(完整版)极值点偏移问题专题——对数平均不等式
(完整版)极值点偏移问题的两种常见解法之比较
极值点偏移问题的两种常见解法之比较浅谈部分导数压轴题的解法在高考导数压轴题中，不断出现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是：已知函数()y f x =是连续函数，在区间12(,)x x 内有且只有一个极值点0x ，且12()()f x f x =，若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点1202x x x +=，我们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点1202x x x +≠的情况，我们称这种状态为“极值点偏移”. 极值点偏移问题常用两种方法证明：一是函数的单调性，若函数()f x 在区间(,)a b 内单调递增，则对区间(,)a b 内的任意两个变量12x x 、，1212()()f x f x x x <⇔<；若函数()f x 在区间(,)a b 内单调递减，则对区间(,)a b 内的任意两个变量12x x 、，1212()()f x f x x x <⇔>. 二是利用“对数平均不等式”证明，什么是“对数平均”？什么又是“对数平均不等式”？两个正数a 和b 的对数平均数定义：,,(,)ln ln ,,a ba b L a b a b a a b -⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩对数平均数与算术平均数、(,)2a bL a b +≤≤，（此式记为对数平均不等式）下面给出对数平均不等式的证明： i ）当0a b =>时，显然等号成立 ii ）当0a b ≠>时，不妨设0a b >>， ①ln ln a b a b -<-，ln ln a ba b--，只须证：ln a b <，1x =>，只须证：12ln ,1x x x x≤-> 设1()2ln ,1f x x x x x=-+>，则22221(1)()10x f x x x x -'=--=-<，所以()f x在(1,)+∞内单调递减，所以()(1)0f x f <=，即12ln x x x<-，ln ln a ba b --①再证：ln ln 2a b a ba b -+<- 要证：ln ln 2a b a ba b -+<-，只须证：1ln21a ab b a b-<+令1a x b =>，则只须证：1ln 12x x x -<+，只须证2ln 1112x x x -<>+，设2ln ()112xg x x =--+，1x >，则22221(1)()0(1)22(1)x g x x x x x --'=-=<++ 所以()g x 在区间(1,)+∞内单调递减，所以()g(1)0g x <=，即2ln 112xx -<+， 故ln ln 2a b a ba b -+<- 综上述，当0,0a b >>(,)2a bL a b +≤≤例1 （2016年高考数学全国Ⅰ理科第21题）已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x有两个零点．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅰ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x ． 解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，当0a =时，()(2)0xf x x e =-=，得2x =，只有一个零点，不合题意； 当0a ≠时，()(1)[2]x f x x e a '=-+当0a >时，由()0f x '=得，1x =，由()0f x '>得，1x >，由()0f x '<得，1x <， 故，1x =是()f x 的极小值点，也是()f x 的最小值点，所以min ()(1)0f x f e ==-< 又(2)0f a =>，故在区间(1,2)内存在一个零点2x ，即212x << 由21lim (2)limlim 0,xx x x x x x x e e e--→-∞→-∞→-∞--===-又2(1)0a x ->，所以，()f x 在区间 (,1)-∞存在唯一零点1x ，即11x <， 故0a >时，()f x 存在两个零点；当0a <时，由()0f x '=得，1ln(2)x x a ==-或， 若ln(2)1a -=，即2ea =-时，()0f x '≥，故()f x 在R 上单调递增，与题意不符 若ln(2)1a ->，即02ea -<<时，易证()=(1)0f x f e =-<极大值故()f x 在R 上只有一 个零点，若ln(2)1a -<，即2ea <-时，易证()=(ln(2)f x f a -极大值2(ln (2)4ln(2)5)0a a a =---+<，故()f x 在R 上只有一个零点综上述，0a >（Ⅰ）解法一、根据函数的单调性证明 由（Ⅰ）知，0a >且1212x x <<<令2()()(2)(2),1xxh x f x f x x e xe x -=--=-+>，则2(1)2(1)(e 1)()x x x h x e ----'= 因为1x >，所以2(1)10,10x x e-->->，所以()0h x '>，所以()h x 在(1,)+∞内单调递增所以()(1)0h x h >=，即()(2)f x f x >-，所以22()(2)f x f x >-，所以12()(2)f x f x >-， 因为121,21x x <-<，()f x 在区间(,1)-∞内单调递减，所以122x x <-，即122x x +< 解法二、利用对数平均不等式证明由（Ⅰ）知，0a >，又(0)2f a =- 所以， 当02a <≤时，10x ≤且212x <<，故122x x +<当2a >时，12012x x <<<<，又因为12122212(2)(2)(1)(1)x x x e x e a x x --=-=--- 即12122212(2)(2)(1)(1)x x x e x e x x --=--所以111222ln(2)2ln(1)ln(2)2ln(1)x x x x x x -+--=-+--所以12122112ln(2)ln(2)2(ln(1)ln(1))(2)(2)x x x x x x x x -------=-=---所以1212121212ln(1)ln(1)(2)(2)412ln(2)ln(2)ln(2)ln(2)2x x x x x x x x x x ---------=<------所以1212122ln(1)ln(1)22ln(2)ln(2)x x x x x x +----<--- ①下面用反证法证明不等式①成立因为12012x x <<<<，所以12220x x ->->，所以12ln(2)ln(2)0x x ---> 假设122x x +≥，当122x x +=，1212122ln(1)ln(1)02=02ln(2)ln(2)x x x x x x +----=---且,与①矛盾； 当122x x +>时1212122ln(1)ln(1)02<02ln(2)ln(2)x x x x x x +---->---且,与①矛盾，故假设不成立 所以122x x +<例2 （2011年高考数学辽宁卷理科第21题）已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若曲线()y f x =与x 轴交于A B 、两点，A B 、中点的横坐标为0x ，证明：0()0f x '<解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞1(12)(1)()2(2)x ax f x ax a x x+-'=-+-=当0a ≤时，()0f x '>在区间(0,)+∞内恒成立，即()f x 在区间(0,)+∞内单调递增 当0a >时，由()f x '>0，得函数()f x 的递增区间1(0,)a， 由()f x '<0，得函数()f x 的递减区间1(,)a+∞ （Ⅱ）解法一、根据函数的单调性求解设点A B 、的横坐标分别为12x x 、，则1202x x x +=，且1210x x a<<< 由（Ⅰ）知，当0a >时，max 111[()]=[()]()ln 1f x f x f a a a ==+-极大值因为函数()f x 有两个不同的零点，所以max [()]0f x >，所以01a <<要证0000(12)(1)()0x ax f x x +-'=<，只须证01ax >，即证122x x a+>令2()()()h x f x f x a =--=21ln ln()22,0x x ax x a a ---+<<则212(1)()202(2)a ax h x a x ax x ax -'=+-=>--，所以()h x 在1(0,)a内单调递增所以1()()0h x h a <=，即2()()f x f x a <- 因为1210x x a <<<，所以112()()f x f x a <-，所以212()()f x f x a <-又21121,x x a a a >->，且()f x 在区间1(,)a +∞内单调递减所以212x x a >-，即122x x a+>，故0()0f x '<解法二、利用对数平均不等式求解设点A B 、的坐标分别为12(,0)(,0)A x B x 、，则1202x x x += 由（Ⅰ）知，当0a >时，max111[()]=[()]()ln 1f x f x f a a a==+-极大值因为函数()f x 有两个不同的零点，所以max [()]0f x >，所以01a <<因为21112222ln (2)0ln (2)0x ax a x x ax a x ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩，所以212121ln ln [()(2)]()x x a x x a x x -=+--- 所以211212211()(2)ln ln 2x x x x a x x a x x -+=<+---，即12121()(2)2x x a x x a +<+--所以21212()(2)()20a x x a x x ++-+-> ，所以1212[()2][()1]0a x x x x +-++>所以12102x x a+-<，所以121212012(1)(1)2()()022x x x x ax xf x f x x +++-+''==<+.例3 （2014年高考数学湖南卷文科第21题）已知函数21()1xx f x e x -=+（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1212()(),f x f x x x =≠时，求证：120x x +< 解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R()f x '=2222222(1)2(1)1[(1)2](1)1(1)x x xx x x x x x e e e x x x -+-----++=+++ 由()0f x '=，得0x =，由()0f x '>，得函数的递增区间(,0)-∞，由()0f x '<，得函数的递减区间(0,)+∞，所以max ()(0)1f x f == （Ⅱ）解法一、利用函数的单调性求解令2211()()()11x xx x h x f x f x e e x x --+=--=-++ ，0x > 则22222(23)(23)()(1)x xx x e x x h x xx e -+-++'=-+令222()(23)(2+3),0xH x x x ex x x =-+-+>则22()2[(2)(1)],0xH x x x ex x '=-+-+>，则22()2[(23)1],0x H x x e x ''=+->由0x >得，()2(31)40H x ''>-=>，故()H x '在(0,)+∞内单调递增 故()(0)20H x H ''>=>，故()H x 在(0,)+∞内单调递增 故()(0)0H x H >=，故()0h x '<，故()h x 在(0,)+∞上单调递减 所以，()(0)0h x h <=由（1）及1212()(),f x f x x x =≠知，1201x x <<<，故222()()()0h x f x f x =--< 所以22()()f x f x <-，所以12()()f x f x <-，又()f x 在(,0)-∞上单调递增 所以，12x x <-，即120x x +< 解法二、利用对数平均不等式求解因为1x <时，()0f x >，1x >时，()0f x <，1212()(),f x f x x x =≠ 所以，1201x x <<<，121222121111x x x x e e x x --=++，所以，21111222121111x x x x e e x x ----=++ 所以，22121212ln(1)(1)ln(1)ln(1)(1)ln(1)x x x x x x -+--+=-+--+ 所以，22212112(1)(1)ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)x x x x x x ---=---++-+所以，222112212121(1)(1)ln(1)ln(1)111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)2x x x x x x x x x x ---+-+-+-=+<------ 所以，22121212ln(1)ln(1)2ln(1)ln(1)x x x x x x ++-+<---① 因为1201x x <<<，所以12ln(1)ln(1)0x x ---> 下面用反证法证明120x x +<，假设120x x +≥当120x x +=时，22121212ln(1)ln(1)0,=02ln(1)ln(1)x x x x x x ++-+=---且，与不等式①矛盾当120x x +>时，210x x >->，所以120,2x x +>且221212ln(1)ln(1)0ln(1)ln(1)x x x x +-+<---，与不等式①矛盾.所以假设不成立，所以120x x +<例4 （2014年江苏省南通市二模第20题）设函数()(),xf x e ax a a R =-+∈其图象与x 轴交于12(,0),(,0)A x B x 两点，且12x x <. （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）证明：0(()f f x ''<为函数()f x 的导函数）； （Ⅲ）略.解：（Ⅰ）()xf x e a '=-，x R ∈，当0a ≤时，()0f x '>在R 上恒成立，不合题意 当0a >时，易知，ln x a =为函数()f x 的极值点，且是唯一极值点， 故，min ()(ln )(2ln )f x f a a a ==-当min ()0f x ≥，即20a e <≤时，()f x 至多有一个零点，不合题意，故舍去；当min ()0f x <，即2a e >时，由(1)0f e =>，且()f x 在(,ln )a -∞内单调递减，故()f x 在(1,ln )a 有且只有一个零点；由22(ln )2ln (12ln ),f a a a a a a a a =-+=+- 令212ln ,y a a a e =+->，则210y a'=->，故2212ln 1430a a e e +->+-=-> 所以2(ln )0f a >，即在(ln ,2ln )a a 有且只有一个零点. （Ⅱ）解法一、根据函数的单调性求解由（Ⅰ）知，()f x 在(,ln )a -∞内递减，在(ln ,)a +∞内递增，且(1)0f e => 所以121ln 2ln x a x a <<<<，要证0f '<，只须证a <ln a <122x x +<，故只须证122ln x x a +< 令2ln ()()(2ln )(2ln ),xa xh x f x f a x e ax a e a a x a -=--=-+-+--222ln xxe a eax a a -=--+，1ln x a <<则2()220x x h x e a e a a -'=+-≥=，所以()h x 在区间(1,ln )a 内递增 所以ln 2ln ()2ln 2ln 0aa h x ea e a a a a -<--+=，即()(2ln )f x f a x <-所以11()(2ln )f x f a x <-，所以21()(2ln )f x f a x <-因为21ln ,2ln ln x a a x a >->，且()f x 在区间(ln ,)a +∞内递增 所以212ln x a x <-，即122ln x x a +<，故0f '< 解法二、利用对数平均不等式求解由（Ⅰ）知，()f x 在(,ln )a -∞内递减，在(ln ,)a +∞内递增，且(1)0f e =>所以121ln 2ln x a x a <<<<，因为111()0xf x e ax a =-+=，222()0xf x e ax a =-+=121211x x e e a x x ==--，即12111211x x e e x x --=--，所以1212(1)(1)1ln(1)ln(1)x x x x ---=>---所以1212()0x x x x -+<，要证：0f '<，只须证a <ln a<11ln(1)x x <--22ln(1)x x <--所以1212ln(1)(1)x x x x <+---，所以121212ln(()1)x x x x x x -++<+-因为1212()0x x x x -+<，所以1212ln(()1)ln10x x x x -++<=，而120x x +->所以121212ln(()1)x x x x x x -++<+-f '<从以上四个例题可以看出，两种方法解决的问题相同，即若12,x x 是函数()f x 的两个零点，而0x x =是函数()f x 的极值点，证明1202x x x +<（或1202x x x +>），根据函数单调性求解的步骤是：一、构建函数0()()(2)h x f x f x x =--，二、判断函数()h x 的单调性，三、证明()0h x >（或()0h x <）即0()(2)f x f x x >-（或0()(2)f x f x x <-），四、故函数()f x 的单调性证1202x x x +<（或1202x x x +>）.根据对数平均不等式求解的步骤是：一、通过等式两边同取自然对数或相减等配凑出1212ln ln x x x x --及，二、通过等式两边同除以12ln ln x x -构建对数平均数1212ln ln x x x x --，三、利用对数平均不等式将1212ln ln x x x x --转化为122x x +后再证明1202x x x +<（或1202x x x +>）. 两种方法各有优劣，适用的题型也略有差异，考生若能灵活驾驭这两种方法，便能在考场上发挥自如，取得理想的成绩.。
对数平均不等式极值点偏移
对数平均不等式极值点偏移大家好，今天咱们聊聊一个数学小问题，听上去可能有点拗口，但其实并不难懂。
我们要探讨的是“对数平均不等式极值点偏移”。
别急，听我慢慢道来。
1. 对数平均不等式的基础知识1.1 什么是对数平均不等式？首先，啥是对数平均不等式呢？简单来说，就是在数学里，有一种不等式，它涉及到对数运算。
对数平均不等式就是其中一种。
你可以把它当作是两个数的对数平均值和它们的对数和之间的关系。
这种不等式告诉我们，怎么计算这些对数值的平均数更能体现真实情况。
1.2 如何理解对数平均不等式？打个比方，就像是你和朋友一起去吃饭，大家都点了不同的菜。
你想算出每个人平均吃了多少，其实就是在用对数平均的办法。
这时候，如果你算出的数和大家的实际情况对不上，说明可能你的计算方法有点偏差。
对数平均不等式就是帮我们纠正这些偏差的工具。
2. 极值点的概念2.1 什么是极值点？接下来，我们聊聊极值点。
极值点就是函数图像上最高点或者最低点的地方，简单点说，就是“山顶”和“山谷”。
比如，你在山上爬山，爬到最高点就是极值点。
而在数学里，这个极值点帮助我们了解函数的行为和变化。
2.2 极值点偏移是什么意思？当我们说“极值点偏移”时，其实就是在探讨这些“山顶”和“山谷”位置的变化。
想象一下，你在画一个山的图形，如果你动了一下笔的位置，山的顶端可能就不在原来的地方了，这就是偏移。
在对数平均不等式中，我们研究的就是这些“山顶”和“山谷”位置怎么随着条件的变化而移动。
3. 对数平均不等式的极值点偏移3.1 为什么要关注极值点偏移？极值点偏移听起来有点复杂，但其实它在很多实际问题中都很重要。
比如在优化问题中，我们希望找到最优解，这时极值点的偏移可能会影响到我们的结果。
如果我们能搞清楚这些极值点如何变化，就能更准确地找到最佳解。
3.2 举个例子，聊聊实际应用比如说你在找最佳的购物打折策略。
假如你有一张优惠券，它的使用规则就像是对数平均不等式的一种情况。
利用对数平均不等式破解极值点偏移问题
龙源期刊网
利用对数平均不等式破解极值点偏移问题
作者：杨瑞强
来源：《中学数学杂志(高中版)》2016年第05期
近几年的高考数学压轴题中，经常出现与函数的极值点偏移有关的问题，由于这类问题的解决往往需要构造函数，技巧性较强，考生难于切入，在短时间内难以解决.如果我们借助对数平均不等式加以放缩，那么问题难度大大降低.下面谈谈利用这个不等式破解此类高考导数的压轴题.
1极值点偏移的定义
对于函数y=f（x）在区间（a，b）内只有一个极值点x0，方程f（x）=0的解为x1，x2，且a
（1）若x1+x22>x0，则称函数y=f（x）在区间（a，b）上极值点x0左偏，简称x0左偏；（2）若x1+x22
4转化策略与步骤
极值点偏移问题中，函数中多有形如ex和lnx的式子，并且极值点偏移问题实质是双变量的问题，而双变量的问题许多都可以回归对数平均.常利用对数平均不等式放缩解决，其转化的步骤有：
第一步：根据f（x1）=f（x2）建立等式；
第二步：如果等式含有参数，则消参；有指数的则两边取对数，转化为对数式；
第三步：通过恒等变换转化为对数平均问题，利用对数平均不等式放缩求解.
作者简介杨瑞强（1979—），男，湖北黄冈人，中学一级教师，黄石市优秀班主任，黄石市优秀数学教师，主要从事数学教育与中学教学研究.近几年，在数学专业杂志上发表文章80余篇.。
极值点偏移问题--对数不等式法 专题
极值点偏移问题--对数不等式法我们熟知平均值不等式：第2关：参数范围问题—常见解题6法求解参数的取值范围是一类常见题型．近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出现．学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法．一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p时y>0恒成立，求x的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x 与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．由题设知当0时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1．二、分离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。
例2．若对于任意角总有成立，求的范围．分析与解：此式是可分离变量型，由原不等式得，又，则原不等式等价变形为恒成立．根据边界原理知，必须小于的最小值，这样问题化归为怎样求的最小值．因为即时，有最小值为0，故．评析：一般地,分离变量后有下列几种情形：①f(x)≥g(k) [f(x)]min≥g(k)②f(x)> g(k) g(k) < [f(x)] min③f(x)≤g(k) [f(x)] max≤g(k)④f(x)<g(k) [f(x)] max < g(k)三、数形结合对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，来达到解决问题的目的．例3．设，若不等式恒成立，求a的取值范围．分析与解：若设函数，则，其图象为上半圆．设函数，其图象为直线．在同一坐标系内作出函数图象如图，依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心到直线的距离且时成立，即a的取值范围为．四、分类讨论当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。
对数均值不等式与极值点偏移
对数均值不等式与极值点偏移在数学中，不等式是一个非常重要的概念，它是数学中的一种比较关系。
而对数均值不等式（以下简称为AM-GM不等式）则是不等式中的一种特殊形式，它在数学中有着广泛的应用。
本文将探讨AM-GM不等式以及它在极值点偏移中的应用。
一、AM-GM不等式AM-GM不等式是指对于非负实数$a_1,a_2,…,a_n$，有以下不等式成立：$$frac{a_1+a_2+…+a_n}{n}geq sqrt[n]{a_1a_2…a_n}$$其中，左边为这$n$个数的算术平均数，右边为这$n$个数的几何平均数。
这个不等式告诉我们，对于一组非负实数，它们的算术平均数一定不小于它们的几何平均数。
证明：对于$n=2$的情况，不等式可以写作$(a+b)^2geq 4ab$，这是平方差公式的形式，显然成立。
假设$n=k$时不等式成立，即：$$frac{a_1+a_2+…+a_k}{k}geq sqrt[k]{a_1a_2…a_k}$$那么当$n=k+1$时，有：$$frac{a_1+a_2+…+a_k+a_{k+1}}{k+1}=frac{frac{a_1+a_2+…+a_ k}{k}+frac{a_{k+1}}{k+1}}{frac{k}{k+1}+frac{1}{k+1}}geq sqrt[k+1]{frac{a_1a_2…a_k}{(k+1)^k}cdot a_{k+1}}$$根据不等式的乘法结合律，上式可以化简为：$$frac{a_1+a_2+…+a_k+a_{k+1}}{k+1}geqsqrt[k+1]{a_1a_2…a_ka_{k+1}}$$因此，不等式对于任意$n$都成立。
二、AM-GM不等式的应用1. 求证$sqrt{ab}leq frac{a+b}{2}$解法：根据AM-GM不等式，有：$$sqrt{ab}leq frac{a+b}{2}$$这个不等式告诉我们，对于任意两个非负实数$a$和$b$，它们的几何平均数一定不大于它们的算术平均数。
导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题(含答案)
导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题(含答案)极值点偏移问题是在求解函数的极值点时，由于函数表达式的特殊性质，导致极值点位置发生偏移，需要采用特殊的解决方法。
常见的处理方法有以下几种：1.构造一元差函数F(x)=f(x)-f(2x-x)或F(x)=f(x+x)-f(x-x)，其中x为函数y=f(x)的极值点。
2.利用对数平均不等式ab<a-b+a+b。
3.变换主元等方法lna-lnb^2<ln(a-b^2)。
接下来，我们以一个具体的例子来说明极值点偏移问题的解决方法。
题目：设函数f(x)=-alnx+x-ax(a∈R)，试讨论函数f(x)的单调性；若f(x)=m有两解x1,x2(x12a。
解析：1.讨论函数f(x)的单调性由f(x)=-alnx+x-ax可知：f'(x)=-a/x+1-a=-(a/x+a-1)因为函数f(x)的定义域为(0,+∞)，所以：①若a>0时，当x∈(0,a)时，f'(x)0，函数f(x)单调递增。
②若a=0时，当f'(x)=1/x>0在x∈(0,+∞)XXX成立，函数f(x)单调递增。
③若a0，函数f(x)单调递增。
2.求证x1+x2>2a因为f(x)=m有两解x1,x2(x1<x2)，所以：alnx1+x1-ax=m，-alnx2+x2-ax=m将两式相减，整理得：lnx1-lnx2+ln(x1-x2)=a根据对数平均不等式，有：ln(x1-x2)<(lnx1-lnx2)/2代入上式得：a>-[(lnx1-lnx2)/2]化XXX：x1-x2<2e^-2a因为x1+x2>2x2>a，所以：x1+x2>2a综上所述，极值点偏移问题的解决方法包括构造一元差函数、利用对数平均不等式和变换主元等方法。
在具体求解中，需要根据函数表达式的特殊性质，选择合适的方法进行处理。
2(t-1)x2-1)/(4(t-1)2+1)为减函数，且在(1,∞)上递增，所以原不等式得证。
对数平均不等式极值点偏移
对数平均不等式极值点偏移你有没有想过，数学里的一些“规则”有时候其实也会有点儿“小脾气”？对数平均不等式就是这样一个例子，它看似是个严肃的数学概念，但其实背后隐藏了不少有趣的故事。
今天咱们就来聊聊对数平均不等式的极值点偏移，轻松一点儿，不用当真，毕竟数学也是有趣的！1. 对数平均不等式概述1.1 对数平均不等式的基本概念首先，咱们得搞清楚什么是对数平均不等式。
别担心，这不是啥深奥的数学难题。
简单来说，对数平均不等式就是说，当你比较两个数的对数平均值和它们的算术平均值时，对数平均值总是小于或等于算术平均值。
看上去是不是有点像某种神秘的魔法？实际上，这就是数学世界的基本规则之一。
1.2 对数平均值的计算对数平均值的计算其实挺简单的，拿两个正数a和b，咱们先求它们的对数平均值。
公式是：对数平均值 = (1 / (b a)) * (b * ln(b) a * ln(a))。
别看公式复杂，其实用起来没那么难。
主要是记住，当b和a越接近时，对数平均值越接近它们的算术平均值。
2. 极值点的概念2.1 什么是极值点？说到极值点，其实就是在某个函数的图像上，那个点的值比周围的值要高（最大值）或者低（最小值）。
打个比方，极值点就像是山顶或者山谷，在那个点上，你能看到周围的一切高低差别。
它就是那种让你一眼就能发现的“高点”或者“低点”。
2.2 对数平均不等式的极值点在对数平均不等式的背景下，极值点的偏移就涉及到当对数平均值和算术平均值的关系发生变化时，那些特殊点的位置如何发生了微妙的改变。
这个偏移不一定显眼，但一旦发现，能让你对数学有更多的理解和欣赏。
3. 极值点偏移的实际影响3.1 理论上的偏移说到理论上的偏移，那就是当你调整对数平均值和算术平均值之间的关系时，极值点的位置会发生怎样的变化。
这种变化虽然看上去很抽象，但其实在实际应用中，有时会影响到数据分析、统计预测等领域。
3.2 实际应用中的趣事在实际应用中，这种偏移有时会带来一些意想不到的结果。
(完整版)极值点偏移问题的处理策略及探究
极值点偏移问题的处理策略所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。
若函数()f x 在0x x =处取得极值，且函数()y f x =与直线y b =交于1(,)A x b ,2(,)B x b 两点，则AB 的中点为12(,)2x x M b +，而往往1202x xx +≠.如下图所示.极值点没有偏移此类问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策。
而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的。
不含参数的如何解决？含参数的又该如何解决，参数如何来处理？是否有更方便的方法来解决？其实，处理的手段有很多，方法也就有很多，我们先来看看此类问题的基本特征，再从几个典型问题来逐一探索！ 【问题特征】【处理策略】一、不含参数的问题.例1.（2010天津理）已知函数()()xf x xe x R -=∈ ，如果12x x ≠，且12()()f x f x = ， 证明：12 2.x x +>【解析】法一：()(1)xf x x e -'=-，易得()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，x →-∞时，()f x →-∞，(0)0f =，x →+∞时，()0f x →， 函数()f x 在1x =处取得极大值(1)f ，且1(1)f e=,如图所示. 由1212()(),f x f x x x =≠，不妨设12x x <，则必有1201x x <<<， 构造函数()(1)(1),(0,1]F x f x f x x =+--∈， 则21()(1)(1)(1)0x x xF x f x f x e e+'''=++-=->，所以()F x 在(0,1]x ∈上单调递增，()(0)0F x F >=，也即(1)(1)f x f x +>-对(0,1]x ∈恒成立.由1201x x <<<，则11(0,1]x -∈，所以11112(1(1))(2)(1(1))()()f x f x f x f x f x +-=->--==，即12(2)()f x f x ->，又因为122,(1,)x x -∈+∞，且()f x 在(1,)+∞上单调递减， 所以122x x -<，即证12 2.x x +>法二：欲证122x x +>，即证212x x >-，由法一知1201x x <<<，故122,(1,)x x -∈+∞，又因为()f x 在(1,)+∞上单调递减，故只需证21()(2)f x f x <-，又因为12()()f x f x =， 故也即证11()(2)f x f x <-，构造函数()()(2),(0,1)H x f x f x x =--∈，则等价于证明()0H x <对(0,1)x ∈恒成立.由221()()(2)(1)0x x x H x f x f x e e--'''=+-=->，则()H x 在(0,1)x ∈上单调递增，所以()(1)0H x H <=，即已证明()0H x <对(0,1)x ∈恒成立，故原不等式122x x +>亦成立.法三：由12()()f x f x =，得1212x x x ex e --=，化简得2121x x x e x -=… ，不妨设21x x >，由法一知，121o x x <<<.令21t x x =-，则210,t x t x >=+，代入①式，得11tt x e x +=，反解出11t t x e =-，则121221t tx x x t t e +=+=+-，故要证：122x x +>，即证：221ttt e +>-，又因为10t e ->，等价于证明：2(2)(1)0t t t e +-->…②， 构造函数()2(2)(1),(0)tG t t t e t =+-->，则()(1)1,()0ttG t t e G t te '''=-+=>， 故()G t '在(0,)t ∈+∞上单调递增，()(0)0G t G ''>=，从而()G t 也在(0,)t ∈+∞上单调递增，()(0)0G t G >=，即证②式成立，也即原不等式122x x +>成立. 法四：由法三中①式，两边同时取以e 为底的对数，得221211lnln ln x x x x x x -==-，也即2121ln ln 1x x x x -=-，从而221212121212221211111ln ln ()ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-++=+==---， 令21(1)x t t x =>，则欲证：122x x +>，等价于证明：1ln 21t t t +>-…③， 构造(1)ln 2()(1)ln ,(1)11t t M t t t t t +==+>--，则2212ln ()(1)t t t M t t t --'=-， 又令2()12ln ,(1)t t t t t ϕ=-->，则()22(ln 1)2(1ln )t t t t t ϕ'=-+=--，由于1ln t t ->对(1,)t ∀∈+∞恒成立，故()0t ϕ'>，()t ϕ在(1,)t ∈+∞上单调递增，所以()(1)0t ϕϕ>=，从而()0M t '>，故()M t 在(1,)t ∈+∞上单调递增，由洛比塔法则知：1111(1)ln ((1)ln )1lim ()limlim lim(ln )21(1)x x x x t t t t t M t t t t t→→→→'+++===+='--，即证()2M t >，即证③式成立，也即原不等式122x x +>成立.【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的. 二、含参数的问题.例2.已知函数xae x x f -=)(有两个不同的零点12,x x ，求证：221>+x x .【解析】思路1：函数()f x 的两个零点，等价于方程xxea -=的两个实根，从而这一问题与例1完全等价，例1的四种方法全都可以用；思路2：也可以利用参数a 这个媒介去构造出新的函数.解答如下：因为函数()f x 有两个零点12,x x ，所以⎩⎨⎧==)2()1(2121x x aex ae x ， 由)2()1(+得：)(2121xx e e a x x +=+， 要证明122x x +>，只要证明12()2x x a e e +>，由)2()1(-得：1212()xxx x a e e -=-，即1212x x x x a e e -=-，即证：121212()2x x xx e e x x e e+->-211)(212121>-+-⇔--x x x x e e x x ， 不妨设12x x >，记12t x x =-，则0,1tt e >>，因此只要证明：121t te t e +⋅>-01)1(2>+--⇔t t e e t ， 再次换元令x t x e t ln ,1=>=，即证2(1)ln 0(1,)1x x x x -->∀∈+∞+ 构造新函数2(1)()ln 1x F x x x -=-+，0)1(=F求导2'2214(1)()0(1)(1)x F x x x x x -=-=>++，得)(x F 在),1(+∞递增， 所以0)(>x F ，因此原不等式122x x +>获证.【点评】含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元12,x x 的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。
对数均值不等式解极值点偏移点问题
对数均值不等式解极值点偏移点问题对数均值不等式（Log-mean Inequality）是一个重要的不等式，它涉及到对数函数和均值的概念。
这个不等式在解决极值点偏移问题中非常有用。
极值点偏移问题通常出现在研究函数的最值问题时，当函数的最值点不在预期的位置（如对称轴或中心）时，就需要考虑极值点的偏移。
对数均值不等式可以帮助我们理解和解决这个问题。
对数均值不等式的一般形式为：对于所有正数a和b，有L(a, b) ≤ G(a, b) ≤ A(a, b) ≤ H(a, b)其中，L(a, b) 是对数均值，定义为L(a, b) = (a - b) / (ln a - lnb)G(a, b) 是几何均值，定义为G(a, b) = √(ab)A(a, b) 是算术均值，定义为A(a, b) = (a + b) / 2H(a, b) 是调和均值，定义为H(a, b) = 2 / (1/a + 1/b)这个不等式告诉我们，对于任意两个正数a和b，它们的对数均值总是小于或等于它们的几何均值，几何均值又小于或等于算术均值，算术均值又小于或等于调和均值。
在解决极值点偏移问题时，我们可以利用对数均值不等式来分析函数的性质。
例如，如果我们知道一个函数在某个区间上的对数均值、几何均值、算术均值或调和均值的性质，我们就可以利用这些性质来推断函数在该区间上的最值点的位置。
具体的解决方法可能因问题的不同而有所差异，但一般来说，我们需要先确定函数的表达式和定义域，然后计算不同均值，并利用对数均值不等式来分析函数的单调性和最值点的位置。
总之，对数均值不等式是解决极值点偏移问题的重要工具之一。
通过利用这个不等式，我们可以更好地理解函数的性质，并找到最值点的准确位置。
(完整版)极值点偏移问题
极值点偏移问题总结一、 判定方法1、极值点偏移的定义对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，〔1〕假设0212x x x ≠+，那么称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移； 〔2〕 假设0212x xx >+，那么函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0x 左偏；〔3〕假设0212x x x <+，那么函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0x 右偏。
2、极值点偏移的判定定理证明：〔1〕因为可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大〔小〕值点0x ，那么函数)(x f y =的单调递增〔减〕区间为),(0x a ，单调递减〔增〕区间为),(0b x ，又b x x a <<<21，有),(221b a x x ∈+由于0)2('21>+x x f ，故),(2021x a xx ∈+，所以021)(2x x x ><+，即函数极大〔小〕值点0x 右〔左〕偏。
证明：〔1〕因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大〔小〕值点0x ，那么函数)(x f y =的单调递增〔减〕区间为),(0x a ，单调递减〔增〕区间为),(0b x ，又b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以021)(2x x x ><+，即函数极大〔小〕值点0x 右〔左〕偏. 结论〔2〕证明略。
二、 运用判定定理判定极值点偏移的方法1.方法概述：〔1〕求出函数()f x 的极值点；〔2〕构造一元差函数00()()()F x f x x f x x =+-- 〔3〕确定函数()F x 的单调性；〔4〕结合(0)0F =，判断()F x 的符号，从而确定00(),()f x x f x x -+的大小关系。
利用对数平均不等式解决极值点偏移问题
) =/%、,*%/,k(%y■!，%■;_^ '作3!)在点？处的切线分
别与AW,B>交于J,7.记曲 边梯形ABQP的面积为S1 , 边梯形AUTP的面积为S2,
1( )因为 S1 > S4B7J = , S4B&0
• ZHUANTI YANJIU
专题研究
利用对数平均不等式解决极值点偏移问题
◎曾雪萍(贵阳市第一中学，贵州贵阳550000 $
对数平均不等式与极值点的偏移
, 对平均不等式 效 $
着深刻的内在 导数压
一、相关
证明
1 •两个正数％和G的对数平均数定义：
{ ](%,!) - In% - InG!
%,% - G.
即
/%!
<
]G
n
—n%•
三、例题
例1
数3 !) - !_"(! & R)，如果! * !，且
/( !1 ) = 3 !2 ) •证明：！ + !2 > 2•
解 设/(对)=/(对)=c,则牛 =cW = c(!1 * !)
e1
2
｛ Inc, ( 1)
两边取对数，可得
ln!1
ln!2
-!= -!2 =
2 •对数平均
术平均数、几何平均数的大小关系
是：/%/( L( %,G)( 号/此式记为对数平均不等式)•
下面给岀对数平均不等式的证明：
① 当％ = !> 0时,显然
② 当％ * G时,不妨设％ >G > 0
对数均值不等式与极值点偏移
对数均值不等式与极值点偏移对数均值不等式是一种数学推理方法，它可以用于证明一些数学不等式，也可以用于解决数学问题。
在这篇文章中，我们将介绍对数均值不等式以及极值点偏移的相关知识。
一、对数均值不等式对数均值不等式是一种经典的不等式，它在数学分析、物理学、经济学、工程学等领域都有广泛的应用。
该不等式可以用来证明很多重要的定理，例如柯西不等式、阿贝尔不等式等。
对数均值不等式的表述如下：设$a_1,a_2,\cdots,a_n$是$n$个正实数，则有$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln{a_{i}}\ge\ln{\Big(\frac{1}{n}\sum_{i=1 }^{n}a_{i}\Big)}$$其中，$\ln{x}$表示以$e$为底的自然对数。
这个不等式的证明可以用“摆动法”或“反证法”。
摆动法的思路是通过改变不等式中的式子，使其变得更加有利于证明。
而反证法的思路则是假设不等式不成立，利用推导过程中产生的矛盾来证明它一定成立。
二、极值点偏移极值点偏移也是一种常见的数学方法，它可以将一个函数的极值点向左或向右移动，从而得到新的极值点。
这种方法在计算机科学、物理学、统计学等领域也有广泛应用。
极值点偏移的基本原理是改变函数的自变量，使得函数的值发生变化，并且使新的极值点更加有利于求解。
这个方法的具体实现方法包括用迭代法、优化算法等对函数进行求解。
举个例子，假设我们要求解函数$y=x^2+2x$在$x=1$处的极值点。
通过分析函数的图像，我们可以发现在$x=-1$处函数有一个极小值点。
如果我们想要将极值点向左偏移2个单位，我们可以将函数变成$y=(x-2)^2+2(x-2)$，此时当$x=1$时，函数的极小值点就变成了$x=-3$，相对于原来的极值点向左偏移了2个单位。
三、结论对数均值不等式和极值点偏移都是一些常见的数学方法，它们可以用于解决许多实际问题。
对数均值不等式可以用来证明一些重要的定理，而极值点偏移可以用来求解函数的极值点。
理数导数压轴题：极值点偏移问题的不等式解法精编版
极值点偏移问题的不等式解法我们熟知平均值不等式：,a b R+∈2112a ba b+≤≤≤+即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”等号成立的条件是a b=.我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：ln lna ba b--那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式,∀>≠a b a bln ln2a b a ba b-+-＜＜以下简单给出证明：不妨设a b>，设a bx=，则原不等式变为：2(1)1,ln1xx xx-∀><<+以下只要证明上述函数不等式即可.以下我们来看看对数不等式的作用.题目1：（2015长春四模题）已知函数()xf x e ax=-有两个零点12x x<，则下列说法错误的是A. a e> B.122x x+> C.121x x> D.有极小值点x，且1202x x x+<【答案】C【解析】函数()f x导函数：'()xf x e a=-有极值点lnx a=，而极值(ln)ln0f a a a a=-<，a e∴>，A正确.()f x有两个零点：11xe ax-=，22xe ax-=，即：11ln lnx a x=+①22ln lnx a x=+②①-②得： 1212l n l n x x x x -=- 根据对数平均值不等式：12121212ln ln x x x x x x +->=>-122x x ∴+>，而1>121x x ∴< B 正确，C 错误而①+②得：12122ln ln 2ln x x a x x a +=+<，即D 成立.题目2：（2011辽宁理）已知函数()2ln (2)f x x ax a x =-+-.若函数()y f x =的图像与x 轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：()0'0f x <【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设11(,())A x f x ，22(,())B x f x ，12x x <，则1202+=x x x ， 2111ln (2)0x ax a x -+-=①2222ln (2)0x ax a x -+-=②①-②得：12121212ln ln ()()(2)()0x x a x x x x a x x --+-+--=，化简得：12121210()(2)ln ln x x a x x a x x -=>+---③ 而根据对数平均值不等式：121212ln ln 2x x x x x x -+<- ③等式代换到上述不等式12012011()(2)22(2)x x x a x x a ax a +<⇒<+----④ 根据：002(2)0ax a x -->（由③得出）∴④式变为：200002(2)10(21)(1)0ax a x x ax --->⇒+->∵0(21)0x +>，∴01x a>，∴0x 在函数单减区间中，即： 0'()0f x ∴<题目3：(2010天津理)已知函数()x f x xe -= ()x R ∈.如果12x x ≠，且()()12f x f x =.证明：122x x +>.【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设12()()f x f x c ==，则11x x c e =，22x x c e =，12()x x ≠两边取对数 11ln ln x x c -=①22ln ln x x c -=②①-②得：12121ln ln x x x x -=- 根据对数平均值不等式12121212ln ln x x x x x x +->=- 122x x ∴+>题目4：（2014江苏南通市二模）设函数()x f x e ax a =-+ ()a R ∈，其图象与x 轴交于()()12,0,0A x B x 两点，且12x x <.证明：0f '<（()f x '为函数()f x 的导函数）. 【解析】根据题意：110x e ax a -+=，220x e ax a -+=移项取对数得：11ln(1)ln x x a =-+①22ln(1)ln x x a =-+②①-②得：1212ln(1)ln(1)x x x x -=---，即：1212(1)(1)1ln(1)ln(1)x x x x ---=--- 根据对数平均值不等式：1212(1)(1)1ln(1)ln(1)x x x x ---<=--- 1212(1)(1)1ln(1)(1)0x x x x ∴--<⇒--<，①+②得：12122ln ln(1)(1)2ln x x a x x a +=+--<根据均值不等式：12ln 2x x a +<< ∵函数()f x 在(,ln )a -∞单调递减∴0f <题目5：已知函数()ln f x x x =与直线y m =交于1122(,),(,)A x y B x y 两点. 求证：12210x x e<< 【解析】由11ln =x x m ，22ln =x x m ，可得：11ln m x x =①，22ln m x x =② ①-②得：211212121212ln ln ()ln ln ln ln ln ln ----=⇒=-x x x x m x x m x x x x x x ③ ①+②得：211212(ln ln )ln ln m x x x x x x ++=④ 根据对数平均值不等式 121212()2ln ln +->≠-x x m x x x x 利用③④式可得：121212(ln ln )2ln ln ln ln m x x m x x x x +-> 由题于y m =与ln y x x =交于不同两点，易得出则0m <∴上式简化为: 212ln()2ln x x e -⋅<-=∴12210<<x x e。
利用对数平均不等式处理极值点偏移压轴难题
利⽤对数平均不等式处理极值点偏移压轴难题
在2016年全国卷出来，极值点偏移问题可谓是⽕遍⼤江南北，此类问题在各地区的模拟试题如
⾬后春笋不断出现。
本⽂介绍处理极值点偏移另⼀神器，对数平均不等式，也有⽼师称之为“A —L—G”不等式。
⼀、极值点偏移的定义
⼆、对数平均定义与证明
（需要说明的是对数平均不等式在⾼考中不能直接⽤，再解答题中需要证明，避免扣分）
三、⾼考例题
偏移问题在历年考题中也反复出现，⽐如2016年全国卷、2013年湖南卷、2011年辽宁卷、
2010年天津卷等，下⾯举例分别说明
四、解后思考：答题模板
第⼀步: 根据f(x1)=f(x1)建⽴等式;
第⼆步: 如果等式含有参数，则消参; 有指数的则两边取对数，转化为对数式;
第三步: 通过恒等变换转化为对数平均问题，利⽤对数平均不等式求解
上⾯四个⾼考真题也可以利⽤对称性构造函数⽅法解答，具体见上⼀篇⽂章
（给学⽣的话，⽼师可忽略是对数平均不等式在⾼考中不能直接⽤，再解答题中需要证明，避
免扣分。
解答极值点偏移问题的通法还是对称构造，但是通法并不⼀定是最简便的⽅法）
作者：湖北省黄⽯市第⼀中学杨瑞强。
对均不等式和极值点偏移
对均不等式和极值点偏移
一、均不等式
均不等式是一种用来描述数列中平均值与各项之间的关系的数学工具。
它可以帮助我们判断一个数列的平均值与各项之间的大小关系，从而更好地理解这个数列的特点。
均不等式通常有两种形式，一种是夹逼定理，另一种是柯西不等式。
夹逼定理可以用来证明一些极限存在的性质。
它的基本思想是，如果一个数列逐渐逼近一个极限值，同时又被两个其他数列夹在中间，那么这个数列的极限值也必须落在这两个数列的极限值之间。
柯西不等式则是利用向量的内积来定义。
它可以用来证明一些有关向量长度和方向的性质，如三角形不等式、柯西-施瓦茨不等式等。
二、极值点偏移
极值点偏移是指对一个函数进行微小的偏移，从而使得原本的极值点发生变化。
在一些情况下，这种偏移可以使得原本不存在的极值点出现，或者使得原本的极值点被消失。
极值点偏移通常需要用到微积分的知识。
我们可以通过求导数和二阶导数来确定
函数的极值点。
然后，通过微小的偏移来改变函数的形状，从而发现新的极值点。
在一些特殊的情况下，极值点偏移还可以用来证明一些数学定理，如罗尔定理、拉格朗日中值定理等。
高中数学极值点偏移与对数均值不等式
极值点偏移与对数均值不等式【知识梳理】1．极值点偏移的基本特征：指单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图象没有轴对称性．2．函数极值点偏移的含义：已知函数f(x)有唯一的极值点x＝x0，直线y＝a与函数f(x)的图象交于不同的两点A(x1，a)，B(x2，a)，AB的中点为M(x1＋x22，a)，若x0≠x1＋x22，则称f(x)的极值点出现了偏移．3．函数极值点偏移的分类：当x1＋x22＞x0时，称f(x)在x＝x0处的极值点左偏；当x1＋x22＜x0时，称f(x)在x＝x0处的极值点右偏．4．一般地，设函数f(x)在x＝a处取得极值，且当x＜a时，f(x)单调递增（递减），当x＞a时，f(x)单调递减（递增）．若f(x1)＝f(x2)，f(2a－x2)＞f(x2)＝f(x1)（f(2a－x2)＜f(x2)＝f(x1)），则有x1＋x2＜2a（x1＋x2＞2a）5．对数均值不等式：2x1＋x2＜ln x2－ln x1x2－x1＜1x1·x2．该不等式的几何意义是：曲线f(x)＝ln x上过点A(x1，ln x1)，B(x2，ln x2)的割线的斜率介于f(x)在点x＝x1＋x22处的切线斜率与在点x＝x1x2处的切线斜率之间．【例题分析】例1 （1）已知函数f(x)＝e x－ax有两个零点x1，x2（x1＜x2），则下列说法错误的是（）（A）a＞e （B）x1＋x2＞2（C）x1x2＞1 （D）有极小值点x0，且x1＋x2＜2x0（2）函数f(x)＝x(2ln x－a)＋1有两个零点x1，x2，在下列不等式中：①x1＋x2＞1；②0＜x1＋x2＜1；③x1x2＞14；④0＜x1x2＜14．其中成立的是（）（A）①③（B）①④（C）②③（D）②④（3）设a，b∈R，且a＜b，若a3e b＝b3e a，给出下列结论：①a＋b＞6；②ab＜9；③a＋2b＞9；④a＜3＜b．其中所有正确结论的序号有________．例2 （2011辽宁）已知函数f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x．若y＝f(x)的图象与x轴交于A，B两点，线段AB的中点的横坐标为x0，证明：f'(x0)＜0．例3 （2017安徽蚌埠模拟）若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x0，y0)是函数f(x)＝ax2＋(1－2a)x－ln x （a∈R）图象上不同的三点，且x0＝x1＋x22，试判断f'(x0)与y1－y2x1－x2之间的大小关系．例4 已知函数f(x)＝x e－x，若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明：x1＋x2＞2．例5 设函数f(x)＝e x－ax＋a（a∈R），其图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且x1＜x2，f'(x)为f(x)的导数，证明：f'(x1x2)＜0．例6 （2016镇江模拟）记函数f(x)＝e x的图象为C，函数g(x)＝kx－k的图象记为l．若图象C 与直线l有两个不同的交点A，B，其横坐标分别为x1，x2，设x1＜x2，求证：x1x2＜x1＋x2．例7 已知函数f(x)＝ln x－ax2（a∈R）．（1）讨论f(x)的零点个数；（2）当f(x)有两个零点x1，x2时，求证：x1x2＞e．例8 已知函数f(x)＝x ln x与直线y＝m交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求证：0＜x1x2＜e－2．例9 （2017石家庄二模）设函数f(x)＝e x－ax＋a，其中e为自然对数的底数，其图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且x1＜x2．（1）求实数a的取值范围；（2）证明：f'(2x1＋x23)＜0（f'(x)为函数f(x)的导函数）．。
对数平均不等式在极值点偏移中应用
对数平均不等式(d e )典型应用极值点偏移问题(de)母题对数、指数平均不等式与高考中(de)一类热点,即极值点(de)偏移(类对称或淮对称)问题具有深该(de)内在联系,利用对数与指数平均不等式可建立极值点(de)偏移母题如下.[母题结构]:(Ⅰ)(对数模型)设P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)是函数f(x)=mlnx+ax 2+bx+c(m≠0)图像上(de)任意两点,则当m>0时,f '(221x x +)<k PQ ;当m<0时,f '(221x x +)>k PQ ; (Ⅱ)(指数模型)设P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)是函数f(x)=me x +ax 2+bx+c(m ≠0)图像上(de)任意两点,则当m>0时,f '(221x x +)<k PQ ;当m<0时,f '(221x x +)>k PQ . [母题解析]:(Ⅰ)由f(x)=mlnx+ax 2+bx+c⇒f '(x)=xm+2ax+b⇒f '(221x x +)=212x x m ++a(x 1+x 2)+b;又由k PQ =2121)()(xx x f x f --= m⋅2121ln ln x x x x --+a(x 1+x 2)+b⇒k PQ -f '(221x x +)=m(2121ln ln x x x x ---212x x +),由对数平均不等式:2b a +>ba ba ln ln --⇒2121ln ln x x x x -->212x x +⇒当m>0时,f '(221x x +)<k PQ ;当m<0时,f '(221x x +)>k PQ ; (Ⅱ)由f(x)=me x+ax 2+bx+c ⇒f '(x)=mex+2ax+b ⇒f '(221x x +)=me221x x ++a(x 1+x 2)+b;又由k PQ =2121)()(x x x f x f --=m⋅2121x x e e x x --+a(x 1+x 2)+b ⇒k PQ -f '(221x x +)=m(2121x x e e x x ---e221x x +),由指数平均不等式:ba e eb a -->e2b a +⇒2121x x e e x x -->e221x x +⇒当m>0时,f '(221x x +)<k PQ ;当m<0时,f '(221x x +)>k PQ .1.对数模型子题类型Ⅰ:(2011年辽宁高考试题)已知函数f(x)=lnx-ax 2+(2-a)x. (Ⅰ)讨论f(x)(de)单调性;(Ⅱ)设a>0,证明:当0<x<a 1时,f(a 1+x)>f(a1-x);(Ⅲ)若函数y=f(x)(de)图像与x 轴交于A,B 两点,线段AB 中点(de)横坐标为x 0,证明:f '(x 0)<0. [解析]:(Ⅰ)f(x)(de)定义域为(0,+∞),由f(x)=lnx-ax 2+(2-a)x ⇒f '(x)=-xx 12+(ax-1);①当a ≤0时,f '(x)>0⇒f(x)在(0,+∞)上递增;②当a>0时,f(x)在(0,a 1)上递增,在(a1,+∞)递减;(Ⅱ)令g(x)=f(a1+x)-f(a1-x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax,则g '(x)=axa+1+axa -1-2a=222312xa x a ->0⇒g(x)在[0,a1)上递增⇒g(x)>g(0)=0⇒f(a 1+x)>f(a1-x);(Ⅲ)设A(x 1,0),B(x 2,0),则k AB =0,由f '(221x x +)<k AB =0⇒f '(x 0)<0.[点评]:若连续函数f(x)在区间(x 1,x 2)内有唯一(de)极值点x 0,且f(x 1)=f(x 2),研究221x x +与x 0(de)大小或判断f '(221x x +)(de)符号,统称为极值点(de)偏移问题;母题结论具有解决极值点偏移问题(de)根本性. 2.指数模型子题类型Ⅱ:(2010年天津高考试题)已知函数f(x)=xe -x (x ∈R). (Ⅰ)求函数f(x)(de)单调区间和极值;(Ⅱ)已知函数y=g(x)(de)图象与函数y=f(x)(de)图象关于直线x=1对称,证明:当x>1时,f(x)>g(x);(Ⅲ)如果x 1≠x 2,且f(x 1)=f(x 2),证明:x 1+x 2>2. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=xe -x ⇒f '(x)=e-x-xe -x =(1-x)e -x ,列表如下,由表知f(x)在(-∞,1)内是增函数,在(1,+∞)内是减函数,函数f(x)在x=1处取得极大值f(1),且f(1)=e -1;(Ⅱ)由函数y=g(x)(de)图象与函数y=f(x)(de)图象关于直线x=1对称⇒g(x)=f(2-x)=(2-x)e x-2;当x>1时,令F(x)=f(x)-g(x)=xe -x +(x-2)e x-2,则F '(x)=(x-1)(e 2x-2-1)e -1>0⇒函数F(x)在[1,+∞)是增函数⇒F(x)>F(1)=0⇒f(x)>g(x);(Ⅲ)设P(x 1,y 0),Q(x 2,y 0),由x 1≠x 2,且f(x 1)=f(x 2),则x 1,x 2>0;令g(x)=lnf(x)=lnx-x,则g '(221x x +)<k PQ =0⇒212x x +-1<0⇒x 1+x 2>2.[点评]:指数与对数函数模型不仅具有相似(de)结论,实质上,由函数y=e x 与y=lnx(de)对称性知,母题中,指数与对数函数模型(de)结论是等价(de);把指数函数问题转化为对数函数问题是解决指数函数问题(de)常用方法. 3.切线背景子题类型Ⅲ:(2005年湖南高考试题)已知函数f(x)=lnx,g(x)=21ax 2+bx,a ≠0.(Ⅰ)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a(de)取值范围;(Ⅱ)设函数f(x)(de)图象C 1与函数g(x)图象C 2交于点P 、Q,过线段PQ(de)中点作x 轴(de)垂线分别交C 1,C 2于点M 、N,证明:C 1在点M 处(de)切线与C 2在点N 处(de)切线不平行. [解析]:(Ⅰ)当b=2时,h(x)=f(x)-g(x)=lnx-21ax 2-2x ⇒h '(x)=x 1-ax-2=-x1(ax 2+2x-1)(x>0);所以,h(x)存在单调递减区间⇔h '(x)≤0在(0,+∞)内有解集区间⇔T(x)=ax 2+2x-1≥0在(0,+∞)内有解集区间⇔a>0,或a<0,且4+4a>0⇔ a(de)取值范围是(-1,0)∪(0,+∞);(Ⅱ)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),A(x 1,0),B(x 2,0),由h(x)=f(x)-g(x)=lnx-21ax 2+bx ⇒h '(x)=f '(x)-g '(x)⇒h '(221x x +)=f '(221x x +)-g '(221x x +)<k AB =0⇒f '(221x x +)<g '(221x x +)⇒C 1在点M 处(de)切线斜率=f '(221x x +)<C 2在点N 处(de)切线斜率=g '(221x x +)⇒C 1在点M 处(de)切线与C 2在点N 处(de)切线不平行.[点评]:对数、指数平均不等式及其引伸(de)母题结论具有广泛(de)应用,尤其在解决双切线问题中,具有十分有力(de)深刻应用;掌握对数、指数平均不等式及其引伸(de)母题结论(de)证明是十分必要(de). 4.子题系列:1.(2016年安徽蚌埠二模试题)设函数f(x)=x 2+3x+3-ae x (a 为非零常数). (Ⅰ)求g(x)=xe xf )((de)单调区间;(Ⅱ)若存在b,c ∈R,且b ≠c,使f(b)=f(c),试判断a f '(2c b +)(de)符号.2.(2014年江苏南通二模试题)设函数f(x)=e x -ax+a(a ∈R),其图像与x 轴交于A(x 1,0),B(x 2,0)两点,且x 1≠x 2. (Ⅰ)求a(de)取值范围; (Ⅱ)证明:f '(21x x )<0(f '(x)为函数f(x)(de)导函数).3.(2013年湖南高考试题)已知函数f(x)=211x x +-e x .(Ⅰ)求f(x)(de)单调区间;(Ⅱ)证明:当f(x 1)=f(x 2)(x 1≠x 2)时,x 1+x 2<0.4.(2014年广东韶关二模试题)已知函数f(x)=ln(x+a 1)-ax,其中,a ∈R 且a ≠0.(Ⅰ)讨论f(x)(de)单调性;(Ⅱ)若不等式f(x)<ax 恒成立,求实数a(de)取值范围;(Ⅲ)若方程f(x)=0存在两个异号实根x 1,x 2,求证:x 1+x 2>0. 5.(2011年湖南高考试题)设函数f(x)=x-x1-alnx(a ∈R),(Ⅰ)讨论f(x)(de)单调性;(Ⅱ)若f(x)有两个极值点x 1和x 2,记过点A(x 1,f(x 1)),B(x 2,f(x 2)),(de)直线(de)斜率为k,问:是否存在a,使得k=2-a 若存在,求出a(de)值;若不存在,请说明理由. 6.(2015年广东广州二模试题)已知函数f(x)=alnx-11+-x x ,g(x)=e x (其中e 为自然对数(de)底数).(Ⅰ)若函数f(x)在区间(0,1)内是增函数,求实数a(de)取值范围;(Ⅱ)当b>0时,函数g(x)(de)图象C 上有两点P(b,e b ),Q(-b,e -b ),过点P,Q 作图象C(de)切线分别记为l 1,l 2,设l 1与l 2(de)交点为M(x 0,y 0),证明:x 0>0. 5.子题详解: 1.解:(Ⅰ)由g(x)=xex f )(=(x 2+3x+3)e -x -a ⇒g '(x)=-x(x+1)e -x ⇒g(x)在(-∞,-1)和(0,+∞)上递减,在(-1,0)上递增; (Ⅱ)令P(b,f(b)),Q(c,f(c)),则k PQ =0;①当-a>0,即a<0时,f '(2c b +)<k PQ =0⇒a f '(2cb +)>0;②当-a<0,即a>0时, f '(2cb +)>k PQ =0⇒a f '(2c b +)>0.综上,a f '(2cb +)>0. 2.解:(Ⅰ)由f '(x)=e x -a;①当a ≤0时,f '(x)>0⇒f(x)在(-∞,+∞)上单调递增⇒f(x)至多有一个零点,不合题意;②当a>0时,f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增,由f(x)有两个零点⇒f min (x)=f(lna)=2a-alna<0⇒a>e 2⇒lna>2;又f(1)=e>0,f(a -1lna)=e 1-alna-lna+a>a -1lna+1-(a-1)+a=a -1lna+2>0⇒f(x)有两个零点x 1,x 2,且1<x 1<x 2.故a(de)取值范围是(e 2,+∞);(Ⅱ)由f '(221x x +)<k PQ =0,且f '(x)=e x -a 在(-∞,+∞)上单调递增;又由1<x 1<x 2⇒21x x <221x x +⇒f '(21x x )<f '(221x x +)<0.3.解:(Ⅰ)由f(x)=211x x +-ex⇒f '(x)=-222)1()32(x x x x ++-ex⇒f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减; (Ⅱ)不妨设x 1<x 2,由(Ⅰ)知x 1<0,x 2>0;由f(x 1)=f(x 2)⇒21111x x +-e 1x =22211x x +-e 2x >0⇒0<x 2<1,ln(1-x 1)-ln(1+x 12)+x 1=ln(1-x 2)-ln(1+x 22)+x 2⇒(x 1+x 2)22212221)1ln()1ln(x x x x -+-++)1()1()1ln()1ln(2121x x x x ------=1;根据对数平均不等式,有22212221)1ln()1ln(x x x x -+-+>222221++x x ,)1()1()1ln()1ln(2121x x x x ------>)(2221x x +-⇒(x 1+x 2)222221++x x +)(2221x x +-<1⇒(x 1+x 2)222221++x x +)(2221x x +--1<0⇒(x 1+x 2)222221++x x +)(22122x x x x +-+<0⇒(x 1+x 2)[222221++x x +)(2121x x +-]<0;由x 1<0,0<x 2<1⇒x 1+x 2<2⇒)(2121x x +->0⇒222221++x x +)(2121x x +->0⇒x 1+x 2<0.4.解:(Ⅰ)由f(x)(de)定义域为(-a1,+∞),f '(x)=-12+ax x a ;①当a<0时,f '(x)>0⇒f(x)在(-a 1,+∞)上单调递增;②当a>0时,在区间(-a1,0)上,f '(x)>0,在区间(0,+∞)上,f '(x)<0⇒f(x)在(-a1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减;(Ⅱ)由f(x)<ax ⇔2ax-ln(x+a 1)>0,令x=e-a 1得:2a(e-a1)-1>0⇒2ea-3>0⇒a>0;令g(x)=2ax-ln(x+a1),则g '(x)=122+ax a (x+a21)⇒g(x)在(-a1,-a21)上单调递减,在(-a21,+∞)上单调递增⇒g min (x)=g(-a 21)=-1-ln(2a);由g min (x)>0⇒a>2e ⇒a(de)取值范围是(2e,+∞);(Ⅲ)由(Ⅰ)知a>0,且-a1<x 1<0<x 2,由f(x 1)=f(x 2)=0⇒ln(x 1+a 1)-ax 1=ln(x 2+a 1)-ax 2=0⇒x 1+a 1=e 1ax ,x 2+a1=e 2ax⇒x 2-x 1=e2ax -e1ax ⇒1212ax ax e e ax ax --=a1;又x 1+x 2+a2=e1ax +e2ax ,根据指数平均不等式,有=e 1ax +e2ax >2⋅1212ax ax e e ax ax --=a2⇒x 1+x 2+a2>a2⇒x 1+x 2>0.5.解:(Ⅰ)f(x)(de)定义域为(0,+∞),f '(x)=21x(x 2-ax+1);①当a ≤2时,f '(x)≥0⇒f(x)在(0,+∞)上单调递增;②当a>2时,由f '(x)=0⇒x 1=242--a a ,x 2=242-+a a ⇒f(x)在(0,x 1)和(x 2,+∞)上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,a<2,且x 1x 2=1;由k=2121)()(x x x f x f --=1+211x x -a 2121ln ln xx x x --;若存在a,使得k=2-a,则2121ln ln x x x x --=1,即2121ln ln xx x x --=21x x ;但由加细基本不等式知;2121ln ln xx x x -->21x x .故不存在a,使得k=2-a.6.解:(Ⅰ)由函数f(x)在区间(0,1)内是增函数⇔当x ∈(0,1)时,f '(x)=x a -2)1(2+x ≥0⇔当x ∈(0,1)时,a ≥212++xx ⇔a ≥21.故实数a(de)取值范围为[21,+∞);(Ⅱ)由g(x)=e x⇒g '(x)=e x⇒切线l 1:y=e b (x-b)+e b ,l 2:y=e -b (x+b)+e -b ⇒x 0=b ⋅bb b b e e e e ---+-1=b ⋅b bee 2211---+-1;设t=e -2b ∈(0,1),则lnt=-2b ⇒-1=tbln2⇒x 0=b ⋅t t -+11+t b ln 2=b(t t -+11+t ln 2);由(Ⅰ)知,当a=21时,f(x)=21lnx-11+-x x 在区间(0,1)内是增函数⇒f(t)=21lnt-11+-t t <f(1)=0⇒2ln t<11+-t t ⇒t t-+11+tln 2>0⇒x 0>0.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
极值点偏移——对数平均不等式（本质回归）笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：， 不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题． 对数平均不等式：对于正数，，且，定义为，的对数平均值，且，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为．先给出对数平均不等式的多种证法． 证法1（对称化构造） 设，则，，构造函数，则．由得，且在上，在上，为的极大值点．对数平，等价于，这是两个常规的极值点偏移问题，留给读者尝试．证法2（比值代换） 令，则，构造函数可证．证法3（主元法） 不妨设，111ln2e e 2ln b a b aa ab b ab ab b a b a ba b a b b b a a a ---⎛⎫-+⎛⎫<<<<<<⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭ab a b ≠ln ln a ba b--a b ln ln 2a b a ba b -+<-()()(),,,G a b L a b A a b <<0ln ln a bR a b-=>-ln ln k a k b a b -=-ln ln k a a k b b -=-()ln f x k x x =-()()f a f b =()1kf x x'=-()0f k '=()f x ()0,k Z (),k +∞]x k =()f x 2a b k +<<22a b kab k +>⎧⎨<⎩1at b=>()()11ln ln 2ln 2b t b t a b a ba b t -+-+<<⇔<<-()2111ln ln 21t t t t t t --+⇔<⇔<<+a b >．记，，则 ，得在上，有，左边得证，右边同理可证．证法4（积分形式的柯西不等式） 不妨设，则由得，； 由得，．证法5（几何图示法） 过上点作切线，由曲边梯形面积，大于直角梯形面积，可得，即； 如上右图，由直角梯形面积大于曲边梯形面积，可得． 由对数平均不等式的证法1、2即可看出，它与极值点偏移问题间千丝万缕的联系，下面就用对数平均不等式再解前面举过的例题．再解例1：即，，则ln ln ln ln 0ln ln a b a b a b a b -<⇔-<⇔-<-()ln ln f a a b =-(),a b ∈+∞()210f a a '==<()f a (),b +∞]()()0f a f b <=a b >()()()()2ln ln ln 22ln ln ln e e 1aa axx bbbdxdxdx <⎰⎰⎰()()()2221ln ln 2b a a b a b -<--ln ln 2a b a ba b -+<-()222111a a ab b bdx dx dx x x ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰()()211ln ln a b a b b a ⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭ln ln a ba b-<-()1f x x =2,2a b a b +⎛⎫⎪+⎝⎭()11ln ln 2a b a b dx a b a b x -⋅<=-+⎰ln ln 2a b a b a b -+<-1dx x=< ⎪ ⎪⎝⎭ln ln a b a b -<-()()12f x f x =1212ee x x x x --=1122ln ln x x x x -=-12121ln ln x x x x -=-（正数，的对数平均数为1），得，且．再解例2：即；由得，两式相减得 ，下面用反证法证明．若，则，，取对数得，则．而由对数平均不等式得，矛盾．再解例3：由得， ； ． 由对数平均不等式得，，得． 再解练习1：由得，则，1x 2x 1212x x +<<121x x <122x x +>()()()22e 10xf x x a x =-+-=()()22e 10xx a x -=->()()120f x f x ==()()()()122112222e 12e 1x x x a x x a x ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩()()()()121212122e 2e 2x xx x a x x x x ---=-+-122x x +<122x x +≥()()12122e 2e 0x x x x ---≤()()12122e 2e x xx x -≤-()()1122ln 2ln 2x x x x -+≤-+()()21121ln 2ln 2x x x x -≥---()()()()()()()()121221121212222221ln 2ln 2ln 2ln 222x x x x x x x x x x x x ----+--+=<=-≤------1122ln ln x x x x m ==11ln m x x =22ln mx x =1212121212ln ln ln ln ln ln ln ln m mx x x x mx x x x x x --==---()12121212ln ln ln ln ln ln m x x m mx x x x x x ++=+=()()12121212ln ln 0,ln 0,ln 0ln ln 2ln ln m x x mm x x x x x x +-<<<<+()12122ln ln ln x x x x ->+=1221e x x <1122ln ln x ax x ax -=-1212110ln ln e x x a x x a -⎛⎫=<< ⎪-⎝⎭1212x xa +<得； ，已证． 再解例4：同例1，不再详述． 再解例5：同例1得到，则． 再解例7（2）：易得，则，则，． 再解例8：，，得，则，，．再解练习2：原题结论抄写有误，应更正为．即，，则 ①－②得，则（正数，的对数平均数为1）．，得，且．①＋②得，由此可得．解练习3：选项D ：即，则，，所以1222ex x a +>>()2121212122e ln ln 22x x x x a x x x x a>⇔+>⇔+>⇔+>121x x <12112x x +>>()1ln 1ln ln ln 0,1a b a b a b a b ++-==∈-1ln ln a b a b->-12a b+>2a b +>11222ln 2ln x ax x ax -=-()()12122ln ln x x a x x -=-12122ln ln x x x x a -=-1222x x a +>124x x a +>()121224262x x x x x a a a+=++>+=0f '<()0f x =()()2e 1e x a x a =->()ln ln 1x a x =+-()()1122ln ln 1 ln ln 1 x a x x a x =+-⎧⎨=+-⎩①②()()()()12121211ln 1ln 1x x x x x x -=---=---()()()()1212111ln 1ln 1x x x x ---=---11x -21x -()()121112x x -+-<<()()12111x x --<124x x +>()()12122ln ln 112ln x x a x x a +=+--<12ln 2x x a +<<0f '<()()12f x f x =121222ln ln x x x x +=+()12122112222ln ln x x x x x x x x --=-=121212ln ln 2x x x x x x -=-． 顺带地，也有． 极值点偏移问题，多与指数函数或对数函数有关，解题的关键有以下几步： （1）根据建立等量关系；（2）等量关系中如果含有参数，可考虑消参；如果含有指数式，可考虑两边取对数； （3）通过恒等变形转化出对数平均数（的值或仍用，表示），代入对数平均不等式求解．细心的读者不难发现，用对数平均不等式来解极值点偏移问题的方法也有局限性，也不是万能的（再解过程中漏掉了例6），其中能否简洁地表示出对数平均数是关键中的关键，最后再举一例． 例10设函数的两个零点是，，求证：． 证法1：首先易知，且在上，在上，不妨设，，构造函数可证．证法2：由题意得，两式相减得 ， ，，121212442x x x x x x <⇒>⇒+>>()()1212111212121111122x x x x x x x x x x x x +<⇒<+⇔--<⇔+>()()120f x f x ==1x 2x ()()2ln 2f x x ax a x =-+-1x 2x 1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭0a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭Z 1a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭]1210x x a <<<121212201022x x x x f a x x a ++⎛⎫'<⇔⋅->⇔+> ⎪⎝⎭()()2F x f x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()()21112222ln 20ln 20x ax a x x ax a x ⎧-+-=⎨-+-=⎩()()()()12121212ln ln 20x x a x x x x a x x --+-+--=()()()121212ln ln 2x x x x a x x a -=-++-()12121210ln ln 2x x x x a x x a -=>-++-所以．()()()()212121212122012x x a x x a x x a x x a +<⇒++-+->++-()()()12121212221002x x a x x x x x x f a +⎛⎫'⇒+-++>⇒+>⇒< ⎪⎝⎭。