高中数学向量数量积的坐标运算

证明：∵AB = (2 – 1 , 3 – 2) = (1 , 1)
AC = (–2 – 1 , 5 – 2) = (–3 , 3)
C(-2 , 5)
∴AB AC = 1×(–3) + 1×3 = 0
y
∴AB ⊥ AC ∴三角形ABC是直角三角形
B(2 , 3)
A(1 , 2)
x 0
【思考】改变顶点坐标，ABC可能的形状有哪些？ 可以证明吗?
a ·b = (a1e1 + a2e2)·(b1e1 + b2e2)
= a1b1e1·e1 + a1b2e1·e2 + a2b1e2·e1 + a2b2e2·e2
因为 e1·e1 = e2·e2 = 1，e1·e2 = e2·e1 = 0
y
A(x1,y1)
所以，我们得到数量积的坐标表达式
两个a对向·应b量坐=的标a数的1b量乘1积+积等之a于2和b它2们
解： a b = (3 , -1) (1 , -2) = 3 + 2 = 5
| a | = a a 32 (1)2 10
| b | = b b 12 (2)2 5
cos<a , b> a ·b 5 2
a b 10 5 2
所以 <a , b> =
4
【变式练习】已知 a = (2 , 3)，b = (–2 , 4)， 求: (a + b)·(a – b)
反之呢 ？
a ⊥ b a1b1 + a2b2 = 0
注意记忆向量垂直与平行的坐标表示的区别.
a // b a1b2 - a2b1 = 0 a ⊥ b a1b1 + a2b2 = 0
判断：向量(-b2 , b1)与(b1 , b2)是否垂直？ 那么向量 k(-b2 , b1)与向量(b1 , b2)呢？
➢【问题1】平面向量数量积是如何定义的？
a ·b = | a | | b | cos< a , b >
➢【问题2】两个向量数量积有什么重要性质？ （1）如果e是单位向量 e ·a = a ·e = | a | cos<a , e> （2）两个向量垂直的条件 a ⊥ b a ·b = 0
（3）a ·a = | a |2 或 | a | = a ·a = a2
【例3】已知点A(1 , 2)，B(3 , 4)，C(5 , 0)，试 求∠BAC的正弦值.
证明：∵AB = (3 – 1 , 4 – 2) = (2 , 2) AC = (5 – 1 , 0 – 2) = (4 , –2) AB 22 22 8
AC 42 22 20
cos BAC AB AC ( 2,2 )( 4,2 ) 4 1
已知 a = (a1 , a2)，b = (b1 , b2)，怎样用 a、b的坐标表示 a ·b 呢？
知识支持
平面向量基本定理、向量坐标定义、向量的 直角坐标运算、数量积的运算律
设e1、e2分别为与x轴和y轴方向相同的单位向量， 建立正交基底{e1 , e2} ，已知a = (a1 , a2)，b = (b1 , b2)，则
AB AC
8 20 4 10 10
因此: sin BAC 1 ( 1 )2 3 10 10 10
平面向量数量积的坐标表示以及运用平 面向量数量积性质的坐标表示解决有关 垂直、长度、角度等几何问题。
➢两向量数量积的坐标表示：a ·b = a1b1 + a2b2 ➢两向量垂直的充要条件的坐标表示：
例如：向量(3,4)与向量____，____，____……都垂直.
a ⊥ b a1b1 + a2b2 = 0
能否利用向量坐标表示向量长度的计算 公式？
知识支持 设 a = (a1 , a2)，则 a ·a = a12 + a22 .
a ·a = | a |2 或 | a | = a ·a = a2
已知两个非零向量 a = (a1 , a2)，b = (b1 , b2)， 则向量a、b夹角余弦的坐标表达式为：
cos<a , b> =
a1b1 a2b2 a12 a22 b12 b22
【例1】设a = (3 , -1)，b = (1 , -2)，求：a b， | a |，| b | 和 <a , b>.
a – b 和 a 是如何用坐标表示的？
a + b = (a1 + b1 , a2 + b2) a - b = (a1 - b1 , a2 - b2)
a = ( a1 , a2)
你还记得它们 是如何推导出
来的吗？
利用平面向量基本定理，把向量表示成基底形式.
向量的加法、减法和数乘运算都 可以用坐标来表示，那么向量的数量 积能否用坐标来表示呢？
B(x2,ຫໍສະໝຸດ Baidu2)
a
b e2
o e1
x
怎样用向量的坐标表示两个平面向量 垂直的条件？
知识支持
两个向量垂直的条件 a ⊥ b a ·b = 0
已知两个非零向量 a = (a1 , a2)，b = (b1 , b2)，
如果 a ⊥ b，则 a1b1 + a2b2 = 0 如果 a1b1 + a2b2 = 0；则 a ⊥ b.
（4）cos<a , b> a ·b ab
（5）| a ·b | ≤ | a || b |
➢【问题3】平面向量数量积满足哪些运算律？
a ·b = b ·a
(a) ·b = (a ·b) = a ·(b)
(a + b) ·c = a ·c + b ·c
➢【问题4】若a = (a1 , a2)，b = (b1 , b2)，那么 a + b，
方法1： a + b = (0 , 7)，a – b = (4 , –1) ∴ (a + b)·(a – b) = 0×4 + 7×(–1) = –7
方法2： (a + b)·(a – b) = a2 – b2 = | a |2 + | b |2 = 13 – 20 = –7
【例2】已知A(1 , 2)，B(2 , 3)，C(–2 , 5)，试 判断ABC的形状，并给出证明.
向量的长a 度的等算于术a它平12的方坐根a2标2 平方和
若A(x1 , y1)，B(x2 , y2)，AB = (x2 – x1 , y2 – y1) . 则AB的长，即A、B两点间的距离为
AB x2 x1 2 y2 y1 2
能否推出两个向量夹角余弦的坐标表 达式？
知识支持
cos<a , b> a ·b ab