2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案
全国硕士研究生入学统一考试资料答案附后
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2015年全国硕士研究生入学统一考试
管理类专业学位联考综合能力考试大纲
I.考试性质
综合能力考试是为高等院校和科研院所招收管理类专业学位硕士研究生而设置的具有选择性质的全国联考科目，其目的是科学、公平、有效地测试考生是否具备攻读专业学位必需的基本素质、一般素质和培养潜能，评估的标准是高等学校本科毕业生所能达到的及格或及格以上水平，以利于高等院校和科研院所在专业上择优选拔，确保专业学位硕士研究生的招生质量。
II.考察目标
1.具有运用数学基础知识、基本方法分析和解决问题的能力。
2.具有较强的分析、推理、论证等逻辑思维能力。
2016考研数学真题答案解析[数一]
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WORD 资料 .可编辑2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题 :1～ 8 小题，每小题 4 分，共 32 分 .下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .．．．1 、设函数f ( x) 在（-,+）连续，其2阶导函数f (x) 的图形如下图所示，则曲线y f ( x) 的拐点个数为（）（A ）0（B） 1（C ）2（D）3【答案】 (C)【考点】拐点的定义【难易度】★★【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由 f (x) 的图形可知，曲线 y f ( x) 存在两个拐点，故选(C).2 、设y 1 e2 x x 1e x是二阶常系数非齐次线性微分方程y ay by ce x的一个特解，23则（）（ A ）a3,b1,c 1.（B）a3,b2, c 1.（ C ）a3,b2, c 1.（ D）a3,b2, c 1.【答案】 (A)【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法【难易度】★★【详解】 1 e2x, 1 e x为齐次方程的解，所以 2 、 1 为特征方程2 +a b 0 的根，从而23a123,b 1 2 2, 再将特解y xe x代入方程 y 3y 2 y ce x得：c 1.3 、若级数a n条件收敛，则 x 3 与x 3 依次为幂级数na nnx 1的：n 1n 1（ A ）收敛点，收敛点（ B）收敛点，发散点（ C ）发散点，收敛点（ D ）发散点，发散点【答案】 (B)【考点】级数的敛散性【难易度】★★★a n条件收敛，故x2为幂级数a n x 1n【详解】因为的条件收敛点，进而得n 1n 1a n xn1，收敛区间为0,21 的收敛半径为，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故n 1na n xn0,2 ，因而x3与 x 3 依次为幂级数n1的收敛区间仍为na n x 1 的收敛n 1n1点、发散点 .4 、设 D 是第一象限中曲线2xy1,4 xy 1与直线 y x, y3x 围成的平面区域，函数 f ( x, y)在 D 上连续，则 f (x, y)dxdyD1（ A ）2d sin 21 42sin 21（ C ）3d sin 2142sin 2f (r cos , r sin )rdrf (r cos ,r sin )dr1（ B）2d sin 2142sin 21（D ）3d sin 2142sin 2f (r cos ,r sin )rdrf (r cos , r sin )dr【答案】 (D)【考点】二重积分的极坐标变换【难易度】★★★【详解】由y x 得，；由y3x 得，43由 2xy1得， 2r 2cos sin1, r12sin由 4xy1得， 4r 2cos sin1, r12sin 21所以 f ( x, y)dxdy3d sin 2 f (r cos , r sin)rdr1D42sin 211115、设矩阵A 12a， b d ，若集合{1,2} ，则线性方程组Ax b 有无穷多个14a2 d 2解的充分必要条件为（ A ）a, d（ B）a, d（ C ）a, d（D ）a,d【答案】 (D)【考点】非齐次线性方程组的解法【难易度】★★11111111【详解】A, b12a d01 a 1d11 4 a2 d 20 0 a 1 a 2 d 1 d 2Ax b 有无穷多解R( A)R( A,b)3a 1或 a 2 且 d 1 或 d 26 、设二次型 f ( x1, x2 , x3 ) 在正交变换x Py 下的标准形为 2y12y22y32，其中P (e1 ,e2 , e3 ) ，若 Q(e1 , e3 , e2 ) ，则 f ( x1 , x2 , x3 ) 在正交变换x Qy 下的标准形为（ A ）2y12y22y32（ B）2y12y22y32（ C ）2y12y22y32（ D）2y12y22y32【答案】 (A)【考点】二次型【难易度】★★200【详解】由 x Py ，故f x T Ax y T (P T AP ) y 2y12y22y32且： P T AP 010001100200 QP00 1 PC,Q T AQ C T (P T AP)C 0 10 010001所以fx T Ax y T (Q T AA) y2y12y22y32，故选 (A)7 、若A, B为任意两个随机事件，则（ A ）P(AB) P( A)P(B)（ B）P( AB) P( A)P(B)（C ）P( AB)P( A) P(B)（D）P( AB)P(A)P(B) 22【答案】 (C)【考点】【难易度】★★【详解】P(A)P(AB), P(B)P(AB)P(A)P(B)2P(AB)P(AB)P(A)P(B)故选（ C）28 、设随机变量X,Y不相关，且 EX2, EY1, DX3,则E X X Y 2（A ）-3（B）3（C ）-5（D）5【答案】 (D)【考点】【难易度】★★★【详解】EXXY2 E X 2XY 2XEX2EXY 2EXDX E2X EXEY 2EX 5二、填空题： 9 ～ 14小题 ,每小题 4 分 ,共 24 分 .请将答案写在答题纸指定位置上 .．．．ln cos x9 、limx2x 01【答案】2【考点】极限的计算【难易度】★★ln cosxln(1 cos x 1)cos x 11 x 21【详解】 lim limlim2x 2limx 2x 2x 22xx 0x 0x 02 (sin xx )dx10、 -cos x212【答案】4【考点】积分的计算【难易度】★★sin x2【详解】2 (x )dx 22xdxcosx4-2111 、若函数 z z( x, y) 由方程 ezxyz+xcos x 2 确定，则 dz (0,1).【答案】【考点】隐函数求导【难易度】★★【详解】令 F ( x, y, z)ezxyz x cos x2 ，则 F xyz 1sin x ， F y xz ， F z xy ，又当 x0, y 1时， z0 ，所以zF x 1，zF ydxx(0,1)F zy(0,1)0 ，因而 dz (0,1)F z12 、设是由平面 xyz 1与三个坐标平面所围成的空间区域，则( x 2 y 3z)dxdydz1 【答案】4【考点】三重积分的计算【难易度】★★★【详解】 由轮换对称性，得1òòò(x+2y + 3z )dxdydz= 6 òòòzdxdydz = 6 ò0zdz òòdxdyW WDzWORD 资料 .可编辑其中 D z 为平面 z= z 截空间区域 W 所得的截面，其面积为1(1- z )2.所以2òòò()òòò11 21321z × (1 - z )dz =3z- 2z + z dz=x + 2y + 3z dxdydz = 6zdxdydz = 64WWò2ò()2 0 0 2-1220 02 2 13 、 n 阶行列式 0 0-1 2【答案】 2n 12【考点】行列式的计算 【难易度】★★★【详解】 按第一行展开得= 2n+1- 214 、设二维随机变量 ( X ,Y ) 服从正态分布 N (1,0,1,1,0) ，则 P( XY Y 0).【答案】12【考点】【难易度】★★【详解】( X ,Y) ~ N (1,0,1,1,0)， X ~ N (1,1),Y ~ N (0,1), 且 X ,Y 独立X 1~ N(0,1)， P XYY 0P(X 1)Y 0P X1 1 1 1 110,Y0 PX10，Y02 2 2 22三、解答题： 15～ 23 小题 , 共 94 分 .请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明．．．过程或演算步骤.15 、（本题满分10 分）设函数 f (x) x a ln(1 x) bx sin x ， g( x) kx3，若 f ( x) 与 g ( x) 在x0 是等价无穷小，求a ，b，k值。
2015年考研数学(一)真题及答案
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析一、选择题1、设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】C 2、设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】A 3、若级数1∞=∑nn a条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑nnn na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】B4、设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin2142sin2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰【答案】B5、设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】D6、设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A) 2221232-+y y y (B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y (D) 2221232++y y y 【答案】A7、若A,B 为任意两个随机事件，则( )(A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B (C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB【答案】C8、设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( )(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5 【答案】D二、填空题9、20ln cos lim _________.x xx →=【答案】12-10、22sin ()d ________.1cos x x x x ππ-+=+⎰【答案】2π411、若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=x e xyz x x 确定，则(0,1)d ________.z =【答案】dx -12、设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰【答案】1413、n 阶行列式20021202___________.00220012-=-【答案】122n +-14、设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<=【答案】12三、解答题15、(本题满分10分)设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3()=g x kx ，若()fx 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】,,.a b k =-=-=-11123【解析】原式()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx →+++=()()2333330236lim 1x x x x x a x o x bx x o x kx →⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==()()234331236lim1x a a b a x b x x x o x kx →⎛⎫++-+-+ ⎪⎝⎭==即10,0,123a a a b k +=-== 111,,23a b k ∴=-=-=-16、(本题满分10分)设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()0,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.【答案】f x x=-8()4. 【解析】设()f x 在点()()00,x f x 处的切线方程为：()()()000,y f x f x x x '-=-令0y =，得到()()000f x x x f x =-+'，故由题意，()()00142f x x x ⋅-=，即()()()000142f x f x f x ⋅='，可以转化为一阶微分方程，即28y y '=，可分离变量得到通解为：118x C y =-+，已知()02y =，得到12C =，因此11182x y =-+； 即()84f x x =-+.17、(本题满分10分) 已知函数(),=++fx y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数.【答案】3【解析】因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+，故(){},1,1gradf x y y x =++此题目转化为对函数(),g x y =22:3C x y xy ++=下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对()()22(,)11d x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.构造函数：()()()()2222,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-()()()()222120212030x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'⎧=+++=⎪'=+++=⎨⎪'=++-=⎩，得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----. ()()()()12348,0,9,9d M d M d M d M ====3=. 18、(本题满分10分)（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()() （II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x 可导，n f x u x u x u x = 12()()()()，写出()f x 的求导公式.【解析】（I ）0()()()()[()()]lim h u x h v x h u x v x u x v x h→++-'=0()()()()()()()()lim h u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h→++-+++-=00()()()()lim ()lim ()h h v x h v x u x h u x u x h v x h h→→+-+-=++ ()()()()u x v x u x v x ''=+ （II ）由题意得12()[()()()]n f x u x u x u x ''=121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++ 19、(本题满分 10 分)已知曲线L的方程为,z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩起点为()A，终点为()0,B ，计算曲线积分()()2222d d ()d LI y z x zx y y x y z =++-+++⎰.【答案】π2【解析】由题意假设参数方程cos cos x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，ππ:22θ→-π22π2[cos )sin 2sin cos (1sin )sin ]d θθθθθθθθ--++++⎰π222π2sin cos (1sin )sin d θθθθθθ-=+++⎰π220sin d π2θθ==20、(本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.【答案】 【解析】(I)证明：()()()()12313213123,,2+2,2,+1201,,020201k k k k βββαααααααα=+⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭2012102024021201kk kk ==≠++故123,,βββ为3R 的一个基.（II ）由题意知，112233112233,0k k k k k k ξβββαααξ=++=++≠即()()()1112223330,0,1,2,3i k k k k i βαβαβα-+-+-=≠=()()()()()()()11312223133113223132+22++10+2+0k k k k k k k k k k ααααααααααααα-+-+-=++=有非零解即13213+2,,+0k k ααααα=即10110020k k=，得k=0 11223121300,0k k k k k k ααα++=∴=+=11131,0k k k ξαα=-≠21、(本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵..【解析】(I) ~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++0231201330012031--=⇒--=-A B ba 14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--TA 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭P AP22、(本题满分11 分) 设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,0,0.x x f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布; (II)求EY【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率，则313228()ln x p P X dx +∞-=>==⎰，从而12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n =为Y 的概率分布；(II) 将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生，N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生.则M Ge n p ~(,)，N Ge k n p -(,) (注：Ge 表示几何分布)所以11221618E Y E M N E M E N p p p =+=+=+===()()()(). 23、(本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为：x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩1,1,(,)10,其他. 其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x 为来自该总体的简单随机样本. (I)求θ的矩估计量. (II)求θ的最大似然估计量. 【解析】(I)11112()(;)E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞+==⋅=-⎰⎰，令()E X X =，即12X θ+=，解得 1121ni i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量；(II) 似然函数11110,()(;),n ni i i x L f x θθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪==-⎨⎝⎭⎪⎩∏其他， 当1i x θ≤≤时，11111()()nni L θθθ===--∏，则1ln ()ln()L n θθ=--. 从而dln d 1L nθθθ=-()，关于θ单调增加， 所以 12min nX X X θ={,,,} 为θ的最大似然估计量.。
2015年考研数学试题详解及评分参考
2sin 2q
故选 (B) .
æ1 1 1 ö
æ1 ö
(5) 设矩阵 A = çççè11
2 4
a a2
÷ ÷÷ø
，
b
=
ç ç çè
d d
2
÷ ÷ ÷ø
，若集合
W
=
{1,
2} ，则线性方程组
Ax
=
b
有无穷
多解的充分必要条件为
(A) a Ï W, d Ï W (B) a Ï W, d Î W (C) a Î W, d Ï W (D) a Î W, d Î W
【答】 应填 -dx .
【解】 令 F (x, y, z) = ez + xyz + x + cos x - 2 ，有
Fx¢(x, y, z) = yz +1- sin x, Fy¢ = xz, Fz¢(x, y, z) = ez + xy
又当 x = 0, y = 1 时，有 ez = 1 ，即 z = 0 .
【答】 应选 (D) .
【解】 因 Ax = b 有无穷多解的充分必要条件为 r( A) = r( A, b) < 3 ，而
æ1 1 1 1 ö æ1 1
1
1ö
(A,b) = çç1 2 a
d
÷ ÷
®
ç ç
0
1
a -1
d -1
÷ ÷
çè1 4 a2 d 2 ÷ø çè 0 0 (a -1)(a - 2) (d -1)(d - 2) ÷ø ，
【解法二】 因在正交变换为 x = P y 下，有 f = xT Ax = yT (PT AP) y = 2 y12 + y22 - y32 .
历年考研数学历年真题
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2015年全国硕士研究生招生考试数学一终极预测试卷含答案
１ ． 渐近线 ２ ． 导数定义 ２ ０ １ ２ ３ ． 连续、 可微 ４ ． 一元定积分
９ ． 微分方程 １ ０ ． 定积分 １ １ ． 梯度 １ ２ ． 曲面积分
１ ５ ． 一阶导数 １ ６ ． 求极值 １ ７ ． 级数 １ ８ ． 导数、 积分的几何意义 １ ９ ． 曲线积分
１ ． 洛必达法则 ２ ． 曲面切面方程 ２ ０ １ ３ ３ ． 级数 ４ ． 格林公式
中国版本图书馆 CIP 数据核字 （2014 ） 第 211081 号
考研数学 · 终极预测 5 套卷（数学一） 编 著 ： 全国硕士研究生招生考试研究委员会 丹 孙志荣
责任编辑 ： 夏
装帧设计 ： 中公教育图书设计中心 出 发 销 印 开 印 字 版 版 ： 世界图书出版公司北京公司 行 ： 世界图书出版公司北京公司 （ 地址 ： 北京朝内大街 137 号 售 ： 各地新华书店 刷 ： 三河市泰丰印刷装订有限公司 本 ： 787 mm×1092 mm 张 ： 5.5 数 ： 132 千 次 ： 2014 年 10 月第 1 版 邮编 ：100010 电话 ：64077922 ）
共９ ４分 解答题（ 包括证明题） ９小题， 【 分析】通过分析试卷内容结构， 可知高等数学占的比重是最大的， 几乎占了整套试题题 量的六成； 线性代数、 概率论与数理统计占的比重相同， 大约各占两成的题量． 因此， 考生在备 考数学（ 一）的时候， 重点放在高等数学上． 由于每部分考查内容在试卷中所占的比重与分值不同， 因此考生通过对历年真题的深入 分析（ 见表 ２～表 ７ ） ， 可以在短时间内清楚地了解历年考研数学（ 一） 的命题趋势与考查重点． 有目的、 有针对性地复习数学， 以取得事半功倍的效果．
（ 续表） 年份（ 年） １ ． 拐点 ２ ． 幂级数收敛域 ２ ０ １ １ ３ ． 极值充要条件 ４ ． 积分性质 选择题 填空题 ９ ． 平面曲线弧长 １ ０ ． 微分方程 １ １ ． 二阶偏导 １ ２ ． 曲线积分 １ ５ ． 求极限 １ ６ ． 复合函数的二阶混合偏导数 １ ７ ． 导数的应用 １ ８ ． 数列的收敛性 １ ９ ． 二重积分 解答题
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(农)试题解析
x f dx 31 f 3 y dy 2 3
1
令 3 y t 得：
f 3 y dy
1 1 1 f t dt I 3 1 3
令
2 x u 得： 2 2
1 x f dx 2 f t du 2 I 1 2
三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、证明 ．．． 过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)
x xe , x 0, 设函数 f x 求 f ( x) . 2 sin sin x , x 0,
] 上单调递增； 0 x 当 x 时，f ( x) 0 故函数在 [ , ] 2 时，f ( x) 0 故函数在 [0, 2 2 2
上单调递减，则可知函数在 x
u
2
处取得最大值。最小值为 min{ f (0), f ( )} ，由于
u
f (0) 0, f ( ) e cos udu e cos udu e
(12)设 f x, y 为连续函数，交换积分次序，
2 1
2 x x dx 2 f x, ( x, y ) |1 x 2, 2 x y 得
2 x x 2 ，交换积分次序，
2
1
dx
【解析】 x 0 时 f ( x) e (1 x) ； x 0 时 f ( x) cos(sin x)sin 2 x ；
x
2
f (0) lim
x 0
f ( x) f (0) xe x lim 1; x 0 x x f ( x) f (0) sin(sin 2 x) lim 0; f (0) 不存在. x 0 x x
2015年考研数学一真题与答案解析
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题： 1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
．．．(1) 设函数 f ( x)在,内连续，其中二阶导数 f ( x) 的图形如图所示，则曲线y f ( x)的拐点的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】（C）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此，由f(x) 的图形可得，曲线 y f ( x) 存在两个拐点.故选（ C） .(2) 设y 1 e2x(x1)e x是二阶常系数非齐次线性微分方程y ay by ce x的一23个特解，则()(A)a3,b2, c1(B)a3, b2, c1(C)a3,b2, c1(D)a3, b2, c 1【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.1 e2 x、1e x为二阶常系数齐次微分方程y ay by 0 的解，所以【解析】由题意可知，2,123为特征方程 r 2ar b 0 的根，从而a (12)3，b 1 2 2 ，从而原方程变为y 3y 2 y ce x，再将特解 y xe x代入得c1.故选（A）(3) 若级数a n条件收敛，则x 3 与x 3 依次为幂级数na n ( x1)n的()n 1n 1(A)收敛点，收敛点(B)收敛点，发散点(C)发散点，收敛点(D)发散点，发散点【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。
【解析】因为a n条件收敛，即 x 2 为幂级数a n ( x 1) n的条件收敛点，所以a n ( x 1)n n 1n 1n 1的收敛半径为1，收敛区间为(0, 2)。
1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析
1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)与两直线 1y t =-+及121111x y z +++==都平行且过原点的平面方程为_____________ .2z t =+(2)当x =_____________时,函数2xy x =⋅取得极小值.(3)由曲线ln y x =与两直线e 1y x =+-及0y =所围成的平面图形的面积是_____________.1x =(4)设L 为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy -+-⎰=_____________.(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________.二、(本题满分8分)求正的常数a 与,b 使等式201lim 1sin x x bx x →=-⎰成立.三、(本题满分7分)(1)设f 、g 为连续可微函数,(,),(),u f x xy v g x xy ==+求,.u v x x∂∂∂∂ (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 求矩阵.B四、(本题满分8分)求微分方程26(9)1y y a y ''''''+++=的通解,其中常数0.a >五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设2()()lim1,()x af x f a x a →-=--则在x a =处(A)()f x 的导数存在,且()0f a '≠ (B)()f x 取得极大值 (C)()f x 取得极小值(D)()f x 的导数不存在(2)设()f x 为已知连续函数0,(),s t I t f tx dx =⎰其中0,0,t s >>则I 的值(A)依赖于s 和t (B)依赖于s 、t 和x (C)依赖于t 、x ,不依赖于s(D)依赖于s ,不依赖于t(3)设常数0,k >则级数21(1)nn k nn∞=+-∑ (A)发散 (B)绝对收敛(C)条件收敛(D)散敛性与k 的取值有关(4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于(A)a (B)1a(C)1n a-(D)na六、（本题满分10分） 求幂级数1112n nn x n ∞-=∑的收敛域，并求其和函数. 七、（本题满分10分）求曲面积分2(81)2(1)4,I x y dydz y dzdx yzdxdy ∑=++--⎰⎰其中∑是由曲线13()0z y f x x ⎧=≤≤⎪=⎨=⎪⎩绕y 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y 轴正向的夹角恒大于.2π八、（本题满分10分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个,x 函数()f x 的值都在开区间(0,1)内,且()f x '≠1,证明在(0,1)内有且仅有一个,x 使得().f x x =九、（本题满分8分）问,a b 为何值时,现线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=-有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件A 发生的概率为,p 现进行n 次独立试验,则A 至少发生一次的概率为____________;而事件A 至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.(3)已知连续随机变量X 的概率密度函数为221(),xx f x -+-=则X 的数学期望为____________,X 的方差为____________. 十一、（本题满分6分）设随机变量,X Y 相互独立,其概率密度函数分别为()X f x = 10 01x ≤≤其它,()Y f y = e 0y - 00y y >≤,求2Z X Y =+的概率密度函数.1987年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答数学(试卷I)一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)二、三、四、五、（1）-（4）BDCC 六、七、八、九、十、十一、。
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+++=_____________.(2)设幂级数1nn n a x∞=∑的收敛半径为3,则幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑的收敛区间为_____________.(3)对数螺线e θρ=在点2(,)(e ,)2ππρθ=处切线的直角坐标方程为_____________.(4)设12243,311t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A B 为三阶非零矩阵,且,=AB O 则t =_____________.(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)二元函数(,)f x y = 22(,)(0,0)0(,)(0,0)xyx y x y x y ≠+=,在点(0,0)处(A)连续,偏导数存在 (B)连续,偏导数不存在 (C)不连续,偏导数存在(D)连续,偏导数不存在(2)设在区间[,]a b 上()0,()0,()0.f x f x f x '''><>令1231(),()(),[()()](),2ba S f x dx S fb b a S f a f b b a ==-=+-⎰则(A)123S S S << (B)213S S S << (C)312S S S <<(D)231S S S <<(3)设2sin ()e sin ,x t xF x tdt π+=⎰则()F x(A)为正常数 (B)为负常数 (C)恒为零(D)不为常数(4)设111122232333,,,a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ααα则三条直线1112223330,0,0a x b y c a x b y c a x b y c ++=++=++=(其中220,1,2,3i i a b i +≠=)交于一点的充要条件是:(A)123,,ααα线性相关(B)123,,ααα线性无关(C)秩123(,,)r =ααα秩12(,)r αα(D)123,,ααα线性相关12,,αα线性无关(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2,则随机变量32X Y -的方差是(A)8 (B)16 (C)28 (D)44三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)计算22(),I x y dv Ω=+⎰⎰⎰其中Ω为平面曲线 220y zx ==绕z 轴旋转一周所成的曲面与平面8z =所围成的区域. (2)计算曲线积分()()(),cz y dx x z dy x y dz -+-+-⎰其中c 是曲线 2212x y x y z +=-+=从z轴正向往z 轴负向看c 的方向是顺时针的.(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为,N 在0t =时刻已掌握新技术的人数为0,x 在任意时刻t 已掌握新技术的人数为()(x t 将()x t 视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数0,k >求().x t四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分)(1)设直线:l030x y b x ay z ++=+--=在平面π上,而平面π与曲面22z x y =+相切于点(1,2,5),-求,a b 之值.(2)设函数()f u 具有二阶连续导数,而(e sin )xz f y =满足方程22222e ,xz z z x y∂∂+=∂∂求().f u五、(本题满分6分) 设()f x 连续1,()(),x f xt dt ϕ=⎰且0()lim(x f x A A x→=为常数),求()x ϕ'并讨论()x ϕ'在0x =处的连续性.六、(本题满分8分)设11110,()(1,2,),2n n na a a n a +==+=证明(1)lim n x a →∞存在.(2)级数11(1)nn n a a ∞=+-∑收敛. 七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)(1)设B 是秩为2的54⨯矩阵123,[1,1,2,3],[1,1,4,1],[5,1,8,9]T T T==--=--ααα是齐次线性方程组x =B 0的解向量,求x =B 0的解空间的一个标准正交基.(2)已知111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ξ是矩阵2125312a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 的一个特征向量.1)试确定,a b 参数及特征向量ξ所对应的特征值.2)问A 能否相似于对角阵?说明理由.八、（本题满分5分）设A 是n 阶可逆方阵,将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为.B (1)证明B 可逆.(2)求1.-AB九、（本题满分7分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2.5设X 为途中遇到红灯的次数,求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望.十、（本题满分5分）设总体X 的概率密度为()f x = (1)0x θθ+ 01x <<其它其中1θ>-是未知参数12,,,,n X X X 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量.1997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.) (1)【答案】32【分析】这是00型极限.注意两个特殊极限00sin ln(1)lim 1,lim 1x x x x x x→→+==.【解析】将原式的分子、分母同除以x ,得2001sin 13sin cos 3cos3limlim .ln(1)(1cos )ln(1)2(1cos )x x x x x x x x x x x x x x→→++==++++ 评注：使用洛必达法则的条件中有一项是0()lim()x x f x g x →''应存在或为∞,而本题中, []200111(3sin cos )3cos 2cos sinlimlim 1cos (1cos )ln(1)sin ln(1)1x x x x x x x x x xx x x x x→→'+++=+'++-+++ 极限不存在,也不为∞,不满足使用洛必达法则的条件,故本题不能用洛必达法则.【相关知识点】1.有界量乘以无穷小量为无穷小量. (2)【答案】(2,4)-【解析】考察这两个幂级数的关系.令1t x =-,则()1212111n n n nnnn n n na ttna tta t ∞∞∞+-==='==∑∑∑.由于逐项求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径,1nn n a t∞=∑的收敛半径为3⇒()1nn n a t ∞='∑的收敛半径为 3.从而()2111n n n n n n t a t na t ∞∞+=='=∑∑的收敛半径为3,收敛区间即(-3,3),回到原幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑,它的收敛区间为313x -<-<,即(2,4)-.评注：幂级数的收敛区间指的是开区间,不考虑端点. 对于n n n a x ∞=∑,若1limn n na a ρ+→+∞=⇒它的收敛半径是1R ρ=.但是若只知它的收敛半径为R ,则⇒11limn n n a a R +→+∞=,因为1lim n n naa +→+∞可以不存在(对于缺项幂级数就是这种情形).(3)【答案】2x y e π+=【解析】求切线方程的主要问题是求其斜率x k y '=,而x y '可由e θρ=的参数方程cos cos ,sin sin x e y e θθρθθρθθ⎧==⎪⎨==⎪⎩ 求得： 2sin cos sin cos ,1cos sin cos sin x x y e e y y x e e θθθπθθθθθθθθθθθθ='++''====-'--, 所以切线的方程为2(0)y e x π-=--,即2x y e π+=.评注：本题难点在于考生不熟悉极坐标方程与直角坐标方程之间的关系.(4)【答案】3t =-【解析】由0AB =,对B 按列分块,设[]123,,B βββ=,则[][][]123123,,,,0,0,0AB A A A A ββββββ===,即123,,βββ是齐次方程组0Ax =的解.又因B O ≠,故0Ax =有非零解,那么()1221024343373031131A tt t --==+=+=-, 由此可得3t =-.评注：若熟悉公式0AB =,则()()3r A r B n +≤=,可知()3r A <,亦可求出3t =-. (5)【答案】25【解析】方法1：利用全概率公式.求第二人取得黄球的概率,一般理解为这事件与第一人取得的是什么球有关.这就要用全概率公式.全概率公式首先需要一个完全事件组,这就涉及到设事件的问题.设事件i A =“第i 个人取得黄球”,1,2i =,则完全事件组为11,A A (分别表示第一个人取得黄球和第一个人取得白球).根据题设条件可知{}1202505P A ===黄球的个数球的总数；{}1303505P A ===白球的个数球的总数；{}2120119|50149P A A -==-(第一个人取得黄球的条件下,黄球个数变成20119-=,球的总数变成50149-=,第二个人取得黄球的概率就为1949)；{}2120|49P A A =(第一个人取得白球的条件下,黄球个数亦为20,球的总数变成50-1=49,第二个人取得黄球的概率就为2049).故应用全概率公式{}{}{}{}{}21211212193202||5495495P A P A P A A P A P A A =+=⋅+⋅=.方法二：利用“抽签原理”.只考虑第二个人取得的球,这50个球中每一个都会等可能地被第二个人取到.犹如几个人抽奖,其中只有一张彩票有奖,那么这几个人先抽与后抽,抽到有奖彩票的概率是一样的,这就是我们抽奖的公平性,此题中取到黄球的可能有20个,所以第二个人取到黄球的概率为202505=. 【相关知识点】1.全概率公式: {}{}{}{}{}2121121||P A P A P A A P A P A A =+； 2. 古典型概率公式：()i i A P A =有利于事件的样本点数样本空间的总数.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)【答案】(C)【解析】这是讨论(,)f x y 在(0,0)点是否连续,是否存在偏导数的问题.按定义00(0,0)(0,0)(,0),(0,)x y f d f df x f y x dx y dy ==∂∂==∂∂, 由于 (,0)0(),(0,)0()f x x f y y =∀=∀,⇒∃偏导数且(0,0)(0,0)0,0f f x y∂∂==∂∂. 再看(,)f x y 在(0,0)是否连续？由于222(,)(0,0)01lim(,)lim (0,0)2x y x y xx f x y f x x →→===≠+,因此(,)f x y 在(0,0)不连续.应选(C).评注：① 证明分段函数在某点连续,一般要用定义证,有难度.证明分段函数(,)f x y 在某点000(,)M x y 不连续的方法之一是：证明点(,)x y 沿某曲线趋于0M 时,(,)f x y 的极限不存在或不为00(,)f x y .② 证明00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →不存在的重要方法是证明点(,)x y 沿两条不同曲线趋于000(,)M x y 时,(,)f x y 的极限不想等或沿某条曲线趋于0M 时,(,)f x y 的极限不存在.对于该题中的(,)f x y ,若再考察(,)(0,0)(,)(0,0)1lim (,)lim00lim (,)2x y x y y x y xf x y f x y →→→====≠=, (,)(0,0)lim (,)x y f x y →⇒不存在.由本例可见,函数在一点处不连续,但偏导数却可以存在.容易找到这种例子,例如(,),f x y x y =+它在点(0,0)处连续,但(0,0)x f '与(0,0)y f '都不存在.可见二元函数的连续性与偏导数的存在性可以毫无因果关系.(2)【答案】(B)【解析】方法1：用几何意义.由()0,()0,()0f x f x f x '''><>可知,曲线()y f x =是上半平面的一段下降的凹弧,()y f x =的图形大致如右图1()baS f x dx =⎰是曲边梯形ABCD 的面积；2()()S f b b a =-是矩形ABCE 的面积；31[()()]()2S f a f b b a =+-是梯形ABCD 的面积.由图可见213S S S <<,应选(B).方法2：观察法.因为是要选择对任何满足条件的()f x 都成立的结果,故可以取满足条件的特定的()f x 来观察结果是什么.例如取21(),[1,2]f x x x =∈,则 2123213211115,,248S dx S S S S S x ====⇒<<⎰. 【评注】本题也可用分析方法证明如下：由积分中值定理,至少存在一个点ξ,使()()(),baf x dx f b a a b =-<<⎰ξξ成立,再由()0,f x '<所以()f x 是单调递减的,故()(),f f b ξ>从而12()()()()()ba S f x dx fb a f b b a S ==->-=⎰ξ.为证31S S >,令1()[()()]()(),2x a x f x f a x a f t dt ϕ=+--⎰则()0,a ϕ=11()()()(()())()2211()()(()())2211()()()()()()221(()())(),2x f x x a f x f a f x f x x a f x f a f x x a f x a a x f x f x a ''=-++-'=---''=---<<''=--ϕηηη拉格朗日中值定理由于()0f x ''>,所以()f x '是单调递增的,故()()f x f ''>η,()0x '>ϕ,即()x ϕ在[,]a b 上单调递增的.由于()0,a ϕ=所以()0,[,]x x a b >∈ϕ,从而1()[()()]()()02b a b f b f a b a f t dt =+-->⎰ϕ,即31S S >.因此,213S S S <<,应选(D).如果题目改为证明题,则应该用评注所讲的办法去证,而不能用图证.【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数()f x 在积分区间[,]a b 上连续,则在(,)a b 上至少存在一个点ξ,使下式成立：()()()()baf x dx f b a a b =-<<⎰ξξ.这个公式叫做积分中值公式.2. 拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(),a b 内可导,那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<,使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立. (3)【答案】(A) 【解析】由于函数sin sin tet 是以2π为周期的函数,所以, 22sin sin 0()sin sin x t t xF x e tdt e tdt +==⎰⎰ππ,()F x 的值与x 无关.不选D,(周期函数在一个周期的积分与起点无关).估计2sin 0sin t e tdt ⎰π的值有多种方法.方法1：划分sin sin te t 取值正、负的区间.22sin sin sin 0sin sin 0sin sin 0()sin sin sin sin (sin )()sin t t t tu t t F x e tdt e tdt e tdtetdt e u due e tdt--==+=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰πππππππ当0t π<<时,sin 0t >,sin sin 0,tt ee -->所以()0F x >.选(A).方法2：用分部积分法.22sin sin 022sin sin 00220sin 2sin 20()sin cos cos cos (11)cos cos 0.t t t tt t F x e tdt e d te ttde e e t dt e t dt ==-=-+=--+=>⎰⎰⎰⎰⎰ππππππ故应选(A).【评注】本题的方法1十分有代表性.被积函数在积分区间上可以取到正值与负值时,则常将积分区间划分成若干个,使每一个区间内,被积函数保持确定的符号,然后再作适当的变量变换,使几个积分的积分上下限相同,然后只要估计被积函数的正、负即可. (4)【答案】(D)【解析】方法1：三条直线交于一点的充要条件是方程组111111222222333333000a x b y c a x b y c a x b y c a x b y c a x b y c a x b y c++=+=-⎧⎧⎪⎪++=⇒+=-⎨⎨⎪⎪++=+=-⎩⎩ 有唯一解.将上述方程组写成矩阵形式：32A X b ⨯=,其中112233a b A a b a b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是其系数矩阵,123c b c c -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.则AX b =有唯一解⇔[]()2r A r A b ==(方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且等于未知量的个数),即A 的列向量组12,αα线性相关.所以应选(D). 方法2：用排除法.(A)123,,ααα线性相关,当123ααα==时,方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且小于未知量的个数,则①式有无穷多解,根据解的个数与直线的位置关系.所以三条直线重合,相交有无穷多点,(A)不成立.(B)123,,ααα线性无关,3α不能由12,αα线性表出,方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等,方程组无解,根据解得个数与直线的位置关系,所以一个交点也没有,(B)不成立.(C)秩123(,,)r ααα=秩12(,)r αα,当123(,,)r ααα=12(,)1r αα=时,三条直线重合,不只交于一点,与题设条件矛盾,故(C)不成立.由排除法知选(D).评注：应重视线性代数中的几何背景.空间直线方程及平面方程其在空间的位置关系应与线性代数中的线性相关性、秩及方程组的解及其充要条件有机的结合起来. (5)【答案】(D)【解析】因X 与Y 独立,故3X 和2Y 也相互独立.由方差的性质,有(32)(3)(2)9()4()44D X Y D X D Y D X D Y -=+-=+=.【相关知识点】方差的性质：X 与Y 相互独立时,22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数.三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)(1)【分析】三重积分的计算有三种方法：直角坐标中的计算,柱面坐标中的计算,球面坐标中的计算,其中柱面坐标中又可分先z 后(,)r θ,或先(,)r θ后z 两种方法.本题的区域Ω为绕z 轴旋转的旋转体,用柱面坐标先(,)r θ后z 方便.【解析】方法1：采用柱面坐标,先(,)r θ后z ,为此,作平面z z =.{}22(,,)|2,,z D x y z x y z z z =+≤=82220()zD I x y dv dz r rdrd θΩ=+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰(将直角坐标化为柱面坐标)82301024.3dz d dr ππθ==⎰⎰ 方法2：将Ω投影到xOy 平面,得圆域{}22(,)|16,D x y x y =+≤用柱面坐标先z 后(,)r θ,有22248422330021024()2(8).23r r I x y dv d dr r dz r dr ππθπΩ=+==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰评注：做二次积分或三次积分时,如果里层积分的结果不含外层积分变量,那么里、外层积分可以分别积分然后相乘即可.如本例方法2中20d πθ⎰可以单独先做.(2)【解析】方法1：写出C 的参数方程,然后用曲线积分化为定积分的公式.由平面上圆的参数方程易写出C 的参数方程为：()cos ,()sin ,()2cos sin x x t t y y t t z z t t t ======-+,其中2z x y =-+.由C 的方向知,C 在Oxy 平面上的投影曲线相应地也是顺时针的,于是t 从π2到0. 在把参数方程代入被积表达式之前,先用C 的方程将被积表达式化简,有222022220()()()(2)()(2)(2())()[cos (2cos sin )]cos (2())()0[2cos sin cos 2cos ]02cos 2.C CI z y dx x z dy x y dzx dx x z dy z dzx t dx t t t t tdt z t dz t t t t t dt tdt ππππππ=-+-+-=-+-+-=-+--++-=+--+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法2：用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z -+=上C 所围有限部分,由L 的定向,按右手法则S 取下侧.原积分2SS dydzdzdx dxdy dxdy x y z z yx zx y∂∂∂==∂∂∂---⎰⎰⎰⎰. S 在xy 平面上的投影区域xy D 为221x y +≤.将第二类曲面积分化为二重积分得原积分22xyD dxdy π=-=-⎰⎰.这里因S 取下侧,故公式取负号.(3)【解析】已掌握新技术人数()x t 的变化率,即dxdt,由题意可立即建立初值问题 0(),(0).dxkx N x dtx x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 把方程分离变量得,()dx kdt x N x =-111()dx kdt N x N x+=-.积分可得 11ln xkt c N N x=+-,1kNt kNt cNe x ce =+. 以0(0)x x =代入确定00x c N x =-,故所求函数为000.kNtkNtNx e x N x x e =-+四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分.)(1)【分析】求出曲面22:0S x y z +-=在点0(1,2,5)M -(位于S 上)处的切平面方程,再写出L 的参数方程,L 上的点的坐标应满足切平面方程,由此定出参数a 与b . 【解析】曲面S 在点0M 的法向量{2,2,1}{2,4,1}M n x y =-=--.切平面∏的方程是2(1)4(2)(5)0x y z --+--=,即 2450x y z ---=.将直线L 的方程改写成参数方程,(1) 3.y x b z a x ab =--⎧⎨=---⎩将它代入平面∏方程得24()(1)350x x b a x ab -----++-=,即(5)420a x b ab +++-=.解得5,2a b =-=-.(2)【分析】(sin )xz f e y =是由一元函数()z f u =与二元函数sin xu e y =复合而成的二元函数,它满足方程22222xz z e z x y∂∂+=∂∂. (*) 为了求()f u ,我们将用复合函数求导法,导出z x ∂∂,z y ∂∂,22z x ∂∂,22zy ∂∂与(),()f u f u '''的关系,然后由(*)式导出()f u 满足的常微分方程,从而求出()f u . 【解析】先用复合函数求导法导出22222222()()sin ,()()cos ,()sin ()sin ,()cos ()sin .x x x x x x z u z u f u f u e y f u f u e y x x y y zzf u e y f u e y f u e y f u e y xy∂∂∂∂''''====∂∂∂∂∂∂''''''=+=-∂∂将后两式代入(*)得 222222()()x xz z f u e e f u x y∂∂''+==∂∂,即 ()()0f u f u ''-=.这是二阶线性常系数齐次方程,相应的特征方程210λ-=的特征根为1λ=±,因此求得12()u u f u C e C e -=+,其中1C 、2C 为任意常数.五、(本题满分6分)【分析】通过变换将()x ϕ化为积分上限函数的形式,此时0x ≠,但根据0()limx f x A x→=,知 (0)0f =,从而1(0)(0)0f dt ϕ==⎰,由此,利用积分上限函数的求导法则、导数在一点处的定义以及函数连续的定义来判定()x ϕ'在0x =处的连续性. 【解析】由题设0()limx f x A x→=知,(0)0,(0),f f A '==且有(0)0ϕ=.又 10()()()(0),xf u du x f xt dtu xtx xϕ==≠⎰⎰于是 02()()()(0),xxf x f u dux x xϕ-'=≠⎰由导数定义,有02()()(0)()(0)limlimlim22xx x x f u du x f x Axx x ϕϕϕ→→→-'====⎰.而 0022000()()()()lim ()limlim lim xxx x x x xf x f u duf u du f x x xx xϕ→→→→-'==-⎰⎰ (0)22A AA ϕ'=-==, 从而知()x ϕ'在0x =处连续. 评注：对1()()x f xt dt ϕ=⎰作积分变量变换xt u =时,必附加条件0x ≠.因此,由01()()xx f u du xϕ=⎰得到的()x ϕ'也附加有条件0x ≠.从而(0)ϕ'应单独去求.六、(本题满分8分)【解析】(1)先证n a 单调有界.显然0(1,2,)n a n >=,由初等不等式：对∀非负数,x y必有x y +≥,易知 1111()21(1,2,)22n n n a a n a +=+≥⋅==.再考察 121111(1)(1)1221n n n a a a +=+≤+=.因此,n a 单调下降且有界,存在极限lim n n a →+∞.(2)方法1：由n a 单调下降11110n n n n n a a a a a +++-⇒-=≥. ⇒原级数是正项级数.现适当放大,注意1n a ≥,得111101.n n n n n n n a a a a a a a ++++-≤-=≤- 11()nn n aa ∞+=-∑的部分和1111()n k k n k S a a a a ∞++==-=-∑,11lim lim n n n n S a a +→+∞→+∞⇒=-存在,可见级数11()n n n a a ∞+=-∑收敛.由比较判别法知,级数111n n n a a ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑也收敛. 方法2：令11nn n a b a +=-,利用递推公式,有 221221111lim lim 0141n n n n n n n n b a a b a a ρ+→∞→∞++-==⋅⋅=<+, 由比值判别法知级数111n n n a a ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑也收敛.【评注】由证明中可见,有下述结论：11()nn n aa ∞+=-∑收敛⇔lim n n a →∞存在.在考研题中多次用到这个知识点,考生可倍加注意.七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分.) 【分析】要求0Bx =的解空间的一个标准基,首先必须确定此解空间的维数以及相应个数的线性无关的解.【解析】(1)因秩()2r B =,故解空间的维数()422n r B -=-=,又因12,αα线性无关,12,αα是方程组0Bx =的解,由解空间的基的定义,12,αα是解空间的基.用施密特正交化方法先将其正交化,令：[][][][]1121221111,1,2,3,(,)521,1,4,11,1,2,32,1,5,3.(,)153TT T T βααββαβββ===-=---=--将其单位化,有]]1212121,1,2,3,2,1,5,3T T ββηηββ====--, 即为所求的一个标准正交基.评注：此题是一个基本计算题,只要求得一个齐次方程组的基础解系再标准正交化即可. 由于解空间的基不唯一,施密特正交化处理后标准正交基也不唯一.已知条件中12,,αα3α是线性相关的(注意12323ααα-=),不要误认为解空间是3维的.(2)(I)设ξ是矩阵A 的属于特征值0λ的特征向量,即0,A ξλξ=021*******,1211a b λ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦即 0002125312a b λλλ--=⎧⎪+-=⎨⎪-++=-⎩0130,a ,b λ⇒=-=-=. (II)将(1)解得的30a ,b =-=代入矩阵A ,得212533102A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 其特征方程为3212533(1)0,102E A λλλλλ---=-+-=+=+知矩阵A 的特征值为1231λλλ===-.由于 312()5232101r E A r --⎡⎤⎢⎥--=--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 从而1λ=-只有一个线性无关的特征向量,故A 不能相似对角化. 评注：A 相似于对角阵⇔A 的每个i r 重特征值有i r 个线性无关的特征向量.八、(本题满分5分)【解析】由于ij B E A =,其中ij E 是初等矩阵10111ij i E j ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1)因为A 可逆,0A ≠,故0ij ij B E A E A A ==⋅=-≠,所以B 可逆.(2)由ij B E A =,知11111().ij ij ij ij AB A E A AA E E E -----====评注：①本题考查初等矩阵的概念与性质,要知道初等变换与初等矩阵左右乘的关系以及初等矩阵的逆矩阵的三个公式.有的考生写不出初等矩阵ij E ,或将B 写成ij B AE =,或不知道1ij ij E E -=,或认为A B =±,而不知道B A =-等,这些要引起注意.②经初等变换矩阵的秩不变,易知()()r B r A n ==,也可证明B 可逆.九、(本题满分7分) 【分析】首先需要清楚二项分布的产生背景.它的背景是：做n 次独立重复试验,每次试验的结果只有两个(要么成功,要么失败),每次试验成功的概率都为p ,随机变量X 表示n 次试验成功的次数,则~(,)X B n p .这道题中经过三个交通岗,在各个交通岗遇到红灯的事件是独立的,概率都为25,相当于做了3次独立重复试验,试验的结果只有两个(要么遇到红灯(成功),要么不遇到(失败)),每次成功的概率都为25,X 表示遇到红灯的次数,相当于做了3次试验成功的次数,故2~(3,)5X B .【解析】由题意知：2~(3,)5X B ,由二项分布的分布律的定义,有{}33(1),0,1,2,3.k kk p X k C p p k -==-=再由离散型随机变量分布函数的定义,有()kk xF x p≤=∑,(1)当0x <时,()0kk xF x p≤==∑；(2)当01x ≤<,{}300300322327()0()(1)555125k k xF x p p P X C -≤⎛⎫=====-==⎪⎝⎭∑； (3)当12x ≤<,{}{}1131013272281()01()(1)12555125k k xF x p p p P X P X C -≤==+==+==+-=∑； (4)当23x ≤<, {}{}{}012()012kk xF x pp p p P X P X P X ≤==++==+=+=∑223238122117()(1)12555125C -=+-=； (5)当3x ≥时{}{}{}{}0123()01231k k xF x p p p p p P X P X P X P X ≤==+++==+=+=+==∑.因此X 的分布函数为：0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251, 3.x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩2~(3,)5X B 的数学期望为26355EX np ==⋅=.【相关知识点】1.二项分布分布律的定义：{}(1),0,1,,kkn kn P X k C p p k n -==-=.2.离散型随机变量分布函数的定义：{}()i ix xF x P X x p ≤=≤=∑.3.二项分布~(,)X B n p 的期望为EX np =.十、(本题满分5分) 【分析】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩,此题中被估参数只有一个,故只需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)；最大似然估计,实质上就是找出使似然函数最大的那个参数,问题的关键在于构造似然函数. 【解析】(1)矩估计 由期望的定义：1110()()(1)(1)E X xf x dx x x dx x dx θθθθ+∞+-∞==+=+⎰⎰⎰1211001(1)(1)22x x dx θθθθθθθ+++=+=+=++⎰.样本均值11n i i X X n ==∑,用样本均值估计期望有EX X =,即12X θθ+=+,解得未知参数θ的矩估计量为：^21.1X Xθ-=- (2)最大似然估计设 12,,...,n x x x 是相应于样本12,,...,n X X X 的样本值,则样本的似然函数为：1(1)01(1,2,,)0 .nn ii i x x i n L θθ=⎧+<<=⎪=⎨⎪⎩∏其他当01i x <<时,10ni i x θ=>∏,又1θ>-,故10θ+>,即()10nθ+>.所以()0L θ>.111ln ln (1)ln(1)ln ln(1)ln n n nn i i i i i i L x n x n x θθθθθθ===⎡⎤=+=++=++⎢⎥⎣⎦∑∑∏.(由于ln L 是单调递增函数,L 取最大与ln L 取最大取到的θ是一致的,而加对数后能把连乘转换成累加,这样求导,找极值比较方便)1ln ln 1ni i d L nx d θθ==++∑. 令1ln ln 01n i i d L nx d θθ==+=+∑, 解得θ的最大似然估计值为^11ln nii nxθ==--∑,从而得θ的最大似然估计量为：^11ln nii nXθ==--∑.。
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)下列反常积分中收敛的是（）（A）2+∞⎰（B ）2ln xdx x+∞⎰(C)21ln dx x x+∞⎰(D)2xx dx e +∞⎰(2)函数20sin ()lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内（） （A ）连续 （B ）有可去间断点 （C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点(3)设函数1cos ,0()0,0x x f x xx αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>，若()f x 在0x =处连续，则（） （A ）1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤(4) 设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3(5).设函数(u v)f ，满足22(,)yf x y x y x +=-，则11u v fu ==∂∂与11u v f v==∂∂依次是（）（A ）12,0 (B)0，12（C ）-12,0 (D)0 ,-12(6). 设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰=（）（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r drπθπθθθθ⎰⎰（B）24(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰（C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（D）34(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰(7)．设矩阵A=211112a 14a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，b=21d d ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,若集合Ω=}{1,2，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（）（A ）,a d ∉Ω∉Ω (B),a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω(8)设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e )，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为（ ）(A):2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设2231arctan ,3t x t d ydx y t t==⎧=⎨=+⎩则 （10）函数2()2xf x x =在0x =处的n 阶导数()(0)n f=（11）设函数()f x 连续，20()(),x x xf t dt ϕ=⎰若(1)ϕ1=，'(1)5ϕ=，则(1)f =（12）设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取值3，则()y x = （13）若函数(,)z z x y =由方程231x y zexyz +++=确定，则(0,0)dz =（14）设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B =三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++，2()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求,,a b k 的值。
2015-2017考研数学一真题(答案+解析)
历年考研数学一真题2015-2017（答案+解析）2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x =．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C ） 2．设21123()x x y e x e =+-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则（A ）321,,a b c =-==- （B ）321,,a b c ===- （C ）321,,a b c =-== （D ）321,,a b c ===【详解】线性微分方程的特征方程为20r ar b ++=，由特解可知12r =一定是特征方程的一个实根．如果21r =不是特征方程的实根，则对应于()x f x ce =的特解的形式应该为()x Q x e ，其中()Q x 应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以21r =也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得213212(),a b =-+=-=⨯=，同时*x y xe =是原来方程的一个解，代入可得1c =-应该选（A ）３．若级数1nn a∞=∑条件收敛，则33,x x ==依次为级数11()nnn na x ∞=-∑的（Ａ）收敛点，收敛点 （Ｂ）收敛点，发散点(Ｃ）发散点，收敛点 （Ｄ）发散点，发散点【详解】注意条件级数1nn a∞=∑条件收敛等价于幂级数1n nn ax ∞=∑在1x =处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为1，即11limn n na a +→∞=，所以11()n n n na x ∞=-∑的收敛半径111lim()nn n na R n a →∞+==+，绝对收敛域为02(,)，显然33,x x ==依次为收敛点、发散点，应该选（B ）４．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线3,y x y x ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（ ）（Ａ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r rdrπθπθθθθ⎰⎰（Ｂ）1231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（Ｃ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r drπθπθθθθ⎰⎰（Ｄ）231422sin sin (cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：221212122sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=22141412222sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=也就是D ：432sin sin r ππθθθ⎧<<⎪⎪⎨<<22所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰，所以应该选（B ）．5．设矩阵2211111214,A a b d a d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若集合{}12,Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω（C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω 【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：2222111111111111201110111403110012(,)()()B A b ad a d a a d a d a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎪ ⎪==→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ----⎝⎭⎝⎭⎝方程组无穷解的充分必要条件是3()(,)r A r A b =<，也就是120120()(),()()a a d d --=--=同时成立，当然应该选（D ）． 6．设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中()123,,P e e e =，若()132,,Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在x Qy =下的标准形为（A ）2221232y y y -+ （B ）2221232y y y +- （C ）2221232y y y -- （D ） 2221232y y y ++ 【详解】()()132123100100001001010010,,,,Q e e e e e e P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，100001010T T Q P ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭211T T T T f x Ax y PAPy y y⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪-⎝⎭所以100100100210020010010011001101001001010101T T Q AQ P AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选择（A ）． 7．若,A B 为任意两个随机事件，则（ ）（A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥ （C ）2()()()P A P B P AB +≤ （D ）2()()()P A P B P AB +≥【详解】()(),()(),P A P AB P B P AB ≥≥所以2()()()P A P B P AB +≤故选择（C ）．8．设随机变量,X Y 不相关，且213,,EX EY DX ===，则2(())E X X Y +-=（ ）（A ）3- （B ）3 （C ） 5- （D ）5【详解】222225(())()()()E X X Y E X E XY EX DX EX EXEY EX +-=+-=++-=故应该选择（D ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．20ln(cos )lim x x x→= 【详解】200122ln(cos )tan lim lim x x x x x x →→-==-．10．221sin cos x x dx x ππ-⎛⎫+= ⎪+⎝⎭⎰ ． 【详解】只要注意1sin cos xx+为奇函数，在对称区间上积分为零，所以22202214sin .cos x x dx xdx xππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰11．若函数(,)z z x y =是由方程2cos z e xyz x x +++=确定，则01(,)|dz = ．【详解】设2(,,)cos zF x y z e xyz x x =+++-，则1(,,)sin ,(,,),(,,)z x y z F x y z yz x F x y z xz F x y z e xy '''=+-==+且当01,x y ==时，z =，所以010101001010010010(,)(,)(,,)(,,)|,|,(,,)(,,)y x z z F F z zx y F F ''∂∂=-=-=-=∂∂'' 也就得到01(,)|dz =.dx -12．设Ω是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的空间区域，则23()dxdydz x y z Ω++=⎰⎰⎰ ．【详解】注意在积分区域内，三个变量,,x y z 具有轮换对称性，也就是dxdydz dxdydz dxdydz x y z ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰11212366314()dxdydz dxdydz ()zD x y z z zdz dxdy z z dz ΩΩ++===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰13．n 阶行列式20021202002212-=- ． 【详解】按照第一行展开，得1111212122()()n n n n n D D D +---=+--=+，有1222()n n D D -+=+由于1226,D D ==，得11122222()n n n D D -+=+-=-．14．设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布10110(,;,;)N ，则{}0P XY Y -<= ．【详解】由于相关系数等于零，所以X ，Y 都服从正态分布，1101~(,),~(,)X N Y N ，且相互独立．则101~(,)X N -．{}{}{}{}1111101001001022222(),,P XY Y P Y X P Y X P Y X -<=-<=<->+>-<=⨯+⨯= 三、解答题15．（本题满分10分）设函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx=在0x →时为等价无穷小，求常数,,a b k 的取值．【详解】当0x →时，把函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++展开到三阶的马克劳林公式，得233332331236123()(())(())()()()()x x f x x a x o x bx x x o x a aa xb x x o x =+-+++-+=++-+++ 由于当0x →时，(),()f x g x 是等价无穷小，则有10023a ab a k ⎧⎪+=⎪⎪-+=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得，11123,,.a b k =-=-=-16．（本题满分10分）设函数)(x f y =在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且02()f =，求()f x 的表达式．【详解】)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+令0y =，得000()()f x x x f x =-'曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积为00000142()()(()()f x S f x x x f x =--=' 整理，得218y y '=，解方程，得118C x y =-，由于02()f =，得12C = 所求曲线方程为84.y x=- 17．（本题满分10分）设函数(,)f x y x y xy =++，曲线223:C x y xy ++=，求(,)f x y 在曲线C 上的最大方向导数．【详解】显然11,f fy x x y∂∂=+=+∂∂． (,)f x y x y xy =++在(,)x y 处的梯度()11,,f f gradf y x x y ⎛⎫∂∂==++ ⎪∂∂⎝⎭(,)f x y 在(,)x y处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模gradf =所以此题转化为求函数2211(,)()()F x y x y =+++在条件223:C x y xy ++=下的条件极值．用拉格朗日乘子法求解如下：令2222113(,,)()()()L x y x y x y xy λλ=++++++-解方程组22212021203()()x y F x x y F y y x x y xy λλλλ⎧'=+++=⎪⎪'=+++=⎨⎪++=⎪⎩，得几个可能的极值点()11112112,,(,),(,),(,)----，进行比较，可得，在点21,x y ==-或12,x y =-=处，方向导数取到最大，3.=18．（本题满分10分）（1）设函数(),()u x v x 都可导，利用导数定义证明(()())()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+；（2）设函数12(),(),,()n u x u x u x 都可导，12()()()()n f x u x u x u x =，写出()f x 的求导公式．【详解】（1）证明：设)()(x v x u y=)()()()(x v x u x x v x x u y -++=∆∆∆()()()()()()()()u x x v x x u x v x x u x v x x u x v x =+∆+∆-+∆++∆-v x u x x uv ∆∆∆)()(++=xux u x x v x u x y ∆∆∆∆∆∆∆)()(++= 由导数的定义和可导与连续的关系00'limlim[()()]'()()()'()x x y u uy v x x u x u x v x u x v x x x x∆→∆→∆∆∆==+∆+=+∆∆∆（2）12()()()()n f x u x u x u x =1121212()()()()()()()()()()()n n nf x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x ''''=+++ 19．（本题满分10分）已知曲线L 的方程为z z x⎧=⎪⎨=⎪⎩，起点为0()A ，终点为00(,)B ，计算曲线积分2222()()()L y z dx z x y dy x y dz ++-+++⎰．【详解】曲线L的参数方程为cos ,cos x t y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩起点0()A 对应2t π=，终点为00(,)B 对应2t π=-．22222222()()()cos )(cos )))(cos )cos Ly z dx z x y dy x y dzt t d t t d t t d tππ-++-+++=+++-⎰⎰2202sin .tdt π==20．（本题满分11分） 设向量组123,,ααα为向量空间3R的一组基，113223332221,,()k k βααβαβαα=+==++．（1）证明：向量组123,,βββ为向量空间3R 的一组基；（2）当k 为何值时，存在非零向量ξ，使得ξ在基123,,ααα和基123,,βββ下的坐标相同，并求出所有的非零向量.ξ【详解】（1）()123123201020201(,,),,k k βββααα⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭，因为2012102024021201k k k k ==≠++，且123,,ααα显然线性无关，所以123,,βββ是线性无关的，当然是向量空间3R 的一组基．（2）设非零向量ξ在两组基下的坐标都是123(,,)x x x ，则由条件112233112233x x x x x x αααβββ++=++可整理得：1132231320()()x k x x k ααααα++++=，所以条件转化为线性方程组()1321320,,k k x ααααα++=存在非零解．从而系数行列式应该等于零，也就是12312310110101001002020(,,)(,,k k k kαααααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭由于123,,ααα显然线性无关，所以10110020k k=，也就是0k =．此时方程组化为()112121312230,,()x x x x x x ααααα⎛⎫ ⎪=++= ⎪ ⎪⎝⎭，由于12,αα线性无关，所以13200x x x +=⎧⎨=⎩，通解为1230x C x x C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，其中C 为任意常数．所以满足条件的0C C ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭其中C 为任意不为零的常数． 21．（本题满分11分）设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭．（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵．【详解】（1）因为两个矩阵相似，所以有trA trB =，A B =．也就是324235a b a a b b +=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩． （2）由2120050150031()()E B λλλλλλ--=-=--=--，得A ，B 的特征值都为12315,λλλ===解方程组0()E A x -=，得矩阵A 的属于特征值121λλ==的线性无关的特征向量为12231001.ξξ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 解方程组50()E A x -=得矩阵A 的属于特征值35λ=的线性无关的特征向量为3111ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭令()123231101011,,P ξξξ--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则1100010005.P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭22．（本题满分11分）设随机变量X 的概率密度为22000ln ,(),x x f x x -⎧>=⎨≤⎩对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为次数．求Y 的分布函数；（1） 求Y 的概率分布； （2） 求数学期望.EY 【详解】（1）X 进行独立重复的观测，得到观测值大于3的概率为313228()ln x P X dx +∞->==⎰显然Y 的可能取值为234,,,且2211117171234888648()(),,,,k k kP Y k C k k ---⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）设22322221111()()(),()n nn n n n x S x n n xx x x x x ∞∞∞-===''''⎛⎫⎛⎫''=-====< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 2221717116648648()()()k k n E Y kP Y k k k S -∞∞==⎛⎫⎛⎫===-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 23．（本题满分11分） 设总体X 的概率密度为1110,(;),x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他其中θ为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体的简单样本．（1）求参数θ的矩估计量；（2）求参数θ的最大似然估计量． 【详解】（1）总体的数学期望为111112()()E X xdx θθθ==+-⎰ 令()E X X =，解得参数θ的矩估计量：21ˆX θ=-． （2）似然函数为12121110,,,,()(,,,;),n nn x x x L x x x θθθ⎧≤≤⎪-=⎨⎪⎩其他显然()L θ是关于θ的单调递增函数，为了使似然函数达到最大，只要使θ尽可能大就可以，所以参数θ的最大似然估计量为12ˆmin(,,,).n x x x θ=2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。
历年数学一概率(1987-2015)
历年考研数学一真题1987-2014（经典珍藏版）1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件A 发生的概率为,p 现进行n 次独立试验,则A 至少发生一次的概率为____________;而事件A 至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________. (3)已知连续随机变量X 的概率密度函数为221(),xx f x-+-=则X 的数学期望为____________,X 的方差为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量,X Y 相互独立,其概率密度函数分别为()X f x = 1001x ≤≤其它,()Y f y = e 0y- 00y y >≤, 求2Z X Y =+的概率密度函数.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于19,27则事件A在一次试验中出现的概率是____________.(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于65”的概率为____________.(3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知22(),(2.5)0.9938,uxx duφφ-==⎰则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率密度函数为21(),(1)Xf xxπ=-求随机变量1Y=-的概率密度函数().Yf y1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件A的概率()0.5,P A=随机事件B的概率()0.6P B=及条件概率(|)0.8,P B A=则和事件A B的概率()P A B=____________.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.(3)若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程210x xξ++=有实根的概率是____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X与Y独立,且X服从均值为1、标准差(均方差)的正态分布,而Y服从标准正态分布.试求随机变量23Z X Y=-+的概率密度函数.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X 的概率密度函数1()e ,2xf x x -=-∞<<+∞ 则X 的概率分布函数()F x =____________.(2)设随机事件A 、B 及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB =____________.(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松()Poisson 分布,即22e {},0,1,2,,!k P X k k k -=== 则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的方差().D Z1991年全国硕士研究生入学统一考试十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布,且{24}0.3,P X <<=则{0}P X <=____________.(2)随机地向半圆0y a <<为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为(,)f x y =(2)2e 0,00 x y x y -+>>其它求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知11()()(),()0,()(),46P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A、B 、C 全不发生的概率为____________.(2)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望2{e }X E X -+=____________. 十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2(,),N Y μσ服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数Φ表示,其中22()e)t xx dt --∞Φ=.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.(2)设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =____________.十一、（本题满分6分） 设随机变量X的概率分布密度为1()e ,.2xf x x -=-∞<<+∞ (1)求X 的数学期望EX 和方差.DX(2)求X 与X 的协方差,并问X 与X 是否不相关? (3)问X 与X 是否相互独立?为什么?1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分. (1)已知A 、B 两个事件满足条件()(),P AB P AB =且(),P A p =则()P B =____________.(2)设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布率,且X 的分布率为则随机变量max{,}Z X Y =的分布率为____________. 十一、（本题满分6分） 设随机变量X和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4),N 且X 与Y 的相关系数1,2xy ρ=-设,32X Y Z =+(1)求Z 的数学期望EZ 和DZ 方差. (2)求X 与Z 的相关系数.xz ρ (3)问X 与Y 是否相互独立?为什么?1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =____________.(2)设X 和Y 为两个随机变量,且34{0,0},{0}{0},77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥= 则{max(,)0}P X Y ≥=____________. 十一、（本题满分6分） 设随机变量X 的概率密度为()X f x = e 0x- 00x x ≥<,求随机变量e XY =的概率密度().Y f y1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A 生产的概率是____________.(2)设,ξη是两个相互独立且均服从正态分布2)N 的随机变量,则随机变量ξη-的数学期望()E ξη-=____________.十一、（本题满分6分）设,ξη是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知ξ的分布率为1(),1,2,3.3P i i ξ===又设max(,),min(,).X Y ξηξη==(1)写出二维随机变量的分布率:(2)求随机变量X 的数学期望().E X 1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_____________. (5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2,则随机变量32X Y -的方差是(A)8 (B)16 (C)28 (D)44 九、（本题满分7分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2.5设X 为途中遇到红灯的次数,求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望. 十、（本题满分5分） 设总体X 的概率密度为()f x =(1)0x θθ+ 01x <<其它 其中1θ>-是未知参数12,,,,n X X X 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量.1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (5)设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,e y x x ===所围成,二维随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布,则(,)X Y 关于X的边缘概率密度在2x =处的值为_____________. (5)设,A B是两个随机事件,且0()1,()0,(|)(|),P A P B P B A P B A <<>=则必有(A)(|)(|)P A B P A B = (B)(|)(|)P A B P A B ≠(C)()()()P AB P A P B = (D)()()()P AB P A P B ≠ 十三、（本题满分6分）设两个随机变量,X Y 相互独立,且都服从均值为0、方差为12的正态分布,求随机变量X Y -的方差.十四、（本题满分4分）从正态总体2(3.4,6)N 中抽取容量为n 的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n 至少应取多大? 附:标准正态分布表22()t zx dt -Φ=⎰十五、（本题满分4分）设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分?并给出检验过程. 附:t 分布表{()()}p P t n t n p ≤=1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)设两两相互独立的三事件,A B和C 满足条件:1,()()(),2ABC P A P B P C =∅==<且已知9(),16P A B C = 则()P A =_____________.二、选择题(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和(1,1)N ,则 (A)1{0}2P X Y +≤=(B)1{1}2P X Y +≤=(C)1{0}2P X Y -≤=(D)1{1}2P X Y -≤=十二、(本题满分8分)设随机变量X 与Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(,)X Y 联合分布率及关于X 和关于Y 的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处.十三、(本题满分6分)设X 的概率密度为36() 0< ()0 其它xx x f x θθθ⎧-<⎪=⎨⎪⎩,12,,,n X X X 是取自总体X 的简单随机样本 (1)求θ的矩估计量ˆθ. (2)求ˆθ的方差ˆ().D θ2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为19,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,则()P A=_____________.二、选择题(5)设二维随机变量(,)X Y服从二维正态分布,则随机变量X Yξ=+与X Yη=-不相关的充分必要条件为(A)()()E X E Y=(B)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y-=-(C)22()()E X E Y=(D)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y+=+十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为(01)p p<<,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X,求X的数学期望()E X和方差()D X.十三、(本题满分6分)设某种元件的使用寿命X的概率密度为2()2e(;)x xf xxθθθθ-->⎧=⎨≤⎩,其中0θ>为未知参数.又设12,,,nx x x是X的一组样本观测值,求参数θ的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把(5)()2D X=,则根据车贝晓夫不等式有估计≤≥-}2)({XEXP _____________.二、选择题(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X和Y相关系数为(A) -1 (B)0(C)12(D)1十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为(01),p p<<且中途下车与否相互独立.Y为中途下车的人数,求:(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率.(2)二维随机变量(,)X Y的概率分布.十二、(本题满分7分)设2~(,)X Nμσ抽取简单随机样本122,,,(2),nX X X n≥样本均值∑==niiXnX2121,∑=+-+=niiniXXXY12)2(,求().E Y2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)设随机变量),(~2σμN X ,且二次方程42=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________.二、选择题(5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ,则(A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数 (B))(x f X )(y f Y 必为密度函数(C))(x F X ＋)(y F Y 必为某一随机变量的分布函数 (D))(x F X )(y F Y 必为某一随机变量的分布函数.十一、(本题满分7分)设维随机变量X 的概率密度为()f x =1cos 0220 xx x≤≤其它对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3π的次数,求2Y 的数学期望.十二、(本题满分7分) 设总体X 的概率分布为其中θ(102θ<<)是未知参数,利用总体X 的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3.求θ的矩估计和最大似然估计值.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (5)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =60x01x y ≤≤≤其它,则=≤+}1{Y X P .(6)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则μ的置信度为0.95的置信区间是 . (注:标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 二、选择题(6)设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>,则 (A)2~()Y n χ (B)2~(1)Y n χ- (C)~(,1)Y F n (D)~(1,)Y F n 十一 、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 十二 、(本题满分8分) 设总体X 的概率密度为()f x =2()2e 0x θ-- 0x x θ>≤ 其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ,记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1)求总体X 的分布函数()F x .(2)求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ.(3)如果用θˆ作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ . 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu (B)21α-u(C)21α-u (D) α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ= (B)21Cov(,)X Y σ=(C)212)(σnn Y X D +=+ (D)211)(σnn Y X D +=- (22)(本题满分9分)设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ (23)(本题满分9分)设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从X ,,2,1 中任取一个数,记为Y , 则}2{=Y P =____________.二、选择题(13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则(A)0.2,0.3a b == (B)0.4,0.1a b == (C)0.3,0.2a b == (D)0.1,0.4a b ==(14)设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,则(A))1,0(~N X n (B)22~()nS n χ(C))1(~)1(--n t SXn (D)2122(1)~(1,1)nii n X F n X=--∑(22)(本题满分9分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y = 10 01,02x y x<<<<其它求:(1)(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X . (2)YX Z-=2的概率密度).(z f Z(23)(本题满分9分)设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,为样本均值,记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求:(1)i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =. (2)1Y 与n Y 的协方差1Cov(,).n Y Y数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则{}max{,}1P X Y ≤= .二、选择题(13)设,A B 为随机事件,且()0,(|)1P B P A B >=,则必有(A)()()P A B P A > (B)()()P A B P B > (C)()()P A B P A = (D)()()P A B P B = (14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ, 且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则(A)12σσ< (B)12σσ> (C)12μμ< (D)12μμ>(22)随机变量x 的概率密度为()()21,1021,02,,40,令其它x x f x x y x F x y ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(1)求Y 的概率密度()Y f y .(2)1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭. (23)(本题满分9分)设总体X 的概率密度为(,0)F X = 10θθ- 0112x x <<≤<其它,其中θ是未知参数(01)θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数,求θ的最大似然估计.数学(一)试卷一、选择题(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为()01p p <<,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A)23(1)p p - (B)26(1)p p - (C)223(1)p p - (D)226(1)p p -(10)设随即变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,()X f x ,()Y f y 分别表示,X Y的概率密度,则在Y y =的条件下,X 的条件概率密度|(|)X Y f x y 为(A)()X f x (B)()Y f y (C)()X f x ()Y f y (D)()()X Y f x f y 二、填空题(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________.(23)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他(1)求{2}.P X Y > (2)求Z X Y =+的概率密度.(24)设总体X 的概率密度为1,021(;),12(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他 12,,n X X X 是来自总体x 的简单随机样本,X 是样本均值(1)求参数θ的矩估计量ˆθ.(2)判断24X 是否为2θ的无偏估计量,并说明理由.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(7)设随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ,则{}max ,Z X Y =分布函数为 (A)()2F x (B) ()()F x F y (C) ()211F x --⎡⎤⎣⎦ (D) ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ (8)设随机变量()~0,1X N ,()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=,则 (A){}211P Y X =--= (B){}211P Y X =-= (C){}211P Y X =-+= (D){}211P Y X =+= 二、填空题(14)设随机变量X 服从参数为1的泊松分布,则{}2P X EX == .(22)设随机变量X 与Y 相互独立,X 的概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-,Y 的概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它,记Z X Y =+,(1)求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭.(2)求Z 的概率密度. (23)设12,,,n X X X 是总体为2(,)N μσ的简单随机样本.记11n i i X X n ==∑,2211()1n ii S X X n ==--∑,221T X S n =- (1)证明T 是2μ的无偏估计量. (2)当0,1μσ==时 ,求DT .2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(7)设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ ⎪⎝⎭,其中()x Φ为标准正态分布函数,则EX =(A)0 (B)0.3 (C)0.7 (D)1(8)设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布()0,1N ,Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====,记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数,则函数()Z F z 的间断点个数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 二、填空题(14)设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本,X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2X kS +为2np 的无偏估计量,则k = .(22)袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(1)求{}10p X Z ==. (2)求二维随机变量(),X Y 概率分布(23)设总体X 的概率密度为2,0()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他,其中参数(0)λλ>未知,1X ,2X ,…n X 是来自总体X 的简单随机样本.(1)求参数λ的矩估计量. (2)求参数λ的最大似然估计量.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(7)设随机变量X的分布函数()F x = 00101,21e 2x x x x -<≤≤->则{1}P X ==(A)0 (B)1 (C)11e 2-- (D)11e --(8)设1()f x 为标准正态分布的概率密度2,()f x 为[1,3]-上均匀分布的概率密度,()f x =12()()af x bf xx x ≤> (0,0)a b >>为概率密度,则,a b 应满足(A)234a b += (B)324a b += (C)1a b += (D)2a b +=二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (14)设随机变量X 概率分布为{}(0,1,2,),!CP X k k k === 则2EX = . (22)(本题满分11分)设二维随机变量()X Y +的概率密度为2222(,)e ,,,x xy y f x y A x y -+-=-∞<<∞-∞<<∞求常数及A 条件概率密度|(|).Y X f y x(23)(本题满分11 分) 设总体X 的概率分布为其中(0,1)θ∈未知,以i N 来表示来自总体X 的简单随机样本(样本容量为n )中等于i 的个数(1,2,3),i =试求常数123,,,a a a 使31i i i T a N ==∑为θ的无偏估计量,并求T 的方差.212011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题7、设)()(21x F x F 为两个分布函数，且连续函数)()(21x f x f 为相应的概率密度，则必为概率密度的是（ ）A )()(21x f x fB )()(212x F x fC )()(21x F x fD )()(21x F x f +)()(12x F x f8、设随机变量Y X ,相互独立，且EY EX ,都存在，记{}Y X U ,max ={}Y X V ,min =，则=EUV （ ）A EV EU ⋅B EY EX ⋅C EY EU ⋅D EV EX ⋅二、填空题14、设二维随机变量)0,,,,(~),(22σσμμN Y X ，则____________)(2=XY E22、设随机变量X 与Y 的概率分布分别为且{}122==Y X P求（1）二维随机变量（X ，Y ）的概率分布； （2）XYZ=的概率分布（3）X 与Y 的相关系数XY ρ23、（本题满分11分）设n X X X 21,是来自正态总体),(20σμN 的简单随机样本，其中0μ已知，02>σ未知.2,S X 为样本均值和样本方差. 求（1）求参数2σ的最大似然估计Λ2σ(2) 计算E Λ2σ和D Λ2σ222012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：（7）设随机变量x 与y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}=<y x p （）1124()()() ()5355A B C D（8）将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）1)(21)(21)(1)(--D C B A二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （14）设,,A B C 是随机事件，,A C 互不相容，1()2P AB =,1()3P C =,则()P AB C -=________。
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2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞（-,+）连续，其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】(C)【考点】拐点的定义 【难易度】★★【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由()f x ''的图形可知，曲线()y f x =存在两个拐点，故选(C).2、设21123x x y e x e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解，则（）（A ）3,1, 1.a b c =-=-=- （B ）3,2, 1.a b c ===- （C ）3,2, 1.a b c =-== （D ）3,2, 1.a b c === 【答案】(A)【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★ 【详解】211,23x xe e -为齐次方程的解，所以2、1为特征方程2+0a b λλ+=的根，从而()123,122,a b =-+=-=⨯=再将特解x y xe =代入方程32x y y y ce "-'+=得： 1.c =-3、若级数1n n a ∞=∑条件收敛，则x =3x =依次为幂级数()11nn n na x ∞=-∑的：（A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点（C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点 【答案】(B)【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★【详解】因为1nn a∞=∑条件收敛，故2x =为幂级数()11nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，进而得()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为()0,2，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故()11nn n na x ∞=-∑的收敛区间仍为()0,2，因而x =3x =依次为幂级数()11nn n na x ∞=-∑的收敛点、发散点.4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（B）24(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰（C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（D）34(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰【答案】(D)【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★ 【详解】由y x =得，4πθ=；由y =得，3πθ=由21xy =得，22cos sin 1,r r θθ==由41xy =得，24cos sin 1,r r θθ==所以34(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr ππθθθ=⎰⎰⎰5、设矩阵21111214A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{1,2}Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω（C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【考点】非齐次线性方程组的解法 【难易度】★★【详解】[]()()()()2211111111,12011114001212A b a d a d a d a a d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦Ax b =有无穷多解()(,)3R A R A b ⇔=< 1a ⇔=或2a =且1d =或2d =6、设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)P e e e =，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为（A ）2221232y y y -+ （B ）2221232y y y +- （C ）2221232y y y -- （D ）2221232y y y ++ 【答案】(A)【考点】二次型 【难易度】★★【详解】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-且：200010001T P AP ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦所以222123()2T T T f x Ax y Q AA y y y y ===-+，故选(A)7、若,A B 为任意两个随机事件，则（A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥（C ）()()()2P A P B P AB +≤（D ）()()()2P A P B P AB +≥【答案】(C)【考点】【难易度】★★【详解】)()(),()(AB P B P AB P A P ≥≥()()()2P A P B P AB +∴≤故选（C ）8、设随机变量X,Y 不相关，且2,1,3,EX EY DX ===则()2E X X Y +-=⎡⎤⎣⎦ （A ）-3 （B ）3 （C ）-5 （D ）5 【答案】(D) 【考点】【难易度】★★★ 【详解】二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、20ln cos limx xx →=【答案】12-【考点】极限的计算 【难易度】★★【详解】2222200001ln cos ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim 2x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- 10、2-2sin ()1cos xx dx xππ+=+⎰【答案】24π【考点】积分的计算 【难易度】★★【详解】2220-2sin ()21cos 4x x dx xdx xππππ+==+⎰⎰ 11、若函数(,)z z x y =由方程+cos 2ze xyz x x ++=确定，则(0,1)dz =.【答案】【考点】隐函数求导 【难易度】★★【详解】令(,,)cos 2zF x y z e xyz x x =+++-，则1sin x F yz x '=+-，y F xz '=，z F xy '=，又当0,1x y ==时，0z =，所以(0,1)1x z F z x F '∂=-=-'∂，(0,1)0y z F zy F '∂=-='∂，因而(0,1)dz dx =-12、设Ω是由平面1x y z ++=与三个坐标平面所围成的空间区域，则 【答案】14【考点】三重积分的计算 【难易度】★★★【详解】由轮换对称性，得其中D z 为平面z =z 截空间区域W 所得的截面，其面积为121-z ()2.所以 13、n 阶行列式2002-1202002200-12=【答案】122n +-【考点】行列式的计算 【难易度】★★★【详解】按第一行展开得14、设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布(1,0,1,1,0)N ，则(0)P XY Y -<=.【答案】12【考点】【难易度】★★ 【详解】(,)~(1,0,1,1,0)X Y N ，~(1,1),~(0,1),X N Y N ∴且,X Y 独立1~(0,1)X N ∴-，}{}{0(1)0P XY Y P X Y -<=-<三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++⋅，3()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求a ，b ，k 值。
【考点】等价无穷小量，极限的计算 【难易度】★★★【详解】()ln(1)sin f x x a x bx x =+++⋅3()()f x g x kx ∴=与是等价无穷小16、（本题满分10分）设函数在()f x 定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成的区域的面积为4，且(0)2f =，求()f x 的表达式. 【考点】微分方程 【难易度】★★★ 【详解】如下图：0x x =处的切线方程为l ：000()()()y f x x x f x '=-+l 与x 轴的交点为：0y =时，000()()f x x x f x =-'，则000()()f x AB x x f x ==-'，因此，000011()()()422()f x S AB f x f x f x =⋅=='.即满足微分方程：218y y '=，解得：118x c y =-+. 又因(0)2y =，所以12c =，故84y x=-. 17、（本题满分10分）已知函数xy y x y x f ++=),(，曲线3:22=++xy y x C ，求),(y x f 在曲线C 上的最大方向导数.【考点】方向导数，条件极值 【难易度】★★★【详解】根据方向导数与梯度的关系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模.，故故),(y x f 在曲线C 上的最大方向导数为()22)1(1x y +++，其中y x ,满足322=++xy y x ，即就求函数22)1()1(x y z +++=在约束条件0322=-++xy y x 下的最值. 构造拉格朗日函数=),,(λy x F )3()1()1(2222-++++++xy y x x y λ令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++=∂∂=+++=∂∂=+++=∂∂0302)1(202)1(222xy y x F x y y yF y x x x Fλλλλλ可得)1,1(),1,1(--)2,1(),2,2(,-- 其中)2,1(9)1,2(,0)1,1(,4)1,1(-==-=--=z z z z 综上根据题意可知),(y x f 在曲线C 上的最大方向导数为3. 18、（本题满分10分）(Ⅰ)设函数(),()u x v x 可导，利用导数定义证明(Ⅱ)设函数12(),()...()n u x u x u x 可导，12()()()...(),n f x u x u x u x =写出()f x 的求导公式.【考点】导数定义 【难易度】★★ 【详解】()I19、（本题满分10分）已知曲线L的方程为,z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩起点为A，终点为(0,B ，计算曲线积分2222()()()LI y z dx zx y dy x y dz =++-+++⎰【考点】曲线积分的计算【难易度】★★★【详解】曲线L的参数方程为cos ,,cos ,x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩θ从2π到2π-20、（本题满分11分） 设向量组123,,ααα是3维向量空间3的一个基，11322k βαα=+，222βα=，313(1)k βαα=++。