静电场的能量大学物理下

W 1 CV 2 1(0rS)(Ed)2
2
2d
120rE2(Sd)
1 2
0r
E2V
Q
Q
r S d
电场存在的空间体积
电场能量体密度——电场中单位体积所储存的 能量它描述了电场中能量分布状况
W 120rE2V
Q
Q
电场存在的空间体积
r S d
wW V120rE212DE
W dW
V
V
120rE2dV
d
S
r
S
例：一真空平板电容器充电后切断电源， 然后充入均匀电介质，则该电容器的电容 将____，电量将_____，两板间的电势差 将_____，所储存的电场能量将变_____； 如果充电后保持与电源连接，再充入均匀 电介质，则电容器的电容将变_____，电 量将_____，两板间的电势差将_____，所 储存的电场能量将变_____。
电场能量体密度——描述电场中能量分布状况
例题、求平板电容器所储存的电场能量。 如图所示，两块带等量异号电荷的金属板平行放置 组合而成的平板电容器，求所储存的电场能量。
q q
r
S S E
Ad B
例、一空气平板电容器的极板面积为S，间距为d， 用电源充电后两极板带电量分别为＋Q和-Q，断开 电源后，将两极板距离拉开为2d， 求：
外力做功等于系统的相互作用能W。
WA410q1rqA2 r B
q1
q1
q2
q2
可改写为
W 1 2q1410q r21 2q2410q r112q1U112q2U2
1 2
2 i 1
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qiU i
两个点电荷组成的系统的相互作用能（电势能） 等于每个电荷在另外的电荷所产生的电场中的电势 能的代数和的一半。
（填“变大”、“变小”或者“不变”）
例、一空气平板电容器的极板面积为S，间距为d， 今将一厚度为t、面积也为S的铜板平行地插入电容 器内。求： （1）计算此时电容器的电容； （2）用电源充电到电容器的带电量为Q时，断开电 源，再将该铜板从电容器中抽出，外界需要做多少 功。
d
t
例、一空气平板电容器的极板面积为S，间距为d， 用电源充电到电容器两极板之间的电势差为V时， 保持与电源的连接，将一厚度为t、面积也为S的铜 板平行地插入电容器内，求该电容器储存的电场能 量的改变量。
Aq2(U 2U )
U2是q1在B点产生的电势，V∞是q1在无限远处的电势。
U2
1
4 0
q1 r
U 0
所以
Aq2U2
1 q1q2
A4r0
r B
q1
q2
同理，先把q2从无限远移B点，再把q1移到点，
外力做功为
Aq1U1
1
40
q1q2 r
U1是q2在A点产生的电势。
两种不同的迁移过程，外力做功相等。
C
q3 r13 q1
r23 A r12
B q2
2. 电荷连续分布时的静电能
设想不断把电荷元dq从无穷远处迁移到物体上， 系统的静电能为
dq
dq
W
1 2
udq
u是带电体上的所有电荷在电荷元dq处产生的电势。
3、电容器中的电场能量
ab
K
C
R
我们再来看一看电容器的充电过程。
K
＋
+－
电容器的充电过程就是由电源不断地将正电荷从 电容器的负极板搬运到正极板的过程。这一过程电源 所消耗的能量就转化为电容器内所储存的电场能量。
电荷之间具有相互作用能（电势能），当电荷间 相对位置发生变化或系统电荷量发生变化时，静电能 转化为其它形式的能量。
1. 点电荷间的相互作用能
1.1 两个点电荷
假设q1、q2从相距无穷远移至相距为r。 先把q1从无限远移至A点，因q2与A点相距仍然为无 限，外力做功等于零。
A
q1
q2
再把q2从无限远移至B点，外力要克服q1的电场力 做功，其大小等于系统电势能的增量。
1.2 三个点电荷
依次把q1 、q2、 q3从无限远移至所在的位置。
把q1 移至A点，外力做功 A1 0
再把q2 移至B点，外力做功
最后把q3 移至C点，外力做功
C
AA32 qq32(44qq1010r1r1324q20r23)
q3 r13
r23 A r12
q1
B q2
三个点电荷组成的系统的相互作用能量（电势能）
d
t
例、一平行板电容器的极板面积为S，间距为d，其 间充满了相对介电常数为r的均匀电介质，充电后， 正负极板的带电量分别为Q，求： （1）此时电容器中的电场能量； （2）如果断开电源，再将该电介质板从电容器中 抽出，外界需要做多少功。
d
S
r
S
例、一空气平行板电容器的极板面积为S，间距为d， 充电后，正负极板之间的电势差为V，如果保持与 电源的连接，再将一相对介电常数为r的均匀电介 质板平行插入该电容器，求该电容器中储存的电场 能量的改变量。
W A 1A 2A 3
q 24q 1 0r12 q 3(4q 1 0r1 34q 2 0r2)3
C q3
r13
q1
r23 A r12
B q2
可改写为
W 1 2 [q 1 (4 q 2 0 r 1 2 4 q 3 0 r 1)3 q 2 (4 q 1 0 r 1 2 4 q 3 0 r 2)3
q3(4q10r134q20r23)]
1 2(q1U1q2U2q3U3)
1 2
3 i 1
qiU i
U1是q2和q3在q1 所在处产生的电势，余类推。
1.3 多个点电荷
推广至由n个点电荷组成的系统，其相互作用能
（电势能）为
W
1 2
n i1
qiUi
Vi是除qi外的其它所有电荷在qi 所在处产生的电势。
（1）外力克服两极板相互吸引力所作的功。 （2）两极板间的相互吸引力。
Q
Q
F
0
F
S
d
例、一空气平板电容器的极板面积为S，间距为d， 用电源充电后两极板之间的电势差为U，保持与电源 的连接，将两极板距离由d拉开为2d，求该平板电 容器储存的电场能量的改变量。
U
F
0
F
S
d
例题、一真空平行板电容器，充电后，断开电 源，拉大两极板间的距离，则电容器的电容将 ，两极板间的电场强度将，两板间 的电势差将，电容器的电量将， 电容器储存的电场能量将；若充电 后，保持与电源连接，拉大两极板间的距离， 则电容器的电容将，两极板间的电场强 度将，两板间的电势差将，电容 器的电量将，电容器所储存的电场能 量将。
K
合上开关向电容器充电到电势差 为u、电量为q时，再将dq的电
荷从负极板搬运到正极板
u
＋－q dq
q dWudq dq
WQqdqQ2 1cQV1CV 2 0C 2C 2 2
即当电容器被充电到电量为Q、电势差为V时， 所储存的能量为Q2/2C。
这是计算电容器充电后所储存的电场能量的 基本公式。
2、电场能量