换底公式及其推论

2
解：(1)原式
5 5log0.2 3
(2)原式 1 log 2
23
55
5log5
1 3
1
1 3
15 5
2 log3 2 4 log
2
2
153 44 2
例4 (1) 已知log34 log48 log8m= log42, 求m的值;
(2)已知lg2=a,lg3=b, 求lg75的值;
(3)设3a=5b=m,且 1 1 2,求m的值. ab
者将b变为对数形式.
解法一：由对数定义可知：
x a loga cb aloga c ab cab
§2.7.3 换底公式及其推论
解法二：由已知移项可得 log a x log a c b
即loga
x c
b
x
即由对数定义知：
ab
c
x cab
解法三： b log a ab 又 loga x loga c b log a x log a c log a ab log a c a b
lg 5 log3 5 log3 5 3 pq log3 10 log3 2 log3 5 1 3 pq
§2.7.3 换底公式及其推论
小结 本节课学习了以下内容：
1.对数换底公式:
loga
N
logm N logm a
(a
0且a
1，m
0且m
1，N
0)
2.两个常用的推论:
(1) loga b logb a 1, loga b logb c logc a 1
2) log a 1 0 (a 0 , a 1) 3) log a a 1 (a 0 , a 1)
新疆 王新敞
奎屯
4) aloga N N(a 0 , a 1, N 0)
5) loga aN N(a 0, a 1)
§2.7.3 换底公式及其推论
2.积、商、幂的对数运算法则： 如果 a > 0，且a 1，M > 0， N > 0 有：
(2) logam
bn
n m
loga
b(a
0且a
1，b
0)
课后训练
书面作业
1．证明：
log a x log ab x
1 log a
b
2．已知: log a1 b1 log a2 b2 log an bn
求证：log a1a2an (b1b2 bn )
<<教材>> 习题2.2 5
而 logm N logm ab b logm a b logm a logm a logm a
即证得
log
a
N
logm N logm a
－－－－这就是对数里很重要的一个公式：
换底公式
§2.7.3 换底公式及其推论
二、新授内容：
1.对数换底公式：
loga
N
logm N logm a
(a
0且a
§2.7.3 换底公式及其推论
教学目标：
1．掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、 求值、证明问题; 2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总 结能力、逻辑推理能力.
教学重、难点：
1.换底公式及推论; 2.换底公式的证明和灵活应用.
§2.7.3 换底公式及其推论
一、复习引入：
1.重要公式：
1) 负数和零没有对数。
(1). 3 (2).2 2lg 2 lg 3
(3). 15
§2.7.3 换底公式及其推论
例4.已知: loga x loga c b ，求x.
分析：由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解; 另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使
变形产生困难，故可考虑将 loga c 移到等式左端，或
(3)log23 • log57 • log35 •log7 4
(4)(log95 log35)(log253 log1259)
3
(1)
10
(2)
(3)
2
7
(4)
29
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2.7.3 换底公式及其推论
例2. 已知log2 3 a, log3 7 b 用 a, b 表示log42 56
解：
log2 3 a,
loga (MN) logaM logaN (1)
loga
M N
logaM
log a N
(2)
logaMn nlogaM(n R) (3)
§2.7.3 换底公式及其推论
▪思考: 利用关系式ab N b loga N证明下式：
loga
N
logm N logm a
.
证明：设loga N b则有N ab
1，m
0且m
1，N
0)
证明：设 loga N x 则ax N
两边取以m 为底的对数：
logm ax logm N x logm a logm N
x logm N logm a
log a
N
logm N logm a
§2.7.3 换底公式及其推论
2.两个常用的推论:
(1) loga b logb a 1, loga b logb c logc a 1
1 a log3 2
又
log3 7 b
log
42
56
log3 56 log3 42
log3 7 3 log3 2 log3 7 log3 2 1
b 3
b
1
a 1
ab 3 ab a 1
a
§2.7.3 换底公式及其推论
例3计算：
(1)
51log0.2 3
(2) log4 3log9 2 log1 4 32
x cab
§2.7.3 换底公式及其推论
四、课堂练习：
①已知: log18 9 a, 18b 5 用 a, b 表示 log36 45.
log 36
45
log 18 log 18
45 36
log 18 9 log 18 1 log 18 2
5
a 2
b a
②若 log8 3 p log3 5 q , 求 lg 5 .
(2) logam
bn
n m
loga
b(a
0且a
1，b
0)
证明：
(1) loga
b logb
a
lg b lg a
lg a lg b
1
(2) logam
bn
lg bn lg am
n lg b m lg a
n m
log
a
b
三、讲解范例：
例1 计算下列各式的值
(1)log9 27
(2)log8 9 •log2732