代数系统部分作业 答案
最全线性代数习题及参考答案
第一章：一、填空题：1、若a a D ij n ==||，则=-=||ij a D ；解：a a a a a D aa a a a D n nnn nnnn nn )1(11111111-=----=∴==2、设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式132213321x x x x x x x x x = ； 解：方程023=+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为：a d x x x a c x x x x x x ab x x x ///321133221321-==++-=++所以方程03=++q px x 的三个根与系数之间的关系为：q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210033)(3321221321333231132213321=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x3、行列式1000000019980001997002001000= ；解：原式按第1999行展开：原式=!19981998199721)1(0001998001997002001000219981999-=⨯⨯⨯-=+++4、四阶行列式4433221100000a b a b b a b a = ； 解：原式按第一行展开：原式=))(()()(000004141323243243214324321433221433221b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=-5、设四阶行列式cdb a a cbda dbcd c ba D =4，则44342414A A A A +++= ；解：44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式，44342414A A A A +++=0111111111111==d a c d d c c a bd b a c bdd b c c ba6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为 ；解：n 阶行列式可写成∑-=n np p p ta a aD 2211)1(，其中t 为p 1p 2…p n 的逆序数所以五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为5341352412a a a a a 的符号，为1)1()1(5)3,1,5,4,2(-=-=-t7、在函数xx x xxx f 21112)(---=中3x 的系数是 ； 解：根据行列式结构，可知3x 须由a 11=2x ，a 33=x 和第二行的一个元素构成，但此时第三个元素只能取a 22（行、列数均不可重复），所以此式为3332211)3,2,1(2)1(x a a a t -=-，系数为-2。
图论及代数系统答案A
计算机04级代数系统及图论试题（A ）答案一、证明：（1） 由表1可得<{e,a},*>的运算表如下：（酌情给1~5分）由表可知，幺元为e ，a 的逆元为a ，显然运算满足封闭性、结合律，故<{e,a},*>是一个群。
（酌情给1~5分）（2） 设{e,a}=M ，则M 的所有左陪集有bM={a,b}，cM={b,c}，dM={c,e} （酌情给1~5分）若<G ,*>是群，则应满足 |M|⎢|G|，但|M|=2，|G|=5，故<G ,*>不是群。
（酌情给1~5分）二、证明：必要性设f 是入射。
因为f(e)=e ’，所以e ∈Ker(f)。
若另有a ∈G ，使得f(a)=e ’，则f(a)=f(e)，由于f 是入射，故必有a=e ，因此Ker(f)={e}。
（酌情给1~5分）充分性设Ker(f)={e}。
对于a,b ∈G 1，如果f(a)=f(b)，则有f(b*a -1)=f(b)∆f(a -1)=f(a)∆f(a -1)= f(a*a -1)=f(e)=e ’,故b*a -1∈Ker(f)，所以b*a -1=e ，因此有（b*a -1）*a=e*a ，即b=a ，所以f 是入射。
（酌情给1~5分） 三、(a)不是格，(b),(c),(d)都是格；（酌情给1~4分）其中(b)是有界格、分配格；(c)是有界格、分配格、有补格；(d)是有界格、有补格。
（酌情给1~6分） 四、证：设a 是L 中的任意一个元素，如果21,a a 都是a 的补元，则有)()()()()()()()(2112212221211211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ∧=∧∨∧=∨∧=∧=∧∨∧=∨∧=故有21a a =。
（酌情给1~10分）其它正确的证明方法。
（酌情给1~10分） 五、解：G 与G 的并为完全图K n ，因为n 为奇数，所以K n 中每个顶点的度为n-1，为偶数。
代数系统基础习题及答案
习题71.有理数集Q 和Q 上定义的下列运算*是否构成一个代数系统。
(1)()1*2a b a b =+ (2)()2*a b a b =-(3)2*2a b b =+(4)*10a ba b +=解答：（1）是。
（2）否。
运算不封闭（3）否。
运算不封闭（4）是2.设集合{1,2,3,,10}A = ，判断下面定义的运算关于集合A 是否封闭。
(1)*max{,}x y x y = (2)*min{,}x y x y = (3)*gcd{,}x y x y =，即x y ，的最大公约数(4)*{,}x y lcm x y = ，即x y ，的最小公倍数解答：(1)封闭。
*运算满足交换律、结合律，单位元为10，零元为1。
(2)封闭。
*运算满足交换律、结合律，单位元为1，零元为10。
(3)封闭。
*运算满足交换律、结合律，单位元不存在，零元为1。
(4)不封闭。
3.设{1,2,3,4,6,12}A =，A 上的运算*定义为:*=a b a b - （1）写出二元运算*的运算表。
（2）A 和*能构成代数系统吗？为什么？解答：（1）运算表如下*12346121012351121012410321013943210286543206121110986（2）不能。
0,5,8,9,10,11不是A 中的元素，运算不封闭。
4.考虑有理数集Q ，设*是如下定义的Q 上的运算：*a b a b ab=+-(1)求3*4,2*(-5)和7*1/2。
(2)*在Q 上可结合吗？*在Q 上可交换吗？(3)求Q 上关于运算*的单位元。
(4)集合Q 上所有元素都有逆元吗？若有逆元，请求出。
解答：(1)3434125*=+-=-，2(5)25107*-=-+=，71271721*=+-=。
(2)()()a b c a b ab c a b c ab ac bc abc**=+-*=++---+()()a b c a b c bc a b c ab ac bc abc **=*+-=++---+即()()a b c a b c **=**。
离散数学——代数结构_作业部分答案
第四章代数结构（作业）作业：P86：4、7、94、（1）若a和b是整数，则a+b+ab也是整数，故a*b也是整数，所以运算*是封闭的。
（2）任选整数集合中的三个元素x,y和z。
则有：(x*y)*z = (x+y+xy)*z= (x+y+xy)+z+(x+y+xy)×z= x+y+z+xy+xz+yz+xyzx*(y*z) = x*(y+z+yz)= x+(y+z+yz)+x×(y+z+yz)= x+y+z+yz+xy+xz+xyz= (x*y)*z因此，*运算满足结合律。
（3）假设e为（Z,*）的幺元，则有：任选整数集中的一个元素x，都有0*x = 0+x+0×x=x且x*0 = x+0+x×0=x故0是(Z,*)的幺元。
7、N+上的所有元素都是（N+ ,*）等幂元；（N+ ,*）无幺元；（N+ ,*）的零元为1。
9、（A,*）中的等幂元：a、b、c、d；（A,*）中的幺元：b；（A,*）中的零元：c；a-1 = d，b-1 = b，c-1 不存在，d-1 = a，作业：P87：12、13、1812、（A，*）到（N4,⊕4）的同构映射f为：f(a)=0, f(b)=1, f(c)=2, f(d)=3;或者：f(a)=0, f(b)=3, f(c)=2, f(d)=1;13、同构映射f为：f(0)=∅, f(1)={a}, f(2)={b}, f(3)={a,b};或者：f(0)=∅, f(1)={b}, f(2)={a}, f(3)={a,b};18、任选a ∈N +,b ∈N +, 只需证明f(a+b)=f(a)+f(b)由f 的定义可知：f(a+b)=2a+2b=f(a)+f(b)，故f 是（N +,+）到(E +,+)的同态映射。
作业：P96：3，P97：73、(1)显然，*运算对Z 是封闭的。
(2) (a*b)*c = (3(a+b+2)+ab)*c= 3((3(a+b+2)+ab)+c+2)+(3(a+b+2)+ab)×c = 3(3a+3b+c+ab+8+ac+bc+2c)+abc = 3(3a+3b+3c+ab+ac+bc+8)+abca*(b*c) = a*(3(b+c+2)+bc)= 3(a+(3(b+c+2)+bc)+2)+a(3(b+c+2)+bc) = 3(a+3b+3c+bc+8+ab+ac+2a)+abc = 3(3a+3b+3c+ab+ac+bc+8)+abc= (a*b)*c故*运算满足结合律。
离散数学章节练习4
离散数学章节练习4K E Y(总5页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除离散数学 章节练习 4范围：代数系统一、单项选择题 1. <G,*>是群，则对* ( A ) A 、有单位元，可结合 B 、满足结合律、交换律 C 、有单位元、可交换 D 、有逆元、可交换2. 设N 和Z 分别表示自然数和整数集合，则对减法运算封闭的是 ( B )A 、NB 、{x ÷2|x ∈Z}C 、{x|x ∈N 且x 是素数}D 、{2x+1| x ∈Z }3. 设Z 为整数集，A 为集合，A 的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是群的代数系统的有 ( B ) A.〈Z ，+，÷〉 B.〈Z ，÷〉 C.〈Z ，－，÷〉 D.〈P(A)，⋂〉 4. 设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >是 ( B ) A 、半群，但不是独异点； B 、只是独异点，但不是群； C 、群； D 、环，但不是群。
5. 设f 是由群<G,☆>到群<G ',*>的同态映射，则ker (f)是 ( B ) A 、G '的子群 B 、G 的子群 C 、包含G ' D 、包含G 6. 在整数集Z 上,下列哪种运算不是封闭的 ( C ) A + B - C ÷ D X 7. 设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >是 ( B )A 、半群，但不是独异点；B 、只是独异点，但不是群；C 、群；D 、环，但不是群。
8. 设R 是实数集合，“⨯”为普通乘法，则代数系统<R ，×> 是（ A ）。
A ．群； B ．环； C ．半群 Ｄ.都不是 9. 设︒是集合S 上的二元运算，如果集合S 中的某元素eL,对∀x ∈S 都有 eL ︒x=x ,则称eL 为 ( C ) A 、右单位元 B 、右零元 C 、左单位元 D 、左零元 10. <Z,+> 整数集上的加法系统中0是 ( A ) A 单位元 B 逆元 C 零元 D 陪集 11. 若V=<S,︒>是半群，则它具有下列那些性质 ( A ) A 、封闭性、结合性 B 、封闭性、交换性 C 、有单位元 D 、有零元 二、判断题 1．若半群<S,*>含有零元，则称为独异点。
第8章习题答案
习题81.设S＝{a，b}，试问S上总共可定义多少个二元运算？解由于S是n元集，则S×S应有n2个元素，S上的一个二元运算就是S×S到S的函数，这样的函数有个2n n，因此S＝{a，b}上的二元运算有222＝16个。
2.分别给出满足下列条件的代数系统。
(1)有幺元。
(2)有零元。
(3)同时有幺元和零元(代数系统元素个数大于1)。
(4)有幺元，但无零元。
(5)有零元，但无幺元。
(6)运算不可交换。
(7)运算不可结合。
(8)有左零元，无右零元。
(9)有右幺元，无左幺元。
(10)有幺元，每个元素有逆元。
解给出的例子如下所示：(1)、(2)、(10) (3) (4) (5)、3.S＝Q×Q S<a，b b>。
(1)运算*是否满足交换律和结合律？是否满足幂等律？(2)关于运算*是否有幺元和零元？如果有，请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。
解 (1)因为<0，0>*<1，1>＝<0，0>，<1，1>*<0，0>＝<0，1>，则有<0，0>*<1，1>≠<1，1>*<0，0>，所以运算*不满足交换律。
因为(<a，b>*<x，y>)*<u，w>＝<ax，ay＋b>*<u，w>＝<axu，axw＋ay＋b>，<a，b>*(<x，y>*<u，w>)＝<a，b>*<xu，xw＋y>＝<axu，axw＋ay＋b>，所运算*满足结合律。
因为<1，1>*<1，1>＝<1，2>≠<1，1>，所以运算*不满足幂等律。
(2)因为<a，b>*<1，0>＝<a，b>，<1，0>*<a，b>＝<a，b>，所以关于运算*存在幺元<1，0>。
离散习题代数系统部分答案
离散习题代数系统部分答案1(共3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《离散数学》代数系统1.以下集合和运算是否构成代数系统如果构成，说明该系统是否满足结合律、交换律求出该运算的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.1)P(B)关于对称差运算⊕，其中P(B)为幂集.构成代数系统；满足结合律、交换律；幺元φ；无零元；逆元为自身。
2)A={a,b,c}，*运算如下表所示：构成代数系统；满足结合律、交换律；无幺元；无逆元；零元b.2.设集合A={a,b}，那么（1）在A上可以定义多少不同的二元运算（2）在A上可以定义多少不同的具有交换律的二元运算24个不同的二元运算；23个不同的具有交换律的二元运算3.设A={1,2},B是A上的等价关系的集合.1)列出B的元素.2元集合上只有2种划分，因此只有2个等价关系，即B={I A，E A}2)给出代数系统V=<B,∩>的运算表.3)求出V的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.幺元E A、零元I A；只有E A可逆，其逆元为E A.4)说明V是否为半群、独异点和群V是为半群、独异点，不是群4.设A={a,b,c}，构造A上的二元运算*，使得a*b=c,c*b=b，且*运算满足幂等律、交换律.1)给出关于*运算的一个运算表.其中表中位置可以是a、b、c。
2)*运算是否满足结合律，为什么不满足结合律；a*（b*b）=c ≠（a*b）*b=b5.设<R，*>是一个代数系统。
*是R上的一个二元运算，使得对于R(实数集合)中的任意元素a,b都有a*b=a+b+a·b(·和+为数集上的乘法和加法).证明：:<R，*> 是独异点.6.如果<S,*>是半群，且*是可交换的.证明：如果S中有元素a,b,使得a*a=a和b*b=b，则(a*b)*(a*b)=a*b.(a*b)*(a*b)= a*(b*a)*b 结合律= a*( a*b)*b 交换律= (a* a)*(b*b)= a*b.7.设<G,·,–1,e>是一个群,则a,b,c∈S。
离散数学第二版答案(6-7章)
离散数学第二版答案(6-7章)LT第六章 代数系统6.1第129页1． 证明：任取,x y I ∈，(,)*(,)g y x y x y x yx x y xy g x y ==+-=+-=，因此，二元运算*是可交换的； 任取,,x y z I ∈，(,(,))*(*)*()()g x g y z x y z x y z yz x y z yz x y z yz x y z xy xz yz xyz==+-=++--+-=++---+((,),)(*)*()*()(,(,))g g x y z x y z x y xy zx y xy z x y xy z x y z xy xz yz xyz g x g y z ==+-=+-+-+-=++---+=因此，运算*是可结合的。
该运算的么元是0，0的逆元是0，2的逆元是2，其余元素没有逆元。
2．证明：任取,,x y N x y ∈≠，由*,*x y x y x y x ==≠知，**y x x y ≠，*运算不是可交换的。
任取,,x y z N ∈，由(*)**x y z x z x ==，*(*)*x y z x y x ==知，(*)**(*)x y z x y z =，*运算是可结合的。
任取x N ∈，*x x x =，可知N 中的所有元素都是等幂的。
*运算有右么元，任取,x y N ∈，*x y x =，知N 中的所有元素都是右么元。
*运算没有左么元。
证明：采用反证法。
假定e 为*运算的左么元，取,b N b e ∈≠，由*的运算公式知*e b e =，由么元的性质知，*e b b =，得e b =，这与b e ≠相矛盾，因此，*运算没有左么元。
3．解： ① 任取y x I y x ≠∈,,的最小公倍数和y x y x =*的最小公倍数和的最小公倍数和y x x y x y ==*因此对于任意的y x I y x ≠∈,,都有x y y x **=，即二元运算*是可交换的。
第五章部分答案
运算表：° f1 f2 f3 f4
f1 {<1,1>,<1,2>} {<2,1>,<2,2>} {<1,1>,<1,2>} {<2,1>,<2,2>}
答：由运算表知运算是可以交换的
因为a*a=a , b*b=b, c*c=c因此是幂等的
因为a*c=c*a=c , a*b=b*a=b, a*a= a因此含有幺元a
因为a*a=a因此a有逆元a,其余元素都没有逆元.
5.10设V1=<{0,1,2},。>,V2=<{0,1},*>,其中。表示模3加法，*表示模二乘法，试构造积代数V1V2的运算表，并指出积代数的幺元。
f5(<x,y>)=min{x,y},：是二元运算，可交换，可结合，没有幺元，没有零元.
f6(<x,y>)=|x-y|.：是二元运算，可交换，不可结合，有幺元0，没有零元.
5.5设V={R+,•},其中•为普通乘法。对任意xR+令1(x)=x.2(x)=2x.3(x)=x•x.4(x)=1/x.5(x)=-xi.其中有④个是V的自同态，它们是⑨，有①个是单自同态，而不是满自同态，①个是满自同态，而不是单自同态，④个是自同构。
f1x1/x1-x1/(1-x)(x-1)/xx/(x-1)
f21/xx1/(1-x)1-xx/(x-1)(x-1)/x
代数系统
代数系统一、选择题：1、下列正整数集的子集在普通加法运算下封闭的是（ D ）A 、{30x x ≤}B 、{x x 与30互质}C 、{x x 是30的因子}D 、{x x 是30的倍数}2、设S={1，2，…，10 }，则下面定义的运算*关于S 非封闭的有（ D ）A 、x*y=max(x ,y)B 、x*y=min(x ,y)C 、x*y=取其最大公约数D 、x*y= 取其最小公倍数3、设集合A 的幂集为()A ρ，-⨯I U 、、、为集合的交、并、差、笛卡尔乘积运算，则下列系统中是代数系统的为（ D ）A 、()A ρI ,B 、()A ρU ,C 、(),A ρ-D 、(),A ρ⨯4、在自然数集上定义的下列四种运算，其中满足结合律的是（C ）A 、a b a b *=-B 、||a b a b *=-C 、max{,}a b a b *=D 、2a b a b *=+5、设Z +为正整数集，*表示求两数的最小公倍数，对代数系统*A Z +=,，有（ A ）A 、1是么元，无零元B 、1是零元，无么元C 、无零元，无么元D 、无等幂元6、设非空有限集S 的幂集为()S ρ，对代数系统()A S ρ=I ,，有（ B ）A 、Φ是么元，S 是零元B 、Φ是零元，S 是么元C 、唯一等幂元D 、无等幂元7、在有理数集Q 上定义的二元运算*： xy y x y x -+=*，则Q 中元素满足（ C ）A 、都有逆元B 、只有唯一逆元C 、1x ≠时，有逆元D 、都无逆元8、设R 是实数集合，“⨯”为普通乘法，则代数系统<R ，×> 一定不是（ D ）A 、半群B 、独异点C 、可交换的独异点D 、循环独异点9、设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >（ B ）A 、是半群，但非独异点B 、是独异点，但非群C 、是群，但非阿贝尔群D 、是阿贝尔群10、任意具有多个等幂元的半群，它（A ）A 、不能构成群B 、不一定能构成群C 、能构成群D 、能构成阿贝尔群二、填充题：1、下表中的运算均定义在实数集上，请在相应的空格中打“√”或填上具体实数（不满足2、设(6)。
北大版-线性代数部分课后答案详解
2•用行列式的泄义证明习题1.2：如如如如1 •写岀四阶行列式中幻I'2勺3"24含有因子的项“3】a 32 a 33a 34«41勺 2«43仙解：由行列式的泄义可知，第三行只能从@2、中选，第四行只能从厲2、中选，所 以所有的组合只有（-l ）f （，324）如给角2知或（-1）"网 a H a 23a 34a 42，即含有因子勺］“23的项为一如吹32% 和 a H a 23a 34a 42证明：第五行只有取他「山2整个因式才能有可能不为°,同理，第四行取“42,第三 行取①I 、©2，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0 •以第 五行为参考，含有的因式必含有0,同理，含有的因式也必含有0“故所有因式都为0 •原命题得证・。
3 •求下列行列式的值:0 1 0♦ • ♦0 •… 0 1 00 02 ♦ • 00 ... 2 0 0(1)■ ■ ■ ■■ ；（2）• • ■ • • •0 00 • • ”一〃 一 1 0 0 0n 0 0 • •• 00 …0 H0 1 0 ♦ • • 00 2• • • 0解：（1） ■ ■ ■■ ■ ■ ■■ ■/lX r(234...nl)=("1)Ix2x3x--•xn =(-1)*"1 n\0 0 ・•・//-In 0 0 • • • 0a 2l0 01 0 0 ■ …2 • •0 ■ 0 ■■ ”一• • …0 • 0 ■0 0 00 n=(-1)侶心5)» B= 如■ •“22 ■■f 1-n…5少…如尸■5肝・・・a nn证明:A=BoE (T 严•”%叫2…％沪Wi"叫z (T 严％%…讣A 叩2・・％和巾 时2 ••叭和巾命题得证。
5•证明：如下2007阶行列式不等于61 2 …2006 200722 32 …20072 2OO82 D=33 • 43 • …20083 • • 20083■• ■■ •• • • •■ ■证明：最后一行元素，除去2007*”是奇数以外，其余都是偶数，故含2008^7的因式也都 是偶数。
代数系统
代数系统一、单项选择题：1．设集合A={1,2,…,10}，在集合A上定义的运算，不是封闭的为（）。
（A）∀a, b∈A，a*b=lcm{a, b}（最小公倍数）（B）∀a, b∈A，a*b=gcd{a, b}（最大公约数）（C）∀a, b∈A，a*b=max{a, b}（D）∀a, b∈A，a*b=min{a, b}2．下列代数系统<G, *>（其中*是普通加法运算）中，（）不是群。
（A）G为整数集合（B）G为偶数集合（C）G为有理数集合（D）G为自然数集合3．在自然数N上定义的二元运算◦，满足结合律的是（）。
（A）a◦b=a- b（B）a◦b=a+4b（C）a◦b= min{a, b} （D）a◦b=| a- b|4．在布尔代数L中，表达是(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是（）。
（A）b∧(a∨c) （B）(a∧c)∨(a∧b)（C）(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c) （D）(b∨c)∧(a∨c)5．设集合A={a, b, c}，代数系统G=<{∅, A}, ⋃>和H=<{{a, b}, A}, ⋃>同构的映射是（）。
（A）f : G→H, f (A)=∅, f ({a, b})=A（B）f : G→H, f (∅)=A, f (A)={a, b}（C）f : G→H, f ({a, b})=∅, f (A)=A（D）f : G→H, f (∅)={a, b}, f (A)=A6．同类型的代数系统不具有的特征是（）。
（A）子代数的个数相同（B）运算的个数相同（C）相同的构成成分（D）相同元数的运算个数相同7．下列图表示的偏序集中，是格的为（）。
（A）（B）（C）（D）8．下列各代数系统中不含有零元素的是（）。
（A）<Q, *>，Q是全体有理数集，*是普通乘法运算（B）<M n(R), *>，M n(R)是全体阶n实矩阵集合，*是矩阵乘法运算（C）<Z, *>，Z是整数集，*定义为x*y=xy, x, y∈Z（D）<Z, +>，Z是整数集，+是普通加法运算9．设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A)，+,-,/为数的加、减、除运算，⋂为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有（）。
线性代数(含全部课后题详细答案5-1.
称为通解。
4. 解的结构
AX 0 的通解是 x k11 k22 knr n。
4 7
4 7
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
x1
13 7
3 7
x3
13 7
x4
x2
4 7
2 7
x3
4 7
x4
25
13 7
令 x3 x4 0,
得
4 7
0
0
又原方程组对应的齐次方程组的通解是
x1 x3
2x2 3
10 x4
1 5
x4
令
x2 x4
1
0
得
1
1 0 0
1
5
令
x2
x4
0
1
得
2
0 3
10 1
2
举例说明消元法具体步骤：
例1：解线性方程组
2 4
x1 x1
2 x1
2 1 3
解：(
A,
b)
4 2
离散数学答案 第八章 代数系统
第八章 代数系统习题8.11．解 ⑴是，⑵不是，⑶是，⑷不是。
2．解 若﹡对 是可分配的，则有任意a,b,c ∈*I,均有a ﹡(b c)=(a ﹡b) (a ﹡c)= a b ac =( a b ⋅ a c )= a b+c而a ﹡(b c)=a ﹡(b ⋅c)= a b ⋅c ≠a b+c 故﹡对 是不可分配的。
3．解 ⑴对于任意A ∈P(S), 因为A ⊆S ，所以，A ⋃S =S ，因此，S 是关于⋃运算的零元； ⑵对于任意A ∈P(S), 因为A ⊆S ，所以，A ⋂S = A ，因此，S 是关于⋃运算的零元单。
4．解 ⑴①因为x*y=xy-2x-2y+6，则y*x=yx-2y-2x+6= x*y ，满足交换律； ②任意x,y,z ∈R 有x*(y*z)=x*(yz-2y-2 z +6)=x(yz-2y-2 z +6)-2x-2(yz-2y-2z+6)+6 =xyz-2xy-2xz+6x-2x -2yz+4y+4z-12+6= xyz-2xy-2xz-2yz+4x+4y+4z-6. (x*y)*z=(xy-2x-2y+6) *z =(xy-2x-2y+6)z-2(xy-2x-2y+6)-2z+6 =xyz-2xz-2yz+6z-2xy+4x+4y-2z-6=x*(y*z). 故满足结合律。
(2) ①设任意a ∈R,存在e ∈R,要e*a= ea-2e-2a+6=a ，由于a 的任意性则e=3。
因此e=3是其单位元;②设任意b ∈R, z ∈R ，要有z*b= zb-2 z-2b+6= z ，由于b 的任意性则z=2，因此 z=2是其零元。
（3）因为*是满足交换律，对于x ∈R ，要存在1-x ∈R ，须有x*1-x= x 1-x-2x-21-x+6= e=3, 当x ≠2时，2321--=-x x x。
即对于任意的x ，当x ≠2时x 都是可逆的，且2321--=-x x x。
5．解 f 1,f 2,f 3都满足交换律，f 4满足等幂率，f 2有单位元a ，f 1有零元a ，f 3有零元b 。
习题与解答(代数系统) 离散答案
第十章
15、17、18、21、22、24、27、28、29。
2
15、设 G 为群，若 x ∈G 有 x =e, 证明 G 为交换群 证明： a, b ∈G 由条件 x ∈G 有 x =e
2
所以 a =e ,b =e (ab) =e ,即(ab)(ab)=e 所以 a =a, b =b, ba= a b
下面证明 φ(G1)是是循环群 y∈f(G1), x ∈G1 , 使得 f(x)=y. 而 G1=<a> 所以 存在 r 使得 x= a
r r
则 y = f(x) = f(a ) = f(a)f(a)……f(a) =(f(a)) 这证明了 f(a)为 f(G1)的生成元。即 f(G1)=< f(a)> 所以 f(G1)为循环群。 28、设 G=<a>是 15 阶循环群。 (1) 求出 G 的所有的生成元。 (2) 求出 G 的所有子群。 解：(1) 生成元为: a,a ,a ,a ,a ,a ,a ,a (2) G 的所有子群: 共 4 个子群 <e>, <a >={e,a ,a ,a ,a },
-1 -1
21、设 G 为群，a 是 G 中给定元素，a 的正规化子 N(a)表示 G 中与 a 可交换的元素构成的集合，即 N(a)={x| x∈G∧xa=ax } 证明：N(a)是 G 的子群 证明: (1) a∈N(a), 所以 N(a)非空(因为 a∈G∧aa=aa) (2) x,y ∈N(a) 则 xa=ax ya=ay
-1
-1
-1
=-a
-1 -1
-1
(2) 由于 (ab)(b a )= a(bb )a = aa = 1 所以 (ab)
（精选）线性代数课后作业及参考答案
（精选）线性代数课后作业及参考答案《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003，则A-1等于（）A.130012001B.100120013C. 1 3 00 010 00 1 2D. 1 2 00 10013.设矩阵A=312101214---，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解2η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<n< bdsfid="226" p=""></n<>B.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。
代数系统习题
代数系统习题第三部分：代数系统1.在代数系统,S *中，若⼀个元素的逆元是唯⼀的，其运算*必定可结合。
( )2.每⼀个有限整环⼀定是域，反之也对。
( )3.任何循环群必定是阿贝尔群，反之亦真。
( )4.设(),A ∧∨是布尔代数，则(),A ∧∨⼀定为有补分配格。
( )5.设Q 为有理数集，Q 上运算*定义为max(,)a b a b *=，则 ,Q * 是半群。
( )6.阶数为偶数的有限群中，周期为2的元素的个数⼀定为偶数。
( )7.群中可以有零元（对阶数⼤于⼀的群）。
( )8.循环群⼀定是阿贝尔群。
( )9.每⼀个链都是分配格。
( )1. 对⾃然数集合N ，哪种运算不是可结合的，运算定义为任,a b N ∈( )A. min(,)a b a b *=B. 2a b a b *=+C. 3a b a b *=+-D. a b a b *=+ (mod3)2. 任意具有多个等幂元的半群，它 ( )A. 不能构成群B. 不⼀定能构成群C. 不能构成交换群D. 能构成交换群3. 循环群33,Z +的⽣成元为[][]1,2，它们的周期为 ( )A. 5B. 6C. 3D. 94. 设是环，则下列正确的是 ( )A. 是交换群B. 是加法群C. 对*是可分配的D. *对是可分配的5. 下⾯集合哪个关于减法运算是封闭的 ( )A. NB. {2|}x x I ∈C. {21|}x x I +∈D. {x |x 是质数}6. 具有如下定义的代数系统,G ?*?，哪个不构成群 ( )A. G={1,10}，*是模11乘B. G={1,3,4,5,9}，*是模11乘C. G ＝Q(有理数集)，*是普通加法D. G ＝Q(有理数集)，*是普通乘法7. 设G ＝{23|,m n m n I *∈}，*为普通乘法．则代数系统,G ?*?的么元为 () A.不存在 B. e ＝0023? C. e ＝2×3 D. e ＝1123--?8. 任意具有多个等幂元的半群，它( A )A. 不能构成群B. 不⼀定能构成群C. 必能构成群D. 能构成交换群9. 在⾃然数集N 上，下⾯哪个运算是可结合的，对任意a,b N ∈ ( )A. a b a b *=-B. max(,)a b a b *=C. 5a b a b *=+D. ||a b a b *=-10. Q 为有理数集，Q 上定义运算*为a b a b ab *=+-，则,Q ?*?的⼳元为( )A. aB. bC. 1D. 011. 下⾯哪⼀种运算不是实数集R 上的⼆元运算？（）A.数的加B.数的减C. 数的乘 (D) 数的除12. ,G ?*?是群，则对* ( )A. 满⾜结合律、交换律B. 有单位元，可结合C. 有单位元，可交换D. 每元有逆元，有零元13. 实数集R 的下列运算，哪个满⾜结合律？ ( ) A. n m n m -= B. ()n m n m +=21 C. n m n m 2+= D. 22n m n m +=14. 下⾯哪⼀种运算不是实数集R 上的⼆元运算？ ( )(A) 数的加 (B) 数的减(C) 数的乘 (D) 数的除15. 在代数系统中，整环和域的关系为 ( )A. 整环⼀定是域B. 域下⼀定是整环C. 域⼀定是整环D. 域⼀定不是整环16. 具有如下定义的代数系统,G *，哪个不构成群 ( )A. {1,10}G =，*是模11乘B. {1,3,4,5,9}G =， *同(1)C. G Q = (有理数集)，*是普通加法D. G Q =，*是普通乘法17. Q 为有理数集，,Q ? (其中?为普通乘法)不能构成 ( )A. 群B. 独异点C. 半群D. 交换半群18.下述*运算为实数集上的运算，其中可交换且可结合的运算是 ( )（A ）a*b=a+2b （B ）a*b=a+b-ab（C ）a*b=a （D ）a*b=|a+b|19. 设I 是整数集，+，分别是普通加法和乘法，则,,I +是 ( )A. 域B. 整环和域C. 整环D. 含零因⼦环20. R 为实数集，运算*定义为：,a b R ∈，||a b a b *=，则代数系统,R *是( )A. 半群B. 独异点C. 群D. 阿贝尔群21. 对⾃然数集合N ，哪种运算不是可结合的 ( )A. min(,)a b a b *=B. 3a b a b *=++C. 2a b a b *=+D. a b a b *= (mod3)22.为有理数集，Q 上定义运算*为：a b a b ab *=+-，则,Q *的么元是( )A. aB. bC. 1D. 023. 设,H ，,K 是群,G 的⼦群，下⾯哪个代数系统仍是,G 的⼦群( )A. ,HKB. ,H KC. ,H K -D. ,K H -24. 群,R +与{0},R -? ( )A. 同态B. 同构C. 后者是的前者的⼦群D. (2)与(3)都正确25. 在⾃然数集N 上，下⾯哪种运算是可结合的 ( )A. a b a b *=-B. max(,)a b a b *=C. 2a b a b *=+D. ||a b a b *=-26. 循环群,I +的所有⽣成元为 ( )A. 1,0B. -1,2C. 1，2D. 1，-127. 任何⼀个有限群在同构的意义下可以看作是 ( )A. 循环群B. 置换群C. 变换群D. 阿贝尔群28. 下列集合关于指定的运算哪⼀个可以构成群？（）(A) 给定a >0且1≠a ，集合{}Z n a G n ∈=关于数的乘法。
离散数学习题解第二部分(代数系统)
离散数学习题解 第二部分 代数系统习题四 第四章代数系统1．设I 为整数集合。
判断下面的二元关系是否是I 上的二元运算a ）+={（x ，y ），z|x ，y ，zI 且z=x+y}b ）－={（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=x －y}c ）×={（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=x ×y}d ）/={（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=x/y}e ）R={（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=x y }f ）={（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=yx }g ）min = {（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=max （x ，y ）} h ）min = {（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=min （x ，y ）} i ）GCD = {（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z= GCD （x ，y ）} j ）LCM={（（x ，y ），z ）|x ，y ，z ∈I 且z= LCM （x ，y ）}[解] a ）是。
由于两个整数之和仍为整数，且结果唯一，故知+：I 2→I 是I 上的一个二元运算。
b ）是。
由于两个整数之差仍为整数，且结果唯一，故知一：I 2→I 是I 上的一个二元运算。
c ）是。
由于两个整数这积仍为整数，且结果唯一，故知x ：I 2→I 是I 上的一个二元运算。
d ）不是：例如若x=5，y=6，则z=x/y=5/6∉I ；当y=0时z=x|y=x/0无定义。
e ）不是。
例如若x=2，y= -2，则z=x y =2 –2=221=I 41∉；若x=y=0，则z=x y =0，则z=I 2x ∉=χ；g ）是。
由于两个整数中最大者仍为整数，且结果唯一。
故知max ：I 2→I 是I 上的一个二元运算。
h ）是。
由于两个整数中最小者仍为整数，且结果唯一。
习题与解答(代数系统)
同理可证：|bca|=|cab|
所以 |abc|=|bca|=|cab|
18、证明偶数阶群必含 2 阶元
证明：设偶数阶群为 G，不妨设|G|=2n
下面按元素的阶进行划分：
① 元素的阶为 1,只有单位元 e ,所以个数为 1 。
② 元素的阶为 2，设其构成的集合为：A
③ 元素的阶大于 2，设其构成的集合为：B
有逆元。 (4) 格与布尔代数。两个运算满足交换、相互分配、同一律、补元
律。 (5) 环与域，{0,1}关于模 2 加法构成交换群、{1}关于模 2 乘法构
成交换群，模 2 乘法关于模 2 加法有分配律。 13、设 B 是布尔代数, B 中的表达式 f 是
(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c) (1) 化简 f.
首先由定理群在同态映射下的像仍是群，
所以 f(G1)是群。
下面证明 φ(G1)是是循环群
y∈f(G1), x ∈G1 , 使得 f(x)=y. 而 G1=<a>
r
所以 存在 r 使得 x= a 则 y = f(x) = f(ar) = f(a)f(a)……f(a) =(f(a))r 这证明了 f(a)为 f(G1)的生成元。即 f(G1)=< f(a)>
14、下面各集合都是 N 的子集，它们能否构成代数系统 V=<N,+>的子代数： (1) {x|x∈N∧x 可以被 16 整除} (2) {x|x∈N∧x 与 8 互质}
(3) {x|x∈N∧x 是 40 的因子} (4) {x|x∈N∧x 是 30 的倍数}
解：(1)是 (2)不是 (3)不是 (4)是 16、设 V=<Z,+,·>，其中+和·分别代表普通加法和乘法，对下面给定的每
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代数系统部分作业 (答案)
要求：请用A4纸双面打印作业试题后，手写答题，并写清个人姓名学号等信息
姓名： 班级： 学号： 班级序号：
一. 填空
1. 令4{0,1,2,3}Z =，+4表示模4加法，则在模4加群44,Z <+>中， 2的阶数是 2 ， 3的阶数是 4 。
2. 设A ={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下： *
a b c d a
b
c
d a b c d b c d a c d a b d a b c
那么代数系统,A <*>的幺元是 a ，b 的逆元为 d ,c 的逆元为 c 。
3. 以下两个置换是5S 中的置换，其中
1234524513α⎛⎫= ⎪⎝⎭，1234554231β⎛⎫= ⎪⎝⎭
α表示成不交的轮换之积为α= (124) (35) ，
以不交的轮换之积形式写出αβ = (13452) 。
4. 下列说法错误的是 C E 。
A. 在群中消去率成立；
B. 域一定是整环；
C. ,,Z <+⨯>是域，其中Z 是整数集；
D. 设S ={1,2}，则S 在普通加法和普通乘法运算下都不封闭；
E. 阶数大于1的群中可能存在零元。
5. 设S 是非负整数集，⨯是关于数的普通乘法运算，则 B 。
A ．,S <⨯>是群；
B ．,S <⨯>是有幺元的半群；
C ．,S <⨯>是无幺元的半群；
D ．,S <⨯>不是群，也不是半群。
6. 在S 3中，元素123321a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的阶数是 2 。
二. 证明与解答
1. 设6{0,1,2,3,4,5}Z =，+6为模6加法运算。
证明：6Z 与+6运算构成群。
证明：
(1) 6,a b Z ∀∈,66a b Z +∈,所以运算+6在集合6Z 上是封闭的。
(2) 6,,a b c Z ∀∈,有6666()()a b c a b c ++=++，故运算+6是可结合的。
(3) 6a Z ∀∈, 6600a a a +=+=，故0是幺元。
(4) 0的逆元是0，对于除0外任一元素6a Z ∈,因为66(6)(6)0a a a a +-=-+=，
因此6a -是a 的逆元。
由此可知6Z 与+6运算构成群。
2. （8分）设Z 为整数集合，,V Z =<*>，*是二元运算，定义为对任意的,x y Z ∈，有2x y x y *=+-。
请证明：V 是群。
证明：（1）因为对于Z 中的任意两个元素x 与y ，满足2x y x y Z *=+-∈，即*运算在Z 上封闭；
（2）*运算可结合，对任意x 、y 、z ∈Z
x*(y*z ) = x*(y+z-2) = x+y+z -2-2=x+y+z-4
(x*y )*z = (x+y-2)*z = x+y -2+z -2= x+y+z-4
所以x*(y*z )= (x*y )*z ；
（3）对Z 中的任意元素x ，因为2*x =2+x -2=x ，x*2=x+2-2=x ，所以*运算的幺元是2；
（4）任意x ∈Z ，x *(4-x )= (4-x )*x =2，所以x 的逆元为4-x 。
由上述可知，,V Z =<*>是群。
3. 66,Z <+>是一个群，这里+6是模6加法，6{0,1,2,3,4,5}Z =，试求出66,Z <+>的所有子群及其相应陪集。
解: 取6Z 的子集1{0}S =，2{0,3}S =，3{0,2,4}S =，46{0,1,2,3,4,5}S Z ==
子群有6{0},<+>；6{0,3},<+>；6{0,2,4},<+>；6{0,1,2,3,4,5},<+>
6{0},<+>的陪集：{0}；{1}；{2}；{3}；{4}；{5}
6{0,3},<+>的陪集：{0，3}；{1，4}；{2，5}
6{0,2,4},<+>的陪集：{0，2，4}；{1，3，5}
6{0,1,2,3,4,5},<+>}的陪集：{0，1，2，3，4，5}
4. 设Z 为整数集合，,V Z =<*>，*是二元运算，定义为：x y x y xy *=+-.请证明：V 是含幺半群而不是群。
证明：（1）*运算在Z 上封闭；
（2）*运算可结合，对任意a 、b 、c ∈Z
a*(b*c ) = a*(b+c-bc ) = a+b+c-bc-a (b+c-bc ) = a+b+c-ab-ac-bc+abc
(a*b )*c = (a+b-ab )*c = a+b-ab+c-(a+b-ab )c = a+b+c-ab-ac-bc+abc
所以a*(b*c ) = (a*b )*c ；
（3）*运算的幺元是0；
（4）任意x ∈Z ，x *1=1*x =1，所以1是零元，它没有逆元。
由上述可知，故,V Z =<*>是含幺半群而不是群。