勾股定理培优讲义

6 勾股定理知识点汇总

一、基础知识点：

1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为

a ,

b ，斜边为

c ,那么a 2

2 •勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是

① 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ② 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：

1

方法一：4S

&方形 EFGH

S 正方形ABCD , 4 _ ab (b a) c ，化简可证.

2

方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.

a ,

b ,

c 满足a 2 b 2 c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过 形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 a 2 b 2与较长边的平方 以a , b , c 为三边的三角形是直角三角形；

若a 2

b 2

c 2

,时，以 a , b , c 为三边的三角形是钝角三角形：若 a 2

b 2

c 2

，时，以 a , b , c 为三边

的三角形是锐角三角形；

定理中a , b , c 及a 2 b 2 c 2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长

2 2 2

a c

b ,那么以a , b ,

c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边

•勾股数

满足a 2 + b 2= c 2的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

积的和为 所以a 2 方法三: 1

4 ab 2

2 c 1 b 2 c 2 2ab c 2 大正方形面积为 (a b)2

a 2 b) (a b) , S 梯形 2S ADE S ABE S 弟形 2(a

3 •勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系, 和钝角三角形的三边就不具有这一特征。

4 •勾股定理的应用 1 ab 2

化简得证a 「b

b

2ab b

a

①已知直角三角形的任意两边长， 求第三边在 ABC 中, b 2 c 2

四个直角三角形的面积与小正方形面

② 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③ 可运用勾股定理解决一些实际问题 .勾股定理的逆定理 如果三角形三边长 ①

c 为斜边。

数转化为形”来确定三角 c 2作比较，若它们相等时,

-3—

a ,

b ,

c 满足

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：

(3, 4, 5 ) (5 , 12, 13 ) ( 6, 8, 10 ) ( 7, 24, 25 ) ( 8, 15, 17 )(9 , 12, 15 ) 6

③用含字母的代数式表示n组勾股数：n2 1,2n,n2 1 （n 2, n为正整数）；

7.勾股定理的应用

勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.

定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行

计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，|以便正确使用勾股定理进行求解

8 .勾股

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，具体推算

过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方

比较而得到错误的结论.

9 •勾股定理及其逆定理的应用

勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体. 通常既要通过逆

定理判

定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决.常见图形：

10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设, 个叫做原命

题，那么另一个叫做它的逆命题。

经过证明被确认正确的命题叫做定理

如果一个定理的的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理

2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （n 为正整数）m2 n2,2mn,m2 n2（m n, m ， n 为正整数）

在使用勾股

这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一

考点剖析

考点一：利用勾股定理求面积

1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆.

cm

2. 如图，以Rt△ ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关

系.

3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S i、S a、

则它们之间的关系是（）

A. S 1- S 2= S3

B. S i+ S2= S3

C. S 2+S3< S i

D. S 2- S 3=S

4、四边形ABCD中, Z B=90°, AB=3 BC=4 CD=12 AD=13 求四边形ABCD勺面积。

5、在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面

积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是、

1

1 .在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm, 2cm，则斜边长为______________________ .

2.（易错题）已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长的平方是

3、已知直角三角形两直角边长分别为 5 和12, 求斜边上的高.

4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（)

C. 6倍\

D. 8 倍

A. 2倍

B. 4倍

5、在Rt△ ABC中，Z C=90°

①若a=5, b=12,则c=②若a=15, c=25，则b= ;

③若c=61, b=60,则a=④若 a : b=3 : 4, c=10 贝U Rt △ ABC的面积

是=

6、如果直角三角形的两直角边长分别为n2 1 , 2n （n>1）,那么它的斜边长是（)