因式分解拓展题及解答(必考题型)

因式分解拓展题解

板块一：换元法

例1分解因式：(X?亠4x亠8)2亠3x(x2亠4x亠8)亠2x2

【解析】将x2 4x ^u看成一个字母，可利用十字相乘得

原式=u2 3xu 2x2 =(u x)(u 2x) = (x2 4x 8 x)(x2 4x 8 2x)

=(x2 5x 8)(x2 6x 8) = (x 2)(x 4)(x2 5x 8)

例 2 分解因式：(x2 5x - 2)( x2 5x -3)-12

【解析】方法1:将x2 5x看作一个整体，设x2，5x=t，则

2 2

原式=(t 2)(t 3) -12 =t 5t _6 =(t -1)(t 6) =(x 2)(x 3)(x 5x -1) 方法2 :将x2亠5x亠2看作一个整体，设x2亠5x亠2 = t，贝U

原式= t(t 1) —12 =t2 t —12 =(t —3)(t 4) =(x 2)(x 3)(x2 5x—1)

方法3 :将x2 5x 3看作一个整体，过程略•如果学生的能力到一定的程度，甚至连换元都不用，直接把x2 5x看作一个整体，将原式展开，分组分解即可，

2 2 2 2 2 2

则原式=(x 5x) 5(x 5x)-6=(x 5x-1)(x 5x 6) =(x 2)(x 3) (x 5x-1).

【巩固】分解因式：(x 1)(x 3)(x 5)(x 7) 15

【解析】(x 2)(x 6)( x2 8x 10)

【巩固】分解因式：(x2 x 1)(x2 x 2) -12

【解析】(x -1)(x 2)(x2 x 5)

例3证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方.

【解析】设这四个连续整数为：x 1、x 2、x 3、x 4

2 2

(x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 1 =[(x 1)(x 4)][( x 2)(x 3)] 1 =(x 5x 4)(x 5x 6) 1

4 6

u =x 5x ------------

2

2 2 2 2 2 2

原式4( x 5x 5) -1][(x 5x 5) 1] 1 =(x 5x 5) -1 1 =(x 5x 5)

【巩固】若x, y是整数，求证：x y x 2y x 3y x 4y y4是一个完全平方数.

【解析】x y x 2y x 3y x 4y i亠y4二x y x 4y ]_ [x 2y x 3y ：y4

= (x2 5xy 4y2)(x2 5xy 6y2) y4

令x2 5xy 4y2 =u

•••上式u(u ' 2y2) y4 =(u y2)2 =(x25xy ■ 5y2)2

即x y x 2y x 3y x 4y 厂y4 = (x2 5xy 5y2)2

1

例 4 分解因式(2a 5)(a 2 _9)(2a _7) _91

【解析】 原式 二[(2 a 5)(a —3)][(a 3)(2a —7)] —91 =(2a 2 —a —15)(2a 2 —a —21) — 91 设 2a 2「a _15 = x ,

原式=x(x —6) —91 =x 2 —6x —91 =(x —13)(x 7) =(2a 2 —a —28)(2a 2 —a —8)

2

=(a _4)(2a 7)(2a -a -8)

【巩固】分解因式(x 2 3x 2)(3 8x 4x 2) -90

【解析】 原式=(x 1)(x 2)(2 x 1)(2x 3)-90 =(2x 2 5x 3)(2 x 2 5x 2^90

2

y =2x 2

5x

原式=(y 3)(y 2) —90 =y 2 5y _84=(y 12)(y _7)=(2x 2 5x 12)(2 x 7)(x -1)

例 5 分解因式：4(3x 2 —x -1)(x 2 - 2x -3) -(4x 2 x -4)2

2 2 2

【解析】 咋一看，很不好下手，仔细观察发现：

(3x -x -1) - (x ・2x_3)=4x ，x-4 ,

2

2

2

故可设 3x -x -1 =A, x 2x - 3 = B ，则 4x x -4 二 A B .

2 2 2 2

故原式=4AB -(A B) - -A -B

2AB = -(A - B)

-2 2

2

2 2

二—(3x -x —1) —(x 2x —3)二-(2x -3x 2).

【巩固】 分解因式：(a b -2ab)(a b -2) ( -ab)2 【解析】由于题中以整体形式出现的式子有两个，共

4个地方，故采取换元法后会大大简

化计算过程，不妨设 a ■ b = x,ab = y ，

【解析】 则原式=(x-2y)(x-2) • (1-y)2 =x 2 -2xy • y 2 • 2y -2x

1 =(x -y)

2 -2(x -y) 1 =(x —y -1)2 =(a 亠b —ab —1)2 = (1 —a)2(1 -b)2

例 6 分解因式：(x 1)4 (x 3)4 -272 【解析】 设 y

J 1x 3*2，则原式=(y -1)4

(y 1)4

-272 =2(y 4

6y 2

1) -272 2

4 2 2 2 2

= 2(y 6y -135) =2(y -9)( y 15) =2( y 3)( y -3)(y 15)

= 2(x 5)(x -1)(x 2 4x 19)

【巩固】分解因式：a 4

44 (a-4)4

【解析】为方便运算，更加对称起见，我们令 x 二a-2

a 4 44 (a -4)4 =(x 2)4 (x -2)4 44 =(x 2 4x 4)2 (x 2 -4x 4)2 44

4 2 4 2 2 2 2 2 2 2

=2(x

24x 16) 256 =2(x

24x

144) =2(x

12) =2[(a -2) 12] =2(a -4a 16)

板块二：因式定理

因式定理：如果x =a 时，多项式a n x n - a n 」x n 」•... ■ a 1x a °的值为0 ,那么x —a 是该多项 式的一个因式. 有理根：有理根c 二P 的分子p 是常数项a °的因数，分母q 是首项系数a n 的因数.

q 例 7 分解因式：2x 3 —x 2 —5x —2 2x 2

_3x -2

【巩固】a ° = -2的因数是_1， _2， a . =2的因数是二1，二2 .

1

因此，原式的有理根只可能是 _1, -2(分母为1)，一丄.

2

因为 f (1)=2 —1 —5 —2 = —6 , f (―1) =「2 —1 5 — 2 =0 ,

—2x —2 —2x — 2 x 1 2x 3 -x 2 -5x-2

八 3丄八2 2x 2x

2

—3x — 5x

-3x 2 - 3x