中考数学题型专项训练：二次函数与线段问题(含答案)

二次函数与线段问题

1.已知抛物线经过点A(－1,0)、B(3,0)、C(0,－3).

(Ⅰ)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;

(Ⅱ)直线CD交x轴于点E,过抛物线上在对称轴右边的点P,作y轴的平行线交x轴于点F,交直线CD于点M,使PM=2

EF,

5

请求出点P的坐标;

(Ⅲ)将抛物线沿对称轴平移,要使抛物线与(Ⅱ)中的线段EM 总有交点,那么抛物线向上最多平移多少个单位长度?向下最多平移多少个单位长度?

解:(Ⅰ)设抛物线解析式为y=a(x＋1)(x－3),

把点C(0,－3)代入得:a×1×(－3)=－3,

解得a=1,

∴抛物线解析式为y=(x＋1)(x－3),

即y =x 2－2x －3,

∵y =x 2－2x －3=(x －1)2－4,

∴顶点D 的坐标为(1,－4);

(Ⅱ)如解图,设直线CD 的解析式为y =kx ＋b ,

把点C (0,－3),D (1,－4)代入得

34b k b =-⎧⎨+=-⎩,解得13

k b =⎧⎨=⎩－－, ∴直线CD 的解析式为y =－x －3,

当y =0时,－x －3=0,

解得x =－3,

则E (－3,0),

设P (t ,t 2－2t －3)(t ＞1),

则M (t ,－t －3),F(t ,0),

∴EF =t ＋3,PM =t 2－2t －3－(－t －3)=t 2－t ,

而PM =25

EF , ∴t 2－t =25

(t ＋3), 整理得5t 2－7t －6=0,

解得t 1=－35

(舍去),t 2=2, 当t =2时,t 2－2t －3=22－2×2－3=－3,

∴点P 坐标为(2,－

3);

第1题解图

(Ⅲ)当t =2时,点M 的坐标为(2,－5),

设平移后的抛物线解析式为y=x2－2x－3＋m,

当抛物线y=x2－2x－3＋m与直线y=－x－3有唯一公共点时, 令方程x2－2x－3＋m=－x－3,即x2－x＋m=0有两个相等的实数解,

则b2－4ac=1－4m=0,

解得m=1

4

;

若抛物线y=x2－2x－3＋m经过点M(2,－5),

则4－4－3＋m=－5,解得m=－2;

若抛物线y=x2－2x－3＋m经过点E(－3,0),

则9－2×(－3)－3＋m=0,

解得m=－12,

∴抛物线向上最多平移1

4

个单位长度,向下最多平移12个单

位长度.

2. 已知抛物线y=1

2

(x－3)2－1与x轴交于A、B两点(点A在

点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.

(Ⅰ)试求点A,B,D的坐标;

(Ⅱ)连接CD,过原点O作OE⊥CD与抛物线的对称轴交于点E,求OE的长;

(Ⅲ)以(Ⅱ)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作⊙E的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标.

解:(Ⅰ)由y=0得1

2(x－3)2－1=0,解得x1=3

x2=3

又∵点A在点B的左侧,

∴A点坐标为(3

B点坐标为(3

由抛物线解析式y=1

2

(x－3)2－1可得顶点D的坐标为(3,－1); (Ⅱ)如解图①,过点D作DG⊥y轴于点G,设CD与x轴交于点

F,ED交x轴于点M,

由题意可得,∠DCG＋∠COF=90°,∠EOM＋∠COF=90°, ∴∠DCG=∠EOM,

又∵∠CGD=∠OME=90°,

∴△CDG∽△OEM,

∴CG

OM

=

DG

EM

,即

3

2

=

3

EM

,

∴EM=2,

∴E点坐标为(3,2),

∴OE

;

(Ⅲ)如解图②,由⊙E的半径为1,由勾股定理得PQ2=EP2－1,要使切线长PQ最小,只需EP长最小,即EP2最小,

设P点坐标为(x,y),则PQ=x－3,EQ=2－y,

∴由勾股定理得EP2=(x－3)2＋(2－y)2,

∵y =12

(x －3)2－1, ∴(x －3)2=2y ＋2,

∴EP 2=2y ＋2＋y 2－4y ＋4=(y －1)2＋5,

当y =1时,EP 2为最小值,

将y =1代入y =12

(x －3)2－1,得x 1=5,x 2=1, ∴P 点坐标为(1,1)或(5,1).

∵点P 在对称轴右侧的抛物线上,

∴x 2=1舍去,

∴P

(5,1).

图① 图②

第2题解图

3.已知抛物线y=－1

4

x2－

1

2

x＋

3

4

与x轴交于A,C两点(点A在

点C的左边),直线y=kx＋b(k≠0)分别交x轴,y轴于A,B两点,且除了点A之外,该直线与抛物线没有其他任何交点. (Ⅰ)求A,C两点的坐标;

(Ⅱ)求k,b的值;

(Ⅲ)设点P是抛物线上的动点,过点P作直线y=kx＋b(k≠0)的垂线,垂足为H,交抛物线的对称轴于点D,求PH＋DH的最小值,并求出此时点P的坐标.

解:(Ⅰ)令y=0,即－1

4

x2－

1

2

x＋

3

4

=0,

解得x1=－3,x2=1,

∵点A在点C的左边,∴A(－3,0),C(1,0); (Ⅱ)把A(－3,0)代入y=kx＋b,得－3k＋b=0,