1.3 三角函数的诱导公式(第二课时) 最新学案
三角函数的诱导公式教学设计
三角函数的诱导公式学案【学习目标】（1）能够理解借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式。
（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。
【课前预习】1、 若角α的终边和单位圆交于点P ，则点P 的坐标可表示为2、 若角α和角β的终边相同，则β=3、 求0390的三角函数值 【课堂导学】问题1：若角α和角β的终边相同，则它们的同名三角函数值有何关系？ 公式一：问题2：（1）设6πα=，如果β的终边与α的终边关于x 轴对称，你能用α表示β吗？这时sin β与sin α，cos β与cos α有什么关系？（2）请你自己举出类似的例子，看看有没有同样的结论？（3）一般地，设α为任意角，β的终边与α的终边关于x 轴对称，用α表示β，并求sin β与sin α，cos β与cos α的关系。
公式二： 问题3：（1）设6πα=，将α的终边逆时针旋转2π得β，你能用α表示β吗？这时sin β与cos α，cos β与sin α有什么关系？（2）一般地，设α为任意角，将α的终边逆时针旋转2π得β，用α表示β，并求sin β与cos α，cos β与sin α的关系。
公式六：归纳总结：从联系的观点看，上述问题可以归结为两类变换：（1）关于x 轴对称的轴对称变换1T ：θθ→-，单位圆上的点(,)x y 经1T 变为 ， 也就是cos()α-= ，sin()α-= 。
（2）将α的终边逆时针旋转2π的旋转变换2T ：2πθθ→+，单位圆上的点(,)x y 经2T 变为 ，也就是cos()2πα+= ，sin()2πα+= 。
问题4：经过两次2T 变换，就有α→ ，探求这个角的三角函数值 公式四：问题5：经过一次1T 变换，再经过一次2T 变换，就有α→ → ，探求这个角的三角函数值。
公式五：问题6：利用已有的公式，你能推导出33,,22παπαπα--+的三角函数值与α的三角函数值的关系吗？公式三：问题7：怎样求这些角的正切值？归纳总结：公式一、二、三、四、五都叫做三角函数的诱导公式。
三角函数的诱导公式(2)
利用诱导公式进行化简， 主要是进行角的转化， 最终
给定一个角 ，终边与角 的终边关于直线 y x 对 称的角与角 有什么关系？它们的三角函数之间又有 什么关系？能否说明？
sin(
2
) cos
2
O
公式 五
如何求 的三角函数值？ 2
2
)]
( cos )sin( )[ sin( )]sin[4 ( sin cos [ cos( )] 2
2
2
)]
( cos )sin [( sin )]sin(
sin tan . cos
sin(π -α) = sinα cos(π -α) = -cosα tan(π -α) = -tanα
诱导公式小结:
公式一、二、三、四都叫做诱导公式． 概括如下： 2k k Z , , 的三角函数值，等于 的同名函数值，前面
加上一个把 看成锐角时原函数值的符号.
口诀: “函数名不变，符号看象限”．
例2
sin α＋3πcosα＋π 化简： . 3 tanα＋πcos －α－π
2 2
2
sin α· －cos α －sin α· cos α 解 原式＝ ＝ 3 3 tan α· cos α＋π －tan α· cos α sin2α· cos α sin2αcos α sin α ＝ sin α ＝sin αcos2α＝cos α＝tan α. 3 · cos α cos α
cos( ) sin 2
cos( ) sin 2
三角函数的诱导公式教案
1.3三角函数的诱导公式贾斐三维目标1、通过学生的探究,明了三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解诱导公式的推导过程;培养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转化及分类讨论的思想.2、通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用.3、进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题多解,一题多变,多题归一,提高分析问题和解决问题的能力.重点难点教学重点:五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用,三角函数式的求值、化简和证明等.教学难点:六组诱导公式的灵活运用.课时安排2课时教学过程导入新课思路1.①利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值.②复习诱导公式一及其用途.思路2.在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值,求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得,对到2π)范围内的角的三角函数怎样求解,于90°到360°(2能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题.新知探究提出问题由公式一把任意角α转化为［0°,360°)内的角后,如何进一步求出它的三角函数值活动:在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得.教师可组织学生思考讨论如下问题:0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得90°到360°的角β能否与锐角α相联系通过分析β与α的联系,引导学生得出解决设问的一种思路:若能把求［90°,360°)内的角β的三角函数值,转化为求有关锐角α的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这一思想就是数学的化归思想,教师可借此向学生介绍化归思想.图1讨论结果:通过分析,归纳得出:如图1.β=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈+∈-],360,270[,360],270,180[,180],180,90[,180 βββa a a提出问题①锐角α的终边与180°+α角的终边位置关系如何②它们与单位圆的交点的位置关系如何③任意角α与180°+α呢活动:分α为锐角和任意角作图分析:如图2.图2引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论探究角的关系.无论α为锐角还是任意角,180°+α的终边都是α的终边的反向延长线,所以先选择180°+α为研究对象.利用图形还可以直观地解决问题②,角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的,对应点的坐标分别是P(x,y)和P′(-x,-y).指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二:sin(180°+α)=-sinα,cos(180°+α)=-cosα.并指导学生写出角为弧度时的关系式:sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tan α.引导学生观察公式的特点,明了各个公式的作用.讨论结果:①锐角α的终边与180°+α角的终边互为反向延长线.②它们与单位圆的交点关于原点对称.③任意角α与180°+α角的终边与单位圆的交点关于原点对称.提出问题①有了以上公式,我们下一步的研究对象是什么②-α角的终边与角α的终边位置关系如何活动:让学生在单位圆中讨论-α与α的位置关系,这时可通过复习正角和负角的定义,启发学生思考:任意角α和-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二的推导过程,由学生自己完成公式三的推导,即:sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.教师点拨学生注意:无论α是锐角还是任意角,公式均成立.并进一步引导学生观察分析公式三的特点,得出公式三的用途:可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值.讨论结果:①根据分析下一步的研究对象是-α的正弦和余弦.②-α角的终边与角α的终边关于x轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数.提出问题①下一步的研究对象是什么②π-α角的终边与角α的终边位置关系如何活动:讨论π-α与α的位置关系,这时可通过复习互补的定义,引导学生思考:任意角α和π-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二、三的推导过程,由学生自己完成公式四的推导,即:sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.强调无论α是锐角还是任意角,公式均成立.引导学生观察分析公式三的特点,得出公式四的用途:可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值.让学生分析总结诱导公式的结构特点,概括说明,加强记忆.我们可以用下面一段话来概括公式一—四:α+k·2π(k∈Z ),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.进一步简记为:“函数名不变,符号看象限”.点拨、引导学生注意公式中的α是任意角.讨论结果:①根据分析下一步的研究对象是π-α的三角函数;②π-α角的终边与角α的终边关于y 轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等,横坐标互为相反数.示例应用例1 利用公式求下列三角函数值: (1)cos225°;(2)sin311π;(3)sin(316π-);(4)cos(-2 040°).活动:这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习加深印象,逐步达到熟练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题.解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=22-;(2)sin 311π=sin(4π3π-)=-sin 3π=23-; (3)sin(316π-)=-sin 316π=-sin(5π+3π) =-(-sin 3π)=23; (4)cos(-2 040°)=cos2 040°=cos(6×360°-120°) =cos120°=cos(180°-60°) =-cos60°=21-. 点评:利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.变式训练利用公式求下列三角函数值:(1)cos(-510°15′);(2)sin(317-π). 解:(1)cos(-510°15′)=cos510°15′=cos(360°+150°15′)=cos150°15′=cos(180°-29°45′)=-cos29°45′= 2;(2)sin(317-π)=sin(3π-3×2π)=sin 3π=23.例2 2007全国高考,1cos330°等于( ) A.21 B.21- C.23 D.23- 答案:C变式训练化简:790cos 250sin 430cos 290sin 21++ 解:790cos 250sin 430cos 290sin 21++ =)70720cos()70180sin()70360cos()70360sin(21 ++++-+ =70sin 70cos |70sin 70cos |70cos 70sin 70cos 70sin 21--=+-- =170sin 70cos 70cos 70sin -=--. 例3 化简co s315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°. 活动:这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目.利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数,再求值、合并、约分.解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°=cos(360°-45°)-sin30°+sin(180°+45°)+cos(360°+120°)=cos(-45°)21--sin45°+cos120° =cos45°21-22-+cos(180°-60°) =2221-22--cos60°=-1.点评:利用诱导公式化简,是进行角的转化,最终达到统一角或求值的目的.变式训练求证:θθπθθπθπθπtan )5sin()cos ()6cos()2sin()2tan(=+----. 分析:利用诱导公式化简较繁的一边,使之等于另一边.证明:左边=)5sin()cos ()6cos()2sin()2tan(θπθθπθπθπ+---- =)sin()cos ()cos()sin()tan(θπθθθθ+---- =θθθθθsin cos cos sin tan =tanθ=右边. 所以原式成立.规律总结:证明恒等式,一般是化繁为简,可以化简一边,也可以两边都化简.知能训练课本本节练习1—3.解答:1.(1)-cos 94π;(2)-sin1;(3)-sin 5π;(4)cos70°6′. 点评：利用诱导公式转化为锐角三角函数.2.(1)21;(2)21;(3) 8;(4)23 .点评：先利用诱导公式转化为锐角三角函数,再求值.3.(1)-sin 2αcosα;(2)sin 4α.点评：先利用诱导公式变形为角α的三角函数,再进一步化简.课堂小结本节课我们学习了公式二、公式三、公式四三组公式,这三组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到的,为了记牢公式,我们总结了“函数名不变,符号看象限”的简便记法,同学们要正确理解这句话的含义,不过更重要的还是应用,我们要多加练习,切实掌握由未知向已知转化的化归思想.作业课本习题 A 组2、3、4.。
《三角函数的诱导公式》教案新人教A版
数学：1.3《三角函数的诱导公式》教案（新人教A版必修4）第一章三角函数4-1.3三角函数的诱导公式一、教材分析（一）教材的地位与作用：1、本节课教学内容"诱导公式（二）、（三）、（四）"是人教版数学4，第一章1、3节内容，是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式（一）等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式（五）的理论依据。
2、求三角函数值是三角函数中的重要问题之一。
诱导公式是求三角函数值的基本方法。
诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题。
诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式。
这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义。
（二）教学重点与难点：1、教学重点：诱导公式的推导及应用。
2、教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。
二、目标分析根据教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和新课程标准的要求，结合学生的实际水平，本节课的教学目标为：1、知识目标：（1）识记诱导公式。
（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明。
2、能力目标：（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法。
（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式。
（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力。
3、情感目标：（1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神。
（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想。
三、过程分析（一）创设问题情景，引导学生观察、联想，导入课题I 重现已有相关知识，为学习新知识作铺垫。
《1.2.3三角函数的诱导公式二》教学案
《1.2.3三角函数的诱导公式(二)》教学案●三维目标1．知识与技能(1)能够推导公式五、六．(2)能够应用公式五、六解决一些三角函数求值、化简和证明问题．2．过程与方法(1)借助于单位圆，利用对称性，推导公式五、六．(2)观察公式五、六的结构特征，统一为“函数名改变，符号看象限”．(3)特别注意公式的使用中，三角函数值的符号变化问题．3．情感、态度与价值观用联系的观点，发现并证明诱导公式，体会把未知问题化归为已知问题的数学思想方法．●重点难点重点：诱导公式五、六的推导．难点：灵活运用诱导公式进行化简、求值、证明.教学方案设计●教学建议关于诱导公式五、六的教学，建议教师注重公式的推导过程，特别突出关于直线y＝x对称的两点的坐标关系，这是理解和记忆公式的关键．另外要向学生讲清这组公式与诱导公式一、二、三、四的区别，利用适当的训练题加以巩固这几组诱导公式的关系及应用．●教学流程创设问题情境，引导学生推导出诱导公式五、六.⇒引导学生探究诱导公式五、六的特征以及与诱导公式一～四的区别，并总结诱导公式五、六的记忆口诀“函数名改变，符号看象限”.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握利用诱导公式五、六解决给值求值问题的方法.⇒通过完成例2及其变式训练，使学生掌握利用诱导公式解决化简求值问题的方法.⇒完成例3及其变式训练，总结利用诱导公式证明三角恒等式的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学【问题导思】 若α为锐角，sin (π2－α)与cos α，cos (π2－α)与sin α有何关系？ 【提示】 sin (π2－α)＝cos α，cos (π2－α)＝sin α. 终边关于直线y ＝x 对称的角的诱导公式(公式五) sin (π2－α)＝cos _α；cos (π2－α)＝sin _α.【问题导思】 利用公式二和公式五，能否确定sin (π2＋α)与cos α，cos (π2＋α)与sin α的关系？【提示】 sin (π2＋α)＝sin [π2－(－α)]＝cos (－α)＝cos α，cos (π2＋α)＝cos [π2－(－α)]＝sin (－α)＝－sin α.π2＋α型诱导公式(公式六) sin (π2＋α)＝cos _α； cos (π2＋α)＝－sin _α. 当堂双基达标例1 (1)已知sin (π＋A)＝－12，则cos (32π－A)的值是________． (2)已知sin (π3－α)＝12，则cos (π6＋α)的值是________．【思路探究】 (1)先化简sin (π＋A)＝－12得sin A ＝12，再利用诱导公式化简cos (3π2－A)即可．(2)探索已知角π3－α与π6＋α之间的关系，根据诱导公式将cos (π6＋α)化为π3－α的三角函数求解．【自主解答】 (1)sin (π＋A)＝－sin A ＝－12，∴sin A ＝12，cos (3π2－A)＝cos (π＋π2－A)＝－cos (π2－A)＝－sin A ＝－12. (2)∵(π3－α)＋(π6＋α)＝π2， ∴π6＋α＝π2－(π3－α)，∴cos (π6＋α)＝cos [π2－(π3－α)]＝sin (π3－α)＝12. 【答案】 (1)－12 (2)12 规律方法1．给值求值型问题，若已知条件或待求式较复杂，有必要根据诱导公式化到最简，再确定相关的值．2．巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π3－α，π6＋α；π3＋α，π6－α；π4＋α，π4－α等．常见的互补关系有π3＋θ，2π3－θ；π4＋θ，3π4－θ等． 互动探究若本例(2)中条件不变，如何求cos (56π－α)的值？ 【解】 ∵(5π6－α)－(π3－α)＝π2， ∴5π6－α＝π2＋(π3－α)，∵cos (5π6－α)＝cos [π2＋(π3－α)]＝－sin (π3－α)＝－12.化简问题例2 化简： sin3π2－α·cos 3π－α·tan π－αcos －α－π·cos α－π2. 【思路探究】 解决本题的关键是熟练地应用三角函数诱导公式． 【自主解答】 原式＝sin[π＋π2－α]·cos π－α·－tan αcos π＋αcos π2－α ＝－sin π2－α·－cos α·－tan α－cos α·sin α ＝－cos 2α·tan α－cos α·sin α＝cos α·sin αcos αsin α＝1. 规律方法用诱导公式化简求值的方法：(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(2)对于kπ±α和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名． 变式训练 化简：sin θ－5πcos －π2－θcos 8π－θsin θ－3π2sin －θ－4π. 【解】 原式＝sin[－6π＋π＋θ]cos[－π2＋θ]cos －θsin[－2π＋π2＋θ]sin －θ ＝sin π＋θcos π2＋θcos θsin π2＋θ－sin θ ＝－sin θ－sin θcos θcos θ－sin θ＝－sin θ.证明三角恒等式例3 求证：2sin θ－32πcos θ＋π2－11－2sin 2θ＝ tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1.【思路探究】 考虑到等式左、右两边形式都很复杂，可以使用左右归一法证明，即证明等式的左、右两边都等于同一个式子．【自主解答】 左边＝2sin[－32π－θ]cos π2＋θ－11－2sin 2θ ＝－2cos θ·sin θ－11－2sin 2θ＝1＋2sin θcos θ2sin 2θ－sin 2θ＋cos 2θ ＝sin θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1.右边＝tan 8π＋π＋θ＋1tan θ－1＝tan π＋θ＋1tan θ－1＝tan θ＋1tan θ－1. ∴左边＝右边，原式成立． 规律方法三角恒等式的证明策略：(1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．(2)常用的方法：定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1”的代换法．变式训练求证：tan 2π－αcos 3π2－αcos 6π－αsin α＋3π2cos α＋3π2＝－tan α. 【证明】 左边＝tan －α·cos[π＋π2－α]cos －αsin[π＋π2＋α]cos[π＋π2＋α] ＝－tan α·[－cos π2－α]·cos α－sin π2＋α·[－cos π2＋α] ＝tan αsin αcos α－cos α·sin α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立. 思想方法技巧三角函数问题中的方程思想典例 (14分)是否存在角α，β，α∈(－π2，π2)，β∈(0，π)，使⎩⎨⎧ sin 3π－α＝2cosπ2－β，3cos －α＝－2cos π＋β同时成立？若存在，求出角α，β；若不存在，请说明理由．【思路点拨】 先利用三角函数的诱导公式化简已知条件，再利用方程思想和同角三角函数的基本关系式求解．【规范解答】 将已知方程组化 为{ sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β， ②2分①2＋②2得sin 2α＋3cos 2α＝2，∴cos 2α＝12. 4分∵α∈(－π2，π2)，∴cos α＝22，∴α＝π4或－π4， 6分将α＝π4代入②得cos β＝32，8分 ∵β∈(0，π)，∴β＝π6.将α＝π4，β＝π6代入①，符合条件.10分 将α＝－π4代入②得cos β＝32， ∵β∈(0，π)，∴β＝π6.12分将α＝－π4，β＝π6代入①，不符合条件，舍去． 综上可知存在满足条件的角α，β，α＝π4，β＝π6. 14分首先利用已知条件得出关于cos α的方程，再利用平方关系式sin 2α＋cos 2α＝1，求出cos α的值，进而求出相应的角．建立方程是解题的关键．1.π2±α的正弦(余弦)函数值，等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．2．利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．3．k ·π2＋α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号．概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶是指k 的取值是奇数还是偶数. 当堂双基达标1．sin 95°＋cos 175°＝________.【解析】 ∵sin 95°＝sin (90°＋5°)＝cos 5°，cos 175°＝cos (180°－5°)＝－cos 5°， ∴sin 95°＋cos 175°＝0. 【答案】 02．化简sin (π＋α)cos (3π2＋α)＋sin (π2＋α)cos (π＋α)＝________. 【解析】 原式＝－sin αsin α＋cos α(－cos α) ＝－sin 2α－cos 2α＝－1. 【答案】 －13．已知tan θ＝2，则sin π2＋θ－cos π－θsin π2－θ－sin π－θ＝________. 【解析】 原式＝cos θ－－cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2. 【答案】 －24．求证：cos α－π2sin 5π2＋αsin (α－π)cos (2π－α)＝－sin 2α. 【证明】 ∵左边＝－cos π2－αsin π2＋αsin αcos (－α)＝－sin αcos αsin αc os α＝－sin 2α＝右边，∴原等式成立. 课后知能检测 一、填空题1．sin 480°的值为________．【解析】 sin 480°＝sin (360°＋120°)＝sin 120°＝sin (90°＋30°)＝cos 30°＝32.【答案】 322．如果cos α＝15，且α是第四象限角，那么cos (α＋π2)＝________. 【解析】 由已知得，sin α＝－1－152＝－265.所以cos (α＋π2)＝－sin α＝－(－265)＝265. 【答案】 2653．若sin (θ＋3π2)＞0，cos (π2－θ)＞0，则角θ的终边位于第________象限．【解析】 sin (θ＋3π2)＝－cos θ＞0，∴cos θ＜0，cos (π2－θ)＝sin θ＞0，∴θ为第二象限角． 【答案】 二4．若f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos 30°)＝________.【解析】 f (cos 30°)＝f (sin 60°)＝3－cos 120°＝3＋cos 60°＝72或f (cos 30°)＝f (sin 120°)＝3－cos 240°＝3－cos 120°＝72. 【答案】 725．(2013·宁波高一检测)已知sin (α－π4)＝13，则cos (π4＋α)＝________. 【解析】 ∵(π4＋α)－(α－π4)＝π2，∴cos (π4＋α)＝cos [π2＋(α－π4)]＝－sin (α－π4)＝－13. 【答案】 －136．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是________． ①cos (A ＋B)＝cos C ；②sin (A ＋B)＝－sin C ； ③cos (A 2＋C)＝cos B ；④sin B ＋C 2＝cos A2.【解析】 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos (A ＋B)＝－cos C ，sin (A ＋B)＝sin C ，所以①②都不正确；同理B ＋C ＝π－A ，所以sin B ＋C 2＝sin (π2－A 2)＝cos A2，所以④是正确的． 【答案】 ④7．(2013·徐州高一检测)已知cos (π2＋φ)＝32，且|φ|＜π2，则tan φ＝________.【解析】 cos (π2＋φ)＝－sin φ＝32，sin φ＝－32， 又∵|φ|＜π2，∴cos φ＝12，故tan φ＝－ 3. 【答案】 － 38．已知cos α＝13，且－π2＜α＜0， 则cos －α－πsin 2π＋αtan 2π－αsin 3π2－αcosπ2＋α＝________.【解析】 原式＝－cos α·sin α·－tan α－cos α·－sin α＝tan α，∵cos α＝13 ，－π2＜α＜0， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－223，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.【答案】 －2 2 二、解答题9．已知cos (75°＋x )＝13，其中x 为第三象限角，求cos (105°－x )－2cos (x －15°)的值． 【解】 由条件，得cos (105°－x )＝cos (180°－75°－x )＝－cos (75°＋x )＝－13， cos (x －15°)＝cos (－90°＋75°＋x )＝sin (75°＋x )． 又x 为第三象限角，cos (75°＋x )＞0， 所以x ＋75°为第四象限角． 所以sin (75°＋x )＝－223. 于是原式＝－13－2×(－223)＝1. 10．已知sinα是方程5x 2－7x －6＝0的根，求sin α＋3π2sin 3π2－αtan 22π－αtan π－αcos π2－αcos π2＋α的值． 【解】 由于方程5x 2－7x －6＝0的两根为2和－35，所以sin α＝－35，再由sin 2α＋cos 2α＝1，得cos α＝±1－sin 2α＝±45，所以tan α＝±34，所以原式＝－cos α－cos α·tan 2α－tan αsin α·－sin α＝tan α＝±34.11．已知角α的终边经过点P (45，－35)． (1)求sin α的值；(2)求sin π2－αtan α－πsin α＋πcos 3π－α的值． 【解】 (1)∵P (45，－35)，|OP |＝1， ∴sin α＝－35.(2)sin π2－αtan α－πsin α＋πcos 3π－α＝cos αtan α－sin α－cos α＝1cos α，由三角函数定义知cos α＝45，故所求式子的值为54. 教师备课资源备选例题 已知f (α)＝sinα－3πcos 2π－αsin －α＋3π2cos －π－αsin －π－α. (1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos (α－3π2)＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．【思路探究】 利用诱导公式化简，根据题中所给条件求值． 【自主解答】 (1)f (α)＝－sin αcos α－cos α－cos αsin α＝－cos α. (2)∵cos (α－3π2)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15， 又α是第三象限角，∴cos α＝－52－15＝－256， ∴f (α)＝25 6.(3)∵－31π3＝－5×2π－π3，∴f (－31π3)＝－cos (－31π3)＝－cos (－5×2π－π3)＝－cos (－π3)＝－cos π3＝－12. 规律方法此类题目是关于三角函数式的化简与求值．解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式变形求解． 备选变式 已知f (θ)＝cos θ－3π2·sin 7π2＋θsin －θ－π. (1)化简f (θ)；(2)若f (θ)＝13，求tan θ的值；(3)若f (π6－θ)＝13，求f (5π6＋θ)的值．【解】 (1)f (θ)＝cos 3π2－θ·sin 3π2＋θ－sin π＋θ＝－sin θ·－cos θsin θ＝cos θ. (2)由题意得f (θ)＝cos θ＝13＞0，故θ为第一或第四象限角．当θ为第一象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝223，tan θ＝sin θcos θ＝22； 当θ为第四象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－223，tan θ＝sin θcos θ＝－2 2. (3)由题意得f (π6－θ)＝cos (π6－θ)＝13，∴f (5π6＋θ)＝cos (5π6＋θ)＝cos [π－(π6－θ)]＝－cos (π6－θ)＝－13.。
高中数学1.3三角函数的诱导公式(第2课时)优秀教案
1.3三角函数的诱导公式〔第2课时〕导学案【课前要点梳理】1.诱导公式〔奇变偶不变，符号看象限〕2.同角三角函数的根本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝ 〔α为任意角〕. (2)商数关系： ＝sin αcos α ⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .【课堂互动探究】题型一 整体代换，利用角之间的关系求值典例1 〔1〕计算54cos53cos 52cos5cosππππ+++= . （2）假设534sin =+）（πθ，则)4(cos πθ-= . （3）316cos =-）（απ，求）（απαπ-⋅+32sin )65(cos 的值.小结：对于一些给值(式)求值问题，要注意角与未知角的关系，即发现它们之间是否满足互余或互补，假设满足，则可以进行整体代换，用诱导公式求解． (1)常见的互余关系：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等． (2)常见的互补关系：π3＋α与23π－α；π4＋α与34π－α等． 【针对训练1】1.213sin =-）（απ，则)6(cos απ+= .2.3175cos =+）（。
α，则）（。
αα-+105cos )15-sin(的值是〔 〕 A.31 B.32 C. 31- D.32-【思考诊断】典例1〔2〕中，534sin =+）（πθ，求得)4(cos πθ-=.假设534sin =+）（πθ，且α为第四象限角，则)4(tan πθ-= .题型二 诱导公式与同角三角函数关系的综合应用 典例2 〔1〕假设21sin =+）（απ，)0,2(πα-∈，则）（απ-tan = . 变式：假设21sin =+）（απ，则）（απ-tan = .〔2〕+。
1sin 2+。
2sin 2+。
3sin 2。
89sin 2+ = .小结：解决与诱导公式有关的三角函数式的化简或者求值问题，关键是正确地应用诱导公式把不同角问题转化为同角问题来处理，再利用同角三角函数关系进行化简或者求值．〔统一角，统一函数名〕【针对训练2】1.+。
三角函数的诱导公式1.3.2
三角函数的诱导公式 第二课时
问题提出
1.诱导公式一、二、三、四分别反映了 2kπ +α （k∈Z）、π ＋α 、－α 、 π －α 与α 的三角函数之间的关系，这 四组公式的共同特点是什么？
函数同名，象限定号.
解题一般步骤
（公式三）
负角
正角
（公式一） k 2
0~2π
（公式二）
2
3 练：已知2sin 3 sin + , 2 求2sin 3cos （ -） cos sin（ +） 2 2 的值。
2 2
1 cos(60 ) 的值 . tan (30 ) 1 sin (60 )
思考4：若α 为一个任意给定的角，那么 的终边与角α 的终边有什么对称关 2 的终边 y 2 系？
α 的终边 O
x
思考5：点P1（x，y）关于直线y=x对称 的点P2的坐标如何？
思考6：设角α 的终边与单位圆的交点 为P1（x，y），则 2 的终边与单 位圆的交点为P2（y，x），根据三角函 数的定义，你能获得哪些结论？
y
2 的终边
公式五：
sin(
P2(y，x)
α 的终边 O
2
) cos ) sin
P1(x，y) x
cos(
2
知识探究（二）： 的诱导公式
思考2：
2
2
2
与
2
有什么内在联系？
(
2
)
sin(
1.3三角函数的诱导公式_导学案2
1.3三角函数的诱导公式 第二课时学习目标：1.经历诱导公式五、六的推导过程，体会数学知识的“发现”过程。
2.掌握3,22ππαα±±这四种形式的角的三角函数与角α的三角函数间的关系； 能初步应用公式解决一些简单的问题。
学习重点、难点：重点：诱导公式五、六的推导探究，诱导公式的应用。
难点：发现终边与角α的终边关于直线y x =对称的角与α之间的数量关系。
学习过程：一、预习完成部分：复习回顾，引出新知公式一 公式二： =+=+=+)tan()cos()sin(απαπαπ 公式三： 公式四： =-=-=-)tan()cos()sin(ααα =-=-=-)tan()cos()sin(απαπαπ它们的记忆技巧是： .二．合作探究：1、诱导公式五：问题1：如图单位圆中，你能画出角 （2π —α）的终边吗？问题2：假设点1p 的坐标为),(y x ，你能说出⎪⎭⎫⎝⎛-απ2的终边与单位圆的交点2p 坐标吗？问题3:请用三角函数的定义写出角⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2的三角函数值（诱导公式五）： 诱导公式（五）sin(),2cos(),2tan().2παπαπα-=-=-=) sin(2)_____,cos(2)_____,tan(2)_____.k k k k z απαπαπ+=+=+=∈（）思考：1.公式两边函数名称是否改变？2. 公式两边函数符号是否改变？预习检测1：1、化简（1）⎪⎭⎫⎝⎛-βπ25sin （2） )27cos(απ-2、诱导公式六： 思考：同学们，角（2πα+）与角α又有怎样的关系呢？你仍然是画图研究吗，还是用已学的公式来探究呢？请试着写出你的推导诱导公式六过程：诱导公式六sin(),2cos(),2tan().2παπαπα+=+=+= 思考：1.公式两边函数名称是否改变？2. 公式两边函数符号是否改变？预习检测2： 求值：3(1)cos()23ππ- 5(2)sin 6π思考5：对角32πα±呢？ 三、当堂达标： （一）、典型例题：例1、证明：31)sin cos 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ααπsin 23cos )2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-33)sin +cos 2παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 34)cos +sin 2παα⎛⎫= ⎪⎝⎭例2：化简： 11sin(2)cos()cos()cos()229cos()sin(3)sin()sin()2πππαπαααππαπαπαα-++-----+例3、已知:,212sin 计算-=⎪⎭⎫⎝⎛+απ（1）();2cos απ- （2）()πα7tan -（二）学习小结 ：1.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法.2.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.四、课后作业：1、化简：1）()()()()0000261sin .171sin 99sin .1071sin --+-；2) ()()αππααππα--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-2cos .2sin .25sin 2cos 3）()()()ααα-+--sin 360tan cos 022、计算：1）()()0000660cos .330sin 750cos .420sin --+2）⎪⎭⎫⎝⎛-++425tan 325cos 625sin πππ3、已知():,21sin 计算-=+απ （1）3cos 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭()2tan 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭。
1.3 三角函数的诱导公式(二)学案
4、在 中， 且cosA>0,则角A＝＿＿
5、如果A为锐角， ，那么 _________
______
6、在△ABC中, 为内角，下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.
7、已 知 ，则 ＿＿＿
1.3三角函数的诱导公式（二）
学习目标：
1理解三角函数诱导公式；
2能灵活运用诱导公式解决问题；
重点难点：能灵活运用诱导公式解决三角函数相关问题
※学法指导※
学生小组一起讨论学习P26-27页
※学习过程※
一、知识链接
回忆上节课的公式二到公式四
（一）自主预习
公式五：
sin（－ ）＝_________，cos（－ ）＝_________
公式六：
sin（ ＋ ）＝__________，cos（＋ ）＝ _________
（二）合作探究
问题-：角 的终边与 有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
问题二:用单位圆与角的终边关系探究
Cos =sin =
Cos( )=
sin( )=
公式五：sin（－ ）＝_________，
cos（－ ）＝_________
公式六：sin（ ＋ ）＝__________，
cos（＋ ）＝ _________
总结：公式特点：________________ ___。
试一试：
证明：（1）Sin（ ）=-Cos
(2)Cos( )=Sin
化简：
（1）
(2已知 ，求
达标测试：1、填表：正弦余弦正切2、若角 是三角 形的一个内角，且 ，则角A＝＿＿＿。
高中数学 第一章 三角函数 课时作业9 1.3.2 三角函数诱导公式(第2课时)新人教A版必修4-新
课时作业(九) 三角函数诱导公式（第2课时）1．sin480°的值为( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32答案 C解析 sin480°＝sin(360°＋120°)＝sin120°＝sin(90°＋30°)＝cos30°＝32. 2．若sin (θ＋3π2)>0，cos(π2－θ)>0，则角θ的终边位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 sin (θ＋32π)＝－cos θ>0，∴cos θ<0.cos(π2－θ)＝sin θ>0，θ为第二象限角．3．若cos(π＋α)＝－13，那么sin(3π2－α)等于( )A ．－13B.13C.223D ．－223答案 A解析 ∵cos(π＋α)＝－13，∴cos α＝13，又∵sin(3π2－α)＝－cos α，∴sin(3π2－α)＝－13.4．已知sin (α＋π2)＝13，α∈(－π2，0)，则tan α等于( )A ．－2 2B ．2 2C ．－24D.24 答案 A解析 ∵sin (α＋π2)＝13，∴cos α＝13，∵α∈(－π2，0)，∴sin α＝－1－cos 2α＝－223，∴tan α＝sin αcos α＝－22313＝－2 2.5．在△ABC 中，下列各表达式为常数的是( ) A ．sin(A ＋B)＋sinC B ．cos(B ＋C)－cosA C ．tan A ＋B 2·tan C 2D ．cos B ＋C 2·1cos A2答案 C解析 tan A ＋B 2·tan C 2＝tan π－C 2·tan C2＝sin π－C 2cos π－C 2·sin C 2cos C 2＝cos C 2sinC 2sin C 2·cosC2＝1.6．已知cos(π6－α)＝13，则cos(56π＋α)＝()A.13 B ．－13C.23 D ．－23答案 B解析 ∵(π6－α)＋(56π＋α)＝π，∴cos(56π＋α)＝cos[π－(π6－α)]＝－cos(π6－α)＝－13，故选B.7．若f(sinx)＝3－cos2x ，则f(cosx)＝() A ．3－cos2x B ．3－sin2x C ．3＋cos2x D ．3＋sin2x 答案 C解析 f(cosx)＝f[sin(π2－x)]＝3－cos2(π2－x)＝3－cos(π－2x)＝3＋cos2x ，故选C.8．设α是第二象限角，且cos α2＝－1－cos 2（π－α2），则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 C解析 α是第二象限角，α2是第一或第三象限角．－1－cos 2（π－α2）＝－1－sin2α2＝－|cos α2|＝cos α2，∴α2为第三象限角． 9．已知tan θ＝2，则sin （π2＋θ）－cos （π－θ）sin （π2－θ）－sin （π－θ）等于( )A ．2B ．－2C ．0 D.23答案 B解析 sin （π2＋θ）－cos （π－θ）sin （π2－θ）－sin （π－θ）＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝－2.故选B.10．已知sin (α－360°)－cos(180°－α)＝m ，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于( ) A.m 2－12B.m 2＋12C.1－m 22D ．－m 2＋12答案 A解析 sin (α－360°)－cos(180°－α)＝sin α＋cos α＝m ，sin(180°＋α)·cos(180°－α)＝(－sin α)(－cos α)＝sin α·cos α ＝（sin α＋cos α）2－12＝m 2－12.11．已知cos (α＋π4)＝23，则sin(π4－α)的值等于( )A.23B ．－23C.53D ．±53答案 A解析 sin(π4－α)＝sin[π2－(π4＋α)]＝cos(π4＋α)＝23.12．已知sin(3π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin αcos α等于( )A ．－25B.25C.25或－25 D ．－15答案 A解析 解法一：∵sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2.当α在第二象限时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝255，cos α＝－55，∴sin αcos α＝－25；当α在第四象限时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－255，cos α＝55，∴sin αcos α＝－25，综上，sin αcos α＝－25，故选A.13．化简：(1)sin(－α－5π)·cos (α－π2)＝________．(2)cos （α－π2）sin （5π2＋α）sin (α－π)cos(2π－α)＝________．答案 (1)sin 2α (2)－sin 2α解析 (1)原式＝sin(－α－π)·cos(π2－α)＝sin α·sin α＝sin 2α.(2)原式＝cos （π2－α）sin （π2＋α）·[－sin(π－α)]·cos α＝sin αcos α(－sin α)·cos α＝－sin 2α.14．已知sin(π＋α)＝35，α是第四象限角，则cos (α－2π)的值是________．答案45解析 由sin(π＋α)＝35，得－sin α＝35，即sin α＝－35.∴cos α＝45，cos (α－2π)＝cos α＝45.15．已知sin αcos β＝1，则cos α＋β2＝________．答案 ±22解析 由sin αcos β＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝1，cos β＝1或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－1，cos β＝－1， ∴α＝2k π＋π2，β＝2m π或α＝2k π－π2，β＝2m π＋π，k ，m ∈Z .∴α＋β2＝(k ＋m)π＋π4，k ，m ∈Z .∴cos α＋β2＝±22.16.cos （－585°）sin495°＋sin （－570°）的值等于________． 答案2－217．如果cos α＝15，且α是第四象限的角，那么cos (α＋3π2)＝________．答案 －265解析 ∵cos α＝15，且α是第四象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－265.∴cos (α＋3π2)＝cos(π＋π2＋α)＝－cos(π2＋α)＝sin α＝－265.18．化简sin （π2＋α）cos （π2－α）cos （π＋α）＋sin （π－α）cos （π2＋α）sin （π＋α）.解析 原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.1．△ABC 中，若sin(A ＋B －C)＝sin(A －B ＋C)，则△ABC 必是( ) A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析 要判断△ABC 中，A ＋B －C ，A －B ＋C 都在(－π，π)之间，又由题设sin(A ＋B －C)＝sin(A －B ＋C)，∴A ＋B －C ，A －B ＋C∈(0，π)． 故A ＋B －C ＝A －B ＋C 或A ＋B －C ＝π－(A －B ＋C) 得：B ＝C 或A ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形，即选C.探究 (1)确定A ＋B －C ，A －B ＋C 在(0，π)内也是一个关键．(2)不能简单的由sin α＝sin β得出α＝β，α，β∈(0，π)．应有α＝β或α＋β＝π.2．设f(x)＝asin(πx ＋θ)＋bcos(πx ＋θ)，其中a ，b ，θ为非零实数． 若f(2 008)＝－1，求f(2 009)的值． 答案 13．化简：tan （3π－α）sin （π－α）sin （32π－α）＋sin （2π－α）cos （α－72π）sin （32π＋α）cos （2π＋α）.解析 tan(3π－α)＝－tan α，sin(π－α)＝sin α，sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π＋α)＝cos α，sin(32π－α)＝－cos α，cos (α－72π)＝cos(72π－α)＝cos(4π－π2－α)＝cos(π2＋α)＝－sin α，sin(32π＋α)＝－cos α，所以，原式＝－tan αsin α·（－cos α）＋－sin α·（－sin α）－cos α·cos α＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2α＝1. 4．已知cos(15°＋α)＝35，α为锐角，求tan （435°－α）＋sin （α－165°）cos （195°＋α）sin （105°＋α）的值．解析 ∵原式＝tan[（75°－α）＋360°]＋sin[（15°＋α）－180°]cos[180°＋（15°＋α）]·sin[180°－（75°－α）]＝tan （75°－α）－sin （15°＋α）－cos （15°＋α）·sin （75°－α）， ∵cos(15°＋α)＝35，α为锐角，又(15°＋α)＋(75°－α)＝90°， 可得15°＋α，75°－α均为锐角，∴sin(15°＋α)＝45，sin(75°－α)＝35，tan(75°－α)＝34，故原式＝34－45（－35）×35＝536.5．在△ABC 中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA ＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．解析 由已知得sinA ＝2sinB ，3cosA ＝2cosB ， 两等式平方相加，得 2cos 2A ＝1，cosA ＝±22. 若cosA ＝－22，则cosB ＝－32， 此时，∠A ，∠B 都为钝角，不合题意． 若cosA ＝22，则cosB ＝32. ∴∠A ＝π4，∠B ＝π6，∠C ＝7π12.规律技巧 在△ABC 中，∠A ＋∠B＋∠C＝π， ∠A 2＋∠B 2＋∠C 2＝π2， 利用诱导公式可得如下一些等式： sin(A ＋B)＝sin(π－C)＝sinC ， cos(A ＋B)＝cos(π－C)＝－cosC ， tan(A ＋B)＝tan(π－C)＝－tanC ， sin(A 2＋B 2)＝sin(π2－C 2)＝cos C2等．6．已知α为第三象限角，且f(α)＝sin （π－α）cos （2π－α）tan （－α＋32π）tan αsin （π＋α）.(1)化简f(α)；(2)若cos (α－32π)＝15，求f(α)的值；(3)若α＝－1 860°，求f(α)的值．解析 (1)f(α)＝sin α·cos α·cot α·tan α－sin α＝－cos α.(2)∵cos (α－32π)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15.∵α在第三象限，∴cos α＝－265.∴f(x)＝265.(3)∵α＝－1 860°，∴f (α)＝－cos(－1 860°) ＝－cos1 860°＝－cos60°＝－12.。
人教A版高中数学必修四1.3 三角函数的诱导公式(二)
思考3 你能根据相关的诱导公式给出下列等式的证明吗？ sin32π－α＝－cos α，cos32π－α＝－sin α，
sin32π＋α＝－cos α，cos32π＋α＝sin α. 答 sin32π－α＝sinπ＋π2－α ＝－sinπ2－α＝－cos α； cos32π－α＝cosπ＋π2－α
＝－cosπ2－α＝－sin α； sin32π＋α＝sinπ＋π2＋α ＝－sinπ2＋α＝－cos α； cos32π＋α＝cosπ＋π2＋α＝－cosπ2＋α＝sin α.
2.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关 系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是 记住这些公式的有效方法. 3.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角， 也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
A＋B－C A－B＋C 跟踪训练 3 在△ABC 中，sin 2 ＝sin 2 ，试判断
△ABC 的形状.
解 ∵A＋B＋C＝π， ∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.
A＋B－C A－B＋C 又∵sin 2 ＝sin 2 ，
π－2C π－2B ∴sin 2 ＝sin 2 ，
∴sin(π2－C)＝sin(π2－B)，∴cos C＝cos B.
反思与感悟 利用诱导公式五和诱导公式六求值时，要注意沟通 已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意π6＋α 与π3－α， π4－α 与π4＋α 等互余角关系的识别和应用.
诱导公式(二)
讲授新课
思考下列问题二： 对于任意角 ，sin与 sin(
2
)
的关系如何呢？
讲授新课
3. 诱导公式 (五)
sin(
2
) cos
cos( ) sin 2
讲授新课
4. 诱导公式(五)的结构特征
① 函数正变余，符号看象限 (把看作 锐角时); ② 实现三角函数正弦与余弦间的转化.
课堂小结
1. 熟记诱导公式五、六； 2. 公式一至四记忆口诀：函数名不变，
正负看象限；
3. 运用诱导公式可以将任意角三角函数
转化为锐角三角函数．
2cos( ) 3sin( ) 求： 的值. 4cos( ) sin(2 )
讲授新课 小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 角的三 角函数
公式一 任意正 公式一或 0o~360o间 角的三 二或四 或三 角的三角 角函数 函数
0o~90o间 角的三角 函数
查表 求值
1.3三角函数的 诱导公式
高一（1）部数学备课组
复习回顾
诱导公式(一)
sin( 2k ) sin ( k Z ) cos(2k ) cos ( k Z ) tan( 2k ) tan ( k Z )
复习回顾
诱导公式(二)
sin(180 ) sin cos(180 ) cos tan( 180 ) tan
讲授新课
思考下列问题三： 对于任意角 ，sin与 sin(
2
)
的关系如何呢？
讲授新课
5. 诱导公式 (六)
sin(
高中数学1.3.2三角函数的诱导公式(二)导学案新人教版必修4
132三角函数诱导公式（二）课前预习学案一、预习目标熟记正弦、余弦和正切的诱导公式，理解公式的由来并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简二、复习与预习1. 利用单位圆表示任意角_____________________________ 的正弦值和余弦值；2•诱导公式一及其用途：3、对于任何一个0：36C O内的角，以下四种情况有且只有一种成立（其中为锐角）：，当0°,90°180°,当90°,180°180°,当° °180 ,270360°，当270°,360°4、诱导公式二5、诱导公式三:6、诱导公式四:7、诱导公式五:8、诱导公式六:三、提出疑惑课内探究学案一、学习目标1.通过本节内容的教学，使学生进一步理解和掌握四组正弦、余弦和正切的诱导公式, 并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2•通过公式的应用，培养学生的化归思想，运算推理能力、分析问题和解决问题的能力;学习重难点：重点：诱导公式及诱导公式的综合运用•难点：公式的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透二、学习过程创设情境：问题1:请同学们回顾一下前一节我们学习的出与一门、、即土二的三角函数关系。
问题2：如果两个点关于直线y=x对称，它们的坐标之间有什么关系呢？若两个点关于y轴对称呢？探究新知：问题1：如图：设亶的终边与单位圆相交于点P,则P点坐标为_______________________ ，点P关于直线y=x的轴对称点为M则M点坐标为___________ ，点M关于y轴的对称点N,则N的坐标为_______________ / XON勺大小与◎的关系是什么呢？点N的坐标又可以怎么表示呢？问题2:观察点N的坐标，你从中发现什么规律了?1 •已知 sin(—4A. B.C.3 ，贝U sin(——4r —3)值为(例1 利用上面所学公式求下列各式的值:变式训练1:将下列三角函数化为-至尸」之间的三角函数：(1) -1(2) 一一：一「 (3)亠丄1二CfH-—— 一心3TV思考：我们学习了 -的诱导公式，还知道］的诱导公式，那么对于 -——十口2又有怎样的诱导公式呢？例2 已知方程sin( 3 ) = 2cos( 4 )，求塑)5cos (2------------------------------------------------- )的值2si n (丄 )si n()课堂练习1 •利用上面所学公式求下列各式的值:(1)l 「一.(2)2.将下列三角函数化为 「到之间的三角函数:(1 ) ■；_!匸归纳总结：课后练习与提高(2) 一上二2ntan ----(3)-(4)19/r 2沖匸〜)=迈变式训练2 :已知■- ，求in(?-的值。
三角函数的诱导公式第二课时学案
1．3诱导公式（一）教学目标（一）知识与技能目标⑴理解正弦、余弦的诱导公式．⑵培养学生化归、转化的能力．（二）过程与能力目标（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．教学重点掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式．教学难点运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．一、复习：诱导公式（一）tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(αααααα=+︒=+︒=+︒k k k 诱导公式（二）tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα=+︒-=+︒-=+︒ 诱导公式（三）tan )tan(cos )cos( sin )sin(αααααα-=-=--=-诱导公式（四）tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα-=-︒-=-︒=-︒ 对于五组诱导公式的理解 ：①可以是任意角；公式中的α②这四组诱导公式可以概括为：符号。
看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,, , ),Z (2-+-∈+k k总结为一句话：函数名不变，符号看象限练习1：P27作业1、2、3、4。
2：P25的例2：化简 二、新课讲授： 1、诱导公式（五） sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ=-=- 2、诱导公式（六） sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ-=+=+ 总结为一句话：例1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：).317sin()4( ,519cos )3( ,3631sin )2( ,53tan )1(πππ-︒例2．证明：（1）ααπcos )23sin(-=-（2）ααπsin )23cos(-=-例3．化简：.)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(αππααπαπαπαπαπαπ+-----++-的值。
诱导公式教案2
公式五
由于π/2-α=π-（π/2-α），由公式四和公式五得
公式六
公式五和公式六可以概括如下：
π/2-α和π/2+α的正弦（余弦）函数值，分别等于α的正弦（余弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
利用公式五和公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化。
公式一至六都叫做诱导公式。
学生独立完成
教
学
小
结
课后
反思
由于角π/2-α的终边与α的终边关于直线y=x对称，角π/2-α
学生回答
1
河北武中·宏达教育集团教师课时教案
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y=x对称，因此点P2的坐标（y,x）。
于是我们有
cosα=x, sinα=y; cos(π/2-α)=y, si n(π/2-α)=x
（三）诱导公式的应用
例3：
提示：3π/2-α=π+（π/2-α）
学生完成
学生板演
2
河北武中·宏达教育集团教师课时教案
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
例4：
（注意函数名及符号的变化）
（四）小结：
1.诱导公式结构特征的记忆
2 .会会利用诱导公式求任意角的三角函数值。
3.会利用诱导公式进行简单的证明，化简，求值。
河北武中·宏达教育集团教师课时教案
备课人
授课时间
课题
1.3三角函数的诱导公式（2）
课标要求
诱导公式的推导及运用诱导公式求值，化简和证明。
1.3.2 三角函数的诱导公式(二)
例2
3 π 2sin θ－2πcosθ＋2－1 tan9π＋θ＋1 求证： ＝ . 3 tanπ＋θ－1 θ＋ π 1－2cos2 2
小结 三角函数恒等式的证明过程多数是化简的过程，一般是化繁为简，可以化简一边， 也可以两边都化简，同时注意诱导公式的灵活应用，避免出现符号错误． π 11 sin2π－αcosπ＋αcos 2＋αcos 2 π－α 9 cosπ－αsin3π－αsin－π－αsin 2π＋α
问题 3
根据任意角三角函数的定义，完成下列填空： π π sin α＝ ，cos α＝ ；sin ，cos 2－α＝ 2－α＝ π ，cos 2－α＝ . .
.
π 所以，对任意角 α 都有：sin 2－α＝
π 诱导公式五： sin －α ＝ 2
π ； cos －α ＝ 2
π sin 2－α＝ 问题 1
根据上述结论，你有什么猜想？ π ；cos . 2－α＝
π 若 α 为任意角，那么 －α 的终边与角 α 的终边有怎样的对称关系？ 2 π 设角 α 与单位圆交于点 P(x，y)，则（ －α）与单位圆交于点 P′， 2 ．
问题 2
写出点 P′的坐标 P′
2
鸡西市第十九中学高一数学组
例1
π 3 π 3π 2π 已知 cos α＋6＝5，2≤α≤ 2 ，求 sinα＋ 3 的值．
小结
利用诱导公式五和诱导公式六求值时，要注意沟通已知条件中的角和问题结论中
π π π π 角之间的联系，注意 ＋α 与 －α， －α 与 ＋α 等互余角关系的识别和应用． 6 3 4 4 训练 1 π 3 π 已知 sin 6＋α＝ 3 ，求 cosα－3的值．
三角函数的诱导公式教案
三角函数的诱导公式教案【教案】三角函数的诱导公式一、教学目标1. 了解三角函数的诱导公式的概念和作用；2.掌握利用诱导公式推导三角函数恒等式的方法；3. 熟练运用诱导公式求解相关题目和实际问题。
二、教学内容1. 三角函数的诱导公式的概念和推导过程；2. 利用诱导公式推导三角函数的恒等式；3. 利用诱导公式求解相关题目和实际问题。
三、教学过程1. 导入新知识教师引导学生回顾正弦、余弦的定义，并鼓励他们尝试将正弦、余弦的变量角分别设置为60°和30°，观察结果。
2. 学习三角函数的诱导公式教师介绍诱导公式的概念，并通过具体的例子进行演示，使学生理解三角函数的诱导公式的作用和用法。
3. 推导正弦、余弦的诱导公式（1）求解正弦的诱导公式：根据正弦的定义，将变量角设置为∠A和∠B，其中∠A = 30°，∠B = 60°，则有：sin(∠A) = sin(∠B)sin(30°) = sin(60°)1/2 = √3/2（2）求解余弦的诱导公式：根据余弦的定义，将变量角设置为∠A和∠B，其中∠A = 30°，∠B = 60°，则有：cos(∠A) = cos(∠B)cos(30°) = cos(60°)√3/2 = 1/24. 运用诱导公式推导三角函数恒等式（1）推导正弦的相反角公式：根据诱导公式sin(π - θ) = sinθ，将变量角设置为θ，则有：sin(π - θ) = sinθsin(180° - θ) = sinθsinθ = sinθ（2）推导余弦的补角公式：根据诱导公式cos(π/2 - θ) = sinθ，将变量角设置为θ，则有：cos(π/2 - θ) = sinθcos(90° - θ) = sinθsi nθ = sinθ5. 拓展运用教师引导学生运用诱导公式求解相关题目和实际问题，巩固所学知识。
三角函数诱导公式 教案
第一章三角函数1.3 三角函数诱导公式教案德卧中学高中部数学组一、教学目标1.知识目标：①识记诱导公式（公式一——公式八）．②理解和掌握公式的内涵及结构特征，会运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明．2.能力目标：①通过对诱导公式八的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法．②通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式．③通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力．3.情感目标：①通过诱导公式八的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神．②通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想．二、教学重点：诱导公式八的推到及应用.三、教学难点：诱导公式结构特征的认识及应用.四、教学过程（一）复习引入师：请同学们回忆前面我们所学过的七个诱导公式生：公式一：()()().tan2tan,cos2cos,sin2sinααπααπααπ=+=+=+kkk期中：Zk∈.公式二：()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+ 公式三：()()().tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=-公式四：()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=- 公式五：.sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-公式六：.sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+ 公式七：()()().tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin ααπααπααπ-=-=--=-k k k 其中Z k ∈（二）探究新知我们通过观察公式一到公式七的结构特征我们可以得出当Z n n k ∈+=,12时，ααπααπsin 2cos ,cos 2sin ±=⎪⎭⎫ ⎝⎛±±=⎪⎭⎫ ⎝⎛±k k ， 当Z n n k ∈=,2时，ααπααπcos 2cos ,sin 2sin ±=⎪⎭⎫ ⎝⎛±±=⎪⎭⎫⎝⎛±k k ，其中απ±2k 的终边所在象限决定函数值的符号，判断απ±2k 所在象限时，无论α为何值我们都将其看作是锐角。
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§1．3 三角函数的诱导公式 （第二课时） 公式五 六
【学习目标、细解考纲】 【知识梳理、双基再现】
1、 公式五
2、 公式六
公式五～六可以概括如下:
3、2
π
α±的正弦（余弦）函数值，分别
等于 ，前面加上一个 。
利用公式五或公式六，可以实现 与 的相互转化。
【小试身手、轻松过关】
4、cos(π+α)= —21，
322
π
απ<<,sin(π2-α) 值为（ ）
A. 23
B. 21
C. 23±
D. —2
3
5、若sin （π＋α）＋sin （－α）=－m , 则sin （3π＋α）＋2sin （2π－α）等于（ ） A ．－23 m B ．－32 m C ．23 m D ．3
2 m
6、已知sin(4π+α)=2
3，则sin(43π-α)值为 （ ） A.
21 B. —21 C. 23 D. —2
3 7、cos
π7 ＋cos 2π7 ＋cos 3π7 ＋cos 4π7 ＋cos 5π7
＋cos 6π
7
= ．
【基础训练、锋芒初显】
8、如果).cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是( ) A ．)(]22
,
22
[Z k k k ∈++-
ππ
ππ
B ．)()
22
3
,22(Z k k k ∈++ππππ
C ．)(]22
3
,22[
Z k k k ∈++ππππ
D ．)()2,2(Z k k k ∈++-ππππ
9、已知,)15
14
tan(a =-π那么=︒1992sin A .
2
1||a
a +
B ．
2
1a
a +
C ．2
1a
a +-
D ．2
11a
+-
10、设角则,6
35
πα-
= )
(cos )sin(sin 1)
cos()cos()sin(22
2απαπααπαπαπ+--+++--+的值( ） A ．
3
3
B ．－
3
3 C ．3 D ．－3
11、若,3cos )(cos x x f =那么)30(sin ︒f 的值为 A ．0
B ．1
C ．－1
D ．
2
3 12、在△ABC 中，)sin()sin(C B A C B A +-=-+ 若，则△ABC 必是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰或直角三角形
D ．等腰直角三角形 13、若sin （125°－α）= 12
13
,则sin （α＋55°）=
．
14、设,1234tan a =︒那么)206cos()206sin(︒-+︒- 的值为 ． 15、已知 3)tan(=+απ,
求2cos()3sin()4cos()sin(2)
παπααπα--+-+-的值．
【举一反三、能力拓展】
16、若23
cos α=，α是第四象限角，
求
sin(2)sin(3)cos(3)
cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．
17、已知αtan 、αcot 是关于x 的方程
0322=-+-k kx x 的两实根，且,2
7
3παπ<< 求)sin()3cos(απαπ+-+的值.（注：αcot =1/αtan ）
18、记4)cos()sin()(++++=βπαπx b x a x f ，（a 、
b 、α、β均为非零实数），若5)1999(=f ，求)
2000(f 的值．
【名师小结、感悟反思】
1、 利用诱导公式五、六时注意“函数名改变，符号看象
限”。
在求有条件的三角函数值时，注意条件的简化以便与所求式一致。
i
n c o o
t
t
c
o
s
k
=,273παπ<<所以0k >. 所以1sin cos k
αα=.
21tan cot tan 31tan k αααα⋅=⨯
=-=，得2k = 2
2cos )12sin cos 1110k
αααα-=-=-=-=，
所sin cos 0αα-=
)sin()sin cos 0παπααα+-+=-=．
、
()()()42000cos 2000sin 2000++++=απαπb a
()[]()[]41999cos 1999sin ++++++αππαππb a
()()841999cos 1999sin +-+-+-απαπb a
()381999=+-=f。