2015届高考数学总复习第二章 第十一节函数模型及其应用课件 理
2015高考数学(人教A版)一轮课件：2-9函数模型及其综合应用
2．几种常见的函数模型
函数模型 一次函数模型
二次函数模型 指数函数模型
对数函数模型
幂函数模型
函数解析式 f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数， a≠0) f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且 a≠1，b≠0) f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞ 0且a≠1，b≠0) f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
[方法· 规律] 在实际问题中的人口增长、银行利率、细胞分 裂等增长问题一般用指数函数模型来表示， 通常可表示为 y＝a(1 ＋p)x 的形式，利用指数函数与对数函数图象性质求解．
[变式 2]
一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上
升到 0.3 mg/mL， 在停止喝酒后， 血液中的酒精含量以每小时 25% 的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》 规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL，那么， 一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过 ________ 小时才能开 车．(精确到 1 小时)
答案：D
2．拟定甲地到乙地通话 m 分钟的电话费 f(m)＝0.5×[m]＋ 1(单位：元)，其中 m>0，[m]表示不大于 m 的最大整数(如[3.62] ＝3，[4]＝4)，当 m∈[0.5,3.2]时，函数 f(m)的值域是( A．{1,2,3,4} C．{1,1.5,2.5,3} B．{1,1.5,2,2.5} D．{1.5,2,2.5} )
解析：(1)由 y＝ 8，0＜x≤3， 8＋2.15×x－3＋1，3＜x≤8， 8＋2.15×5＋2.85×x－8＋1，x＞8. 可得 x＝9. (2)设利润为 f(x)(万元)，则 f(x)＝25x－(3 000＋20x－0.1x2) ＝0.1x2＋5x－3 000≥0，∴x≥150.
2015高考数学一轮复习课件：1.11 函数模型及其应用
(2)设年总利润为 R(x)万元， 则 R(x)＝40x－y＝40x－x52＋48x－8 000 ＝－x52＋88x－8 000 ＝－15(x－220)2＋1 680(0＜x≤210)． ∵R(x)在(0,210]上是增函数， ∴x＝210 时，R(x)有最大值，为－15(210－220)2＋1 680＝ 1 660. ∴当年产量为 210 吨时，可以获得最大利润，最大利润为 1 660 万元．
第十四页，编辑于星期五：十二点 十八分。
(3)对数函数模型：能用对数函数表达式表达的函数模型， 其增长的特点是开始阶段增长的较快(a＞1)，但随着 x 的逐渐 增大，其函数值变化越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．
(4)幂函数型函数模型：能用幂函数表达的函数模型，其 增长情况随 xn 中 n 的取值变化而定，常见的有二次函数模型．
第六页，编辑于星期五：十二点 十八分。
考点自测
1.下列函数中，随 x 的增大而增大，速度最快的是( )
A．y＝1010ex
B．y＝100lnx
C．y＝x100
D．y＝100·2x
解析：因指数函数型增长快，又 e＞2，则应选 A. 答案：A
第七页，编辑于星期五：十二点 十八分。
2．设甲、乙两地的距离为 a(a＞0)，小王骑自行车以匀速 从甲地到乙地用了 20 分钟，在乙地休息 10 分钟后，他又以匀 速从乙地返回到甲地用了 30 分钟，则小王从出发到返回原地 所经过的路程 y 和其所用的时间 x 的函数图像为( )
(1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时，能租出多少辆车？ (2)当每辆车的月租金定为多少元时，租凭公司的月收益 最大？最大月收益是多少？
第二十一页，编辑于星期五：十二点 十八分。
解析：(1)租金增加了 600 元，所以未租出的车有 12 辆，
2015高考数学一轮课件：第2章 2.9 函数的应用
∴当 h＝1 时，跳水曲线所在的抛物线方程为 y＝－(x－3)2＋4.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第九页，编辑于星期五：十三点 四十二分。
题型分类·深度剖析
题型一
二次函数模型
(2)将点 A(2,3)代入 y＝a[x－(2＋h)]2＋4 得 ah2＝－1，所以 a＝－h12. 由题意，得方程 a[x－(2＋h)]2＋4＝0 在区间[5,6]内有一解．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第二十页，编辑于星期五：十三点 四十二分。
题型分类·深度剖析
题型三
分段函数模型
【例 3】 某市居民自来水收费标准如 思维启迪 解析 思维升华 下：每户每月用水不超过 4 吨时， 当乙的用水量超过 4 吨，即 每吨为 1.80 元，当用水超过 4 吨时， 3x>4 时， 超过部分每吨 3.00 元．某月甲、乙 y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋ 两户共交水费 y 元，已知甲、乙两 (5x－4)]＝24x－9.6.
要求时 h 的取值范围．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第八页，编辑于星期五：十三点 四十二分。
题型分类·深度剖析
题型一
高考文科数学《函数模型及其应用》课件
故今后最多还能砍伐 15 年．
点 拨： 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型 y＝N(1＋p)x(其 中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型 y＝a(1＋x)n(其中 a 为基
础数，x 为增长率，n 为时间)的形式表示．解题时，往往用到对数运算．
直到达到规定人数 75 人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机 费 15 000 元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解：(1)设旅游团人数为 x 人，由题得 0＜x≤75，飞机票价格为 y 元， 则 y＝990000，－010＜（x≤x－303，0），30＜x≤75，
某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水 中杂质 20%，要使水中杂质减少到原来的 10%以下，则至少需过滤的次数
为________．(参考数据：lg2≈0.301 0)
解：设过滤次数为 x(x∈N*)，原有杂质为 a，则 a(1－20%)x<a·10%，
所以 x>1－13lg2≈10.3，即至少需要过滤 11 次．故填 11.
当且仅当 x＝40 x000，即 x＝200 时取等号．故选 A.
(教材改编题)某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，
仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．105 元
B．106 元
C．108 元
D．118 元
解：设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a＝10%·a， 解得 a＝108.故选 C.
单调____ 函数
相对平稳
2015届高考数学总复习配套课件：2-9 函数的模型及其应用
金 太 阳
＋0.15×1252352＋30，由于 x 为整数，所以当 x＝10 时，L(x)取最大值 L(10)
书 业 有
限
＝45.6，即能获得的最大利润为 45.6 万元．
公
答案：B
司
菜 单 隐藏
第十四页，编辑于星期五：十点 十二分。
高考总复习 A 数学（文）
抓主干 考点 解密
分段函数模型
研考向 要点
金
太
C．[10,30]
D．[20,30]
阳书业来自有限公
司
菜 单 隐藏
第十一页，编辑于星期五：十点 十二分。
高考总复习 A 数学（文）
抓主干 考点 解密
研考向 要点 探究
[解析] 如图，过 A 作 AH⊥BC 于 H，交 DE 于 F，易知DBCE＝4x0＝AADB
悟典题 能力 提升
＝AAFH＝A40F，则有 AF＝x，FH＝40－x，由题意知阴影部分的面积 S＝x(40
提升
函数关系是( )
提素能
高效 训练
A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000)
B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
山
东
C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)
金 太
D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
阳 书
解析：y＝0.2x＋(4 000－x)×0.3＝－0.1x＋1 200.
阳
g(x)>f(x)>h(x)．
书
业
答案：B
有
限
公
司
菜 单 隐藏
第九页，编辑于星期五：十点 十二分。
高考总复习 A 数学（文）
2015高考数学一轮配套课件：2-9函数模型及其应用
诊断·基础知识
突破·高频考第点一页，编辑于星培期五养：十·解四点题二能分。力
• 知识梳理
• 1．函数模型及其性质比较
• (1)几函数种模常型见的函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
诊断·基础知识
突破·高频考第点十页，编辑于星培期五养：十·解四点题二能分。力
•解析 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注
入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系
可以从高度随时间的变化率上反映出来，图①应
该是匀速的，故下面的图象不正确，②中的变化
率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率逐渐
变慢，然后逐渐变快，正确；④中的变化率逐渐
诊断·基础知识
突破·高频考第点十六页，编辑于培星期养五：·解十四题点能二分力。
(2)设年获得总利润为 R(x)万元． 则 R(x)＝40x－y＝40x－x52＋48x－8 000 ＝－x52＋88x－8 000 ＝－15(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)． ∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴x＝210 时， R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660. ∴年产量为 210 吨时，可获得最大利润 1 660 万元．
诊断·基础知识
突破·高频考第点十七页，编辑于培星期养五：·解十四题点能二分力。
考点三 分段函数模型 【例 3】 (2014·郴州模拟)某旅游景点预计 2014 年 1 月份起前 x
个月的旅游人数的和 p(x)(单位：万人)与 x 的关系近似地满足 p(x)＝12x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，且 x≤12)．已知第 x 个月的人 均 消 费 额 q(x)( 单 位 ： 元 ) 与 x 的 近 似 关 系 是 q(x) ＝
高三数学复习课件 2.9 函数模型及其应用
综上,当 t=12 时,S(t)取最大值2 5300;当 t=100 时,S(t)取最小值 8.
答案
专题突破
-13-
考点1
考点2
考点3
考点4
解题心得在现实生活中,很多问题涉及的两个变量之间是二次函 数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型, 利用二次函数的图象与单调性解决.
专题突破
品的生产.
①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润?
②问:如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得
最大利润?其最大利润约为多少万元?
专题突破
-15-
考点1
考点2
考点3
考点4
解: (1)设 A,B 两种产品都投资 x 万元(x≥0),所获利润分别 为 f(x)万元、g(x)万元,由题意可设 f(x)=k1x,g(x)=k2√������,
专题突破
-16-
考点1
考点2
考点3
考点4
令√������=t,t∈[0,3√2], 则 y=14(-t2+8t+18) =-14(t-4)2+127. 故当 t=4 时,ymax=127=8.5, 此时 x=16,18-x=2.
所以当 A,B 两种产品分别投入 2 万元、16 万元时,可使该企
业获得最大利润 8.5 万元.
根据图象可解得 f(x)=0.25x(x≥0),g(x)=2√������(x≥0).
(2)①由(1)得 f(9)=2.25,g(9)=2√9=6,
故总利润 y=8.25(万元).
②设 B 产品投入 x 万元,A 产品投入(18-x)万元,该企业可获
总利润为 y 万元, 则 y=14(18-x)+2√������,0≤x≤18.
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2111导数的应用课件理新人教A版
解法一：因为 f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，所以[f(x)]2＝4sin2x(1 ＋cosx)2＝4(1－cosx)(1＋cosx)3，设 cosx＝t，则 y＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)， 所以 y′＝4[－(1＋t)3＋3(1－t)(1＋t)2]＝4(1＋t)2(2－4t)，所以当－1<t<21时， y′>0；当21<t<1 时，y′<0。所以函数 y＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)在－1，21 上单调递增，在12，1上单调递减，所以当 t＝12时，ymax＝247；当 t＝±1 时， ymin＝0。所以 0≤y≤247，即 0≤[f(x)]2≤247，所以－32 3≤f(x)≤32 3，所以 f(x)的最小值为－32 3。
(ⅱ)当 0<2a<1，即 0<a<2 时，由 f′(x)>0，得 0<x<a2或 x>1； 由 f′(x)<0，得a2<x<1。 则函数 f(x)的单调递增区间为0，a2，(1，＋∞)， 函数 f(x)的单调递减区间为a2，1。 (ⅲ)当2a＝1，即 a＝2 时，f′(x)≥0 恒成立，则函数 f(x)的单调递增区 间为(0，＋∞)。
2．函数的极值与导数
(1)函数的极小值
若函数 y＝f(x)在点 x＝a 处的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数
值 都小
，且 f′(a)＝0，而且在点 x＝a 附近的左侧 f′(x)＜0 ，右
侧 f′(x)＞0 ，则 x＝a 叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值。
(2)函数的极大值
1．函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f′(x)≥0，“f′(x)>0 在(a，b)上成 立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。
高考数学总复习 目录及样章 (参考)
目录第一章学好数学必备的几个能力和思想第一节数学的建模思想第二节函数与方程的思想第三节数形结合思想第四节特殊否定的思想第五节特殊到一般、有限到无限的归纳思想第六节正难则反、抽象到具体的转化思想第七节分类讨论与整合求解的思想第八节联想与类比的探讨思想第九节运算能力第十节构造与凑配的能力第十一节归类总结能力第二章函数（函数是中学数学的基础和重点内容，尽管很少以独立的模块知识出现在解答题中，但是在高难度的题中，无处不渗透着函数的思想。
缺少了函数思想，其它模块就是无血之肉，无源之水。
因而，我们不但将其作为一个专题模块，而且要细讲、深研究。
）第一节函数的三要素------定义域第二节函数的三要素------对应法则第三节函数的三要素------值域第四节基本初等函数第五节函数的性质------函数的单调性第六节函数的性质------函数的奇、偶性第七节函数的性质------函数对称性第八节函数的性质------函数的周期性第九节函数图象及图象变换第十节常见特殊函数及其应用第十一节函数的零点及函数方程（既是高频高点，又是高考难点。
）第二章三角函数与平面向量（这些是高考的重点内容，尽管难度不大，易错点还是不少的，同时，这里面有很多技巧，有四两拨千斤的效果。
）第一节三角函数的概念及三角变换第二节三角函数的图象及性质第三节解三角形第四节平面向量第三章不等式与线性规划第一节基本不等式的解法第二节均值不等式的应用第三节不等式的证明及应用第四节线性规划第五节线性规划的应用第四章数列第一节数列的认识第二节等差、等比数列的通项公式、前n项和及性质第三节数列通项公式的求法第四节数列求和第五节数列的综合问题第五章立体几何第一节点、直线、平面之间的位置关系第二节空间几何体和三视图第三节空间角第四节空间直角坐标系在立体几何中的应用第五节空间距离问题第六节存在性的问题第六章概率与统计第一节古典概型、几何概型及条件概率第二节排列与组合第三节统计与概率分布第七章导数第一节导数的概念与运算第二节导数的几何意义的应用第三节导数在函数的单调性及极值方面的应用第四节导数在函数交点及函数零点方面的应用第五节导数在参数的最值及范围方面的应用第六节导数在函数不等式的证明方面的应用第八章解析几何第一节直线与圆的方程第二节椭圆第三节双曲线第四节抛物线第五节解析几何综合问题--------圆锥曲线的切线问题第六节解析几何综合问题-------参数的最值和范围问题第七节解析几何综合问题-------- 面积的最值和范围问题第八节解析几何综合问题--------定点、定值问题第九节解析几何综合问题-------- 存在性的问题第十节解析几何综合问题--------向量在解析几何中的应用第一章学好数学必备的几个能力和思想第一节数学的建模思想随着素质教育的进一步推进，现行中学数学教学大纲明确指出：“提高数学教学质量，不仅要求学生学好数学基础知识，更进一步要培养学生的逻辑思维能力、运算能力和空间想象能力，以逐步形成运用数学知识来分析和解决实际问题的能力，使学生能学以致用，避免出现高分低能现象。
高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.9函数模型及其应用课件理
第二章 函数(hánshù)、导数及其应用
第九节 函数模型(móxíng)及其应用
第一页，共33页。
栏
考情分析 1
(fēnxī)
目
基础自主(zìzhǔ) 2
3 考点疑难(yí
nán)突破
导
梳理
航
4 课时跟踪检测
第二页，共33页。
1
考情分析
第三页，共33页。
考点分布
考纲要求
第十三页，共33页。
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是 20 万元，为获取更大 利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．
解析：利润 L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当 x＝18 时，L(x)有最大值． 答案：18
第三十页，共33页。
指数函数与对数函数模型的应用技巧 (1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会 合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于 1)的一 类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型． (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函 数解析式，再借助函数的图象求解最值问题.
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c 为常数，a≠0)
第六页，共33页。
f(x)＝bax＋c 指数函数模型
(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1)
高考数学总复习 第二章 第十一节函数模型及其应用课件 理
4．解决实际问题的解题过程． (1)阅读理解：读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景，领悟其中 的数学本质，弄清题中出现的量及其数学含义． (2)分析(fēnxī)建模：分析(fēnxī)题目中的量与量之间的关系，根据 题意恰当地引入字母(包括常量与变量)，有时可借助列表和画图等手段来 理顺关系，同时要注意由已知条件联想熟悉的数学模型，以确定函数模型 的种类，在对已知条件和目标变量的综合分析(fēnxī)、归纳抽象的基础上， 建立目标函数，将实际问题转化为数学问题．
第二章 函数、导数(dǎo shù)及其应用 第十一节 函数(hánshù)模型及其应用
第一页，共48页。
考纲要求
1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知 道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含 义．
2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段 函数等在社会生活(shēnghuó)中普遍使用的函数模型)的广泛应 用．
第十页，共48页。
(1)求这个抛物线的解析式． (2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹为(1)中的抛物 线，且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为3 米，问： 此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由． 思路点拨：根据(gēnjù)题设条件设出抛物线的解析式，再根据 (gēnjù)已知点的坐标，即可求出解析(1)f(x)＝5x,15≤x≤40， g(x)＝920x， ＋1350，≤x3≤ 0＜30x，≤40. (2)由 f(x)＝g(x)，得155x＝≤x9≤ 0 30， 或350x＜ ＝x2≤ x＋403， 0， 即 x＝18 或 x＝10(舍去)．
高考数学复习第2章 函数模型及其应用
函数模型及其应用
【知识重温】
一、必记2个知识点
1．三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0,＋∞)上
的增减性
增函数
________
增函数
________
增函数
________
增长速度
________
越来越快
________
越来越慢
相对平稳
函数问题求解.
函数y＝x＋ 模型的应用
考点二
[例1] “水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题，
近年来，某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约4万元，为了缓解供
水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水
几个不同的关系式构成,如出租车票价与路程之间的关系,应构建分段
函数模型求解；
②构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不重不漏；
③分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)．
[提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．
(2)对构造的较复杂的函数模型,要适时地用换元法转化为熟悉的
B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)
解析：由所给数据可知,y随x的增大而增大,且增长速度越来越快,而A,D
中的函数增长速度越来越慢,B中的函数增长速度保持不变．故选C.
四、走进高考
6．[2020·全国卷Ⅲ]Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于
)
A．y＝6x
B．y＝log6x
2015高三人教版数学一轮复习课件：第2章 第10节 函数模型及其应用
第十四页，编辑于星期五：十二点 分。
第二章 函数、导数及其应用
已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理 成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝ 12x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产 品价值为 100 元． 该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利， 则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
第二十三页，编辑于星期五：十二点 分。
第二章 函数、导数及其应用
(2)当 0＜x≤500 时，f(x)＝－20x0200＋41090x－12 ＝－20 1000(x－475)2＋33425， 故当 x＝475 时，f(x)max＝33425. 当 x＞500 时，f(x)＝12－4010x＜12－54＝33424＜33425， 故当该公司的年产量为 475 件时，当年获得的利润最大．
第二十六页，编辑于星期五：十二点 分。
第二章 函数、导数及其应用
解析 (1)当甲的用水量不超过4吨时， 即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨， y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x； 当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨， 即3x≤4，且5x>4时， y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8. 当乙的用水量超过4吨，即3x>4时， y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.
第十五页，编辑于星期五：十二点 分。
第二章 函数、导数及其应用
[听课记录] 设该单位每月获利为 S，
2015届高考数学总复习 第二章 第十一节函数模型及其应用课时精练 理
第十一节 函数模型及其应用1.若一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，则燃烧剩下的高度h (单位：cm)与燃烧时间t (单位：小时)的函数关系用图象表示为( )解析：根据题意得解析式为h ＝20－5t (0≤t ≤4)，其图象为B. 答案：B2．某产品的总成本y (单位：万元)与产量x (单位：台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N )，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析：要使生产者不亏本，则有3 000＋20x －0.1x 2≤25x ，解上式得x ≤－200或x ≥150.又∵0<x <240，x ∈N ，∴x 的最小值为150.故选C.答案：C3．某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a ，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为( )A ．a 12－1B ．(1＋a )12－1 C ．a D ．a －1解析：不妨设第一年8月份的产值为b ，则9月份的产值为b (1＋a )，10月份的产值为b (1＋a )2，依次类推，到第二年8月份是第一年8月份后的第12个月，即一个时间间隔是1个月，这里跨过了12个月，故第二年8月份产值是b (1＋a )12.又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为：b (1＋a )12－b b＝(1＋a )12－1.答案：B4( )A ．y ＝2x －2B ．y ＝12(x 2－1)C ．y ＝log 3xD ．y ＝2x－2解析：代入数据验证，最接近者为B. 答案：B5．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是( )解析：依题意，前3年年产量增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年的总产量保持匀速增长，故选A.答案：A6．如图1所示，阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的图象是图2中的( )图1图2解析：如图所示，则阴影部分三角形上底长为(tan α＋tan β)h，所以S＝12(tan α＋tanβ)h2，因为tan α＋tan β＞0，所得函数应为开口向上的二次函数图象的一部分，故选B.答案：B7．某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t ＝0表示中午12：00，其后t取正值，则下午3时的温度为________．解析：当t＝3时，T(3)＝33－3×3＋60＝78.答案：78 ℃8．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为______级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________________倍．答案：6 10 0009．小王每月除去所有日常开支，大约结余a元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本金和利息．假设1年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息．那么，小王的存款到期利息为________元．解析：依题意得，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋3ar＋2ar＋ar＝12×(12＋1)ar＝78ar(元)．2答案：78ar10．用一根长为12 m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽分别应为____________．答案：3 m,1.5 m11．(2013·山东名校信息优化卷)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则y＝f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围成的区域的面积为________．解析：由于本题是求两个相邻零点间的图象与x 轴所围成的区域的面积，所以为了简便，可以直接将P 点移到原点，开始运动，如图所示，当P 点第一次回到x 轴时经过的曲线是三段相连的圆弧，它与x 轴围成的区域面积为π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋1＋π4＝π＋1.答案：π＋112．根据市场调查，某商品在最近40天内的价格P 与时间t 的关系用图1中的一条折线表示，销量Q 与时间t 的关系用图2中的线段表示(t ∈N *)．(1)分别写出图1表示的价格与时间的函数关系P ＝f (t )，图2表示的销售量与时间的函数关系Q ＝g (t )；(2)这种商品的销售额S (销售量与价格之积)的最大值及此时的时间．解析：(1)P ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋11，t ∈[1，，t ∈N *，－t ＋41，t ∈[20，40]，t ∈N *.Q ＝g (t )＝－t 3＋433，t ∈[1,40]，t ∈N *.(2)当1≤t ＜20时，S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋11⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 3＋433＝－16⎝ ⎛⎭⎪⎫t －2122＋4 22524.∵t ∈N *，∴t ＝10或11时，S max ＝176.当20≤t ≤40时，S ＝ (－t ＋41)⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 3＋433＝13t 2－28t ＋1 7633为减函数；当t ＝20时，S max ＝161. 而161＜176，∴当t ＝10或11时，S max ＝176.13．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (单位：元)与月处理量x (单位：吨)之间的函数关系可近似的表示为：y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解析：(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为： y x ＝12x ＋80 000x －200≥2 12x ·80 000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x，即x ＝400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)设该单位每月获利为S ，则 S ＝100x －y＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不能获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损.14．即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通．根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次．每天来回次数是每次拖挂车厢节数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问：每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数．(注： 营运人数指火车运送的人数)解析：设这列火车每天来回次数为t 次，每次拖挂车厢n 节，则设t ＝kn ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ 16＝4k ＋b ，10＝7k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝24， ∴t ＝－2n ＋24.设每次拖挂n 节车厢，每天营运人数为y 人，则y ＝tn ×110×2＝2(－220n 2＋2 640n )，当n ＝2 640440＝6时，总人数最多为15 840人．∴每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多，最多为15 840人．15. 如图，在半径为30 cm 的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A ，B 在直径上，点C ，D 在圆周上．(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积．解析：(1)(法一)连接OC .设BC ＝x ，矩形ABCD 的面积为S ，则AB ＝2900－x 2，其中0<x <30.所以S ＝2x 900－x 2＝2x 2(900－x 2)≤x 2＋(900－x 2)＝900，当且仅当x 2＝900－x 2，即x ＝152时，S 取得最大值为900 cm 2. (法二)连接OC .设∠BOC ＝θ，矩形ABCD 的面积为S ，则BC ＝30sin θ，OB ＝30cos θ，其中0<θ<π2.所以S ＝AB ·BC ＝2OB ·BC ＝900 sin 2θ.当sin 2θ＝1，即θ＝π4时， S 取得最大值为900 cm 2，此时BC ＝15 2.所以取BC 为15 2 cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为900 cm 2. (2)(法一)设圆柱底面半径为r ，高为x ，体积为V ，由AB ＝2900－x 2＝2πr ，得r ＝900－x 2π.所以V ＝πr 2h ＝1π(900x －x 3)，其中0<x <30.由V ′＝1π(900－3x 2)＝0，得x ＝103，因此V ＝1π(900x －x 3)在(0,103)上是增函数，在(103，30)上是减函数．所以当BC ＝103时，V 取得最大值为6 0003πcm 3.(法二)连接OC .设∠BOC ＝θ，圆柱底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则圆柱的底面半径为r ＝30cos θπ，高h ＝30sin θ，其中0<θ<π2.所以V ＝πr 2h ＝27 000πsin θcos 2θ＝27 000π(sin θ－sin 3θ)．设t ＝sin θ(0＜t ＜1)，则V ＝27 000π(t －t 3)．由V ′＝27 000π(1－3t 2)＝0，得t ＝33，因此V ＝27 000π(t －t 3)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1上是减函数，所以当t ＝33，即sin θ＝33，BC ＝103时，V 的最大值为6 0003πcm 3.6 0003π cm3.所以取BC为10 3 cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为。
高考数学一轮复习 2.11函数模型及其应用课件 理
_______lim__ΔΔ_xy __＝lim ＝m，这个常数m叫做函数f(x)在点x0处
栏
的___瞬_时__变__化．率函数f(x)在点x0处的瞬时变化率又称为函数y＝
目
f_f(′(_xx0_))＝_在lim__xf（_＝x_0＋_xΔ_0xΔ处）_x－_的f_（_x0导）_＝_数l_im_，f_（_x）记_x－－_fx作（．0 x0）____f_′(_x_0)_或____y_′_|x_＝__x0_，即
栏
目
3＋1）（3e）x－2xln 2.
链
（4）y′＝(f(sin x,x3＋1)))′＝f( （sin x）′（x3＋1） －sin x（x3
接
＋1）′,（x3＋1）2)＝,
f(cos x（x3＋1）－3x2sin x,（x3＋1）2).
考点探究
考点3 函数的应用题
栏 目 链 接
考点探究 变式探究
C．xcos x
栏 目
D．－xcos x
链
接
解析：y′＝ x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.
课前自修
3．(2014·江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y＝ax2
＋bx(a，b 为常数)过点 P(2，－5)，且该曲线在点 P 处的切线与
接
点评：(1)在对导数定义的理解运用时，要注意 f′(x0)＝ f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）中 Δx 的形式变化．
考点探究
(2)设函数 f(x)在 x＝a 处可导，则 f（x）x－－fa（a）＝f′(a)．
解析：由已知条件和导数的定义，可得
f（2＋ΔxΔ）x－f（2）＝f′(2)＝1，
2015届高考数学一轮复习课件：第12讲 函数模型及其应用
第十一页，编辑于星期五：十点 一分。
第12讲 函数模型及其应用
•
双 向
固
基
础
2．常见函数模型 (1)二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)．当
a>0 时，函数 f(x)在－2ba，＋∞上是增长的，且增长速度是变化 的．( )
(2)指数型函数模型 f(x)＝a·bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0，b>0， 且 b≠1)，这个函数在 a>0，b>1 的情况下是增长的，而且增长的 速度很快，且底数越大增长速度越快．( )
(y1)max－(y2)max＝(1980－200m)－460＝1520－200m. 故当 6≤m<7.6 时，投资生产 A 产品 200 件可获得最 大年利润；
当 m＝7.6 时，投资生产 A 产品 200 件与投资生产 B 产品 100 件均可获得最大年利润；
当 7.6<m≤8 时，投资生产 B 产品 100 件可获得最大 年利润．
及
b2＝8， k2＝－110，
故
所
考 向
求
P
满足的函数关系式为
P(t)＝－ 15t＋1t02＋（80（<t2≤0<2t0≤，3t0∈，Nt∈ *）N，*）.
(2)依题意设 Q(t)＝k3t＋b3(0<t≤30，t∈N*)，把前两组数据代
入得41k03k＋3＋b3b＝3＝3630，，解得kb33＝＝－401，，故 Q 关于 t 的一次函数关系
返回目录
第十五页，编辑于星期五：十点 一分。
第12讲 函数模型及其应用
•点 面
［思考流程］条件：P，t 关系的图像，Q，t 函数关系
讲 考 向
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第十一节函数模型及其应用 理
第十一节 函数模型及其应用知识梳理1．几类函数模型及其增长差异．(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题．1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．以上过程用框图表示如下：基础自测1．f (x )＝x 2，g (x )＝2x，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )A ．f (x )＞g (x )＞h (x )B ．g (x )＞f (x )＞h (x )C ．g (x )＞h (x )＞f (x )D ．f (x )＞h (x )＞g (x )解析：根据三种函数模型的增长速度可知，选项B 正确． 答案：B2x －2.0 －1.0 0 1.0 2.0 3.0y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02则x ，)A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋b D ．y ＝a ＋b x解析：由表格数据逐个验证知，模拟函数为y ＝a ＋b x .故选B. 答案：B3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品的数量为______万件．解析：利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．答案：184．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e nt.若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m 分钟后甲桶中的水只有a8升，则m 的值为________．解析：令a 8＝a e nt ，即18＝e nt ，①又∵12＝e 5n ，故18＝e 15n ，②比较①②知，t ＝15，∴m ＝15－5＝10. 答案：101．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式．(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大？并求出最大值(精确到1辆/小时)．解析：(1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60， 解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60，0≤x ≤20，13(200－x )，20＜x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x (200－x )，20＜x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20＜x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎡⎦⎤x ＋(200－x )22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003.综上所述，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．答案：见解析2．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x cm.(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (单位：cm 2)最大，试问：x 应取何值？(2)若厂商要求包装盒的容积V (单位：cm 3)最大，试问：x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解析：(1)根据题意有S ＝602－4x 2－(60－2x )2＝240x －8x 2＝－8(x －15)2＋1 800(0<x <30)， 所以x ＝15 cm 时，包装盒侧面积S 最大．(2)根据题意有V ＝(2x )2·22(60－2x )＝22x 2(30－x )(0＜x ＜30)．而V ′＝62x (20－x )，当0＜x ＜20时，V ′＞0，V 单调递增；当20＜x ＜30时，V ′＜0，V 单调递减．所以当x ＝20时，V 取极大值也是最大值．此时，包装盒的高与底面边长的比值为22(60－2x )2x＝12，即当x ＝20时，包装盒容积V最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为12.答案：见解析1．某市的出租车的价格规定：起步费11元，可行3千米；3千米后按每千米2.1元计价，可再行7千米；以后每千米都按3.15元计价，设每一次乘车的车费由行车里程确定．(1)请写出一次乘车的车费y 元与行车的里程x 千米的函数关系； (2)计算如果一次乘车费为32元，那么汽车行程为多少千米？ (3)当行程为28千米时，请你设计一种乘车方案，使总费用最省．解析：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧11，0<x ≤3，11＋2.1(x －3)，3<x ≤10，11＋2.1×7＋3.15(x －10)，x >10，＝⎩⎪⎨⎪⎧11，0<x ≤3，2.1x ＋4.7，3<x ≤10，3.15x －5.8，x >10.(2)如果只计算10千米，则共需费用11＋7×2.1＝25.7＜32， 故汽车行程x >10，所以3.15x －5.8＝32，解得x ＝12(千米)．(3)当行程为3千米时，平均每千米为113元，比较三种计费方程知，当行程为10千米时，费用最省，即行程10千米时下车，重新上车计费，故当行程为28千米时，两次分别行程10千米时下车，重新上车计费，其费用为2×(11＋7×2.1)＋(11＋5×2.1)＝72.9元．答案：见解析2．据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例系数为k (k >0)．现已知相距18 km 的A ，B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a ， b ，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC ＝x km.(1)试将y 表示为x 的函数；(2)若a ＝1，且当x ＝6时，y 取得最小值，试求b 的值．解析：(1)设C 处受A 污染源污染程度为ka x 2，C 受B 处污染源污染程度为kb(18－x )2，其中k 为比例系数，且k >0.从而C 处受污染程度y ＝ka x 2＋kb(18－x )2.(2)因为a ＝1，所以y ＝k x 2＋kb(18－x )2，y ′＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x 3＋2b (18－x )3，令y ′＝0，得x ＝181＋3b，又此时x ＝6，解得b ＝8，经验证符合题意．所以，污染源B的污染强度b的值为8. 答案：见解析。
高考数学总复习专题讲解15---函数模型及其应用
高考数学总复习专题讲解15 函数模型及其应用[考点要求] 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．(2)反比例函数模型：y＝kx＋b(k，b为常数且k≠0).(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0).(4)指数函数模型：y＝a·b x＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0).(5)对数函数模型：y＝m log a x＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0).(6)幂函数模型：y＝a·x n＋b(a≠0).2．三种函数模型之间增长速度的比较函数性质y＝a x(a＞1)y＝log a x(a＞1)y＝x n(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢因n而异图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有log a x＜x n＜a x3.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．[常用结论]形如f(x)＝x＋ax(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)内单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．(2)当x＞0时，x＝a时取最小值2a，当x＜0时，x＝－a时取最大值－2a．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x与函数y＝x2的图象有且只有两个公共点．()(2)幂函数增长比直线增长更快．()(3)不存在x0，使ax0＜x n0＜log a x0.()(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)＜f(x)＜g(x).()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材改编1．[多选]某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中正确的有()(注：结余＝收入－支出)A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元ABC[由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B 正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为16×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误．]2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据如下表：则对x，yA．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2xD[根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意，故选D.] 3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝12x2＋2x＋20(万元).一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．18[利润L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．]4．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．3[设隔墙的长度为x(0＜x＜6)，矩形面积为y，则y＝x×24－4x2＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，∴当x＝3时，y最大．]考点1用函数图象刻画变化过程判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的2种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．1.(2019·遵义模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0＜a＜12).不考虑树的粗细，现用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)(单位：m2)的图象大致是()A B C DB[设AD的长为x m，则CD的长为(16－x)m，则矩形ABCD的面积为x(16－x)m2.因为要将点P围在矩形ABCD内，所以a≤x≤12.当0＜a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝64；当8＜a＜12时，u＝a(16－a).画出函数图象可得其形状与B选项接近，故选B.]2．有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是()A B C DB[由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A，C，D，选B.]3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D[根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．]准确掌握常见函数模型图象的变化趋势是解决此类问题的关键．考点2应用所给函数模型解决实际问题求解所给函数模型解决实际问题的3个关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元).在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x －38(万元).每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？[解] (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元，依题意得，当0＜x ＜8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3； 当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x . 所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0＜x ＜8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8. (2)当0＜x ＜8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元，当x ≥8时，L (x )＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x ＝35－20＝15，此时，当且仅当x＝100x，即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．因为9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．解决实际问题时，应注意自变量的取值范围，如本例中x∈(0，＋∞).一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝a e－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．16[当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝a e－8b＝12a，∴e－8b＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝a e－b t＝18a，e－b t＝18＝(e－8 b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min.]考点3构建函数模型解决实际问题构建函数模型解决实际问题的步骤构造二次函数、分段函数模型国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出每张飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解](1)设每团人数为x，由题意得0＜x≤75(x∈N*)，每张飞机票价格为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，900－10（x －30），30＜x ≤75，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，1 200－10x ，30＜x ≤75.(2)设旅行社获利S 元，则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，1 200x －10x 2－15 000，30＜x ≤75，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，－10（x －60）2＋21 000，30＜x ≤75.因为S ＝900x －15 000在区间(0，30]上为增函数，故当x ＝30时，S 取最大值12 000.又S ＝－10(x －60)2＋21 000，x ∈(30，75]，所以当x ＝60时，S 取得最大值21 000.故当x ＝60时，旅行社可获得最大利润．解题过程——谨防2种失误(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性等解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，然后比较大小得解．构造y ＝x ＋a x (a ＞0)模型某养殖场需定期购买饲料，已知该养殖场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．[解] 设该养殖场x (x ∈N *)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 元． 因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x 天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝(3x2－3x)(元).从而有y＝1x(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝300x＋3x＋357≥2300x·3x＋357＝417，当且仅当300x＝3x，即x＝10时，y有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．利用模型f(x)＝ax＋bx求解最值时，要注意自变量的取值范围及取得最值时等号成立的条件．构建指数函数、对数函数模型(1)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg 2≈0.301 0，100.007 5≈1.017)()A.1.5%B．1.6%C．1.7% D．1.8%(2)十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出：过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%，2018年发展的预期目标是国内生产总值增长6.5%左右．如果从2018年开始，以后每年的国内生产总值都按6.5%的增长率增长，那么2020年的国内生产总值约为(提示：1.0653≈1.208)()A．93.8万亿元B．99.9万亿元C．97万亿元D．106.39万亿元(1)C(2)B[(1)设每年人口平均增长率为x，则(1＋x)40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg (1＋x)＝lg 2，所以lg (1＋x)＝lg 240≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x，得1＋x≈1.017，所以x≈1.7%.故选C.(2)由题意可知，2020年我国国内年生产总值约为：82.7×(1＋6.5%)3≈99.9(万亿元).故选B.](1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，指数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．1.某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)8 [设至少过滤n 次才能达到市场要求，则2%(1－13)n ≤0.1%，即(23)n ≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.]2．某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分).(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？[解] (1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115＞0，解得x ＞2.3，∵x 为整数，∴3≤x ≤6，x ∈Z .当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0，结合x 为整数得6＜x ≤20，x∈Z .∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115（3≤x ≤6，x ∈Z ），－3x 2＋68x －115（6＜x ≤20，x ∈Z ）.(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )， 显然当x ＝6时，y max ＝185；对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3(x －343)2＋8113(6＜x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270.∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
变式探究
1．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000 元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加 50元时，未租出 的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租 出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最 大？最大月收益是多少？
特别是端点值． (2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合
理、不重不漏．
变式探究
2．某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务 都很好，但收费方式不同，甲每张球台每小时5元；乙按月 计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过 30小时的部分每张球台每小时2元．李明准备下个月从这两 家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，
10 m，
入水处距池边4 m，同时运动员在距水面5 m或5 m以上时，必须
完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误． (1)求这个抛物线的解析式． (2) 在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹为 (1) 中的 抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为
3 3 m，问：此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由．
第二章
第十一节 函数模型及其应用
二次函数模型应用题 【例1】 2012年伦敦奥运会中国跳水队取得了辉煌的成
绩．据科学测算，跳水运动员进行 10 m跳台跳水训练时，身 体(看成一点)在空中的运动轨迹 (如图所示)是一经过坐标原点
的抛物线(图中标出数字为已知条件)，
且在跳某个规定的翻腾动作时，正常 情况下运动员在空中的最高点距水面
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两 户该月的用水量和水费．
自主解答：
解析： (1) 当甲的用水量不超过 4 吨时，即 5x≤4 时，乙的
用水量不超过4吨，y＝(5x＋3x)×1.8＝14.4x； 当甲的用水量超过 4 吨，乙的用水量不超过 4 吨时，即
也不超过40小时．
(1) 设在甲租一张球台开展活动 x 小时的收费为 f(x) 元 (15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)
元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x)．
(2)李明选择哪家俱乐部比较合算？为什么？
解析：(1)f(x)＝5x,15≤x≤40， g(x)＝
(2)由f(x)＝g(x)，得
或 即x＝18或x＝10(舍去)．
当15≤x＜18时，f(x)－g(x)＝5x－90＜0，
∴f(x)＜g(x)，即选甲．
当x＝18时，f(x)＝g(x)，既可以选甲，也可以选乙．
当18＜x≤30时，f(x)－g(x)＝5x－90＞0，∴f(x)＞g(x)，即
选乙．
当30＜x≤40时，f(x)－g(x)＝5x－(2x＋30)＝3x－30＞0， ∴f(x)＞g(x)，即选乙． 综上所述，当15≤x＜18时，选甲；当x＝18时，可以选甲， 也可以选乙；当18＜x≤40时，选乙．
解析： (1) 租金增加了 600 元，所以未租出的车有 12 辆，
一共租出了88辆． (2)设每辆车的月租金为x元(x≥3 000)，租赁公司的月收
益为y元，
x－3 000 x－3 000 则y＝x(100－ )－ ×50－(100－ 50 50 x－3 000 x2 1 2 ) × 150 ＝－ ＋ 162 x － 21 000 ＝－ ( x － 4 050) ＋307 50 50 50 050，
函数的应用题 【例 3】 (2013· 佛山一模 ) 某工厂生产某种产品，每日的成本
C(单位：元)与日产量x(单位：吨)满足函数关系式C＝3＋x，每 日的销售额R(单位：元)与日产量x满足函数关系式S＝ 已知每日的利润L＝S－C，
且当x＝2时，L＝3.
(1)求k的值；
(2)当日产量为多少吨时，毎日的利润可以达到最大，并求出最 大值．
所以甲户用水量为5x＝7.5吨， 付费y甲＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)； 乙户用水量为3x＝4.5吨， 付费y乙＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元)．
点评：(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的 规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律
分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，
且>0，
∴a＝－
，b＝
.
∴此抛物线的解析式为y＝ (2)当运动员在空中距池边的水平距离为3米， 即x＝ y＝ 离为10－ 故此次跳水会出现失误． ＝时， ，此时运动员距水面的距
点评： 实际生产和生活中，很多问题与二次函数有关，
如面积最大、利润最大、产量最高、用料最省等，解决这些 问题，可建立二次函数模型，常利用配方法借助于对称轴和 单调性求最值问题，有时也会使用导数法求最值．但一定要 注意函数的定义域，否则容易出错．
当x＝4 050时，最大月收益为y＝307 050.
即当每辆车的月租金定为 4 050元时，租赁公司的月收
益最大，最大月收益为307 050元．
分段函数应用题 【例 2】 (2013· 天津十校联考 ) 某市居民自来水收费标准
如下：每户每月用水不超过 4 吨时每吨为 1.80 元，当用水超过 4
吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已 知甲、乙两用户该月用水量分别为5x、3x(吨)．
5
思路点拨： 根据题设条件设出抛物线的解析式，再根据已 知点的坐标，即可求出解析式． 自主解答：
解析：(1)由题设可设抛物线方程为y＝f(x)＝ax2＋bx＋
c(a<0)，且
∴c＝0，b＝－5－2a，即y＝f(x)＝ax2－(5＋2a)x＝ (a<0)，
∴f(x)max＝
得(6a＋25)(2a＋3)＝0且a<－ ，
3x≤4且5x＞4.
y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8. 当乙的用水量超过4吨，即3x＞4时，y＝24x－9.6，
所以y＝
(2)由于y＝f(x)在ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ段区间上均单调递增，
当x∈
当x∈ 当x∈
时，y≤
时，y≤
＜26.4；
＜26.4；
时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5，