊥PD 。 （3）取CD 的中点E ，连接PE ，AC 。

因为PD=PC ，所以PE ⊥CD 所以

PE=7342222=-=

-CE PC 。

因为PDC ⊥平面ABCD 且PDC ABCD=CD ，PE ⊂平面PDC ，所以PE ⊥平面ABCD 。 由（2）知BC ⊥平面PDC 。又AD ∥BC ，所以AD ⊥平面PDC 。又PD ⊂平面PDC ， 所以AD ⊥PD 。

设点C 到平面PDA 的距离为h ，则V C-PDA =V P-ACD ，

所以31S △PDA ·h=3

1

S △ACD ·PE ，所以h=PDA ACD S PE S ∆∆·=432

17

6321

⨯⨯⨯⨯⨯=273，故点C 到平面PDA 的距离为273。

6．在ADE ∆中，222AD AE DE =+，∴AE DE ⊥……3分

PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥……6分

又PA AE A =，∴DE ⊥平面PAE ……7分

（2）DPE ∠为DP 与平面PAE 所成的角……10分

在Rt PAD ∆，42PD =，在Rt DCE ∆中，22DE =……12分 在Rt DEP ∆中，2PD DE =，∴030DPE ∠=……13分

7．（1）ABD ∆为等边三角形且G 为AD 的中点，∴BG AD ⊥……2分 又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴BG ⊥平面PAD ……4分

（2）PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点，∴AD PG ⊥……6分 且AD BG ⊥，PG BG G =，∴AD ⊥平面PBG ，

PB ⊂平面PBG ，∴AD PB ⊥……8分

（3）由AD PB ⊥，AD ∥BC ，∴BC PB ⊥……9分 又BG AD ⊥，AD ∥BC ，∴BG BC ⊥……10分

∴PBG ∠为二面角A BC P --的平面角……12分

在Rt PBG ∆中，PG BG =，∴045PBG ∠=……13分 8.解：（1）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ， AB AC =，∴AF BC ⊥，

又面ABC ⊥面BCDE ，∴AF ⊥面BCDE ，∴AF CE ⊥．2tan tan 2

CED FDC ∠=∠=

， ∴90OED ODE ∠+∠=，90DOE ∴∠=，即CE DF ⊥，

CE ∴⊥面ADF ，CE AD ∴⊥．

（2）在面ACD 内过C 点作AD 的垂线，垂足为G ．

CG AD ⊥，CE AD ⊥，AD ∴⊥面CEG ，EG AD ∴⊥， 则CGE ∠即为所求二面角的平面角．