大学物理电磁学部分04环路定理电势
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一、静电场的保守性——环路定理
1.电场力的功
1.点电荷的场
点电荷q0所受电场力为：F
到点r电 荷dr的,电场场中做移的动功点：电荷q
0从qr0 E
dA F dl q0E dl
q
q0Edl dr dl c
dA q0
cos
os , E
q
4 0r 2
dr
q
4 0r
2
b
rb r dr
ra
任何静电场，电场强度的线积分只取决于起始和 终了的位置,而与路径无关。
结论：电场力为保守力，静电场为保守场。
2.静电场的环路定理
静电场的环路定理
静电场的保守性还可表述为：在静电场中，场强沿 任意闭合路径的线积分等于零。
LE dl 0
运动电荷的场不是保守场，而是非 保守场，将在磁场部分讨论。
3
二、电势能和电势
1.电势是标量，只有正负之分。U a
E pa q0
零点 E dl
a
2. 电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有确
定的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势差
的值具有绝对的意义，与零点的选择无关。
3. 电势零点的选择：
•对有限带电体一般选无穷远为电势零点。
在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。
•对无限带电体不宜选无穷远为电势零点。此时只有电 势的相对值（即电势差）有意义。
4.电势能与电势的区别：EP 可正可负，取决于 q 和 q0 ； U只取决于场源电荷 q 。
8
强调： 当已知电势分布时，可用电势差求出点电荷在电
场中移动时电场力所做的功：
b
Aab q0 a E dl q0 (Ua Ub )
电场力是保守力，可引入势能的概念。
1.电势能
b
q0
E
a
静电势能的改变可以用电场力所作的功来量度。
设在静电场中，将检验电荷 q0 从 a 点沿任意路 径移动到 b 点，电场力作功为Aab。
因为保守力所作的功等于势能增量的负值。
电荷 q0 在静电场中从 a 点沿任意路径移动到 b 点时， 电场力所作的作功Aab与这两点电势能Ea、Eb的关系为:
具有的电势能。
电势差：静电场中两点电势值的差。
U ab
Ua
Ub
Epa Epb q0
Aab q0
b E dl
a
意义：把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电
场力所作的功。
电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势 的单位为：焦耳/库仑（记作J/C），也称为伏特（V） ，即1V＝1J/C。
7
注意几点：
例、用场强分布和电势的定义直接积分求点电荷产
生的电场中的电势分布。
解：E
q
4 0r 2
er
p E
r
q
U p U p U
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E
dl
p
q
p 4 0r 2 dr
q
4 0rp
正点电荷周围的场电势为离正电荷越远，电势越低。
负点电荷周围的场电势为离负电荷越远，电势越高。
9
3.电势迭加原理
由场强叠加原理和电势的定义，可得电势叠加原理。
2.任意带电体系的场 对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带
电体，可看成是由无数电荷元组成。
由场强叠加原理可得到电场强度的线积分（移动单 位电荷的功）为：
2
b b
E dl a
a (E1 E2 En ) dl
b b b
a E1 dl a E2 dl a En dl Aab
r
q0 a
dl
c
dr
F
E
1
q
dA q0 4 0r 2 dr
在 q 的电场中将检验电荷 q0 从 a 点移动到 b 点，电场 力作功为：
b
rb r dr
q
ra
rdl q0
dr
F
r
a
A
b
dA
a
rb q0q dr
ra 4 0r 2
q0q
4 0
1 ra
1 rb
E
电场力的功只与始末位置有关，而与路径无关。
（2）要求各个点电荷的零电势点必须相同；
10
4.电势的计算 电势的求解有两种方法：
1.由电势的定义出发，用场强的线积分求电势，即由
电势定义式 U p
零点
E
dl 计算P点电势。
p
2.根据点电荷的电势公式和电势迭加原理求电势分布。
（1）点电荷系：先分别求出每个点电荷单独存在时
的电场的电势，再求代数和得到电势。
公式：U
Ui
i
qi
4 0ri
（2）连续带电体：将带电体分割成无限多个电荷元，
将每个电荷元看成点电荷，根据点电荷电势公式求电
荷元的电势，迭加归结于积分。
U
dU
dq
4 0r
注意电荷元的选取！
5
对有限带电体，通常规定无穷远
处为电势能零点。 即：E p 0,
E pa q0
势能零点 E dl
a
电荷q0在此系统的电场中a点的的电势能为：
Epa q0 a E dl
意义：电荷q0在静电场中某点的电势能等于将该电荷由 该点沿任意路径移到无穷远的过程中电场力所作的功。
强调：无限带电体不能取无穷远处为电势能零点。
成的系统的静电势能。
b
电势能也是一个相对的量，必须选择一
个零势能点作为参考。
令 Epb 0, 即选定b点为电势能零点。
q0 a
E
电荷q0在此系统的电场中a点的的电势能为：
势能零点
E pa q0 a
E dl
意义：电荷在静电场中某点的电势能等于将此电荷由
该点沿任意路径移到电势能零点的过程中电场力所作 的功。
Aab Ep (E pb E pa ) E pa E pb
b
b
Aab
F dl
a
q0
E dl
a
4
b
Epa Epb q0 a E dl
Aab
b
E
pa
E pb
b
Aab
F dl
a
q0
E dl
a
式中：Epa、Epb是电荷q0分别在a点和b点时,q0与电场所组
2.电势与电势差
势能零点
将 E pa q0 a
E dl 两边同除以q0，得：
Epa
q0
势能零点 E dl
a
这一比值与q0的值无关，仅取决 于电场的性质及场点的位置。
6
定义电势：
Ua
E pa q0
零点 E dl
a
意义：把单位正电荷从场点a经过任意路径移到零电势
参考点时电场力所作的功。也等于单位正电荷在a点所
表述：一个电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个
带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。
表达式：U( p)
E
dl
p
p (E1
E2
)
dl
Ui ( p)
p Ei dl
qi
4 0rip
U ( p)
qi
i 4 0ri
q1
rr21
q2
Ui( p)
ip
ri q3
r3 qi
（1）电势是标量，迭加的结果是求代数和； 强调：
1.电场力的功
1.点电荷的场
点电荷q0所受电场力为：F
到点r电 荷dr的,电场场中做移的动功点：电荷q
0从qr0 E
dA F dl q0E dl
q
q0Edl dr dl c
dA q0
cos
os , E
q
4 0r 2
dr
q
4 0r
2
b
rb r dr
ra
任何静电场，电场强度的线积分只取决于起始和 终了的位置,而与路径无关。
结论：电场力为保守力，静电场为保守场。
2.静电场的环路定理
静电场的环路定理
静电场的保守性还可表述为：在静电场中，场强沿 任意闭合路径的线积分等于零。
LE dl 0
运动电荷的场不是保守场，而是非 保守场，将在磁场部分讨论。
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二、电势能和电势
1.电势是标量，只有正负之分。U a
E pa q0
零点 E dl
a
2. 电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有确
定的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势差
的值具有绝对的意义，与零点的选择无关。
3. 电势零点的选择：
•对有限带电体一般选无穷远为电势零点。
在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。
•对无限带电体不宜选无穷远为电势零点。此时只有电 势的相对值（即电势差）有意义。
4.电势能与电势的区别：EP 可正可负，取决于 q 和 q0 ； U只取决于场源电荷 q 。
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强调： 当已知电势分布时，可用电势差求出点电荷在电
场中移动时电场力所做的功：
b
Aab q0 a E dl q0 (Ua Ub )
电场力是保守力，可引入势能的概念。
1.电势能
b
q0
E
a
静电势能的改变可以用电场力所作的功来量度。
设在静电场中，将检验电荷 q0 从 a 点沿任意路 径移动到 b 点，电场力作功为Aab。
因为保守力所作的功等于势能增量的负值。
电荷 q0 在静电场中从 a 点沿任意路径移动到 b 点时， 电场力所作的作功Aab与这两点电势能Ea、Eb的关系为:
具有的电势能。
电势差：静电场中两点电势值的差。
U ab
Ua
Ub
Epa Epb q0
Aab q0
b E dl
a
意义：把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电
场力所作的功。
电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势 的单位为：焦耳/库仑（记作J/C），也称为伏特（V） ，即1V＝1J/C。
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注意几点：
例、用场强分布和电势的定义直接积分求点电荷产
生的电场中的电势分布。
解：E
q
4 0r 2
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p E
r
q
U p U p U
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E
dl
p
q
p 4 0r 2 dr
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正点电荷周围的场电势为离正电荷越远，电势越低。
负点电荷周围的场电势为离负电荷越远，电势越高。
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3.电势迭加原理
由场强叠加原理和电势的定义，可得电势叠加原理。
2.任意带电体系的场 对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带
电体，可看成是由无数电荷元组成。
由场强叠加原理可得到电场强度的线积分（移动单 位电荷的功）为：
2
b b
E dl a
a (E1 E2 En ) dl
b b b
a E1 dl a E2 dl a En dl Aab
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1
q
dA q0 4 0r 2 dr
在 q 的电场中将检验电荷 q0 从 a 点移动到 b 点，电场 力作功为：
b
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E
电场力的功只与始末位置有关，而与路径无关。
（2）要求各个点电荷的零电势点必须相同；
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4.电势的计算 电势的求解有两种方法：
1.由电势的定义出发，用场强的线积分求电势，即由
电势定义式 U p
零点
E
dl 计算P点电势。
p
2.根据点电荷的电势公式和电势迭加原理求电势分布。
（1）点电荷系：先分别求出每个点电荷单独存在时
的电场的电势，再求代数和得到电势。
公式：U
Ui
i
qi
4 0ri
（2）连续带电体：将带电体分割成无限多个电荷元，
将每个电荷元看成点电荷，根据点电荷电势公式求电
荷元的电势，迭加归结于积分。
U
dU
dq
4 0r
注意电荷元的选取！
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对有限带电体，通常规定无穷远
处为电势能零点。 即：E p 0,
E pa q0
势能零点 E dl
a
电荷q0在此系统的电场中a点的的电势能为：
Epa q0 a E dl
意义：电荷q0在静电场中某点的电势能等于将该电荷由 该点沿任意路径移到无穷远的过程中电场力所作的功。
强调：无限带电体不能取无穷远处为电势能零点。
成的系统的静电势能。
b
电势能也是一个相对的量，必须选择一
个零势能点作为参考。
令 Epb 0, 即选定b点为电势能零点。
q0 a
E
电荷q0在此系统的电场中a点的的电势能为：
势能零点
E pa q0 a
E dl
意义：电荷在静电场中某点的电势能等于将此电荷由
该点沿任意路径移到电势能零点的过程中电场力所作 的功。
Aab Ep (E pb E pa ) E pa E pb
b
b
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4
b
Epa Epb q0 a E dl
Aab
b
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b
Aab
F dl
a
q0
E dl
a
式中：Epa、Epb是电荷q0分别在a点和b点时,q0与电场所组
2.电势与电势差
势能零点
将 E pa q0 a
E dl 两边同除以q0，得：
Epa
q0
势能零点 E dl
a
这一比值与q0的值无关，仅取决 于电场的性质及场点的位置。
6
定义电势：
Ua
E pa q0
零点 E dl
a
意义：把单位正电荷从场点a经过任意路径移到零电势
参考点时电场力所作的功。也等于单位正电荷在a点所
表述：一个电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个
带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。
表达式：U( p)
E
dl
p
p (E1
E2
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4 0rip
U ( p)
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（1）电势是标量，迭加的结果是求代数和； 强调：