函数与极限练习题

第一章 函数与极限

§1 函数

一、是非判断题

1、)(x f 在X 上有界，)(x g 在X 上无界，则)()(x g x f +在X 上无界。 [ ]

2、)(x f 在X 上有界的充分必要条件是存在数A 与B ，使得对任一X x ∈都有

B x f A ≤≤)( [ ] 3、)(),(x g x f 都在区间I 上单调增加，则)(·)(x g x f 也在I 上单调增加。 [ ] 4、定义在（∞+∞-，）上的常函数是周期函数。 [ ] 5、任一周期函数必有最小正周期。 [ ] 6、)(x f 为（∞+∞-，）上的任意函数，则)(3

x f 必是奇函数。 [ ] 7、设)(x f 是定义在[]a a ,-上的函数，则)()(x f x f -+必是偶函数。 [ ] 8、f(x)=1+x+ 2

x 是初等函数。 [ ] 二．单项选择题

1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是 （A ）||ln x

e

y = （B ）2x y = （C ）44x y = （D ）x x y sgn =

2、下列函数中 既是奇函数，又是单调增加的。

（A ）sin 3x （B ）x 3+1 （C ）x 3+x （D ）x 3-x 3、设[])(,2)(,)(22x x f x x f x ϕϕ则函数==是

（A ）x 2log （B ）x 2 （C ）2

2log x （D ）2

x

4、若)(x f 为奇函数，则 也为奇函数。

(A));0(,)(≠+c c x f (B) )0(,)(≠+-c c x f (C) );()(x f x f + (D) )].([x f f - 三．下列函数是由那些简单初等函数复合而成。 1、 y=)

1arctan(+x e

2、 y=x x x ++

3、 y=x

ln ln ln

四．设f(x)的定义域D=[0，1]，求下列函数的定义域。

（1） f()2

x

(2) f(sinx)

(3) f(x+a) (a>0)

(3) f(x+a)+f(x-a) (a>0)

五．设⎩⎨⎧=,,2)(x x x f 00≥

⎨⎧-=,3,

5)(x x x g 00≥

六．利用x x f sin )(=的图形作出下列函数的图形：

1．|)(|x f y = 2。|)(|x f y =

3．2)(+=x f y 4。)2(+=x f y

5．)(2x f y = 6。)2(x f y =

§2 数列的极限

一 是非判断题

1、当n 充分大后，数列n x 与常数A 越来接近，则.lim A x n x =∞

→ [ ]

2、如果数列n x 发散，则n x 必是无界数列。 [ ] 3。如果对任意,0>ε存在正整数N ，使得当n>N 时总有无穷多个n x 满足|n x ε<-|a ， 则 .lim a x n n =∞

→ [ ]

4、如果对任意,0>ε数列n x 中只有有限项不满足|n x ε<-|a ，则.lim a x n n =∞

→ [ ]

5、若数列n x 收敛，列n y 发散，则数列n n y x +发散。 [ ] 二．单项选择题

1、根据 a x n n =∞

→lim 的定义，对任给,0>ε存在正整数N ，使得对n>N 的一切x n ，不等式

ε<-a x n 都成立这里的N 。

（A ）是ε的函数N(ε)，且当ε减少时N （ε）增大； （ B ）是由ε所唯一确定的

（C ）与ε有关，但ε给定时N 并不唯一确定 （D ）是一个很大的常数，与ε无关。

2、⎪⎩

⎪⎨⎧=-为偶数当为奇数

当n n n x n ,10,1

7则 。

（A ）;0lim =∞

→n n x （B ）;10lim 7

-∞

→=n n x

（C ）;,10,

,0lim 7

⎩⎨

⎧=-∞

→为偶数

为奇数n n x n n (D) 不存在n n x ∞

→lim

3、数列有界是数列收敛的 。 （A ）充分条件； （B ）必要条件；

（C ）充分必要条件； （D ）既非充分又非必要条件。 4、下列数列n x 中，收敛的是 。 （A ）n n x n

n 1)

1(--=（B ）1+=n n x n （C ）2

sin πn x n =（D ）n

n n x )1(--= 三．根据数列极限的定义证明。 （1） 01lim 2=∞→n n （2）

3

21312lim =++∞→n n n

（3）0sin lim =∞→n n n （4）21

)21(lim 222=+++∞→n

n n n n

四、若0lim =∞

→n n x ，又数列n y 有界，则0lim =∞

→n n n y x 。

五、若a x n n =∞

→lim ，证明||||lim a x n n =∞

→。反过来成立吗？成立给出证明，不成立举出

反例。

§3 函数的极限

一 是非判断题

1、如果)(0x f =5，但则,4)0()0(00=+=-x f x f )(lim 0

x f x x →不存在。 [ ]

2、)(lim x f x ∞

→存在的充分必要条件是)(lim x f x +∞

→和)(lim x f x -∞

→都存在。 [ ]

3、如果对某个,0>ε存在,0>δ使得当0<δ<-||0x x 时，有,|)(ε<-A x f 那末

.)(lim 0

A x f x x =→ [ ]

4、如果在0x 的某一去心邻域内，,0)(>x f 且.0,)(lim 0

>=→A A x f x x 那末 [ ] 5、如果A x f x =∞

→)(lim 且,0>A 那么必有,0>X 使x 在[]X X ,-以外时.0)(>x f [ ]

二．单项选择题

1、从1)(lim 0

=→x f x x 不能推出 。

（A ）1)(lim

0=+→x f x x （B ）1)0(0=-x f （C ）1)(0=x f （D ）0]1)([lim 0

=-→x f x x

2、)(x f 在0x x =处有定义是)(lim 0

x f x x →存在的 。

（A ） 充分条件但非必要条件； （B ）必要条件但非充分条件

（C ） 充分必要条件； （D ）既不是充分条件也不是必要条件

3、若,11

)(,1

)1()(2

2+-=--=x x x g x x x f 则 。 （A ）)()(x g x f = （B ）)()(lim 1

x g x f x =→

（C ）)(lim )(lim 1

1

x g x f x x →→= （D ）以上等式都不成立

4、)(lim )(lim 0

00x f x f x x x x +→-→=是)(lim 0

x f x x →存在的 。

（A ）充分条件但非必要条件； （B ）必要条件但非充分条件

（C ）充分必要条件； （D ）既不是充分条件也不是必要条件 四．根据函数极限的定义证明

（1）8)13(lim 3

=-→x n （2）444

lim

22-=+--→x x x