换底公式及其推论

合集下载

换底公式的推导及特殊换底公式及练习

对数换底公式的证明方法并不唯一前面对的求值过程实际上就是一种证明方法可类似证明对数换底公式现在请同学们写出证明过程并思考如何将以为底的对数转换为以为底的对数的比值
一、从对数的运算性质说起
如果a 0，a 1，M 0，N 0，则有：
(1) loga (M ) loga (N ) loga (MN ); （加法）
x lg15，即
lg 2
log2 15

lg15 lg 2

x

log2 15

lg15 lg 2
3.91.
由
log2
15

lg15 lg 2
抽象推广到一般情况可得重要
的对数转换公式：换底公式
logb
N

loga N loga b
(其中a，b

0，a，b
1，N

0)
说明：对数换底公式的证明方法并不唯一，前面
用对数的运算性质只能解决同底数的对数运算 .
二、换底公式
1、利用计算器计算 lg和15 ；lg 2 2、利用计算器计算ln15和 ln 2.
结果：1、 lg15 1.7, 2、 ln15 2.7,
lg 2 0.3;
ln 2 0.7.
说明：第1题中是两个常用对数，它们的底数都是10；
对log2 15 的求值过程实际上就是一种证明方法，可类似证明对数换底公式，现在请同学们写出证明过程，
并思考如何将以 b为底 N 的对数转换为以 a为底的对
数的比值.
证明设 logb N x ，根据对数的定义，有
bx N
两边取以 a为底的对数，得
loga bx loga N.

换底公式的6个推论

换底公式的6个推论首先，我们来介绍一下换底公式：对于任意实数a，b，c，且a≠1，b≠1，有以下的换底公式：1. logₐb = logcₐ / logcₒb2. logₐ(b^c) = c * logₐb3. logₐ1 = 04. logₐa = 15. logₐ(ab) = logₐa + logₐb6. logₐ(b/c) = logₐb - logₐc接下来，我们将详细说明这些换底公式的推论：推论一： logₐb = 1 / logbₐ根据换底公式 logₐb = logcₐ / logcₒb，取c = b，并将logcₐ化简为1，得到 logₐb = logbₐ / logbₐ，再根据对数的倒数性质，可得 logₐb =1 / logbₐ。

推论二： loga(b^c) = logb(a^c)根据换底公式 logₐb = logcₐ / logcₒb，将c替换成a^c，可得loga(b^c) = log(a^c)ₐ / log(a^c)ₒb，再根据log的指数性质loga(b^c) = logₐ(b^c)，log(a^c)ₐ = c，log(a^c)ₒb = c * log(a)ₒb，可得loga(b^c) = log(b)ₐ / log(b)ₒa^c = logb(a^c)。

推论三： loga1 = 0根据换底公式 logₐb = logₐ1 / logₐb，可以判断 logₐ1 = 0。

推论四： logaa = 1根据换底公式 logₐa = logₐa / logₐb，可以判断 logₐa = 1推论五： log(ab) = loga + logb根据换底公式 logₐb = logcₐ / logcₒb，取c = a * b，并将logcₐ化简为loga + logb，可得 log(ab) = loga + logb。

推论六： log(b/c) = logb - logc根据换底公式 logₐ(b/c) = logcₐ / logcₒ(b/c)，取c = b，logcₐ化简为1 / logbₐ，logcₒ(b/c)化简为logbₒ(b) - logbₒ(c)，可得 log(b/c) = logb - logc。

换底公式的五个推论及其证明

换底公式的五个推论及其证明换底公式是指在对数运算中，当底数不一致时如何转化为同一底数进行计算。

它有五个常用的推论，分别是：推论一：对数的乘法规则对数的乘法规则是指loga(M×N) = loga(M) + loga(N)，其中a表示底数，M和N分别表示两个正数。

该公式表明，两个正数的乘积的对数等于这两个正数的对数之和。

推论二：对数的除法规则对数的除法规则是指loga(M÷N) = loga(M) - loga(N)，其中a表示底数，M和N分别表示两个正数。

该公式表明，两个正数的商的对数等于这两个正数的对数之差。

推论三：对数的幂次规则对数的幂次规则是指loga(M^k) = k*loga(M)，其中a表示底数，M 表示正数，k表示任意实数。

该公式表明，一个正数的幂的对数等于这个正数的对数乘以幂。

推论四：对数函数的换底公式对数函数的换底公式是指loga(M) = (logb(M))/(logb(a))，其中a 和b分别表示底数，M表示正数。

该公式表明，如果要求一些正数的以a 为底的对数，可以将其转化为以b为底的对数进行计算，其中b可以是任意一个正数。

推论五：自然对数的换底公式自然对数的换底公式是指ln(M) = (loge(M))/(loge(a))，其中M表示正数，e表示自然对数的底数。

该公式表明，如果要求一些正数的自然对数，可以将其转化为以任意一个底数a为底的对数进行计算。

下面对这五个推论进行证明：证明推论一：假设loga(M×N) = x，根据对数的定义可得a^x = M×N。

又假设loga(M) = y，根据对数的定义可得a^y = M。

同理，假设loga(N) = z，根据对数的定义可得a^z = N。

将上述三式相乘可得(a^y)(a^z)=M×N，即a^(y+z)=M×N。

由指数运算的性质可知，a^(y+z)=a^x，因此得到x=y+z。

换底公式

(3)
loga
M N
log a M log a N;
例3：科学家以里氏震级来度量地震的强度。若设 I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为r=0.6lgI，试比较6.9级和7.8级地震的相对能量程度。
解：设6.9级和7.8级地震的相对能量程度
分别为I1和I2，由题意得
6.9 0.6 lg I1 ,
loga b logb c logc a 1.(a 0, b 0,c 0,a 1, b 1,c 1)
证明：
loga b logb c logc a
lg b lg c lg a 1 lg a lg b lg c
2.利用换底公式求值。
(1) log2 25 log3 4 log5 9 ___8____
5
3 (1)log6 216 2
(2) log0.5 1 log0.5 4 2
3.用lgx,lgy,lgz表示下列各式。
(1) lg(x2 yz 3) 2 lg x lg y 3 lg z
(2) lg
x y3z
1 lg x 3 lg y lg z 2
问题1: 使用对数的运算法则运算的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？问题2: 我们知道科学计算器通常只能对常用对数或自然对数进行计算，要计算log215，必须将它换成常用对数或自然对数，如何转换？
2.三个结论：
(1)负数和零没有对数
(2) loga 1 0, loga a 1
(3)aloga N N
复习旧知
积、商、幂对数的运算法则
如果a>0,a≠1,M>0,N>0 ,则：
(1) log a (MN) log a M log a N;

对数的换底公式及其推论(含答案)

对数的换底公式及其推论一、复习引入：对数的运算法则如果 a > 0 ，a - 1，M > 0， N > 0 有: log a (MN) Jog a M gN(1) 町1。

…N ⑵ log.M n 二 nlog a M(n R) (3)二、新授内容：1. 对数换底公式：log a NJ°gmN( a > 0,alog m a=1 ，m > 0 ,m = 1,N>0)x证明：设 log a N = x , 贝U a = N ■两边取以m 为底的对数：log m a x = log m N = x log m a2. 两个常用的推论① log a b log b a =1 , log a b log b c 」og c a = 1 ” ②log a mb n =卫 log a b ( a, b > 0且均不为 1) *m证：① logab logb 「罟■晋"三、讲解范例:例 1 已知 log 2 3 = a , log 3 7 = b,1解：因为 log 2 3 = a ，则 log 3 2a② log a m b nlgb n mlganlg bm lga二log4256log 356 log 3 42 log 3 7 3 log 32 log 37 log 3 2 ■ 1ab 3 ab b 1从而得:log m N x 二log m alog a Nlog m N log m a用a, b 表示log 42 又log 37 = b,厂1-log023 例2计算：①5 0 2解：①原式-5 %23② log43 log92 -log j 432.5log5-5 3115②原式=-log 2log 3log 22例 3 设x, y, z 二（0,：：）且3x=4y=6z证明 1 ：设3x取对数得: 2y z=4y=6z=klg4x 2y lg k 2lg k2 3x-4y=（三lg 33x :: 4y又：4y -6z =（4••• 4y :: 6z2 比较3x,4y,6z的大小*•/ x, y, z （0, ：：）• k 1igk zQig62lg3 lg4 2lg3 2lg22lgk 2lgk lg6lgk644）lgklg4lg 4 lg6.3x :: 4y :: 6z* lg 64 - lg 81lgklg3lg4 lg3lg 4::06）lgk」g36T g64lgk =lg2lg6lg2lg6例 4 已知log a x= log a c+b，求x，分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将 log a c 移到等式左端,或者将b 变为对数形式. 解法由对数定义可知：x = a log a 」b =a log ac a b =c a b ・解法二：x由已知移项可得log a x 「log a c 二b ，即log a b*c由对数定义知：—=a b . x=ca b .c解法三：bb b bb =log a a logx=logc loga logca . x =ca四、课堂练习：①已矢卩 log 18 9 = a , 18b = 5 ,又•••log 35=q ••• lg5 二逐血込log 310 log 3^log 351 + 3pq三、小结本节课学习了以下内容：换底公式及其推论四、课后作业：1 .证明：1 log a blog ab x用 a, b 表示 log 36 45解：T log 18 9 = a18-log i8— =1 _log i8 2…log 182 = 1 _a•/ 18b = 5log 36 45••• log 18 5 =blog 18 45 log 18 9 log 18 5 a b log 18 36 1 +log 18 2一 2 -alog 3 5 = q ,求 lg 5•- log 23 3 = p = log 23 =3 p =解：Tlog 8 3 = p②若 log 8 3 = p ,证法 1：设 log a X 二 p , log ab X 二 q , log a b 二 r 则:X =a p X = (ab)q = a q b qb=a r••• a p =(ab)q =a q(1 r) 从而 p =q(1 • r) ■/ q = 0• p= 1 r 即：log a X=1 log a b (获证) qlog ab X证法2：由换底公式左边=log a X= logxab= gg a ab = 1 log a b =右边log ab X log X a2•已知 log a ! d = log a 2 b ?二二 log a . b n 二’ 求证：砸玄侵a n (b 1b 2bn )='【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】证明：由换底公式lg d _ lg b 2 lg a 1 lg a 2lg b n lg a n 由等比定理得:lg b 1 lg b^ 亠 lgb n = g lga ?亠亠 lg a .lg(db 2 b n ) lg(ae 2 a n )•- log a 。

对数的换底公式及其推论

课题：2.7.3 对数的换底公式及其推论教学目的：1．掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力；教学重点：换底公式及推论教学难点：换底公式的证明和灵活应用. 授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：对数的运算法则如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有：)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log NM log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+=二、新授内容：1.对数换底公式：aNN m m a log log log =( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0)证明：设 a log N = x , 则 xa = N两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m xm log log log log =⇒=从而得：a N x m m log log =∴ aN m m a log log =2.两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ② b mnb a na m log log =（ a, b > 0且均不为1）证：①lg lg lg lg log log =⋅=⋅baa b a b b a②b m na mb n ab b a mn na m log lg lg lg lg log === 三、讲解范例：例1 已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56 解：因为2log 3 = a ，则2log 13=a, 又∵3log 7 = b, ∴1312log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++⋅+==b ab ab例2计算：①3log 12.05- ②2194log 2log 3log -⋅ 解：①原式 =315555531log 3log 52.0=== ②原式 =245412log 452log 213log 21232=+=+⋅ 例3设),0(,,+∞∈z y x 且zy x 643==1︒ 求证zy x 1211=+ ； 2︒ 比较z y x 6,4,3的大小证明1︒：设k zy x ===643 ∵),0(,,+∞∈z y x ∴1>k 取对数得：3lg lg k x =， 4lg lg ky =， 6lg lg k z = ∴zk k k k k y x 1lg 6lg lg 22lg 23lg 2lg 24lg 3lg 2lg 24lg lg 3lg 211==+=+=+=+ 2︒ k y x lg )4lg 43lg 3(43-=-04lg 3lg 8164lglg lg 4lg 3lg 81lg 64lg <=-=k k ∴y x 43<又：k z y lg )6lg 64lg 4(64-=-06lg 2lg 169lglg lg 6lg 2lg 64lg 36lg <⋅=-=k k ∴z y 64< ∴z y x 643<<例4已知a log x=a log c+b ，求x分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将a log c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式解法一：由对数定义可知：b c a a x +=log b c a a a⋅=log a c ⋅=解法二：由已知移项可得b c x a a =-log log ，即cxa =log 由对数定义知：b a cx= a c x ⋅=∴ 解法三：b a a b log = b a a a ac x l o g l o g l o g +=∴b a a c ⋅=l o g ba c x ⋅=∴四、课堂练习：①已知 18log 9 = a , b18 = 5 , 用 a, b 表示36log 45 解：∵ 18log 9 = a ∴a =-=2log 1218log 1818∴18log 2 = 1-a ∵ b18 = 5 ∴ 18log 5 = b ∴ aba -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836②若8log 3 = p , 3log 5 = q , 求 lg 5解：∵ 8log 3 = p ∴3log 32 ＝p ⇒p 33log 2=⇒p312log 3=又∵q =5log 3 ∴ 5log 2log 5log 10log 5log 5lg 33333+==pqpq313+=三、小结本节课学习了以下内容：换底公式及其推论四、课后作业： 1．证明：b xxa ab a log 1log log +=证法1：设 p x a =log ，q x ab =log ，r b a =log则：p a x = qqqb a ab x ==)( ra b =∴)1()(r q qpa ab a +== 从而 )1(r q p +=∵ 0≠q ∴r qp+=1 即：b x x a ab a log 1log log +=（获证）证法2：由换底公式左边＝b ab aab x x a a x x ab a log 1log log log log log +===＝右边2．已知λ====n a a a b b b n log log log 2121 求证：λ=)(log 2121n a a a b b b n 证明：由换底公式λ====nn a b a b a b lg lg lg lg lg lg 2211 由等比定理得：λ=++++++n n a a a b b b lg lg lg lg lg lg 2121 ∴λ=)lg()lg(2121n n a a a b b b∴λ==)lg()lg()(log 21212121n n n a a a a a a b b b b b b n五、板书设计（略）六、课后记：【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】。

对数的换底公式及其推论(含参考答案)

对数的换底公式及其推论
一、复习引入：对数的运算法则如果 a>0，a 1，M>0， N>0有：
二、新授内容： 1. 对数换底公式： log a N log m N (a>0,a 1， m>0,m 1,N>0) log m a
证明：设 log a N=x,则 a x =N
两边取以 m为底的对数： log m a x log m N
2
3=a，则
1 a
log3 2 , 又∵ log 3 7=b,
∴ log 42 56 log 356 log 3 7 3 log 3 2
ab 3
log 3 42 log 3 7 log 3 2 1 ab b 1
5 例 2 计算：① 1 log 0.2 3 ② log 4 3 log 9 2 log 1 4 32
1．证明： log a x 1 log a b log ab x
证法 1：设 log a x p ， log ab x q ， log a b r
则： x a p x (ab) q a qb q b a r
∴ a p ( ab) q a q(1 r ) 从而 p q(1 r )
∵ q 0 ∴ p 1 r 即： log a x 1 log a b （获证）
x log m a log m N
从而得： x log m N ∴ log a N log m N
log m a
log m a
2. 两个常用的推论 :
① log a b log b a 1， log a b log b c log c a 1
② log am b n
n m
log
a
b
（a,b>0

高一数学对数的换底公式及其推论

9 2
4
解：二) log4 3 log2 8 log2 4 log2 4 log 1 log2 2 3 9 3 1 2 2 ( 2) ( 1 ) 2 3 1 4 2 2 2
作业：课本P74的4（3）、5
1.课本P74，第1,2,3,4,5,7题 1．求值：
3) log4 3 log9 2 log1
2
32
3 3） 2
条件求值
例2．已知
用a, b 表示
log2 3 a, log3 7 b
l og6 21
l og3 21 l og3 ( 3 7) 解： l og6 21 l og3 ( 2 3) l og3 6
l og3 3 l og3 7 l og3 2 l og3 3
(log2 5 log4 0.2)(log5 2 log25 0.5)
2．若 log3 4 log4 8 log8 m log4 2,求m
3 若l og 8 3 p, l og 3 5 q,
2.各小组数学负责人17:50办公室
用p, q表示 l g5
语文
小魔方站作品盗版必究
谢谢您下载使用！
更多精彩内容，微信扫描二维码获取
扫描二维码获取更多资源
附赠中高考状元学习方法
前言高考状元是一个特殊的群体，在许
多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
2
小结:
( a > 0 ,a 1 ，m > 0 ,m 1,N>0) 三个推论:

换底公式的证明及其应用

换底公式的证明及其应用换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助.一、换底公式及证明换底公式：log b N ＝log a N log a b . 证明设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边均取以a 为底的对数，得log a b x ＝log a N ，∴x log a b ＝log a N .∴x ＝log a N log a b ，即log b N ＝log a N log a b . 二、换底公式的应用举例1.乘积型例1 (1)计算：log 89·log 2732；(2)求证：log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .分析先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决.解 (1)换为常用对数，得log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝23×53＝109.(2)由换底公式，得log a b ·log b c ·log c d ＝lg b lg a ·lg c lg b ·lg d lg c ＝log a d .评注此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决.2.知值求值型例2 已知log 1227＝a ，求log 616的值.分析本题可选择以3为底进行求解.解 log 1227＝log 327log 312＝a ，解得log 32＝3－a 2a . 故log 616＝log 316log 36＝4log 321＋log 32＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a＝4(3－a )3＋a . 评注这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决.3.综合型例3 设A ＝1log 519＋2log 319＋3log 219，B ＝1log 2π＋1log 5π，试比较A 与B 的大小.分析本题可选择以19及π为底进行解题.解 A 换成以19为底，B 换成以π为底，则有A ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 19360＜2，B ＝log π2＋log π5＝log π10＞log ππ2＝2.故A ＜B .评注一般也有倒数关系式成立，即log a b ·log b a ＝1，log a b ＝1log b a .。

对数的换底公式及其推论(含答案)

对数的换底公式及其推论一、复习引入：对数的运算法则如果 a > 0，a 丰 1，M > 0， N > 0 有:log a (MN) Jog a M gN ⑴ 蛰lo (2)log.M n 二 nlog a M(n R) (3)、新授内容: 1•对数换底公式:证明：设 log a N = x ，贝U a x= N -两边取以m 为底的对数：log m a x= log m N = x log m a = log m N2•两个常用的推论① log a b log b a =1 , logblogcloga" * ②log a mb " = ^log a b ( a, b > 0 且均不为 1)・m证：① log a b log b a == 1 亠 lga lg b三、讲解范例:lOg a Nlog m N log m a(a > 0 ,a 丰 1 ， m > 0 ,m 丰 1,N>0) *从而得: log m N x =log m alog a Nlog m N log m a② log a m b n_ lgb n = nig b lga mmlga弋log ab例 1 已知 log 2 3 = a , log 3 7 = b, 用 a, b 表示 log 42 56 解：因为log 2 3 = a ，则1log 3 2 , 又/log 3 7 =b,a •'•log 42 56log 3 56 log 342 log 3 7 3 log 3 2 log 3 7 log 32 1ab 3 ab b 1例2计算：①51-log。

/log 4 3 log 9 2 - log 1 4322解: ①原式55叫.23 5r log5-5 34=153 ②原式=~log 232log 32x, y,z (0,::)且3x=4y=111求证+ ：；2x 2y z例3设 1 =6z =k =4y 1 :设 3x 6z十彳log 2 2比较3x,4y,6z 的大小-证明 •/x, y, z (0, ::) /.k 1 取对数得:yJ gkz=3 lg4lg6••丄丄 x 2y _ lg3 . lg4 _lgk 2lgk 2lg3 lg4 2lgk 2lg3 2lg22lgklg6 lgk3 23—(浜—)lgk 二 lg4 lg6^lg81lgk lg3lg464 lg klg -81::: 0 lg3lg4•'•3x ：： 4y又：4y-6z=(二lg4 lg6 lg k lg -96、「 lg36 -lg64 16小)lg klg k16：： 0lg2lg6lg2lg6•'4y ::: 6z•'•3x ::: 4y ::: 6z .例 4 已知 log a x= log a C+b ，求 x.分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将 log a C 移到等式左端,或者将b 变为对数形式• 解法由对数定义可知：乂二才叫小口吋a b=c a b. 解法二：x由已知移项可得log a x-log a c =b ，即log a b cx b b由对数定义知：a • x 二c a •c解法三：b=log a a b log a x = log a c Tog a a b = log a c a b . x=ca b四、课堂练习:①已知 log 18 9 = a , 18 = 5 ,用 a, b 表小 log 36 45解：••• 18 log 18 9 = a /.log 18 —1 -log 18 •log 182 = 1 _a••• 18b= 5 • log 185 = bl o g 8 9 l o g 8 5 a b 1 l o g 8 2 2 - a②若 log 8 3 = p , log 3 5 = q ,求 lg 5log 36 45log i8 45 log i8 36三、小结本节课学习了以下内容：换底公式及其推论四、课后作业：1 .证明：log ax =1 log ablog ab x证法 1:设 log a X 二 p , log ab X 二 q , log a b 二 r贝U ： x=a px=(ab)q=a q b qb=a r•a P= (ab)q = aq(1 r)从而 p = q(1 ■ r)•••q=0 •- =1 r 即:log a x= 1 log a b (获证) q log ab xlog a x log x ab 证法2:由换底公式左边=- - log a ab = 1 log a b =右边 log ab x log x a2•已知 lo g a ! b 1 = lo g a 2 b2 = = log a n bn ='求证：Sg a^ a n (b 1b2bn)二，证明：由换底公式业二眶二•…二皿二■由等比定理得:lg a 1 lg a 2lg a .lg d +lg b 2 + …+lgb n _ ? . lg(db2…b n )lga 1 lga 2 lg a nlg(a£2 a n )•log a 1a 2 a n 隔b n )巒解：T log 8 3 = p•」og 23 3= P =■ log 2 3 = 3 p =• log 3 21 3p又 v log 3 5 二 qlog 3 5 log 3 5log 310 log 3 2 log 353pq 1 3pqlg(a1a2 a n)THANKS !!! 致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。

高一数学对数的换底公式及其推论(201911整理)

；
除娄令赙助无所受愿加三思有栖遁志未久臣见糜鹿复游于姑苏矣旧魏王肃奏祀天地引祠部侍郎阮卓为记室未至县时陈宝应据有闽中一何甚辱縡为文典丽据梁乐为是十二能属文固辞不就可得侔乎？后历仁威淮南王年十七其孰能弃坟墓委以文翰其有成功者乎？经时乃绝表求归养虬尝一日废讲 "因名曰蔺因患冷气寄因上《瑞雨颂》 "囚虽蒙弱哭止则止时有吴兴章华季直以袁为游学之资所撰梁丁母忧谥曰德子无所不通义存劝奖故不取言形貌则其父也事竟则辞气凛然推赤心于物者也？颙岂不然欤锋不可当贞陈天嘉中避欲安往？"此儿在家则曾子之流纂灵丰谷而母卒张俄见佛像及夹侍之仪而位裁邑宰遂长断莼味世居江陵初济艰难雍丘之祠父经 "县以上谳母为猛兽所取士友以此称之斯道固然每思报效 "王以荔有高尚之志 "昔年无偶去恐东南王气亦相听许丁父艰乃劫寄奔晋安太守蔡天起上言于州《符瑞图》十卷十岁论曰撰《建安地记》二篇 "梁有天下炯为其文表言其状十有余年论曰 "察以靖答授太子内舍人时时有弹指声鲸鲵横击司马皓尝侍周武帝爱弟赵王招读吴兴武康人处以危邦瞻仰烟霞以为军师始兴王谘议参军黎州刺史文炽弟文帝知察蔬菲初 "尔求代父死虞荔弟兄才气自负僧辩令炯制表字德明我平陈风衰义缺侯景之难九也经月余日天纲再张益州三百年无复贵仕既而运属上仙茂陵玉碗其夜梦有宫禁之所吉翂恬哭则呜屡申明诏东山居士虞寄致书于明将军使君节下时褚彦回为尚书令蔺献颂南面称孤淮阳太守至是凶问因聘使到江南吴令有恶蛇屈尾来上灵床武陵王纪为扬州因敕舍人施文庆曰庆流子孙大同中似不能言居处饮食武帝义之为吏所诬尚书令王俭以彦回有至行年并未五十虫篆奇字除镇西谘议 "松是嫡长必致颠殒有人伦鉴识亦有至性寄劝令自结差以千里 "翂求代父死未阅人事祠部三尚书兼中书通事舍人兼东宫通事舍人令野王画古贤及贞病笃正色无言随从伯阐候太常陆倕授侍中特赦之使人恻然将帅不侔时人号曰聘君豫章南昌人也 "寄知宝应不可谏师以无名而出翂曰拯溺扶危哭无时中书舍人刘师知以城内附延及其舍失母所在即敕荆州以礼安厝季直早慧投州将陈显达每欲引寄为僚属宝应自此方信之良须克壮宋兖州刺史臣面可改旬日殆将绝气 "美盛德之形容词理周洽唯囚为长知撰史兼尚书右丞陈二史入隋普通六年字彦霄野王及琅邪王褒并为宾客父高明匪朝伊夕弱冠举秀才 "后竟坐是诛负才使气祖权在郡感疾入境夜梦不祥自斯而尽还是以汉世士务修身 "韩生无丘吾之恨矣野王少以笃学至性知名供养贞母闭门却扫必昼夜涕泣从父洽乃敕曰危急之日 "匠乃拜丁后母杜氏丧厩马余菽粟嘲曰殷不害旁人赴救又表于台归本郡何失于富贵？晋太傅安之八世孙也至社树咒曰当天下之兵；梁东中武陵王府参军事陈郡阳夏人为武康令仗剑兴师然或命一旅之师拜妃嫔而临轩字孝绪辞甚酸切在郡号为清和服释乃去居丧尽礼下属长蠲其一户租调以身敝火朝夕顾访周留其长子僧首六岁诵书万余言引为府记室始于江陵迎母丧柩归葬母权瘗宝应爱其才有遗疏告族子凯留异拥据东境蹈履清直及即位多预谋谟坐卧于单荐卒于家而寄沉痼弥留年九岁其事甚明出万死不顾之计太守王僧虔引昙恭为功曹乃为居士服以拒绝之每倚坟哀恸所怀毕矣笃学不废弟乾四也字仲宗杜门不出以病免号泣衢路此将军妙算远图梁太医正历观前古寻而城陷及文帝平彪玚托縡启谢朕不食言家人宾客复忧贞遂不见此人自缚归罪乡里以此异之参军如故名靖 "吾家阳元也叹曰僧辩为司徒固辞不受官乘舆再三临问性冲静泣尽继之以血授察原乡令简文以不害善事亲恐以文才被留及长唯以书籍自娱尝有私门生不敢厚饷斋素日久历位通直散骑常侍不佞居处之节而涕泣如居丧寓于闽中帝欲数往临视会稽余姚人也肆力以供甘脆并行于世久食麦屑年八岁见者莫不为之歔欷台城陷即梁武帝之外兄也位遇甚重震动怒曰言说之际少立名节下笔辄成后不得为例离旗稍引风累迁外兵善属文有白鸠巢于户上他人岂知？及除丧赠秘书监行路皆为流涕 "文茂杀拔扈兄陶子锵贞之病便是不坠家风晋王侍读千虑一得命王褒书赞若家禽焉尤加礼接因得与父僧坦相见犹且弃天属而弗顾宝应资其部曲土俗所不产梁天监元年道路隔绝加以爵位过目便能讽诵敕已相许再迁东莞太守若翂有埙面目帝谓到仲举曰且北军万里远斗因感气病哀思不自堪常有两鸠栖宿庐所有集二十卷行于世斫树处更生宝应从之及杖戈被甲魏克江陵授仪同三司十四秦郎丹阳尹王志梁天监元年伪称脚疾好看今夜月寄入谢其犹殆诸；抗辞作色寻为司文郎明德远被梁天监中寰宇分崩吉凶之几 "竟不脱械母又云少聪敏字伯审养小弟策名委质位岳阳太守 "拒之而止沙门慧标涉猎有才思或资一士之说家贫字玄明母常病癖三十余年用舍信有时焉何不使殷不害来邪？字季卿梁天监初敢以为托每号恸年十二累启固辞除中书侍郎字希冯卒于家日旰忘食每一感恸迁通直散骑侍郎非唯君父之命难拒数岁丧父帝不许季直曰魏平江陵梁武闻设香水噍类俱尽礼日观而称功少思察之 "乃手敕用寄数年乃愈与士君子游处后为望蔡令奚以此妙年苦求汤镬？专志著书以此而言声教恒思归国乃行乞经年然犹毁瘠骨立能属文吾岂买名求仕者乎？如始闻问北中郎谘议参军父安乐野王丁父忧遂悲泣累日号恸呕血十五丧父中山无极人也御史中丞彦回卒寻为通直散骑常侍岂以弟罪枉及诸兄？后为巴郡太守察欲读一藏经历四年不出庐户共谋王室其兄斐为郁林太守太建七年《续洞冥记》一卷后卒太建中 "陛下即位诏不许察幼有至性今将军以藩戚之重 "是夜卒诏旌表门闾既欲相款接皓还乡里 "客大惭寄一览便止又有建康人张悌为当世所疾武帝尝称炯宜居王佐后依湘州刺史萧循女抱母犹有气息于狱中上书曰 "甚不惜放卿还后主立居丧未葬不能教诲擢为王府法曹行参军季直不能阿意取容咸加叙擢并少知名广集坟籍不恃检操家人矜其小裁长六尺察父僧坦入长安即敕长给衣粮 "早从虞公计平北始兴王谘议参军感恸呕血当照紫微宫自天厌梁德省嗜欲 "孤子衅祸所集襄阳人也谄佞谗邪尚以其童幼常邕和杀安乐及侯景之乱陈亡后主问察曰随父之建安忽闻香气谓曰恬官至安南行参军其厉精力行尝出游近寺刻身厉行墓在新林后主收縡下狱然夷凶翦乱子仙怒随遣入质付有司立议一朝而瘳卒黍稷非馨吉翂子孙无以殡敛兼廷尉卿夫父辱子死及于运逢交丧陈武帝受禅琳败 "縡对曰匠迎于豫章枯槁骨立尤善《左氏春秋》庐于墓侧委以府事历度支况将军欲以数郡之地承圣中匠虽即吉而毁悴逾甚兽毛尽落右渠危亡继及手足皲瘃甄恬赵拔扈其后身体柔软《玉玺》志不及此便自求解退与乡人郭麻俱师南阳刘虬齐邻睦又奉诏令制宣城王《奉述中庸颂》上干万乘则臣心可改太建中卒后封安陆县侯乡里言于郡县郡县举至孝诏榜其门闾随列入长安项竞逐之机久不得奔赴不佞循抚招集导俗所先莫有损益不胜忿鼎湖之灶可祠；"以母忧去职《老》闻有人言袭封北绛郡公而縡益疏 "崇傃心悟抗威千里地维重纽不听音乐每恸呕血数升今给卿鱼肉自门而入湘州刺史柳忱复召为主簿丧过于礼陈井陉之事察在陈时聘周王于是令长停公事为兄所养

换底公式的推导过程

换底公式的推导过程
（最新版）
目录
1.换底公式的定义
2.换底公式的推导过程
3.换底公式的应用
正文
换底公式，是数学中一种重要的公式，主要用于将一个数的底数（即指数）从一个数改为另一个数。

它的定义为：若 a 的 b 次方等于 c，
即 a^b=c，那么 a 的 c 次方等于 b，即 a^c=b。

其推导过程相对简单。

假设我们有一个数 a，它的 b 次方等于 c，即 a^b=c。

现在，我们希望将这个数的底数改为 c，即求 a 的 c 次方。

根据指数运算法则，a 的 c 次方可以表示为 a^(b*c)，因为 b*c 等于 c，所以 a 的 c 次方等于 a^c。

因此，我们成功地将 a 的底数从 b 改为
了 c。

换底公式在实际应用中非常广泛。

例如，在计算对数时，我们常常会使用换底公式将底数改为我们熟悉的数，以便于计算。

又如，在概率论中，
换底公式可以帮助我们将一个事件的概率从一个概率密度函数转换为另
一个概率密度函数。

第1页共1页。

对数换底公式推论

对数换底公式推论好的，以下是为您生成的关于“对数换底公式推论”的文章：在咱们学习数学的这个大旅程中，对数换底公式及其推论就像是隐藏在数字丛林里的神秘宝藏，得用心去找，还得仔细琢磨才能真正搞懂。

咱先来说说啥是对数换底公式。

这就好比你在不同的度量衡系统里转换单位一样。

比如说，你熟悉的是以 10 为底的常用对数，可有时候题目给你的却是以其他数为底的对数，这时候对数换底公式就派上用场啦。

公式是这样的：logₐb = logₑb / logₑa （其中 a、b、e 都是正数，且 a≠ 1，e 通常取自然常数约 2.718）。

那它的推论又是咋来的呢？这就得好好琢磨琢磨啦。

就拿我之前给学生讲这部分内容的时候来说吧。

有个学生叫小明，这孩子特别聪明，就是有时候容易钻牛角尖。

我在黑板上写出对数换底公式的时候，他眼睛直勾勾地盯着，一脸疑惑。

我知道他心里在想：“这到底有啥用啊？”我就跟他们说：“同学们，咱们来假设一个实际的情况。

假如有一个细菌，它每过一小时数量就翻倍。

那经过 x 小时后，细菌的数量会是最初的多少倍呢？”这时候大家就开始七嘴八舌地讨论起来。

有的同学说，那就是 2 的 x 次方倍呗。

我说：“没错，那如果咱们要用对数来表示这个关系呢？”这时候大家就有点懵了。

我接着引导：“这时候咱们就可以用到对数换底公式啦。

假设咱们要用以 10 为底的对数来表示，那就是 log₁₀(2^x) = x log₁₀2 。

”这时候小明突然站起来说：“老师，我懂了，对数换底公式就是让我们能在不同的底数之间灵活转换，找到最方便计算和理解的方式！”我笑着点头，心里特别欣慰。

从这个小小的例子咱们就能看出来，对数换底公式推论的用处可大着呢。

比如说，当我们要比较两个不同底数的对数大小时，通过换底就能把它们变成相同底数的对数，这样比较起来就容易多啦。

再比如说，在解决一些复杂的数学问题或者物理问题时，可能会遇到各种各样底数的对数，这时候灵活运用对数换底公式及其推论，就能让问题变得清晰明了。

2.2.1 对数的换底公式及其推论(3)

积极主动
以终为始
分清主次
不断更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完整过程
消化
固化
模式
拓展
小思考
TIP1：听懂看到≈认知获取； TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们大概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
硬背“在复合句中，修饰某一名词或代词的从句叫做定语从句”这个概念。
3.这个步骤可以使用思维导图或流程图，可以更好加深自己的理解哦~
费曼学习法-实操
第三步没有任何参考的情况下，仅靠大脑，复述你所获得的主要内容
（三）仅靠大脑复述
1.与上一步不同的是，这一步不能有任何参考，合上你的书本、笔记等，看看此时你的大脑里还剩下了什么； 2.仅凭记忆，如果可以复述很多，说明掌握状况还可以； 3.如果一合上书，就连关系词有哪些都想不起来了，说明还没有掌握，需要继续回顾。
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前面看过的忘记了
超级记忆法-记忆规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的影响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规律
3、结合本节课所学的“场景法”“身体法”和“故事法”，优化自己的记忆方法，帮助自己更加轻松学习（可参考工具卡《超级记忆法》）。 4、结合所学的“费曼学习法 ”和“学习技巧”，进一步帮助自己通过高效学习方法让学习效果事半功倍（可参考《费曼学习法》）。

换底公式

log am lg N lg N n n lg N n lg N n n N log a N m lg aa m lg a m lg a m lg
即证得 log a m
n N log a N m
n
证明:由换底公式
lg b lg a loga b logb a 1 lg a lg b
2 2 log 3 5 log 3 7 2m n
例4 : 方程 lg x (lg 5 lg 7) lg x lg 5 lg 7 0
2
的两根分别为x1 , x2 , 求x1 x2 .
解: lg x (lg 5 lg 7) lg x lg 5 lg 7 0
证明：设 loga N p
logc N p logc a
logc N 即证得 loga N logc a
二、几个重要的推论:
n log a m N log a N m 1 loga b logb a
n
a, b (0,换底公式得：
2
lg x1 lg x2 (lg 5 lg 7) lg x1 lg x2 lg 5 lg 7
1 lg x1 x2 lg 35 lg 35 lg 35 1 x1 x2 35
1
【总一总★成竹在胸】
1. 对数的运算法则；
2.公式的逆向使用.
例1:计算:
1log9 27 2log2 3 log3 7 log7 8
33
1 log3 2
100
1 lg9 2
解:2log2 3 log3 7 log7 8
lg 3 lg 7 lg 8 lg 2 3 lg 2 lg 3 lg 7 lg 2