2020年高考试题分类汇编(三角函数)

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2020高考数学分类汇编--三角函数解三角形

2020年普通高等学校招生全国统一考试一卷理科数学7．设函数()cos π()6f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6C ．4π3D ．3π29．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A ．53B ．23 C ．13D ．597．C9．A2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学2．若α为第四象限角，则A ．02cos >αB ．02cos <αC ．02sin >αD ．02sin <α17．（12分）ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C --=．（1）求A ；（2）若3BC =，求ABC △周长的最大值．2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学7．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19B ．13C ．12D ．239．已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ= A ．–2B ．–1C ．1D ．216．关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 7．A9．D16．②③2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学7．设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π218．（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a 3，b 7ABC △的面积；（2）若sin A 3C 2，求C . 7．C18．解：（1）由题设及余弦定理得22228323cos150c c c =+-⨯︒，解得2c =-（舍去），2c =，从而23a =ABC △的面积为1232sin15032⨯⨯︒=（2）在ABC △中，18030A B C C =︒--=︒-，所以sin 3sin(30)3sin(30)A C C C C =︒-=︒+，故2sin(30)2C ︒+=而030C <<︒，所以3045C ︒+=︒，故15C =︒.2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学13．若2sin 3x =-，则cos2x =__________． 17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=．（1）求A ；（2）若b c -=，证明：△ABC 是直角三角形． 13．1917．解：（1）由已知得25sin cos 4A A +=，即21cos cos 04A A -+=．所以21(cos )02A -=，1cos 2A =．由于0A <<π，故3A π=．（2）由正弦定理及已知条件可得sin sin B C A -=．由（1）知23B C π+=，所以2sin sin()33B B ππ--=．即11sin 22B B =，1sin()32B π-=．由于03B 2π<<，故2B π=．从而ABC △是直角三角形． 2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学5．已知πsin sin=3θθ++（）1，则πsin =6θ+（）A ．12BC ．23D11．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B = AB ．C ．D ．12．已知函数f (x )=sin x +1sin x，则 A ．f (x )的最小值为2 B ．f (x )的图像关于y 轴对称 C ．f (x )的图像关于直线x =π对称D ．f (x )的图像关于直线2x π=对称 5．B11．C12．D2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）（9）已知αβ∈R ,，则“存在k ∈Z ，使得π(1)kk αβ=+-”是“βαsin sin =”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πay)D 。

三角函数(教师版)--2020-2023高考真题数学专题分类汇编

专题五三角函数--2020-2023高考真题数学专题分类汇编真题卷题号考点考向2023新课标1卷8三角恒等变换给值求值15三角函数的性质及应用余弦型函数的零点问题2023新课标2卷7三角恒等变换给值求值16三角函数的图象与性质由部分图象求解析式、求函数值2022新高考1卷6三角函数的性质及应用求三角函数的解析式、求函数值2022新高考2卷6三角恒等变换三角求值9三角函数的图象与性质求三角函数的单调区间、对称轴、极值点、求切线方程2021新高考1卷4三角函数的性质及应用求三角函数的单调区间2021新高考2卷6三角恒等变换给值求值2020新高考1卷10三角函数的图象与性质由图象求三角函数的解析式15三角函数的应用三角函数解决实际问题2020新高考2卷11三角函数的图象与性质由图象求三角函数的解析式16三角函数的应用三角函数解决实际问题【2023年真题】1.（2023·新课标I卷第8题）已知1sin()3αβ-=，1cos sin6αβ=，则cos(22)αβ+=()A.79 B.19 C.19- D.79-【解析】本题考查两角和与差的正弦公式以及二倍角公式，属于中档题.利用两角和与差的正弦公式先求出sin cos αβ的值，从而可以得到sin()αβ+的值，再结合二倍角的余弦公式即可得出结果.解：因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，1cos sin 6αβ=，则1sin cos .2αβ=故112sin()sin cos cos sin .263αβαβαβ+=+=+=即2221cos(22)12sin ()12(.39αβαβ+=-+=-⨯=故选B.2.（2023·新课标II 卷第7题）已知α为锐角，15cos 4α+=，则sin 2α=()A.358- B.158-+ C.354- D.154-【答案】D 【解析】【分析】本题考查倍角公式，属于基础题．观察题干，发现未知角为已知角的一半，考虑倍角公式，即可得证.【解答】解：221511cos 36114sin ()sin 222816424ααα+----=====⇒=故选：.D 3.（2023·新课标I 卷第15题）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[0,2]π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是__________.【答案】[2,3).【解析】【分析】本题考查了余弦型函数的零点问题，属中档题.解：令()cos 10f x x ω=-=，得cos 1x ω=，又[0,2]x π∈，则[0,2]x ωωπ∈，所以426πωππ<，得2 3.ω<故答案为：[2,3).4.（2023·新课标II 卷第16题）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若||6AB π=，则()f π=.【答案】32-【解析】【分析】主要考查了函数sin()y A x ωϕ=+的性质与图象，诱导公式等，属于一般题.根据AB 的长度求出.ω函数图象过点2(,0)3π，求.ϕ诱导公式得到答案.【解答】解：设相邻的两个交点A ，B 的横坐标为1 t ，2 t ，则21 - 6t t π=又1sin()2x ωϕ+=，522,.0,66x k k k Z k ππωϕππ+=++∈=或当时16t πωϕ+=，256t πωϕ+=，212( - )3t t πω=，故 4.ω=函数图象过点2(,0)3π，8sin ()03πϕ+=，故8 ,.3k k Z πϕπ=-∈2k =时满足图片条件，故2.3πϕ=-23()sin(4.32f πππ=-=-【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷第6题）记函数()sin()(0)4f x x b πωω=++>的最小正周期为.T 若23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，则(2f π=()A.1 B.32C.52D.3【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查三角函数的周期性和对称性，属于中档题.根据周期范围，确定ω范围，再根据对称中心确定21(34k ω=-，k Z ∈，二者结合可得结果.【解答】解：由题可知：22(,)3T πππω=∈，所以(2,3).ω∈又因为()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，所以2b =，且33()sin() 2.224f b πππω=⨯++=所以21(34k ω=-，k Z ∈，所以5.2ω=所以5()sin( 2.24f x x π=++所以() 1.2f π=6.（2022·新高考II 卷第6题）若sin()cos())sin 4παβαβαβ+++=+，则()A.tan()1αβ+=-B.tan()1αβ+=C.tan()1αβ-=-D.tan()1αβ-=【答案】C 【解析】【分析】本题考查三角恒等变换的应用法一：利用特殊值法，排除错误选项即可法二，利用三角恒等变换，求出正确选项【解答】解：解法一：设0β=则sin cos 0αα+=，取34απ=，排除B ，D 再取0α=则sin cos 2sin βββ+=，取4πβ=，排除;A 选.C解法二：由sin()cos())]44ππαβαβαβαβ+++=++=++)cos44ππαβαβ=+++，cos )sin 44ππαβαβ+=+故sin()cos cos()sin 044ππαβαβ+-+=，即sin()04παβ+-=，故22sin(sin()cos()0422παβαβαβ-+=-+-=，故sin()cos()αβαβ-=--，故tan() 1.αβ-=-7.（2022·新高考II 卷第9题）（多选）已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象关于点2(,0)3π对称，则()A.()f x 在5(0,12π单调递减B.()f x 在11(,)1212ππ-有两个极值点C.直线76x π=是曲线()y f x =的一条对称轴D.直线2y x =-是曲线()y f x =的一条切线【答案】AD 【解析】【分析】本题考查三角函数的图象与性质，三角函数的单调性、三角函数的对称轴与对称中心，函数的极值，切线方程的求解，属于中档题.【解答】解：由题意得：24()sin()033f ππϕ=+=，所以43k πϕπ+=，即43k πϕπ=-+，k Z ∈，又0ϕπ<<，所以2k =时，23πϕ=，故2()sin(2).3f x x π=+选项5:(0,)12A x π∈时，2232(,)332x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在5(0,)12π单调递减;选项11:(,1212B x ππ∈-时，252(,)322x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在11(,1212ππ-有1个极值点;选项:C 由于，故直线76x π=不是()f x 的对称轴;选项:D 令，得21cos(2)32x π+=-，解得222233x k πππ+=+或242233x k πππ+=+，k Z ∈，从而得x k π=或3x k ππ=+，k Z ∈，令0k =，则是斜率为1-的直线与曲线的切点，从而切线方程为3(0)2y x -=--，即3.2y x =-【2021年真题】8.（2021·新高考I 卷第4题）下列区间中，函数()7sin ()6f x x π=-单调递增的区间是()A.0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】本题考查正弦型函数的单调递增区间，属于基础题.由正弦函数图象和性质可知，得()7sin ()6f x x π=-的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，分析选项可得答案.【解答】解：由22262k x k πππππ-+-+，得222,33k xk k Z ππππ-++∈，所以()7sin ()6f x x π=-的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，当0k =时，一个单调递增区间为2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可知20,,233πππ⎛⎫⎡⎤⊆- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：.A 9.（2021·新高考I 卷第6题）若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+()A.65-B.25-C.25 D.65【答案】C 【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，涉及同角三角函数的关系、二倍角公式，属于中档题.利用同角三角函数关系、二倍角公式将其化简为2sin sin cos θθθ+后，添加分母1，转化为齐次式，再分子分母同除2cos θ即可.【解答】解：原式22sin (sin cos 2sin cos )sin cos θθθθθθθ++=+22sin (sin cos )sin sin cos sin cos θθθθθθθθ+==++22222sin sin cos tan tan 422sin cos tan 1415θθθθθθθθ++-====+++，故选：.C 【2020年真题】10.（2020·新高考I 卷第10题、II 卷第11题）（多选）如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则()sin x ωϕ+()A.sin ()3x π+ B.sin (2)3x π- C.cos (2)6x π+D.5cos (2)6x π-【答案】BC 【解析】【分析】本题考查正弦型函数的图象，考查逻辑推理能力，属于中档题.借助图象分别求出,ωϕ，结合诱导公式即可判断.【解答】解：由图象可知222()||36T ππππω==-=，故A 错误;解得2ω=±，点5(,1)12π-在函数图象上，当2ω=时，522,k Z 122k ππϕπ⨯+=-+∈，解得42,k Z 3k πϕπ=-+∈，故44sin 2sin 2sin 2333y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2ω=-时，522,k Z 122k ππϕπ-⨯+=-+∈解得2,k Z 3k πϕπ=+∈，故函数解析式为sin 23y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，又cos 2sin 2sin 26263x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选.BC11.（2020·新高考I 卷第15题、II 卷第16题）)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC的切点，四边形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，3tan 5ODC ∠=，//BH DG ，12EF cm =，2DE cm =，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为__________2.cm 【答案】542π+【解析】【分析】本题考查平面图形中的边角关系，扇形的面积公式，是困难题.设上面的大圆弧的半径为x ，连接OA ，过A 作AI BH ⊥交BH 于J ，交DG 于K ，交EF 于I ，过O 作OL DG ⊥于L ，由题中长度关系易得45AGD ︒∠=，可得AOH 为等腰直角三角形，即可得到OL 和DL 的长度，根据3tan 5ODC ∠=可得到22x =12AOH O S S S S =+- 阴影圆扇形求解即可.【解答】解：设上面的大圆弧的半径为x ，连接OA ，过A 作AI BH ⊥交BH 于J ，交DG 于K ，交EF 于I ，过O 作OL DG ⊥于L ，记扇形OAB 的面积为S 扇形，由题中的长度关系易知45AGD ︒∠=，所以45AHO ︒∠=，又90OAH ︒∠=，可得AOH 为等腰直角三角形，可得22OJ AJ x ==，252OL JK x ==-，72DL DK LK DK OJ x=-=-=-，3tan 5OL ODC DL ∠==，2532522x -=，解得x =，12AOH O S S S S =+- 阴影圆扇形222131154()24222cm πππ=⨯⨯+⨯-=+，故答案为54.2π+。

2020高考—三角函数(解答+答案)

2020年高考——三角函数1.(20全国Ⅰ文18)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ABC △的面积；（2）若sin A C ，求C .2. （20全国Ⅱ文17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=．（1）求A ；（2）若b c -=，证明：△ABC 是直角三角形．3.（20全国Ⅱ理 17）ABC △中，sin 2A －sin 2B －sin 2C = sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC △周长的最大值．4.（20新高考Ⅰ17）在①ac =sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B ，6C π=，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．5.(20天津16)（本小题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知5,a b c === （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求πsin(2)4A +的值．6.(20浙江18)（本题满分14分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2sin 0b A =．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．7.（20江苏16）（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．8.（20全国Ⅱ理21）(12分)已知函数f (x )= sin 2x sin2x ．（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性；（2）证明: 33()f x ≤；（3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤34nn ．9.(20北京17)（本小题13分）在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-；条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．参考答案：1.解：（1）由题设及余弦定理得2222832cos150c c =+-⨯︒，解得2c =-（舍去），2c =，从而a =ABC △的面积为12sin1502⨯⨯︒=（2）在ABC △中，18030A B C C =︒--=︒-，所以sin sin(30)sin(30)A C C C C =︒-=︒+，故sin(30)C ︒+=而030C ︒<<︒，所以3045C ︒+=︒，故15C =︒.2．解：（1）由已知得25sin cos 4A A +=，即21cos cos 04A A -+=．所以21(cos )02A -=，1cos 2A =．由于0A <<π，故3A π=．（2）由正弦定理及已知条件可得sin sin B C A -．由（1）知23B C π+=，所以2sin sin()33B B ππ--．即11sin 22B B =，1sin()32B π-=．由于03B 2π<<，故2B π=．从而ABC △是直角三角形．3．解：（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=⋅，①由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅，② 由①，②得1cos 2A =. 因为0πA <<，所以2π3A =.（2）由正弦定理及（1）得sin sin sin AC AB BCB C A===从而AC B =，π)3cos AB A B B B =--=-.故π33cos 3)3BC AC AB B B B ++=++=++.又π03B <<，所以当π6B =时，ABC △周长取得最大值3+4．解：方案一：选条件①．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =．由①ac =1a b c ==．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =．方案二：选条件②．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =，6B C π==，23A π=．由②sin 3c A =，所以6c b a ===．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c =方案三：选条件③．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =．由③c =，与b c =矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．5．（Ⅰ）解：在ABC △中，由余弦定理及5,a b c ===222cos 22a b c C ab +-==．又因为(0,π)C ∈，所以π4C =．（Ⅱ）解：在ABC △中，由正弦定理及π,4C a c ===，可得sin sin 13a C A c ==．（Ⅲ）解：由a c <及sin A =cos A == 进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 113A A A A A ===-=．所以，πππ125sin(2)sin 2cos cos 2sin 44413213226A A A +=+=⨯+⨯=．6.（Ⅰ）由正弦定理得2sin sin B A A ，故sin B =，由题意得π3B =. （Ⅱ）由πA B C ++=得2π3C A =-，由ABC △是锐角三角形得ππ(,)62A ∈.由2π1cos cos()cos 32C A A A =-=-得11π13cos cos cos cos sin()]22622A B C A A A ++++=++∈.故cos cos cos A B C ++的取值范围是3]2.7.解：（1）在ABC △中，因为3,45a c B ===︒，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得292235b =+-⨯︒=，所以b =在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，，所以sin C =（2）在ADC △中，因为4cos 5ADC ∠=-,所以ADC ∠为钝角，而180ADC C CAD ∠+∠+∠=︒,所以C ∠为锐角.故cos C =则sin 1tan cos 2C C C ==. 因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin 5ADC ∠==，sin 3tan cos 4ADC ADC ADC ∠∠==-∠.从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+∠+∠∠=︒-∠-∠=-∠+∠---∠⨯∠--⨯8．解：（1）()cos (sin sin 2)sin (sin sin 2)f x x x x x x x ''=+22sin cos sin 22sin cos2x x x x x =+ 2sin sin3x x =．当(0,)(,)33x π2π∈π时，()0f x '>；当(,)33x π2π∈时，()0f x '<．所以()f x 在区间(0,),(,)33π2ππ单调递增，在区间(,)33π2π单调递减．（2）因为(0)()0f f =π=，由（1）知，()f x 在区间[0,]π的最大值为()3fπ=，最小值为()3f 2π=．而()f x 是周期为π的周期函数，故|()|f x ≤．（3）由于32222(sin sin 2sin 2)nx xx333|sin sin 2sin 2|n x xx =23312|sin ||sin sin 2sin 2sin 2||sin 2|n n n x x x x x x -= 12|sin ||()(2)(2)||sin 2|n n x f x f x f x x -=1|()(2)(2)|n f x f x f x -≤，所以22223333sin sin 2sin 2()4n nnn x xx ≤=．9.。

历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(三角函数)汇编(附答案)

历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(三角函数)汇编【2023年真题】1. （2023ꞏ新课标I 卷第8题）已知1sin()3αβ-=，1cos sin 6αβ=，则cos(22)αβ+=( ) A.79B.19C. 19-D. 79-2. （2023ꞏ新课标II 卷第7题）已知α为锐角，1cos 4α+=，则sin 2α=( )A. 38B. 18-C. 34D. 14-+3. （2023ꞏ新课标I 卷第15题）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[0,2]π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是__________.4. （2023ꞏ新课标II 卷第16题）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若||6AB π=，则()f π= .【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷第6题）记函数()sin()(0)4f x x b πωω=++>的最小正周期为.T 若23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，则(2f π=( ) A. 1B.32C.52D. 36.（2022·新高考II 卷第6题）若sin()cos()4παβαβαβ+++=+，则( )A. tan()1αβ+=-B. tan()1αβ+=C. tan()1αβ-=-D. tan()1αβ-=7.（2022·新高考II 卷第9题）（多选）已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象关于点2(,0)3π对称，则( ) A. ()f x 在5(0,)12π单调递减 B. ()f x 在11(,)1212ππ-有两个极值点 C. 直线76x π=是曲线()y f x =的一条对称轴D. 直线2y x =-是曲线()y f x =的一条切线【2021年真题】8.（2021·新高考I 卷第4题）下列区间中，函数()7sin ()6f x x π=-单调递增的区间是( )A.0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. 3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭9.（2021·新高考I 卷第6题）若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+( )A. 65-B. 25-C.25 D.65【2020年真题】10.（2020·新高考I 卷第10题、II 卷第11题）（多选）如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则()sin x ωϕ+( )A. sin ()3x π+B. sin (2)3x π- C. cos (2)6x π+D. 5cos (2)6x π- 11.（2020·新高考I 卷第15题、II 卷第16题）)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC的切点，四边形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，3tan 5ODC ∠=，//BH DG ，12EF cm =，2DE cm =，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为__________2.cm参考答案1. （2023ꞏ新课标I 卷第8题）解：因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，1cos sin 6αβ=，则1sin cos .2αβ=故112sin()sin cos cos sin .263αβαβαβ+=+=+= 即2221cos(22)12sin ()12().39αβαβ+=-+=-⨯=故选B.2. （2023ꞏ新课标II 卷第7题）解：22111cos 36114sin ()sin 222816424ααα+-----=====⇒=故选：.D3. （2023ꞏ新课标I 卷第15题）解：令()cos 10f x x ω=-=，得cos 1x ω=，又[0,2]x π∈，则[0,2]x ωωπ∈，所以426πωππ<…，得2 3.ω<… 故答案为：[2,3).4. （2023ꞏ新课标II 卷第16题）解：设相邻的两个交点A ，B 的横坐标为1 t ，2 t ，则21 - 6t t π=又1sin()2x ωϕ+=，522,.0,66x k k k Z k ππωϕππ+=++∈=或当时 16t πωϕ+=，256t πωϕ+=，212( - )3t t πω=，故 4.ω=函数图象过点2(,0)3π，8sin ()03πϕ+=，故8 ,.3k k Z πϕπ=-∈ 2k =时满足图片条件，故2.3πϕ=-2()sin(4.32f πππ=-=- 5.（2022·新高考I 卷第6题）解：由题可知：22(,)3T πππω=∈，所以(2,3).ω∈ 又因为()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，所以2b =，且33()sin() 2.224f b πππω=⨯++= 所以21(34k ω=-，k Z ∈，所以5.2ω=所以5()sin() 2.24f x x π=++所以() 1.2f π=6.（2022·新高考II 卷第6题）解：解法一：设0β=则sin cos 0αα+=，取34απ=，排除B ，D 再取0α=则sin cos 2sin βββ+=，取4πβ=，排除;A 选.C解法二：由sin()cos())]44ππαβαβαβαβ+++=++=++)cos 44ππαβαβ=++，cos )sin 44ππαβαβ+=+ 故sin()cos cos(044ππαβαβ+-+=，即sin()04παβ+-=，故sin(sin()cos()0422παβαβαβ-+=-+-=，故sin()cos()αβαβ-=--，故tan() 1.αβ-=- 7.（2022·新高考II 卷第9题）（多选）解：由题意得：24(sin()033f ππϕ=+=，所以43k πϕπ+=，即43k πϕπ=-+，k Z ∈，又0ϕπ<<，所以2k =时，23πϕ=，故2()sin(2).3f x x π=+ 选项5:(0,)12A x π∈时，2232(,)332x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在5(0,)12π单调递减; 选项11:(,1212B x ππ∈-时，252(,)322x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在11(,1212ππ-有1个极值点; 选项:C 由于，故直线76x π=不是()f x 的对称轴;选项:D 令，得21cos(232x π+=-，解得222233x k πππ+=+或242233x k πππ+=+，k Z ∈，从而得x k π=或3x k ππ=+，k Z ∈，令0k =，则是斜率为1-的直线与曲线的切点，从而切线方程为(0)2y x -=--，即.2y x =- 8.（2021·新高考I 卷第4题）解：由22262k x k πππππ-+-+剟，得222,33k x k k Z ππππ-++∈剟，所以()7sin ()6f x x π=-的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，当0k =时，一个单调递增区间为2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可知20,,233πππ⎛⎫⎡⎤⊆- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：.A9.（2021·新高考I 卷第6题）解：原式22sin (sin cos 2sin cos )sin cos θθθθθθθ++=+ 22sin (sin cos )sin sin cos sin cos θθθθθθθθ+==++22222sin sin cos tan tan 422sin cos tan 1415θθθθθθθθ++-====+++，故选：.C10.（2020·新高考I 卷第10题、II 卷第11题）（多选）解：由图象可知222()||36T ππππω==-=，故A 错误; 解得2ω=±，点5(,1)12π-在函数图象上，当2ω=时，522,k Z 122k ππϕπ⨯+=-+∈，解得42,k Z 3k πϕπ=-+∈，故44sin 2sin 2sin 2333y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2ω=-时，522,k Z 122k ππϕπ-⨯+=-+∈ 解得2,k Z 3k πϕπ=+∈，故函数解析式为sin 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又cos 2sin 2sin 26263x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选.BC11.（2020·新高考I 卷第15题、II 卷第16题）解：设上面的大圆弧的半径为x ，连接OA ，过A 作AI BH ⊥交BH 于J ，交DG 于K ，交EF 于I ，过O 作OL DG ⊥于L ，记扇形OAB 的面积为S 扇形，由题中的长度关系易知45AGD ︒∠=，所以45AHO ︒∠=，又90OAH ︒∠=，可得AOH 为等腰直角三角形，可得2OJ AJ x ==，52OL JK x ==-， 72DL DK LK DK OJ x=-=-=-，3tan 5OL ODC DL ∠==， 5352x-=，解得x =，12AOH O S S S S =+- 阴影圆扇形222131154()24222cm πππ=⨯⨯+⨯-=+，故答案为54.2π+。

2020年高考数学·高考真题-分类汇编-第12讲-解三角形精选全文完整版

精选全文完整版专题四三角函数与解三角形第十二讲解三角形2020年1.（2020•北京卷）在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-；条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin C =, S =选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin C =, S =.2.（2020•全国2卷）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C. （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+3.（2020•全国3卷）在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（） A.19B.13C. 12 D. 23【答案】A4.（2020•江苏卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【答案】（1）5sin C =（2）2tan 11DAC ∠=.5.（2020•新全国1山东）在①3ac =sin 3c A =，③3=c b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin A B ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】详见解析6.（2020•天津卷）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c === （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值．【答案】（Ⅰ）4Cπ；（Ⅱ）13sin 13A =；（Ⅲ）172sin 2426A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.7.（2020•浙江卷）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin b A =．（I ）求角B ；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【答案】（I ）3B π=；（II ）13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦2016-2019年1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（2）若22a b c +=，求sin C ．2.（2019全国Ⅱ理15）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.3.（2019全国Ⅲ理18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．4.（2019江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是 .5.（2019江苏15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b 2，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 6.（2019浙江14）在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____，cos ABD ∠=________.7.（2019北京15）在ABC △中，a =3，b -c =2 ，1cos 2B =- ．（Ⅰ）求b ,c 的值；（Ⅱ）求sin(B -C ) 的值.8.（2019天津理15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.9．(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos2=C 1=BC ，5=AC ，则=ABA ．BCD ．10．(2018全国卷Ⅲ)ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C = A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 11．（2017山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A = 12.（2016年天津）在ABC ∆中，若AB BC =3，120C ∠= ，则AC =A ．1B ．2C ．3D ．413．（2016年全国III ）在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos AA B C ．1010 D ．3101014．(2018江苏)在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为．15．(2018浙江)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =2b =，60A =，则sin B =___________，c =___________．16．（2017浙江）已知ABC ∆,4AB AC ==,2BC =．点D 为AB 延长线上一点,2BD =,连结CD ,则BDC ∆的面积是___________，cos BDC ∠=__________．17．（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。

2020年高考试题三角函数汇编【题目+答案版】

2020年高考各地三角函数真题(1)【2020全国高考III卷(文)第5题】已知sin θ+sin (θ+π3)=1，则sin (θ+π6)=()A. 12B. √33C. 23D. √22(2)【2020全国高考（浙江卷）第4题】函数y=xcosx+sinx在区间[−π,π]的图象大致为()A. B.C. D.(3)【2020全国高考III卷(理)第9题】已知2tanθ−tan(θ+π4)=7,则tanθ=()A. −2B. −1C. 1D. 2(4)【2020全国高考（天津）卷第7题】已知函数f(x)=sin(x+π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π；②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是()A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③(5)【2020全国高考（浙江卷）第13题】已知tttt=2，则ttt2t=______；tan(t−t4)=______．(6)【2020全国高考（江苏卷）第10题】将函数y=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是______．(7)【2020全国高考（江苏卷）第18题】在△ttt中，角A、B、C的对边分别为a、b、t.已知t=3，t=√2，t=45°．(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ttt=−45，求tan∠ttt的值．(8)【2020全国高考I卷(理)第16题】如图，在三棱锥t−ttt的平面展开图中，tt=1，tt=tt=，AB AC，AB AD，ttt=，则ttt=__________．(9) 【2020全国高考天津卷第15题】如图，在四边形ABCD 中，∠t =60°，tt =3，tt =6，且tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数t 的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．(10) 【2020全国高考（浙江卷）第18题】在锐角△ttt 中，角t ,t ,t 的对边分别为t ,t ,t .已知2t sin t −√3t =0． (1)求角B ；(2)求cos t +cos t +cos t 的取值范围．(11) 【2020全国高考（上海卷）第18题】已知函数t (t )=sin tt ，t >0．(1)f(x)的周期是4π，求ω，并求f(x)=12的解集；(2)已知ω=1，g(x)=f 2(x)+√3f(−x)f(π2−x)，x ∈[0,π4]，求g(x)的值域．(12) 【2020全国高考（天津卷）第16题】在△ttt 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，t .已知t =2√2，t =5，t =√13． (1)求角C 的大小； (2)求sin A 的值；(3)求sin (2t +t4)的值．(13) 【2020全国高考I 卷（文）第18题】∆ttt 的内角t ,t ,t 的对边分别为t ,t ,t ，已知t =150∘．（1）若a =√3c ，b =2√7，求∆ABC 的面积；（2）若sinA +√3sinC =√22，求C ．(14) 【2020全国高考II 卷（理）第16题】∆ttt 中，sin 2t −sin 2t −sin 2t =sin t sin t ．(1) 求A ；(2) 若BC =3，求∆ABC 周长的最大值．(15) 【2020全国高考II 卷（文）第17题】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2(π2+A)+cosA =54．(1)求A ；(2)若b −c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．（16）【2020全国高考II卷理科21题】已知函数t(t)=sin2t sin2t．(1)讨论t(t)在区间(0,t)的单调性；(2)证明：|t(t)|≤3√3；8(3)设t∈N∗，证明：sin2t sin22t sin24t⋯sin22t t≤3t．4t【答案】2020年高考各地三角函数真题(1)【2020全国高考III卷(文)第5题】已知sin θ+sin (θ+π3)=1，则sin (θ+π6)=()A. 12B. √33C. 23D. √22解：∵sin (t+t3)=12sin t+√32cos t，∴sin t+sin (t+t3)=32sin t+√32cos t=√3sin (t+t6)=1得sin (t+t6)=√33故选：B．(2)【2020全国高考（浙江卷）第4题】函数y=xcosx+sinx在区间[−π,π]的图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【解析】解：t=t(t)=ttttt+tttt，则t(−t)=−ttttt−tttt=−t(t)，∴t(t)为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B，D，当t=t时，t=t(t)=ttttt+tttt=−t<0，故排除B，故选：A．先判断函数的奇偶性，再判断函数值的特点．本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性额函数值得特点是关键，属于基础题．(3)【2020全国高考III卷(理)第9题】已知2tanθ−tan(θ+π4)=7,则tanθ=()A. −2B. −1C. 1D. 2解：∵2tan t−tan (t+t4)=2tan t−tan t+11−tan t=7，∴2tan t(1−tan t)−(tan t+1)=7−7tan t，整理得(tan t−2)2=0，∴tan t=2，故选D．(4)【2020全国高考（天津）卷第7题】已知函数f(x)=sin(x+π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π；②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是()A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B【解析】【分析】本题以命题的真假判断为载体，主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于中档题．由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，结合函数最值取得条件可判断②，结合函数图象的平移可判断③．【解答】解：因为f(x)=sin(x+π3)，①由周期公式可得，f(x)的最小正周期T=2π，故①正确；、②f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12，不是f(x)的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象，故③正确．故选：B．(5) 【2020全国高考（浙江卷）第13题】已知tttt =2，则ttt2t =______；tan (t −t4)=______．【答案】−35 13【解析】解：tttt =2，则ttt2t =cos 2t −sin 2t cos 2t +sin 2t=1−tan 2t 1+tan 2t =1−41+4=−35．tan (t −t4)=tttt −tan t41+ttttttt t4=2−11+2×1=13．故答案为：−35；13．利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式求解第一问，利用两角和与差的三角函数转化求解第二问．本题考查二倍角公式的应用，两角和与差的三角函数以及同角三角函数基本关系式的应用，是基本知识的考查．(6) 【2020全国高考（江苏卷）第10题】将函数y =3sin(2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是______．解：因为函数t =3ttt (2t +t4)的图象向右平移t6个单位长度可得t (t )=t (t −t6)=3ttt (2t −t 3+t 4)=3ttt (2t −t12)，则t =t (t )的对称轴为2t −t12=t2+tt ，t ∈t ，即t =7t 24+tt2，t ∈t ，当t =0时，t =7t24，当t =−1时，t =−5t24，所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是t =−5t24，故答案为：t =−5t 24．(7) 【2020全国高考（江苏卷）第18题】在△ttt 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、t .已知t =3，t =√2，t =45°． (1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ttt =−45，求tan ∠ttt 的值．【答案】解：(1)因为t =3，t =√2，t =45°.，由余弦定理可得：t =√t 2+t 2−2tttttt =√9+2−2×3×√2×√22=√5，由正弦定理可得t tttt =ttttt ，所以tttt =t t⋅ttt45°=√2√5⋅√22=√55，所以tttt =√55；(2)因为cos ∠ttt =−45，所以sin ∠ttt =√1−cos 2∠ttt =35，在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由(1)可得tttt =√1−sin 2t =2√55，所以在三角形ADC 中，sin ∠ttt =sin (∠ttt +∠t )=sin ∠tttttt ∠t +cos ∠tttttt ∠t =2√525，因为∠ttt ∈(0,t2)，所以cos ∠ttt =√1−sin 2∠ttt =11√525，所以tan ∠ttt =sin ∠ttt cos ∠ttt=211．(8) 【2020全国高考I 卷(理)第16题】如图，在三棱锥t −ttt 的平面展开图中，tt =1，tt =tt =，AB AC ，ABAD ，ttt =，则ttt =__________．解：由已知得tt =√2tt =√6， ∵t 、E 、F 重合于一点，∴tt =tt =√3，tt =tt =√6， ∴ △ttt 中，由余弦定理得，∴tt =tt =1， ∴在△ttt 中，由余弦定理得．故答案为．(9) 【2020全国高考天津卷第15题】如图，在四边形ABCD 中，∠t =60°，tt =3，tt =6，且tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，tt⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数t 的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______． (10) 【答案】16 132(11) 【解析】解：以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，∵∠B =60°，AB =3，∴A(32,3√32)， ∵BC =6， ∴C(6,0)， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD//BC ，设D(x 0,3√32)， ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−32,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32(x 0−32)+0=−32，解得x 0=52，∴D(52,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ=16，∵|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，设M(x,0)，则N(x +1,0)，其中0≤x ≤5，∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52,−3√32)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −32,−3√32)， ∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52)(x −32)+274=x 2−4x +212=(x −2)2+132，当x =2时取得最小值，最小值为132，故答案为：16，132．以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D 的坐标，即可求出λ的值，再设出点M ，N 的坐标，根据向量的数量积可得关于x 的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．(12) 【2020全国高考（浙江卷）第18题】在锐角△ttt 中，角t ,t ,t 的对边分别为t ,t ,t .已知2t sin t −√3t =0． (1)求角B ；(2)求cos t +cos t +cos t 的取值范围．【答案】解：(1)∵2t sin t =√3t ， ∴2sin t sin t =√3sin t ， ∵sin t ≠0， ∴sin t =√32，，∴t =t3，(2)∵△ttt 为锐角三角形，t =t3， ∴t =2t3−t ，，△ttt 为锐角三角形，，，解得，，，∴cos t+cos t+cos t的取值范围为(√3+12,32 ]．【解析】本题考查了正弦定理，三角函数的化简，三角函数的性质，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题．(1)根据正弦定理可得sin t=√32，结合角的范围，即可求出，(2)根据两角和差的余弦公式，以及利用正弦函数的性质即可求出．(13)【2020全国高考（上海卷）第18题】已知函数t(t)=sin tt，t>0．(1)f(x)的周期是4π，求ω，并求f(x)=12的解集；(2)已知ω=1，g(x)=f2(x)+√3f(−x)f(π2−x)，x∈[0,π4]，求g(x)的值域．【答案】解：(1)由于t(t)的周期是4t，所以t=2t4t =12，所以t(t)=sin12t．令sin12t=12，故12t=2tt+t6或2tt+5t6，整理得t=4tt+t3或t=4tt+5t3．故解集为{t|t=4tt+t3或t=4tt+5t3，t∈t}．(2)由于t=1，所以t(t)=sin t．所以t(t)=sin2t+√3sin(−t)sin(t2−t)=1−cos2t2−√32sin2t=−√32sin2t−12cos2t+12=12−sin(2t+t6)．由于t∈[0,t4]，所以t6≤2t+t6≤2t3．故−1≤−sin(2t+t6)≤−12，故−12≤t(t)≤0．所以函数t(t)的值域为[−12,0]．【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．(1)直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的值域．【2020全国高考（天津卷）第16题】在△ttt中，角A，B，C所对的边分别为a，b，t.已知t=2√2，t=5，t=√13．(1)求角C的大小；(2)求sin A的值；(3)求sin(2t+t4)的值．【答案】解：(1)由余弦定理以及a=2√2，b=5，c=√13，则cosC=a2+b2−c22ab =2×22×5=√22，∵C∈(0,π)，∴C=π4；(2)由正弦定理，以及C=π4，a=2√2，c=√13，可得sinA= asinCc=2√2×√22√13=2√1313；(3)由a<c，及sinA=2√1313，可得cosA=√1−sin2A=3√1313，则sin2A=2sinAcosA=2×2√1313×3√1313=1213，∴cos2A=2cos2A−1=513，∴sin(2A+π4)=√22(sin2A+cos2A)=√22(1213+513)=17√226．【解析】本题考了正余弦定理，同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．(1)根据余弦定理即可求出C的大小；(2)根据正弦定理即可求出sin A的值；(3)根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．(14)【2020全国高考I卷（文）第18题】∆ttt的内角t,t,t的对边分别为t,t,t，已知t=150∘．（1）若a=√3c，b=2√7，求∆ABC的面积；（2）若sinA+√3sinC=√22，求C．【答案】解：(1)由余弦定理得t2=t2+t2−2tt cos t，即28=3t2+t2−2√3t2cos150∘，解得t=4，所以t=4√3，所以t△ttt=12tt sin t=12×4√3×4×12=4√3．(2)因为t=180∘−t−t=30∘−t，所以sin t+√3sin t=sin(30∘−t)+√3sin t=12cos t+√32sin t=sin(30∘+t)=√22，因为t>0°，t>0°，所以0°<t<30°，所以30°<30°+t<60°，所以30°+t=45°，所以t=15°．【解析】【解析】本题考查余弦定理，三角形面积公式的应用，三角恒等变换的应用，属于中档题．(1)由已知条件结合余弦定理可求得c，从而可根据三角形面积公式求解；(2)由两角差的正弦公式对已知式进行化简，再由辅助角公式根据C的范围求解即可．(15) 【2020全国高考II 卷（理）第17题】∆ttt 中，sin 2t −sin 2t −sin 2t =sin t sin t ．(2) 求A ；(2) 若BC =3，求∆ABC 周长的最大值．【答案】解：(1)在▵ttt 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，因为sin 2t −sin 2t −sin 2t =sin t sin t ，由正弦定理得，t 2−t 2−t 2=tt ，即t 2+t 2−t 2=−tt ，由余弦定理得，cos t =t2+t 2−t 22tt =−12，因为0<t <t ，所以t =2t 3． (2)由(1)知，t =2t3，因为tt =3，即t =3，由余弦定理得，t 2=t 2+t 2−2tt cos t ，所以9=t 2+t 2+tt =(t +t )2−tt ，由基本不等式可得tt ≤(t +t )24，所以9=(t +t )2−tt ≥34(t +t )2,所以t +t ≤2√3(当且仅当t =t =√3时取得等号)，所以▵ttt 周长的最大值为3+2√3．【解析】本题主要考查利用正余弦定理解三角形的问题，属于中档题． (1)直接利用正余弦定理即可求解；(2)利用余弦定理与基本不等式即可求解．(16) 【2020全国高考II 卷（文）第17题】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2(π2+A)+cosA =54．(1)求A ；(2)若b −c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．【答案】【解答】解：(1)∵cos2(t2+t)+cos t=54，化简得cos2t−cos t+14=0，解得cos t=12，∵t是tttt的内角，故t=t3．(2)证明：∵t−t=√33t，t=t3，由正弦定理可得sin t−sin t=√33sin t=12，又t=t−t−t=2t3−t，∴sin(2t3−t)−sin t=12，化简可得√32cos t−12sin t=12，即可得cos(t+t6)=12，又t∈(0,2t3)，得t+t6∈(t6,5t6)，故可得t+t6=t3，即t=t6，故t+t=t3+t6=t2，∴tttt是直角三角形．【解析】本题考查了正弦定理的应用以及两角和差的正余弦公式的应用，考查了诱导公式和辅助角公式，属于中档题．(1)利用诱导公式和同角的三角函数关系对已知式进行化简，得到cos t=12，再结合A为三角形的一内角，即可求出角A；(2)利用正弦定理把t−t=√33t中的边化成角，得到sin t−sin t=√33sin t=12，再结合t+t=2t3，对式子进行化简，最后结合辅助角公式以及角C的范围，求出角C，即可证得三角形为直角三角形．（17）【2020全国高考II卷理科21题】已知函数t(t)=sin2t sin2t．(1)讨论t(t)在区间(0,t)的单调性；(2)证明：|t(t)|≤3√38；(3)设t∈N∗，证明：sin2t sin22t sin24t⋯sin22t t≤3t4t．【答案】解：(1)t(t)=sin2t⋅sin2t=2sin2t⋅sin t⋅cos t =2sin3t⋅cos tt′(t)=2[sin2t(3cos2t−sin2t)]=2sin2t⋅(√3cos t+sin t)⋅(√3cos t−sin t)=−8sin2t⋅sin(t+t3)⋅sin(t−t3)所以对于f’(t)有：当t∈(0,t3)时，t′(t)>0；当t∈[t3,23t]时，t′(t)≤0；当t∈(2t3,t)时t′(t)>0。

2020高考—三角函数(选择+填空+答案)

2020年高考——三角函数1.(20全国Ⅰ文7)．设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π22.(20全国Ⅰ理9)．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α= A 5B ．23C ．13D 53.（20全国Ⅱ理2）．若α为第四象限角，则 A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<04.（20全国Ⅲ文5）．已知πsin sin=3θθ++（）1，则πsin =6θ+（） A ．12B 3C ．23D 2 5.（20全国Ⅲ文11）．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B = A 5B ．5C ．5D ．56.（20全国Ⅲ文12）．已知函数f (x )=sin x +1sin x，则 A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图像关于y 轴对称C ．f (x )的图像关于直线x =π对称D ．f (x )的图像关于直线2x π=对称 7.（20全国Ⅲ理7）．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19B ．13C ．12D ．238.（20全国Ⅲ理9）．已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=A ．–2B ．–1C ．1D ．29.（20新高考Ⅰ10）．下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x - C ．πcos(26x +） D ．5πcos(2)6x -10.(20天津8)．已知函数π()sin()3f x x =+．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②π()2f 是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是 A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③11.(20浙江4)．函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是12.(20北京9)．已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13.(20北京10)．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A ．30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．60606sintan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 14. （20全国Ⅱ文13）．若2sin 3x =-，则cos2x =__________． 15.（20全国Ⅲ理）16．关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．16.(20浙江13)．已知tan 2θ=，则cos2θ=_______，πtan()4θ-=_______．17.（20江苏8）．已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是 ▲ ．18.（20江苏10）．将函数πsin(32)4y x =﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ▲ ．19.(20北京14)．若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．参考答案：1．C 2．A 3．D 4．B 5．C 6．D 7．A 8．D 9．BC 10．B 11.A 12. C 13. A14.1915．②③ 16.31,53- 17．13 18．524x π=- 19.2π。

专题6 三角函数-2020届全国卷高考数学真题分类汇编含答案

专题6三角函数研究发现，课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和延续性，每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定，掌握了全国卷的各种题型，就把握了全国卷命题的灵魂，基于此，潜心研究全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及高考数学考试说明，精心分类汇总至少最近三年全国卷的所有题型（按年份先理后文排列），对把握全国卷命题的方向，指导我们的高考有效复习，走出题海，快速提升成绩，会起到事半功倍的效果。

三角函数——近3年三角函数考了45道，每年理科1-3道小题，文科2-4道小题，当考3-4道小题时，当年就不在考三角函数大题了，题目多数难度较小，主要考查公式熟练运用、平移、图像性质、化简求值、解三角形等问题（含应用问题），多数属于“中档题”，小心平移（重点，难点，几乎年年考），也会有难题，如2016年全国1卷12题和2018年全国1卷16题的考法是比较难的，所以当了压轴题。

1.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理16））已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是．【答案】见解析。

【考点】利用导数研究函数的最值；三角函数的最值．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值．【分析】由题意可得T=2π是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在[0，2π）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．【解答】解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1），令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=﹣1，可得此时x=，π或；∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=，π或和边界点x=0中取到，计算可得f（）=，f（π）=0，f（）=﹣，f（0）=0，∴函数的最小值为﹣，故答案为：．【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题．2.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理9））已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．3.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理12））已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．4.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理6））在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．2【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．5.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理10））若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性．【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，结合已知条件即可求出a的最大值．【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[﹣a，a]是减函数，得，∴．则a的最大值是．故选：A．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．6.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理15））已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=．【答案】见解析。

专题06 三角函数及解三角形——2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编(解析版).docx

专题06三角函数及解三角形2020年高考真题1. ［2020年高考全国I卷理数】设函数f(x) = cos(®x + -)在［-”，兀］的图像大致如下图，则/(%)的最小正6周期为9 64兀3兀C. —D.兰3 2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点( 4 兀1T \将它代入函数/(兀)可得：cosl一- •<« + —1 = 0,又［-普,o］是函数/(兀)图象与x轴负半轴的第一个交点,十.I 4兀兀兀5 e 3所以-亍0+丁丐,解得r •2K _ 2兀_ 4兀所以函数/(%)最小正周期为=T=T=T2故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.2. [2020 年高考全国I 卷理数】已知cc G (0,7i),且3COS2Q-8COSQ =5 ,贝0 sin^z =A. B.【答案】A又 a e (0, n),.'. sin a = Jl-cos? a =•故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.3.【2020年高考全国II 卷理数】若a 为第四象限角，则B. cos2a<0D. sin2a<0 【答案】D【解析】方法-：由。

为第四象限角，可得亍2炽“<2卄2炽从Z,所以 3兀 + 4k 兀 < 2a < 4兀 + 4-kn, e Z此时2a 的终边落在第三、四象限及V 轴的非正半轴上，所以sin2a<0,故选：D.兀方法二：当& =——时，cos 2a = cos 由a 在第四象限可得：sin a <0, cos a > 0 ,则由2 a 蕃1 aaz Qz < ，选项C 错误，选项D 正确；故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.C. sin2a>0>0,选项B 错误;<0,选项A 错误;【解析】3cos2a-8cosa = 5 ,得6cos 2tz-8coscr-8 = 0 -【答案】A2【解析】在ABC中，cosC = —, AC = 4, BC = 3, 3根据余弦定理：AB2 =AC2+BC2-2AC BC COS C，7AB- =42+32-2X4X3X-,3可得AB2 = 9，即AB — 3 ,… AB2+BC2-AC2 9 + 9-16 1由cos B = ------------------------- = ------------ =—,2ABBC2x3x3 9故cos B =—.9故选：A.5. [2020年高考全国III卷理数】已知2tan^-tan（0+ —）=7,则tan^=A. -2B. -1【答案】D【解析】2 tan - tan | ^ + — | = 7 , z. 2tan^~ tan^ + ^ =7 ,I 4 丿 1 - tan令/ = tan&,/Hl,则2/—土 = 7,整理得严_4/ + 4 = 0,解得t = 2,即tan6» = 2.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.6.【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（兀Day）.历史上，求圆周率兀的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数"充分大时，计算单位圆的内接正6“边形的周长和外切正6“边形（各边均与圆相切的正6“边形）的周长，将它们的算术平均数作为2兀的近似值.按照阿尔•卡西的方法，兀的近似值的表达式是2 71 、［/ — 71 -- 当“一 2571 6 _ 时，y = —1 二 2x^ + ^ = —+ 2^(^ e Z),3n < .30° 30°) 6n < .30° 30°) A. sin —— + tan ----- B. sin —— + tan ----- 1 n n 丿 I n n ) 3n (.60° 60°) 6n (.60° < 60°) c. sin ---- + tan ----- D. sin ----- + tan ----- I nn 丿 I nn ) 【答案】A 360° 60° 30° 【解析】单位圆内接正6〃边形的每条边所对应的圆周角为一 =——，每条边长为2sin —, nx6 n n 30° 所以，单位圆的内接正6〃边形的周长为12nsin ——, n30° 30° 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为2tan —,其周长为12〃tan —, n n30° 30° 12nsin ----- 12ntan ---------.・.* 二 ----- n --------------- n _ 2( 30° 30°则 7i = 3n\ sin------ + tan --- I n n故选：A.【点睛】本题考查圆周率兀的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6〃边形和外切正6〃边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.7. [2020年新高考全国I 卷】下图是函数y 二sin （亦+卩）的部分图像，贝!j sin （亦+卩）=【答案】BC=6“ sin 竺+ tan 竺, I n n ) A. sin(x + f)¥亠)【解析】由函数图像可知：- = -7T —— 2 3 71 _71 6~2 27T 则血=—=—=2,所以不选A, T 71 B.解得：cp 二 Ikn + 彳兀(£ e Z ),即函数的解析式为：y = sin| 2x + —TT + 2A ；7Z - | = sin| 2x + —+ —| = cos| 2x + — | = sin| — -2x I 3 丿(6 2丿(6丿(3 (\5/r而 cos I 2x + — I — - cos( — 2x) 故选：BC.【点睛】已知fix) =Asin(a}x +^)(A>0, e>0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数e 和0常用如下两种方法：竺即可求出e ；确定y 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标xo,则令 exo+0 = O(或 a )xo+<p=7t'),即可求出 <p.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出co 和<p, 若对A, e 的符号或对°的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.&【2020年高考全国I 卷理数】如图，在三棱锥P ABC 的平面展开图中，AC=1, AB = AD =也,佔丄AC, AB±AD, ZCAE=30°,贝0 cosZFCB= _______________ .【答案】4【解析】 AB 丄AC, AB = j3, AC = E由勾股定理得BC = V A B 2+AC 2 = 2 ‘71 F(P)同理得 BD =品，：.BF = BD = ^，在△4CE 中，AC = 1, AE = AD =运,ZCAE = 30 ，由余弦定理得 CF = 3+^2—240 AEcos30 =l + 3-2xlxV3x —= 1, 2:.CF = CE = 1,在 BCF 中，BC = 2, BF =愿，CF = 1,CF~ + BC 2 -BF 2由余弦定理得cos ZFCB = 七——2CFBC故答案为：—. 4【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.9.【2020年高考全国III 卷理数】16.关于函数f (x) =sinx ——-—有如下四个命题: sinx®f (%)的图像关于y 轴对称.®f (x)的图像关于原点对称.1T®f (X )的图像关于直线x=3对称.®f (X )的最小值为2.其中所有真命题的序号是 __________ .【答案】②③所以，函数/(x)的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数/(X )的定义域为[x\x^kn,k^Z^ ,定义域关于原点对称, / ( -x) = sin (-%) + —r = - sin x - -— = -fsinx + -^―] = -/(%),sin (—兀) sinx I sinx)所以，函数/(x)的图象关于原点对称，命题②正确;1 + 4-6 2x1x2 【解析】对于命题①,A 7C \ . (7C ] 1(2 丿(2 ) .(7i' 7' 7 sm —+ x12所以，函数/(x)的图象关于直线x = |对称，命题③正确;对于命题④，当一7i<x<0时，sinx<0,贝J f(x} = sinx + — <0< 2 , sinx命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.JT 210.【2020年高考江苏】已知sin2(-+ <?) = -,则sin2a 的值是▲.4 3【解析】Qsin2(—+ cr) = (-^cosa-\——sin a)2 = —(1 + sin 2a)4 2 2 21 2 1— (1 + sin 2a) = —sin 2a =—2 3 3故答案为：-3【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.11.【2020年高考北京】若函数/(x) = sin(x+^) + cosx的最大值为2,则常数0的一个取值为 _______________IT TT【答案辽(2唸+亍心均可)【解析】因为 (兀)=cos ©sin 兀 +(sin 0 + 1)cos 兀=Jcos? 0 +(sin 0 + 1)2 sin (兀+ 0), 所以Jcos?(p + (sin(p +1『=2,解得sin0 = l,故可取^ = ~-7T7T故答案为：-(2^ + -,^eZ 均可). 2 2【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.1T12. [2020 年高考浙江】已知 tan& = 2,则 cos2& = _______ , tan(6>-一) = ______ .3 1【答案】V 巧cos 2 0-sin 2 0 _ 1-tan 2 _ 1 -22cos 2 ^ + sin 2 0 1 + tan 2 0 1 + 223 1故答案为：【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.13. [2020年高考江苏】将函数y = 3sin(2x +^)的图象向右平移夕个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最 4 6近的对称轴的方程是▲ • 【答案】2-峯 24V/ 'j I r jl【解析】y — 3sin[2(x ---- ) —] = 3 sin(2x ------ ) 6 4 12小 TC TC , , x 7 TT k/C 7 x2x ------ — —F k 兀G Z)x — ----------- 1 ---- (k G Z) 12 2 24 2当k = -1时兀=——• 24故答案为：x =———24 【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.14. [2020年新高考全国I 卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧与直线BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BC 丄DG,垂足为 C, tanZODC= - , BH//DG , EF=12 cm, DE=2 cm, A 到直线5DE 和EF 的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为 ___________ cm 2.【解析】cos 20 = cos 2 0 - sin 2 0 = tan <9-1 l + tan& 2-11 + 2【答案】4 + »兀 2【解析】设05 = OA=r,由题意AM = AN = 1, EF = \2，所以NF = 5,因为 AP = 5,所以 ZAGP = 45\因为 BH//DG,所以 ZAH0 = 45°，因为AG 与圆弧4B 相切于A 点，所以Q4丄4G,即AOAH 为等腰直角三角形；在直角△0QD 中，0Q = 5_^r ，DQ = l-—r ，2 2因为 tanZ0DC = -^ = |，所以 21- —r = 25-^r ， DQ 5 22 解得 r = 2A /2 ；等腰直角MAH 的面积为恥》2屈2尽4；I 所以阴影部分的面积为S] + S?—㊁兀=4 +三-•故答案为：4 + T.扇形A0B 的面积S 2 = =3乃，【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.15.【2020 年高考全国II 卷理数】/XABC 中，sin2A —sin2B—sin2C= sinBsinC.(1)求A；(2)若BC=3,求zMBC周长的最大值.【解析】(1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2^AC AB，①由余弦定理得BC2 = AC2 +AB2- 2AC AB cos A，②由①，②得cos A =—.22兀因为0<4<兀，所以A =—.3(2)由正弦定理及(1)得上匕=少-=-?£ = 2巧，sin B sin C sin A从而AC = 2A/3 sin B , AB = 2^3 sin(兀一A - B) = 3 cos B一A/3 sin B.故BC + 4C + AB = 3 + 7^sinB + 3cosB = 3 + 2V^sin(B + ¥).X0<B<-,所以当B =-时，AABC周长取得最大值3 + 2^3-3 616.[2020年高考江苏】在A ABC中，角A, B, C的对边分别为°, b, c,已知a = 3,c =迈,B = 45。

2020年高考数学试题分类汇编——三角函数选择

2020年高考数学试题分类汇编——三角函数选择〔2018上海文数〕18.假设△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，那么△ABC 〔A 〕一定是锐角三角形. 〔B 〕一定是直角三角形.〔C 〕一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由sin :sin :sin 5:11:13A B C =及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=c ，因此角C 为钝角〔2018湖南文数〕7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分不为a ，b ，c ，假设∠C=120°，c=2a ，那么 A.a ＞b B.a ＜bC. a ＝bD.a 与b 的大小关系不能确定【命题意图】此题考查余弦定理，专门角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。

〔2018浙江理数〕〔9〕设函数()4sin(21)f x x x =+-，那么在以下区间中函数()f x 不．存在零点的是〔A 〕[]4,2-- 〔B 〕[]2,0- 〔C 〕[]0,2 〔D 〕[]2,4解析：将()x f 的零点转化为函数()()()x x h x x g =+=与12sin 4的交点，数形结合可知答案选A ，此题要紧考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化思想和数形结合思想的考察，对能力要求较高，属较难题〔2018浙江理数〕〔4〕设02x π＜＜，那么〝2sin 1x x ＜〞是〝sin 1x x ＜〞的〔A 〕充分而不必要条件〔B 〕必要而不充分条件〔C 〕充分必要条件〔D 〕既不充分也不必要条件解析：因为0＜x ＜2π，因此sinx ＜1，故x sin 2x ＜x sinx ，结合x sin 2x 与x sinx 的取值范畴相同，可知答案选B ，此题要紧考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档题〔2018全国卷2理数〕〔7〕为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像〔A 〕向左平移4π个长度单位〔B 〕向右平移4π个长度单位〔C 〕向左平移2π个长度单位〔D 〕向右平移2π个长度单位【答案】B【命题意图】本试题要紧考查三角函数图像的平移. 【解析】sin(2)6y x π=+=sin 2()12x π+，sin(2)3y x π=-=sin 2()6x π=-，因此将sin(2)6y x π=+的图像向右平移4π个长度单位得到sin(2)3y x π=-的图像，应选B.〔2018陕西文数〕3.函数f (x )=2sin x cos x 是[C](A)最小正周期为2π的奇函数〔B 〕最小正周期为2π的偶函数 (C)最小正周期为π的奇函数〔D 〕最小正周期为π的偶函数解析：此题考查三角函数的性质f (x )=2sin x cos x=sin2x ，周期为π的奇函数〔2018辽宁文数〕〔6〕设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，那么ω的最小值是〔A 〕23 〔B 〕 43 〔C 〕 32〔D 〕 3 解析：选C.由，周期243,.32T ππωω==∴=〔2018辽宁理数〕〔5〕设ω>0,函数y=s in(ωx+3π)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，那么ω的最小值是〔A 〕23 (B)43 (C)32(D)3 【答案】C【命题立意】此题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活把握的程度。

2020年三角函数部分高考题(带答案)

作者：败转头作品编号44122544：GL568877444633106633215458 时间：2020.12.13三角函数部分高考题1.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位2.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ B ）A ．1BCD ．23.()2tan cot cos x x x +=( D )（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x4.若02,sin απαα≤≤>，则α的取值范围是：( C )（Ａ）,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭5.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是C （A ）sin(2)3y x π=-，x R ∈ （B ）sin()26x y π=+，x R ∈（C ）sin(2)3y x π=+，x R ∈ （D ）sin(2)32y x π=+，x R ∈ 6.设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则D（A ）c b a << （B ）a c b << （C ）a c b << （D ）b a c <<7.将函数sin(2)3y x π=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称，则向量α的坐标可能为（ C ）A ．(,0)12π-B ．(,0)6π-C ．(,0)12πD ．(,0)6π8.已知cos （α-6π）+sin α=的值是则)67sin(,354πα-（A ）-532 （B ）532 (C)-54 (D) 54 9.（湖北）将函数3sin()y x θ=-的图象F 按向量(,3)3π平移得到图象F ',若F '的一条对称轴是直线4x π=,则θ的一个可能取值是AA.π125 B. π125- C. π1211 D. 1112π- 10.函数2()sin 3sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( C ) A.1 B.132+ C.32D.1+311.函数f(x)=sin 132cos 2sin x x x---(02x π≤≤) 的值域是B（A ）[-2,02] (B)[-1,0] （C ）[-2,0]（D ）[-3,0]12.函数f (x )=cos x (x )(x ∈R)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y =-f ′(x )的图象，则m 的值可以为AA.2πB.πC.－πD.－2π 13.在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是C（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 14.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =B （A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2- 15.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（ B ） A. 1 B. 2C. 1/2D. 1/316.0203sin 702cos 10--=（ C ）A.12B.2C. 2D.217.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是 218.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6π. 19.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ．10 20.已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是．π 21.已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________．14322．设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值．解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -= 可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =；（Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤34当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.23.在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =．（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长．解：（Ⅰ）由5cos 13B =-，得12sin 13B =，由4cos 5C =，得3sin 5C =．所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=． ··········· 5分（Ⅱ）由332ABC S =△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=，由（Ⅰ）知33sin 65A =，故65AB AC ⨯=， ···························· 8分又sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==，故2206513AB =，132AB =．所以sin 11sin 2AB A BC C ⨯==． ························10分24.已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-=+112cos 222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤，因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 25.求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。

三角函数--2023高考真题分类汇编完整版

三角函数--高考真题汇编第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式1.（2023全国甲卷理科7）“22sin sin 1αβ+=”是“sin cos 0αβ+=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件、必要条件概念及同角三角函数的基本关系得解.【解析】当2απ=，0β=时，有22sin sin 1αβ+=，但sin cos 0αβ+≠，即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，()2222sin sin cos sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=.综上可知，22sin sin 1αβ+=是sin cos 0αβ+=成立的必要不充分条件.故选B.2.（2023北京卷13）已知命题:p 若,αβ为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>.能说明p 为假命题的一组,αβ的值为α=；β=.【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.【解析】因为()tan f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，若00π02αβ<<<，则00tan tan αβ<，取1020122π,2π,,k k k k ααββ=+=+∈Z ，则()()100200tan tan 2πtan ,tan tan 2πtan k k αααβββ=+==+=，即tan tan αβ<，令12k k >，则()()()()102012002π2π2πk k k k αβαβαβ-=+-+=-+-，因为()1200π2π2π,02k k αβ-≥-<-<，则()()12003π2π02k k αβαβ-=-+->>，即12k k >，则αβ>.不妨取1200ππ1,0,,43k k αβ====，即9ππ,43αβ==满足题意.故答案为：9ππ;43.第二节三角恒等变换1.（2023新高考I 卷6）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A.1B.154C.104D.64【解析】()222241025x y x x y +--=⇒-+=，所以圆心为()2,0B ，记()0,2A -，设切点为,M N ，如图所示.因为AB =，BM =，故AM =cos cos2AM MAB AB α=∠==，sin 2α=，15sin 2sincos 2224ααα==⨯.故选B.2.（2023新高考I 卷8）已知()1sin 3αβ-=，1cos sin 6αβ=，则()cos 22αβ+=（）A.79B.19 C.19-D.79-【解析】()1sin sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，1cos sin 6αβ=，所以1sin cos 2αβ=，所以()112sin sin cos cos sin 263αβαβαβ+=+=+=，()()()2221cos 22cos 212sin 1239αβαβαβ⎛⎫+=+=-+=-⨯= ⎪⎝⎭.故选B.3.（2023新高考II 卷7）已知α为锐角，1cos 4α+=，则sin 2α=（）A.38- B.18-+ C.34- D.14-+【解析】21cos 12sin 24αα+=-=，所以2231sin 284α⎫-==⎪⎪⎝⎭，则1sin24α-=或1sin 24α=.因为α为锐角，所以sin02α>，15sin24α-=舍去，得51sin 24α-=.故选D.第三节三角函数的图像与性质1.（2023新高考II 卷16）已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图所示，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若π=6AB ，则()πf =_______.【解析】sin y x =的图象与直线12y =两个相邻交点的最近距离为2π3，占周期2π的13，所以12ππ36ω⋅=，解得4ω=，所以()()sin 4f x x ϕ=+.再将2π,03⎛⎫⎪⎝⎭代入()()sin 4f x x ϕ=+得ϕ的一个值为2π3-，即()2πsin 43f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以()2π3πsin 4π32f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.2.（2023全国甲卷理科10，文科12）已知()f x 为函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移6π个单位所得函数，则()y f x =与1122y x =-交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【解析】因为函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位可得()sin 2.f x x =-而1122y x =-过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，分别作出()f x 与1122y x =-的图像如图所示，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，结合图像可知有3个交点.故选C.3.（2023全国乙卷理科6，文科10）已知函数()()sin f x x ωϕ=+在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线6x π=和23x π=为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则512f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. B.12-C.12【解析】2222362T T ωωππππ=-=⇒=π=⇒=，所以()()sin 2.f x x ϕ=+又222,32k k ϕππ⋅+=+π∈Z ，则52,6k k ϕπ=-+π∈Z .所以5555sin 22sin 121263f k π⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅--+π=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选D.【评注】本题考查了三角函数图像与性质，当然此题也可以通过画图快速来做，读者可以自行体会.4.（2023全国乙卷理科10）已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos n S a n =∈N ，若{},S a b =，则ab =（）A.1- B.12-C.0D.12【解析】解法一（利用三角函数图像与性质）因为公差为23π，所以只考虑123,,a a a ，即一个周期内的情形即可.依题意，{}{}cos ,n S a a b ==，即S 中只有2个元素，则123cos ,cos ,cos a a a 中必有且仅有2个相等.如图所示，设横坐标为123,,a a a 的点对应图像中123,,A A A 点.①当12cos cos a a =时，且2123a a π-=，所以图像上点的位置必为如图1所示，12,A A 关于x =π对称，且1223A A π=，则1233a ππ=π-=，2433a ππ=π+=，32a =π.所以11122ab ⎛⎫=-⨯=- ⎪⎝⎭.②当13cos cos a a =时，3143a a π-=，所以图像上点的位置必为如图2所示，13,A A 关于x =π对称，且1343A A π=，则133a 2ππ=π-=，3533a 2ππ=π+=，2a =π.所以()11122ab =⨯-=-.综上所述，12ab =-.故选B.解法二（代数法）()()11113n a a n d a n 2π=+-=+-，21cos cos 3a a 2π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，31cos cos 3a a 4π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于{}{}*cos ,n S a n a b =∈=N ，故123cos ,cos ,cos a a a 中必有2个相等.①若121111cos cos cos cos 322a a a a a 2π⎛⎫==+=-- ⎪⎝⎭，即113cos 22a a =-，解得11cos 2a =或11cos 2a =-.若11cos 2a =，则1sin a =，3111113cos cos cos 132244a a a a 4π⎛⎫=+=-+=--=- ⎪⎝⎭，若11cos 2a =-，则1sin a =，3111113cos cos cos 13244a a a a 4π⎛⎫=+=-=+= ⎪⎝⎭，故131cos cos 2a a ab ==-.②若131111cos cos cos cos sin 322a a a a a 4π⎛⎫==+=-+ ⎪⎝⎭，得113cos 2a a =，解得11cos 2a =或11cos 2a =-.当11cos 2a =时，1sin a =，21111313cos cos cos 132244a a a a 2π⎛⎫=+=--=--=- ⎪⎝⎭，当11cos 2a =-时，1sin a =213cos 144a =+=，故121cos cos 2a a ab ==-.③若23cos cos a a =，与①类似有121cos cos 2a a ab ==-.综上，故选B.5.（2023北京卷17）已知函数()sin cos cos sin ,0,2f x x x ωϕωϕωϕπ=+><.（1）若()0f =，求ϕ的值；（2）若()f x 在区间2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且213f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求,ωϕ的值.条件①：3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；条件②：13f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；条件③：()f x 在,23ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【分析】（1）把0x =代入()f x 的解析式求出sin ϕ，再由π||2ϕ<即可求出ϕ的值；（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把()f x 的解析式化简，根据() f x 在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上的单调性及函数的最值可求出T ，从而求出ω的值；把ω的值代入()f x 的解析式，由π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭和π||2ϕ<即可求出ϕ的值；若选条件③：由() f x 的单调性可知() f x 在π3x =-处取得最小值1-，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．【解析】（1）因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><所以()()3(0)sin 0cos cos 0sin sin 2f ωϕωϕϕ=⋅+⋅==-，因为π||2ϕ<，所以π3ϕ=-.（2）因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><，所以()π()sin ,0,||2f x x ωϕωϕ=+><，所以() f x 的最大值为1，最小值为1-.若选条件①：因为()()sin f x x ωϕ=+的最大值为1，最小值为1-，所以π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解，故条件①不能使函数()f x 存在；若选条件②：因为() f x 在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上单调递增，且2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以2πππ233T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭,所以2πT =,2π1Tω==,所以()()sin f x x ϕ=+，又因为π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，所以ππ2π,32k k ϕ-+=-+∈Z ，所以π2π,6k k ϕ=-+∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=-.所以1ω=，π6ϕ=-；若选条件③：因为() f x 在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上单调递增，在ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以() f x 在π3x =-处取得最小值1-，即π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.以下与条件②相同．第四节解三角形1.（2023全国甲卷理科16）在ABC △中，2AB =，60BAC ∠=︒，BC =D 为BC 上一点，AD 平分BAC ∠，则AD =.【解析】如图所示，记,,,AB c AC b BC a ===由余弦定理可得22222cos606b b +-⨯⨯⨯︒=，解得1b =（负值舍去）.由ABC ABD ACD S S S =+△△△可得，1112sin602sin30sin30222b AD AD b ⨯⨯⨯︒=⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒，解得1212bAD b +===+.2.（2023全国甲卷文科17）记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c a A+-=.（1）求bc .（2）若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=，求ABC △面积.3.（2023全国乙卷理科18）在ABC △中，120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =.（1）求sin ABC ∠；（2）若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.【解析】（1）利用余弦定理可得2222cos 14212cos120527BC AC AB AC AB BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯︒=+=.故BC =.又由正弦定理可知sin sin BC ACBAC ABC=∠∠.故sin sin14AC BAC ABC BC ⋅∠∠====.（2）由（1）可知tan ABC ∠=在Rt BAD △中，tan 2AD AB ABC =⋅∠=⨯=故1122255ABD S AB AD =⨯⨯=⨯⨯=△，又11sin 21sin120222ABC S AB AC BAC =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯︒=△，所以2510ADC ABC ABD S S S =-=-=△△△.5.（2023新高考I 卷17）已知在ABC △中，3A B C +=，()2sin sin A C B -=.（1）求sin A ；（2）设=5AB ，求AB 边上的高.【解析】（1）解法一因为3A B C +=，所以4A B C C ++==π，所以4C π=，2sin()sin()A C A C -=+2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C⇒-=+sin cos 3cos sin A C A C ⇒=tan 3tan 3sin A C A ⇒==⇒=解法二因为3A B C +=，所以4A B C C ++==π，所以4C π=，所以4A B 3π+=，所以4B A 3π=-，故2sin()sin()4AC A 3π-=-，即2sin cos 2cos sin sin cos cos sin 4444A A A A ππ3π3π-=-，得sin 3cos A A =.又22sin cos 1A A +=，()0,A ∈π，得310sin 10A =.（2）若||5AB =.如图所示，设AC 边上的高为BG ，AB 边上的高为CH ，||CH h =，由（1）可得10cos 10A =，||||cos ||102AG AB A AB =⋅==，||||2BG CG ===，所以||AC =，||||2||6||5AC BG CH AB ===.6.（2023新高考II 卷17）记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC △的面，D 为BC 的中点，且1AD =.（1）若π3ADC ∠=，求tan B ；（2）若228b c +=，求,b c .【解析】（1）依题意，122ADC ABC S S ==△△，133sin 242ADC S AD DC ADC =⋅⋅∠==△，解得2DC =，2BD =.如图所示，过点A 作AE BC ⊥于点E .因为60ADC ∠= ，所以12DE =,32AE =,则15222BE =+=，所以3tan 5AE B BE ==.（2）设AB = c ，AC = b ，由极化恒等式得2214AB AC AD BC ⋅- =，即2114⋅--b c =b c ，化简得()22244⋅-+=-b c =b c ，即cos cos 2BAC bc BAC ⋅⋅∠=∠=-b c =b c ①，又1sin 2ABC S bc BAC =∠=△，即sin bc BAC ∠=.②①得tan BAC ∠=0πBAC <∠<得2π3BAC ∠=，代入①得4bc =，与228b c +=联立可得2b c ==.7.（2023北京卷7）在ABC △中，()()()sin sin sin sin a c A C b A B +-=-，则C ∠=（）A.6π B.3π C.32π D.65π【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【解析】因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-，即222a c ab b -=-，则222a b c ab +-=，故2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又0πC <<，所以π3C =.故选B.。

专题6 三角函数-2020届全国卷高考数学真题分类汇编含答案

1.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理16））已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是．【答案】见解析。

三角函数—高考真题文科数学分项汇编(解析版)

y
f
(x)的图象．
其中所有正确结论的序号是
A．①
B．①③
【答案】B
C．②③
D．①②③
2
【解析】因为 f (x) sin(x )，所以周期T 2 2，故①正确；
3
f ( ) sin( ) sin5 1 1，故②不正确；
2
23
62
将函数 y sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，得到 y sin(x )的图象，
2
D．2
【答案】C
sin x
【解析】 f (x)
tan x 1 tan2 x
cos 1(sin
x sin xcos x 1sin2x，
x) 2
2
cos x
故所求的最小正周期为T 2π π，故选 C. 2
【名师点睛】函数 y Asin(x ) B(A 0, 0)的性质：
(1) ymax=B+A，ymin B A.
对应的函数为
gx.若
g
π4
2
，则
f
3π 8
A．−2
B． 2
C． 2
D．2
【答案】C
【解析】∵ f (x)为奇函数，∴ f (0) Asin 0,=kπ,k Z,k 0, 0；
∵ f x的最小正周期为π，T
2π
π,∴
2，
∴ g(x) Asin 1x Asin x,
2
又 g(π) 2，∴ A 2，
f x max
3
2
5 2
4，故选
B.
【名师点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.

2023年高考真题分类汇编---三角函数

2023年高考真题分类汇编---三角函数1．(2023新课标全国Ⅰ卷)已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+= ( ) A ．79B ．19 C ．19-D ．79-解：因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，而1cos sin 6αβ=，因此1sin cos 2αβ=，则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=，所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12()39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=．选：B 2．(2023新课标全国Ⅱ卷)已知α锐角，1cos 4α=，则sin 2α= ( )．ABCD解:因为2cos 12sin 2αα=-=，而α为锐角，解得：sin 2α=14==．选：D ．3．(2023全国乙卷)已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条相邻对称轴，则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()A ．B ．12-C ．12D 解：因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以2πππ2362T =-=，且0ω>，则πT =，2π2w T ==，当π6x =时，()f x 取得最小值，则ππ22π62k ϕ⋅+=-，Z k ∈，则5π2π6k ϕ=-，Z k ∈，不妨取0k =，则()5πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则5π5πsin 123f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选：D ．4．(2023全国甲卷)函数()y f x =的图象由函数πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =-的交点个数为 ( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解：因为πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =-，而1122y x =-显然过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，当3π4x =-时，3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭；当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，13π13π412428y -=⨯-=<；当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，17π17π412428y -=⨯-=>；所以由图可知，()f x 与1122y x =-的交点个数为3．选：C ． 5．(2023新课标全国Ⅰ卷)已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．解：因为02x π≤≤，所以02x πωω≤≤，令()cos 10f x x ω=-=，则cos 1x ω=有3个根，令t x ω=，则cos 1t =有3个根，其中[0,2π]t ω∈，结合余弦函数cos y t =的图像性质可得4π2π6πω≤<，故23ω≤<，答案为：[2,3)．6．(2023新课标全国Ⅱ卷)已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若π6AB =，则()πf =______．解：设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由π6AB =可得21π6x x -=，由1sin 2x =可知，π2π6x k =+或5π2π6x k =+，Z k ∈，由图可知， ()215π2ππ663x x ωϕωϕ+-+=-=，即()212π3x x ω-=，4ω∴=．因为28ππsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以8ππ3k ϕ+=，即8ππ3k ϕ=-+，Z k ∈．所以82()sin 4ππsin 4ππ33f x x k x k ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2sin 4π3f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭或()2sin 4π3f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，又因为()00f <，所以2()sin 4π3f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()2πsin 4ππ3f ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭． 7. (2023北京卷)设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭．(1)若(0)2f =-，求ϕ的值． (2)已知()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求,ωϕ的值．条件①：π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭条件②：π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；条件③：()f x 区间ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减．解：(1)因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><所以()()(0)sin 0cos cos 0sin sin f ωϕωϕϕ=⋅+⋅==，因为π||2ϕ<，所以π3ϕ=-．(2)因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><，所以()π()sin ,0,||2f x x ωϕωϕ=+><，所以() f x 的最大值为1，最小值为1-．若选条件①：因为()()sin f x x ωϕ=+的最大值为1，最小值为1-，所以π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭不能使函数()f x 存在；若选条件②：因为() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以2πππ233T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭,所以2πT =,2π1Tω==,所以()()sin f x x ϕ=+，又因为π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 32k k ϕ-+=-+∈，所以π2π,Z 6k k ϕ=-+∈，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=-．所以1ω=，π6ϕ=-；若选条件③：因为() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以() f x 在π3x =-处取得最小值1-，即π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．以下与条件②相同．。