1最终版.1 集合及其运算最终版.ppt
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集合的基本运算(课件
集合的元素
01
02
03
确定性
集合中的元素是确定的， 不存在模糊不清的情况。
互异性
集合中的元素是互不相同 的，即集合中没有重复的 元素。
无序性
集合中的元素没有顺序， 即集合中元素的排列顺序 不影响集合本身。
空集
定义
不含任何元素的集合称为空集。常用 希腊字母∅表示空集。
性质
空集是任何集合的子集，即对于任意集 合A，都有{}⊆A。
补集
补集是指属于全集但不属于某个特定 集合的元素组成的集合。
补集运算不满足交换律和结合律，即 AB≠BA，且(AB)C≠A (BC)。
补集运算可以用符号“”表示，例如 ：AB 表示集合A和集合B的补集。
03 集合运算的性质
交换律
定义
对于任意两个集合A和B，若A∪B=B∪A和A∩B=B∩A，则称交 换律成立。
04 集合运算的应用
在数学中的应用
集合的交、并、差运算
01
这些基本运算在数学中用于描述集合之间的关系，如两个集合
的共有元素、所有元素等。
集合的对称差运算
02
在数学中，对称差运算用于描述两个集合之间的相对差异，即
属于一个集合但不属于另一个集合的元素。
集合的补运算
03
补运算用于描述全集中不属于某个集合的元素组成的集合，即
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分配律
定义
对于任意三个集合A、B和C，若A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)和 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，则称分配律成立。
举例
设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，则A∪(B∩C)={1,2,3,4}， (A∪B)∩(A∪C)={1,2,3,4}，满足分配律。
集合的概念与运算PPT课件
6.子集、真子集及其性质: 对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A⊆ B(或 B⊇ A); 若集合 A⊆ B,但存在元素 x∈B,且 x∉A,则 A⫋ B(或 B⫌ A);
⌀ ⊆ A;A⊆ A;A⊆ B,B⊆ C⇒ A⊆ C. 若集合 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有 2n 个,A 的非空子集有 2n-1个,A
【例 2-2】已知集合 A={x|x2-2x+a≤0},B={x|x2-3x+2≤0},且 A⫋ B,求实 数 a 的取值范围.
解:由题意可得 B={x|1≤x≤2}. 对于 A:Δ=(-2)2-4a<0,即 a>1 时,A≠⌀ ,满足 A⫋ B;
Δ=(-2)2-4a=0,即 a=1 时,A={1},满足 A⫋ B;
A.(a*b)*a=a
B.[a*(b*a)]*(a*b)=a
C.b*(b*b)=b
D.(a*b)*[b*(a*b)]=b 解析:在 B 选项中,[a*(b*a)]*(a*b)=b*(a*b)=a,故 B 正确;在 C 选项中,易知 a*(b*a)=b*(b*b)=b 成立,故 C 正确;在 D 选项中,令 a*b=c,则 c*(b*c)=b 成立, 故 D 正确.只有 A 选项不能恒成立.
5.设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 a 的值为 1
.
解析:∵A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},a2+4>3, ∴a+2=3,a=1.
一、集合的概念
【例 1-1】 若集合 A={2,3,4},B={x|x=n·m,m,n∈A,m≠n},则集合 B 的元 素个数为( B ).
课件集合的基本运算_人教版高中数学必修一PPT课件_优秀版
(3)(∁SA)∪(∁SB)；
6
解析：
• 【解析】(1)由并集的概念可知A∪B＝{1,2,3,4,5,6}；
•
(2)借助数轴(如图)
•
•
∴M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}．
• 【答案】(1){1,2,3,4,5,6} (2)A
7
方法归纳：
• 并集的运算技巧： • (1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的
互异性． • (2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但是要注意含“＝”
用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
8
探究一 并集的运算
9
解析：
10
探究二 交集的运算
• 【例】(1)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则A∩B＝________.
•
(2)已知集合A＝{x|x≥5}，集合B＝{x|x≤m}，且A∩B＝{x|5≤x≤6}，则实数m＝
________.
•
11
解析：
• 【解析】(1)A＝{x|x＝1或x＝－2}，B＝{x|x＝－2或x＝3}，
•
∴A∩B＝{－2}．
•
(2)结合数轴：
•
•
由图可知m＝6.
• 【答案】(1){－2} (2)6
是否存在？若存在，求出x；
∴(∁RA)∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}．
由此可得：(1)(∁SA)∩(∁SB)＝{x|1<x<2}∪{7}．(2)∁S(A∪B)＝{x|1<x<2}∪{7}；
(3)(∁SA)∪(∁SB)＝{x|1<x<3}∪{x|5≤x≤7}＝{x|1＜x＜3，或5≤x≤7}；
高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合与集合的运算公开课课件省市一等奖完整版
方法 3 与集合有关的新概念问题的解题策略
与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题,它是化归思想的具体运 用,这类试题的特点是:通过给出新的数学概念或新的运算方法,在新的 情境下完成某种推理证明,这是集合命题的一个新方向.常见的有定义 新概念、新公式、新运算和新法则等类型. 解此类题的一般思路: 1.理解问题中的新概念、新公式、新运算、新法则的含义. 2.利用学过的数学知识进行逻辑推理. 3.对选项进行筛选、验证、定论. 例4 (2016浙江名校协作体测试,8)在n元数集S={a1,a2,…,an}中,设x(S)=
A∩A=A A∪A=A ∁U⌀=U
3.两个常用结论 A∩B=A⇔A⊆B;A∪B=B⇔A⊆B. 4.设有限集合A,card(A)=n(n∈N*),则 (1)A的子集个数是⑧ 2n ; (2)A的真子集个数是⑨ 2n-1 ; (3)A的非空子集个数是⑩ 2n-1 ; (4)A的非空真子集个数是 2n-2 .
⑥ A⫋B(或B⫌A)
集合相等
集合A与集合B中元素相同,那么 A=B 就说集合A与集合B相等
Venn图表示
考点二 集合的运算
1.集合间的运算
名称
自然语言描述
ห้องสมุดไป่ตู้
符号语言表示
并集
对于两个给定集合A、B,由所有 属于集合A或属于集合B的元素 组成的集合
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
交集 补集
对于两个给定集合A、B,由所有 属于集合A且属于集合B的元素 组成的集合
集合中的元素必须是互异的.对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同 的.这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确,或用来求集合中的未知元素
集合与其中元素的排列顺序无关,如{a,b,c}与{b,c,a}是相同的集合.这个特性通 常被用来判断两个集合的关系
集合及其运算ppt课件
一个集合A，这样得到许多集合，它们的总体称为集合族，
记为{A ; }或{A } ,其中称为指标集.
对于集合族 {A } , 若对任意
, , ,都有A A ,
则称该集合族是互不相交的或两两不交的.
类似定义其交集，即
A {x | 对每一 ,有x A}
例1
若
An
{x;0
x
1
1}, n n
称为A的余集，简记为 CA或Ac. 余：Cs A S A （其中S为全集）,简记为Ac
注：A B A Bc
定理5
（1） S C , C S.
（2） A AC S, A AC .
(3) ( AC )C A. (4) 若A B,则AC BC .
定理6 De Morgan 公式
: 1
1 n
x
1
1 n
},
n
N,
(
(
-2 -1-1/n -1
]
)
0 1-1/n 1
n1
An
[1,0]
n1
An
(2,1)
练习：
若An
{x; 1 n
x
1}, n
1,2,,则 An n1
答案： An (0,1) n1
证明：对任意n N,有An
(1 ,1) n
(0,1),
故 An (0,1). n1
x A B当且仅当x A或x B.
一簇集合 {A } ，可类似定义其并集，即
A {x;存在 ,使x A }
例1
若
An
{x;1
1 n
x
1
1},n n
1,2,3,,
则 An (1,1). n1
例2 若 A {x; 1 x }, R,
记为{A ; }或{A } ,其中称为指标集.
对于集合族 {A } , 若对任意
, , ,都有A A ,
则称该集合族是互不相交的或两两不交的.
类似定义其交集，即
A {x | 对每一 ,有x A}
例1
若
An
{x;0
x
1
1}, n n
称为A的余集，简记为 CA或Ac. 余：Cs A S A （其中S为全集）,简记为Ac
注：A B A Bc
定理5
（1） S C , C S.
（2） A AC S, A AC .
(3) ( AC )C A. (4) 若A B,则AC BC .
定理6 De Morgan 公式
: 1
1 n
x
1
1 n
},
n
N,
(
(
-2 -1-1/n -1
]
)
0 1-1/n 1
n1
An
[1,0]
n1
An
(2,1)
练习：
若An
{x; 1 n
x
1}, n
1,2,,则 An n1
答案： An (0,1) n1
证明：对任意n N,有An
(1 ,1) n
(0,1),
故 An (0,1). n1
x A B当且仅当x A或x B.
一簇集合 {A } ，可类似定义其并集，即
A {x;存在 ,使x A }
例1
若
An
{x;1
1 n
x
1
1},n n
1,2,3,,
则 An (1,1). n1
例2 若 A {x; 1 x }, R,
集合的概念及其基本运算PPT优秀课件1
∴A
B,
∵3b-2=3(b-1)+1,∴B=C. ∴A∪B=C.
答案
∪
=
跟踪练习1
(2010·无锡模拟)设集合A={1,a,b},B=
{a,a2,ab},且A=B,则实数a=___, =___. -1 b0
解析 由元素的互异性知:a≠1,b≠1,a≠0, 又由A=B,
2 2 a 1 a b 即 或 解得 a 1 , b 0 . ， ab b ab 1
①若a=0，则A=R；
4 1 a a 1 4 ③若a>0,则 A {x| x }. a a (1)当a=0时，若AB，此种情况不存在.
②若a<0，则 A {x| x };
[2分]
当a<0时，若AB，如图,
1 4 a 8 a 2, 则 a 8. 1, a 1 2 2 a
1 ∴ UP={x|x≤0或x> 2
1 P={x|0<x≤ 2
}, },
1 2
∴(
UM)∩(
UP)={x|x≤0或
<x<1}.
5.(2010·常州模拟)已知全集U=R,集合M={x|x≥ x 1 1},N={x| ≥0},则 U(M∩N)=__________. {x|x≤2} x2 解析 因为M={x|x≥1},N={x|x>2或x≤-1},
25 2 2 1 {( m , n ) | m n 或 m n } 成的集合为___________________________. 9 9
2 2
解析
因为A∩B为单元素集,即圆x2+(y+n)2=4与圆
2 2 3 m ) ( n 2 n ) 3 2 (x-3m)2+(y-2n)2=9相切,此时(
《集合的运算》课件1(10张PPT)
求：（1）A B 、（2） A B
5、已知：集合A={ (x, y) | 2x 3y 1 } ，B ={ (x, y) | 3x 2y 3 } ， 求：（1）A B A B B
6、已知：集合A={a、b、c、}，集合B满足 合有多少个？
如果满足 A B A 呢？
，试问这样的集
解（1）B= 或{a}或{b}或{c}或{a，b}或{a，c}或{b，c}或{a，b，c}
Q Z ={ x|x是有理数}U{x|x是整数}= {x|x是有理数}=Q
gkxx精品课件
当堂训练
1、已知：集合A={1、2、3、4、}，B={1、3、4、6}，
求：（1）A B 、（2）A B 、（3）A 、（4）B
解：（1）A B {1、3、4} （2）A B {1、2、3、4、6} （3）A
3、A、B两个集合的“并集”是怎样定义的？怎样求两个集合A={1、2、
3、4、5}，B={3、4、5、6、8}的并集？ 对于两个给定的集合A、B，把它们的所有元素并在一起构成的集合，
叫做A、B的并集，记做
AB
4合A、？试用B Ve{e1n、图2、说3、明4、A5、、6B、两8}个集合的并集什么情况下等于其中的一个集
（2）同上
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达标检测
1、已知：集合A={1、2、5、7}，B={2、4、6、8}，
求：（1） A B 、（2） A B 、（3） A 、（4）B
2、已知：集合A={x|x是等腰三角形} ，B ={x|x是等边三角形} ，
求：（1）A B 、（2） A B
3、已知：集合A={x|x是矩形} ，B ={x|x是菱形} ，
求：（1）A B
4、已知：集合A={(x, y) | 2x y 1 } ，B ={ (x, y) | x y 2 } ，
5、已知：集合A={ (x, y) | 2x 3y 1 } ，B ={ (x, y) | 3x 2y 3 } ， 求：（1）A B A B B
6、已知：集合A={a、b、c、}，集合B满足 合有多少个？
如果满足 A B A 呢？
，试问这样的集
解（1）B= 或{a}或{b}或{c}或{a，b}或{a，c}或{b，c}或{a，b，c}
Q Z ={ x|x是有理数}U{x|x是整数}= {x|x是有理数}=Q
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当堂训练
1、已知：集合A={1、2、3、4、}，B={1、3、4、6}，
求：（1）A B 、（2）A B 、（3）A 、（4）B
解：（1）A B {1、3、4} （2）A B {1、2、3、4、6} （3）A
3、A、B两个集合的“并集”是怎样定义的？怎样求两个集合A={1、2、
3、4、5}，B={3、4、5、6、8}的并集？ 对于两个给定的集合A、B，把它们的所有元素并在一起构成的集合，
叫做A、B的并集，记做
AB
4合A、？试用B Ve{e1n、图2、说3、明4、A5、、6B、两8}个集合的并集什么情况下等于其中的一个集
（2）同上
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达标检测
1、已知：集合A={1、2、5、7}，B={2、4、6、8}，
求：（1） A B 、（2） A B 、（3） A 、（4）B
2、已知：集合A={x|x是等腰三角形} ，B ={x|x是等边三角形} ，
求：（1）A B 、（2） A B
3、已知：集合A={x|x是矩形} ，B ={x|x是菱形} ，
求：（1）A B
4、已知：集合A={(x, y) | 2x y 1 } ，B ={ (x, y) | x y 2 } ，
1.1集合的概念与运算.pptx
间 的
子 集
集合 A 中任意一个元素均为集合 B 中的元素
基
本 为集合 B 中的元素,且集合 B 中至少有一个元素不是集合 A 中的元素
示关系 文字语言
空集 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集
符号语 言 A=B A⊆ B
A⫋ B
第1讲 集合的概念与运算
A∪B=B∪A A∪A=A A∪⌀=⌀∪A=A 如果 A⊆ B,则 A∪B=B
A∪∁UA=U A∩∁UA=⌀ ∁U(∁UA)=A
第1讲 集合的概念与运算 要点梳理 考点自测
考纲解读 主主干干梳梳理理 考点层析
12345
1.已知集合 A={x∈N|- 3≤x≤ 3},则必有( )
A.-1∈A
B.0∈A
第1讲 集合的概念与运算
考纲解读 主干梳理
考点层析
考向1
考向2
考向2
考向4 易错辨析点拨
考向 1 集合的基本概念
【例 1】 (1)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数 是( )
A.1
B.3
C.5
D.9
(2)已知集合 A={m+2,2m2+m},若 3∈A,则 m 的值为
B=( )
A.[-2,-1]
B.[-1,2)
C.[-1,1]
D.[1,2)
解析:由已知,可得 A={x|x≥3 或 x≤-1},则 A∩B={x|-2≤x≤-1}=[-2,-1].故选
A.
答案:A
第1讲 集合的概念与运算 要点梳理 考点自测
考纲解读 主主干干梳梳理理 考点层析
12345
3.设集合 A={x|1≤x≤2},B={x|x≥a},若 A⊆ B,则 a 的取值范围是( )
集合的概念及其基本运算PPT精品课件
.
解析:
当a≤0时，A∩B≠ ，所以a∈(-∞,0].
题型二 集合之间的关系
【例2】已知集合A={x|x2－3x+2＜0},B={x||x|≥a}，当a为 何值时,A B成立？
分析 解决本题的关键是对集合B进行分类化简，再根据 A与B间的关系求解.
解 A={x|1＜x＜2},对于集合B： (1)当a≤0时，由B={x||x|≥a}知B=R,此时A B; (2)当a＞0时，由|x|≥a得x≤-a或x≥a， 由A B,结合数轴可知0＜a≤1. 由(1)、(2)可知，a≤1时,A B.
-2 m+1
2m-1 5 , 解得-3≤m≤3,∴2≤m≤3.
综合(1)(2)可知,m的取值范围是（-∞,3］.
链接高考
(2010·江苏)设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则 实数a = . 知识准备:由已知，3∈A,3∈B.
解析 由已知3∈B,因为a2+4≥4,所以a+2=3,故a=1.
经典例题
题型一 集合的基本概念
b
【例1】若a,b∈R，集合{1,a+b,a}={0, a ,b}，
则b2012－a2012=
.
分析 由{1,a+b,a}={0,
b ,ab}
可知a≠0，因此只能a+b=0,
然后利用两集合相等的条件列出方程组，分别求出
a、b的值即可.
解 由{1,a+b,a}={0, ,bba} 可知a≠0，因此只能
5 2
a2 7
矛盾.
综上，a的取值范围是（-∞,-3］.
变式3-1
已知集合A={a,b,2},B={2,b2,2a},且A∩B=A∪B，则
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集合与元素的关系：属于或不属于.
︵。︵
2
对于集合A，某一对象x如果是A的元素，则称x属 于A，如果x不是A的元素，则称x不属于A。
集合的表示方法： 1.列举法； 2.描述法；
例如，A是由具有性质P的元素全体组成时，记为：
A {x | x具有性质P}
其中P可以是一段文字，也可以是某个数学式子。
︵。︵
n0
N , 使x
1
1 n0
, 故x
( n0
1 ,
n0
n0 1),即x n0
(
n1
n0 1 n0
,
n0 n0
1 ).
又对任意n N, 恒有 n 1 1 n 1,即1 ( n 1, n 1),
n
n
nn
故
(
n
1
,
n
1)
{1}.综上可知命题成立.
n1 n
n
︵。︵
8
4. 并运算
A B {x; x A 或 x B}
特别地，若 C B ( ), 则C B .
（4） （A B） ( A ) ( B ).
(5) A ( B ) (A B ).
︵。︵
14
证明 （2）由并集的定义，若 x A ,
则存在 ,使x A. 而 A B , 所以有x B.
从而 x B ,
故 A B .
称为A的余集，简记为 CA或Ac.
余：Cs A S A （其中S为全集）,简记为Ac
注：A B A Bc
定理5
（1） S C , C S.
（2） A AC S, A AC .
(3) ( AC )C A.
︵。︵
16
5．差运算
由所有属于A但不属于B的元素组成的集合， 称为A减B的差集，记作A-B。即
A B {x; x A, x B}.
注 (A B) B未必等于 A.
6. 余集
若已知 A B 则 A B 称为B 相对于A
的余集，记为 CAB.
︵。︵
17
特别地，若考虑的一切集合都是某一给 定集合S的子集，集合A相对于S的余集
（5）若 A ( B ) ,任取x A ( B ),
由交的定义，x A且x B.
再由并的定义可知存在 使x B.
︵。︵
15
于是 x A B.
从而 x (A B ).
所以 A ( B ) (A B ).
再证 (A B ) A ( B ).
略
(6) A ( B ) (A B ).
x A B当且仅当x A或x B.
一簇集合 {A } ，可类似定义其并集，即
A {x;存在 ,使x A }
︵。︵
9
例1
若
An
{x;1
1 n
x
1
1},n n
1,2,3,,
则 An (1,1). n1
例2 若 A {x; 1 x }, R,
则 A (,). R
︵。︵
10
第一章 集合及其基数
第一节 集合及其运算
集合论产生于十九世纪七十年代，它是德国数 学家康托尔（Cantor）创立的，不仅是分析学的 基础，同时，它的一般思想已渗入到数学的所有 部门。“集合论观点”与现代数学的发展不可分 割地联系在一起。
︵。︵
1
集合的定义
集合，指的是具有某种特定性质的对象的全体， 通常用大写英文字母A，B，X，Y…等表示；集 合中的每个对象称为该集合的元素。一般说来， 我们总用小写字母a,b,x,y…表示集合中的元 素。
集合族：设是一集合，对于每一 ，都相应地给定了
一个集合A，这样得到许多集合，它们的总体称为集合族，
记为{A ; }或{A } ,其中称为指标集.
对于集合族 {A } , 若对任意
, , ,都有A A ,
则称该集合族是互不相交的或两两不交的.
︵。︵
6
类似定义其交集，即
A {x | 对每一 ,有x A}
例3
设An
{x
: 1
1 n
x
1
1 n
},
n
N,
(
(
-2 -1-1/n -1
]
)
0 1-1/n 1
n1
An
[1,0]
n1
An
(2,1)
︵。︵
11
练习：
若An
{x; 1 n
x
1}, n
1,2,,则 An n1
答案： An (0,1) n1
证明：对任意n N,有An
(1 ,1) n
(0,1),
2.集合的真子集 如果B A，B A，即B是A的子集，但B还不等于A， 则说B是A的真子集.
定理1 A B 的充要条件是 A B 且 B A.
︵。︵
5
定理2 若 A B ，B C ,则 A C .
3.集合的交运算 设A, B是两个给定的集合，将它们所共有的元素 拿来构成一个新的集合，则称为A和B的交， 记为A B或AB，因此A B {x; x A且x B}.
3
如果E是一个事先给定了的集合，则E[x; p(x)]便表示E中所有使 条件p(x)满足的x所构成的集合，即{x; x E, p(x)}.
例如当f (x)是一个给定的实函数且a是一个常数时， E[x; f (x) a]就是E中那些使f (x)大于a的x所构成的集合.
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4
集合的运算
1.集合的子集 设A, B是两个集合，如果属于A的元素都属于B， 则说A包含于B或A是B的子集，记为A B.
A (B C) (A B) C;
（3）分配律 A (B C) (A B) (A C)
（4）幂等律 A A A, A A A
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定理4
（1） A B A A B.
（2） 若 A B , ( ),则 A B .
特别地，若 A C( ), 则 A C.
（3） 若 A B , ( ),则 A B .
例1
若
An
{x;0
x
1
1},n n
1,2,3,,
则 An {0 x 1}. n1
例2 若 是全体实数构成的集合，
A {x; x }, ,
则 A
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7
练习：
若An
{x; n 1 n
x
n 1}, n n
1,2,,则 An n1
答案： An {1} n1
证明：设x {1},即x 1.若x 1,则有
故 An (0,1). n1
又对x (0,1),存在n0
N,使 1 n0
x
1,即
x
( 1 n0
,1)
An0
,于是
(
1
n n0 1 0
,1)
(
1
n1 n
,1)
(0,1).
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定理3 （1）交换律 A B B A; A B B A （2）结合律 A (B C) (A B) C;