线性规划习题课
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
线性规划习题课
2x1 + 2x2≤ 450 此时，最优解变为：x1** = 150 x2** = 75 最大值：z** = 105000(元) 车间3的对偶价格为(105000-103000)/10=200
Solution
(5)从（2）中的图可以看出，目标函数的斜率在约束1和约束3的直线斜率
500
如果产品II的利润为400不变，有 即当产品I的利润取值范围为[400,∞]；
c1 400
1
400
c1
习题
1.用单纯形法求解
目标函数 约束条件
max z x1 2x2 x3 x1 x2 x3 12, 2x1 x2 x3 6, x1 3x2 9, x1, x2 , x3 0.
由此可知：车间2的能力还有剩余，剩余540-210=330； 车间4的能力也有剩余，剩余300-285=15；
在这个线性规划中称为松弛变量。
Solution
(4)车间2和车间4的能力有剩余，对偶价格为0；
车间1：设车间1的能力增加10单位，即第一个约束条件为
2x1≤ 310 此时，最优解变为：x1** = 155 x2** = 65 最大值：z** = 103500(元) 车间1的对偶价格为(103500-103000)/10=50
车间
ⅠⅡ
限制
1
2
0
300
2
0
3
540
3
2
2
440
4
1.2 1.5
300
利润 500 400
Solution
解：产品Ⅰ生产x1件，产品Ⅱ生产x2件。z为利润函数，建立线性规划模型 目标函数： max z = 500x1 + 400x2 约束条件： 2x1≤ 300 3x2≤ 540 2x1 + 2x2≤ 440 1.2x1+1.5x2≤ 300 x1,x2 ≥ 0 每个约束条件上加上一个松弛变量si，此线性规划模型的标准型为： 目标函数： max z = 500x1 + 400x2+ 0s1+0s2+0s3+0s4 约束条件： 2x1+s1=300 3x2+s2=540 2x1+2x2+s3=440 1.2x1+1.5x2+s4=300 x1,x2,s1,s2,s3,s4 ≥ 0
第二章 线性规划习题课
单位成本
甲 乙 丙 丁
1 2 1 1
(元／吨) 5 6 7 8
3. 约束条件：
x1 + 2x2 + x3 + x4 ≥160 2x1 +4 x0单位；B种药物恰好200单 位，C种药物不超过180单位， 且使原料总成本最小。
3x1 ＋ x2 + x3 +2 x4 ≤180 x1、x2 、x3 、x4 ≥0
解：设总利润为z，
max z = 4 x1 + 10 x2 + 3 x3 － 2 x4 2 x1 + 3x2 ≤ 12 3x1 + 4x2 ≤ 24 －4x2 +x3 + x4 = 0 x3 ≤5 x1、x2 、x3 、x4≥ 0
A、B产品销量为x1、x2，
产品C的销售量为x3 ， 报废量为x4，则：
0 x 7 0 x 8 100 1 x 7 0 x 8 100 3 x 7 4 x 8 100 0
Ⅵ Ⅶ Ⅷ
方
案 长度m 2.9 2.1 1.5 合计
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
2 0 1
7.3 0.1
1 2 0
1 1 1
1 0 3
7.4 0.0
0 3 0
x1 +
2x1
x2 + 2x3 +
+ 2x3
x4≤ 30
≤ 34
4x2 + 4x3 + 4x4 ≤ 52 25x1 + 20x2 ＝ 200 40x3 + 20x4＝ 400
第8课线性规划（经典例题练习、附答案）
第8课线性规划（经典例题练习、附答案）第8课线性规划◇考纲解读①从实际情境中抽象出⼆元⼀次不等式组；②了解⼆元⼀次不等式的⼏何意义，能⽤平⾯区域表⽰⼆元⼀次不等式组；③从实际情境中抽象出⼀些简单的⼆元线性规划问题，并能加以解决．◇知识梳理1．平⾯区域①⼆元⼀次不等式0Ax By C ++>在平⾯直⾓坐标系中表⽰0Ax By C ++=某⼀侧所有点组成的__________．②在直线的某⼀侧取⼀特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表⽰直线哪⼀侧的平⾯区域.（特殊地，当C ≠0时，常把_______作为此特殊点）王新敞③在坐标系中画不等式0Ax By C ++>所表⽰的平⾯区域时，把直线0Ax By C ++=画成虚线，表⽰区域__________边界直线．④在坐标系中画不等式0Ax By C ++≥所表⽰的平⾯区域时，把直线0Ax By C ++=画成实线，表⽰区域____________边界直线．2.线性规划：①求线性⽬标函数在线性约束条件下的最⼤值或最⼩值的问题，统称为________问题②满⾜线性约束条件的解（x ，y ）叫做__________，由所有可⾏解组成的集合叫做__________.（类似函数的定义域）；③使⽬标函数取得最⼤值或最⼩值的可⾏解叫做____________ 线性规划问题⼀般⽤图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x 、y ；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性⽬标函数z =f （x ，y ）；（4）画出可⾏域（即各约束条件所⽰区域的公共区域）；（5）利⽤线性⽬标函数作平⾏直线系f （x ，y ）=t （t 为参数）；（6）观察图形，找到直线f （x ，y ）=t 在可⾏域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案◇基础训练1．（2008⼭东青岛）若y x z y y x x y y x +=??-≥≤+≤2,11,则满⾜约束条件的最⼤值为（）A ．2B ．3C ．4D ．52. (2008佛⼭⼀模)在平⾯直⾓坐标系中，不等式组0401x y x y x +≥??-+≥??≤?表⽰的平⾯区域⾯积是（）．A ．3B ．6C ．92D ．9 3．设实数x , y 满⾜的最⼤值是则x y y y x y x ,03204202??≤->-+≤-- _________4．（2008⼭东济宁）已知点(,)P x y 的坐标满⾜条件41x y y x x +≤??≥??≥?，点O 为坐标原点，那么||PO 的最⼤值等于_______,最⼩值等于____________.◇典型例题例1．已知实数x ，y 满⾜不等式组22021x y x y +-≥??≤??≤?，求22z x y =+-⼤值和最⼩值．例2．为迎接2008年奥运会召开，某⼯艺品加⼯⼚准备⽣产具收藏价值奥运会标志——“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”.该⼚所⽤的主要原料为A 、B 两种贵重⾦属，已知⽣产⼀套奥运会标志需⽤原料A 和原料B 的量分别为4盒和3盒，⽣产⼀套奥运会吉祥物需⽤原料A 和原料B 的量分别为5盒和10盒.若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该⼚⽉初⼀次性购进原料A 、B 的量分别为200盒和300盒.问该⼚⽣产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该⼚⽉利润最⼤，最⼤利润为多少？◇能⼒提升1.（2007⼴州⼆模）已知⽅程2x bx 10(b R 0)a a a +-=∈>、且有两个实数根，其中⼀个根在区间(1,2)内，则a -b 的取值范围为（）A ．()+∞-1,B ．()1,-∞-C ．()1,∞-D ．()1,1-2．给出平⾯区域（包括边界）如图所⽰，若使⽬标函数(0)z ax y a =+>取得最⼤值的最优解有⽆穷多个，则a 的值为（） A ．14 B ．35 C ．4 D ．533．（2008佛⼭⼆模）已知A 为xOy 平⾯内的⼀个区域．命题甲：点20(,){(,)|0}360x y a b x y x x y -+≤??∈≥??+-≤?；命题⼄：点A b a ∈),(．如果甲是⼄的充分条件，那么区域A的⾯积的最⼩值是（）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．(2008深圳⼆模)当点(,)M x y 在如图所⽰的三⾓形ABC 内（含边界）运动时，⽬标函数z kx y =+取得最⼤值的⼀个最优解为(1,2)，则实数k 的取值范围是（）A ．(,1][1,)-∞-+∞B ．[1,1]-C ．(,1)(1,)-∞-+∞D ．(1,1)-5．实数x ，y 满⾜不等式组00220y x y x y ≥??-≥??--≥?若ωω则,11+-=x y 的取值范围是 . 6.(2008韶关⼆模)某车间⽣产甲、⼄两种产品，已知制造⼀件甲产品需要A 种元件5个，B 种元件2个，制造⼀件⼄种产品需要A 种元件3个，B 种元件3个，现在只有A 种元件180个，B 种元件135个，每件甲产品可获利润20元，每件⼄产品可获利润15元，试问在这种条件下，应如何安排⽣产计划才能得到最⼤利润？2)第8课线性规划◇知识梳理1. ①平⾯区域，②原点，③不包括，④包括. 2. ①线性规划，②可⾏解，③最优解。
运筹学课后习题及答案
运筹学课后习题及答案运筹学是一门应用数学的学科，旨在通过数学模型和方法来解决实际问题。
在学习运筹学的过程中，课后习题是非常重要的一部分，它不仅可以帮助我们巩固所学的知识，还可以提升我们的解决问题的能力。
下面，我将为大家提供一些运筹学课后习题及答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 线性规划问题线性规划是运筹学中的一个重要分支，它旨在寻找线性目标函数下的最优解。
以下是一个线性规划问题的例子：Max Z = 3x + 4ySubject to:2x + 3y ≤ 10x + y ≥ 5x, y ≥ 0解答：首先，我们可以画出约束条件的图形，如下所示：```y^|5 | /| /| /| /|/+-----------------10 x```通过观察图形，我们可以发现最优解点是(3, 2)，此时目标函数取得最大值为Z = 3(3) + 4(2) = 17。
2. 整数规划问题整数规划是线性规划的一种扩展，它要求变量的取值必须是整数。
以下是一个整数规划问题的例子：Max Z = 2x + 3ySubject to:x + y ≤ 52x + y ≤ 8x, y ≥ 0x, y为整数解答：通过计算，我们可以得到以下整数解之一：x = 2, y = 3此时，目标函数取得最大值为Z = 2(2) + 3(3) = 13。
3. 网络流问题网络流问题是运筹学中的另一个重要分支，它研究的是在网络中物体的流动问题。
以下是一个网络流问题的例子：有一个有向图，其中有三个节点S、A、B和一个汇点T。
边的容量和费用如下所示：S -> A: 容量为2，费用为1S -> B: 容量为3，费用为2A -> T: 容量为1，费用为1B -> T: 容量为2，费用为3A -> B: 容量为1，费用为1解答：通过使用最小费用最大流算法，我们可以找到从源点S到汇点T的最小费用流量。
在该例中，最小费用为5，最大流量为3。
第01-03章线性规划(2)
三、建立线性规划模型的步骤：
确定决策变量； 确定决策变量； 明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等 式表示； 式表示； 用决策变量的线性函数表示目标， 用决策变量的线性函数表示目标，并确定是求 极大（Max）还是极小（Min） 极大（Max）还是极小（Min）； 根据决策变量的物理性质研究变量是否有非负 性
方 案1 方 案2 方 案3 方 案4 方 案5 方 案6 方 案7 方 案8 2.9 m 1 2 0 1 0 1 0 0 2.1 m 0 0 2 2 1 1 3 0 1.5 m 3 1 2 0 3 1 0 4 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 6.5 6.3 6.0 合 计 0 0.1 0.2 0.3 0.8 0.9 1.1 1.4 剩 料 余 头
2.LP问题的典式 2.LP问题的典式 Z=CX → Z= CBXB+CNXN AX=b → BXB+NXN=b X≥0 XB=B-1b - B-1NXN Z= CB(B-1b- B-1NXN)+CNXN = CB B-1b+ (CN- CB B-1N)XN IXB + B-1NXN = B-1b
cj→ cB XB x2 x5 x6 cj － zj
。。。。
3 b 8/3 x1 2/3 -4/3 5/3 -1/3
5 x2 1 0 0 0
4 x3 0 5 4 4 ……….
0 x4 1/3 -2/3 -2/3 -5/3
0 x5 0 1 0 0
0 x6 0 0 1 0
14/3 20/3
x2 x3 x1 cj － zj
1 0 0 0
0 1 0 0
15/41 -6/41 -2/41 -45/41
8/41 5/41 -12/41 -24/41
线性规划习题课教案
线性规划习题课教案一、教学目标1. 理解线性规划的基本概念和方法。
2. 掌握线性规划模型的建立和求解。
3. 能够应用线性规划解决实际问题。
二、教学内容1. 线性规划概述线性规划的定义线性规划的应用领域2. 线性规划模型线性规划问题的标准形式线性规划问题的约束条件3. 线性规划的求解方法单纯形法内点法4. 线性规划的应用实例生产计划物流优化5. 线性规划的扩展整数规划非线性规划三、教学方法1. 讲授法：讲解线性规划的基本概念、方法和应用实例。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用线性规划解决问题的关键步骤。
3. 练习法：学生自主完成习题，巩固所学知识。
四、教学准备1. 教案、PPT和教学资料。
2. 习题集。
五、教学过程1. 导入：通过一个实际问题引出线性规划的主题。
2. 讲解：讲解线性规划的基本概念、方法和应用实例。
3. 练习：学生自主完成习题，教师进行解答和讲解。
4. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用线性规划解决问题的关键步骤。
5. 总结：回顾本节课的重点内容，提醒学生注意线性规划的适用范围和求解方法的选择。
教学反思：本节课通过讲解线性规划的基本概念、方法和应用实例，使学生了解了线性规划的基本知识和应用领域。
在教学过程中，要注意引导学生掌握线性规划模型的建立和求解方法，培养学生的实际问题解决能力。
也要注意线性规划的扩展内容，为学生进一步学习提供参考。
六、线性规划的单纯形法1. 单纯形法的原理和步骤基本思路迭代过程2. 单纯形法的应用实例最大化利润最小化成本七、线性规划的内点法1. 内点法的原理和步骤基本思路迭代过程2. 内点法的应用实例最大化利润最小化成本八、线性规划的应用领域1. 生产计划原材料分配产品生产调度2. 物流优化运输问题库存管理九、线性规划的案例分析1. 案例一：生产计划问题描述模型建立求解过程2. 案例二：物流优化问题描述模型建立求解过程十、线性规划的扩展1. 整数规划基本概念求解方法2. 非线性规划基本概念求解方法教学反思：通过本节课的学习，学生应该能够掌握线性规划的单纯形法和内点法，并能够应用到实际问题中。
交通分析习题课（运筹学）
习 题第二章 线性规划习题2－1 某桥梁工地需集合料3万立方米，集合料含量为：粘土含量不大于0.8％，细沙含量在5％～8％之间，粗沙含量在60％～70％之间，砾石含量在20％～30％之间，现有材料数量及单价如下表所示。
问如何配料才能使集合料的总成本费用最低？（试列出数学模型）。
2—2 将下列线性规划问题化成标准型：① 42154m ax x x x S ++=s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥+-≤-+≤+++=+0,,,843104480334304432143432432121x x x x x x x x x x x x x x x② 4321343m in x x x x S --+=s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥≤+-≥++=-+≤+0,0,8434040403213242132141x x x x x x x x x x x x x 2—3 用图解法求解下列线性规划问题：2152m ax x x S +=s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤0,8234212121x x x x x x（答案：19=*S ，()T X 3,2=*。
）2—4 用单纯形法求解下列线性规划问题 ① 321834m in x x x S ++=s.t.⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤+0,,5223213231x x x x x x x（答案：15=*S ，T X ),0,5,0(=*。
） ② 432132m ax x x x x S -++=s.t. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=++=++0,,,1022052153243214321321321x x x x x x x x x x x x x x （答案：15=*S ，T X )0,2/5,2/5,2/5(=*。
）第三章 特殊类型的线性规划习题3－1用表上作业法求解以下运输问题。
3－2某市区交通愿望图有三个始点和三个终点，始点发生的出行交通量a i ，终点吸引的交通量b j 及始终点之间的旅行费用如下所示。
3-3-4线性规划习题课
处达到最小值－5，在(5,3)处达到最大值 7. ∴z∈[－5,7]．
第三章
3.3
第4课时
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命题方向
简单线性规划的实际应用
[例 4]
某公司有 60 万元资金，计划投资甲、乙两个项
2 目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 倍，且对 3 每个项目的投资不能低于 5 万元．对项目甲每投资 1 万元可 获得 0.4 万元的利润， 对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元 的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得 的最大利润为( )
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课后强化作业（点此链接）
第三章
3.3
第4课时
表示的平面区域是 W， W 若
中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)共有 91 个，则实数 a 的 取值范围是( ) B．[－1,0) D．[1,2)
A．(－2，－1] C．(0,1]
[答案] C
第三章
3.3
第4课时
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[解析]
注意到，当 a＝1 时，将直线 x＝1、y＝1 与 2x＋
图象与 x 轴有两个交点，则点(a，b)在 aOb 平面上的区域(不 包含边界)为( )
第三章
3.3
第4课时
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[答案]
C
第三章
3.3
第4课时
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[解析]
解法 1：由函数 y＝ax2＋bx＋a 的图象与 x 轴有两
个交点得 Δ＝b2－4a· a>0.即|b|>2|a|. 在 aOb 坐标系中，画出点(a，b)所在的平面区域(不包含边 界)，得 C 选项正确． 解法 2：依据所给图形提供的信息，取特殊值. 令 a＝1，b＝0，y＝ax2＋bx＋a＝x2＋1，其图象与 x 轴无 交点，故排除 B、D. 又令 a＝－1，b＝1，y＝ax2＋bx＋a＝－x2＋x－1，其图象 与 x 轴也没有交点，故排除 A.∴应选择 C.
兰州大学运筹学——线性规划问题的计算机求解 课后习题题解
第四章 线性规划问题的计算机求解4.1 有以下线性规划数学问题： max Z=2x l +3 x 2 S.T. x l + x 2≤10 2x l + x 2≥4x l +3 x 2≤24 2x l + x 2≤16x l 、 x 2≥01、 用EXCEL 线性规划求解模板求解该数学模型。
2、 本问题的最优解是什么？此时最大目标函数值是多少？3、 四个约束条件中，哪些约束条件起到了作用？各约束条件的剩余量或松弛量及对偶价格是多少？4、 目标函数中各变量系数在什么范围内变化时，最优解不变？5、 确定各给定条件中的常数项的上限和下限。
解： 1、2、最优解：（3，7），最优值：273、 可变单元格约束对于求最大化的问题，对偶价格=阴影价格松弛量/剩余量对偶价格x l+ x2≤10 0 1.52x l+ x2≥4 9 0x l+3 x2≤24 0 0.52x l+ x2≤16 13 0 因第一、第三个约束条件的松弛量/剩余量为0 ，所以这两个约束条件起到了约束作用。
4、目标函数中各变量系数1≤C1≤32≤C1≤65、常数项8≤b1≤9.2无限≤b2≤1318≤b3≤3013≤b4≤无限4.2 有以下线性规划数学问题：min f=8x l+3 x2S.T. 500x l+100 x2≤12000005x l+4 x2≥60000100x l≥300000x l 、x2≥01、用EXCEL线性规划求解模板求解该数学模型。
2、本问题的最优解是什么？此时最大目标函数值是多少？3、各约束条件的剩余量或松弛量及对偶价格是多少？分别解释其含义。
4、目标函数中各变量系数在什么范围内变化时，最优解不变？5、确定各给定条件中的常数项的上限和下限。
解：本问题无解。
4.3 有以下线性规划数学问题：max Z=x l+2 x2+3 x3- x4S.T. x l+2 x2+3 x3≤152x l+ x2+5 x3≤20x l+2 x2+ x3+ x4≤10x l 、x2、x3、x4≥01、用EXCEL线性规划求解模板求解该数学模型。
线性规划习题
第一章线性规划习题1. 将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表1) min — 3xi+ 4X2 — 2X3 + 5X4kJXik AO (i=1，2,…，n; k = 12…，rn).2. 分别用单纯法中的大M 法和两阶段法求解下述线性规划问题：mi nZ 二 2xi + 3x2+ X3Xi 4X2 2X3-8, s.t. （3X I +2X 2X6,X I ,X2,X A0.并指出该问题的解属哪一类解。
3.【表1-6］是某求极大化线性规划问题计算得到单纯形表。
表中无人工变量， as, a 2, as, d 5 Ci, C2为待定常数。
试说明这些常数分别取何值时，以下结论成立。
1） 表中解为唯一最优解；2） 表中解为最优解，但存在无穷多最优解； 3） 该线性规划问题具有无界解；4） 表中解非最优，为对解进行改进，换入变量为* ,换出变量为Xe 。
表1-6基b Xi X2 X3 X4 X5 Xe X3 d 4 ai 1 0 a2 0 X4 2 —1 —3 0 1 1 0 X63a3 -5 0 0 -4 1CiC2—34. 某饲料厂用原料ABC 加工成三种不同牌号的饲料甲、乙、丙。
已知各 种牌 号饲料中ABC 含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号的饲 料的单位加工费及售价如【表1・7】所示。
2) maxS 二 zx/ pk4Xi-X?+2X3-X4 = —2捲 + X2 +3X3 — X4 兰 14-2X A 1 +3X2 - X3 +2X4 兰 2、X1,X2,X AO, X4 无约束•a xik iki=1 k」S.t. j 一x —原料成本（元/千克）问该厂每月应生产这三种牌号饲料各多少千克，使该厂获利最大？试建立这 个问题的的线性规划的数学模型。
5. 考虑下列问题max f (x)二 2xi 4x2为一' X2兰1 为3 0, X2色0D 建立此问题的对偶问题，然后以观察法求出其最优解。
线性规划习题精选精讲含答案
O
x=3 x
习题精选精讲
方 平 移 后 与 直 线 x+y＝ 5 重 合 ， 故 a=1， 选 D 五、求非线性目标函数的最值
2 x y 2 0 例 5、 已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 x 2 y 4 0 3 x y 3 0
是 （ A、 13， 1 C、 13， ） B、 13， 2 D、
3
0.18 x 0.09 y 72 0.08 x 0.28 y 56 解：设生产圆桌 x 只,生产衣柜 y 个,利润总额为 z 元,那么 x 0 y 0
2
而 z=6x+10y.
习题精选精讲
如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域. 作直线 l:6x+10y=0,即 l:3x+5y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直线经过可行域上点 M,且与原点 距离最大,此时 z=6x+10y 取最大值解方程组
x 2 例 1、 若 x、 y 满 足 约 束 条 件 y 2 x y 2
， 则 z=x+2y 的 取 值 范 围 是
（
）
A、 [2,6] B、 [2,5] C、 [3,6] D、 （ 3,5] 解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， 作 直 线 l： x+2y＝ 0， 将 l 向 右 上 方 平 移 ， 过 点 A（ 2,0） 时 ， 有 最 小 值 2， 过 点 B（ 2,2） 时 ， 有 最 大 值 6， 故 选 A 二、求可行域的面积
所以,谷物饲料和动物饲料应按 5:1 的比例混合,此时成本最低. 指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它 ,这是线性规划中最常 见的问题之一.
《运筹学》习题线性规划部分练习题及答案整理版
《运筹学》线性规划部分练习题一、思考题1.什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？2 .线性规划问题的一般形式有何特征？3.建立一个实际问题的数学模型一般要几步？4.两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？5.求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？6.什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。
7•试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。
8•试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。
9.在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？10.大M法中，M的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？11 •什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？二、判断下列说法是否正确。
1.线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。
2.线性规划的可行解集是凸集。
3.如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。
4.线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。
5 .线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。
6.如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。
7.用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与j' 0对应的变量都可以被选作换入变量。
8 .单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。
9.单纯形法计算中，选取最大正检验数二k对应的变量xk作为换入变量，可使目标函数值得到最快的减少。
10 . 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。
三、建立下面问题的数学模型1.某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目I从第一年到第三年年初都可以投资。
运筹学第2章线性规划和单纯形法-习题解答PPT
影像科学与技术实验室 东南大学计算机学院 伍家松 jswu@
1
第一次作业完成的比较好的同学名单
71115134 朱鑫 71115142 刘茂林 71115204吕庆香 71115223 李竞 71115226 王思根 71115241蔡健宇
71115314 张轩奕 71115317 张东旭 71115338 姚雪飞 71115339肖君彦 71115344 李威 71116439 农思平
3x2 2 x2
8 3
11
课后练习题 2.3(1)
2 x1 x3 8
x1
6 x3
3
没有必要再计算目标函数z的值
2 x1 x1
4 x4 7 x4
8 3
12
课后练习题 2.3(1)
3x2 x3 8
2
x
2
6 x3
3
3 2
x2 x2
4 x4 7 x4
8 3
13
课后练习题 2.3(1)
作业的分数越高。 自己做的作业，对于作业中的题目提出自己独到的
创新性的个性的解法(不管解法是正确还是错误)
对于平时的作业，错误并不可怕， 可怕的是解法的平庸，最可怕的是抄袭！
5
理论类型作业
第2章 线性规划与单纯形法 （P55-56）
2.3 （1） 2.8
6
实验类型作业
第2章 线性规划与单纯形法 实验类型作业只交电子版 (准备一份WORD)
8
课后练习题（运筹学第4版）
第2章 线性规划与单纯形法
2.3 （1） 2.8
9
课后练习题 2.3(1)
2.3
10
课后练习题 2.3(1)
兰州大学运筹学——线性规划问题的计算机求解 课后习题题解
第四章 线性规划问题的计算机求解4.1 有以下线性规划数学问题： max Z=2x l +3 x 2 S.T. x l + x 2≤10 2x l + x 2≥4x l +3 x 2≤24 2x l + x 2≤16x l 、 x 2≥01、 用EXCEL 线性规划求解模板求解该数学模型。
2、 本问题的最优解是什么？此时最大目标函数值是多少？3、 四个约束条件中，哪些约束条件起到了作用？各约束条件的剩余量或松弛量及对偶价格是多少？4、 目标函数中各变量系数在什么范围内变化时，最优解不变？5、 确定各给定条件中的常数项的上限和下限。
解： 1、2、最优解：（3，7），最优值：273、 可变单元格约束对于求最大化的问题，对偶价格=阴影价格松弛量/剩余量对偶价格x l+ x2≤10 0 1.52x l+ x2≥4 9 0x l+3 x2≤24 0 0.52x l+ x2≤16 13 0 因第一、第三个约束条件的松弛量/剩余量为0 ，所以这两个约束条件起到了约束作用。
4、目标函数中各变量系数1≤C1≤32≤C1≤65、常数项8≤b1≤9.2无限≤b2≤1318≤b3≤3013≤b4≤无限4.2 有以下线性规划数学问题：min f=8x l+3 x2S.T. 500x l+100 x2≤12000005x l+4 x2≥60000100x l≥300000x l 、x2≥01、用EXCEL线性规划求解模板求解该数学模型。
2、本问题的最优解是什么？此时最大目标函数值是多少？3、各约束条件的剩余量或松弛量及对偶价格是多少？分别解释其含义。
4、目标函数中各变量系数在什么范围内变化时，最优解不变？5、确定各给定条件中的常数项的上限和下限。
解：本问题无解。
4.3 有以下线性规划数学问题：max Z=x l+2 x2+3 x3- x4S.T. x l+2 x2+3 x3≤152x l+ x2+5 x3≤20x l+2 x2+ x3+ x4≤10x l 、x2、x3、x4≥01、用EXCEL线性规划求解模板求解该数学模型。
线性规划习题课教案
线性规划习题课教案第一章：线性规划基础1.1 线性规划的定义与意义解释线性规划的概念讨论线性规划在实际问题中的应用1.2 线性规划的基本模型介绍线性规划的基本数学模型分析线性规划模型的构成要素1.3 线性规划的图解法讲解线性规划图解法的原理与步骤通过实例演示线性规划图解法的应用第二章：线性规划的单纯形法2.1 单纯形法的原理解释单纯形法的思路与步骤分析单纯形法的适用条件2.2 单纯形法的应用通过实例讲解单纯形法的操作过程讨论单纯形法在实际问题中的应用2.3 单纯形法的推广与改进介绍单纯形法的推广版本探讨单纯形法的改进方向第三章：线性规划的对偶理论3.1 对偶理论的基本概念解释对偶理论的定义与意义分析线性规划问题的对偶关系3.2 对偶理论的应用讲解对偶理论在优化问题中的应用通过实例演示对偶理论的应用过程3.3 对偶理论与经济解释探讨对偶理论在经济领域的应用分析对偶理论在经济解释中的作用第四章：线性规划的灵敏度分析4.1 灵敏度分析的概念解释灵敏度分析的定义与目的讨论灵敏度分析在实际问题中的应用4.2 灵敏度分析的计算方法讲解灵敏度分析的计算步骤与方法通过实例演示灵敏度分析的应用过程4.3 灵敏度分析的应用探讨灵敏度分析在决策过程中的应用分析灵敏度分析在风险管理中的作用第五章：线性规划与其它领域的结合5.1 线性规划与网络流讲解线性规划与网络流的关系通过实例演示线性规划在网络流问题中的应用5.2 线性规划与整数规划解释整数规划与线性规划的关系探讨线性规划在整数规划中的应用5.3 线性规划与随机规划讲解线性规划与随机规划的联系与区别讨论线性规划在随机规划问题中的应用第六章：线性规划在生产管理中的应用6.1 生产规划与线性规划解释生产管理中线性规划的应用背景分析线性规划在生产管理中的重要性6.2 生产调度问题讲解生产调度问题及其线性规划模型通过实例演示线性规划在生产调度中的应用6.3 物料需求计划解释物料需求计划的概念及其作用探讨线性规划在物料需求计划中的应用第七章：线性规划在交通运输中的应用7.1 交通运输与线性规划讨论线性规划在交通运输领域的应用背景分析线性规划在交通运输规划中的作用7.2 运输问题讲解运输问题的数学模型及其解法通过实例演示线性规划在运输问题中的应用7.3 路径规划问题解释路径规划问题及其线性规划模型探讨线性规划在路径规划问题中的应用第八章：线性规划在金融投资中的应用8.1 金融投资与线性规划讨论线性规划在金融投资领域的应用背景分析线性规划在金融投资决策中的作用8.2 投资组合优化问题讲解投资组合优化问题的数学模型及其解法通过实例演示线性规划在投资组合优化问题中的应用8.3 风险管理解释风险管理及其线性规划模型探讨线性规划在风险管理中的应用第九章：线性规划在项目管理中的应用9.1 项目管理与线性规划讨论线性规划在项目管理领域的应用背景分析线性规划在项目规划与控制中的作用9.2 项目时间规划讲解项目时间规划及其线性规划模型通过实例演示线性规划在项目时间规划中的应用9.3 资源优化问题解释资源优化问题及其线性规划模型探讨线性规划在资源优化问题中的应用第十章：线性规划在其它领域的应用10.1 线性规划在能源管理中的应用讲解线性规划在能源管理领域的应用背景通过实例演示线性规划在能源管理中的应用10.2 线性规划在环境保护中的应用解释线性规划在环境保护领域的应用背景探讨线性规划在环境保护中的应用10.3 线性规划在其它领域中的应用前景分析线性规划在其他领域的应用潜力展望线性规划在未来发展中的作用与地位重点和难点解析第一章中，线性规划的定义与意义、线性规划的基本模型是理解线性规划问题的基础，需要重点关注。
线性规划习题课教案
线性规划习题课教案一、教学目标1. 理解线性规划的基本概念和方法。
2. 掌握线性规划模型的建立和求解。
3. 能够应用线性规划解决实际问题。
二、教学内容1. 线性规划概述线性规划的定义线性规划的应用领域2. 线性规划模型线性规划的数学模型线性规划的约束条件线性规划的目标函数3. 线性规划的求解方法图形法单纯形法内点法三、教学重点与难点1. 教学重点：线性规划的基本概念和方法。
线性规划模型的建立和求解。
2. 教学难点：线性规划模型的求解方法（单纯形法、内点法）。
四、教学过程1. 引入：通过一个实际问题引出线性规划的概念和方法。
2. 讲解：讲解线性规划的基本概念和方法，举例说明。
3. 练习：让学生通过练习题巩固所学内容。
4. 讨论：分组讨论实际问题，建立线性规划模型并求解。
五、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对线性规划基本概念和方法的理解程度。
2. 练习题：评价学生对线性规划模型的建立和求解能力。
3. 实际问题解决：评价学生应用线性规划解决实际问题的能力。
六、教学方法1. 案例分析：通过分析具体的线性规划案例，让学生理解线性规划的应用场景和求解过程。
2. 互动讨论：鼓励学生积极参与讨论，提出问题和建议，增强对线性规划的理解。
3. 练习题：提供丰富的练习题，让学生通过实践巩固所学知识。
七、教学资源1. 教案、PPT：提供详细的教学内容和图表，方便学生理解和复习。
2. 练习题库：提供多样的练习题，满足不同学生的学习需求。
3. 案例资料：提供真实的线性规划案例，帮助学生了解线性规划在实际中的应用。
八、教学进度安排1. 课时：根据教学实际情况，安排适当的课时进行线性规划的教学。
2. 教学进度：按照教案和教学计划，有序地进行线性规划的教学，确保学生掌握基本概念和方法。
九、教学反思与改进1. 课堂反馈：关注学生的学习反馈，了解他们在线性规划学习过程中的困惑和问题。
2. 教学评价：根据学生的练习和实际问题解决情况，评价教学效果，发现问题并及时改进。
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② A，C，E 选且只选一项： x1 x3 x5 1
③ B，D 选且只选一项： x2 x4 1
④ 选 C 必须先选 D ：
x3 1 x4 1 , 或x3 0 x4 0 或1 ,
x3 x4
于是数学模型为以下 0－1 规划：
max z 10 x1 8x2 7 x3 6 x4 9 x5
• 约束—总金额不超过限制
n
bjxj B
j 1
• 目标—总收益最大
n
max c j x j j 1
n
max c j x j j 1
n
s.t. j1 b j x j B
x
j
1,0;
j
1,2...,n
例2 一家昼夜服务的饭店，24小时中需要的服
务员数如下表所示。每个服务员每天连续工作8 小时，且在时段开始时上班。问：最少需要多少 名服务员？试建立该问题的线性规划模型。
解
用 xj 分别表示 A ，B ，C ，D ，E 的被选情况，则
1, 项目 j 被选中, x j 0, 项目 j未 被选中,
j 1, 2, 3, 4, 5
于是投资总收益期望值：
z 10 x1 8x2 7x3 6x4 9x5
约束条件：
① 资金总额限制：
6x1 4x2 2x3 4x4 5x5 15
例3 投资项目选取问题 某单位拟利用闲置资金15 万元进行对外投资，现有 5个投资项
目可供选择，所需资金及投资回报收益期望值为
项目 A B C D E
所需资金（万元） 6 4 2 4 5
收益期望值（万元） 10 8 7 6 9
A，B，C，D，E 之间的关系是： ① A、C、E 三项中需且只能选一项； ② B、D 两项中需且只能选一项； ③ 选 C 必须先选 D 。 问题：如何选择投资决策，使总投资期望值最大？
起迄时间
2----6 时 6---10 时 10--14 时 14--18 时 18--22 时 22---2 时
服务员人数 4 8 10 7 12 4
模型：
设以xj表示第j时段开始上班工作的服务员数， 则
Min z=x1+x2+x3+x4+x5+x6 st. x6+x14 x1+x28 x2+x310 x3+x47 x4+x512 x5+x64 xj0, xj为整数(j=1,2,---,6)
线性规划建模
例1
• 某财团有 B万元的资金，经出其考察选中 n
个投资项目，每个项目只能投资一个。其
中 年第后获j个利项c目（j 需j 投1资,2.金..,额n）为万b j元万，元问，应预如计何5
选择项目使得5年后总收益最大？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
模型
• 变量—每个项目是否投资
x j 1,0 j 1,2...,n
表
A BCD 甲 15 20 9 10 乙 12 16 10 12
6 x1 4 x2 2 x3 4 x4 5x5 15
x1 x3 x5 1 x2 x4 1
x3 x4
x j 0或1，j 1, 2,3, 4,5
练习题1、有四项工作指派给甲、乙两人完成， 每人完成两项工作．两人完成各项工作的时间 （小时）见表，怎样安排工作使总时间最少．