中考数学黄金知识点系列专题图形的相似6
初中数学易考知识点平面几何中的相似与全等
初中数学易考知识点平面几何中的相似与全等相似与全等是初中数学中的重要知识点，它们在平面几何中具有广泛应用。
相似与全等的概念和性质是理解和解决相关问题的基础。
本文将介绍相似与全等的定义、判定方法以及应用，帮助初中生更好地掌握这一知识点。
一、相似的定义及性质1. 相似的定义：在平面几何中，如果两个图形的形状相同但大小不同，那么我们称它们为相似图形。
两个相似图形的对应边成比例，对应角相等。
2. 相似的性质：（1）对应角相等：两个相似图形的对应角相等。
（2）对应边成比例：两个相似图形的对应边的比例相等。
二、判断相似的方法1. AA相似判定法：若两个三角形的对应角分别相等，则这两个三角形相似。
2. SAS相似判定法：若两个三角形的一对对应边成比例，且夹角相等，则这两个三角形相似。
3. SSS相似判定法：若两个三角形的三对对应边成比例，则这两个三角形相似。
三、相似三角形的性质与定理1. 直角三角形的性质：直角三角形的斜边和斜边上的高（即垂直于斜边的线段）相等时，它们相似。
2. 三角形的中线定理：三角形中线的长度相等时，它们相似。
3. 正方形的性质：正方形的每条边都相等且对角线相等，所以它的四个角都是直角。
正方形与正方形相似。
四、全等的定义及性质1. 全等的定义：在平面上，如果两个图形的大小形状完全相同，那么我们称它们为全等图形。
全等图形的对应边和对应角全部相等。
2. 全等的性质：（1）对应角相等：两个全等图形的对应角全部相等。
（2）对应边相等：两个全等图形的对应边全部相等。
五、判断全等的方法1. SSS全等判定法：若两个三角形的三对对应边全部相等，则这两个三角形全等。
2. SAS全等判定法：若两个三角形的一对对应边相等，且夹角相等，则这两个三角形全等。
3. ASA全等判定法：若两个三角形的一对对应角相等，且夹边相等，则这两个三角形全等。
4. RHS全等判定法：若两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，则这两个直角三角形全等。
中考数学知识点总结图形的相似
中考数学知识点总结图形的相似在中考数学中，图形的相似是一个重要的知识点。
它不仅在几何题目中频繁出现，也是解决实际问题的有力工具。
下面就让我们一起来详细了解一下图形相似的相关知识。
一、相似图形的概念相似图形是指形状相同，但大小不一定相同的图形。
比如说，两个正方形，它们的边长可能不同，但形状是一样的，这就是相似图形。
相似多边形对应角相等，对应边的比相等。
如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形就是相似多边形。
二、相似三角形1、相似三角形的判定（1）两角分别相等的两个三角形相似。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
（3）三边成比例的两个三角形相似。
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
（1）相似三角形对应边的比等于相似比。
（2）相似三角形对应角相等。
（3）相似三角形周长的比等于相似比。
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
三、相似三角形的应用1、测量高度在实际生活中，我们常常需要测量一些物体的高度，比如旗杆、建筑物等。
这时就可以利用相似三角形的知识来解决。
通过测量一些已知长度的线段和对应的角度，构建相似三角形，从而求出物体的高度。
2、测量距离相似三角形还可以用于测量距离。
比如，在河的一岸要测量到对岸某一点的距离，可以在这一岸选取两个点，构建相似三角形，通过测量已知边的长度和角度，来计算出河的宽度。
四、位似图形1、位似图形的概念如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
（2）位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上。
3、位似图形的作图在位似图形的作图中，要先确定位似中心，然后根据位似比确定对应点的位置，最后连接各点得到位似图形。
九年级图形的相似性知识点
九年级图形的相似性知识点九年级的数学课程中，图形的相似性是一个重要的知识点。
相似性是指两个或多个图形在形状上相似的性质。
在学习相似性的过程中，我们将会了解到比例、角度、边长等概念的应用，进一步提高我们的几何思维能力。
一、比例和比例关系相似性的关键之一是比例。
比例在几何学中的应用非常广泛，它在描述相似图形的关系时起着重要的作用。
比例可以理解为两个或多个量之间的比较，通常可以用两个数字或表达式之间的比值表示。
在相似图形中，我们可以通过比较两个图形的对应边长的比例来判断它们是否相似。
例如，设有两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应边长的比例相等，即AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形就是相似的。
通过比较他们的边长比例，我们可以得出它们形状相似的结论。
二、角度的对应关系除了比例关系外，角度的对应关系也是判断图形相似的重要依据。
两个相似的图形，其对应的内角度是相等的。
也就是说，如果两个三角形ABC和DEF是相似的，那么它们的对应内角度A、B、C和D、E、F是相等的。
这个性质在实际问题中非常有用。
通过测量两个图形的内角度的大小，我们可以判断它们是否相似，从而在解决几何问题时得到更精确的结果。
三、比例尺在实际应用中，我们经常会遇到需要进行测量并绘制缩放图形的情况。
比例尺是一种常用的工具，它能够将实际尺寸与绘制尺寸之间的比例关系呈现出来。
比例尺通常以分数的形式表示，例如1/50或1:50。
意思是1个单位的实际长度对应于绘制的50个单位长度。
通过使用比例尺，我们可以将实际的图形缩小或放大到所需的大小，以便更好地进行观察和研究。
四、图形的相似性应用图形的相似性在实际生活中有着广泛的应用。
举个例子，我们常常看到地图上的图形，它们是按比例绘制的，以便更直观地显示地理信息。
此外，相似性还被应用在建筑、工程、艺术等领域。
例如，在建筑设计中，相似三角形的原理被广泛运用。
建筑师可以通过相似性来计算建筑物的比例，以便在保持整体平衡和美观的同时，满足功能和结构的要求。
九年级数学相似的知识点
九年级数学相似的知识点
1. 相似三角形：了解相似三角形的定义和性质，掌握判定两个三角形是否相似的几何条件，了解相似三角形的比例关系以及应用。
2. 相似多边形：了解相似多边形的定义和性质，掌握判断两个多边形是否相似的几何条件，了解相似多边形的比例关系以及应用。
3. 相似比例：学习相似比例的定义，掌握相似比例的计算和应用，了解相似比例与比例的关系。
4. 相似形状的尺寸关系：通过相似性的特点和比例关系，掌握计算相似形状的尺寸关系，实际应用中解决实际问题。
5. 相似图形的面积和体积：了解相似图形的面积和体积之间的关系，掌握计算相似图形的面积和体积的方法。
6. 相似三角形的三线合一定理：了解相似三角形的三线合一定理，掌握计算相似三角形的高、中线、角平分线以及重心、垂心和外心的方法。
7. 三角形的判定：了解判定三角形是否相似的几何条件，掌握相似三角形中角的性质和边的关系，应用相似三角形解决实际问题。
8. 相似函数的性质：了解相似函数的定义和性质，掌握相似函数的图像特点和变化规律，应用相似函数解决实际问题。
9. 相似变换：了解平移、旋转、翻折和缩放等相似变换的性质，掌握相似变换的基本概念、性质和运算法则，应用相似变换解决实际问题。
10. 相似图形中的角度关系：通过相似图形的角度关系，学习解决相似图形中的角度问题。
以上是九年级数学中与相似相关的知识点，希望对你有帮助！。
九年级数学相似的知识点
九年级数学相似的知识点1. 相似三角形：相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
相似三角形的性质包括对应角相等、对应边成比例等。
通过相似三角形，可以解决一些几何问题，如计算不可测量的长度或距离。
2. 比例与相似：比例是指两个量之间的相对关系。
在相似三角形中，对应边的长度之比等于对应角的边之比。
比例与相似问题常用于解决物体的放大缩小、图形的变换等。
3. 相似多边形：相似多边形是指具有相同形状但大小不同的多边形。
相似多边形的性质包括对应角相等、对应边成比例等。
通过相似多边形，可以解决一些面积和体积比较的问题。
4. 黄金分割：黄金分割是指一条线段分割成两部分，较长部分与整体的比例等于整体与较短部分的比例。
黄金分割在艺术、建筑、设计等领域中广泛应用。
5. 图形的相似性变换：图形的相似性变换是指通过平移、旋转、镜像和缩放等变换操作使两个图形成为相似图形。
相似性变换常用于解决图形的构造、定位和证明问题。
6. 相似三角形的勾股定理：相似三角形的勾股定理是指在两个相似三角形中，两个直角边的平方的比等于两个斜边的平方的比。
7. 外接圆和内切圆：在相似三角形和相似多边形中，外接圆和内切圆分别是能够通过所有顶点（或顶点所在的边）的圆和能够被所有边（或边上的顶点）所切的圆。
外接圆和内切圆之间存在着一定的关系，如半径比例等。
8. 相似三角形的角平分线定理和中线定理：相似三角形的角平分线定理是指两个相似三角形中，两个对应角的角平分线也相似；相似三角形的中线定理是指两个相似三角形中，两个对应中位线也相似。
这些是九年级数学中与相似有关的知识点，希望对你有帮助！。
九年级数学相似形知识点
九年级数学相似形知识点相似形是中学数学中的一个重要概念，在几何学中，它是指具有相同形状但大小不同的两个图形。
在九年级数学学习中，相似形的知识点成为了一个必然要掌握的内容。
在这篇文章中，我们将深入探讨九年级数学相似形的各个知识点，帮助同学们更好地理解和应用。
一、相似形的定义和性质相似形的定义是指形状相似、对应边成比例的两个图形。
对于两个相似形，他们的对应边之间的比值叫做相似比，记作k。
相似比的性质有两个重要的结论：一是对应角相等；二是相似形的周长、面积之比等于相似比的平方。
二、相似三角形的判定方法相似三角形的判定方法有以下几种：一是AAA判定方法，即两个三角形的对应角相等；二是AA判定方法，即两个三角形有一个对应角相等，并且有一个对应边成比例；三是SAS判定方法，即两个三角形有一个对应边成比例，并且有两个对应角相等；四是SSS判定方法，即两个三角形的对应边成比例。
三、相似三角形的性质和应用相似三角形有以下几个重要的性质：一是对应角相等；二是对应边成比例；三是面积之比等于边长之比的平方。
这些性质的运用在数学问题中有很多实际应用，比如解决高空建筑物的阴影问题、计算不规则图形的面积等。
四、相似形的测量问题在相似形的测量问题中，我们可以利用相似三角形的性质来求解各种未知量。
在实际问题中，我们可以通过测量已知长度和角度，来计算出未知长度和角度，进而解决一些实际应用问题。
五、相似形的画图问题在相似形的画图问题中，我们常常需要利用已知的相似形，根据给定的条件来画出新的相似形。
利用相似形的性质，我们可以轻松地完成这些画图问题，从而解决实际问题。
六、几何变换与相似形相似形与几何变换之间有一定的联系。
几何变换是指平移、旋转、翻转和放缩等操作，而相似形正是通过放缩操作而实现的。
理解几何变换与相似形的关系，对于理解相似形的性质和应用有很大帮助。
七、相似形的应用相似形的应用非常广泛，不仅仅局限在数学课本上。
在日常生活中，我们可以通过相似形的性质来解决各种测量问题，比如测算高楼大厦的高度、计算遥控器的控制范围等。
初三数学图形的相似知识精讲
初三数学图形的相似【本讲主要内容】图形的相似包括比例线段，比例性质，相似图形，相似多边形，相似多边形的性质，相似比。
【知识掌握】【知识点精析】1. 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作abcd=或a：b＝c：d。
线段a、d叫做比例外项，线段b、c叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项。
如果abbc=或a：b＝b：c，那么线段b叫做线段a、c的比例中项。
2. 比例性质（1）比例的基本性质如果a：b＝c：d，那么ad＝bc；如果ad＝bc，那么a：b＝c：d。
特殊地，如果a：b＝b：c，那么b2＝ac；如果b2＝ac，那么a：b＝b：c。
（2）合比性质如果abcd=，那么a bbc dd+=+；（3）分比性质如果abcda bbc dd=-=-，那么。
（4）等比性质如果abcdefmnb d f n===++++≠……（…）那么a c e mb d f nab ++++++++=……3. 形状相同的图形叫做相似图形。
4. 形状相同的多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。
5. 相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。
6. 如果两个多边形对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。
【解题方法指导】例1. 已知：abcd==23，求a cb d++=___________。
分析：利用等比性质求得。
解：∵abcd =∴a cb d a b++= 又∵a b =23∴a c b d ++=23评析：等比性质可灵活运用。
例2. 已知a b m n a b a b=+-=，则____________。
分析：可由合比性质及分比性质求得。
解：∵a b m n= ∴a b b m n n+=+ a b b m n n-=- ∴a b b a b b m n n m n n+÷-=+÷- ∴a b a b m n m n+-=+- 评析：这里是由合比性质及分比性质相除得到的，体现了它的活用。
备战中考数学分点透练真题图形的相似(解析版)
第十六讲图形的相似命题点1 比例线段类型一比例的性质1．（2020 滦州）已知，则＝．【答案】【解答】解：设＝＝＝k≠0，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，＝＝；故答案为：．类型二黄金分割2．（2021•百色）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝．【答案】3﹣【解答】解：∵AB＝AC＝2，∴∠B＝∠ACB＝72°，∠A＝36°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝36°，∴∠A＝∠ACD，∴AD＝CD，∵∠CDB＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝72°，∴∠CDB＝∠B，∴BC＝CD，∴BC＝AD，∵∠B＝∠B，∠BCD＝∠A＝36°，∴△BCD∽△BAC，∴BC：AB＝BD：BC，∴AD：AB＝BD：AD，∴点D是AB边上的黄金分割点，AD＞BD，∴AD＝AB＝﹣1，∴BD＝AB﹣AD＝2﹣（﹣1）＝3﹣，故答案为：3﹣．类型三平行线分线段成比例3．（2021•郴州）如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝m．【答案】1.2【解答】解：∵BB1∥CC1，∴＝，∵AB＝BC，∴AE＝EF，同理可得：AE＝EF＝FD1，∵AE＝0.4m，∴AD1＝0.4×3＝1.2（m），故答案为：1.2．命题点2 相似的基本性质4．（2019•重庆）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解答】解：∵△ABO∽△CDO，∴＝，∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，∴＝，解得：AB＝4．故选：C．5.（2020•铜仁市）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（）A．3B．2C．4D．5【答案】A【解答】解：∵△FHB和△EAD的周长分别为30和15，∴△FHB和△EAD的周长比为2：1，∵△FHB∽△EAD，∴＝2，即＝2，解得，EA＝3，故选：A．命题点3 相似三角形的判定与性质类型一A字型6．（2021•巴中）如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且＝＝，下列结论正确的是（）A．DE：BC＝1：2B．△ADE与△ABC的面积比为1：3C．△ADE与△ABC的周长比为1：2D．DE∥BC【答案】D【解答】解：∵＝＝，∴AD：AB＝AE：AC＝1：3，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC＝1：3，故A错误；∵△ADE∽△ABC，∴△ADE与△ABC的面积比为1：9，周长的比为1：3，故B和C错误；∵△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC．故D正确．故选：D．7．（2021•遂宁）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（）A．12cm2B．9cm2C．6cm2D．3cm2【答案】B【解答】解：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，且＝，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE的面积：△ABC的面积＝1：4，∴△ADE的面积：四边形BDEC的面积＝1：3，∵△ADE的面积是3cm2，∴四边形BDEC的面积是9cm2，故选：B．8．（2020•安徽）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cos A＝，则BD的长度为（）A．B．C．D．4【答案】C【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，cos A＝，∴AB＝，∴，∵∠DBC＝∠A．∴cos∠DBC＝cos∠A＝，∴，故选：C．9．（2021•湘潭）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：，使得△ADE与△ABC相似．（任意写出一个满足条件的即可）【答案】∠ADE＝∠C（答案不唯一）．【解答】解：添加∠ADE＝∠C，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．10．（2021•南充）如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝AB＝3BD，则AD：AC的值为．【答案】【解答】解：∵BC＝AB＝3BD，∴，∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBA，∴,∴AD:AC＝,故答案为：．11．（2021•菏泽）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH 和四边形HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△AEM 与四边形BCME的面积比为．【答案】1：3【解答】解：∵四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，∴EF＝EH＝HM，EM∥BC，∴△AEM∽△ABC，∴，∴，∴EF＝，∴EM＝5，∵△AEM∽△ABC，∴＝（）2＝，∴S四边形BCME＝S△ABC﹣S△AEM＝3S△AEM，∴△AEM与四边形BCME的面积比为1：3，故答案为：1：3．12．（2021•玉林）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．（1）求证：△DFC∽△AED；（2）若CD＝AC，求的值．【答案】（1）略（2）．【解答】（1）证明：∵DF∥AB，DE∥BC，∴∠DFC＝∠ABF，∠AED＝∠ABF，∴∠DFC＝∠AED，又∵DE∥BC，∴∠DCF＝∠ADE，∴△DFC∽△AED；（2）∵CD＝AC，∴＝由（1）知△DFC和△AED的相似比为：＝，故：＝（）2＝（）2＝．13．（2020•上海）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF．【答案】（1）略（2）略【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠D＝∠B，∵DF＝BE，∴△CDF≌△CBE（SAS），∴∠DCF＝∠BCE，∵CD∥BH，∴∠H＝∠DCF，∴∠H＝∠BCE，∵∠B＝∠B，∴△BEC∽△BCH．（2）证明：∵BE2＝AB•AE，∴，∵CB∥DG，∴＝，∴＝，∵BC＝AB，∴AG＝BE，∵△CDF≌△CBE，∴DF＝BE，∴AG＝DF．类型二8字型14．（2020•盐城）如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．则的值为．【答案】2【解答】解：∵BC∥DE，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，∴AB•DE＝16，∵AB+DE＝10，∴AB＝2，DE＝8，∴，故答案为：2．15．（2021•云南）如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点F．若BF＝6，则BE的长是．【答案】9【解答】解：如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，∴DE∥AB，且DE＝AB，∴＝＝，∵BF＝6，∴EF＝3．∴BE＝BF+EF＝9．故答案为：9．16．（2021•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为．【答案】．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB，∴AC∥MN∥BD，∠CNM＝∠CBD，∴∠MAC＝∠MBD，∠MCA＝∠MDB＝∠CMN，∴△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，∴，，∴，∴，∴MN＝．故答案为：．17．（2021•连云港）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3FE，则＝．【答案】【解答】解：如图，∵BE是△ABC的中线，∴点E是AC的中点，∴＝，过点E作EG∥DC交AD于G，∴∠AGE＝∠ADC，∠AEG＝∠C，∴△AGE∽△ADC，∴，∴DC＝2GE，∵BF＝3FE，∴，∵GE∥BD，∴∠GEF＝∠FBD，∠EGF＝∠BDF，∴△GFE∽△DFB，∴＝＝，∴，∴＝，故答案为：．18．（2020•攀枝花）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是△ABC的重心．求证：AD＝3GD．【答案】略【解答】证明：连接DE，∵点G是△ABC的重心，∴点E和点D分别是AB和BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC且DE＝AC，∴△DEG∽△ACG，∴，∴，∴，∴AD＝3DG，即AD＝3GD．19．（2021•长春）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点E在边AD上，AE＝AD，连结BE交AC于点M．（1）求AM的长．（2）tan∠MBO的值为．【答案】（1）1 （2）【解答】解：（1）在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴△AEM∽△CBM，∴＝，∵AE＝AD，∴AE＝BC，∴＝＝，∴AM＝CM＝AC＝1．（2）∵AO＝AC＝2，BO＝BD＝4，AC⊥BD，∴∠BOM＝90°，AM＝OM＝AO＝1，∴tan∠MBO＝＝．故答案为：．20．（2020•眉山）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点B、C、E三点在同一直线上，连接BD，AD，BD交AC于点F．（1）若AD2＝DF•DB，求证：AD＝BF；（2）若∠BAD＝90°，BE＝6．①求tan∠DBE的值；②求DF的长．【答案】（1）略（2）tan∠DBE＝＝，DF＝【解答】（1）证明：∵AD2＝DF•DB，∴＝，∵∠ADF＝∠BDA，∴△ADF∽△BDA，∴∠ABD＝∠F AD，∵△ABC，△DCE都是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠BAF，∴△ADC≌△BF A（ASA），∴AD＝BF．（2）①解：过点D作DG⊥BE于G．∵∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，∵∠ACD＝60°，∴∠ADC＝90°，∴DC＝AC，∴CE＝BC，∵BE＝6，∴CE＝2，BC＝4，∴CG＝EG＝1，BG＝5，DG＝，∴tan∠DBE＝＝．②在Rt△BDG中，∵∠BGD＝90°，DG＝，BG＝5，∴BD＝＝＝2，∵∠ABC＝∠DCE＝60°，∴CD∥AB，∴△CDF∽△ABF，∴＝＝，∴＝，∴DF＝类型三旋转型21．（2021•黄冈）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△DEC；（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的长．【答案】（1）略（2）CE＝9．【解答】证明：（1）∵∠BCE＝∠ACD．∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，∴∠DCE＝∠ACB，又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC；（2）∵△ABC∽△DEC；∴＝（）2＝，又∵BC＝6，∴CE＝9．22．（2019•凉山州）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2＝AD•CD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．【答案】（1）略（2）MN＝【解答】证明：（1）∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，∴△ABD∽△BCD∴∴BD2＝AD•CD（2）∵BM∥CD∴∠MBD＝∠BDC∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA∴BM＝MD＝AM＝4∵BD2＝AD•CD，且CD＝6，AD＝8，∴BD2＝48，∴BC2＝BD2﹣CD2＝12∴MC2＝MB2+BC2＝28∴MC＝2∵BM∥CD∴△MNB∽△CND∴，且MC＝2∴MN＝类型四三垂直型23．（2021•台州）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝．【答案】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝5，∠ABC＝∠BAD＝90°，∵AE＝DG＝1，∴AG＝4，∵AF⊥EG，∴∠BAF+∠AEG＝90°＝∠BAF+∠AFB，∴∠AFB＝∠AEG，∴△ABF∽△GAE，∴，∴，∴BF＝，故答案为．类型五网络中相似三角形的判定与性质24．（2020•昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】C【解答】解：如图，所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个．故选：C．25.（2021•临沂）如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（）A．B．C．2D．3【答案】B【解答】解：方法一：作CD⊥BD于点D，作AE⊥BD于点E，如右图所示，则CD∥AE，∴△BDC∽△BEA，∴，∴＝，解得BA＝2，∴AC＝BA﹣BC＝2﹣＝，故选：B．方法二：AB＝＝＝2，∵BC＝，∴AC＝AB﹣BC＝2﹣＝，故选：B．26．（2021•恩施州）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD 与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（）A．CE≠BD B．△ABC≌△CBD C．AC＝CD D．∠ABC＝∠CBD 【答案】D【解答】解：由图可得，BC＝＝2，CD＝＝，BD＝＝5，∴BC2+CD2＝（2）2+（）2＝25＝BD2，∴△BCD是直角三角形，∵EF∥GD，∴△BFE∽△BGD，∴，即，解得EF＝1.5，∴CE＝CF﹣EF＝4﹣1.5＝2.5，∴＝，故选项A错误；由图可知，显然△ABC和△CBD不全等，故选项B错误；∵AC＝2，CD＝，∴AC≠CD，故选项C错误；∵tan∠ABC＝＝，tan∠＝＝，∴∠ABC＝∠CBD，故选项D正确；故选：D．命题点4 相似三角形的实际应用27．（2020•绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（）A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm【答案】A【解答】解：设投影三角尺的对应边长为xcm，∵三角尺与投影三角尺相似，∴8：x＝2：5，解得x＝20．故选：A．28．（2021•内江）在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为1.8m的竹竿的影长为3m，某一高楼的影长为60m，那么这幢高楼的高度是（）A．18m B．20m C．30m D．36m【答案】D【解答】解：设这幢高楼的高度为x米，依题意得：＝，解得：x＝36．故这幢高楼的高度为36米．故选：D．29．（2021•兰州）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大的“E”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，最大的“E”字高度为（）A．4.36mm B．29.08mm C．43.62mm D．121.17mm【答案】C【解答】解：由题意得：CB∥DF，∴＝，∵AD＝3m，AB＝5m，BC＝72.7mm，∴＝，∴DF＝43.62（mm），故选：C．30．（2021•河北）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】C【解答】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O作ON⊥AB，垂足为N，∵CD∥AB，∴△CDO∽△ABO，即相似比为，∴＝，∵OM＝15﹣7＝8（cm），ON＝11﹣7＝4（cm），∴＝，∴AB＝3cm，故选：C．31．（2021•烟台）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为米．【答案】3【解答】解：由题意知：AB∥CD，则∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴，∴，∴CD＝3米，故答案为：3．32．（2021•朝阳）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）【答案】（9+4）m．【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由题意得：DF＝9m，∴DG＝DF﹣FG＝6（m），在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，∵tan∠ACH＝＝tan30°＝，∴BD＝CH＝AH，∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°．由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，∴△EFG∽△ABG，∴＝，即＝，解得：AH＝（8+4）m，∴AB＝AH+BH＝（9+4）m，即这棵古树的高AB为（9+4）m．。
数学图形相似九年级知识点
数学图形相似九年级知识点数学中的图形相似是指两个或多个图形在形状上相似，即它们的对应角度相等，对应边的比例相等。
图形相似在几何学中有重要的应用，能够帮助我们分析和解决各种数学问题。
本文将介绍九年级数学中关于图形相似的知识点。
1. 判断图形相似的条件在九年级数学中，判断两个图形是否相似，需要满足以下三个条件：（1）对应角相等：两个图形的对应角度相等。
（2）对应边比例相等：两个图形中，对应边的长度之比相等。
（3）对应边平行：两个图形中，对应边之间相互平行。
2. 图形相似的性质图形相似具有以下性质：（1）对应角的性质：相似图形的对应角相等，即它们的内角相等，外角相等。
（2）对应边的比例：相似图形的对应边之比等于它们的周长、面积之比。
即若图形A与图形B相似，那么两个图形的对应边AB与A'B'的比例等于它们的周长或面积之比。
3. 相似三角形的定理在相似三角形中，我们可以应用以下定理来求解各种问题：（1）AAA相似定理：如果两个三角形的三个内角分别相等，则这两个三角形相似。
（2）AA相似定理：如果两个三角形的一个内角相等，并且两个三角形的对应边比例相等，则这两个三角形相似。
（3）SAS相似定理：如果两个三角形的一个内角相等，并且两个三角形的一个对边与这个角的对边的比例相等，则这两个三角形相似。
4. 图形相似应用图形相似在实际问题中有广泛的应用，比如：（1）计算高塔的高度：通过相似三角形的定理，我们可以计算高塔的高度。
例如，利用影子定理可以测量高塔的高度，其中就用到了相似三角形的概念。
（2）建模问题：在建模问题中，相似图形的概念可以帮助我们将实际物体或建筑的比例缩小或放大，以便进行实际测量或设计。
总结：数学图形相似是九年级数学中的重要知识点，它可以帮助我们分析和解决各种数学问题。
相似图形的判断条件、性质以及应用都需要我们掌握。
通过学习相似图形的知识，我们可以更好地理解几何学中的概念和应用，提升数学解题能力。
中考数学专题复习：相似图形
中考数学专题复习相似图形【基础知识回顾】一、成比例线段：1、线段的比：如果选用同一长度的两条线段ＡＢ，ＣＤ的长度分别为m、n则这两条线段的比就是它们的比，即：AB CD=2、比例线段：四条线段a、b、c、d如果ab=那么四条线段叫做同比例线段，简称3、比例的基本性质：ab=cd<＝>4、平行线分线段成比例定理：将平行线截两条直线【提醒：表示两条线段的比时，必须使示用相同的，在用了相同的前提下，两条线段的比值与用的单位无关即比值没有单位。
】二、相似三角形：1、定义：如果两个三角形的各角对应各边对应那么这两个三角形相似2、性质：⑴相似三角形的对应角对应边⑵相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应的比都等于⑶相似三角形周长的比等于面积的比等于1、判定：⑴基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形与原三角形相似⑵两边对应且夹角的两三角形相似⑶两角的两三角形相似⑷三组对应边的比的两三角形相似【名师提醒：1、全等是相似比为的特殊相似2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等，一般要先证判定方法中最常用的是三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】三、相似多边形：1、定义：各角对应各边对应的两个多边形叫做相似多边形2、性质：⑴相似多边形对应角对应边⑵相似多边形周长的比等于面积的比等于【名师提醒：相似多边形没有专门的判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用定义进行判定】一、位似：1、定义：如果两个图形不仅是而且每组对应点所在直线都经过那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做这时相似比又称为2、性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于【名师提醒：1、位似图形一定是图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或2、在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比位r，那么位似图形对应点的坐标的比等于或】【典型例题解析】考点一：比例线段考点：黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．分析：可以证明△ABC∽△BDC，设AD=x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x 的值；过点D作DE⊥AB于点E，则E为AB中点，由余弦定义可求出cosA的值．点评：△ABC、△BCD均为黄金三角形，利用相似关系可以求出线段之间的数量关系；在求cosA时，注意构造直角三角形，从而可以利用三角函数定义求解．对应训练2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（）A．512-B．512+C．51-D．51+考点二：相似三角形的性质及其应用例 2 已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC与△DEF的面积之比为．对应训练2．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3：4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为．考点三：相似三角形的判定方法及其应用例3 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC= 14BC．图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对考点：相似三角形的判定；正方形的性质．例4（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；（2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD：GC：EB；考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质．对应训练3.如图，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC、DE交于点O．则下列四个结论中，①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A、O、C、E四点在同一个圆上，一定成立的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：相似三角形的判定；全等三角形的性质；圆周角定理．4. 在锐角△ABC 中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1．（1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数；（2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△ABA 1的面积为4，求△CBC 1的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点P 1，求线段EP 1长度的最大值与最小值．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．专题：几何综合题．分析：（1）由由旋转的性质可得：∠A 1C 1B=∠ACB=45°，BC=BC 1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC 1A 1的度数；（2）由△ABC ≌△A 1BC 1，易证得△ABA 1∽△CBC 1，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC 1的面积；（3）由①当P 在AC 上运动至垂足点D ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 上时，EP 1最小，②当P 在AC 上运动至点C ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 的延长线上时，EP 1最大，即可求得线段EP 1长度的最大值与最小值．解答：解：（1）由旋转的性质可得：∠A 1C 1B=∠ACB=45°，BC=BC 1，∴∠CC 1B=∠C 1CB=45°，..…（2分）∴∠CC 1A 1=∠CC 1B+∠A 1C 1B=45°+45°=90°．（2）∵△ABC ≌△A 1BC 1，∴BA=BA 1，BC=BC 1，∠ABC=∠A 1BC 1，∴11BA BA BC BC ，∠ABC+∠ABC 1=∠A 1BC 1+∠ABC 1， ∴∠ABA 1=∠CBC 1，∴△ABA 1∽△CBC 1．∴1122416()()525ABA CBC S AB S BC ===△△， ∵S △ABA1=4，∴S △CBC1=254；（3）①如图1，过点B 作BD ⊥AC ，D 为垂足，∵△ABC 为锐角三角形，∴点D 在线段AC 上，在Rt △BCD 中，BD=BC×sin45°=522， 当P 在AC 上运动与AB 垂直的时候，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 上时，EP 1最小，最小值为：EP 1=BP 1-BE=BD-BE=522-2； ②当P 在AC 上运动至点C ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 的延长线上时，EP 1最大，最大值为：EP 1=BC+BE=2+5=7．点评：此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．考点四：位似例5 如图，正方形ABCD 的两边BC ，AB 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD 是以AC 的中点O′为中心的位似图形，已知AC=32，若点A′的坐标为（1，2），则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD 的相似比是（ ）A ．16B ．13C ．12D ． 23考点：位似变换；坐标与图形性质．分析：延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的对应训练5．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（）A．（2，0）B．（33,)22C．(2,2)D．(2,2)考点：位似变换；坐标与图形性质．【聚焦中考】1．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F 点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A 51-B51+C3D．2考点：相似多边形的性质；翻折变换（折叠问题）．2．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B′的坐标是（）A．（-2，3）B．（2，-3）C．（3，-2）或（-2，3）D．（-2，3）或（2，-3）考点：相似多边形的性质；坐标与图形性质．3.在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，则BFFD的值是（）A．12B．13C．14D．15考点：相似三角形的判定与性质；菱形的性质．4.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组F考点：相似三角形的应用；解直角三角形的应用．5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若△ABC与△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为．考点：位似变换；坐标与图形性质．6．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）．考点：作图—相似变换；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定．【备考真题过关】一、选择题1．已知513ba=，则a ba b-+的值是（）A．23B．32C．94D．492．如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为（）A．2 B．3 C．3D．31+3．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，则四边形EFGH的周长是（）A10B13C．10D．13考点：平行线分线段成比例；勾股定理；矩形的性质．4．小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是（）A．FG B．FH C．EH D．EF考点：相似图形．5.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）A．∠E=2∠KB．BC=2HIC．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL6.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．7.如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．AB CBBD CD=D．AD ABAB AC=考点：相似三角形的判定．8．如图，在△ABC中，EF∥BC，12AEEB，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）A．9 B．10 C．12 D．13 考点：相似三角形的判定与性质．9.如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD= 12AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（）A．17B．16C．15D．14考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；三角形中位线定理．10．（2012•钦州）图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点M B．点N C．点O D．点P11．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O．若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（）A．（2，4）B．（-1，-2）C．（-2，-4）D．（-2，-1）考点：位似变换；坐标与图形性质．二、填空题14.正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为cm2．考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质．15.如图，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON⊥OM，若AB=6，AD=4，设OM=x，ON=y，则y与x的函数关系式为。
中考数学常见几何模型专题06 相似模型-母子型(共角共边模型)和A(X)字型(原卷版)
专题06 相似模型-母子型（共角共边模型）和A （X ）字型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到相似三角形的问题就信心更足了．本专题重点讲解相似三角形的母子模型与A （X ）字模型．模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．“双垂线”型是其特例。
“ 母子”模型（斜射影） 双垂直（射影定理） “母子型”的变形斜射影结论：△ABD ∽△ACB ，AB 2＝AD ·AC .双垂直结论：①△ABD ∽△ACB ，AB 2＝AD ·AC ；②△ADC ∽△ACB ，AC 2＝AD ·AB ；③△CDB ∽△ACB ，CB 2＝BD ·BA . 1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在ABC 中，D 是AB 边上的点，B ACD ∠=∠，:1:2AC AB =，则ADC 与ACB △的周长比是（ ）A ．B ．1:2C ．1:3D ．1:42．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，CD 是等腰直角ABC 斜边AB 的中线，以点D 为顶点的EDF ∠绕点D 旋转，角的两边分别与AC 、BC 的延长线相交，交点分别为点E 、F ，DF 与AE 交于点M ，DE 与BC交于点N ，且45EDF ∠=︒．(1)如图1，若CE CF =，求证：DE DF =；(2)如图2，若CE CF ≠，求证：2CD CE CF =⋅；(3)如图2，过D 作DG BC ⊥于点G ，若2CD =，CF =DN 的长．3．（2022·浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．（1）如果DEF 与ABC 互为母子三角形，则DE AB的值可能为（ ） A ．2 B ．12 C ．2或12（2）已知：如图1，ABC 中，AD 是BAC ∠的角平分线，2,AB AD ADE B =∠=∠．求证：ABD △与ADE 互为母子三角形．（3）如图2，ABC 中，AD 是中线，过射线CA 上点E 作//EG BC ，交射线DA 于点G ，连结BE ，射线BE 与射线DA 交于点F ，若AGE 与ADC 互为母子三角形．求AG GF 的值．4．（2022.浙江中考模拟）如图，在ABC 中，∠ACB ＝90°，CD∠AB ．（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：（2）已知AB ＝5，AC ＝4，请你求出CD 的长：（3）在（2）的情况下，如果以AB 为x 轴，CD 为y 轴，点D 为坐标原点O ，建立直角坐标系（如图2），若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB 运动，点Q 出B 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA 运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t 秒是否存在点P ，使以点B、P、Q为顶点的三角形与∠ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．模型2. “A”字模型【模型解读与图示】“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．1．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，∠ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____．2．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，DE1BC4=．(1)若8AB=，求线段AD的长．(2)若ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．3．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在ABC 中，D ，E ，F 分别为,,AB AC BC 上的点，,,DE BC BF CF AF =∥交DE 于点G ，求证：DG EG =．(2)如图2，在（1）的条件下，连接,CD CG ．若,6,3⊥==CG DE CD AE ，求DE BC的值． (3)如图3，在ABCD 中，45,︒∠=ADC AC 与BD 交于点O ，E 为AO 上一点，EG BD ∥交AD 于点G ，⊥EF EG 交BC 于点F ．若40,︒∠=EGF FG 平分,10∠=EFC FG ，求BF 的长．4．（2022·辽宁·中考真题）如图，在ABC 中，4AB AC BC ===，D ，E ，F 分别为,,AC AB BC 的中点，连接,DE DF ．(1)如图1，求证：DF =；(2)如图2，将EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定角度，得到PDQ ∠，当射线DP 交AB 于点G ，射线DQ 交BC 于点N 时，连接FE 并延长交射线DP 于点M ，判断FN 与EM 的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，当DP AB ⊥时，求DN 的长．模型3. “X”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“X”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．1．（2022·河北·中考真题）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则（1）AB与CD是否垂直？______（填“是”或“否”）；（2）AE＝______．2．（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN∠MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．(1)当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；(2)若EFBF＝2，求ANND的值；(3)若MN∠BE，求ANND的值．3．（2022·广西贵港·中考真题）已知：点C ，D 均在直线l 的上方，AC 与BD 都是直线l 的垂线段，且BD 在AC 的右侧，2BD AC =，AD 与BC 相交于点O ．(1)如图1，若连接CD ，则BCD △的形状为______，AO AD的值为______； (2)若将BD 沿直线l 平移，并以AD 为一边在直线l 的上方作等边ADE ．①如图2，当AE 与AC 重合时，连接OE ，若32AC =，求OE 的长； ②如图3，当60ACB ∠=︒时，连接EC 并延长交直线l 于点F ，连接OF ．求证：OF AB ⊥．4．（2022·江苏镇江·九年级期末）梅涅劳斯（Menelaus ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC 的三边AB ，BC ，CA 或它们的延长线交于F 、D 、E 三点，那么一定有••1AF BD CE FB DC EA=．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A 作AG BC ∥，交DF 的延长线于点G ， 则有AF AG FB BD =，CE CD EA AG =，∠1AF BD CE AG BD CD FB DC EA BD DC AG••=••=． 请用上述定理的证明方法解决以下问题：(1)如图（3），△ABC 三边CB ，AB ，AC 的延长线分别交直线l 于X ，Y ，Z 三点，证明：1BX CZ AY XC ZA YB⋅⋅=． (2)如图（4），等边△ABC 的边长为2，点D 为BC 的中点，点F 在AB 上，且2BF AF =，CF 与AD 交于点E ，则AE 的长为________．(3)如图（5），△ABC 的面积为2，F 为AB 中点，延长BC 至D ，使CD BC =，连接FD 交AC 于E ，则四边形BCEF 的面积为________．课后专项训练：1．（2022•江苏中考模拟）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图（1），∠CDE∠∠CAB，且沿周界CDEC与CABC环绕的方向（同为逆时针方向）相同，因此∠CDE和∠CAB 互为顺相似；如图（2），∠CDE∠∠CBA，且沿周界CDEC与CBAC环绕的方向相反，因此∠CDE和∠CBA互为逆相似．（1）根据以上材料填空：①如图（3），AB∠CD，则∠AOB∠∠COD，它们互为相似（填“顺”或“逆”，下同）；②如图（4），Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，CD∠AB于点D，则∠ABC∠，它们互为相似；③如图（5），若∠DAB＝∠EBC＝90°，并且BD∠CE于点F，则∠ABD∠，它们互为相似；（2）如图（6），若∠AOB∠∠COD，指出图中另外的一对相似三角形并说明理由，同时指出它们互为顺相似还是互为逆相似；（3）如图（7），在Rt∠ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15，点P在∠ABC的斜边上，且AP＝16，过点P画直线截∠ABC ，使截得的一个三角形与∠ABC 相似，则满足的截线共有 条．2．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线12l l ∥，ABC 与DBC △的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设1l 与2l 之间的距离为h ，则12ABC S BC h =⋅，12DBC S BC h =⋅△．∠ABC DBC S S =．【探究】(1)如图②，当点D 在1l ，2l 之间时，设点A ，D 到直线2l 的距离分别为h ，h '，则ABC DBC S h S h ='△△．证明：∠ABC S(2)如图③，当点D 在1l ，2l 之间时，连接AD 并延长交2l 于点M ，则ABC DBC S AM S DM=△△．证明：过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，则90AEM DFM ∠=∠=︒， ∠AE ∥ ．∠AEM △∽ ．∠AE AM DF DM=． 由【探究】（1）可知ABC DBC S S =△△ ，∠ABC DBC S AM S DM =△△． (3)如图④，当点D 在2l 下方时，连接AD 交2l 于点E ．若点A ，E ，D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，ABC DBCS S △△的值为 ．3．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，6AC =，AD 平分BAC ∠，交边BC 于点D ，过点D 作CA 的平行线，交边AB 于点E ． （1）求线段DE 的长；（2）取线段AD 的中点M ，联结BM ，交线段DE 于点F ，延长线段BM 交边AC 于点G ，求EF DF的值．4．（2022·上海市奉贤区古华中学九年级期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．（1）求证：△BND△△CNM；（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．5．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD．（2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2．（3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度．6．（2022•重庆中考模拟）问题提出：如图1，D 、E 分别在∠ABC 的边AB 、AC 上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，DB ＝b ，AE ＝c ，EC ＝d ，则S ∠ADE ，S ∠ABC 和a ，b ，c ，d 之间会有怎样的数量关系呢？问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若DE ∠BC ，则∠ADE ＝∠B ，且∠A ＝∠A ，所以∠ADE ∠∠ABC ，可得比例式：a ca b c d=++而根据相似三角形面积之比等于相似比的平方．可得()22ADE ABCS a Sa b =+．根据上述这两个式子，可以推出：()()()22ADE ABCS a a a a c ac Sa b a b a b c d a b c d a b ==⋅=⋅=+++++++． （2）如图3，若∠ADE ＝∠C ，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由． 探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：()()ADE ABCSacSa b c d =++？方法回顾：两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以解决．如图4，D 在∠ABC 的边上，做AH ∠BC 于H ，可得：1212ABD ADCBD AHS BD SDC DC AH ⋅==⋅．借用这个结论，请你解决最初的问题．延伸探究：（1）如图5，D 、E 分别在∠ABC 的边AB 、AC 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，则ADE ABCSS= ．（2）如图6，E 在∠ABC 的边AC 上，D 在AB 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，ADE ABCSS= ．结论应用：如图7，在平行四边形ABCD 中，G 是BC 边上的中点，延长GA 到E ，连接DE 交BA 的延长线于F ，若AB ＝5，AG ＝4，AE ＝2，∠ABCD 的面积为30，则∠AEF 的面积是 ．7．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，记COD △的面积为1S ，AOB 的面积为2S ．（1）问题解决：如图①，若AB //CD ，求证：12⋅=⋅S OC ODS OA OB（2）探索推广：如图②，若AB 与CD 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在OA 上取一点E ，使OE OC =，过点E 作EF CD ∥交OD 于点F ，点H 为AB 的中点，OH 交EF 于点G ，且2=OG GH ，若56=OE OA ，求12S S 值．8．（2022·湖北随州·九年级期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．梅涅劳斯（Menelaus ）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）： 设D ，E ，F 依次是∠ABC 的三边AB ，BC ，CA 或其延长线上的点，且这三点共线，则满足1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=． 这个定理的证明步骤如下：情况①：如图1，直线DE 交∠ABC 的边AB 于点D ，交边AC 于点F ，交边BC 的延长线与点E ． 过点C 作CM ∠DE 交AB 于点M ，则BE BD EC DM =，AD AFDM FC=（依据）， ∠BE AD EC DM ⋅＝BD AFDM FC⋅， ∠BE •AD •FC ＝BD •AF •EC ，即1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=．情况②：如图2，直线DE 分别交∠ABC 的边BA ，BC ，CA 的延长线于点D ，E ，F ． …（1）情况①中的依据指： ； （2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；（3）如图3，D ，F 分别是∠ABC 的边AB ，AC 上的点，且AD :DB ＝CF :F A ＝2:3，连接DF 并延长，交BC 的延长线于点E ，那么BE :CE ＝ ．9.（2022长宁一模）已知, 在 △ABC 中,5,8AB AC BC ===, 点 E 是射线 CA 上的动点, 点 O 是边 BC 上的动点，且 OC OE =, 射线 OE 交射线 BA 于点 D ．（1）如图 1, 如果 2OC =, 求 S △ADES△ODB的值；（2）联结AO , 如果 AEO △ 是以AE 为腰的等腰三角形，求线段OC 的长； （3）当点E 在边AC 上时, 联结,BE CD DBE CDO ∠∠=、, 求线段OC 的长．10.（2022松江中考模拟）如图，已知在△ABC 中，BC ＞AB ，BD 平分△ABC ，交边AC 于点D ，E 是BC 边上一点，且BE ＝BA ，过点A 作AG △DE ，分别交BD 、BC 于点F 、G ，联结FE ．（1）求证：四边形AFED 是菱形；（2）求证：AB 2＝BG •BC ；（3）若AB ＝AC ，BG ＝CE ，联结AE ，求ADEABCS S ∆∆的值．11．（2022•静安区期末）如图1，四边形ABCD中，△BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE ＝6，AE2＝AB•AD，且DC△AE．（1）求证：DE2＝AE•DC；（2）如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，延长AD、BC交于点F，设BE＝x，EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．12．（2022·浙江·九年级单元测试）如图，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且ADAC＝ACAB．（1）求证∠ACD∠∠ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．13．（2021·广西百色·中考真题）如图，∠ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝______．14．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在ABC 与A B C '''中，点D 、D 分别在边BC 、B C ''上，且ACD A C D '''∽△△，若___________，则ABD A B D '''△∽△．请从①BD B D CD C D ''=''；②AB A B CD C D ''=''；③BAD B A D '''∠=∠这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．。
数学中考知识点总结相似形
数学中考知识点总结相似形
关于数学中考知识点总结相似形
（4）直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
说明：以上四个判定定理不难证明，以下判定三角形相似的命题是正确的，在解题时，也可以用它们来判定两个三角形的相似。
第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。
第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的.两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形．相似。
5、相似三角形的性质：
（1）相似三角形性质1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
（2）相似三角形性质2：相似三角形周长的比等于相似比。
说明：以上两个性质简单记为：相似三角形对应线段的比等于相似比。
（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
说明：两个三角形相似，根据定义可知它们具有对应角相等、对应边成比例这个性质。
初中数学知识点精讲精析 相似的图形
第1节相似的图形
要点精讲
（一）直观上，把一个图形放大（或缩小）得到的图形与原图形是相似的。
1. 形状相似的两个图形是指两个图形的形状一模一样。
是从“形”的角度观察得到的。
2. 相似的图形之间的形状一定相同，但大小不一定相同。
3. 相似不是一个图形本身具有的特征，而是图形与图形之间的一种关系。
4. 形状相似的图形不受位置与大小的约束。
（二）列举生活中的相似形。
比如：同一张底片冲洗出来的2寸照片和5寸照片。
……
典型例题
【例1】观察下面的图形是否是相似图形?
【答案】
图1—1和图1—4中的两组图形是相似形，图1—2和图1—3中的两组图形不是相似形．
【解析】
图1—1和图1—4中的两个图形虽然大小不同，但形状相同，所以是相似图形．而图1—2和图1—3中的两个图形，它们的形状不相同，虽然具有一些相像的成分，其实形状是不相同的，所以不是相似形。
【例2】如图，左边格点图中有一个直角梯形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．
【答案】
【解析】画相似图形时，要注意对应位置上的线段要放大或缩小相同的倍数，对应的角的大小不变，这样画出的图形才可能与原图形相似．。
中考数学关键知识点盘点平面几何中的相似与全等
中考数学关键知识点盘点平面几何中的相似与全等中考数学关键知识点盘点——平面几何中的相似与全等相似与全等是平面几何中非常重要的概念，经常在数学考试中出现。
掌握相似与全等的性质和判断方法对于解题至关重要。
在中考中，相似与全等的知识点也是必考的内容。
本文将对中考数学中关于相似与全等的知识进行盘点与总结。
一、相似的概念与性质相似是指两个图形在形状上相同，但大小可以不同。
在平面几何中，判断两个三角形相似一般有以下三种方法：1. AAA 判定法：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
例如，已知角A等于角X，角B等于角Y，角C等于角Z，那么可以判断三角形ABC与三角形XYZ相似。
2. AA 判定法：如果两个三角形的两组对应角相等，则这两个三角形相似。
例如，已知角A等于角X，角B等于角Y，那么可以判断三角形ABC与三角形XYZ相似。
3. SSS 判定法：如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。
例如，已知AB与XY的比例等于BC与YZ的比例等于AC与XZ的比例，那么可以判断三角形ABC与三角形XYZ相似。
除了相似的判断方法外，相似三角形还有一些重要的性质：1. 对应角相等性质：相似的两个三角形，它们的对应角都相等。
2. 对应边成比例性质：相似的两个三角形，它们的对应边之间都成比例。
3. 周长比性质：相似的两个三角形，它们的对应边长之比等于对应边上任意一对对应线段之比。
4. 面积比性质：相似的两个三角形，它们的面积之比等于对应边上任意一对对应线段之比的平方。
相似的概念与性质在中考数学中经常被考查，学生需要掌握判断相似三角形的方法，并灵活运用相似性质解决问题。
二、全等的概念与性质全等是指两个图形在形状和大小上完全相同。
在平面几何中，判断两个三角形全等一般有以下三种方法：1. SSS 判定法：如果两个三角形的三条边对应相等，则这两个三角形全等。
例如，已知AB等于XY，BC等于YZ，AC等于XZ，那么可以判断三角形ABC与三角形XYZ全等。
九年级《图形的相似》知识点归纳
苏科版九下《图形的相似》知识点归纳知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义： 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即512AC BC AB AC == 简记为：512长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形 ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形（3）合、分比性质：a c a b c db d b d±±=⇔=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n mf e d c b a ， 那么ban f d b m e c a =++++++++ ． 知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（上图）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似．3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．5、判定定理4：直角三角形中，“斜边和一直角边对应成比例” 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“斜边和一直角边对应成比例”（3如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则 ∽ ＝＝＞ AD 2=BD ·DC ，∽ ＝＝＞ AB 2=BD ·BC ，∽ ＝＝＞ AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）FE D CB A E BD E D(3)B C AE DBC(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
《图形的相似》中考常考考点专题(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学
专题4.52 《图形的相似》中考常考考点专题（基础篇）（专项练习）一、单选题【知识点一】相似图形相关概念及性质【考点一】比例的性质✮✮线段的比（2018·甘肃陇南·中考真题）1. 已知23a b =（a ≠0，b ≠0），下列变形错误的是（ ）A. 23a b = B. 2a =3b C. 32b a = D. 3a =2b （2020·安徽阜阳·二模）2. 某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（ ）A. 1：2000B. 1：200C. 200：1D. 2000：1【考点二】成比例线段✮✮黄金分割（2018·河北·模拟预测）3. 如图，画线段AB 的垂直平分线交AB 于点O ，在这条垂直平分线上截取OC OA =，以A 为圆心，AC 为半径画弧交AB 于点P ，则线段AP 与AB 的比是（ ）A. 2B.C.D. 2（2022·福建莆田·一模）4. P 是线段AB 上一点（AP BP >），则满足=AP BP AB AP，则称点P 是线段AB 的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉AB 长度为10cm ，P 为AB 的黄金分割点（AP BP >），求叶柄BP 的长度．设cm BP x =，则符合题意的方程是（ ）A. ()21010x x -=B. ()21010x x =-C. ()21010x x -=D.()210110x x -=-【考点三】相似图形✮✮相似多边形（2021·四川成都·一模）5. 下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）A. B. C. D.（2020·河北衡水·一模）6. 在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）．A. 两人都对B. 两人都不对C. 甲对，乙不对D. 甲不对，乙对【考点四】相似多边形的性质（2022·山东淄博·二模）7. 如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（ ）A. 2：1B. 3：1C. 3：2D. （2022·湖北省直辖县级单位·一模）8. 如果两个相似多边形的周长比是2：3，那么它们的面积比为（ ）A. 2：3B. 4：9C.D. 16：81【考点五】平行线分线段成比例（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）9. 如图，在平面直角坐标系中，C 为AOB 的OA 边上一点，:1:2AC OC ，过C 作CD OB ∥交AB 于点D ，C 、D 两点纵坐标分别为1、3，则B 点的纵坐标为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7（2020·新疆·中考真题）10. 如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，D 是AB 的中点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，作BC 的垂线交BC 于点F ，若AB ＝CE ，且△DFE 的面积为1，则BC 的长为（ ）A. 10B. 5C.D. 【知识点二】相似三角形【考点一】相似三角形的判定（2022·浙江绍兴·二模）11. 如图，如果∠BAD ＝∠CAE ，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE 与△ABC 相似的是（ ）A. B ＝∠DB. ∠C ＝∠AEDC. AB AD ＝DE BCD. AB AD ＝AC AE （2022·山东东营·中考真题）12. 如图，点D 为ABC 边AB 上任一点，DE BC ∥交AC 于点E ，连接BE CD 、相交于点F ，则下列等式中不成立的是（ ）A. AD AE DB EC =B. DE DF BC FC =C. DE AE BC EC =D. EF AE BF AC=【考点二】相似三角形的性质和判定➽➸求解✮✮证明（2021·山东济宁·中考真题）13. 如图，已知ABC ．（1）以点A 为圆心，以适当长为半径画弧，交AC 于点M ，交AB 于点N ．（2）分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径画弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点P ．（3）作射线AP 交BC 于点D ．（4）分别以A ，D 为圆心，以大于12AD 的长为半径画弧，两弧相交于G ，H 两点．（5）作直线GH ，交AC ，AB 分别于点E ，F ．依据以上作图，若2AF =，3CE =，32BD =，则CD 的长是（ ）A. 510 B. 1 C. 94 D. 4（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校三模）14. 如图，点F 是矩形ABCD 的边CD 上一点，射线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是（ ）A. ED DF EA AB =B. DE EF BC FB =C. BC BF DE BE =D. BF BC BE AE=【考点三】相似三角形的性质和判定➽➸坐标✮✮网格（2016·江苏南京·一模）15. 如图，在平面直角坐标系中，点B 、C 在y 轴上，△ABC 是等边三角形，AB=4，AC 与x 轴的交点D0），则点A 的坐标为（ ）A. （1，B. （2，C. （1）D. （，2）（2012·湖北荆门·中考真题）16. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ ）A. B. C. D.【考点四】相似三角形的性质和判定➽➸动点问题（2020·山东菏泽·一模）17. 如图，在△ABC 中，AC ＝6，AB ＝4，点D ，A 在直线BC 同侧，且∠ACD ＝∠ABC ，CD ＝2，点E 是线段BC 延长线上的动点．若△DCE 和△ABC 相似，则线段CE 的长为（ ）A. 43 B. 23 C. 43或3 D. 23或4（2021·河北石家庄·九年级期中）18. 如图，在锐角三角形ABC 中，6cm AB =，12cm AC =，动点D 从点A 出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与 相似时的运动时间为（）ABCA. 3s或4.8sB. 3sC. 4.5sD. 4.5s或4.8s【考点五】相似三角形的性质和判定➽➸应用举例（2022·湖北十堰·中考真题）19. 如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（）A. 0.3cmB. 0.5cmC. 0.7cmD. 1cm（2020·山西·中考真题）20. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。
九年级相似形知识点
九年级相似形知识点相似形是几何学中非常重要的一个概念，涉及到图形的形状和大小的关系。
在九年级数学中，相似形是一个必须掌握的知识点。
本文将介绍相似形的定义、判定方法以及计算相似形的性质等内容，帮助同学们更好地理解并掌握这一知识点。
1. 相似形的定义相似形是指具有相同形状但大小不同的两个图形。
在相似形中，对应角度相等，对应边的比例相等。
设图形A与图形B相似，记作A∽B。
若图形A的某个角度为α，对应图形B的角度也为α；若图形A的某个边长为a，对应图形B的边长为b，则a/b为一个常数k，即a/b=k。
2. 相似形的判定方法要判断两个图形是否相似，可以通过以下两种方法进行确定。
2.1 角度相等法若两个图形的对应角度相等，则这两个图形相似。
比如，两个三角形的三个内角分别相等，则这两个三角形相似。
2.2 边长比例法若两个图形的对应边长之比相等，则这两个图形相似。
比如，两个矩形的对应边长之比相等，则这两个矩形相似。
3. 相似形的性质相似形具有以下性质：3.1 边长比例性质对于两个相似形，其对应边长之比保持不变。
即若A∽B，且a/b=k，则对于图形A的任意一条边与对应图形B的边，它们的长度比始终为k。
3.2 周长比例性质对于两个相似形，它们的周长之比等于它们的边长比例。
即若A∽B，且a/b=k，则图形A的周长与图形B的周长的比为k。
3.3 面积比例性质对于两个相似形，它们的面积之比等于它们边长比例的平方。
即若A∽B，且a/b=k，则图形A的面积与图形B的面积的比为k²。
4. 相似三角形的判定在九年级数学中，相似三角形的判定是相当常见的。
对于两个三角形，我们可以通过以下方法来判断它们是否相似。
4.1 AAA判定法若两个三角形的三个角分别相等，则这两个三角形相似。
4.2 AA判定法若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
4.3 SAS判定法若两个三角形的两个对应边的长度比例相等，并且夹角相等，则这两个三角形相似。
相似图形知识点
相似图形知识点相似图形是几何学中的重要概念，它在数学和实际生活中有着广泛的应用。
相似图形指的是具有相同形状但大小不同的图形。
在本文中，我们将介绍相似图形的定义、判定条件以及相关的性质和应用。
通过学习相似图形知识点，我们可以更好地理解几何学中的形状和比例关系。
一、相似图形的定义在几何学中，如果两个图形具有相同的形状但大小不同，我们就说它们是相似图形。
相似图形之间存在比例关系，即它们的对应边长之比相等。
二、相似图形的判定条件1. AAA 相似判定：如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似的。
即三角形的三个内角对应相等时，它们是相似的。
2. AA 相似判定：如果两个三角形的一个角相等，并且两个对应边的比值相等，那么它们是相似的。
即当两个三角形的一个角对应相等且两个对应边之比相等时，它们是相似的。
3. 边比相等判定：如果两个图形的对应边长之比相等，则它们是相似的。
即当两个图形的对应边长之比相等时，它们是相似的。
三、相似图形的性质1. 相似图形的对应角度相等。
2. 相似图形的对应边长之比相等。
3. 相似图形的面积之比等于边长比的平方。
4. 相似图形的周长之比等于边长比。
四、相似图形的应用1. 测量不可达的高度：利用相似三角形的性质可以在无法直接测量的情况下，通过测量已知边长的三角形来计算不可达的高度。
2. 简化比例计算：相似图形的性质可以在计算中帮助简化复杂的比例关系，使计算更加方便和高效。
3. 三角形的判定：通过相似性的判定条件，我们可以判断给定的三角形是否相似。
这对于解决各种与三角形相关的问题非常有帮助。
4. 图形放大和缩小：相似图形的概念也应用于图形的放大和缩小。
通过保持相似性，我们可以按比例调整图形的大小。
总结：相似图形是几何学中重要的概念，它们具有相同的形状但大小不同。
我们可以通过比较图形的角度和边长来判断它们是否相似，并利用相似性的性质来解决各种问题。
相似图形的应用广泛，可以在测量、计算和问题解决中发挥重要作用。
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1
为位似中心，相似比为 3，把△ ABO 缩小，则点 A 的对应点 A′的坐标是 (
)
A ．（― 1，2）
B．（― 9， 18）
C．（― 9， 18）或（ 9，― 18）
D ．（― 1， 2）或（ 1，― 2）
【答案】 D.
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》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
设 BO =y BF=z
y
z
3
z
y
4
3
4
即 4z=9＋ 3y， 4y=12＋ 3z
27
解得 z=
7
25
y=
7
∴ AB= 27 ＋ 4= 100
7
7
考点：圆的综合题 .
考点典例四、相似多边形与位似图形
【例 4】（ 2016 辽宁营口第 15 题） 如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△
∴ MP?
P0C＝
1 2
P0 C2
( 3) 2 (1 x)2 2
AP0 ?BP＝ x（ 3 － 1＋ x），
解得 x＝ 7 3
∴ BP＝ 3 － 1＋ 7 3 ＝ 7 1 ．
考点典例三、相似三角形综合问题 【例 3】 （ 2016 湖北十堰第 24 题） 如图 1， AB 为半圆 O 的直径， D 为 BA 的延长线上一点， DC 为半圆 O 的切线，切点为 C． （ 1）求证：∠ ACD= ∠B； （ 2）如图 2，∠ BDC 的平分线分别交 AC， BC 于点 E ，F； ①求 tan∠ CFE 的值； ②若 AC=3 ，BC=4 ，求 CE 的长．
12
【答案】（1）详见解析； （ 2） .
7
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（ 2）解：①∵∠ CEF= ∠ ECD+ ∠CDE ，∠ CFE= ∠ B+ ∠ FDB ，
∵∠ CDE= ∠ FDB ，∠ ECD= ∠ B，
∴∠ CEF= ∠CFE ，∵∠ ECF=90 °，
DF EF
D．
BF FC
【解析】
AD
试题分析： ∵ DE ∥ BC，∴
AB
AE
（平行线分线段成比 例） .故选 A.
AC
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》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
考点：平行线分线段成比例 .
2. （ 2016 山东东营第 8 题） 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（― 3， 6）、 B（― 9，一 3），以原点 O
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
专题 46 图形的相似
聚焦考点☆温习理解
1、比和比例的有关概念：
（ 1）表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例
.
ac
（ 2）第四比例项：若
或 a:b=c:d，那么 d 叫作 a、 b、c 的第四比例项 .
bd
ab
（ 3）比例中项：若
【举一反三】
（ 2016 湖北鄂州第 22 题）（本题满分 10 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ ACB＝ 90o，AO 是△ ABC 的角平分
线。以 O 为圆心， OC 为半径作⊙ O。
（ 1）（ 3 分 ）求证： AB 是⊙ O 的切线。
（ 2）（ 3 分）已知
AO 交⊙ O 于点
E，延长
AO 交⊙ O 于点
∴∠ CEF= ∠CFE=45 °，
∴ tan∠ CFE=tan45 ° =1 ．
②在 RT△ ABC 中，∵ AC=3 ， BC=4 ，
由勾股定理得 AB=5 ，
∵∠ CDA= ∠ BDC ，∠ DCA= ∠ B，
∴△ DCA ∽△ DBC ，
DC AC DA
∴
DB BC CD
∵ CD 2=DA ?DB ，
3
，设 DC=3k ，DB=4k ，
4
∴ 9k2= （ 4k﹣ 5）？4k，
20
∴ k= ，
7
60
80
∴ CD= ， DB= ，
7
7
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考点：切线的性质；相似三角形的判定和性质；勾股定理
.
【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识的综合运用．
相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比．
5．相似三角形的判定
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边 (或两边的延长线 )相交，所截得的三角形与原三角形相似；
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(2)两角对应相等，两三角形相似；
(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
ABC 的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点
O 为位似中心，画△ A1B1C1，使它与△ ABC 的相似
比为 2，则点 B 的对应点 B1 的坐标是
．
【答案】（4，2）或（﹣ 4，﹣ 2）．
考点：作图 -位似变换．
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》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
AE
明△ ACE ∽△ ADC 可得
CE = tanD ＝ 1 ；（ 3）先由勾股定理求得
AC CD
2
BF BO OF
得
，设 BO=y ，BF=z ，列二元一次方程组即可解决问题
BC BA AC
AE 的长， 再证明△ B0F ∽△ BAC， .
D，
tanD＝ 1 ，求
AE
的值。
2
AC
（ 3）（ 4 分）在（ 2）的条件下，设⊙ O 的半径为 3，求 AB 的长。
【答案】 (1)详见解析；（ 2） 1 ；（ 3） 100 .
2
7
【解析】
试题分析：（ 1）过 O 作 OF ⊥AB 于 F，由角平分线上的点到角两边的距离相等即可得证；
（ 2）连接 CE，证
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【答案】（1）详见解析； （ 2）① BP＝ 5 ；② 7 1 .
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∵∠ BPM ＝∠ CP0A ，∠ BMP＝∠ CAP0，
∴△ AP0C∽△ MPB ，∴ AP0 P0C ， MP BP
2
分割点有两个 .
2.比例的基本性质及定理
a
（ 1）
b
a
（ 2）
b
a
（ 3）
b
c ad bc
d c ab c d
d
b
d
cL
m (b
dL
Hale Waihona Puke dn3.平行线分线段成比例定理
n 0)
a cL m a bdL n b
(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
.
(2)平行于三角形一边截其他两边 (或两边的延长线 )，所得的对应线段成比例；
确的是（
）
AD AE
A ． DE= BC B．
C．△ ADE ∽△ ABC D ． S△ ADE ： S△ ABC =1 ： 2
AB AC
【答案】 D.
考点：相似三角形的判定及性质 .
6. （ 2016 湖北随州第 7 题） 如图， D 、 E 分别是△ ABC 的边 AB 、 BC 上的点，且 DE ∥ AC，AE 、 CD 相交
7．相似多边形的性质
(1)相似多边形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
8．位似图形
(1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似
图形．这个点
叫做位似中心．
(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
考点：位似变换．
课时作业☆能力提升
1. （2016 黑龙江哈尔滨第 9 题） 如图，在△ ABC 中， D 、E 分别为 AB、AC 边上的点， DE ∥ BC，BE 与 CD
相交于点 F，则下列结论一定正确的是（
）
A ． AD
AE
DF
B．
AE
AB AC
FC EC
【答案】 A.
AD DE
C．
DB BC
120
14400
【答案】（1）详见解析； （ 2）正方形 EFGH 的边长为 7 cm，面积为 49 cm2．
【解析】
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考点：相似三角形的判定与性质． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力． 【举一反三】 （ 2016 湖北武汉第 23 题）（本题 10 分）在△ ABC 中， P为边 AB 上一点． (1) 如图 1，若∠ ACP＝∠ B，求证： AC2＝ AP· AB； (2) 若 M 为 CP 的中点， AC＝ 2， ① 如图 2，若∠ PBM＝∠ ACP， AB＝ 3，求 BP 的长； ② 如图 3，若∠ ABC＝45°，∠ A＝∠ BMP＝ 60°，直接写出 BP 的长．
名师点睛☆典例分类
考点典例一、比例的基本性质、黄金分割
b5
ab
【例 1】已知