圆锥曲线135个性质结论总结.pdf
圆锥曲线中常用结论和性质
焦点弦长公式：过焦点弦长121222p p PQ x x x x p =+++=++ 抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2οοy py 或2(2,2)P pt pt 或P οοοοpx y y x 2),(2=其中已知抛物线，过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，直线的倾斜角为，求证：。
直线与抛物线的位置关系把直线的方程和抛物线的方程联立起来得到一个方程组。
（1）方程组有一组解直线与抛物线相交或相切（一个公共点）；（2）方程组有二组解直线与抛物线相交（2个公共点）（3）方程组无解直线与抛物线相离。
直线与抛物线相交形成的弦的有关问题。
设线段AB 为抛物线的弦，A 、B 的坐标为、，直线AB 的斜率为k ，弦AB 的中点为M ，则（1）（2）直线l 过抛物线)0(22≠=p px y 的焦点，且与抛物线相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点。
求证：，2214p x x =A,B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点，满足OA OB(O 为坐标原点)求证：(1)A,B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；(2)直线AB 经过一个定点(3)作OM AB 于M ，求点M 的轨迹方程 双曲线设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足ο9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积。
焦点三角形12PF F △的面积：122cot 2PF F S b θ=⋅△（12F PF θ∠=，b 为虚半轴长）1.与22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程22ax －22y b λ=（0λ≠）． 2.与22221x y a b-=有相同焦点的双曲线方程22x a k -－221y b k =+（2k a <且2k b ≠-） 把直线的方程和双曲线的方程联立起来得到一个方程组。
（4）方程组有一组解直线与双曲线相交或相切（一个公共点）；（5）方程组有二组解直线与抛物线相交（2个公共点，一支或两支）（6）方程组无解直线与抛物线相离。
圆锥曲线知识要点及结论个人总结
《圆锥曲线》知识要点及重要结论一、椭圆1 定义 平面内到两定点21,F F 的距离的和等于常数)2(221F F a a >的点P 的轨迹叫做椭圆.若212F F a =，点P 的轨迹是线段21F F .若2120F F a <<，点P 不存在.2 标准方程 )0(12222>>=+b a b y a x ，两焦点为)0,(),0,(21c F c F -.)0(12222>>=+b a bx a y ，两焦点为),0(),,0(21c F c F -.其中222c b a +=. 3 几何性质椭圆是轴对称图形，有两条对称轴. 椭圆是中心对称图形，对称中心是椭圆的中心. 椭圆的顶点有四个，长轴长为a 2，短轴长为b 2，椭圆的焦点在长轴上.若椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，则b y b a x a ≤≤-≤≤-,；若椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a bx a y ，则a y a b x b ≤≤-≤≤-,.二、双曲线1 定义 平面内到两定点21,F F 的距离之差的绝对值等于常数)20(221F F a a <<的点的轨迹叫做双曲线. 若212F F a =，点P 的轨迹是两条射线.若212F F a >，点P 不存在.2 标准方程 )0,0(12222>>=-b a b y a x ，两焦点为)0,(),0,(21c F c F -.)0,0(12222>>=-b a by a x ，两焦点为),0(),,0(21c F c F -.其中222b a c +=. 3 几何性质双曲线是轴对称图形，有两条对称轴；双曲线是中心对称图形，对称中心是双曲线的中心. 双曲线的顶点有两个21,A A ，实轴长为a 2，虚轴长为b 2，双曲线的焦点在实轴上.若双曲线的标准方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ，则R y a x a x ∈≥-≤,或；若双曲线的标准方程为)0,0(12222>>=-b a bx a y ，则R x a y a y ∈≥-≤,或.4 渐近线双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 有两条渐近线x a b y =和x a by -=.即02222=-b y a x双曲线)0,0(12222>>=-b a b x a y 有两条渐近线x b a y =和x bay -=.即02222=-b x a y双曲线的渐进线是它的重要几何特征，每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线，但对于同一组渐进线却对应无数条双曲线.与双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 共渐进线的双曲线可表示为)0(2222≠=-λλby a x .直线与双曲线有两个交点的条件，一定要“消元后的方程的二次项系数0≠”和“0>∆”同时成立.5 等轴双曲线：实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线的标准方程为)0(12222>=-a a y a x 或)0(12222>=-a ax a y .等轴双曲线的渐近线方程为x y ±=.6 共轭双曲线：实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线互为共轭双曲线.如：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的共轭双曲线为)0,0(12222>>=-b a ax b y ，它们的焦点到原点的距离相等，因而在以原点为圆心，22b a +为半径的圆上.且它们的渐近线都是x a b y =和x ab y -=. 三、抛物线1 定义 平面内与一个定点F 和一条定直线F l (不在l 上) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线.2 标准方程(1) )0(22>=p px y ，焦点为)0,2(p ，准线方程为2px -=，抛物线张口向右.(2) )0(22>-=p px y ，焦点为)0,2(p -，准线方程为2p x =，抛物线张口向左.(3) )0(22>=p py x ，焦点为)2,0(p ，准线方程为2p y -=，抛物线张口向上.(4) )0(22>-=p py x ，焦点为)2,0(p -，准线方程为2p y =，抛物线张口向下.其中p 表示焦点到准线的距离.3 几何性质抛物线是轴对称图形，有一条对称轴.若方程为)0(22>=p px y 或)0(22>-=p px y ，则对称轴是x 轴，若方程为)0(22>=p py x 或)0(22>-=p py x ，则对称轴是y 轴. 若抛物线方程为)0(22>=p px y ，则R y x ∈≥,0. 若抛物线方程为)0(22>-=p px y ，则R y x ∈≤,0. 若抛物线方程为)0(22>=p py x ，则R x y ∈≥,0. 若抛物线方程为)0(22>-=p py x ，则R x y ∈≤,0.圆锥曲线的一些重要结论【几个重要结论】1 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点为)0,(),0,(21c F c F -，),(00y x P 为椭圆上一点，则)1()()(2222020201ax b c x y c x PF -++=++=a a cx a a cx a cx ax c +=+=++=020202202)(2 因为a x a ≤≤-0，c a a acxc a c a cx c +≤+≤-<≤≤-000,， 所以a a cx PF +=01. 同理，acxa PF a PF 0122-=-=. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，),(00y x P 为双曲线上一点，则a a cx PF +=01，a acxPF -=02. 2 椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两焦点为21,F F ，P 为椭圆上一点，若θ=∠21PF F ，则21PF F ∆的面积为2tan cos 1sin 22αααb b =+. 解：根据椭圆的定义可得a PF PF 221=+ ① 由余弦定理可得αcos 242122212212PF PF PF PF F F c -+== ②由①②得)cos 1(2442122α+=-PF PF c a .从而αcos 12221+=b PF PF 所以，21F PF ∆的面积为2tan cos 1sin sin 212221ααααb b PF PF =+=双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两焦点为21,F F ，P 为其上一点，若α=∠21PF F ，则21PF F ∆的面积为2cot cos 1sin sin 212221ααααb b PF PF =-=. 3 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，N M ,是C 上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PN PM ,的斜率都存在，并记为PN PM k k ,时，那么PM k 与PN k 之积是与点P 位置无关的定值.解：设),(),,(1100y x M y x P ，则),(11y x N --.01010101,x x y y k x x y y k PN PM----=--=，从而2120212001010101x x y y x x y y x x y y k k PN PM --=----⋅--=⋅. 又因为),(),,(1100y x M y x P 都在椭圆上，故1,1221221220220=+=+by a x b y a x .两式相减得，022********=-+-b y y a x x ，因而2221202120ab x x y y -=--即22a b k k PN PM -=⋅.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x .N M ,是C 上关于原点对称的两点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PN PM ,的斜率都存在，并记为PN PM k k ,时，那么PM k 与PN k 之积是与点P 位置无关的定值.【常用方法】1 在求轨迹方程时，若条件满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以用定义求轨迹方程，这是常用求轨迹的数学方法，称为定义法.2本章经常会碰到直线l 与圆锥曲线C 相交于两点的问题，若已知l 过定点),(00y x P ，则可设l 的方程为0x x =或)(00x x k y y -=-.然后分两种情况进行研究，一般处理方法是把直线方程代入曲线C 的方程中，整理得到关于x 或y 的一元二次方程(要注意二次项系数是否为零).韦达定理和判别式经常要用到！若l 的条件不明显时，则可设l 的方程为m x =或m kx y +=.3 本章还经常用到“点差法”：设直线l 与圆锥曲线C 交于点),(),,(2211y x B y x A ,则B A ,两点坐标都满足曲线C 的方程，然后把这两个结构相同的式子相减，整理可以得到直线AB 的斜率1212x x y y --的表达式，也经常会出现2121,y y x x ++，这样又可以与线段AB 的中点),(00y x P 联系起来！4 若三点),(),,(),,(002211y x P y x B y x A 满足以线段AB 为直径的圆经过点P 或BP AP ⊥时，常用处理方法有：①根据勾股定理可得222PB PA AB +=；②根据AP 的斜率与BP 的斜率之积为1-，可得120201010-=--⋅--x x y y x x y y ； ③根据),(),,(,002020101y y x x PB y y x x PA PB PA --=--==⋅可得0))(())((02010201=--+--y y y y x x x x .5求轨迹方程的方法常见的有：直接法、定义法、待定系数法、代入法（也叫相关点法）.1 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是sin y b θ⎧⎨=⎩.离心率c e a ==，△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.线到中心的距离为2a c，焦点到对应准线的距离(焦准距)2b p c =。
圆锥曲线重要结论
圆锥曲线中的重要性质经典精讲上性质一：椭圆中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆双曲线中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过原顶点的两平行开线段(长为2b )1．已知动点P 在椭圆22143x y +=上，12,F F 为椭圆之左右焦点，点G 为△12F PF 内心，试求点G 的轨迹方程.2．已知动点P 在双曲线22143x y -=上，12,F F 为双曲线之左右焦点，圆G 是△12F PF 的内切圆，探究圆G 是否过定点，并证明之.性质二：圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为定值。
椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数11112||||AF BF ep+= 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支时11112||||AF BF ep += AB 在异支时11112||||||AF BF ep-= 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数112||||AF BF ep+=3.已知椭圆22143x y +=，F 为椭圆之左焦点，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在 实常数λ，使AB FA FB λ=•恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.性质三：圆锥曲线相互垂直的焦点弦长倒数之和为常数椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 22||1||12-=+ 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 2|2|||1||12-=+ 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 22||1||12-=+ 4．已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=•恒成立.并由此求四边形ABCD 面积的最小值.性质四：椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值5．已知椭圆22184x y +=，点1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 分别交椭圆于A ，B 两点，设直线AB 与y 轴于点M ，11,,MA AF MB BF λμ==试求λμ+的值.性质五：椭圆、双曲线的焦半径向量模的比之和为定值过椭圆或双曲线上任点A 作两焦点的焦点弦AB ，AC ，其共线向量比之和为定值．即定值=-+=+==222211112ee C F AF BF AF μλμλ6．已知方向向量为(1,3)e =的直线l 过点(0,A -和椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的焦点，且椭圆C 的中心O 和椭圆的右准线上的点B 满足：0,OB e AB AO •==.⑴求椭圆C 的方程；⑵设E 为椭圆C 上任一点，过焦点12,F F 的弦分别为,ES ET ,设111,EF FS λ=222EF F T λ=，求12λλ+的值.圆锥曲线中的重要性质经典精讲中性质一：过圆锥曲线焦点所在轴上任意一点N （t,0）的一条弦端点与对应点⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,2t a 的连线所成角被对称轴平分。
圆锥曲线192条结论(清晰版本) (1)
结论
16：点
M
（
x0
，
y
0
）在椭圆
x
a
m2
2
y
n2
b2
1外，过点 M
作椭圆的两条切线，
切点分别为
A
，
B
，则切点弦
AB
的直线方程为
(x0
m)( x a2
m)
( y0
n)( y b2
n)
1．
结论 17：点 M
（
x0
，
y
0
）在双曲线
x
a
m2
2
y n2
b2
1外，过点 M
作双曲线的两条
切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为
线垂直且相交于 P ，则动点 P 的轨迹为圆 x 2 y 2 a 2 b 2 ．
结论
6：过双曲线
x a
2 2
y2 b2
1（ a
b
0 ）上任意不同两点 A ， B 作双曲线的切线，如
果切线垂直且相交于 P ，则动点 P 的轨迹为圆 x 2 y 2 a 2 b 2 ．
结论 7：点 M
（
x0
，
y0
）在椭圆
x a
2 2
y2 b2
1（ a b 0 ）上，过点 M
作椭圆的切线方
程为
x0 x a2
y0 y b2
1．
结论 8：点 M
（
x0
，
y0
）在椭圆
x a
2 2
y2 b2
1（ a b 0 ）外，过点 M
作椭圆的两条切
线，切点分别为
A，B
，则切点弦
圆锥曲线通用结论
圆锥曲线常用结论(自己选择)椭 圆点P 处的切线 PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角.PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点 .以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.2y_b 2ex 0,| MF 21 a ex o (R ( c,0) , F 2(c,0) M (x °, y 。
)).设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点， 连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点，贝U MF 丄NF.1. 2. 3. 4. 5. 6.7. 8. 9.10. 11.12. 2 x 若P o ( x o , y o )在椭圆— a2 (x)右P o ( x o , y o )在椭圆~ a 点弦P 1P 2的直线方程是 2yb 22 y 孑 X o X ~2~a1上，则过P o 的椭圆的切线方程是 弩a1外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为y o y 1眉 1.y o y 1盲 1.P 1、P 2,则切2X 椭圆一2a2yb 2 1 (a > b > 0)的左右焦点分别为F 1 , F 2，点P 为椭圆上任意一点F 1PF 2则椭圆的焦点角形的面积为 S F 1PF 2b 2 tan2x 2椭圆右 a| MF 1 | a1 (a > b > 0 )的焦半径公式:过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、 A 2为椭圆长轴上的顶点， A 1P 和A 2Q 交于点M , A 2P 和A 1Q 交于点 N ，贝U MF 丄NF.2xAB 是椭圆一2a 2 ，ab 2X o 2a y ok OM k AB即K AB2y_ b 21的不平行于对称轴的弦,M (X o , y °)为AB 的中点，则若P o (x °, y °)在椭圆2 X""2 a2b 21内，则被Po所平分的中点弦的方程是2、双曲线1. 点P 处的切线 PT 平分A PF i F 2在点P 处的内角.2.PT 平分A PF i F 2在点P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴 为直径的圆，除去长轴的两个端点 •3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF i 为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切：P 在右支；外切:P 在左支)X o X~2~ ayoyb 2X o~2 a2y o b 22x13.若 P o (X o ,y o )在椭圆—ab 21内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是b 2X o X ay o y 5. 若P o (X o , y o )在双曲线 2X~2a 2当 1 (a > 0,b >0) 上,则过P o 的双曲线的切线方程b曰 X o X y o y是 2 , 2a b 1. 6. 若P o (X o , y o )在双曲线 2X~2a2y2 1 (a > 0,b > 0)夕卜，则过Po 作双曲线的两条切b 27. 8. 9.线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是—^2~ aV o Y 1 b 21.双曲线 意一点F 1PF 2 (a > 0,b >o )的左右焦点分别为 ，则双曲线的焦点角形的面积为 2 2x y2 ,2a b当M (X o , y o )在右支上时, 当M (X o ,y o )在左支上时, 双曲线(a > 0,b >o )的焦半径公式: F 1 , F 2，点P 为双曲线上任2S F 1PF 2b C°t"2 .(£( c,0) , F 2(C ,0) IMF 1I IMF 1IeX o a , | MF 2 a , | MF 21| ex o a .eX) a设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点, A 为双曲线长轴上一个顶点, 连结AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于M 、N 两点，贝U MF 丄NF.210.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A i P 和A 2Q 交于点M , A 2P 和A i Q 交于点N ，贝U MF 丄NF.2 2x y1. 椭圆二 2 1 (a > b > o )的两个顶点为 A( a,0),A 2(a,0)，与y 轴平行的直a b22x y线交椭圆于 P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是 —2 1 .a b222.过椭圆 笃 与 1 (a > 0, b >0)上任一点A(X o ,y °)任意作两条倾斜角互补的直a bb 2x线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且k Bc(常数)•a y o2 2xy3.若P 为椭圆 r 2 1 (a > b > 0)上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点，a ba c PRF 2 , PF 2F 1 ，贝U ta n —cot —.a c 2 22 24. 设椭圆 令 七 1 (a > b >0)的两个焦点为 F 1、F 2,P (异于长轴端点)为椭圆a b上任意一点，在△ PF 1F 2中，记 FfF 2 , PF | F 2 , F-! F 2P，则有sin ce .sin sin a225.若椭圆 令 七 1 (a > b > 0)的左、右焦点分别为 F 1、F 2，左准线为L ,则当0 a b2x11. AB 是双曲线—ab 21 (a > 0,b > 0)的不平行于对称轴的弦, M (X o , y o )为 AB12.13. 的中点，贝y K OM K AB2X 若P o (x o , y o )在双曲线— a2 X o方程是竽ay o y右P o (X o , y o )在双曲线 2m □ x程是一2a2y_ b 2X °X ~2~ a b 2X o~2 a y o 2a2x~~2ay o y b 2 2 yb 2 2y o2yb 2 ，即 K AB b 2X o ~~2 a y o1 (a > o,b > o )内，则被 1 (a > o,b > o )内，则过Po 所平分的中点弦的Po 的弦中点的轨迹方椭圆与双曲线的对偶性质 --(会推导的经典结论)6.7.8.9.10.11.12.13.v e W、2 1时，可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项•2xP为椭圆ra则2a |AF2|椭圆(x X o)22a2 2B b2x已知椭圆—a|PA|(yb(Ax o2y_ 1b2 11(a> b>0)|PF I |y。
50条圆锥曲线性质和结论
椭圆与双曲线的对偶性质(必背的经典结论)1.2. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).设过椭圆焦点F 作直线与椭圆椭 圆3. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.4. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.5. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.6. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.7.若000(,)P x y 在椭圆22221x ya b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=. 8. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.9. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB bk k a ⋅=-， 即0202y a x b K AB-=。
12.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b+=+.双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)
椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若在椭圆上，则过000(,)P x y 22221x y a b+=0P 的椭圆的切线方程是.00221x x y ya b +=6. 若在椭圆外 ，则过000(,)P x y 22221x y a b+=Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是. 00221x x y ya b+=7. 椭圆 (a ＞b ＞0)的左右焦点22221x y a b+=分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面12F PF γ∠=积为.122tan 2F PF S b γ∆=8. 椭圆（a ＞b ＞0）的焦半径公22221x y a b+=式：,( , 10||MF a ex =+20||MF a ex =-1(,0)F c -).2(,0)F c 00(,)M x y 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆的不平行于对称轴22221x y a b+=的弦，M 为AB 的中点，则),(00y x ，22OM AB b k k a ⋅=-即。
202y a x b K AB -=双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若在双曲线（a ＞000(,)P x y 22221x y a b-=0,b ＞0）上，则过的双曲线的切0P线方程是.00221x x y ya b-=6. 若在双曲线（a ＞000(,)P x y 22221x y a b-=0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是. 00221x x y ya b-=7. 双曲线（a ＞0,b ＞o ）的左22221x y a b-=右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点，则双曲线12F PF γ∠=的焦点角形的面积为.122t 2F PF S b co γ∆=8. 双曲线（a ＞0,b ＞o ）的焦22221x ya b -=半径公式：( ,1(,0)F c -2(,0)F c 当在右支上时，00(,)M x y ,.10||MF ex a =+20||MF ex a =-当在左支上时，00(,)M x y ,10||MF ex a =-+20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线（a ＞0,b ＞0）22221x y a b-=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则，0202y a x b K K ABOM =⋅即。
圆锥曲线常见结论及证明
圆锥曲线的常见结论本章我们将给出圆锥曲线的一些常见结论,在实际解题过程中,遇到选择题和填空题可以直接使用,若是解答题,则不能直接使用,需给出证明过程.第1.1节椭圆的常见结论这里我们以中心在原点,焦点在x轴上的椭圆x2a2+y2b2=1为例,给出一些常见结论,至于焦点在y轴上的椭圆的结论是否一致?请仿照焦点在x轴上的情况自行判断.结论一如图所示,过左焦点F1的直线与椭圆交于A,B两点,则△ABF2的周长为4a(定值).x证明由椭圆的定义可知:|AF1|+|AF2|=2a |BF1|+|BF2|=2a,所以|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a,即△ABF2的周长为4a.练习1.过椭圆E:4x2+y2=1的一个焦点F1的直线l与E交于A,B两点,则A,B与另一个焦点F2所构成的△ABF2的周长等于().A.2B.4C.√2 D.2√2结论二如图所示,在△P F1F2中,若∠F1P F2=θ,记△P F1F2的面积为S,则x(1)S=b2·tanθ2;(2)△P F1F2的面积S的最大值S max=bc;(3)当点P在短轴的端点时,∠F1P F2最大.证明(1)在△P F1F2中,由余弦定理可知:cosθ=|P F1|2+|P F2|2−4c22|P F1|·|P F2|,所以2|P F1|·|P F2|·cosθ=|P F1|2+|P F2|2−4c2=(|P F1|+|P F2|)2−2|P F1|·|P F2|−4c2=4a2−2|P F1|·|P F2|−4c2=4b2−2|P F1|·|P F2|从而|P F1|·|P F2|=2b21+cosθ,于是S=12|P F1|·|P F2|·sinθ=b2sinθ1+cosθ=b2·2sinθ2cosθ22cos2θ2=b2·tanθ2(2)设点P的纵坐标为y P,则△P F1F2的面积S=12|F1F2|·|y P|=12·2c·|y P|=c·|y P|当|y P|=b时,即点P在短轴的端点时,△P F1F2的面积S取得最大值bc (3)设点P的坐标为(x0,y0),在△P F1F2中,由余弦定理可知:cosθ=|P F1|2+|P F2|2−4c22|P F1|·|P F2|=(a+ex0)2+(a−ex0)2−4c22(a+ex0)·(a−ex0)=2a2+2e2x20−4c22a2−2e2x20=4a2−4c22a2−2e2x20−1当x0=0时,cosθ有最小值a2−2c2a2,即∠F1P F2最大.练习 2.设F1,F2是椭圆C:x23+y2m=1的两个焦点,若C上存在点P,使得∠F1P F2=120◦,则实数m的取值范围是.练习3.已知点P在椭圆C:x236+y2100=1上,F1,F2是C的两个焦点,若△P F1F2的面积为18,则∠F1P F2的余弦值等于.结论三如图所示,以椭圆的任意焦半径为直径的圆,都与圆O:x2+y2=a2内切.x证明取P F1的中点M,连接OM,则圆M的直径为F1P,半径为MF1,在△P F1F2中,因为M为F1P的中点,O为F1F2的中点,所以OM=12|P F2|=12(2a−|P F1|)=a−12|P F1|=a−|MF1|因此圆M与圆O内切,即以椭圆的任意焦半径为直径的圆,都与圆O:x2+y2=a2内切.结论四如图所示,若N为椭圆内一定点,点P在椭圆上,则x(1)|P N|+|P F2|的最大值为2a+|NF1|,最小值为2a−|NF1|;(2)|P N|+|P F1|的最大值为2a+|NF2|,最小值为2a−|NF2|.证明(1)因为|P N|+|P F2|=|P N|+2a−|P F1|=2a+(|P N|−|P F1|),由于−|NF1| |P N|−|P F1| |NF1|因此|P N|+|P F2|的最大值为2a+|NF1|,最小值为2a−|NF1|.(2)同理可证,|P N|+|P F1|的最大值为2a+|NF2|,最小值为2a−|NF2|.注:该结论可以记成“椭圆上的点到椭圆内一定点的距离与其中一焦点的距离之和有最值.”练习4.已知椭圆C:x29+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,点A(−1,1),若P为椭圆C上一点,则|P A|+|P F2|的最小值为,最大值为.结论五过椭圆一焦点F的直线与椭圆交于A,B两点,则1|AF|+1|BF|=2ab2.证明如图所示,我们先证明“过椭圆左焦点F1的直线l与椭圆交于A,B两点,则1 |AF1|+1|BF1|=2ab2.”设A(x1,y1),B(x2,y2).xx当直线l的斜率不存在时,此时|AF1|=b2a,|BF1|=b2a,则1|AF1|+1|BF1|=ab2+ab2=2ab2.y当直线l的斜率存在时,设直线l:y=k(x+c),联立y=k(x+c)x2a2+y2b2=1,消去y,消去y,得到关于x的一元二次方程(b2+a2k2)x2+2k2a2cx+k2a2c2−a2b2=0则x1+x2=−2k2a2cb2+a2k2,x1x2=k2a2c2−a2b2b2+a2k2.于是1 |AF1|+1|BF1|=1a+ex1+1a+ex2=2a+e(x1+x2)a2+ae(x1+x2)+e2x1x2=2a+e·−2k2a2cb2+a2k2a2+ae·−2k2a2cb2+a2k2+e2·k2a2c2−a2b2b2+a2k2.因为椭圆的离心率e=ca,所以2a+e·−2k2a2cb2+a2k2a2+ae·−2k2a2cb2+a2k2+e2·k2a2c2−a2b2b2+a2k2=2a−2k2ac2b2+a2k2a2−2k2a2c2b2+a2k2+k2c4−b2c2b2+a2k2=2a(b2+a2k2)−2k2ac2a2(b2+a2k2)−2k2a2c2+k2c4−b2c2=2a3k2+2ab2−2k2ac2a4k2+a2b2−2k2a2c2+k2c4−b2c2=2ak2(a2−c2)+2ab2a2k2(a2−c2)+a2b2−k2c2(a2−c2)−b2c2=(2ak2+2a)·b2k2b2(a2−c2)+a2b2−b2c2=2ak2+2ak2b2+a2−c2=2a(k2+1)b2(k2+1)=2ab2故1|AF1|+1|BF1|=2ab2.同理可证“过椭圆右焦点F2的直线与椭圆交于A,B两点,则1|AF2|+1|BF2|=2ab2.”综上可知:“过椭圆一焦点F的直线与椭圆交于A,B两点,则1|AF|+1|BF|=2ab2.”注:证明过程中,用到了椭圆的焦半径公式|AF1|=a+ex1,|BF1|=a+ex2.练习5.已知椭圆C:x25+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,经过F2的直线l与C交于M,N两点,则|MF2|+|NF2||MF2|·|NF2|的值等于.结论六关于以椭圆上的点为切点的切线方程和椭圆的切点弦方程,我们有以下结论:(1)若点M(x0,y0)在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,则以M为切点且与C相切的直线方程为x0xa2+y0yb2=1.(2)若点P(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)外,则过点P作椭圆的两条切线,切点分别为P1,P2,则切点弦P1P2所在的直线方程为x0xa2+y0yb2=1.证明(1)如图所示,设以M为切点且与C相切的直线为l,其斜率为k.x对椭圆方程x2a2+y2b2=1两边求导,可得2xa2+2yy′b2=0,即y′=−b2a2·xy,从而k=−b2a2·x0y0.因此切线l的方程为y−y0=−b2a2·x0y0(x−x0),化简整理可得x0x a2+y0yb2=x20a2+y20b2.因为点M在椭圆C上,所以x20a2+y20b2=1,从而切线l的方程为x0xa2+y0yb2=1.(2)如图所示,设切点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).x ,由(1)可知:P P1的直线方程l P P1:x1xa2+y1yb2=1.P P2的直线方程l P P2:x2xa2+y2yb2=1.因为点P(x0,y0)在l P P1和l P P2上,所以x1x0a2+y1y0b2=1x2x0a2+y2y0b2=1,两式相减可得x0a2(x2−x1)+y0b2(y2−y1)=0.即y2−y1 x2−x1=−b2a2·x0y0.所以切点弦P1P2所在的直线方程为y−y1=−b2a2·x0y0(x−x1),化简整理可得x0x a2+y0yb2=x0x1a2+y0y1b2.因为x0x1a2+y0y1b2=1,所以P1P2所在的直线方程为x0xa2+y0yb2=1.结论七如图所示,若AB 是椭圆的一条弦,点M (x 0,y 0)(y 0=0)是弦AB 的中点,则AB 所在直线的斜率k AB =−x 0y 0·b 2a 2.x证明设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),因为M (x 0,y 0)为AB 的中点,所以x 1+x 2=2x 0y 1+y 2=2y 0.又因为A ,B 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上,所以x 21a 2+y 21b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1,两式相减可得(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0.从而y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 2y 1+y 2·b 2a 2=−2x 02y 0·b 2a 2=−x 0y 0·b 2a 2.即AB 所在直线的斜率k AB =−x 0y 0·b 2a 2.练习6.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为(3,0),过右焦点的直线交C 于A ,B 两点,若AB 的中点坐标为(1,−1),则椭圆C 的方程为().A.x 245+y 236=1B.x 236+y 227=1C.x 227+y 218=1D.x 218+y 29=1练习7.已知椭圆E :x 216+y 24=1,若过点P (2,1)作一弦,使得该弦刚好被P 平分,则该弦所在的直线方程为.练习8.已知椭圆E :mx 2+ny 2=1与直线l 1:y =1−x 交于M ,N 两点,过坐标原点O 与线段MN 的中点P 的直线l 2的斜率为√22,求m n的值.第1.2节双曲线的常见结论这里我们以中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2−y 2b 2=1为例,给出一些常见结论,至于焦点在y 轴上的双曲线的结论是否一致?请仿照焦点在x 轴上的情况自行判断.结论一如图所示,过左焦点F 1的直线与双曲线交于A ,B 两点,则△ABF 2的周长为4a +2|AB |.x证明由双曲线的定义可知:|AF 2|−|AF 1|=2a |BF 2|+−|BF 1|=2a,两式相加可得|AF 2|+|BF 2|−(|AF 1|+|BF 1|)=|AF 2|+|BF 2|−|AB |=4a ,即|AF 2|+|BF 2|+|AB |=4a +2|AB |,因此△ABF 2的周长为4a +2|AB |.结论二若P 为双曲线C 上一点,F 1,F 2为C 的左、右焦点,且∠F 1P F 2=θ,则△F 1P F 2的面积等于b 2tan θ2.证明如图所示,设P 为双曲线右支上一点.x在△P F 1F 2中,由余弦定理可知:cos θ=|P F 1|2+|P F 2|2−4c 22|P F 1|·|P F 2|,所以2|P F 1|·|P F 2|·cos θ=|P F 1|2+|P F 2|2−4c 2=(|P F 1|−|P F 2|)2+2|P F 1|·|P F 2|−4c 2=4a 2+2|P F 1|·|P F 2|−4c 2=4b 2+2|P F 1|·|P F 2|从而|P F1|·|P F2|=2b21−cosθ,于是S=12|P F1|·|P F2|·sinθ=b2sinθ1−cosθ=b2·2sinθ2cosθ22sin2θ2=b2tanθ2同理可证:点P在左支时,△F1P F2的面积等于b2tanθ2.综上可知:若P为双曲线C上一点,F1,F2为C的左、右焦点,且∠F1P F2=θ,则△F1P F2的面积等于b2tanθ2.练习1.已知点M在双曲线H:x25−y24=1的右支上,F1,F2是H的左、右焦点,且∠F1MF2=60◦,则△F1MF2的面积等于.练习2.已知F1,F2分别是双曲线H:x2−y2=1的左焦点和右焦点,点P在H上,且∠F1P F2=60◦,则|P F1|·|P F2|的值等于().A.2B.4C.6D.8结论三如图所示,以双曲线的长焦半径|P F1|为直径的圆M与圆O:x2+y2=a2内切;以双曲线的短焦半径|P F2|为直径的圆N与圆O:x2+y2=a2外切.x证明连接OM,则圆M的直径为F1P,半径为MF1,在△P F1F2中,因为M为F1P的中点,O为F1F2的中点,所以|OM|=12|P F2|=12(|P F1|−2a)=12|P F1|−a=|MF1|−a因此以长焦半径P F1为直径的圆与圆O:x2+y2=a2内切.连接ON,则圆N的直径为F2P,半径为NF1,在△P F1F2中,因为N为F2P的中点,O为F1F2的中点,所以|ON|=12|P F1|=12(|P F2|−2a)=12|P F2|−a=|NF2|−a因此以短焦半径|P F2|为直径的圆N与圆O:x2+y2=a2外切.结论四如图所示,若N为双曲线内一定点,点P在双曲线上,则x(1)|P N|+|P F2|的最小值为|NF1|−2a;(2)|P N|+|P F1|的最小值为|NF2|−2a.证明(1)因为|P N|+|P F2|=|P N|+|P F1|−2a,所以当P,N,F1三点共线时,|P N|+|P F1|取得最小值|NF1|,因此|P N|+|P F2|的最小值为|NF1|−2a.(2)同理可证:|P N|+|P F1|的最小值为|NF2|−2a.注:该结论可以记成“双曲线上的点到双曲线内一定点的距离与其中一焦点的距离之和有最小值.”练习3.已知双曲线C:x2−y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点A (2,12),若点P在C上,则|P A|+|P F2|的最小值为.结论五过双曲线一焦点F的直线与双曲线的一支的交于A,B两点,则1|AF|+1 |BF|=2ab2.证明如图所示,我们先证明“过双曲线左焦点F1的直线l与双曲线的左支交于A,B两点,则1|AF1|+1|BF1|=2ab2.”设A(x1,y1),B(x2,y2).xx当直线l的斜率不存在时,此时|AF1|=b2a,|BF1|=b2a,则1 |AF1|+1|BF1|=ab2+ab2=2ab2.y当直线l的斜率存在时,设直线l:y=k(x+c),联立y=k(x+c)x2a2−y2b2=1,消去y,消去y,得到关于x的一元二次方程(b2−a2k2)x2−2k2a2cx−k2a2c2−a2b2=0则x1+x2=2k2a2cb2−a2k2,x1x2=−k2a2c2−a2b2b2−a2k2.由双曲线的焦半径公式可得1 |AF1|+1|BF1|=−1a+ex1−1a+ex2=−2a+e(x1+x2)a2+ae(x1+x2)+e2x1x2.于是1 |AF1|+1|BF1|=−2a+e·2k2a2cb2−a2k2a2+ae·2k2a2cb2−a2k2−e2·k2a2c2+a2b2b2−a2k2.因为双曲线的离心率e=ca,所以−2a+e·2k 2a2cb2−a2k2a2+ae·2k2a2cb2−a2k2−e2·k2a2c2+a2b2b2−a2k2=−2a+2k2ac2b2−a2k2a2+2k2a2c2b2−a2k2−k2c4+b2c2b2−a2k2=−2a(b2−a2k2)+2k2ac2a2(b2−a2k2)+2k2a2c2−k2c4−b2c2=−2ab2−2a3k2+2k2ac2a2b2−a4k2+2k2a2c2−k2c4−b2c2=−2ab2+2ak2(c2−a2)a2b2+a2k2(c2−a2)−k2c2(c2−a2)−b2c2=−(2a+2ak2)·b2a2b2+k2(c2−a2)(a2−c2)−b2c2=−2a+2ak2a2−k2b2−c2=2a(1+k2)c2−a2+b2k2=2a(1+k2)b2(1+k2)=2ab2故1|AF1|+1|BF1|=2ab2.同理可证“过双曲线右焦点F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,则1|AF2|+1|BF2|=2ab2.”综上可知:“过双曲线一焦点F的直线与双曲线的一支交于A,B两点,则1|AF|+1 |BF|=2ab2.”注:证明过程中需用到双曲线的焦半径公式:当A,B在左支时:|AF1|=−a−ex1,|BF1|=−a−ex2;当A,B在右支时:|AF2|=ex1−a,|BF2|=ex2−a.练习4.已知双曲线C:x23−y24=1的左、右焦点分别为F1,F2,经过F2的直线l与C交于A,B两点,则|AF2|+|BF2||AF2|·|BF2|的值等于.结论六关于以双曲线上的点为切点的切线方程和双曲线的切点弦方程,我们有以下结论:(1)若点M(x0,y0)在双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上,则过点M且与双曲线相切的直线方程为x0xa2−y0yb2=1.(2)若点P(x0,y0)在双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)外,则过点P作双曲线的两条切线,切点分别为P1,P2,则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2−y0yb2=1.证明(1)如图所示,设以M为切点且与C相切的直线为l,其斜率为k.x对双曲线方程x2a2−y2b2=1两边求导,可得2xa2−2yy′b2=0,即y′=b2a2·xy,从而k=b2a2·x0y0.因此切线l的方程为y−y0=−b2a2·x0y0(x−x0),化简整理可得x0x a2−y0yb2=x20a2−y20b2.因为点M在双曲线C上,所以x20a2−y20b2=1,从而切线l的方程为x0xa2−y0yb2=1.(2)如图所示,设切点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).x ,由(1)可知:P P1的直线方程l P P1:x1xa2−y1yb2=1.P P2的直线方程l P P2:x2xa2−y2yb2=1.因为点P(x0,y0)在l P P1和l P P2上,所以x1x0a2−y1y0b2=1x2x0a2−y2y0b2=1,两式相减可得x0a2(x2−x1)−y0b2(y2−y1)=0.即y2−y1 x2−x1=b2a2·x0y0.所以切点弦P1P2所在的直线方程为y−y1=b2a2·x0y0(x−x1),化简整理可得x0x a2−y0yb2=x0x1a2−y0y1b2.因为x0x1a2−y0y1b2=1,所以P1P2所在的直线方程为x0xa2−y0yb2=1.结论七若AB是双曲线的一条弦,点M(x0,y0)(y0=0)是弦AB的中点,则直线AB的斜率k AB=x0y0·b2 a2.证明如图所示,设直线l与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,x因为M(x0,y0)为AB的中点,所以x1+x2=2x0 y1+y2=2y0.又因为A,B在双曲线x2a2−y2b2=1上,所以x21a2−y21b2=1x22a2−y22b2=1,两式相减可得(x1+x2)(x1−x2)a2−(y1+y2)(y2−y1)b2=0.从而y2−y1 x2−x1=x1+x2y1+y2·b2a2=2x02y0·b2a2=x0y0·b2a2.即AB所在直线的斜率k AB=x0y0·b2 a2.练习5.以P(1,8)为中点,作双曲线y2−4x2=4的一条弦AB,则弦AB所在的直线方程为.练习6.已知双曲线H:x2−y22=1,是否存在被点P(1,1)平分的弦AB?如果存在,求出弦AB所在的直线方程;如果不存在,请说明理由.结论八如图所示,若一直线l与双曲线的渐近线交于B,C两点,与双曲线交于A,D两点,则|AB|=|CD|.x证明x若直线l过原点,则B,C重合,结论显然成立;y若直线l与x轴垂直,则由双曲线的对称性可知结论成立;z若直线l不过原点且与x轴不垂直,设l的斜率为k,弦AD的中点为M(x0,y0),由结论七可知x0 a2−y0b2·k=0(0.1)设B(x3,y3),C(x4,y4),弦BC的中点为M′(x′0,y′0).因为双曲线的渐近线方程为x2 a2−y2b2=0,且B,C都在渐近线上,所以x23a2−y23b2=0x24a2−y24b2=0.两式相减可得x′0a2−y′0b2·k=0.(0.2)由(0.1)和(0.2)可知:点M,M′都在直线l′:xa2−yb2·k=0上,又点M,M′都在直线l上,所以M与M′重合,于是|AB|=|AM′|−|BM′|=|AM|−|BM|=|DM|−|CM|=|DM′|−|CM′|=|CD|.综上可知:若一直线l与双曲线的渐近线交于B,C两点,与双曲线交于A,D两点,则|AB|=|CD|.练习7.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点作与x轴垂直的直线l,若直线l与双曲线交于P,S两点,与双曲线的渐近线交于T,G两点,且3|P S|=2|T G|,则该双曲线的离心率等于.第1.3节抛物线的常见结论这里我们以顶点在原点,焦点在x 轴正半轴上的抛物线y 2=2px (p >0)为例,给出一些常见结论,至于顶点在原点,焦点在x 轴负半轴、y 轴负半轴和y 轴正半轴上的抛物线的结论是否一致?请仿照焦点在x 轴正半轴上的情况自行判断.结论一如图所示,过抛物线C :y 2=2px 的焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,则x y 2)=2px (1)x 1·x 2=p 24,反之也成立.(2)y 1·y 2=−p 2,反之也成立.证明(1)x 当直线l 的斜率不存在时,即l :x =p 2,此时x 1=x 2=p 2,则x 1·x 2=p24;y 当直线l 的斜率存在时,设l :y =k (x −p 2),联立C 的方程可得 y =k (x −p 2)y 2=2px,消去y ,得到k 2x 2−(2p +k 2p )x +k 2p 4=0.所以x 1x 2=k 2p 4k 2=p 24.反之,我们证明“若x 1x 2=p 24,则直线l 过焦点F .”当直线l 的斜率不存在时,则x 1=x 2=p 2,此时l :x =p2,所以l 经过焦点F(p 2,0);当直线l 的斜率存在且不为零时,设直线l 的方程为y =kx +m ,联立C 的方程可得 y =kx +my 2=2px,消去y ,得到k 2x 2+(2km −2p )x +m 2=0.所以x 1x 2=m 2k 2,又x 1·x 2=p 24,所以m 2k 2=p 24,即m 2=k 2p 24,由于km <0,p >0,因此m =−kp2,故直线l 的方程为y =k (x −p 2),即l 经过焦点F .(2)x 当直线l 的斜率不存在时,即l :x =p 2,联立x =p 2y 2=2px,可得y 1=−p ,y 2=p ,则y 1·y 2=−p 2;y 当直线l 的斜率存在且不为零时,设l :y =k (x −p 2),联立C 的方程可得 y =k (x −p2)y 2=2px,消去x ,得到y 2−2p k y−p 2=0.所以y 1y 2=−p 2.反之,我们证明“若y 1y 2=−p 2,则直线l 过焦点F .”当直线l 的斜率不存在时,由抛物线的对称性可知:y 1=−p ,y 2=p ,此时x 1=x 2=p 2,即l :x =p 2,所以l 经过焦点F (p 2,0);当直线l 的斜率存在且不为零时,设直线l 的方程为y =kx +m ,联立C 的方程可得 y =kx +my 2=2px,消去y ,得到ky 2−2py +2pm =0.所以y 1y 2=2pm k ,又y 1·y 2=−p 2,所以2pmk =−p 2,解得m =−kp 2,故直线l 的方程为y =k (x −p 2),即l 经过焦点F .结论二如图所示,已知抛物线C :y 2=2px 的焦点为F ,经过F 且倾斜角为α的直线l 与C 交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,则xy 2)=2px(1)1|AF |+1|BF |=2p .(2)|AF |=p1+cos α;|BF |=p1−cos α;|AF |·|BF |=p 2sin 2α.(3)|AB |=x 1+x 2+p =2psin 2α.证明(1)x 当直线l 的斜率不存在时,即α=90◦,此时l :x =p 2,从而y 1=−p ,y 2=p ,即|AF |=|BF |=p .所以1|AF |+1|BF |=1p+1p =2p .y 当直线l 的斜率存在时,设l :y =k (x −p 2),联立C 的方程可得y =k (x −p2)y 2=2px,消去y ,得到k 2x 2−(2p +k 2p )x +k 2p 4=0.所以x 1+x 2=2p k 2+p ,x 1x 2=p 24,由抛物线的定义可得:|AF |=x 1+p 2,|BF |=x 2+p2,所以1|AF |+1|BF |=1x 1+p2+1x 2+p2=x 1+x 2+p(x 1+p 2)(x 2+p 2).由于x 1+x 2+p(x 1+p 2)(x 2+p 2)=2pk 2+p +p x 1x 2+p 2(x 1+x 2)+p24=2pk 2+2p p 24+p 2·(2p k 2+p )+p 24=2pk 2+2p p2k 2+p =2p ·(1k2+1)p 2·(1k2+1)=2p故1|AF |+1|BF |=2p .(2)x 当直线l 的斜率不存在时,即α=90◦,此时l :x =p 2,从而x 1=x 2=p 2,y 1=−p ,y 2=p .于是|AF |=p =p1+cos 90◦=p1+cos α.|BF |=p =p 1−cos 90◦=p1−cos α.y 当直线l 的斜率存在且不为零时,如图所示,过A ,B 两点分别作准线x =−p 2的垂线,垂足分别为D ,E .过F 作BE 的垂线,垂足为G ,再过A 点作x 轴的垂线,垂足为H .x2)2px 由抛物线的定义可知|AF |=|AD |.在△AHF 中,|HF |=|AF |·cos α.由于|KH |+|HF |=|KF |,且|KH |=|AD |,|KF |=p ,所以|AF |+|AF |·cos α=p ,即|AF |·(1+cos α)=p ,解得|AF |=p1+cos α.又由抛物线的定义可知|BF |=|BE |.在△F GB 中,|GB |=|BF |·cos α.由于|BE |+|EG |=|GB |,且|EG |=|KF |=p ,所以|BE |−|GB |=|EG |,即|BF |−|BF |·cos α=p ,解得|BF |=p1−cos α.所以|AF |=p 1+cos α和|BF |=p1−cos α,因此|AF |·|BF |=p 1+cos α·p 1−cos α=p 21−cos 2α=p 2sin 2α.(3)由抛物线的定义可得:|AF |=x 1+p 2,|BF |=x 2+p2,所以|AB |=|AF |+|BF |=x 1+p 2+x 2+p 2=x 1+x 2+p .由(2)可知:|AF |=p1+cos α,|BF |=p1−cos α,所以|AB |=|AF |+|BF |=p 1+cos α+p 1−cos α=p (1−cos α)+p (1+cos α)1−cos 2α=2psin 2α.综上可知:|AB |=x 1+x 2+p =2psin 2α.结论三如图所示,已知抛物线C :y 2=2px 的焦点为F ,过F 且倾斜角为α的直线l 与C 交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,则△AOB 的面积S △AOB =p 22sin α.x2)2px 证明x 当直线l 的斜率不存在时,即α=90◦,此时AB ⊥OF ,则S △AOB =12·|AB |·|OF |=12×2p ×p 2=p 22=p 22sin 90◦=p 22sin α.y 当直线l 的斜率存在且不为零时,由结论二可知:|AB |=2psin 2α.又|OF |=p 2,则S △AOB =12·|AB |·|OF |·sin α=12×2p sin 2α×p 2×sin α=p 22sin α.综上可知:△AOB 的面积S △AOB =p 22sin α.结论四如图所示,已知抛物线C :y 2=2px 的焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,则以AB 为直径的圆N 与准线:x =−p 2相切.x2px证明x 当直线l 的斜率不存在时,此时|AB |=2p .又圆心N 到准线的距离|GN |=p ,所以|GN |=12|AB |,因此以|AB |为直径的圆N 与准线相切.y 当直线l 的斜率存在且不为零时,设圆心N 的坐标为(x 0,y 0),由结论二可知:|AB |=x 1+x 2+p ,而圆心到准线的距离|NG |=x 0+p2=x 1+x 22+p 2=12(x 1+x 2+p )=12|AB |.故以|AB |为直径的圆N 与准线相切.结论五如图所示,已知抛物线C :y 2=2px 的焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,过A ,B 两点分别作准线x =−p 2的垂线,垂足分别为D ,E .则EF ⊥DF .x2)2px证明x 当直线l 的斜率不存在时,即l :x =p 2,此时x 1=x 2=p2,y 1=−p ,y 2=p ,则D ,E 的坐标分别为(−p 2,−p ),(−p 2,p ),又F (p 2,0),于是直线EF 的斜率k EF =0−p p 2−(−p 2)=−1.直线DF 的斜率k DF =0−(−p )p 2−(−p 2)=1.因此k EF ·k DF =−1,故EF ⊥DF .y 当直线l 的斜率存在且不为零时,由题意可知:D 的坐标分别为(−p 2,y 1),E 的坐标分别为(−p 2,y 2),又F (p 2,0),于是直线DF 的斜率k DF =0−y 1p 2−(−p 2)=−y 1p .直线EF 的斜率k EF =0−y 2p2−(−p 2)=−y 2p .所以k DF ·k EF =−y 1p ·−y 2p =y 1y 2p 2.由结论一可知:y 1y 2=−p 2,从而k DF ·k EF =−1,于是EF ⊥DF .结论六如图所示,若过抛物线C :y 2=2px 的焦点为F 的直线l 与C 交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,则以|BF |为直径的圆M 和以|AF |为直径的圆Q 均与y 轴相切.x2px证明x 当直线l 的斜率不存在时,此时|BF |=p .又圆心M 到y 轴的距离|MT |=p 2,所以|MT |=12|BF |,因此以|BF |为直径的圆M 与y 轴相切.y 当直线l 的斜率存在且不为零时,设圆心M 的坐标为(x 0,y 0),由抛物线定义可知:|BF |=|BE |=x 2+p 2,而圆心M 到y 轴的距离|MT |=x 0=12(x 2+p 2)=12|BF |.故以|BF |为直径的圆M 与y 轴相切.同理可证,以|AF |为直径的圆Q 也与y 轴相切.练习1.已知抛物线C:y2=6x焦点为F,若过F的直线l与C交于A,B两点,且|AB|=12,则弦AB所在直线的倾斜角等于.练习2.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过F作倾斜角为30◦的直线l,若直线l与抛物线C相交于A,B两点(点A在y轴左侧),则|AF||BF|的值等于.练习3.过抛物线C:y=ax2(a>0)的焦点F作一直线l交C于A,B两点,若线段AF,BF的长分别为m,n,则mnm+n等于().A.2aB.a4C.12aD.14a练习4.过抛物线C:y2=8x的焦点作倾斜角为45◦的直线l,则直线l被抛物线C 所截得的弦长等于().A.8B.16C.32D.64练习5.过抛物线C:y2=4x的焦点F作直线l交C于A,B两点,O为坐标原点,若|AF|=3,则△AOB的面积等于().A.√2 B.2√2 C.√22D.3√22练习6.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A,B 两点,O为坐标原点.(1)若直线l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程;(2)若|AF|=2|BF|,求直线l的方程.0011.焦点三⻆形周⻓1.椭圆的焦点三⻆形直线l过左焦点F1与椭圆相交于A,B两点，则△ABF2的周长为4a.（即:F2A+F2B+AB=4a）2.双曲线的焦点三⻆形直线l过左焦点F1与双曲线相交于A,B两点，则F2A+F2B−AB=4a.002【例01】设椭圆C ：x 225+y 29=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上任意一点，则△PF 1F 2的周长为（）A.9B.13C.15D.18【例02】过双曲线x 216−y 29=1左焦点F 1的弦AB 长为6，则△ABF 2（F 2为右焦点）的周长是（）A.28B.22C.14D.12【题01】已知F1,F2是椭圆x216+y212=1的左、右焦点，直线l过点F2与椭圆交于A、B两点，且|AB|=7，则△ABF1的周长为.【题02】若F1,F2是双曲线x2−y28=1的两个焦点，点P在该双曲线上，且△PF1F2是等腰三角形，则△PF1F2的周长为.2.通径公式1.椭圆通径过焦点与长轴垂直的弦，通径长为2b2 a.2.双曲线通径过焦点与实轴垂直的弦，通径长为2b2 a.006【例01】设椭圆C∶x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，P是椭圆C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为.【例02】过双曲线x2−y28=1的右焦点作x轴的垂线l，交双曲线于A,B两点，则线段AB的长度为.【题01】已知F1,F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点，若△ABF2是等边三角形，则这个椭圆的离心率是.【题02】过双曲线x2−y28=1的右焦点作直线与双曲线交于A,B两点，若|AB|=16，则这样的直线有条.3.焦半径公式1.椭圆焦半径公式（1）PF1=a+ex0，PF2=a−ex0，其中e为离心率，x0为点P的横坐标.2.双曲线焦半径公式（1）PF1=|a+ex0|，PF2=|a−ex0|，其中e为离心率，x0为点P的横坐标.010【例01】已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在一点P使得|PF1|=32e|PF2|，则该椭圆的离心率e的取值范围是．【例02】在平面直角坐标系xOy中，双曲线x24−y212=1上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是.【题01】椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是.【题02】设F1(−c,0)，F2(c,0)分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，圆x2+y2=c2与双曲线在第一象限交于点A，若2|AF1|=3|AF2|，则此双曲线的离心率为.4.焦点弦1.1椭圆焦半径公式（2）已知直线l过左焦点F1与椭圆相交于A,B两点.设∠AF1F2=α，则焦半径|AF|=b2a−c⋅cosα，|BF|=b2a+c⋅cosα，1AF+1BF=2ab2.1.2椭圆焦点弦⻓公式|AB|=2ab2a2−c2⋅cos2α.最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径.（备注：直线l过右焦点F2与椭圆相交于A,B两点.此时设∠AF2F1=α）0142.1双曲线焦半径公式（2）已知直线l 过左焦点F 1与双曲线相交于A,B 两点.设∠AF 1F 2=α.则焦半径|AF|=b 2|a −c ⋅cos α|，|BF|=b 2|a +c ⋅cos α|，1AF +1BF =2ab 2.2.2双曲线焦点弦⻓公式焦点弦长|AB|=2ab 2|a 2−c 2⋅cos 2α|.（备注：直线l 过右焦点F 2与椭圆相交于A,B 两点.此时设∠AF 2F 1=α）3.焦点弦定理已知焦点在x 轴上的椭圆或双曲线C ，经过其焦点F 的直线交曲线于A,B 两点，直线AB 的倾斜角为θ，⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗AF =λ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗FB，则曲线C 的离心率e 满足等式：|e cos θ|=|λ−1λ+1|,e =√1+k 2|λ−1λ+1|(k ≠0).（备注：焦点在y 轴上：|e sin θ|=|λ−1λ+1|，e =√1+1k 2|λ−1λ+1|(k ≠0)）.015【例01】已知椭圆x 24+y 23=1的上焦点为F ，直线l 1∶x +y −1=0和l 12∶x +y +1=0与椭圆分别相交于A,B 和C,D ，则|AB|+|CD|=【例02】已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，过右焦点F 且斜率为k(k >0)的直线与C 相交于A,B 两点.若⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗AF =3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗FB ，则k =()A.1B.√2C.√3D.2016【题01】已知双曲线C ∶x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过F 且斜率为√3的直线交C 于A,B 两点，若⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗AF =4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗BF ，则C 的离心率为（）A.65B.75C.85D.95【题02】设椭圆C ∶x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆相交于A,B两点，直线l 的倾斜角为60°，⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗AF =2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗FB.（1）求椭圆C 的离心率；（2）如果|AB|=154，求椭圆C 的方程.019 5.椭圆和双曲线第三定义1.1A,B为椭圆x2a2+y2b2=1上关于原点对称的两点，椭圆上任一点P(P与A,B不重合)与椭圆上两点A,B的连线的斜率之积为定值：−b2 a2.2.1A,B为双曲线x2a2−y2b2=1上关于原点对称的两点，双曲线上任一点P与双曲线上两点A,B连线的斜率之积为定值：b2 a20202.2A,B为双曲线y2a2−x2b2=1上关于原点对称的两点，双曲线上任一点P与双曲线上两点A,B连线的斜率之积为定值：a2 b2021【例01】已知x2a2+y2b2=1（a>b>0），M，N是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，k1k2≠0，则|k1|+|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率为（）A.√22B.√24C.√32D.√34【例02】已知双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的两个顶点分别为A、B，点P为双曲线上除A、B外任意一点，且点P与点A、B连线的斜率分别为k1、k2，若k1k2=3，则双曲线的渐近线方程为（）A.y=±x B.y=±√2x C.y=±√3x D.y=±2x022【题01】设椭圆C：x24+y22=1与函数y=x3的图象相交于A，B两点，点P为椭圆C上异于A，B的动点，若直线PA的斜率取值范围是[−3,−1]，则直线PB的斜率取值范围是（）A.[−6,−2]B.[2,6]C.[−12,−16] D.[16,12]【题02】已知双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0），M、N是双曲线上关于原点的对称两点，P是双曲线上的动点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2（k1⋅k2≠0），若|k1|+|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为（）A.√2B.√52C.√32D.320256.焦点三⻆形⼏何性质1.如图，P是椭圆上异于长轴端点的一点，已知∠F1PF2=θ，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，则（1）S△PF1F2=b2tanθ2；（2）离心率e=sinθsinα+sinβ；（3）∣PF1∣∣PF2∣=2b21+cosθ2.如图，P是双曲线上异于实轴端点的一点，已知∠F1PF2=θ，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，则（1）S△PF1F2=b2cotθ2=b2tanθ2；（2）离心率e=sinθ∣sinα−sinβ∣；（3）∣PF1∣∣PF2∣=2b21−cosθ026【例01】已知P是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的一点，F1，F2为焦点，若⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗PF1⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗PF2=0，tan∠PF1F2=12，则椭圆的焦距与长轴的比值为．【例02】设P是椭圆x225+y29=1上的一点，且⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗PF1⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗PF2=0，则△PF1F2的面积为．027【题01】已知F1和F2是双曲线x24−y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是．【题02】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是等边三角形，则这个椭圆的离心率是．029 7.圆锥曲线的光学性质1.1已知椭圆C∶x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2.点P为椭圆上一点，则有：①椭圆C在点P处的切线l平分焦点三角形△PF1F2的外角；②过点P且垂直切线l的直线PM交x轴于M点，PM平分∠F1PF2.1.2椭圆的光学性质：由椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射（切线l为镜面，PM为法线）后，反射光线经过另一个焦点.2.1双曲线的光学性质：由双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的.反.向.延.长.线经过另一个焦点.①双曲线C在点P处的切线l平分∠F1PF2;②过点P且垂直切线l的直线PM交x轴于点M，PM平分△PF1F2的外角.0303.1抛物线的光学性质：由抛物线焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线对称轴.031【例01】已知F1,F2是椭圆x216+y212=1的左、右焦点，点M(2,3)，则∠F1MF2的角平分线的斜率为．【例02】已知点P是双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）右支上的动点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，∠F1PF2的角平分线l与x轴交于点Q(x0,0)，设双曲线的半焦距为c，若x0的范围是0<x0<23c，则双曲线的离心率是032【题01】已知椭圆E：x216+y212=1经过点A(2,3)，左右焦点分别为F1、F2.若∠F1AF2的角平分线所在的直线l与椭圆E的另一个交点为B，C为椭圆E上的一点，当△ABC 的面积最大时，求C点的坐标．【题02】xx04+yy0=1椭圆C：x24+y2=1的左、右焦点分别是F1，F2．点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1,PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围．035 8.等⻆性质已知椭圆C∶x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，过长轴上任意一点N(t,0)的人一条弦端点A,B与对应点G(a2t,0)的连线所成角被焦点所在直线平分,则有∠OGA=∠OGB，（即k GA+k GB=0）已知双曲线C∶x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)，过实轴所在直线上任意一点N(t,0)的一条弦端点A,B与对应点G(a2t,0)的连线所成角被焦点所在直线平分,则有∠NGA=∠NGB，（即k GA+k GB=0）036已知抛物线y2=2px(p＞0)，过抛物线对称轴上任意一点N（a,0）的一条弦端点AB与对应点G（−a,0）的连线所成角被对称轴平分，则有∠OGA=∠OGB（即k GA+k GB=0）037【例01】（2018年全国一卷⋅变式）设椭圆C：x22+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，x轴上有一点M，若有∠OMA=∠OMB，则M的坐标是【例02】在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点F1(−√3,0)，F2(√3,0)，Q为平面上的动点，且|F2Q|=4，线段F1Q的中垂线与线段F2Q交于点P．（1）求|PF1|+|PF2|的值，并求动点P的轨迹E的方程；（2）若直线l（l的斜率存在）与曲线E相交于A，B两点，且存在点D(4,0)（其中A，B，D不共线），使得∠ADO=∠BDO，证明：直线l过定点．038【题01】已知椭圆C的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线y2=4√5x的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）已知经过定点M(2,0)且斜率存在且不为0的直线l交椭圆C于A、B两点，试问在x轴上是否另存在一个定点P使得PM始终平分∠APB？若存在，求出P点坐标，若不存在请说明理由．【题02】已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8．（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知点B(−1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点．041 9.垂径定理1.如图，已知直线l与椭圆相交于A，B两点，点M为AB的中点，O为原点，则k OM k AB=−b2a2．2.如图，已知直线l与双曲线相交于A，B两点，点M为AB的中点，O为原点，则k OM k AB= b2a2．（注：直线l与双曲线的渐近线相交于A，B两点，其他条件不变，结论依然成立．）042【例01】已知直线l与椭圆x24+y23=1交于A，B两点，且AB的中点为P（1，1），则直线l的方程为．【例02】已知直线l与双曲线x2−y22=1交于A，B两点，且AB的中点为P（2，1），则直线l的方程为．【题01】已知双曲线x210−y25=1上有不共线三点A，B，C，且AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，若直线OD，OE，OF的斜率之和为−2，则1k AB+1k BC+1k AC=．【题02】已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率e=√63，A，B是椭圆上两点，N（3，1）是线段AB的中点，则直线AB的方程为．。
【高中数学】圆锥曲线的相关结论192条
的充要条件为 ， ， 的横坐标（纵坐标）成等差数列．
结论 54：焦点在 轴上的双曲线（或焦点在 轴）上三点 ， ， 的焦半径成等差数
列的充要条件为 ， ， 的横坐标（纵坐标）成等差数列．
结论 55：焦点在 轴上的抛物线（或焦点在 轴）上三点 ， ， 的焦半径成等差数
列的充要条件为 ， ， 的横坐标（纵坐标）成等差数列．
x0
mx
a2
m
y0
n y
b2
n
1．
结论 18：点 M （ x0 ， y0 ）在抛物线 y n2 2 px m外，过点 M 作抛物线的两条切
线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为
y0 ny n px x0 2m．
结论 16：（补充）点 M
（
x0
，
y0
）在椭圆
x
a
【高中数学】圆锥曲线的相关结论192条
结论 1：过圆 x 2 y 2 2a 2 上任意点 P 作圆 x 2 y 2 a 2 的两条切线，则两条切线垂直．
结论 2：过圆 x 2
y2
a2
b
2
上任意点
P
作椭圆
x a
2 2
y2 b2
1（ a
b 0 ）的两条切线，
则两条切线垂直．
结论 3：过圆 x 2
结论 47：椭圆的准线上任一点 处的切点弦 过其相应的焦点 ，且 ⊥ ．
结论 48：双曲线的准线上任一点 处的切点弦 过其相应的焦点 ，且 ⊥ ．
结论 49：抛物线的准线上任一点 处的切点弦 过其焦点 ，且 ⊥ ．
结论 50：椭圆上任一点 处的切线交准线于 ， 与相应的焦点 的连线交椭圆于 ，
则 必与该椭圆相切，且 ⊥ ．
圆锥曲线的经典性质总结
椭圆 必背的经典结论1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7.椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b +=+.双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
有关圆锥曲线的经典结论
一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.000(,)P x y 22221x y a b +=0P 00221x x y y a b +=6. 若在椭圆外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点000(,)P x y 22221x y a b +=弦P 1P 2的直线方程是.00221x x y ya b+=7. 椭圆 (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点22221x y a b+=，则椭圆的焦点角形的面积为.12F PF γ∠=122tan2F PF S b γ∆=8. 椭圆（a ＞b ＞0）的焦半径公式：22221x y a b+=,( , ).10||MF a ex =+20||MF a ex =-1(,0)F c -2(,0)F c 00(,)M x y 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22221x y a b +=),(00y x ，22OM AB b k k a ⋅=-即。
0202y a x b K AB -=12. 若在椭圆内，则被Po 所平分的中点弦的方程是000(,)P x y 22221x y a b+=. 2200002222x x y y x y a b a b+=+13. 若在椭圆内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是000(,)P x y 22221x y a b+=. 22002222x x y yx y a b a b+=+二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若在双曲线（a ＞0,b ＞0）上，则过的双曲线的切线方程000(,)P x y 22221x y a b-=0P 是. 00221x x y ya b-=6. 若在双曲线（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切000(,)P x y 22221x y a b-=线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是.00221x x y ya b-=7. 双曲线（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意22221x y a b-=一点，则双曲线的焦点角形的面积为.12F PF γ∠=122t2F PF S b co γ∆=8. 双曲线（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：( ,22221x y a b-=1(,0)F c -2(,0)F c 当在右支上时，,.00(,)M x y 10||MF ex a =+20||MF ex a =-当在左支上时，,00(,)M x y 10||MF ex a =-+20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的22221x y a b-=),(00y x 中点，则，即。