1.2线性规划的可行域与最优解
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所有的
不等式组的 （x,y） 可行解
可行域
x 4 y 3 例5. 已知 3 x 5 y 25 ，z=2x+y，求z的最大值和最小值。 y x 1 x=1 解：不等式组表示的平
面区域如图所示： A(5,2), B(1,1), 22 C (1, )。 5 作斜率为-2的直线 6 5• 4 3 2 1 B 1 • 2 • C
3.解题格式要规范.
解线性规划问题的步骤：
1.找: 找出线性约束条件、目标函数； 2.画：画出线性约束条件所表示的可行域； 3.移：在线性目标函数所表示的一组平行线 中，利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线； 4.求：通过解方程组求出最优解；作出答案。
16
理论迁移（四）
设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则
l
l1
l2
l3
变题：上例若改为求z=x-2y的最大值、最小值呢？
分析：令目标函数z为0， 作直线
y x=1
6
x 2y 0
平移，使之与可行域有交点。 5• 22 最大截距为过C (1, ) C• 5 4 的直线 l1 最小截距为过A(5,2) 的直线 l 2
3
l1
2 1 B 1 • 2
•
A
x-4y+3=0
理论迁移（二）
例2.请画出下 列不等式组表 示的平面区域. 4 x y 10 6 x 5 y 22 x0 y0
y
x O 6x＋5y＝22 4x＋y＝10
例3. 如何画出如右不等 式组表示的平面区域？
y
2x＋y＝15
2x y 15 x +2y 18 x +3y 27 x 0, y 0
注意：此题y的系数为 负，当直线取最大截 距时，代入点C，则z 有最小值
3x+5y-25=0
-1 O
3
4
5
6
7
x
z min
22 39 1 2 5 5
l0 l 2
-1
同理，当直线取最小截距时，代入点A，则z有最大值
zmax 5 2 2 1
归纳小结
1.在线性约束条件下求目标函数的最大 值或最小值，是一种数形结合的数学思 想，它将目标函数的最值问题转化为动 直线在y轴上的截距的最值问题来解决.
x＋3y＝27
O
x＋2y＝18
x
Leabharlann Baidu习回顾（三）
目标函数所 表示的几何 线性目 意义——在 标函数 y轴上的截 距或其相反 数。
线性约 束条件
x 4 y 3 设z=2x+y,求满足 3 x 5 y 25 x 1 最优解 任何一个满足
时,求z的最大值和最小值. 线性规 划问题
理论迁移（一）
例1: 画出下列不等式表示的平面区域. （1）x＋4y＜4； (2) 4x－3y≤12.
y
1
4 O
4x－3y≤12
x O
y x 3
x＋4y＜4
－4
复习回顾（二）
1.不等式组表示的平面区域是各个不等 式所表示的平面区域的交集，即各个不 等式所表示的平面区域的公共部分.
2.不等式组表示的平面区域可能是一个 多边形，也可能是一个无界区域，还可 能由几个子区域合成.若不等式组的解 集为空集，则它不表示任何区域.
9 x + 4 y = 3600 _
得点C的坐标为（200，240）
答:每天配制甲种饮料200杯,乙种饮料240杯可获取最大利润.
小结:
列表
实际问题
作 答
设出变量
寻找约束条件 建立目标函数
转化
线性规划问题
建模
最优解
调 整
四个步骤
转 化
图解法 目 标 函 数
平移找解法
常用方法
最优整数解
调整优值法
距离,斜率等
•
x-4y+3=0
A
l： y 0， 2x
平移，使之与平面区域有公共点， 由图可知,当 z的值最大， 所以，
l 过B(1,1)时，
l
3x+5y-25=0 3
4 5 6 7 x
ｚ的值最小，当
过A(5,2)时， O -1 -1
zmin 2 1 1 3 zmax 2 5 2 12
2.对于直线l：z＝Ax＋By，若B＞0，则 当直线l在y轴上的截距最大(小)时，z取 最大(小)值；若B＜0，则当直线l在y轴 上的截距最大(小)时，z取最小(大)值.
复习回顾（四）
实际问题
列表
设立变量
寻找约束条件 建立目标函数
转 化
线性规划问题 注意:
1.约束条件要写全; 2.作图要准确,计算也要准确;
例6.x咖啡馆配制两种饮料．甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡4g、 9 4 y 3600 4 x 5 y 2000 糖3g,乙种饮料每杯含奶粉4g ，咖啡5g，糖10g．已知每天原 料的使用限额为奶粉3600g ，咖啡2000g，糖3000g,如果甲种 3 x 10 y 3000 饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原 x 0 料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多 y 0 少杯能获利最大？目标函数为：z =0.7x +1.2y (x, y N) 解：将已知数据列为下表：
原 料 奶粉(g) 咖啡(g) 糖(g) 利 润(元) 每配制1杯饮料消耗的原料 甲种饮料 x 乙种饮料 y 9 4 3 0.7 4 5 10 1.2 原 料限 额 3600 2000 3000
解:设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则
作出可行域： 目标函数为：z =0.7x +1.2y(x, y N) _00 4 作直线l:0.7x+1.2y=0， C _ ( 200 , 240 ) 3 _00 把直线l向右上方平移至l1的位置时， 当直线经过可行域上的点C时， 3 _ x + 10 y = 3000 7 _ x + 12 y = 0 截距最大 _ 0 此时，z =0.7x +1.2y取最大值 1 4 _00 500 _000 0 _ _ 解方程组
9 x 4 y 3600 4 x 5 y 2000 3 x 10 y 3000 x 0 y 0
y _ 9 _00
目标函数为：z =0.7x +1.2y
, 4 x 5 y 2000 , 3x 10y 3000
x _
4 _ x + 5 y = 2000
2013年1月
复习回顾（一）
1.画二元一次不等式表示的平面区域， 常采用“直线定界，特殊点定域”的方 法，当边界不过原点时，常把原点作为 特殊点.
2. 包括边界的区域将边界画成实线，不 包括边界的区域将边界画成虚线. 3. 不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区 域位置与A、B的符号有关（同为正，异 为负），相关理论不要求掌握.
不等式组的 （x,y） 可行解
可行域
x 4 y 3 例5. 已知 3 x 5 y 25 ，z=2x+y，求z的最大值和最小值。 y x 1 x=1 解：不等式组表示的平
面区域如图所示： A(5,2), B(1,1), 22 C (1, )。 5 作斜率为-2的直线 6 5• 4 3 2 1 B 1 • 2 • C
3.解题格式要规范.
解线性规划问题的步骤：
1.找: 找出线性约束条件、目标函数； 2.画：画出线性约束条件所表示的可行域； 3.移：在线性目标函数所表示的一组平行线 中，利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线； 4.求：通过解方程组求出最优解；作出答案。
16
理论迁移（四）
设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则
l
l1
l2
l3
变题：上例若改为求z=x-2y的最大值、最小值呢？
分析：令目标函数z为0， 作直线
y x=1
6
x 2y 0
平移，使之与可行域有交点。 5• 22 最大截距为过C (1, ) C• 5 4 的直线 l1 最小截距为过A(5,2) 的直线 l 2
3
l1
2 1 B 1 • 2
•
A
x-4y+3=0
理论迁移（二）
例2.请画出下 列不等式组表 示的平面区域. 4 x y 10 6 x 5 y 22 x0 y0
y
x O 6x＋5y＝22 4x＋y＝10
例3. 如何画出如右不等 式组表示的平面区域？
y
2x＋y＝15
2x y 15 x +2y 18 x +3y 27 x 0, y 0
注意：此题y的系数为 负，当直线取最大截 距时，代入点C，则z 有最小值
3x+5y-25=0
-1 O
3
4
5
6
7
x
z min
22 39 1 2 5 5
l0 l 2
-1
同理，当直线取最小截距时，代入点A，则z有最大值
zmax 5 2 2 1
归纳小结
1.在线性约束条件下求目标函数的最大 值或最小值，是一种数形结合的数学思 想，它将目标函数的最值问题转化为动 直线在y轴上的截距的最值问题来解决.
x＋3y＝27
O
x＋2y＝18
x
Leabharlann Baidu习回顾（三）
目标函数所 表示的几何 线性目 意义——在 标函数 y轴上的截 距或其相反 数。
线性约 束条件
x 4 y 3 设z=2x+y,求满足 3 x 5 y 25 x 1 最优解 任何一个满足
时,求z的最大值和最小值. 线性规 划问题
理论迁移（一）
例1: 画出下列不等式表示的平面区域. （1）x＋4y＜4； (2) 4x－3y≤12.
y
1
4 O
4x－3y≤12
x O
y x 3
x＋4y＜4
－4
复习回顾（二）
1.不等式组表示的平面区域是各个不等 式所表示的平面区域的交集，即各个不 等式所表示的平面区域的公共部分.
2.不等式组表示的平面区域可能是一个 多边形，也可能是一个无界区域，还可 能由几个子区域合成.若不等式组的解 集为空集，则它不表示任何区域.
9 x + 4 y = 3600 _
得点C的坐标为（200，240）
答:每天配制甲种饮料200杯,乙种饮料240杯可获取最大利润.
小结:
列表
实际问题
作 答
设出变量
寻找约束条件 建立目标函数
转化
线性规划问题
建模
最优解
调 整
四个步骤
转 化
图解法 目 标 函 数
平移找解法
常用方法
最优整数解
调整优值法
距离,斜率等
•
x-4y+3=0
A
l： y 0， 2x
平移，使之与平面区域有公共点， 由图可知,当 z的值最大， 所以，
l 过B(1,1)时，
l
3x+5y-25=0 3
4 5 6 7 x
ｚ的值最小，当
过A(5,2)时， O -1 -1
zmin 2 1 1 3 zmax 2 5 2 12
2.对于直线l：z＝Ax＋By，若B＞0，则 当直线l在y轴上的截距最大(小)时，z取 最大(小)值；若B＜0，则当直线l在y轴 上的截距最大(小)时，z取最小(大)值.
复习回顾（四）
实际问题
列表
设立变量
寻找约束条件 建立目标函数
转 化
线性规划问题 注意:
1.约束条件要写全; 2.作图要准确,计算也要准确;
例6.x咖啡馆配制两种饮料．甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡4g、 9 4 y 3600 4 x 5 y 2000 糖3g,乙种饮料每杯含奶粉4g ，咖啡5g，糖10g．已知每天原 料的使用限额为奶粉3600g ，咖啡2000g，糖3000g,如果甲种 3 x 10 y 3000 饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原 x 0 料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多 y 0 少杯能获利最大？目标函数为：z =0.7x +1.2y (x, y N) 解：将已知数据列为下表：
原 料 奶粉(g) 咖啡(g) 糖(g) 利 润(元) 每配制1杯饮料消耗的原料 甲种饮料 x 乙种饮料 y 9 4 3 0.7 4 5 10 1.2 原 料限 额 3600 2000 3000
解:设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则
作出可行域： 目标函数为：z =0.7x +1.2y(x, y N) _00 4 作直线l:0.7x+1.2y=0， C _ ( 200 , 240 ) 3 _00 把直线l向右上方平移至l1的位置时， 当直线经过可行域上的点C时， 3 _ x + 10 y = 3000 7 _ x + 12 y = 0 截距最大 _ 0 此时，z =0.7x +1.2y取最大值 1 4 _00 500 _000 0 _ _ 解方程组
9 x 4 y 3600 4 x 5 y 2000 3 x 10 y 3000 x 0 y 0
y _ 9 _00
目标函数为：z =0.7x +1.2y
, 4 x 5 y 2000 , 3x 10y 3000
x _
4 _ x + 5 y = 2000
2013年1月
复习回顾（一）
1.画二元一次不等式表示的平面区域， 常采用“直线定界，特殊点定域”的方 法，当边界不过原点时，常把原点作为 特殊点.
2. 包括边界的区域将边界画成实线，不 包括边界的区域将边界画成虚线. 3. 不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区 域位置与A、B的符号有关（同为正，异 为负），相关理论不要求掌握.