桥梁结构设计第二讲弯桥
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F { F 1 ,F 2 } T { Q 1 ,M 1 ,T 1 ,Q 2 ,M 2 ,T 2 } T
F F F1 2 k k1 21 1 k k1 22 2 1 2 [Ke]
• 左端发生位移时
1[f]F11
f11 f12 f13 [ f ] f21 f22 f23
d i1
n
i1
ai
i1
3、纯转动平衡
v i R i C v R T i i C v T i0 ( a i d )
i R iC R i T iC T i0
可求得各主梁分配到的荷载为
R i (a C iv R iC d )T C i T iC 2 R C iv T i 0 [ (a i d )a ib i]0
– 1) 在结构布置设计中，尽量使异形结构部分 相对独立，使其复杂的受力行为对规则结构 影响较小；
– 2) 通过计算或试验分析使结构的主梁或主筋 布置方向尽量与主弯矩方向一致；
– 3) 在支承边应设置与支承线方向平行的横梁 或横隔板；
独柱“墩—梁”固结连续刚构 中间偏心点铰支承
2. 水平约束的布置
径向变形：温度、收缩 切向变形：预应力、徐变
• 两种布置形式
多向活动支座 固定支座
侧向挡块
纵向固定横 向活动支座
多向活动支座 侧向挡块
• 常年温差变形
• 上海市南浦大桥浦东引桥连续弯箱梁 支承布置
3、伸缩缝的设置
弯桥必须保证纵向伸缩缝的自由伸缩，否则 相当与平面内的拱桥，会引起侧向位移，甚 至侧向失稳。
4.弯桥的支点反力与直线桥相比，有曲线外侧 变大，内侧变小的倾向，内侧甚至产生负反 力；
5.弯桥的中横梁，是保持全桥稳定的重要构件， 与直线桥相比，其刚度一般较大；
6.弯桥中预应力效应对支反力的分配有较大影 响，计算支座反力时必须考虑预应力效应的 影响。
二、影响弯桥受力特性的主要因素
1.圆心角 跨长一定，主梁圆心角的大小就代表了梁的曲
i0
各主梁分配到的荷载是两种状态的总和
Ri RiRi
Ti TiTi
位移与各主梁反力的关系
viR iC vR iT iC vT i
i R iC R iT iC Ti
2、纯平移平衡
v i R i C v R i T iC v T i v 0 常 数
iR iC R i T iC T i 0
可求得各主梁分配到的荷载为
n
n P e
(aid)2 ai2 (aid) bi ci
i1
i1
i1
T in
ci(aid)bi
n
n P e
(aid)2 ai2 (aid) bi ci
i1
i1
i1
4、荷载横向分布计算公式
Ri
ai
Ph1i
Pe
Ti
bi
Ph2i
Pe
令 P1 ，并随e的变化在不同的主梁上作用， 即可求得第I根主梁的横向分布影响线
mz
0
Qy z
qy
0
合并后得到
3z M 3yR 1 2 M zyq zx2 z m 2yq R zm R 2 y
2zM 2x R 1T zqym zx
T Mx z R
mz
2、内力与变形的关系
M yEIykyEIy(d dz2u 2R u2)
M xEIxkxEIx(d dz2v 2R)
集中荷载作用下的跨中截面位移
w 2 P E 3 [( 1 r I 4 k )(0 si0 ) n s2 e 2 0 c k 2 0 k tg 2 0 ]
4. 连续曲梁的分析
取简支超静定曲梁作为基本结构，用力法求 解，力法方程具有三弯矩方程的形式。
三、平面弯桥的荷载横向分布 计算
梁格、梁系和比拟正交异性板等三类横 向分布理论在弯桥上均有应用。
E R v II V E x R G Id v I E II V G d I E R 2 x Im z
( E I x E R I 2 ) v I V G R I 2 d v E R I I V E I x R G I d q y m z x
二、结构力学方法求解圆弧形 单曲梁
f31 f32 f33
F11[f]11
k1 1[f ]1
• 由单元左右端力平衡
F 2 1 [D ]F 1 1 [D ][f] 11
k21[D][f]1
• 当右端发生位移时，相当于在左端发生 位移
1[D]2
• 单元两端的杆端力为
F 1 2 [f] 1 1 [f] 1 [D ]2
F 2 2 [ D ] [ f] 1 1 [ D ] [ f] 1 [ D ] 2
3、单点支撑弯桥的侧移
原因：来回变形路线的不同
第二节 平面弯桥的设计计算
• 计算方法综述
– 杆系结构力学+横向分布 – 有限元法
• 梁格法 • 板壳单元
一、平面曲梁的变形微分方程
1、六个方向的内外力平衡
My z
Qx
my
0
Qx z
N Rqx
0
NQx z R
qz
0
M zx T RQymx 0
TMx z R
W M F R F h R ( R h )
• 腹板总体上可以按固端梁计算
• 局部
– 进行空间计算 – 采取构造措施
• 防崩钢筋 • 纵向预应力束向曲线外侧靠拢
第三节 异形桥梁的构造特点和 设计原则
• 变宽度桥、两端支承边斜角不等的直斜 桥及弯斜桥、支承边呈折线形的多边形 斜桥
一、设计原则
证明与直桥的关系。
5、刚度系数的计算
ai
Ai
EI i
l
3 i
bi
B
i
EI
l
2 i
i
ci
C
i
wenku.baidu.com
GI li
di
四、曲线梁格法分析弯斜桥
• 折线型与曲线型梁格
– 单元划分足够细时，折线与曲线梁格计算结 果基本相同
1．单元刚度矩阵
• 建立杆端位移与 杆端力的关系
{ 1 ,2 } T { w 1 ,1 ,1 ,w 2 ,2 ,2 } T
2. 弯桥预应力索的配置
• 配置原则
– 除了利用预应力抵抗弯矩外，也利用预应力 抵消外荷载产生的扭矩。
– “线性变换”原理不再适用 – 截面上对称布置的预应力索不产生扭矩
• 弯桥设计中常见的预应力配置方法
1) 确定外荷载引起的弯矩、扭矩和剪力； 2) 按照抵抗弯矩的要求计算所需预应力钢筋
的数量和线形； 3) 移动抗弯预应力钢筋，尽量抵消外扭矩； 4) 计算剩余扭矩和剩余剪力，必要时配置专
率，圆心角越大，曲率半径就越小；
2. 桥梁宽度与曲率半径之比
宽桥的活载扭矩大，从而弯矩也大 宽桥的恒载也产生扭矩荷载
3. 弯扭刚度比
增大抗扭惯矩可以大大减小扭转变形
4. 扇性惯矩
三、弯桥的支承布置形式
1. 竖向支承布置
简支静定曲梁 简支超静定曲梁 全抗扭支承连续梁 中间点铰支承连续梁 抗扭、点铰交替连续梁
3) 连续弯梁的中间支承附近因内力变化较剧 烈，故一般应加密网格；
4) 横向和纵向构件的间距必须接近，以使荷 载分布较敏感；
5) 为配合悬臂部分的荷载计算，有时应在悬 臂端部设置纵向构件
4、曲线梁格程序总框图
五、弯桥的预应力索配置
1. 曲梁中的预应力初内力及等效荷载
初内力与等效荷载的关系
VN W NR0 M M T V N R Q M R 0 T M M Q L R 0 V M N W M R 0
– 预应力初扭矩T等于0 – 横向弯矩等于0 – 横向剪力等于0
• 曲梁预应力等效荷载
W N F zR (R h )
W M F R F h R ( R h )
W LF h R (R h ) Q N F h h R (R h ) Q M F h zR (R h ) Q L F R F z ( z h h z )R ( R h )
1. 简支静定的曲梁内力 完全通过内外力 平衡关系计算。
2. 简支超静定曲梁内力
一次超静定结构， 以简支静定曲梁 为基本结构采用 力法求解。
曲梁受力变化规律：
1) 当圆心角<30度时，曲梁的弯矩比相应跨长 的直梁弯矩增大不到；
2) 当圆心角>90度时，曲率对弯矩有明显的影 响；
3) 当圆心角=180度时，弯矩和扭矩均趋于无 穷大，结构失稳；
k12[f]1[D]
k22 [D ][f] 1[D ]
2．单元等效节点荷载列阵
P{Q ,q,T,t,M ,m }T
R { R 1 ,R 2 } T { Q 1 ,M 1 ,T 1 ,Q 2 ,M 2 ,T 2 } T
• 解开左端约束，在单元内部荷载与等效 节点荷载作用下，左端的位移可表示为
4) 支座反力和剪力与直梁完全相同。
3. 简支超静定曲梁的变形
变形可以通过虚功原理求解，也可以通过微 分方程求解。 计算公式很复杂。 均布荷载作用下的跨中截面位移
w p E 4 [1 r I ( 2 k )1 ( s2 e 0 ) c k 8 0 2 ( 1 4 k )0 ( 1 t2 g 2 0 ) s2 i 0 ] n
TEIdd2zk2z
GIdkz
d3 1d3 v
d 1d v
E I (d z3R d z3) G Id(d zR d z)
ky
d2u dz2
u R2
d2v
kx dz2 R
d 1dv
kz
dz
Rdz
3、合并内外力平衡方程和内力位移关系 ——符拉索夫方程
E y(u I V R 2 2u R 1 4u )q z x2 z m 2 y q R z m R 2 y
1[f]R 1[fP]P
f1P1 f1P2 f1P3 f1P4 f1P5 f1P6 [fP]f2P1 f2P2 f2P3 f2P4 f2P5 f2P6
f3P1 f3P2 f3P3 f3P4 f3P5 f3P6
• 单元处于平衡状态时 1 0
R1[f]1[fP]P
• 根据单元内力平衡，可得右端节点等效 荷载为
弯桥计算分析
第一节 平面弯桥的受力特点和 构造
一、弯桥的受力特点
1.由于曲率的影响，梁截面在发生竖向弯曲时， 必然产生扭转，而这种扭转作用又将导致梁 的挠曲变形，称之为“弯—扭”耦合作用；
2. 弯桥的变形比同样跨径直线桥大，外边缘的 挠度大于内边缘的挠度，曲率半径越小、桥 越宽，这一趋势越明显；
3.弯桥即使在对称荷载作用下也会产生较大的 扭转，通常会使外梁超载，内梁卸载；
Riv0CvRCiC TTiiC2Ri avi0 Tiv0CvRCC iTvi TC i 2Ri bvi0
由竖向力平衡
n
Ri P
i1
n
v0 P ai
i1
由D点的力矩平衡
n
n
Ti Ri(ai d)0
i1
i1
R0
ai
n
P
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i 1
T0
bi
n
P
ai
i 1
n
n
aiai bi
这里介绍刚性横梁法。
适用范围：
IQ
(
l
)3
I X B0
主 梁 跨 中 作 用 单 位 集 中 荷 载 时 的 跨 中 挠 度 长 度 为 B 0 的 横 梁 跨 中 作 用 单 位 集 中 荷 载 时 的 跨 中 挠 度
1、两种位移平衡状态
纯平移
vi v0 常数 i 0
纯转动 vi0(ai d)
R 2 [ D ] R 1 [ D P ] P [ D ] f ] [ 1 [ f P ] P [ D P ] P
3．梁格划分及截面特性计算
1) 梁格的纵、横向构件应与原构件梁肋（或 腹板）的中心线相重合，通常沿切向和径向 设置；
2) 每跨至少分成4～6段，一般应分成8段以上， 以保证有足够的精度；
门的抗扭和抗剪预应力筋或普通钢筋； 5) 全桥预应力效应校核。
3. 空间曲线预应力索的摩阻损 失计算
• 摩阻损失计算仍可采用平面曲线预应力 束的计算公式
• 张拉端至计算点之间的曲线包角必须用 空间包角来计算
• 近似计算方法
2H V2
4. 预应力索的侧向防崩
• 预应力束产生指向曲线内侧的水平荷载
T iC v C R ivR iC (a T ii d C ) 2 C R iR i 0 [ci (a i d)b i]0
由D点的力矩平衡
n
n
Ti Ri(ai d)pe
i1
i1
0n
Pe
n
n
(aid)2a i 2 (aid)b i ci
i1
i1
i1
R in
(aid) ai bi
N V M W L R 0
M N V M R Q N R 0
• 预应力初内力
通过几何关系分析可得预应力在三个方的向 分力，通过内外力平衡可得预应力初内力
V N F z(R h )
MMFz
T F (zh h z )(R h )
NF
V M F h (R h )
MNFh
• 如果预应力束在横截面上左右对称，
F F F1 2 k k1 21 1 k k1 22 2 1 2 [Ke]
• 左端发生位移时
1[f]F11
f11 f12 f13 [ f ] f21 f22 f23
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n
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3、纯转动平衡
v i R i C v R T i i C v T i0 ( a i d )
i R iC R i T iC T i0
可求得各主梁分配到的荷载为
R i (a C iv R iC d )T C i T iC 2 R C iv T i 0 [ (a i d )a ib i]0
– 1) 在结构布置设计中，尽量使异形结构部分 相对独立，使其复杂的受力行为对规则结构 影响较小；
– 2) 通过计算或试验分析使结构的主梁或主筋 布置方向尽量与主弯矩方向一致；
– 3) 在支承边应设置与支承线方向平行的横梁 或横隔板；
独柱“墩—梁”固结连续刚构 中间偏心点铰支承
2. 水平约束的布置
径向变形：温度、收缩 切向变形：预应力、徐变
• 两种布置形式
多向活动支座 固定支座
侧向挡块
纵向固定横 向活动支座
多向活动支座 侧向挡块
• 常年温差变形
• 上海市南浦大桥浦东引桥连续弯箱梁 支承布置
3、伸缩缝的设置
弯桥必须保证纵向伸缩缝的自由伸缩，否则 相当与平面内的拱桥，会引起侧向位移，甚 至侧向失稳。
4.弯桥的支点反力与直线桥相比，有曲线外侧 变大，内侧变小的倾向，内侧甚至产生负反 力；
5.弯桥的中横梁，是保持全桥稳定的重要构件， 与直线桥相比，其刚度一般较大；
6.弯桥中预应力效应对支反力的分配有较大影 响，计算支座反力时必须考虑预应力效应的 影响。
二、影响弯桥受力特性的主要因素
1.圆心角 跨长一定，主梁圆心角的大小就代表了梁的曲
i0
各主梁分配到的荷载是两种状态的总和
Ri RiRi
Ti TiTi
位移与各主梁反力的关系
viR iC vR iT iC vT i
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2、纯平移平衡
v i R i C v R i T iC v T i v 0 常 数
iR iC R i T iC T i 0
可求得各主梁分配到的荷载为
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4、荷载横向分布计算公式
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令 P1 ，并随e的变化在不同的主梁上作用， 即可求得第I根主梁的横向分布影响线
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合并后得到
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2、内力与变形的关系
M yEIykyEIy(d dz2u 2R u2)
M xEIxkxEIx(d dz2v 2R)
集中荷载作用下的跨中截面位移
w 2 P E 3 [( 1 r I 4 k )(0 si0 ) n s2 e 2 0 c k 2 0 k tg 2 0 ]
4. 连续曲梁的分析
取简支超静定曲梁作为基本结构，用力法求 解，力法方程具有三弯矩方程的形式。
三、平面弯桥的荷载横向分布 计算
梁格、梁系和比拟正交异性板等三类横 向分布理论在弯桥上均有应用。
E R v II V E x R G Id v I E II V G d I E R 2 x Im z
( E I x E R I 2 ) v I V G R I 2 d v E R I I V E I x R G I d q y m z x
二、结构力学方法求解圆弧形 单曲梁
f31 f32 f33
F11[f]11
k1 1[f ]1
• 由单元左右端力平衡
F 2 1 [D ]F 1 1 [D ][f] 11
k21[D][f]1
• 当右端发生位移时，相当于在左端发生 位移
1[D]2
• 单元两端的杆端力为
F 1 2 [f] 1 1 [f] 1 [D ]2
F 2 2 [ D ] [ f] 1 1 [ D ] [ f] 1 [ D ] 2
3、单点支撑弯桥的侧移
原因：来回变形路线的不同
第二节 平面弯桥的设计计算
• 计算方法综述
– 杆系结构力学+横向分布 – 有限元法
• 梁格法 • 板壳单元
一、平面曲梁的变形微分方程
1、六个方向的内外力平衡
My z
Qx
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0
Qx z
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0
NQx z R
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0
M zx T RQymx 0
TMx z R
W M F R F h R ( R h )
• 腹板总体上可以按固端梁计算
• 局部
– 进行空间计算 – 采取构造措施
• 防崩钢筋 • 纵向预应力束向曲线外侧靠拢
第三节 异形桥梁的构造特点和 设计原则
• 变宽度桥、两端支承边斜角不等的直斜 桥及弯斜桥、支承边呈折线形的多边形 斜桥
一、设计原则
证明与直桥的关系。
5、刚度系数的计算
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四、曲线梁格法分析弯斜桥
• 折线型与曲线型梁格
– 单元划分足够细时，折线与曲线梁格计算结 果基本相同
1．单元刚度矩阵
• 建立杆端位移与 杆端力的关系
{ 1 ,2 } T { w 1 ,1 ,1 ,w 2 ,2 ,2 } T
2. 弯桥预应力索的配置
• 配置原则
– 除了利用预应力抵抗弯矩外，也利用预应力 抵消外荷载产生的扭矩。
– “线性变换”原理不再适用 – 截面上对称布置的预应力索不产生扭矩
• 弯桥设计中常见的预应力配置方法
1) 确定外荷载引起的弯矩、扭矩和剪力； 2) 按照抵抗弯矩的要求计算所需预应力钢筋
的数量和线形； 3) 移动抗弯预应力钢筋，尽量抵消外扭矩； 4) 计算剩余扭矩和剩余剪力，必要时配置专
率，圆心角越大，曲率半径就越小；
2. 桥梁宽度与曲率半径之比
宽桥的活载扭矩大，从而弯矩也大 宽桥的恒载也产生扭矩荷载
3. 弯扭刚度比
增大抗扭惯矩可以大大减小扭转变形
4. 扇性惯矩
三、弯桥的支承布置形式
1. 竖向支承布置
简支静定曲梁 简支超静定曲梁 全抗扭支承连续梁 中间点铰支承连续梁 抗扭、点铰交替连续梁
3) 连续弯梁的中间支承附近因内力变化较剧 烈，故一般应加密网格；
4) 横向和纵向构件的间距必须接近，以使荷 载分布较敏感；
5) 为配合悬臂部分的荷载计算，有时应在悬 臂端部设置纵向构件
4、曲线梁格程序总框图
五、弯桥的预应力索配置
1. 曲梁中的预应力初内力及等效荷载
初内力与等效荷载的关系
VN W NR0 M M T V N R Q M R 0 T M M Q L R 0 V M N W M R 0
– 预应力初扭矩T等于0 – 横向弯矩等于0 – 横向剪力等于0
• 曲梁预应力等效荷载
W N F zR (R h )
W M F R F h R ( R h )
W LF h R (R h ) Q N F h h R (R h ) Q M F h zR (R h ) Q L F R F z ( z h h z )R ( R h )
1. 简支静定的曲梁内力 完全通过内外力 平衡关系计算。
2. 简支超静定曲梁内力
一次超静定结构， 以简支静定曲梁 为基本结构采用 力法求解。
曲梁受力变化规律：
1) 当圆心角<30度时，曲梁的弯矩比相应跨长 的直梁弯矩增大不到；
2) 当圆心角>90度时，曲率对弯矩有明显的影 响；
3) 当圆心角=180度时，弯矩和扭矩均趋于无 穷大，结构失稳；
k12[f]1[D]
k22 [D ][f] 1[D ]
2．单元等效节点荷载列阵
P{Q ,q,T,t,M ,m }T
R { R 1 ,R 2 } T { Q 1 ,M 1 ,T 1 ,Q 2 ,M 2 ,T 2 } T
• 解开左端约束，在单元内部荷载与等效 节点荷载作用下，左端的位移可表示为
4) 支座反力和剪力与直梁完全相同。
3. 简支超静定曲梁的变形
变形可以通过虚功原理求解，也可以通过微 分方程求解。 计算公式很复杂。 均布荷载作用下的跨中截面位移
w p E 4 [1 r I ( 2 k )1 ( s2 e 0 ) c k 8 0 2 ( 1 4 k )0 ( 1 t2 g 2 0 ) s2 i 0 ] n
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3、合并内外力平衡方程和内力位移关系 ——符拉索夫方程
E y(u I V R 2 2u R 1 4u )q z x2 z m 2 y q R z m R 2 y
1[f]R 1[fP]P
f1P1 f1P2 f1P3 f1P4 f1P5 f1P6 [fP]f2P1 f2P2 f2P3 f2P4 f2P5 f2P6
f3P1 f3P2 f3P3 f3P4 f3P5 f3P6
• 单元处于平衡状态时 1 0
R1[f]1[fP]P
• 根据单元内力平衡，可得右端节点等效 荷载为
弯桥计算分析
第一节 平面弯桥的受力特点和 构造
一、弯桥的受力特点
1.由于曲率的影响，梁截面在发生竖向弯曲时， 必然产生扭转，而这种扭转作用又将导致梁 的挠曲变形，称之为“弯—扭”耦合作用；
2. 弯桥的变形比同样跨径直线桥大，外边缘的 挠度大于内边缘的挠度，曲率半径越小、桥 越宽，这一趋势越明显；
3.弯桥即使在对称荷载作用下也会产生较大的 扭转，通常会使外梁超载，内梁卸载；
Riv0CvRCiC TTiiC2Ri avi0 Tiv0CvRCC iTvi TC i 2Ri bvi0
由竖向力平衡
n
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i1
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v0 P ai
i1
由D点的力矩平衡
n
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i1
i1
R0
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n
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T0
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这里介绍刚性横梁法。
适用范围：
IQ
(
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I X B0
主 梁 跨 中 作 用 单 位 集 中 荷 载 时 的 跨 中 挠 度 长 度 为 B 0 的 横 梁 跨 中 作 用 单 位 集 中 荷 载 时 的 跨 中 挠 度
1、两种位移平衡状态
纯平移
vi v0 常数 i 0
纯转动 vi0(ai d)
R 2 [ D ] R 1 [ D P ] P [ D ] f ] [ 1 [ f P ] P [ D P ] P
3．梁格划分及截面特性计算
1) 梁格的纵、横向构件应与原构件梁肋（或 腹板）的中心线相重合，通常沿切向和径向 设置；
2) 每跨至少分成4～6段，一般应分成8段以上， 以保证有足够的精度；
门的抗扭和抗剪预应力筋或普通钢筋； 5) 全桥预应力效应校核。
3. 空间曲线预应力索的摩阻损 失计算
• 摩阻损失计算仍可采用平面曲线预应力 束的计算公式
• 张拉端至计算点之间的曲线包角必须用 空间包角来计算
• 近似计算方法
2H V2
4. 预应力索的侧向防崩
• 预应力束产生指向曲线内侧的水平荷载
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由D点的力矩平衡
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(aid)2a i 2 (aid)b i ci
i1
i1
i1
R in
(aid) ai bi
N V M W L R 0
M N V M R Q N R 0
• 预应力初内力
通过几何关系分析可得预应力在三个方的向 分力，通过内外力平衡可得预应力初内力
V N F z(R h )
MMFz
T F (zh h z )(R h )
NF
V M F h (R h )
MNFh
• 如果预应力束在横截面上左右对称，