一元二次方程的根与系数的关系 优秀教学设计(教案)

21.2 .4一元二次方程的根与系数的关系

一、教材分析：《一元二次方程根与系数的关系》是人教版初中数学九年级上册第二十一章21.2节的内

容，该内容是在在学生学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。它深化了两根与系数之间的关系，是今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。利用这一关系可以解决许多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。因此本节课起着承上启下的作用。二、学情分析：九年级阶段的学生，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。因此在前面学习了一元二次方程的解法后，对根与系数的关系进行探究就比较容易。

三、教学目标：

(一)知识与技能

了解一元二次方程根与系数的关系，并利用根与系数关系求出两根之和、两根之积。

(二)过程与方法

通过问题的引导，发现、证明并归纳一元二次方程根与系数的关系，在探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律。

(三)情感态度价值观

在经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程中，培养观察分析和综合判断的能力，激发学生发现

规律的积极性，鼓励他们培养勇于探索的精神。

四、教学策略

教学方法：讲授法、练习法、课堂合作探究法。

教学工具：ppt课件、白板笔。

五、重点难点：

重点：一元二次方程根与系数关系的探索及简单应用

难点：探索发现一元二次方程根与系数关系

六、教学过程：

教学环节教师活动学生活动设计意图

（一）创设情境

（3分钟）1、问：操场的长和宽满足一元二次方程2x2

-400x +15000= 0的两个根，如果方程的两个

根为x1、x2，你能用x1、x2表示操场的周长和

面积并求出来么？

2、用以前的方法解这个方程求出两个根很

麻烦，是否还有别的方法---不解方程也能

迅速求出操场的周长和面积？----要解决这

学生能表示矩形周长=

（x1+x2）×2，面积=x1x2，，并用

以前的方法解方程，从而得出操

场的周长和面积。

问题情景的

创设可以吸

引学生的注

意力和探索

欲望。（但

是用以前的

方法解该方

程费时间）

个问题，就需要跟老师进入本节新课

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一元二次方程根与系数的关系（板书）

（二）观

察猜想理论验证：

（15分钟）

1.观察猜想二次项系数为1时根与系数的关系：

活动一：

观察这些方程的两根的和、两根的积与系数有什么关系？你发现了什么规律？

让学生分4人为一小组进行合作探究，验证这个猜想。（教师着重引导）

和学生一起归纳结论：二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系： 两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项.

2.猜想验证一元二次方程根与系数的关系：思考：一般的一元二次方程 ax 2 +bx +c = 0 中，二次项系数 a 未必是 1，两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？（让学生回忆一元二次方程求根公式）

活动二：思考，并继续以刚才的4人为

一小组合作写出推导过程：若一元二次方程ax 2 +bx +c = 0（a ≠0）的两个根为x 1, x 2 ，则 x 1+ x 2= x 1 x 2= .学生合作探究过程中教师巡堂指导，探究完毕各组派代表上台汇报，老师表扬并点评。

师生共同归纳得到韦达定理：

关于x 的一元二次方程ax 2 + bx + c = 0 (a≠0)的两个根x 1，x 2和系数 a ，b ，c 有如下关系：

两根

方程

x 1x 2

两根和x 1+x

2

两根积

x 1x 2

x 2-3x +2=0x 2 +5x –6= 0x 2 -5x +4=0

学生通过解方程，观察它们两根的和、积与前面系数的关系，可以发现这三个方程的二次项系数均为1，此时它们两根的和等于一次项系数的相反数，两根的积等于常数项。并能猜想：方程x 2+p x +q=0的两根为x 1, x 2。

则x 1+ x 2= -p ， x 1 x 2= q

通过合作，得到验证思路：从因式分解可知，方程(x-x 1)

(x - x 2)=0 (x 1, x 2为已知数)的两根为x 1, x 2 ，方程展开化成一般式可得方程x 2 -（x 1+ x 2）x + x 1 x 2=

0 ，将方程化为x 2 + px + q = 0 的形式，就能看出 x 1，x 2 与 p ，q 之间的关系.

学生有了刚才活动一掌握的知识，重新探究可得到方法1：若ax 2+bx+c=0

(a ≠0)两个根为x 1, x 2 二次项系数化为1：

方法2：若ax 2+bx+c=0 (a ≠0)两个根为x 1, x 2通过引导让学生在二次项系数是1的方程中发现一元二次方程根与系

数的关系，并证明这个结论，体会

观察→猜想→验证→归纳

（活动1中学生可能想不出推导过

程，需要教师巡堂引导，必要时白板上板书

用讲授法推

导）通过讨论、合作探究让学生经历从特殊到一般的探究过程，明确一元二次方程根与系数的关系。对学生用方法1这种蕴含化未知为已知数学思想的证明给予充分肯定。

1、（回归情景）操场的长和宽满足一元二

次方程

2x 2 -400x +15000= 0的两个根，求操场的周长和面积？

学生能利用根与系数的关系。用x 1、x 2表示矩形周长=（x 1+x 2）×2=200×2=400，面积=x 1x 2=7500，

及时回归引入情景，解法简便，用所学新知解决问题可增添学生的自豪感。

2、（例4） 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根x 1、 x 2的和与积1 x 2 - 6x – 15 = 0 2 3x 2 + 7x – 9 = 0 3 5x – 1 = 4x 2

在学生练习完后总结注意：

① 不是一般式的要先化成一般式.

② 在使用x 1+x 2=－ 时,“－ ”不要漏

学生利用根与系数的关系求出方程两根的和与积

让学生通过练习进一步巩固对一元二次方程的根与系数关系认识，及时总结易错点让学生减少错误几率。

（三）巩固新知理解应用：（20分钟）

3、练习1.已知方程 3x 2 - 10x +m = 0 的一根为

，求 m 及另一根.3

7

（启发学生用不同方法求出m 和另一个根）总结：已知方程的一个根，求另一个根及未知的系数或常数项时，可利用根与系数的关系求解。

1

,3

7

710-37

3

77

103733712122===+==+⨯-⨯=x x x x m m x 解得则原方程为解得）（代入原方程得：：将解法73

13713

1037,3

7

,,2212221121==⨯=

=--=+=+=m m

x x x x x x x x x ，解得解得其中：设两个根为解法让学生通过练习进一步巩固对一元二次方程的根与系数关系认识。