(整理)二次函数闭区间最值.

二次函数闭区间最值

要点一：含字母讨论型

1、已知函数f(x)=-x 2+2ax(x ∈[-1,3]),求f(x)的最大值

与最小值。

2、已知f (x )=-4x 2+4ax -4a -a 2在区间［0，1］内有最大

值-5，求a 的值。

3、函数f(x)=x 2-2x(x ∈[a,a+1]) 求f(x)的最大值与最

小值。

4、设函数12)(2

++=ax ax x f 在[]2,3-上有最大值4，求实数a 的值。

要点二：转化二次函数的最值

5、已知x y x 22322=+，求22y x u +=的取值范围.

要点三：恒成立问题

6、已知f （x ）=x 2

+ax +3-a ，若x ∈［-2，2］时，f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围.

7、不等式022224≥--++a a x x 恒成立，求实数a 的取值

范围。

练习：

1、已知二次函数

2()(1)()f x ax b x a b =+-≠、是常数，且a 0满足条件：(2)0,f =且方程()f x x =有两个相等的实数根。

（1）求()f x 的解析式；

（2）是否存在实数()m n m n <、，使()f x 的定义域和值域分别是[,][2,2]m n m n 和，如存在，求m n 、的值，如不存在，说明理由。

2、设函数2

1()4f x x x =+-，若定义域为[,1]a a +，值域为11[,]216-，求a 的值.

二次方程根的分布

能利用“数形结合”和“韦达定理”讨论二次方程根的情况。

一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 有两个根：

1． 当两个根在同一个区间上时，需从以下几个方面考

虑：

（1）),(,21m x x -∞∈ （2）),(,21+∞∈n x x

（3）),(,21n m x x ∈

2． 当两个根分别在两个不同区间上时，需从以下几个

方面考虑：

（1）),(),,(21+∞∈-∞∈m x m x

（2）t s n m t s x n m x <<<∈∈)(,(),,(21）

1．已知关于x 的二次方程0122=+++m mx x （1）若方程有两根，其中一根在区间（－1，0），另一根在区间（1，2）内，求m 的取值范围。

（2）若方程两根均在区间（0，1）内，求m 的取值范围。

（3）至少有一个实根大于－1。

2. 已知不等式

)3(092)2(086)1(034222<+-<+-<+-a x x x x x x 要使同时满足（1）（2）的x 值都满足（3），求a 的取值范围。

3.已知关于x 的方程082=+-ax x 的两个根都在区间)3,2(内,求实数a 的取值范围

4.关于x 的方程0)5()2(2

=-+-+m x m x 的两个根都大于2，求实数m 的取值范围.

5.关于x 的方程0)2()5(2=++-+a x a x 的两个根中有一个大于1,另一个小于1,求实数a 的取值范围。

6.关于x 的方程0)2()13(722=--++-k k x k x 有二个根21,x x 满足:21021<<<

7.当关于x 的方程022=++ax x 至少有一个实根小于–1

时,求实数a 的取值范围.

8、设定义域为R 的函数1(1),|1|()1(1),x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩ 若关于x 的方

程2()()0f x bf x c ++=有三个不同的实数解1x 、2x 、3x ，

则2221

23x x x ++等于（ ）. A ．5 B ．2

222b b + C ．13 D ．2232c c +

9、关于x 的方程28(1)70x m x m --+-=的两实根都大于1，求实数m 的取值范围.

10、m 为何值时，关于x 的方程2

8(1)70x m x m --+-=的两根

（1）为正数根；

（2）为异号根，且负根的绝对值大于正根；

（3）都大于1；

（4）一根大于2，一根小于2；

（5）两根在(0,2)之间。

1.求21y x =++的最值

2.求(1)(2)(3)(4)4y x x x x =+++++的最小值.

3.设12

,x x 为2

4420x mx m -++=的两个实根，当m 为何值时，2212x x +有最小值，并求最小值. 4.1,0,2,2

x y x y ≥+=求2

81xy y ++的最值.