频域卷积定理证明
卷积定理证明
卷积定理证明卷积定理是数字信号处理中的重要定理，它表明了时域卷积可以转换为频域乘积。
具体的定理表述如下：设x(n)、y(n)为有限长离散时间信号，它们的长度为N，Z为离散时间复频率单位周期，那么它们的离散卷积为：x(n)*y(n)=∑（k=0~N-1）x(k)y(n-k) (1)其离散傅里叶变换为：DFT[x(n)*y(n)]=X(k)Y(k)(2)其中X(k)和Y(k)分别为x(n)和y(n)的DFT系数。
证明：为了证明卷积定理，我们需要用到离散傅里叶变换（DFT）的性质：DFT[∑（n=0~N-1）x(n)y(n)]=X(k)Y(k)也就是说，如果我们将时域中的卷积转换为频域中的乘积，那么对于一个周期N 的离散序列，在频域中的DFT变换结果是两个序列的DFT系数的乘积。
这一性质是离散傅里叶变换的基本理论之一，在这里不再做深入的讨论。
我们现在考虑两个序列x(n)和y(n)的卷积，它的离散傅里叶变换为：DFT[x(n)*y(n)]=∑（k=0~N-1）DFT[x(k)y(n-k)]根据DFT的性质，我们可以将上面的式子改写为：DFT[x(n)*y(n)]=∑（k=0~N-1）X(k)Y(n-k)进行下面的变换：∑（k=0~n）X(k)Y(n-k)+∑（k=n+1~N-1）X(k)Y(n-k)根据卷积的定义，式子左侧的第一项实际上就是x(n)和y(n)的卷积，因此可以将它改写为：∑（k=0~n）x(k)y(n-k)同样，式子左侧的第二项可以改写为：∑（k=0~N-1）x(k)y(n-k)-∑（k=0~n）x(k)y(n-k)因此，前一项等式右侧就是DFT[x(n)*y(n)]，后一项可以继续变换为：∑（k=n+1~N-1）x(k)y(n-k)这样就得出了卷积定理的证明：∑（k=0~N-1）X(k)Y(n-k)=DFT[x(n)*y(n)]。
《数字信号处理》(门爱东)课后习题答案(上册)
证明：
∞
设 g(t) = ∑ f (nT )δ (t − nT ) n = −∞
则：
∑ ∑ F
g
( t )
=
F
∞ n =−∞
f
(nT
)δ
(t
−
nT
)
=
∞ n =−∞
f
(nT
) e−
jnT Ω
∞
0
+∞
∑ ∑ ∑ =
e−a nT e− jnTΩ =
eanT e− jnTΩ + e e −anT − jnTΩ
(2) 用 （a） 的结果，证明频域卷积定理
证明：
f1(t)
f2 (t )
↔
1 2π
F1(Ω) ∗ F2 (Ω)
（1）
（2）
( ) ∫ ( ) ∫ ( ) F Ω ∗ e− jΩt =
∞
F
y e− j(Ω− y)tdy =
∞
FБайду номын сангаас
y e− jΩte jytdy
−∞
−∞
∫ ( ) ( ) = e− jΩt
n =−∞
n = −∞
n=1
+∞
+∞
∑ ∑ = e−anT e jnTΩ + e e −anT − jnTΩ
n =0
n =1
+∞
+∞
∑ ∑ = e−nT (a− jΩ) + e−nT (a+ jΩ)
n =0
n =1
=
1−
1 e−T (a− jΩ)
+
1
e −
−T (a+ jΩ)
e−T (a+ jΩ
3.8 卷积特性(卷积定理)
一、时域抽样
FT [ f s (t )] = Fs (ω ) FT [ f (t )] = F (ω ) FT [ p (t )] = P(ω )
f s (t ) = f (t ) p ((ω ) P(ω ) 2π
P(ω) = 2π ∑Pδ (ω nωs ) n
π π πt FT [cos( )] = π [δ (ω + ) + δ (ω )] τ τ τ
2
2
1 πt F (ω ) = G (ω ) FT [cos( )] 2π τ
G (ω ) = Eτ Sa (
ωτ
2
)
πt π π FT [cos( )] = π [δ (ω + ) + δ (ω )] τ τ τ
1
ω1 ω 0
0 ω2 ω0
ω0
2ω 0 ω 0 + ω1 ω 0 + ω 2
ω
10
ω2 ω0
ω1
ω1
ω0
ω2
1 FT[ f (t) cosω1t] = [F(ω +ω1) + F(ω ω1)] 2
1 2
ω1 ω 2 2 ω 1 ω 1 ω1 ω 2
0
ω 2 ω1 ω 1
2 ω 1 ω1 + ω 2
6
∫
∞
∞
F (ω )
2 sin ω
ω
e
j 2ω
dω = ?
F (ω) = F(ω) 1
2sin ω
ω
e j 2ω
f1(t) = f (t) FT 1[2Sa(ω)e j 2ω ]
∫
∞
∞
F(ω)
1
2sin ω
频域卷积定理
频域卷积定理频域卷积定理是数字信号处理中一个重要的定理，它有助于我们深入理解信号处理技术和深度学习技术，它涉及到信号处理中所有重要概念，包括频率和时间域，以及滤波器和信号编码等。
理解频域卷积定理，进而掌握信号处理的关键，可以帮助我们高效的实现信号处理或机器学习的任务。
频域卷积定理可以用简单的语言来描述：频域卷积定理指的是，如果两个函数的傅立叶变换结果相乘，则这两个函数在实际空间中的卷积结果等于这两个函数的傅立叶变换结果的逆变换结果。
实际上，频域卷积定理更精确地指出，如果函数f（t）和g（t）的傅立叶变换分别为F（w）和G（w），则卷积结果h（t）的傅立叶变换H（w）等于F（w）乘以G（w）。
为什么我们要研究频域卷积定理呢？频域卷积定理可以帮助我们更加深入领略信号处理技术，而在深度学习算法实现上，又有几种重要的应用。
<b>频域卷积定理在深度学习中的应用</b>首先，频域卷积定理可以帮助我们理解卷积神经网络（CNN），CNN 是深度学习中一类常用的模型，它可以利用卷积核对输入数据进行滤波，从而提取特定的特征，有助于我们更好的实现机器学习任务。
在深度学习中，主要通过滤波来提取特征，而滤波器的设计又与频域卷积定理息息相关。
其次，频域卷积定理可以帮助我们理解生成对抗网络（GAN），GAN是另一类重要的深度学习模型，它在图像生成上可以实现前所未有的效果，同时，也可以用于图像分类和模式识别等任务。
在GAN模型中，判别器可以用频域卷积定理来实现特征提取，帮助模型更加准确的分类。
最后，也可以利用频域卷积定理来建立频域卷积神经网络（FCNN），FCNN和CNN有相似的结构，但FCNN使用傅立叶变换和反变换替代了CNN使用的卷积核和池化操作，它可以更快速和准确的实现机器学习任务。
<b>结论</b>频域卷积定理可以帮助我们理解信号处理技术，而在深度学习模型中，也有着广泛的应用。
时域卷积定理和频域卷积定理
时域卷积定理和频域卷积定理
时域卷积定理和频域卷积定理是信号处理领域中常用的两个定理，用于描述信号在时域和频域之间的卷积关系。
1. 时域卷积定理：
时域卷积定理表明，两个信号的卷积在时域中等于它们的傅里叶变换的乘积在频域中。
具体表达式如下：
若x(t)和h(t)的傅里叶变换分别为X(f)和H(f)，则它们的卷积y(t)的傅里叶变换Y(f)满足以下关系：
Y(f) = X(f) * H(f)
其中"*"表示频域中的乘积运算。
2. 频域卷积定理：
频域卷积定理则是时域卷积定理的逆定理，表明两个信号的乘积在时域中等于它们的傅里叶变换的卷积在频域中。
具体表达式如下：若x(t)和h(t)的傅里叶变换分别为X(f)和H(f)，则它们的乘积z(t)的傅里叶变换Z(f)满足以下关系：
Z(f) = X(f) · H(f)
其中"·"表示频域中的卷积运算。
时域卷积定理和频域卷积定理的应用通常涉及信号处理、滤波器设计、系统分析等领域。
通过在时域和频域之间进行变换，可以简化复杂信号处理问题的计算和分析过程，提高效率和准确性。
同时，这些定理也为我们提供了理解信号在时域和频域之间相互转换的基础框架。
卷积证明及研究卷积在时域-频域信号中的应用
研究卷积在时域-频域信号中的应用卷积定义：若已知函数()1f t ，()2f t ，称积分()()12d f f t τττ+∞-∞-⎰为函数()1f t ，()2f t 的卷积，记为()()12f t f t *，即()()()()1212d f t f t f f t τττ+∞-∞*=-⎰卷积积分是一种数学方法，它是沟通时域-频域的一个桥梁，在信号与系统的理论研究中占有重要的地位。
在很多情况下，卷积积分的计算比较困难，但是根据卷积的特性可以将卷积积分变成乘法运算，从而使信号分析人工化。
变成的乘法运算即若()(f)x t X ⇔ ()(f)y t Y ⇔ 则()()(f)Y(f)xt y t X *⇔，()()(f)Y(f)x t y t X ⇔*※现给出卷积定理在时域-频域中应用的证明 ()()()()1212d f t f t f f t τττ+∞-∞*=-⎰上式两边进行傅里叶变换，有 ()()()()j 1212d e d F t f t f t f f t t ωτττ+∞+∞--∞-∞⎡⎤=⎡⎤⎣*-⎢⎥⎣⎦⎦⎰⎰ 交换积分次序 ()()()()j 1212e d d F t f t f t f f t t ωτττ+∞+∞--∞-∞=⎡⎡⎤*-⎢⎥⎣⎤⎣⎦⎦⎰⎰()()j j ()12e e d()d t t f f t t ωωτττττ+∞+∞----∞-∞⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰根据时移特性，上式的中括号内的积分就是()2f t 的傅里叶变换，即 ()()()j 1212F e F ()d t f t f t f ωτωτ+∞--∞*=⎡⎤⎣⎦⎰()j 21F ()e d t f ωωττ+∞--∞=⎰同理，上式中的积分就是()1f t 的傅里叶变换，即()()122112F F ()F ()F ()F ()f t f t ωωωω*==⎡⎤⎣⎦ 因此，()()1212F ()F ()f t f t ωω*⇔总结：时域中的信号卷积，对应着频域乘积；而时域中的信号乘积，对应着频域卷积，即若()(f)x t X ⇔ ()(f)y t Y ⇔ 则()()(f)Y(f)x t y t X *⇔，()()(f)Y(f)x t y t X ⇔*。
傅里叶卷积定理
傅里叶卷积定理
傅里叶卷积定理是指在时域上进行卷积运算等价于在频域上进行相乘运算的关系。
简单来说，如果两个信号是函数f(t)和函数g(t)，那么在时域上对这两个函数进行卷积运算后得到的h(t)，在频域上可以表示为H(ω)，它等于函数f(t)和g(t)的傅里叶变换F(ω)和G(ω)的乘积。
这个定理的证明可以通过傅里叶变换的性质和卷积运算的定义来完成。
首先，我们知道傅里叶变换具有线性性质，即对于任意常数a和b，有F(ax+by)=aF(x)+bF(y)。
其次，我们知道卷积运算的定义为：conv(f,g)=∫-∞+∞f(t)g(x-t)dt。
将卷积运算进行傅里叶变换后得到：FG=∫-∞+∞f(t)g(x-t)dt=(2π)(-∞+∞)∫-∞+∞F(ω)G(ω/2π)e^(iωt)dω。
通过对比可以得出傅里叶卷积定理的表达式：conv(f,g)=(FG)(x) = -∞+∞F(λ)G(x/λ)dλ。
傅里叶卷积定理在信号处理中有广泛的应用。
例如，在信号去噪中，可以将信号和噪声的傅里叶变换进行相乘，去除噪声的高频成分；在系统响应计算中，可以通过将输入信号和冲激响应函数的傅里叶变换进行相乘，然后再进行傅里叶逆变换，得到系统的输出信号。
此外，傅里叶卷积定理还可以用于推断图像的特征，提取出图像中的重要特征。
信号与系统卷积的原理及应用matlab实验
信号与系统卷积的原理及应用matlab实验一、信号与系统基础概念信号是指随时间或空间变化的物理量，可以是电压、电流、声音等。
系统是指对输入信号进行处理的设备或算法，可以是滤波器、放大器等。
二、卷积的定义卷积是一种信号处理方法，用于描述一个信号经过另一个信号响应后产生的输出。
数学上，卷积可以表示为两个函数之间的积分运算，即：y(t) = ∫x(τ)h(t-τ)dτ其中，y(t)表示输出信号，x(t)表示输入信号，h(t)表示系统的单位响应。
三、卷积定理卷积定理是指在频域中进行卷积运算时，等价于对两个函数进行乘法运算后再进行逆变换。
即：F{f*g} = F{f}·F{g}其中，f和g分别为两个函数，在频域中表示为F{f}和F{g}。
四、离散卷积与离散卷积定理在数字信号处理中，使用离散卷积来描述一个序列经过另一个序列响应后产生的输出序列。
离散卷积可以表示为：y[n] = ∑x[k]h[n-k]其中，y[n]表示输出序列，x[k]表示输入序列，h[n-k]表示系统的单位响应。
离散卷积定理是指在频域中进行离散卷积运算时，等价于对两个序列进行乘法运算后再进行逆变换。
即：DFT{f*g} = DFT{f}·DFT{g}其中，f和g分别为两个序列，在频域中表示为DFT{f}和DFT{g}。
五、matlab实验1. 实验目的通过matlab实现离散卷积的计算，并观察离散卷积定理的效果。
2. 实验步骤（1）生成两个长度为N的随机序列x和h。
（2）使用matlab自带函数conv计算x和h的离散卷积y1，并绘制其图像。
（3）将x和h分别进行N点FFT变换得到X和H，在频域中计算它们的乘积Y2=X·H。
（4）将Y2进行N点IFFT变换得到y2，并绘制其图像。
（5）比较y1和y2的差异，观察离散卷积定理的效果。
3. 实验结果与分析实验结果如下图所示：从图中可以看出，y1和y2基本重合，说明离散卷积定理在频域中成立。
函数的卷积及其公式的应用
函数卷积及其应用摘要 卷积是一个很重要的数学概念．它描述了对两个（或多个）函数之积进行变换的运算法则，是频率分析的最有效的工具之一。
本文通过对卷积的概念，性质，具体应用以及对卷积公式，卷积定理等方面进行较为全面和系统的论述和总结，使得对卷积的内涵有更全面更深刻的理解和认识。
关键词 卷积 卷积公式 性质 应用1引言卷积是在信号与线性系统的基础上或背景中出现的。
狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出了“冲击函数”这一符号，而卷积的诞生正是为了研究“冲击函数”服务的；卷积是一种数学积分变换的方法，也是分析数学中一种重要的运算。
卷积在物理学，统计学，地震预测，油田勘察等许多方面有十分重要的应用。
本文通过对卷积的概念，性质，应用等方面进行较为全面和系统的论述和总结，使得对卷积的内涵有更全面更深刻的理解和认识。
2卷积的定义和性质2.1卷积的定义（基本内涵）设:)(),(x g x f 是1R 上的两个可积函数，作积分:()()τττd x g f -⎰+∞∞- 随着x 的不同取值，这个积分就定义了一个新函数)(x h ，称为函数()x f 与)(x g 的卷积，记为)(x h =)()(x g x f * (或者()()x g f *) .注(1)如果卷积的变量是序列()()n h n x 和，则卷积的结果：∑+∞-∞=*=-=i n h n x i n h i x n y )()()()()(，其中星号*表示卷积。
当时序n=0时，序列h(-i)是)(i h 的时序i 取反的结果;时序取反使得)(i h 以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积.另外，n 是使)(i h -位移的量，不同的n 对应不同的卷积结果.（2）如果卷积的变量是函数)(t x 和)(t h ，则卷积的计算变为：)()()()()(t h t x dp p t h p x t y *=-=⎰+∞∞-，其中p 是积分变量，积分也是求和，t 是使函数)(p h -位移的量，星号*表示卷积.（3）由卷积得到的函数g f *一般要比g f 和都光滑.特别当g 为具有紧致集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积g f *也是光滑函数.2.2卷积的性质性质2.2.1（交换律）设)(x f ,)(x g 是1R 上的两个可积函数，则)()()()(x f x g x g x f *=*. 证 =*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-令τ-=x u ，则u x -=τ，τd du -= 所以=*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-=()()du u g u x f ⎰-∞∞+--=()()du u x f u g ⎰+∞∞--=)()(x f x g *性质2.2.2（分配律）设)(),(x g x f )(x h 是1R 上的三个可积函数，则()()[]x h x g x f +*)()()()()(x h x f x g x f *+*=.证 根据卷积定义()()[]x h x g x f +*)(=()()()[]ττττd x h x g f -+-⎰+∞∞-=()()τττd x g f -⎰+∞∞-+()()τττd x h f -⎰+∞∞-)()()()(x h x f x g x f *+*= 性质2.2.3（结合律）设)(),(x g x f )(x h 是1R 上的三个可积函数，则()()[]()x h x g x f **()()()[]x h x g x f **=.证 令()()=*=x g x f x m )(()()τττd x g f -⎰+∞∞-，()()()()()dv x h v x g x h x g x s ⎰+∞∞--=*=，则()()[]()x h x g x f **=()()x h x m *=()()du u x h u m -⎰+∞∞-=()()()du u t h d u g f -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰⎰+∞∞-+∞∞-τττ=()()τττd du u t h u g f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰⎰+∞∞-+∞∞-)(令v x u u x v -=-=则,，上式=()()τττd dv v h v x g f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰⎰+∞∞-+∞∞-)(=()()du u x s f -⎰+∞∞-τ=()()x s x f *()()()[]x h x g x f **=性质2.2.4 ()()x g x f x g x f *≤*)()(. 证明 =*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-≤()()τττd x g f -⋅⎰+∞∞-=()()x g x f *.性质2.2.5（微分性）设)(),(x g x f 是1R 上的两个可积函数，则())()()()()()(x g x f x g x f x g x f dxd'*=*'=*. 证明 ()()()()()τττττd h dxx df d dx x dg x f x g x f dx d⎰⎰∞+∞-∞+∞-=-=*-)()( 即())()()()()()(x g x f x g x f x g x f dxd'*=*'=* 意义 卷积后求导和先对其任一求导再卷积的结果相同.性质2.2.6（积分性） 设()()()x h x g x f *=，则()()()()()()()x h x g x h x g x f11)1(---*=*=.意义 卷积后积分和先对其任一积分再卷积的结果相同. 推广 ()()()()()()()()x h x g x h x g x fn n n *=*=.性质2.2.7（微积分等效性）设)(x f ,)(x g 是1R 上的两个可积函数，则()()ττd g x f x g x f x⎰∞-*'=*)()(.例2.1 设()0010≥<⎩⎨⎧=x x x f ，()000≥<⎩⎨⎧=-x x e x g x ，求()x g x f *)(.解 由卷积定义知()x g x f *)(=()()τττd x g f -⎰+∞∞-=()()t t t tx e e e d e-----=-=⋅⎰1110ττ例2.2 设函数()()()()()t e t f t t t f t μμμ-=--=21,3试计算其卷积()()()t f t f t y 21*=. 解 由卷积定义知()()()其他300131<<⎩⎨⎧=--=ττμτμτf()()()tte t ef t t ><⎩⎨⎧=-=----τττμτττ0)(2 所以()()()t f t f t y 21*==()()τττd t f f -⎰+∞∞2-1显然这个积分值与函数()ttt ><⎩⎨⎧=-τττμ01，所取非零值有关，即与参数t 的取值有关.()1当t 0<时，因30<<<τt ，所以()0=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==003)(=⋅⎰--ττd e t()2当30<<t 时，只有t <<τ0时，有()1=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==t tt e d e ----=⎰10)(ττ()3当3>t 时，因为t <<<30τ，所以()1=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==()t t e e d e ----=⎰133)(ττ综上所述，有()()()t f t f t y 21*==()33001-103><<<⎪⎩⎪⎨⎧⋅---t t t e e ett3.卷积定理3.1 时域卷积定理设两函数)(),(21t f t f ，的傅里叶变换分别为：[],)()(1~1t f s F =ω [],)()(1~1t f s F =ω则两函数卷积的傅里叶变换为：[]),()()()(2121~ωωF F t f t f s ⋅=*上式称为时域卷积定理，它表明两信号在时域的卷积积分对应于在频域中该两信号的傅立叶变换的乘积.证明 []=*)()(21~t f t f s ()()dt e d t f f t j ωτττ-+∞∞-+∞∞-⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21=()()τττωd dt e t f f t j ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰⎰+∞∞--+∞∞-21=()()τωτωd e F f t j -+∞∞-⎰21=()()ττωωd e f F t j -+∞∞-⎰12=()()=⋅ωω12F F ),()(21ωωF F ⋅ 3.2频域卷积定理设两函数)(),(21t f t f ，的傅里叶变换分别为：[],)()(1~1t f s F =ω [],)()(1~1t f s F =ω则两函数卷积的傅里叶变换为：[]),()(21)()(2121~ωωπF F t f t f s *=上式称为频域卷积定理，它表明两信号在时域的乘积对应于这两个函数傅氏变换的卷积除以π2.证明 ()()()()ωππωωπωd e du u w F u F F F s tj ⎰⎰∞+∞-∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡*21211-~212121 ()du d e u F u F tj ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰∞+∞-∞+∞-ωωππω2121)(21()()()t f t f du e t f u F jut 1221)(21⋅==⎰+∞∞-π于是[])()(21)()(2121~ωωπF F t f t f s *= 例3.1 求积分方程()()()()τττd t g f t h t g -+=⎰+∞∞-的解，其中()()t f t h ,为已知函数，且()()()t h t f t g 和,的Fourier 变换都存在. 解 假设()[](),ωG t g F =()[](),ωH t h F =()[](),ωF t f F =由卷积定义知()()()()t g t f d t g f *=-⎰+∞∞-τττ现对积分方程两端取Fourier 变换可得 ()()()()ωωωωG F H G ⋅+=解得()()()ωωωF H G -=1所以原方程的解为()()()ωωωπωd e F H t g ti ⎰∞+∞--=121例3.2 求常系数非齐次线性微分方程()()()t f t y t y dtd -=-22的解，其中()t f 为已知函数. 解 设()[]()[]()ωωF t f F Y t y F ==),(现对原方程两端取Fourier 变换，并根据Fourier 变换的性质可得 ()()()()ωωωωF Y Y i -=-2解得()()21ωωω+=F Y 所以原方程的解 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=-∞+∞-⎰ωωωωωπωF F d e F t y t i 212111121 由卷积定理得()()[]ωωF F F t y 12111--*⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==()()τττd e f t f et t--∞+∞--⎰=*212.例3.3 求微分积分方程()()()()t h dt t x c t bx t x a t=++'⎰∞-的解.其中c b a t ,,,+∞<<∞-均为常数.解 设()[]()()[]()ωωH t h F X t x F ==,现对原方程两端取Fourier 变换，并根据Fourier 变换的性质可得 ()()()()ωωωωωωH X i c bX X ai =++解得()()()⎪⎭⎫⎝⎛-+=++=ωωωωωωωc a i b H i c b ai H X ，所以原方程的解 ()()dt e c a i b H t x ti ωωωωπ⎰∞+∞-⎪⎭⎫⎝⎛-+=214.卷积公式及其应用与推广4.1卷积公式设X 和Y 的联合密度函数为）y x f ,(，则Y X Z +=得概率密度为⎰+∞∞--='=dx x z f x fZ F Z f Y Xz z )()()()(⎰+∞∞--='=dy y f y z fZ F Z f Y Xz z )()()()(证明 Y X Z +=的分布函数是：⎰⎰=≤+=≤=Dz xy f p z Z p Z F )()z Y X ()()(其中D ={}z y x y x ≤+:),(于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-∞-+=+∞∞--∞-≤+-===zy x u yz zy x Z dudy y y u f dxdyy x f dxdy y x f Z F ),(),(),()(=⎰⎰∞-+∞∞--z dydu y y u f ),(从而⎰+∞∞--='=dy y y z f Z F Z f z z ),()()(由X 和Y 的对称性知⎰+∞∞--='=dx x x z f Z F Z f z z ),()()(。
频域卷积定理
2E /
/2
j 2 ESa sin 4 4
/ 2
0
t
f 2 t f t
2E
பைடு நூலகம்
t 2 2 t t 2
4E /
f t 如图2-21(c)所示
j j 2E 2 2 e F2 e 2 2E 2 cos 2 2 8E 2 sin 4
利用积分特性可以简化由折线组成的信号频谱的求解。
例2-6 求如图2-21(a)所示 f t 的频谱函数 F 。
f t
E
/ 2
0
/2
t
（a）
解：
2 E 1 t f t 0
t t
2 2
2E / f1 t f t 2 E /
1 / 2
f1 t 的振幅、相位频谱函数、如图2-16所示。
F
4
2
0
2
2
4
4
…
4
2
0
…
3、频移性 傅里叶变换的频移(调制)特性表示为 若 f t F 则 证：
j t f t e F 0
dF jt f t 则 d 一般频域微分特性的实用形式为
dF j tf t d
对频谱函数的高阶导数亦成立
dF n n jt f t 或 n d
n d F n n t f t j d n
南京邮电学院《信号与系统》信号3.6
例：求 cos 0t的频谱密度函数
解：cos 0 t
1 (e j0t 2
e j0t )
F ()
( )
1 F1 F1 2
0
0
频谱密度为位于
和
0
处的冲激，冲激强度为
0
1 2
2
cos0t [ ( 0 ) ( 0 )]
4单位冲激序列T (t)
n
1e T
jn0t
1 T
e jn0t
n
T
(t)
2
T
(
n
n0 )
0 0
( )
f (t)
F ( )
(1)
( 0 )
0 T 2T t
0 020
2 傅里叶系数与傅里叶变换 非周期信号的频谱密度F ( )与相应的周期信号的 傅里叶复系数Fn之间的关系
F ( ) TlimTFn n0 F ( )
T (t)是以T为周期的单位冲激信号，T (t) (t nT ) n
展开为指数形式傅氏级数
T (t) Fne jn0t n
式中，Fn
1 T
T
2 T
T
(t
)e
jn0t
dt
2
T
(t)在( T 2
,
T 2
)之间为（t
),
Fn
1 T
T
2
T 2
(t)e jn0t dt
1 T
T
(t)
解： (t) () 1 j
由对称性
( )
求 ()
1
[(t)
1]
2
j(t)
() 1 (t) 1
3-4卷积定理和相关定理
1 2π
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统— 信号与系统—signals and systems
3．利用频域卷积定理求傅立叶变换 ． [例1]： f (t ) = G2 (t ) cos( t ) 的傅立叶变换 例 ： 2 1 π 解：ℱ[ f (t )] = ℱ[cos t ] ∗ ℱ[G2 (t )] 2π 2 1 π π = π [δ (ω − ) + δ (ω + )] ∗ 2Sa(ω ) 2π 2 2
t < −2 0 −2 ≤ t < 0 t + 2 −2 ≤ t < 0 = 0 ≤ t < 2 2 − t 0 ≤ t < 2 0 t>2 t>2
2
f1 (t ) ∗ f 2 (t )
t < −2
F (ω ) = Sa(ω )Sa(ω ) = Sa 2 (ω )
-2 0 2
t
R12 (τ ) = ∫ f 1 (t ) f 2 (t − τ )dt = ∫ f 1 (t + τ ) f 2 (t )dt
−∞ −∞ +∞ +∞ +∞ +∞
R21 (τ ) = ∫ f 1 (t − τ ) f 2 (t )dt = ∫ f 1 (t ) f 2 (t + τ )dt
−∞ −∞
④复能量信号的相关函数： 复能量信号的相关函数：
R12 (τ ) = ∫
+∞ −∞
f1 (t ) f 2* (t − τ ) dt
⑤复功率信号的相关函数： 复功率信号的相关函数：
1 T R12 (τ ) = lim ∫ 2T f1 (t ) f 2* (t − τ )dt T →∞ T − 2
傅里叶变换频域卷积定理
傅里叶变换频域卷积定理傅里叶变换频域卷积定理傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，它可以将一个信号表示为许多不同频率的正弦和余弦函数的加权和。
在信号处理中，卷积是一种常见的操作，它可以将两个信号合并成一个新的信号。
傅里叶变换频域卷积定理是指，在频域中进行卷积运算等价于在时域中进行乘法运算。
一、时域卷积时域卷积是指两个函数f(x)和g(x)进行卷积运算后得到的新函数h(x)，其数学表达式为：h(x) = ∫f(t)g(x-t)dt其中，t为时间变量，x为空间变量。
该式表示了在x处的新函数值是由f(t)和g(x-t)在所有时间t上的乘积之和得到的。
这个过程可以看作是f(x)与g(x)之间的“混合”过程，通常用于滤波、降噪等应用。
二、傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域信号转化为频域信号的方法。
它可以将一个函数表示为不同频率正弦和余弦函数加权后得到的函数。
傅里叶变换的数学表达式为：F(ω) = ∫f(x)e^(-iωx)dx其中，f(x)为原始函数，F(ω)为傅里叶变换后的函数，i为虚数单位，e 为自然对数的底数。
三、频域卷积频域卷积是指在频域中进行卷积运算。
它可以将两个信号在频域中进行乘法运算得到新的频率分量，从而得到新的信号。
频域卷积的数学表达式为：H(ω) = F(ω)G(ω)其中，H(ω)表示两个函数F(ω)和G(ω)在频域中进行卷积运算后得到的新函数。
四、傅里叶变换频域卷积定理傅里叶变换频域卷积定理是指，在时域中进行卷积运算等价于在频域中进行乘法运算。
具体表达式为：h(x) = f(x)*g(x)H(ω)=F(ω)G(ω)其中，h(x)表示两个函数f(x)和g(x)在时域中进行卷积运算后得到的新函数；H(ω)表示两个函数F(ω)和G(ω)在频域中进行乘法运算后得到的新函数。
该定理的证明涉及到傅里叶变换的性质和卷积运算的定义，可以通过求解上述两个式子的傅里叶逆变换来证明。
具体证明过程略。
五、应用傅里叶变换频域卷积定理在信号处理中有着广泛的应用。
z变换卷积定理的证明
z变换卷积定理的证明Z变换是一种在信号和系统领域中广泛应用的数学工具，它能够将离散时间域中的信号转换为复频域中的函数。
在这篇文章中，我们将阐述Z变换卷积定理的证明。
卷积是信号处理中一种重要的操作，它描述了两个信号之间的关系。
为了证明Z变换卷积定理，我们需要首先介绍卷积的定义。
对于两个离散时间序列x(n)和h(n)，它们的卷积y(n)定义如下：y(n) = ∑[x(k) * h(n-k)] (1)其中，k为求和的变量。
接下来，我们将通过对信号进行Z变换来证明Z变换卷积定理。
我们定义x(n)和h(n)的Z变换分别为X(z)和H(z)：X(z) = ∑[x(n) * z^(-n)] (2)H(z) = ∑[h(n) * z^(-n)] (3)根据卷积的定义，我们得到y(n)的Z变换如下：Y(z) = X(z) * H(z) (4)其中，*表示乘法操作。
为了证明Z变换卷积定理，我们需要将等式(1)和等式(4)进行比较。
我们首先将等式(1)中的卷积操作用等号右侧的Z-transform表示来重新表示：y(n) = ∑[x(k) * h(n-k)] = ∑[x(k) * z^(-k)] * ∑[h(n-k) * z^(-n+k)] (5)接下来，我们对等式(5)的右侧进行展开和重新排序：y(n) = ∑[x(k) * z^(-k)] * ∑[h(n-k) * z^(-n+k)]= ∑[x(k) * z^(-k) * h(n-k) * z^(-n+k)] (6)再对等式(6)进行重排，我们得到：y(n) = ∑[x(k) * h(n-k) * z^(-k) * z^(-n+k)]接下来，我们可以对z的指数进行简化处理，得到：y(n) = ∑[x(k) * h(n-k) * z^(-n)]然后，我们将等式(7)与等式(4)进行比较：∑[x(k) * h(n-k) * z^(-n)] = X(z) * H(z)通过将X(z)和H(z)的定义代入等式(8)，我们得到：∑[x(k) * h(n-k) * z^(-n)] = ∑[X(z) * z^(-k)] * ∑[H(z) * z^(-(n-k))]= ∑[X(z) * z^(-k)] * ∑[H(z) * z^(-n+k)]最后，我们可以看到等式(9)中的右侧与等式(7)是相同的。
傅里叶变换频域卷积定理证明
傅里叶变换频域卷积定理证明傅里叶变换频域卷积定理是信号处理领域中的一个重要定理，它建立了时域和频域之间的联系，为信号处理提供了有力的工具。
下面，我将对该定理进行证明。
一、傅里叶变换的定义首先，我们需要了解傅里叶变换的定义。
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法，其公式为：F(ω)=∫f(t)e^(-jωt)dt其中，f(t)是时域信号，F(ω)是频域信号，j是虚数单位，ω是角频率。
二、卷积定理的表述卷积定理的表述如下：两个时域信号的卷积的傅里叶变换等于这两个时域信号的傅里叶变换的乘积。
用数学公式表示为：F{f1(t)*f2(t)}=F1(ω)F2(ω)其中，*表示卷积运算，F1(ω)和F2(ω)分别是f1(t)和f2(t)的傅里叶变换。
三、证明过程为了证明卷积定理，我们可以按照以下步骤进行推导：第一步，根据傅里叶变换的定义，我们可以将f1(t)*f2(t)的傅里叶变换表示为：F{f1(t)*f2(t)}=∫f1(t)*f2(t)e^(-jωt)dt第二步，根据卷积的定义，我们可以将f1(t)*f2(t)表示为：f1(t)*f2(t)=∫f1(τ)f2(t-τ)dτ第三步，将第二步的结果代入第一步的公式中，得到：F{f1(t)*f2(t)}=∫∫f1(τ)f2(t-τ)dτe^(-jωt)dt第四步，交换积分次序，得到：F{f1(t)*f2(t)}=∫f1(τ)∫f2(t-τ)e^(-jωt)dtdτ第五步，根据傅里叶变换的定义，我们可以将内层积分表示为F2(ω)e^(-jωτ)，于是得到：F{f1(t)*f2(t)}=∫f1(τ)F2(ω)e^(-jωτ)dτ=F1(ω)F2(ω)至此，我们完成了卷积定理的证明。
需要注意的是，这里的证明是基于傅里叶变换的定义和卷积的定义进行的，因此要求读者对这些概念有一定的了解。
四、结论通过对卷积定理的证明，我们可以看到傅里叶变换在信号处理中的重要作用。
傅里叶变换的基本性质
傅里叶变换的基本性质（一）傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。
在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。
因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。
一、线性傅里叶变换是一种线性运算。
若则其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。
例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。
解因由式(3-55)得二、对称性若则证明因为有将上式中变量换为x，积分结果不变，即再将t用代之，上述关系依然成立，即最后再将x用t代替，则得所以证毕若是一个偶函数，即，相应有，则式(3-56)成为可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数。
式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。
例如：例3-7若信号的傅里叶变换为试求。
解将中的换成t，并考虑为的实函数，有该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为根据对称性故再将中的换成t，则得为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。
三、折叠性若则四、尺度变换性若则证明因a＞0，由令，则，代入前式，可得函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展)a倍，而则表示沿频率轴扩展(或频率尺度压缩)a倍。
该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。
例3-8已知,求频谱函数。
解前面已讨论了的频谱函数，且根据尺度变换性，信号比的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。
五、时移性若则此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。
它表明若在时域平移时间，则其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改变。
例3-9求的频谱函数。
解:根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有六、频移性若则证明证毕频移性说明若信号乘以，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以，这就使频谱中的每条谱线都必须平移，亦即整个频谱相应地搬移了位置。
频域卷积定理证明
频域卷积定理证明：
函数卷积的傅立叶变换是函数傅立叶变换的乘积。
具体分为时域卷积定理和频域卷积定理，时域卷积定理即时域内的卷积对应频域内的乘积；频域卷积定理即频域内的卷积对应时域内的乘积，两者具有对偶关系。
扩展资料：
卷积与傅里叶变换有着密切的关系。
利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。
由卷积得到的函数f*g一般要比f和g都光滑。
特别当g为具有紧致集的光滑函数，f为局部可积时，它们的卷积f * g也是光滑函数。
利用这一性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出一列逼近于f的光滑函数列fs，这种方法称为函数的光滑化或正则化。
卷积公式
卷积公式卷积的物理意义是将输入信号用时移加权的单位冲激信号和（积分）表示，然后输出就是各个冲激信号作用系统后再求和，而时移量u（f(t-u)），再对u积分，就产生了反转。
卷积的物理意义(2009-11-30 09:25:54)卷积这个东东是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。
因为是对模拟信号论述的，所以常常带有繁琐的算术推倒，很简单的问题的本质常常就被一大堆公式淹没了，那么卷积究竟物理意义怎么样呢？卷积表示为y(n) = x(n)*h(n)假设0时刻系统响应为y(0),若其在1时刻时，此种响应未改变，则1时刻的响应就变成了y(0)+y(1),叫序列的累加和（与序列的和不一样）。
但常常系统中不是这样的，因为0时刻的响应不太可能在1时刻仍旧未变化，那么怎么表述这种变化呢，就通过h(t)这个响应函数与x(0)相乘来表述，表述为x(m)×h(m-n)，具体表达式不用多管，只要记着有大概这种关系，引入这个函数h(t)就能够表述y(0)在1时刻究竟削弱了多少，然后削弱后的值才是y(0)在1时刻的真实值，再通过累加和运算，才得到真实的系统响应。
再拓展点，某时刻的系统响应往往不一定是由当前时刻和前一时刻这两个响应决定的，也可能是再加上前前时刻，前前前时刻，前前前前时刻，等等，那么怎么约束这个范围呢，就是通过对h(n)这个函数在表达式中变化后的h(m-n)中的m 的范围来约束的。
即说白了，就是当前时刻的系统响应与多少个之前时刻的响应的“残留影响”有关。
当考虑这些因素后，就可以描述成一个系统响应了，而这些因素通过一个表达式（卷积）即描述出来不得不说是数学的巧妙和迷人之处了。
对于非数学系学生来说，只要懂怎么用卷积就可以了，研究什么是卷积其实意义不大,它就是一种微元相乘累加的极限形式。
卷积本身不过就是一种数学运算而已。
就跟“蝶形运算”一样，怎么证明，这是数学系的人的工作。
在信号与系统里，f(t)的零状态响应y(t)可用f(t)与其单位冲激响应h(t) 的卷积积分求解得，即y(t)=f(t)*h(t)。
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卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。
即一个域中的卷积对应于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积对应于频域中的乘积。
其中表示f 的傅里叶变换。
下面这种形式也成立：
借由傅里叶逆变换，也可以写成
注意以上的写法只对特定形式定义的变换正确，变换可能由其它方式正规化，使得上面的关系式中出现其它的常数因子。
这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换（参见Mellin inversion theorem）等各种傅里叶变换的变体同样成立。
在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。
利用卷积定理可以简化卷积的运算量。
对于长度为的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做组对位乘法，其计算复杂度为；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为。
这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。
这里展示的证明是基于傅立叶变换的特定形式。
如果傅里叶变换的形式不同，则推导中将会增加一些常数因子。
令f、g属于L1(Rn)。
为的傅里叶变换，为的傅里叶变换：
其中x和ν之间的点表示Rn上的内积。
现在发现，
因此，通过富比尼定理我们有，于是它的傅里叶变换由积分式定义为
观察到，因此对以上变量我们可以再次应用富比尼定理（即交换积分顺序）：
代入 ;
这两个积分就是和的定义，所以：。