(优选)第二节平面简谐波的波动方程
14-2平面简谐波的波动方程
波源(x=0) 的简谐运动 方法1
yO A cos t
x t u
O点的振动状态传到P所需时间
t时刻 P 点相位与 O 点 ( t t )时刻相位相同
yP (t) yO (t t)
P点的振动方程
x y P A cos t u
x
2 π)
(2)
2 π)
由于 uT u
所以(1)、(2)是一致的
x x0 波源在x0处: y A cos t u 2π y A cos t ( x x0 )
如果波沿x轴的负方向传播，则P点的相位要比O点的相 位超前 t x u x x0
P在 t=0 时刻过平衡位置向负向运动 ——波向左移
y(m)
0.2 O 1
t=0 P
2
yP(m) x(m)
0.2 O 0.1 0.2
t (s)
3 yO 0.2 cos(10πt π) 2 x 3 波向-x方向传播 y 0.2 cos[10 π(t ) π] 10 2 π π b) 以 P 为参考点 P yP 0 2cos( 10π t ) 2 2 波向-x方向传播 x 1 π 0 2 cos[10 π(t x ) π ] y 0 2 cos[10 π(t ) ] 10 2 10 2
(3) 波形图中 x1 和 x2 两质点的相位差
x1 y1 A cos t u 1 x2 y2 A cos t u
相位差：
y u O
x1 x2
6-2平面简谐波的波动方程
x
T 2
u=20m/s，ω=4π，
uT 10 m
由于波从左向右传播，因此B点振动始终超前于A点，超 前时间Δt为: x 5
0 .5 s
t
u
20
0.25 s
即B点振动方程为：
x 波动方程一般 形式 y A cos[ ( t ) ] ，则以B点坐标原点 u 的波动方程为：
可写出P点振动方程为：
x
x y A cos[ ( t ) 0 ] u
任意一质点为坐标原点的波动方程
一平面波在介质中以速度u=20m/s沿直线传播， 已知A的振动方程为 ，写出分别以 y A 3 cos(4 t) A、B点为坐标原点的波动方程。
8m 5m
C B A
9m
D
u
x
A 0.1, 200 ,0 3 2 yO 0.1cos(200 t3 即O点振动方程为： 2)
根据波动方程通式则得：
x y 0.1cos[ 200 ( t ) 3 2] 400
6.2
平面简谐波的波动方程_例题
例 一列横波以u=400m/s波速沿x轴正向传播。位于坐标原点 O处的质点的振动T= 0.01s，A= 0.1m，取原点处质点经过平 衡位置且向正方向运动时为计时起点。 （1）O点振动方程 yO 0.1cos( 200 t 3 2) x ) 3 以O点为原点的波动方程 y 0.1cos[ 200 ( t 2] 400 （2）写出距原点为2m处的质点P的振动方程及以此点为 原点的波动方程； 解： (2)由波动方程可得P (x=2m )处的振动方程：
（3）常用的波动方程表达式：(以正方向传播为例）
t x y A cos[ 2 ( ) 0 ] T 2 y A cos[ ( ut x) 0 ]
平面简谐波的波动方程
m
0.5 10
yc 3102 c os(4 π t 13 π)
m
5
将点 D 坐标:x=9m代入波动方程
y 3102 cos2π( t x )
m
0.5 10
yD 3102 c os(4πo 9 π)
m
5
4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
y 3102 cos2π( t x ) 0.5 10
幅 A 1.0m ，T 2.0s ， 2.0m . 在 t 0 时坐标
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
1）波动方程
解 设原点处振动方程为
y Acos(t )
O
y
t 0
y 0, v 0
y cos(t )
π
2
所以波动方程为
2
y Acos[(t x ) ] Acos[2 ( t x ) ]
T
2π
C
u B 2π d dC
TC
思考:t=T/4时, a,b,c各质点运动方向如何?
3 ） 如图简谐波 以余弦函数表示，
t =0
y t =T/4
A+∆t
u
求 O、a、b、c 各
b
点振动初相位(t=0).
Oa
c
(π ~ π )
A
A
O
A
O
y o π
y
a
π 2
A
O
y
O
y
A
t=T/4
m (以A为 坐标原点)
u
10m
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
B点落后C点 :B
C
2 π
第二节 平面简谐波波动方程
§ 9.2 平面简谐波的波动方程一、平面简谐波波动方程简谐波：如果波源和介质中的各质点都持续地作简谐振动，这种波称为简谐波。
平面简谐波：波面为平面的简谐波。
平面简谐波也称为一维简谐波，其表达式也称波函数(wave function)沿+x 方向传播的一维简谐波 (波速u ，振动角频率为ω)，假设媒质无吸收(质元振幅均为A )介质中任一质点（坐标为 x ）相对其平衡位置的位移（坐标为 y ）随时间的变化关系，即 称为波动方程。
设O 点处质点的振动方程为波线上坐标为x 的任意点P 处质点的振动方程振动从O 点传到P 点所需的时间为t 时刻点 P 的振动与 t-x/u 时刻点O 的振动状态相同，只是落后了Δt 点P 振动方程 式中称上式为沿x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程(,)y x t cos O y A tω=(,)P y f x t ==？x t u∆=cos ()P xy A t uω=-2πων=u λν=xo任一点p参考点a波速u波方程的其它表示式讨论：（1）如果原点的初相位不为零设：点O振动方程则：波动方程为（2）如果平面简谐波沿x轴负方向传播则P点处质点相位比O点处质点的相位超前波动方程为二、波动方程的物理意义由从几方面讨论1 当x 一定时(设x =x0，即考察波线上某一点x0) 给出x =x0处质点的振动方程即x0处质元的振动表达式，表示x处的质点在各个不同的时刻位移随时间的变化情况，由它画出的曲线是x0处质元的振动曲线。
2 当t一定时(设t = t0，即在某一时刻t0)，给出t= t0时刻各质点的位移y分布情况反映t0时刻各不同x处质元的位移状况，即同一时刻x轴上各个质点离开它们平c o s2π()xy A tνλ=-[]c o sOy A tωϕ=+c o s[2π()]xy A tνϕλ=-+c o s[2π()]xy A tνϕλ=++c o s[2π()]xy A tνϕλ=-+()y y t=()y y x=c o s[2π()]xy A tνϕλ=-+2c o s()y A t xπωλ=-c o s()xy A tuωϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦c o s()xy A tuωϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦c o s()xy A tuωϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦衡位置的位移分布，由它画出的曲线即t 0时刻的波形曲线。
平面简谐波 波动方程
式中x以m计。
§5-3 波的能量
能流
弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和势 能。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。
1. 波的能量
考虑棒中的体积V，其质量为m(m=V )。 当波动传播到该体积元时，将具有动能 Wk和弹性势 能Wp。
x 平面简谐波 y ( x, t ) A cos t u
在t1和t1+Δt时刻，对应的位移用x(1) 和x(2)表示，则
y(t1 )
x(1) A cos t1 0 u
x( 2) A cos t1 t 0 u
y(t1 t )
u
S
平均能流密度或波的强度 通过与波传播方向垂直的 单位面积的平均能流，用I 来表示，即
1 平均能流： P w Su uSA2 2 2
2 2 2
u
I wu u A 2 z A 2
2
波的强度
其中介质的特性阻抗 z u 。 I 的单位：瓦特/米2 (W.m-2) 平面余弦行波振幅不变的意义:
加速度
y x 2 A cos t 0 , 2 t u
2
任何物理量y ，若它与时间、坐标间的关系满足上 式，则这一物理量就按波的形式传播。
波动方程的推导
例题 频率为=12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播， 棒的杨氏模量为 Y =1.91011N/m2，棒的密度 =7.6103kg/m3。 如以棒上某点取为坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为A =0.1mm，试求:(1)原点处质点的振动表式，(2)波动表式，(3) 离原点 10cm 处质点的振动表式， (4) 离原点 20cm 和 30cm 两点 处质点振动的相位差，(5)在原点振动0.0021s时的波形。
平面简谐波的波动方程
y
u
t 时刻
tt时刻
O
xx
x
从t时到t+∆x时 : 波线上各质点的相位均向前传播 ∆x 即:
xu t （行波）
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y ( 5 c) c m π [ o 2 (s - .) 1 t5 ( 0 .0 0 c- 1 s ) m 1 x ].
t
u
a 2 t2 y 2 A co (t su x )[ ]
严格区分两种速度(波速和振动速度)
波速(相速)
u
T
v y A si (n t x [ ) ]
t
u
二 波动方程的物理意义
y A co ( t x ) s ] [A c2 o π ( t s x ) [ ]
y co ( t x s ) u [ ] c2 o ( t s T x ) [] m
u2
222
2）求t1 .0 s波形图.
y 1 .0 co 2π (st[x)π ] m 2 .02 .0 2
t 1 .0 s
波形方程
y1.0coπsπ (x) m 2
1.0siπ nx)( m
波形图为 y / m
pO
2π
x
p 2 π x 2 π T x u u x ypA co ts (p)
点 P 振动方程
ypAcos(tu x)
如果原点的 初相位不为零
y A
u
x0,0 O A
x
点 O 振动方程 y O A co t s)(
波 yAco(st [x)]u沿x轴正向
动 方
yAco(st [u x)]u沿 x轴负向
u
T
16_02_平面简谐波 波动方程
x1 点的振动方程： y1 (t ) 0.01cos[200 (t
1 ) ] ( m ) —— x 1 m 400 2
1 ) ] 2 1 (200 t ) [200 (t 2 400 2
2 1
3)
REVISED TIME: 09-10-7
-2-
CREATED BY XCH
普通物理学_程守洙_第十六章 机械波和电磁波_20090921
波数 波数 —— 波线单位长度内波的数目： k
2
x
—— 将 2 k 代入 y ( x, t ) A cos[2 ( t 3 波动方程 简谐波的波函数： y ( x, t ) A cos[ (t 对时间的二阶偏微分： 对坐标的二阶偏微分： 则：
2) 距波源 x2 2m 和 x1 1m 的两点间的振动相差
x2 点的振动方程： y2 (t ) 0.01cos(200 t ) ( m) —— x 0 2
REVISED TIME: 09-10-7 -4CREATED BY XCH
普通物理学_程守洙_第十六章 机械波和电磁波_20090921
x x0 ) 0 ] u
例题 04 如图 XCH004_135_00 所示的是一平面简谐波在 t 0 时刻的波形图，设该简谐波的频率 为 250 Hz ，且此时质点 P 的运动方向向下，求： 1) 该波的波函数； 2) 在距原点 O 为 100 m 处质点的振动方程与质点速度表达式。
x u
x u
x ) 0 ] —— 波动方程，或波函数 u 2 ， uT T
—— 波函数既是时间的周期性函数，又是空间的周期性函数。 波函数的几种表示：利用关系： 2
7-2平面简谐波的波动方程
时间推 点O 的振动状态
迟方法 yO A cost
t-x/u时刻点O 的运动状态
t x
点P
u
t 时刻点 P 的运动状态
点P 振动方程
yP
A cos (t
x) u
➢ 波动方程
A y u
y Acos (t x)
u
相位落后法
Ox
P
*
x 点 O 振动方程
设x 0 , 0 0
A
yo A cost
各质点都作简谐运动时，在介质中所形成的波.
➢ 平面简谐波：波面为平面的简谐波. 其特点
是在均匀的、无吸收的介质中各质点振幅相同
任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。
波动方程的推导
设有一以速度u 沿 x 轴正向传播的平面 简谐波 . 令原点O 的初相为零，其振
动方程
设x 0, 0 0
yO Acost
12
1 2
2π
x2 x1
2π
x21
波程差 x21 x2 x1
波程差与位相差
2π x
3 若 x, t 均变化，波动方程表示波形沿传播
方向的运动情况.
yu
t 时刻 t t 时刻
O
xx
x
从t时到t+∆x时 : 波线上各质点的相位均向前传播 ∆x 即:
x ut （行波）
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
点 P 比点 O 落后的相位
p
O
2π x
p
2π
x
2π x Tu
x u
yp Acos(t p )
点 P 振动方程
yp
A cos (t
x) u
大学物理第十六章机械波第二节平面简谐波 波动方程
0.4
0.5
t=3T/4
波动方程的推导
(5)质点的最大速率
vm
A
A 2
T
0.5 102
2 m/s
1 30
0.94 m/s
(6)a、b两点相隔半个波长，b点处质点比a点处质点
的相位落后 。
(7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已
分别右移3 4而到达
高等教育大学教学课件 大学物理
§16-2 平面简谐波 波动方程
平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频 率的简谐波动，在任一时刻，各点的振动相位一般 不同，它们的位移也不相同。据波阵面的定义可知， 任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位，它 们离开各自的平衡位置有相同的位移。
波动方程：描述介质中各质点的位移随时间的变 化关系。
y /cm
M 1 和'
M 2处' 。
0.5 M1
M1' M2
M2'
0.4
0.2
a
0
b
0.2 10 20 30 40 50 60 70 x /cm
0.4
0.5
t=3T/4
谢谢欣赏!
Hale Waihona Puke A cos2
t
x
0
y(x,t) Acos( t k x 0) 其中 k 2
平面简谐波的波动表式
波动表式的意义：
x 一定。令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
即
y
A c os
t
2
x1
0
波动之平面简谐波的方程
的点(代表一个平面)都可以当整作理波课件源。 认为波源在左边。 3
{范例6.2} 平面简谐波的方程
推导平面简谐波的运动学方程，说明位移曲线和波形曲线。
基本波动动方程 u(x,t)Acos[(tx)] u
vA
v
如图所示，当波向左传播时，波动方程为
u(x,t)Acos[(tx0x)]
设波源o处质点的振动方程为u波线上任一点p的坐标为x当振动从o点传到p点时需要的时间为t时刻o处质点的位移相同因此p点在t时刻的位这就是沿x轴正方向传播的平面简谐波的运动学方程可称为基本波动方程
{范例6.2} 平面简谐波的方程
推导平面简谐波的运动学方程，说明位移曲线和波形曲线。
[解析]在波动过程中，振动相位相同的点连成 的面称为波阵面，最前面的波阵面称为波前。
方程就表示了该 时刻各质点的波 形曲线。
整理课件
2
{范例6.2} 平面简谐波的方程
推导平面简谐波的运动学方程，说明位移曲线和波形曲线。
基本波动动方程 u(x,t)Acos[(tx)]
此式在波的
利用公式ω = 2π/T和vT 波动方程可表示为
=
λu，(x,t)Acosv(t2πx)
干涉中用得 比较多。
ωt是由于时间延长而产生的相位，-2πx/λ则是由于
v
波传播到x处而滞后的相位。
A
波动方程还可以表示为
u(x,t)Acos[2π(T t x)]
此式比较 好记忆。
P0 O
x0
x
x P
如果波源不在O点而在P0点，P0到O 如果x0 = nλ(n为整数)，
的u(距x,t离)为Axc0o ，s[ P点(t 在xt 时vx刻0)的位]移为Acos[可(t得vx基)本波2动π方x0程] 。
物理学14-平面简谐波的波函数与波动方程
若波源（原点）振动初位相不为零 y0 A cos( t 0 )
x y A cos[ (t ) 0 ] u
或
t x y A cos[ 2 ( ) 0 ] T 2x y A cos[ 2t ) 0 ] 2 y A cos[ (ut x) 0 ] A cos[ k (ut x) 0 ]
y
O
u
x
x
p
x O点振动状态传到p点需用 t u t 时刻p处质点的振动状态重复
y
O
u
x
x
p
x t 时刻O处质点的振动状态 u
x p点的振动方程： y A cos ( t ) u 沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程
沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动 x 为p点的振动落后与原点振动的时间 u x 沿x轴负向传播的 y A cos ( t ) 平面简谐波的波动方程 u
在时间t内整个波形沿波的 传播方向平移了一段距离x
y
O
u
t
t t
x x
x
可见，波函数y(x,t)反映了波形的传播。 它描述的是在跑动的波，这种波被称为 行波（travelling wave）
三、平面波的波动微分方程
x y A cos[ ( t ) 0 ] u
求t 的二阶导数
2x0
若x0= 则 x0处质点落后于原点的位相为2
为x0处质点落后于原点的位相
是波在空间上的周期性的标志
同一波线上任意两点的振动位相差 x2 x1 x 2 1 2 2
பைடு நூலகம்
2、如果给定t，即t=t0 则y=y(x) Y x y A cos[ ( t 0 ) 0 ] u 表示给定时刻波线上各质 O 点在同一时刻的位移分布 ，即给定了t0 时刻的波形
16-2平面简谐波的波动方程
0.04
t(s)
16.2 平面简谐波和波动方程
x y 0.02cos[2 (25t ) ] 0.1 2 2x 0.02cos[0.5 ] 0.02cos(20x ) 0.1 2 y(m)
0.02 O -0.02
（4）t=0.01s时，x=0.175m处的相位
x y A cos (t ) u ( x ut ) A cos [(t t ) ] u
uΔt 7.5 0.175
t 2.53s
t 2.54s
16.2 平面简谐波和波动方程
16.2.3 波动的微分方程
波线上任一点的振动速度
y v A sin t x u 0 t 2 加速度 y x 2 a 2 A cos[ (t ) 0 ] t u 2 2 y x 又 2 A cos[ (t ) 0 ] 2 u x u
16.2 平面简谐波和波动方程
填空题3. 一个余弦横波以速度u沿x轴正向传播，t 时刻 波形曲线如图所示。试分别指出图中A，B，C各点处 介质质元在该时刻的运动方向
y
A B
u
C
o
x
16.2 平面简谐波和波动方程
概念检测 下图(a)表示沿x轴正向传播的平面简谐波在t=0 时刻的波形图，则图(b)表示的是
16.2 平面简谐波和波动方程
“相位”方法 因为在坐标为x的P点处，振动相位要比x0处的相 位落后 2π 2π π (x ) x 4 2 根据波动方程的定义和x0处的振动方程，写出波 动方程 2π π
y A cos[ t (
x )] 2 2π π A cos( t x ) 2
简谐波的波动方程公式
简谐波的波动方程公式
平面简谐波的波动方程公式是y=Acos[w(t-x/u)+φ]，x/u表示波以u的速度传了x的距离所用的时间。
φ表示初始的相位，就是余弦函数的初始的一个角度。
平面简谐波是最基本的波动形式。
平面传播时，若介质中体元均按余弦（或正弦）规律运动，就叫平面简谐波。
如果所传播的是谐振动，且波所到之处，媒质中各质点均做同频率、同振幅的谐振动，这样的波称为简谐波，也叫余弦波或正弦波。
如果简谐波的波面是平面，这样的简谐波称为平面简谐波。
平面简谐波的波动方程
方程表示距原点为x 处的质元在不同时刻
的位移. y-t 曲线称之为位移时间曲线.
y
o
t
T
如果t 给定，则y 只是x 的函数, 这时波 动方程表示在给定时刻波射线上各振动质 元的位移，即给定时刻的波形图.
y
o
x
如果x 和t 都变化，则波动方程表示波射 线上各振动质元在不同时刻的位移，即波形 的传播.
2
x u
质元因变形而具有的势能等于动能
即dEp dEk 质元的总能量为
dE dEp dEk
( dV )A2 2 sin2 t x
u
2. 能量密度
为定量的反映能量在媒质中的分布和 随时间的变化情况, 引入能量密度的概念.
单位体积内的能量称为能量密度.
w dE dV
平面简谐波的能量密度为
yB
0.01cos
200
t
2 400
2
0.01cos
200
t
3
2
因此以B 为坐标原点的波动方程为
y
0.01cos
200
t
x 400
3
2
y
u
o
x
3. 有一沿x 轴正向传播的平面简谐波，在 t =0时的波形图如图中实线所示. 问：（1）
原点o 的振动相位是多大？（2）如果振幅为 A、圆频率为、波速为u ，请写出波动方程.
t1时刻的波形 t1 t时刻的波形 y
o
x1 x ut
x
u
由图可见t1时刻x1处的振动状态与t1+t 时 刻x1+x 处的振动状态完全相同，即相位相 同.
t1
x1 u
t1
t
x1
大学物理平面简谐波波动方程
§4-2平面简谐波的波动方程振动与波动最简单而又最基本的波动是简谐波！ 简谐波：波源以及介质中各质点的振动都是简谐振动。
任何复杂的波都可看成是若干个简谐波的叠加。
对平面简谐波，各质点都在各自的平衡位置附近作简谐振动，但同一时刻各质点的振动状态不同。
需要定量地描述出每个质点的振动状态。
波线是一组垂直于波面的平行射线，可选用其中一根波线为代表来研究平面简谐波的传播规律。
一、平面简谐波的波动方程设平面简谐波在介质中沿 x 轴正向传播，在此波线上任取一参考点为坐标原点参考点原点的振动方程为()00cos y A t ωϕ=+任取一点 P ，其坐标为 x ，P 点如何振动？ A 和 ω 与原点的振动相同，相位呢？沿着波的传播方向，各质点的相位依次落后，波每向前传播 λ 的距离，相位落后 2π现在，O 点的振动要传到 P 点，需要向前传播的距离为 x ，因而 P 点的相位比 O 点落后 22x x ππλλ=P 点的振动方程为区别联系振动研究一个质点的运动。
波动研究大量有联系的质点振动的集体表现。
振动是波动的根源。
波动是振动的传播。
x02c o s P y A t x πωϕλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 由于 P 点的任意性，上式给出了任意时刻任意位置的质点的振动情况，将下标去掉02c o s y A t x πωϕλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭就是沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程。
如果波沿 x 轴的负向传播，P 点的相位将比 O 点的振动相位超前2x πλ沿 x 轴负向传播的波动方程为02c o s y A t x πωϕλ⎛⎫=++⎪⎝⎭利用 2ωπν=， u λν=沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程又可写为02c o s y A t x πωϕλ⎛⎫=-+⎪⎝⎭02c o s A t x u πνωϕ⎛⎫=-+⎪⎝⎭0c o s x A t u ωϕ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即 0c o s x y A t u ωϕ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦原点的振动状态传到 P 点所需要的时间 xt u∆=P 点在 t 时刻重复原点在 x t u ⎛⎫- ⎪⎝⎭时刻的振动状态波动方程也常写为x02c o s y A t x πωϕλ⎛⎫=-+⎪⎝⎭()0c o s A t k x ωϕ=-+ 其中 2k πλ=波数，物理意义为 2π 长度内所具有完整波的数目。
平面简谐波波动方程课件
非线性波动方程中，非线性项对 波形的变化和传播速度有重要影响。Fra bibliotek孤波的形成
在非线性波动中，孤波是一种特殊 的波形，其波形不会弥散或消失， 而是以固定的速度和形状传播。
稳定性分析
非线性波动方程的解的稳定性可以 通过线性稳定性分析来研究。
色散波动方程
色散现象
色散现象是指波在传播过程中， 不同频率的波速度不同，导致波
行波法
方法概述
介绍行波法的原理和适用 范围。
行波法的步骤
详细阐述行波法的实施步 骤，包括利用行波法求解 波函数和能流密度等物理 量。
行波法的优缺点
分析行波法的优点和缺点 ，如直观性强但计算量较 大。
04
平面简谐波波动方程的应用
在声波传播中的应用
声波的传播特性
平面简谐波波动方程可以描述声 波在空气或其他介质中的传播特 性，包括声波的传播速度、振幅 、频率等参数。
波动方程的形式
介绍平面简谐波波动方程 的一般形式，以及方程的 变量和参数。
求解方法的选取
根据波动方程的特点，选 取适合的求解方法。
分离变量法
方法概述
介绍分离变量法的原理和适用范围。
分离变量法的步骤
详细阐述分离变量法的实施步骤，包括对时间的积分和对空间的积 分。
分离变量法的优缺点
分析分离变量法的优点和缺点，如计算量较大但精度较高。
根据简化的波动方程，可以得 出平面简谐波的波动方程。
平面简谐波的波动方程描述了 波在平面上的传播规律，其中 包含了波的振幅、频率、相位 等参数。
通过求解平面简谐波的波动方 程，可以得到任意时刻波在平 面上的分布情况。
03
平面简谐波波动方程的求解
17-02 平面简谐波的波函数
1
17.2 平面简谐波的波动方程
第17章 机械波
一、平面简谐波的波函数
¾ 简谐波：波源作简谐运动时，在介质中所形 成的波。
简谐波是最简单、最基本的波。各种复杂的 波都可以看作是许多不同频率的简谐波的叠加。
¾ 平面简谐波：波面为平面的简谐波。
本节主要讨论在无吸收（即不吸收所传播的
振动能量）、各向同性、均匀的、无限大媒质中
17.2 平面简谐波的波动方程
第17章 机械波
例：已知波动方程： y = 0.5cosπ (t − 1 x + 1 )(SI), 22
求：(1) 此波的传播方向，波的振幅、周期、频率、
波长和波速，以及坐标原点的振动初相；
(2) x = 2m处质点的振动方程，及t = 1s 时该质 点的速度和加速度。
(3) x1 = 1m和 x2 = 2m两点的相位差。
解： (1)比较法。 y = Acos[2π ( t T
x λ
)
+
ϕ
o
]
y = 0.5cos[2π ( t − x ) + π ] 24 2
∴ 波沿 x 轴正方向传播；A=0.5m，T=2s，ν =1/2Hz,
λ = 4m，u = λ /T = 2m/s，原点的初位相 ϕo= π/2。24
17.2 平面简谐波的波动方程
第17章 机械波
2）若已知的位于 x 0 处质元的振动方程，
yx0 = A cos(ω t + ϕ )
并且波向右传播，
Ay
O x0*
uv
P
x
*λ
−A x
则波动方程为：
y
=
A cos[ ω t
−
平面简谐波的波动方程三种形式
一、平面简谐波的概念平面简谐波是一种特殊的波动现象，它具有特定的波动方程和波动特性。
简谐波的振幅随时间以正弦或余弦函数变化，具有周期性和频率性，是物理学中常见的一种波动形式。
二、平面简谐波的波动方程1. 时间域的波动方程在时间域内，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \phi)\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
2. 空间域的波动方程在空间域内，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \phi)\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
3. 复数形式的波动方程在复数形式下，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\cos(kx - \omega t + \phi) = \Re(Ae^{i(kx - \omega t + \phi)})\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
三、不同形式的波动方程之间的关系1. 时间域的波动方程和空间域的波动方程时间域的波动方程和空间域的波动方程在形式上是相似的，都可以表示为简谐波的位移随时间和空间的变化而发生正弦或余弦函数的周期性振荡。
它们之间通过变量的不同而具有不同的物理意义，但是描述的是同一种波动现象。
2. 复数形式的波动方程和实数形式的波动方程在复数形式下，简谐波的波动方程可以更加简洁地描述，通过复数的指数函数形式可以很方便地进行波动的运算和分析。
复数形式的波动方程和实数形式的波动方程是等价的，可以相互转化，但在不同的数学和物理背景下有着不同的应用优势。
四、平面简谐波的应用领域平面简谐波作为一种特殊的波动形式，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
它在声学、光学、电磁学、机械振动、信号传输等方面有着重要的应用价值，可以用来描述和分析各种复杂的波动现象。
10-2 平面简谐波的波动方程
v A
y
π ϕa = 2
v A
O
ω
y
−2
2）以 B 为坐标原点，写出波动方程 ） 为坐标原点，
y A = (3 × 10 m ) cos( 4 π s )t
−2
−1
u
8m C 5m 9m A D
oB
x
ϕ B − ϕ A = −2π
xB − x A
λ
−5 = − 2π =π 10
ϕB =π
y B = (3 ×10 −2 m) cos[(4π s −1 )t + π ]
−2
t x y = (3 ×10 m) cos[2π ( − ) +π ] 0.5s 10m
3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程 ）写出传播方向上点
u
C
y A = (3 ×10 m) cos(4 π s )t λ = 10m 8m 5m 9m
B
−2
−2
−1
oA
D
−1
x
AC
点 C 的相位比点 A 超前
ϕ p = −2π
点 P 振动方程
x
y o = A cos ω t x = 0 ,ϕ = 0 x ∆ϕ = ϕ p −ϕO = −2π
λ
2πx
点 O 振动方程
λ
y p = A cos(ωt −
λ
)
如果原点的 初相位不 初相位不为零
y
A
O
u
λ
x
x = 0 ,ϕ ≠ 0 − A
点 O 振动方程
yO = A cos(ωt + ϕ ) 2πx + ϕ ) u 沿 x 轴正向 波 y = A cos(ωt − λ 动
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yP (t) =
Acos ω
t
-
x u
+
0
波 函 数
因此，波线上任一点在任一时刻的位移都能 由上式给出。此即所求的沿x 轴正方向前进 的平面简谐波的波函数。
沿x轴负方向传播的平面简谐波的波函数：
沿x轴正 方向传播 u
y
O
P
x
沿x轴负方向传播 u
y
O
P
x
P点落后o点
x u
时间
P点超前o点x
u
时间
Acos
t1
x1
u
y
t1
t x1 ut u
0 u y(t1)
0
o
x
x1 x
在Δt 时间内,整个波形向波的传播方向移动 了 x x2 x1 ut ，波速u 是整个波形向前传 播的速度。
例1 频率为 12.5kHz 的平面余弦波沿细长的
金属棒传播，波速为 5.0103 m / s. 如以棒上某点取为
y
0.1103
cos
25
103
(t
5
1 104
)
m
0.1103
cos
25
103
t
2
m
（4）两点间距离
x 10cm 0.10m
4
相位差
2
y
（5）t
00.1.0100231coss时25的1波03形 (t
5
x 103
)
m
y
0.1103
cos
25
103
(0.0021
x 5 103
t1+Δt时，y
A
cos
t1
t
x u
0
在t1和t1+Δt时刻，对应的质点平衡位置用x1和x2表示，
则
y(t1)
A cos
t1
x1 u
0
y(t1
t)
Acos
t1
t
x2 u
0
令 x2 x1 t ，得
y(t1
y(tt1))AAcocsost1t1t xu1xu200
y(t1 t) Acos
波长、频率、和波速之间的关系
u
T
平面简谐波的波函数
一、波函数（定量描述波在空间的传播）
数学函数式表示介质中质点的振动状态随时间
变化的关系. (r，t) f (r，t) f (x，y，z，t) 二、平面简谐波的波函数 y
平面简谐波：
波面为平面的简谐波.
x
平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频率的简 谐振动，在任一时刻，各点的振动相位一般不同，它们 的位移也不相同。据波阵面的定义可知，任一时刻在同 一波阵面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡 位置有相同的位移。
t = t - x
t = t + x
u
波函数为： y(x,t) Acos[(t
x u
)
Байду номын сангаас
u
0
]
上述过程给出了一个写出简谐波方程的步骤： ⑴ 已知某点的振动方程（不一定是波源）
⑵ 根据波的传播方向，判断各点振动的先后次序,
找出时间差 ( > 0)
⑶ 将时间差 代入已知振动方程，即可得波动方程：
y(x,t) Acos[(t x) ]
（优选）第二节平面简谐波的 波动方程
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弹性介质和波源——（机械波产生的条件）
纵波和横波：
(1) 质元并未“随波逐流” 波的传播不是媒 质质元的传播
(2) “上游”的质元依次带动“下游”的质元振动
(3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻 于“下游”某处出现---波是振动状态的传播
x /cm
0.4
t =0
0.5
(4)质点的最大速率
vm
A
A 2
坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为 A 0.1mm， 试求：（1）原点处质点的振动表达式；
（2） 波函数（向右传播）； （3）离原点10cm处质点的振动表达式； （4）离原点20cm和30cm处质点的振动相位差；
（5）在原点振动0.0021s时的波形；
解： 由题意 波长 周期
u 0.40 m
u y(x,t) Acos[(t x) ]
u
(P后振) (P先振)
利用关系式
y(x,t) Acos[(t
2 2 和 uT ，得
x u
)
0
]
波函数其它形式 T
y
A cos
2
(t T
x
)
0
y Acos 2 ( t
x
)
0
y Acos(t
kx 0 )
k 2
y Acos(t
2
x
0
)
角波数 ：表示
单位长 度上波 的相位 变化
波动表式的意义：
x 一定：令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
即
y
Acos t
2 x1
上式代表x1处质点在其平衡位置附近以角频率
作简谐运动。
y
A
O
t
t 一定:令t=t1，则质点位移y 仅是x 的函数。
即
y
A
cos
t1
2 x
以y为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线，
)
m
0.1103 sin 5 x m
y
0.1103
O
x
0.4
例2一横波沿一弦线传播。设已知t =0时的波形 曲线如下图中的虚线所示。波速u为12m/s，求(1)振 幅；(2)波长；(3)波的周期；(4)弦上任一质点的最大 速率；(5)图中a、b两点的相位差；(6)3T/4时的波形 曲线.（a、b两点的对应的横坐标分别为15和35cm）
T 1 8105 s
（1）原点处质点的振动表达式
y0 A cost 0.1103 cos(25103 t) m
（2）波函数
y Acos(t x)
u
0.1103
cos
25
103
(t
5
x 103
)
m
y
0.1103
cos
25
103
(t
5
x 103
)
m
（3）原点10cm处质点的振动表达式
波动表式：描述介质中各质点的位移随时间的变
化关系.
y
yp
u
P
O
t
x
yP(t)= y0(t)
x
t= t - x u
O点处质点的振动表达式为：
y0 (t ') Acos( t '0 )
P处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) =
y0 (t)
=
y0 (t
-
x u
)=
Acos ω
t
-
x u
+
0
P处质点在时刻t 的位移为：
y /cm
0.5
M1
M2
0.4
0.2
a
0
b
0.2 10 20 30 40 50 60 70
x /cm
0.4
t =0
0.5
解: 由波形曲线图可看出：
(1) A=0.5cm；
(2) =40cm；
(3)波的周期
y /cm
T
u
0.4 m 12 m s1
1s 30
0.5
M1
M2
0.4
0.2
a
0
b
0.2 10 20 30 40 50 60 70
它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移
所构成的波形曲线(波形图)。
y
u
A
x
沿波线方向，任意两点x1、x2的简谐运动相位差为：
2
1
2
x2 x1
2
x
x、t 都变化:
实线：t1 时刻波形；虚线：t2 时刻波形
y
u
o
x
x1 x
y
u
当t=t1时，y
A
cos
t1
x u
0
o
x1 x
x
当t2=