浅谈波利亚解题理论

波利亚的数学解题理论及其在初中数与代数应用题教学中的应用

所谓数学建模就是在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，并对获取的信息进行分析加工、去粗取精、抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型。从实际问题到纯数学问题，既有对新信息的分析加工，又有对记忆中的原有信息的提取再加工，是一个复杂艰难的过程。建构数学模型，是解应用题的关键。
列方程(组)解应用题的一般步骤：审题； (1)_______ 设元； (2)_______ 等量关系 (3)找出包含未知数的___________；列出方程(组) ； (4)_______________ 求出方程(组)的解； (5)___________________ 检验并作答． (6)_____________
在列方程（组）解应用题时，一般采用直接设元法，但有时也使用间接设元。不论采用什么方法设元，要首先寻找题目中的数量关系，然后再寻找等量关系，根据数量关系和等量关系列出的方程，一般情况下，列出的方程的个数要与未知数的个数相同。根据题意列出的方程（组）可能是各种各样的，这些方程（组）和我们学解方程（组）时解过的方程（组）不一样，因此，我们要利用学过的知识来判断是什么方程（组），然后，根据不同类型方程（组）的解法去解方程（组）。
初中数学应用题类型分类
方程应用题
一次函数应用题
统计应用题其他应用题
不等式应用题
二次函数应用题
解直角三角形应用题
一、方程应用题芈月传中的数学题
• 例1：为了有效地控制沙尘暴等恶劣天气对人类生存环境的破坏，我国北方某地决定加快植树造林的速度，计划用两年的时间将防风林面积从现在的20,000公顷扩大到2.4万公顷。求平均每年增长的百分率。 • 例2：某种商品因换季准备打折出售。如果按定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折出售将赚20元，问这种商品的定价是多少。方程应用题的解题步骤可用六个字概括，即审(审题)，设(设未知数)，列(列方程)，解(解方程)，检(检验)，答。考试内容多结合当前一些热点话题，如储蓄问题，人均收入问题，环保问题，商品打折问题等。

波利亚的解题理论

y x(1 10%) y x 那么可得方程 x(1 10%) x (1 25%)
23
第三步
实现计划
解析：设原来的进价为 x ，售价为 y ，则由题意可知现在的进价为 x1 10% ，由等量关系列出方程
y x(1 10%) y x (1 25%) x(1 10%) x
13
1. 弄清问题
“弄清问题”阶段，重述问题，教会学生形成正确的审题方法 ① 首先，了解已知是什么?未知是什么?条件是什么?要确定未知数,条件是否充分? 是否不充分?
② 其次，形成正确的审题方法。
③ 最后，注意引导学生挖掘已知条件与所求之间的关系，特别是挖掘题中的隐含条件。
14
例如：计算 C
y ( x 0) 2 (0 2) 2 [ x (1)] 2 (0 3) 2
17
3. 实现计划
“实现计划”阶段，加强基础教学，善用一题多变加深和提高解题能力 ① 实现你的求解计划,检验每一步骤. ② 你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?
波利亚的数学教育理论
1
回顾一下，我们学过的教育理论有哪些？弗赖登塔尔数学教育理论建构主义理论数学教学理论
2
一、波利亚简介
二、波利亚数学教育理论三、波利亚《怎样解题》
四《怎样解题》在中学数学中的应用
3
一、波利亚简介
波利亚（ 1887-1985 ），美籍匈牙利数学家。生于布达佩斯，卒于美国。青年时期曾在布达佩斯、维也纳、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。1914年在瑞士苏黎世工业大学任教， 1938 年任数理学院院长。1940年移居美国，历任布朗大学、斯坦福大学教授。1963年获美国数学会功勋奖。

波利亚解题理论

教有目的的思考,教正规的演绎推理，也教非正规的似真的合情推理。
四部曲
改善学生数学解题中的元认知的教学策略
问题与思考
• 设计一个解决某类问题的解题表． • 根据你的解题经历，选一个典型例子，详细介绍
解题的具体过程． • 实践解题表，求解下题：如果3个有相同半径的
圆过一点，则通过它们的另外3个交点的圆具有相同的半径． • 对解题表，谈谈你想说的任何看法，写一篇不少于1000字的小论文． • 基于波利亚的解题理论谈数学解题教学
程看得见，摸得着。
弄
拟
执
检
清
定
行
验
题
计
计
回
意ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
划
划
顾
变换,推广,类比,作出新的数学发现.
概括方法论因素,建立数学模型.
波利亚的教育思想
数学教学的目的应当是提高学生的一般素养：首先和主要的目标应当是教会青年思考。
教什么样的思考?数学是什么?数学有什么特点? 对数学及其意义的认识决定性的作用。
波利亚及其解题理论
回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，
波利亚致力于解题的研究，专门研究了解题的思维过程，并把
研究所得写成《怎样解题》一书。
核心是《怎样解题》表，他把寻找并发现解法的思维过程分解
为五条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发
现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过

波利亚四步解题法

波利亚四步解题法
波利亚的《怎样解题：数学思维的新方法》（How to Solve it:A New Aspect of Mathematical Method)
1、彻底理解问题：为了确保真正理解问题，你最好把问题用自已的话换成各种形
式反复重新表达，但另忘了指出问题的主干：要求解的是什么？已知什么？要满足哪些条件？但凡能画图，一定要画出来。

2、形成解题思路：要专注，用过往经验，已撑握的知识，并调整适用性来形成思路。

如果不行，就改变这个问题的各个组件：已知、未知、条件，先构造简单一点的，引入辅助，条件是否用足，甚至改变求解的未知数，看能否找到解题线索？直到找到与之相似而你又解决过的问题。

3、执行：一要有耐心，二需要及时的检查每一步，可凭直觉或证明（两个都有用，但是两回事），要问自已每一步都检查了吗？能看出来这一步是对的吗？能证明这一步是对的吗？
4、总结：巩固与提升的关键，多想想，再论证，尝试另外的解法，找更明快简捷
的方法，还要问，这次的解法还能用在什么地方？总结是最好的启法时刻。

达利奥的五步成功路径：
1、设定目标：设定目标就是设定你真正想达到的，不要去想能不能完成
2、发现通向目标的障碍：这要用身外之我，“元我”思维有助于以客观、抽离的方
式来“旁观”因难，以不受制于“我”在困难面前的纠结困扰。

3、诊断问题所在并制定计划：诊断问题就是诊断问题，不要去想如何解决。

以终
为始，要把可能遇到的问题及应对想透，对怎么走到现在、如何走下一步，相象出其展开全景，好像写越狱的电影剧本。

4、列出解决问题的任务清单：分解目标，可执行，越细越好。

5、坚决执行任务，但不忘初心，不忘目标。

然后这五步反复迭代。

对波利亚的解题理论的一些思考

Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＲｅｖｉｅｗｏｆＰｏｌｙａｓｐｒ０ｂ１ｅｍ— ｓ０ｌＶｉｎｇｔｈｅｏｒｙｔｏｅｘｐｌｏｒｅｔｈｅｔｈｅｏｙｒａｎｄｔｈｅ ”ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ” ，” ｓｅａｔａｃｔｉｃａｌ， ”ｔｈｅ
《怎样解题》将数学解题领人一个新的阶段，波利满足的条件等，画一个图，引人适当的符号，方便
亚通过对解题过程中最富有特征性的典型有用的智对题目进行分析理解。 “ 怎样解题 ”表的第二步
力活动的分析归纳，提炼出分析和解决数学问题的
一
“ 拟定计划 ”的分析是最为引人人胜的。在第二
２８教育理论
青年时代
ＹＯＵＴＨ・ＴＩＭＥＳ
２０１３年８月１５～１６期
对波利亚的解题理论的一些思考
罗
贵阳第三十三中学摘
璇
贵阳５５００００
要：对渡利亚的解题理论进行述评，探讨了该理论与 “ 提出问题” 、 “ 题海战术”之间的关系，并举
在第一步 “ 弄清问题 ”中，波利亚指出，在

理论基础。《怎样解题》（１９４４），《数学的发现》
解题之前，我们要先弄清楚问题，弄清楚自己要求
（１９５４）和《数学与猜想》（１９６１）这三本书就是他智慧的是什么？题目告诉我们的是什么？换句话说，在的结晶。按波利亚的解释，他的解题方法是关于数学真正做一道题目之前，我们要先观察题目，分析题 “ 发现和发明的方法和规律 ”的研究。而波利亚的目，弄清楚题目的已知条件，以及由已知条件所能

波利亚“解题理论”及启示

１２订计划。．拟
检验回顾是解题的魅力所在。这一步相当于我们平日解题所说的 “ 算 ” 但比单纯的验算内容更丰富，义更深邃。验，意它不只是简单地核对答案，断解题是否正确，而找出错误判进并予以纠正，是要用多种方法，不同的角度去获得正确的而从结果，要的是对解题结果或方法进行迁移思考，结解题经重总验，大解题成果。如波利亚所说：这是领会方法的最佳时扩正 “ 机”“ ，当解题者完成了他的任务。且他的体验在头脑中还是而新鲜的时候，回顾他所做的一切，能有利于探索他刚才克去可服困难的实质。可以对自己提出许多有用的问题：键在哪他关里？要的困难是什么？么地方我们可以完成得更好些？重什我为什么没有觉察到这一点？看出这一点．必须具备那些知要我识？该从什么角度去考虑？里有没有值得学习的诀窍可供应这
下次遇到类似问题时应用？ ” ２波利亚 “ 题理论 ” 数学教学的启示．解对２１助 “ 题理论 ”培养学生良好的解题习惯［。．借解，２１在数学学习中，学生的各种数学能力最终体现在他的解
题能力上，良好的解题习惯是走向成功的桥梁。那么，何而如培养学生良好的解题习惯呢？我认为可从以下几点做起。２１应培养良好的审题习惯。．１．学生解题出错或解题感到困难，通常都是由于不认真审题或审题不清，弄清题意造成的，当一部分学生在拿到题未相目后，匆浏览完题目后就急于解题，到解不下去才回头重匆直读题目，现竟是由于粗心看错了题目条件。培养良好的审发要题的习惯，可分以下几步走：一，读题目，第通明确题意；二，第注意挖掘隐含条件；三，审边记，做边审。第边边２１２意培养一题多解，题多变的思维习惯。．－注一题多解就是对同一道题目分别从不同角度对问题进行分析，解。这培养了学生综合运用数学知识分析问题、决求解

波利亚数学解题思想研究

波利亚数学解题思想研究波利亚数学解题思想研究乔治·波利亚（George Polya，1887～1985），美籍匈牙利数学家，20世纪举世公认的数学教育家，享有国际盛誉的数学方法论大师。

他在长达半个世纪的数学教育生涯中，为世界数学的发展立下了不可磨灭的功勋。

他的数学思想对推动当今数学教育的改革与发展仍有极大的指导意义。

本文拟从数学解题思想方面对波利亚的数学思想进行述评，并结合当前数学教育的形势，探讨波利亚数学思想对我国数学教育改革的启示。

1.波利亚数学解题思想的产生作为一线教师出身的数学家，波利亚深知“题目是数学的心脏”这一至理，“掌握数学就意味着善于解题”，他也深知“教学一般解题方法”的必要。

为了帮助学生更好地学习数学，波利亚力求用朴素而现代化的形式来阐明探索法，经过多年的探索与总结，波利亚终于找到了“解题中典型有用的智力活动”，他所拟定的“解题表”便是实践其解题思想的首次尝试。

2.波利亚数学解题思想的主要内容2.1波利亚数学解题思想波利亚一直强调要加强对学生的解题训练，其目的在于提高学生的数学素质。

波利亚的数学解题思想就是谈解题过程中怎样诱发灵感。

2.1.1问题与解法什么是问题？波利亚对此给予了十分广泛的意义：问题就是意味着要去找出适当的行动，去达到一个可见而不即时可及的目的。

按所要达到的目的的不同，对问题又可分为“求解的问题”和“求证的问题”这两类。

什么是问题的解法？波利亚给出的答案是：就是在原先隔开的事物或想法（已有的事物和要求的事物，已知量和未知量，假设和结论）之间去找出联系。

2.1.2怎样解题按照人们解题的思维程序，波利亚的解题思想自然的分成了四个部分：（1）弄清题意。

无论是谁，哪怕是解一道再简单的题目，他也首先要知道“未知是什么？已知是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知条件是否充分？或者不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？”。

只有当你明确了题意，才能做出下一步打算。

浅谈波利亚解题理论

浅谈波利亚解题理论对“怎样解题表”的认识乔治·波利亚（G.Polya，1887-1985年）出生于匈牙利布达佩斯。

上中学时，他就是一个很有上进心的学生。

但每当遇到较难的数学题时，他也时常感到困惑：“这个解答好像还行，它看起来是正确的，但怎样才能想到这样的解答呢？这个结论好像还行，它看起来是个事实，但别人是怎样发现这个事实的？我自己怎样才能想出或发现他们呢？”怎样解题表第一步：弄清问题第二步：拟订计划第三步：实现计划第四步：回顾我的认识与看法学习数学的目的，通常人们认为主要有两个，一是掌握必要的数学知识，二十提高分析的能力、解决问题的能力。

其中后者是数学教学的根本目标，但是，要有效的提高学生的分析和解决问题的能力却并非易事。

我认为乔治·波利亚有效地帮教师解决了这一难题。

但是要看教师个人怎样去用和实现这四部的教学法。

在我们看来这四个步骤十分的简单，但我们真的实施起来真的是那么回事吗？我想答案肯定是很难吧！下面我就这四步进行概括的说说我的看法。

①弄清问题，拟定计划这是解决数学问题的关键因素，探求解题思路的过程是训练学生良好思维方式的过程，也是教给学生恰当选取解题策略的过程。

在拟定计划中需要对问题不断地修正、转化，还经常需要类比等。

当我们引导学生将复杂问题转化为简单问题，把一个陌生的问题转化为熟悉的问题，这样一个解题的计划就基本形成了。

②回顾解答，深化理解这是巩固知识，提高解题能力的重要环节，在日常数学学习和活动中，我们往往在解答出某道题目后就立即进入另一个问题或找点别的事来干。

比利亚告诉我们：“没有任何一个题目是彻底完成了的……”。

所以当我们解决了一个问题后应该及时的进行反思，只有这样我们的解题水平才能得到有效的提高。

如果缺乏对问题本质的理解和更高层次的认识。

也失去了一个提高解题能力的好机会。

③小结应试教育，是中国平等待人的政治手法的灵活应用。

这样可以达到知识的普集和教育的平衡。

但是限制了学生的特长，使人从小养成了定向思维的习惯。

波利亚的解题理论

波利亚的解题理论一、波利亚的生平及主要著作对于我们数学学习者而言，大多都有过这样的经历：一道题，自己怎么想也想不出解法，而老师却给出了一个绝妙的解法。

这时候，我们最想知道“老师是怎么想出这个解法的”，如果这个解法不是很难，我们也许会问“自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢？”要回答这个问题，实际上牵涉到对揭发数学问题解决规律的深入研究。

综观历史来看，美籍匈牙利数学家乔治。

波利亚（George Polya，1887-1985）不仅对上述问题特别感兴趣，而且在该领域做出了许多奠基性的工作。

波利亚是法国科学院，美国科学院和匈牙利科学院的院士，1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。

1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。

1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授。

他一生发表200多篇论文和许多专著。

他在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、组合论、概率论、数论、几何等若干分支领域都做出了开创性的贡献，一些术语和定理都以他的命名。

由于他在数学教育方面所取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ICME（国际数学教育大会）聘为名誉主席。

《怎样解题》（1944），《数学的发展》（1945）和《数学与猜想》（1961）这三本书就是他智慧的结晶。

这些书被译成很多国家的文字出版，其中《怎样解题》一书被译成17种文字，仅平装本就销售了100万册以上。

著名数学家范。

德。

瓦尔登1952年2月2日在瑞士苏黎世大学的会议致辞中说：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该都读读这本引人入胜的书”。

这些书成了世界范围内的数学教育名著，对数学教育产生了深刻的影响。

二、波利亚对数学教育的基本看法波利亚对于数学教育的目的、价值、方法非常关注。

他认为，“中小学生到底为什么要学习数学？要学什么样的数学？通过什么途径学好数学？”具体一点就是，在中小学阶段，是以“学数学”为主呢，还是以学如何“用数学”为主呢？这一点必须弄清楚。

波利亚“怎样解题”的思想,内容及实践结果

波利亚“怎样解题”的思想,内容及实践结果波利亚“怎样解题”的思想，内容及实践结果乔治.波利亚(George Polya) 1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根，巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。

1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。

1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授。

他一生发表达200多篇论文和许多专著，他在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、概率论、数论、几何和微分方程等若干分支领域都做出了开创性的贡献，留下了以他的名字命名的术语和定理波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。

这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题》表。

在这张包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。

他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。

最终得出一个求解计划。

”他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的提示语，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。

波利亚的《怎样解题》表的精髓是启发你去联想。

联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出的建议和提示性的问题吧。

“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试指出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。

这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题。

你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方式重新叙述它？┅ ┅”这些大量提示性的问题，不是问别人，而是问自己，实际是解题者的自我诘问，自我反省。

波利亚“解题理论”及启示

波利亚“解题理论”及启⽰2019-10-23摘要：波利亚的“解题理论”体现了他对解题⽅法及解题思维过程的深刻研究，它对于培养学⽣良好的解题习惯，培养学⽣创造性思维，推动数学素质教育都有着重要的启⽰作⽤。

关键词：波利亚解题思想学习习惯创新意识解题是数学的核⼼，是创造性思维⽅法学研究中不可缺的课题，中外许多学者在解题理论和解题训练，特别是创造性解题训练⽅⾯都作出许多贡献，其中最为突出的代表就要数波利亚了。

乔治·波利亚（1887―1985）美籍匈⽛利⼈，20世纪杰出的数学家，年轻时期于布达佩斯、维也纳、格廷根、巴黎等地攻读数学、物理、哲学。

1912年于布达佩斯⼤学获哲学博⼠学位，1914年在苏黎世著名的瑞⼠联邦理⼯学院任教，1940年移居美国，⾃1942年起⼀直担任美国斯坦福⼤学教授。

波利亚⼗分热⼼教育，重视从⼩培养学⽣的理解能⼒和解题能⼒。

他致⼒于解题研究，为了回答“⼀个好的解法是如何想出来的”这⼀令⼈困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究结果写成《怎样解题》⼀书。

1.波利亚“解题表”的主要思想《怎样解题》的中⼼思想即谈解题过程中怎样诱发灵感，具体核⼼部分就是他分解解题的思维过程得到的“怎样解题表”，这张表给出了⼀个完整的解题过程⼀般包含的四⼤步骤［１］。

1.1弄清问题。

弄清问题即审题，是解题的基础。

因为只有正确理解了题意，才能正确地树⽴解题的思维⽅法，找出解题途径。

在这⼀步，解题者必须了解问题的⽂字叙述，弄清题⽬的已知条件是什么，未知条件是什么，题⽬要求的是什么。

然后通过观察、分析、画图等把⽂字、图形、符号等发出的信息正确的接收下来，把条件的各个部分分开，充分挖掘题设的内涵，判清题型，审清问题。

1.2拟订计划。

拟订计划即探索解题的途径，这是解题的关键环节。

当我们审清了问题之后，熟悉的问题有⼀定的解题套路，不需要太多的思考，⽽对于不熟悉的题⽬，千万不要急于动笔演算，⽽是要在头脑中从整体上设计好⼀个解题思路，稍进⼀步的问题，需要有⼀点变化。

浅谈用波利亚解题思想解数学应用题

浅谈用波利亚解题思想解数学应用题辽宁省本溪县高级中学于福群实际应用题是高考数学题的一种重要题型，同时对于培养学生的数学应用意识、数学建模能力，训练学生的抽象思维能力，都有着重要的作用。

但由于种种原因，很多同学对应用题望而生畏.我想一个重要原因是缺乏正确的解题方法作为指导.本文尝试从波利亚的解题思想来探求应用题的解法。

波利亚在《怎样解题表》中指出，解题的四个主要步骤是：一、弄清问题；二、拟定计划；三、实施计划；四、回顾。

下面举例说明。

题目：某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为２００平方米的三级污水处理池（平面图如下图）。

由于地形限制，长、宽都不能超过１６米。

如果池周围四壁建造单价为每米４００元，中间两道隔墙建造单价为每米长２４８元，池底建造单价为每平方米８０元，池壁厚度不计。

试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。

一、弄清问题.弄清问题，也就是审题。

笔者认为主要包括两个方面：背景分析和量与数的分析。

1、背景分析：通过读题，理解题中叙述的是怎样的一个事件，不清楚的地方要多读几遍，抓住问题中的关键信息。

本题说的是拟建一个三级污水处理池，怎样设计长和宽，使总造价最低的问题。

由题意可知关键信息应是各部分造价的计算。

在做题中，有同学问：池四壁和两道隔墙的单价为什么按每米算，而不按每平方米算呢？这说明学生对问题的背景不熟，他们不知道在建筑上墙的造价是按长度来计算的。

由于学生对此不了解，从而造成思路阻塞。

这就要求：①学生对问题做出科学的分析，并坚定自己的信心；②学生平时就要对留心生活中的事物与数学的联系，深入探究，虚心求教，不断积累。

比如，银行利率的计算；出租车记费等。

③要善于把问题进行类比、联想。

把握住问题的相似之处，合理地推理、迁移。

比如，1999年高考数学第22题，是一道以轧钢为背景的问题，虽然背景比较生疏，但却与实际生活中的擀面相似，是等体积几何模型问题。

２、量与数的分析：数学研究的是空间形式和数量关系的一问科学。

波利亚《怎样解题》

波利亚《怎样解题》波利亚（George Pólya）于1945年出版了一本名为《怎样解题》（How to Solve It）的书籍，这本书成为了解决问题的经典指南。

波利亚是一位知名的数学家，他在书中分享了他对问题解决过程的理解和方法。

《怎样解题》不仅适用于数学问题，也可以应用于各个领域。

解题的四个基本原则波利亚认为，解决问题有四个基本原则：理解问题、制定计划、执行计划和回顾。

下面将针对这四个原则进行详细讨论。

理解问题理解问题是解决问题的第一步。

对于有关问题的任何陈述，我们都需要理解其含义。

理解问题包括搞清楚问题的要求，识别问题中涉及到的关键数据和信息，并将问题进行分类。

分类问题可以帮助我们找出问题的模式和发现问题的规律。

在理解问题阶段，我们需要提出问题，并找出已知条件和未知数。

这个过程有助于我们建立解决问题的框架，并提供解决方案的线索。

制定计划在理解问题的基础上，我们需要制定一个解决问题的计划。

计划是解决问题的指导方针，可以帮助我们有条理地进行思考和行动。

制定计划的关键是找出解决问题的途径。

这可以通过思考类似的问题、试图将问题分解为更小的子问题以及利用问题中的条件和限制来实现。

制定计划时，我们还可以考虑使用图表、图形和模型来表示问题。

这有助于我们更好地理解问题，并找到解决问题的启示。

执行计划一旦我们制定了解决问题的计划，我们就要开始实施这个计划。

执行计划是解决问题的实质性步骤，需要我们运用适当的技能和方法。

在执行计划的过程中，我们要仔细记录和跟踪每一步骤，并确保以正确的方式执行。

如果在执行计划的过程中遇到问题，我们需要及时调整计划，找到新的方向。

回顾回顾是解决问题的最后一步。

在解决问题后，我们需要回顾整个解决过程，反思经验和教训，总结和归纳解决问题的方法和策略。

回顾过程可以帮助我们加深对问题解决过程的理解，并帮助我们提高解决问题的能力。

通过回顾，我们可以发现问题解决中的瑕疵和改进的空间，从而在下次面对类似问题时更好地应对。

波利亚解题理论如何拟定计划

波利亚解题理论如何拟定计划
波利亚教授提出的解题方法里，“拟定计划”这部分就像这样：
首先，你要把问题摸透——这就像是搞清楚故事的情节一样，得知道问题到底在问什么，有哪些已有的线索（也就是已知条件），我们要找的答案是什么（未知量）。

如果有图啊、示例啊，能帮你更好理解就别忘了利用起来。

接下来，脑筋动起来回忆一下学过的知识，想想哪些公式啦、法则啦、以前做过的题跟现在这个像不像？如果有类似的例子，那就太棒了，可以直接借鉴经验。

然后，试着把大难题拆分成几个小块儿，一块儿一块儿地啃总比一口吞容易。

就像是先解开一个小谜团，再接着下一个，最后串起来就是整个答案。

列个清单，把想到的各种解决办法都写下来，不怕多，就怕想不到。

有可能试试这个方法走不通，那就换种思路接着来，有点像探险家找寻宝藏时尝试各种路线。

最后，挑一个看着靠谱的方法，把它变成一步步的具体行动方案。

就像是画地图，标明每一步怎么走，走到哪算哪。

在动手之前，心里还得估摸估摸这个方案靠不靠谱，要是感觉不对劲，那就回头再修改修改。

所以呢，总的来说，拟定计划就是在充分理解问题的基础上，灵活运用知识，勇于尝试不同方法，并且步步为营地制定出一个实际可行的操作步骤。

波利亚四步解题法

波利亚四步解题法1. 什么是波利亚四步解题法？波利亚四步解题法（Polya’s Four-Step Problem Solving Method）是由匈牙利数学家乔治·波利亚（George Pólya）提出的一种解决问题的方法。

这个方法适用于各种领域的问题，包括数学、科学、工程等。

波利亚四步解题法的核心思想是通过有序、系统的方式来解决问题，以确保每个步骤都得到适当的考虑和分析。

这种方法强调了问题解决过程中的创造性思维和灵活性，而不仅仅是机械地应用公式和算法。

2. 波利亚四步解题法的四个步骤2.1 理解问题（Understand the problem）在解决任何问题之前，首先需要全面理解问题的要求和限制。

这包括明确问题所涉及的概念、条件和目标。

在这一步骤中，可以通过以下几个方面来帮助理解问题：•仔细阅读问题陈述，并将其转化为自己理解的语言。

•将关键信息提取出来，并进行归纳总结。

•确定问题的目标和要求，明确需要解决的具体内容。

理解问题的过程中，可以使用思维导图、流程图等工具来帮助整理和梳理思路。

2.2 制定计划（Devise a plan）在理解问题之后，接下来需要制定解决问题的计划。

这个步骤是一个关键的思考过程，它要求我们考虑使用哪些方法、公式或算法来解决问题。

以下是一些常见的解题策略：•找出类似的问题，并尝试将其应用到当前问题上。

•将大问题分解为小问题，并逐一解决。

•使用图表、模型或示意图来帮助理清思路。

制定计划时，可以尝试不同的方法和角度，寻找最适合自己的解题策略。

2.3 执行计划（Carry out the plan）在制定好计划之后，就可以开始执行计划了。

这一步骤是具体操作和计算的过程。

根据制定的计划，按照一步一步地进行操作，直到得出最终结果。

在执行计划时，需要注意以下几点：•确保每个步骤都正确无误地执行。

•保持记录和注释，以便追溯和复查。

•尝试不同的方法和技巧，以获得更好的结果。

(完整版)波利亚的解题理论

波利亚的解题理论一、波利亚的生平及主要著作对于我们数学学习者而言，大多都有过这样的经历：一道题，自己怎么想也想不出解法，而老师却给出了一个绝妙的解法。

这时候，我们最想知道“老师是怎么想出这个解法的”，如果这个解法不是很难，我们也许会问“自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢？”要回答这个问题，实际上牵涉到对揭发数学问题解决规律的深入研究。

综观历史来看，美籍匈牙利数学家乔治。

波利亚（George Polya，1887-1985）不仅对上述问题特别感兴趣，而且在该领域做出了许多奠基性的工作。

波利亚是法国科学院，美国科学院和匈牙利科学院的院士，1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。

1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。

1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授。

他一生发表200多篇论文和许多专著。

他在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、组合论、概率论、数论、几何等若干分支领域都做出了开创性的贡献，一些术语和定理都以他的命名。

由于他在数学教育方面所取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ICME（国际数学教育大会）聘为名誉主席。

《怎样解题》（1944），《数学的发展》（1945）和《数学与猜想》（1961）这三本书就是他智慧的结晶。

这些书被译成很多国家的文字出版，其中《怎样解题》一书被译成17种文字，仅平装本就销售了100万册以上。

著名数学家范。

德。

瓦尔登1952年2月2日在瑞士苏黎世大学的会议致辞中说：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该都读读这本引人入胜的书”。

这些书成了世界范围内的数学教育名著，对数学教育产生了深刻的影响。

二、波利亚对数学教育的基本看法波利亚对于数学教育的目的、价值、方法非常关注。

他认为，“中小学生到底为什么要学习数学？要学什么样的数学？通过什么途径学好数学？”具体一点就是，在中小学阶段，是以“学数学”为主呢，还是以学如何“用数学”为主呢？这一点必须弄清楚。

波利亚的解题理论

波利亚的解题理论（讲稿）同学们好！今天我们大家一起来学习波利亚的解题理论。

首先，让我们了解一下波利亚的生平。

乔治·波利亚（George Polya,1887-1985)美籍匈牙利数学家，生于匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、数学、物理和哲学，1912年获数学博士学位。

他是法国科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士，是20世纪举世公认的数学家和数学教育家，也是享有国际盛誉的数学方法论大师，为数学方法论的现代研究，特别是为数学解题教学研究奠定了必要的理论基础。

他的成就主要包括解题理论、数学教学理论和教师教育理论，发表200多篇论文和许多专著，主要著作包括:《怎样解题》（1944）、《数学的发现》（1954）、《数学与猜想》（1961）等。

其中《怎样解题》与《数学的发现》集中论述了怎样解题的问题，而《数学与猜想》则对合情推理进行了生动地、富有创造性地论述。

在数学方面，对实变函数、复变函数和概率论等若干分支领域作出了开创性的贡献，留下了以他的名字命名的术语和定理。

在数学解题研究领域，波利亚是一面旗帜，也是一代宗师。

这里主要介绍他的解题理论。

学习波利亚的解题理论，首先需要了解对“解题”过程的界定。

波利亚认为，解题是智力的特殊成就，题目是数学的心脏，数学教学的本质在于教会学生解题，解题思想“应当诞生在学生心里，教师仅仅像助产士那样行事”（苏格拉底语），由此，数学教师的首要任务是发展学生解决问题的能力。

为了帮助学生，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究可解题的思维过程，用朴素而现代化的形式来阐明探索法（既有助于发现的探索方法），并集几十年教学与科研之大成写成《怎样解题》一书，与1948年出版，风靡世界。

其中“怎样解题”表仔细分析了求解各种数学问题时的思维过程，成为经典之作。

概括的说来，“怎样解题”表是波利亚的解题理论的核心内容。

所以，让我们详细学习一下“怎样解题”表。

波利亚的解题理论

波利亚的解题理论一、波利亚的生平及主要著作对于我们数学学习者而言，大多都有过这样的经历：一道题，自己怎么想也想不出解法，而老师却给出了一个绝妙的解法。

这时候，我们最想知道“老师是怎么想出这个解法的”，如果这个解法不是很难，我们也许会问“自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢？”要回答这个问题，实际上牵涉到对揭发数学问题解决规律的深入研究。

综观历史来看，美籍匈牙利数学家乔治。

波利亚（George Polya，1887-1985）不仅对上述问题特别感兴趣，而且在该领域做出了许多奠基性的工作。

波利亚是法国科学院，美国科学院和匈牙利科学院的院士，1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。

1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。

1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授。

他一生发表200多篇论文和许多专著。

他在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、组合论、概率论、数论、几何等若干分支领域都做出了开创性的贡献，一些术语和定理都以他的命名。

由于他在数学教育方面所取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ICME（国际数学教育大会）聘为名誉主席。

《怎样解题》（1944），《数学的发展》（1945）和《数学与猜想》（1961）这三本书就是他智慧的结晶。

这些书被译成很多国家的文字出版，其中《怎样解题》一书被译成17种文字，仅平装本就销售了100万册以上。

著名数学家范。

德。

瓦尔登1952年2月2日在瑞士苏黎世大学的会议致辞中说：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该都读读这本引人入胜的书”。

这些书成了世界范围内的数学教育名著，对数学教育产生了深刻的影响。

二、波利亚对数学教育的基本看法波利亚对于数学教育的目的、价值、方法非常关注。

他认为，“中小学生到底为什么要学习数学？要学什么样的数学？通过什么途径学好数学？”具体一点就是，在中小学阶段，是以“学数学”为主呢，还是以学如何“用数学”为主呢？这一点必须弄清楚。