中考数学黄金知识点系列专题图形的相似6

【点睛】本题考查了位似的作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
【举一反三】
（ 2016 湖北十堰第 5 题）如图， 以点 O 为位似中心， 将△ ABC 缩小后得到△ A ′ B′C′，已知 OB=3OB ′，
则△ A′ B′ C′与△ ABC 的面积比为（
）
A ． 1： 3 B． 1： 4 C． 1： 5 D ． 1： 9 【答案】 D.
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【答案】（1）详见解析； （ 2）① BP＝ 5 ；② 7 1 .
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∵∠ BPM ＝∠ CP0A ，∠ BMP＝∠ CAP0，
∴△ AP0C∽△ MPB ，∴ AP0 P0C ， MP BP
名师点睛☆典例分类
考点典例一、比例的基本性质、黄金分割
b5
ab
【例 1】已知
，则
的值是（
）
a 13 a b
2
3
9
4
A．
B．
C．
D．
3
2
4
9来自百度文库
【答案】 D ．
故选 D ． 考点：比例的性质． 【点睛】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形． 【举一反三】
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专题 46 图形的相似
聚焦考点☆温习理解
1、比和比例的有关概念：
（ 1）表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例
.
ac
（ 2）第四比例项：若
或 a:b=c:d，那么 d 叫作 a、 b、c 的第四比例项 .
bd
ab
（ 3）比例中项：若
试题解析：⑴证明：作 OF ⊥ AB 于 F
∵ AO 是∠ BAC 的角平分线，∠ ACB=90 o ∴ OC=OF ∴ AB 是⊙ O 的切线
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易证 Rt△ B0F∽ Rt△ BAC
BF BO OF
得
，
BC BA AC
的阴影三角形与原三角形不相．似．．的是（
）
第 15 题图
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【答案】 C.
【解析】
试题分析：只要三个角相等，或者一角相等，两边成比例即可。选项Ｃ项不能判定两个三角形相似，故答
案选 C.
考点：相似三角形的判定 .
5. （ 2016 新疆生产建设兵团第 7 题） 如图，在△ ABC 中， D、 E 分别是 AB 、AC 的中点，下列说法中不正
相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比．
5．相似三角形的判定
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边 (或两边的延长线 )相交，所截得的三角形与原三角形相似；
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(2)两角对应相等，两三角形相似；
(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
确的是（
）
AD AE
A ． DE= BC B．
C．△ ADE ∽△ ABC D ． S△ ADE ： S△ ABC =1 ： 2
AB AC
【答案】 D.
考点：相似三角形的判定及性质 .
6. （ 2016 湖北随州第 7 题） 如图， D 、 E 分别是△ ABC 的边 AB 、 BC 上的点，且 DE ∥ AC，AE 、 CD 相交
1
为位似中心，相似比为 3，把△ ABO 缩小，则点 A 的对应点 A′的坐标是 (
)
A ．（― 1，2）
B．（― 9， 18）
C．（― 9， 18）或（ 9，― 18）
D ．（― 1， 2）或（ 1，― 2）
【答案】 D.
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∴ MP?
P0C＝
1 2
P0 C2
( 3) 2 (1 x)2 2
AP0 ?BP＝ x（ 3 － 1＋ x），
解得 x＝ 7 3
∴ BP＝ 3 － 1＋ 7 3 ＝ 7 1 ．
考点典例三、相似三角形综合问题 【例 3】 （ 2016 湖北十堰第 24 题） 如图 1， AB 为半圆 O 的直径， D 为 BA 的延长线上一点， DC 为半圆 O 的切线，切点为 C． （ 1）求证：∠ ACD= ∠B； （ 2）如图 2，∠ BDC 的平分线分别交 AC， BC 于点 E ，F； ①求 tan∠ CFE 的值； ②若 AC=3 ，BC=4 ，求 CE 的长．
设 BO =y BF=z
y
z
3
z
y
4
3
4
即 4z=9＋ 3y， 4y=12＋ 3z
27
解得 z=
7
25
y=
7
∴ AB= 27 ＋ 4= 100
7
7
考点：圆的综合题 .
考点典例四、相似多边形与位似图形
【例 4】（ 2016 辽宁营口第 15 题） 如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△
∴∠ CEF= ∠CFE=45 °，
∴ tan∠ CFE=tan45 ° =1 ．
②在 RT△ ABC 中，∵ AC=3 ， BC=4 ，
由勾股定理得 AB=5 ，
∵∠ CDA= ∠ BDC ，∠ DCA= ∠ B，
∴△ DCA ∽△ DBC ，
DC AC DA
∴
DB BC CD
∵ CD 2=DA ?DB ，
2
分割点有两个 .
2.比例的基本性质及定理
a
（ 1）
b
a
（ 2）
b
a
（ 3）
b
c ad bc
d c ab c d
d
b
d
cL
m (b
dL
d
n
3.平行线分线段成比例定理
n 0)
a cL m a bdL n b
(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
.
(2)平行于三角形一边截其他两边 (或两边的延长线 )，所得的对应线段成比例；
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AE
明△ ACE ∽△ ADC 可得
CE = tanD ＝ 1 ；（ 3）先由勾股定理求得
AC CD
2
BF BO OF
得
，设 BO=y ，BF=z ，列二元一次方程组即可解决问题
BC BA AC
AE 的长， 再证明△ B0F ∽△ BAC， .
【举一反三】
（ 2016 湖北鄂州第 22 题）（本题满分 10 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ ACB＝ 90o，AO 是△ ABC 的角平分
线。以 O 为圆心， OC 为半径作⊙ O。
（ 1）（ 3 分 ）求证： AB 是⊙ O 的切线。
（ 2）（ 3 分）已知
AO 交⊙ O 于点
E，延长
AO 交⊙ O 于点
DF EF
D．
BF FC
【解析】
AD
试题分析： ∵ DE ∥ BC，∴
AB
AE
（平行线分线段成比 例） .故选 A.
AC
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考点：平行线分线段成比例 .
2. （ 2016 山东东营第 8 题） 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（― 3， 6）、 B（― 9，一 3），以原点 O
xy
若 4y-3x=0，则
y 【答案】 7 .
3
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考点：比例的性质． 考点典例二、三角形相似的性质及判定 【例 2】 （ 2016 湖南怀化第 21 题） 如图，△ ABC 为锐角三角形， AD 是 BC 边上的高，正方形 EFGH 的一 边 FG 在 BC 上，顶点 E、 H 分别在 AB 、 AC 上，已知 BC=40cm ， AD=30cm ． （ 1）求证：△ AEH ∽△ ABC ； （ 2）求这个正方形的边长与面积．
3
，设 DC=3k ，DB=4k ，
4
∴ 9k2= （ 4k﹣ 5）？4k，
20
∴ k= ，
7
60
80
∴ CD= ， DB= ，
7
7
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考点：切线的性质；相似三角形的判定和性质；勾股定理
.
【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识的综合运用．
7．相似多边形的性质
(1)相似多边形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
8．位似图形
(1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似
图形．这个点
叫做位似中心．
(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
或 a:b=b:c， b 叫作 a， c 的比例中项 .
bc
（ 4）黄金分割： 把一条线段 （ AB ）分割成两条线段， 使其中较长线段 （ AC）是原线段 AB 与较短线段 （ BC）
的比例线段，就叫作把这条线段黄金分割
51
.即 AC2=AB ·BC， AC=
AB 0.618 AB ；一条线段的黄金
(3)如果一条直线截三角形的两边 (或两边的延长线 )，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的
第三边；
(4)平行于三角形的一边，并且和其他两边 (或两边的延长线 )相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形
三边对应成比例．
4.相似三角形 .
相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形
考点：位似变换．
课时作业☆能力提升
1. （2016 黑龙江哈尔滨第 9 题） 如图，在△ ABC 中， D 、E 分别为 AB、AC 边上的点， DE ∥ BC，BE 与 CD
相交于点 F，则下列结论一定正确的是（
）
A ． AD
AE
DF
B．
AE
AB AC
FC EC
【答案】 A.
AD DE
C．
DB BC
ABC 的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点
O 为位似中心，画△ A1B1C1，使它与△ ABC 的相似
比为 2，则点 B 的对应点 B1 的坐标是
．
【答案】（4，2）或（﹣ 4，﹣ 2）．
考点：作图 -位似变换．
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考点：位似变换 .
3. （ 2016 湖南湘西州第 17 题） 如图，在△ ABC 中， DE ∥BC， DB=2AD ，△ ADE 的面积为 1，则四边形
DBCE 的 面积为（
）
A ． 3 B． 5 C． 6 D． 8 【答案】 D ．
考点：相似三角形的判定与性质．
4. （ 2016 河北第 15 题） 如图，△ ABC 中，∠ A=78 °， AB=4 ，AC=6. 将△ ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下
(4)三边对应成比例，两三角形相似；
(5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；
(6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．
6．相似三角形性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比
等于相似比，面积比等于相似比的平方．
120
14400
【答案】（1）详见解析； （ 2）正方形 EFGH 的边长为 7 cm，面积为 49 cm2．
【解析】
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考点：相似三角形的判定与性质． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力． 【举一反三】 （ 2016 湖北武汉第 23 题）（本题 10 分）在△ ABC 中， P为边 AB 上一点． (1) 如图 1，若∠ ACP＝∠ B，求证： AC2＝ AP· AB； (2) 若 M 为 CP 的中点， AC＝ 2， ① 如图 2，若∠ PBM＝∠ ACP， AB＝ 3，求 BP 的长； ② 如图 3，若∠ ABC＝45°，∠ A＝∠ BMP＝ 60°，直接写出 BP 的长．
12
【答案】（1）详见解析； （ 2） .
7
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（ 2）解：①∵∠ CEF= ∠ ECD+ ∠CDE ，∠ CFE= ∠ B+ ∠ FDB ，
∵∠ CDE= ∠ FDB ，∠ ECD= ∠ B，
∴∠ CEF= ∠CFE ，∵∠ ECF=90 °，
D，
tanD＝ 1 ，求
AE
的值。
2
AC
（ 3）（ 4 分）在（ 2）的条件下，设⊙ O 的半径为 3，求 AB 的长。
【答案】 (1)详见解析；（ 2） 1 ；（ 3） 100 .
2
7
【解析】
试题分析：（ 1）过 O 作 OF ⊥AB 于 F，由角平分线上的点到角两边的距离相等即可得证；
（ 2）连接 CE，证