八上专题复习将军饮马

八（上）数学专题复习______将军饮马问题

傅苏球 2013年12 月25日

一、任务一-------------阅读理解

1、问题提出

1111、一

一，

早在古罗

马时代，

传说亚历

山大城有

一位精通

数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马

将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解

的问题:将军每天从军营B出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的A地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它．

2、解决办法

如图所示，从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，

取A关于河岸的对称点A'，连结A'B，与河岸线相交于C，则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B，

所走的路程就是最短的．如果将军在河边的另外任一点

C'饮马，所走的路程就是AC'+C'B，但是，

AC'+C'B=A'C'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB．可见，在C点外任何

一点C'饮马，所走的路程都要远一些．

这有几点需要说明的：（1）由作法可知，河流l相当于线段

AA'的中垂线，所以AD=A'D,AC=A'C。（2）由上一条知：将军

走的路程就是AC+BC，就等于A'C+BC，而两点确定一线，所

以C点为最优。

思考:解题思路是

_______________________________________________

3、将军饮马问题的应用

如图，有A、B两个村庄，他们想在河流l的边上建立一个水泵站，

已知每米的管道费用是100元，A到河流的距离AD是1km，B到河流

的距离BE是3km，DE长3km。请问这个水泵站应该建立在哪里使得

费用最少，为多少？

解：如图所作，C点为水泵站的位置。

依题意，得：所铺设的水管长度就是AC+BC，即：A'C+BC=A'B的长度。

因为EF=A'D=AD=1km, 所以BF=BE+EF=4km

又A'F=DE=3km

在Rt△A'BF中，A'B2=A'F2+BF2

所以：解得：A'B=5km

所以总费用为：5×1000×100=500000（元）

二、任务二-----------将军饮马问题在几何中的应用

1、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．

2、如图,∠AOB内有一点P,在OA,OB上分别找出点M,

N,使△PMN的周长最短

3、如图,∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,PO=10,Q、R

分别是OA、OB上的动点,求△PQR周长的最小值。

三、任务三-----------将军饮马问题在函数中的应用

1、如图，在直角坐标系中，x轴上的动点M（x，0）到两点P（5，5），Q(2，1)的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，在x轴上作出M点，并求点M的坐标以及MP+MQ的最小值 .

2、已知，A(-1,0), B(3,0), C(0,-3), M(1,m),点M到点

A的距离与到点C的距离之和最小时，求M的坐标。

3、如图，当四边形PABN的周长最小时，a=_____

变式:若P,Q一个在y轴上，一个在x轴上，如何确定P,Q位置？

四、链接中考

1、（荆门中考）一次函数y=kx+b的图像与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）。（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为O上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标。

2、（（2011•济宁）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图）．两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）．

（1）若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥哦多远的地

方可使所用输水管道最短？

（2）水泵站建在距离大桥哦多远的地方，可使它到张村、

李村的距离相等？

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3\在平面直角坐标系中，有A，B两个点，其中A（-6,3），B（-2,5）。（1）若一只青蛙从A点跳到x轴上一点P处，再从P点跳到B点，则青蛙所跳的路程最短时点P的坐标是（）。（2）若这只青蛙先从A点出发跳到B点，再从B点跳到y轴上的C点，继续从C点跳到x 轴上的D点，最后从D点回到A点（青蛙每次所跳的距离不一定相等），当青蛙四步跳完的路程最短时，直线CD的解析式是（）