6.6 二阶常系数线性微分方程、欧拉方程
二阶微分方程
是线性非齐次方程的解， 这说明函数 y = Y + y* 是线性非齐次方程的解， 是二阶线性齐次方程的通解， 又 Y 是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常 数，故 y = Y + y* 中含有两个任意常数 即 y = Y + y* 中含有两个任意常数. 的通解. 是线性非齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x) 的通解 ″ ′ 求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为： 求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为： (1) 求线性齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0 的线性 ) ″ ′ 无关的两个特解 y1 与 y2， 得该方程的通解 Y=C1 y1 + C2 y2. (2) 求线性非齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x) 的 ) ″ ′ 一个特解 y*. 那么，线性非齐次方程的通解为 y = Y + y*. 那么，
1.二阶常系数线性齐次方程的解法 .
④ 考虑到左边 p，q 均为常数， 我们可以猜想该方程 ， 均为常数， ′ 形式的解， 为待定常数. 具有 y = erx 形式的解，其中 r 为待定常数 将 y′ = 代入上式， rerx, y″ = r2erx 及 y = erx 代入上式，得 ″ erx (r2 + pr + q) = 0 . ⑤ rx 是上述一元二次方程的根时， 即 r 是上述一元二次方程的根时， y = e 就是 式的解. 方程⑤称为方程④ 特征方程. ④式的解 方程⑤称为方程④的特征方程 特征方 程的根称为特征根 特征根. 程的根称为特征根 由于e 由于 rx ≠ 0，因此，只要 r 满足方程 ，因此， r2 + pr + q = 0， ， 设二阶常系数线性齐次方程为 y″ + py′ + qy = 0 . ″ ′
高数-微分方程总结
3
(3) 一阶线性微分方程
形如 dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0,
上方程称为齐次的．
当Q(x) 0,
上方程称为非齐次的.
解法 齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
（使用分离变量法）
4
非齐次微分方程的通解为
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
y x
C x2
,
所求通解为 xy cos y C . x
23
4
例2 求通解 xy 2 y 3 x3 y3 .
解
原式可化为
y
2
y
3x2
4
y3,
伯努利方程
x
即
4
y3
y
2
1
y3
3x2,
x
令
z
1
y 3,
原式变为 3z 2 z 3x2 ,
x
即 z 2 z x2 , 一阶线性非齐方程 3x
2
(1) f ( x) ex Pm ( x) 型
0 不是根 设 y x kexQm ( x) , k 1 是单根 ,
2 是重根
18
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn( x)sinx] 型
设
y
x
k
e
x
[
R(1) m
(
x
)
cosx
R(2 m
)
(
x
)
sin
x
],
其中
R(1) m
对应的齐次方程的通解为 Y (C1 C2 x)e x . 设原方程的特解为 y* x2(ax b)e x , 则 ( y* ) [ax3 (3a b) x2 2bx]e x , ( y* ) [ax3 (6a b)x2 (6a 4b)x 2b]e x ,
欧拉方程微分方程详解
欧拉方程微分方程详解欧拉方程（Euler's equation）是一类具有特殊形式的二阶常系数线性微分方程。
它的一般形式为：ax^2 y'' + bxy' + cy = 0其中，a、b、c都是常数，且a不等于0。
欧拉方程是一种特殊的微分方程，它的解具有一定的特殊性。
下面我们将对欧拉方程的求解方法进行详细介绍。
首先，我们考虑求解形如x^m的解。
将x^m代入欧拉方程中，得到：a(m)(m-1)x^m + bm*x^m + cx^m = 0化简后得到：am(m-1)x^m + bmx^m + cx^m = 0整理得：am(m-1) + bm + c = 0这是一个关于m的二次方程，可以用求根公式来求解m的值。
当求解得到m的值时，我们就得到了一个形如x^m的解。
接下来，我们考虑求解形如x^m * ln(x)的解。
将x^m * ln(x)代入欧拉方程中，得到：a(m)(m-1)x^m * ln(x) + bmx^m * ln(x) + cx^m * ln(x) = 0将x^m分离出来，得到：x^m * [a(m)(m-1)ln(x) + bm ln(x) + c] = 0由于x不等于0，所以要使上式成立，必须有：a(m)(m-1)ln(x) + bm ln(x) + c = 0这是一个关于m的一次方程，可以用求解一次方程的方法来求解m的值。
当求解得到m的值时，我们就得到了一个形如x^m * ln(x)的解。
最后，我们考虑求解形如x^m * ln^2(x)的解。
将x^m * ln^2(x)代入欧拉方程中，得到：a(m)(m-1)x^m * ln^2(x) + bmx^m * ln^2(x) + cx^m * ln^2(x) = 0将x^m分离出来，得到：x^m * [a(m)(m-1)ln^2(x) + bm ln^2(x) + c] = 0由于x不等于0，所以要使上式成立，必须有：a(m)(m-1)ln^2(x) + bm ln^2(x) + c = 0这是一个关于m的二次方程，可以用求解二次方程的方法来求解m的值。
欧拉方程
微分方程的特解形式大全
微分方程的特解形式大全微分方程的特解形式是指可以通过已知条件或特定的解法，得到微分方程的一类特殊解。
下面列举了常见微分方程及其特解形式的例子，希望对您有所帮助。
一、一阶线性常微分方程一阶线性常微分方程的一般形式为：dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)是已知函数。
1. 齐次线性微分方程形式：dy/dx + Py = 0，其特解形式为 y = Ce^(-∫Pdx)，其中C为任意常数。
2. Bernoulli方程形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n，n≠0，1。
通过变量代换，可将其转化为线性微分方程。
3. 可降次的线性微分方程形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)y^m，其中m为常数。
通过y = u^(-1/m)的变量代换，可将方程转化为一阶线性微分方程。
二、二阶线性常微分方程二阶线性常微分方程的一般形式为：d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx +Q(x)y = R(x)，其中P(x)，Q(x)和R(x)是已知函数。
1. 齐次线性微分方程形式：d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，其特解形式为y = e^(∫Pdx) * (C1 cos(∫Qdx) + C2 sin(∫Qdx))，其中C1和C2为任意常数。
2. 欧拉方程形式：x^2y'' + pxy' + qy = 0，其中p和q为常数。
通过y = x^r的变量代换，可将其转化为齐次线性微分方程。
3. 加权欧拉方程形式：x^2y'' + px^αy' + qx^βy = 0，其中p，q，α和β为常数。
通过y = x^r的变量代换，可将其转化为加权欧拉方程。
4. 二阶常系数齐次线性微分方程形式：d^2y/dx^2 + py' + qy = 0，其中p和q为常数。
通过特征方程的解法，可以得到方程的特解形式。
三、常见特殊函数的微分方程形式1. 指数函数的微分方程形式：dy/dx = ky，其中k为常数。
常微分方程的欧拉方程
常微分方程的欧拉方程常微分方程是数学中重要的一部分，它是研究函数的导数与自变量的关系的一门学科。
常微分方程的欧拉方程是其中非常重要的一种特殊方程，本文将对其进行探讨。
一、什么是常微分方程的欧拉方程是一种形如$ax^2y''+bxy'+cy=0$ 的二阶常微分方程，其中 $a,b,c$ 均为常数。
这个方程之所以称为欧拉方程，是因为它在欧拉时期（18世纪）被广泛应用于各种领域的问题中，例如生物学、物理学、工程学等等。
欧拉方程的形式非常特殊，因此可以直接用常数系数线性齐次方程的解法求解。
但在实际应用中，我们还需要结合具体问题进行变量代换，进一步简化方程的形式，便于求解。
二、欧拉方程的求解方法1、直接求解对于 $ax^2y''+bxy'+cy=0$ 这种形式的欧拉方程，我们可以直接进行求解。
首先，考虑进行变量代换，令$y=x^m$。
带入原方程，可以得到：$$ ax^2(m(m-1)x^{m-2})+bx(m x^{m-1})+c(x^m)=0 $$化简可得：$$ am(m-1)+bm+c=0 $$这是一个关于 $m$ 的二次方程，解出 $m_1,m_2$ 后，其通解即为 $y=c_1x^{m_1}+c_2x^{m_2}$。
需要注意的是，当 $m_1\neq m_2$ 时，通解中每个项的系数应当相同。
因此，可以通过 $(m_1-m_2)$ 次导数，消去其中的$c_1,c_2$ 系数，进一步简化通解。
2、解决边界条件在实际问题中，往往需要求解欧拉方程的一个特定解，而不是其通解。
此时可以通过边界条件来确定系数的值。
例如，考虑求解 $y''-3xy'+4y=2x^3+5x^2$ 在 $x=0$ 处的特解。
这个方程可以转化为 $x^2y''-3xy'+4x^2y=2x^5+5x^4$ 的欧拉方程形式。
令 $y=ux^2$，带入原方程中，化简可得：$$u''x^2+2u'x-4ux+2x^3+5x^2=0$$将 $u''x^2+2u'x-4ux$ 视为 $0$，可得$u=\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{2}x^2$。
二阶常系数线性微分方程的解法word版
第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成0=+'+''qy y p y (2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数.证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有0111=+'+''qy y p y 0222=+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得)()()(221122112211y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为0sin cos 122≡--x x又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无关.3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解.例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+=( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,根据指数函数的这个特点,我们用rxe y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rx e y =满足方程(2).将rx e y =求导,得rx rx e r y re y 2,=''='把y y y ''',,代入方程(2),得0)(2=++rx e q pr r因为0≠rx e , 所以只有 02=++q pr r (3)只要r 满足方程式(3),rx e y =就是方程式(2)的解.我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程(2)y y y ,,'''的系数.特征方程(3)的两个根为 2422,1q p p r -±-=, 因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形. (1) 当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根.2421q p p r -+-=,2422q p p r ---= x r x r e y e y 2121,==是方程(2)的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为 x r x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根.221p r r -==,这时只能得到方程(2)的一个特解x r e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )(12x u e y x r =)2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代入方程(2), 得 []0)()2(12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e x r 整理,得0])()2([12111=+++'++''u q pr r u p r u e x r由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u因为1r 是特征方程(3)的二重根, 所以 02,01121=+=++p r q pr r 从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程(2)的另一个解 x r xe y 12=.那么,方程(2)的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 xr e x C C y 1)(21+=.(3) 当042<-q p 时,特征方程(3)有一对共轭复根 βαβαi r i r -=+=21, (0≠β)于是 x i x i e y e y )(2)(1,βαβα-+==利用欧拉公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为 )sin (cos )(1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+)sin (cos )(2x i x e e e e y x x i x xi ββαβαβα-=⋅==-- 21,y y 之间成共轭关系,取-1y =x e y y x βαcos )(2121=+, x e y y i y x βαsin )(2121_2=-= 方程(2)的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程(2)的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααt a n c o s s i n 12常数,所以方程(2)的通解为 )sin cos (21x C x C e y x ββα+=综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程02=++q pr r(2)求特征方程的两个根21,r r(3)根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程(2)的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-=所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 求方程0222=++S dt dS dtS d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解 所给方程的特征方程为0122=++r r121-==r r通解为 t e t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是t e t C S -+=)4(2,对其求导得t e t C C S ---=')4(22 将初始条件20-='=t S 代入上式,得22=C所求特解为t e t S -+=)24(例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设*y 是方程(1)的一个特解,Y 是式(1)所对应的齐次方程式(2)的通解,则*+=y Y y 是方程式(1)的通解.证明 把*+=y Y y 代入方程(1)的左端:)()()(*++*'+'+*''+''y Y q y Y p y Y=)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+*+=y Y y 使方程(1)的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程(1)的解. 定理4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端)(x f 是几个函数之和,如 )()(21x f x f qy y p y +=+'+'' (4)而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程(4)的特解, 非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法)()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式. 方程(1)的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程(1)的特解可能为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 x e x Q y λ)(=*x e x Q x Q y λλ)]()(['+=*'x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*''代入方程(1)并消去x e λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ (5)以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:(1) 若λ不是方程式(2)的特征方程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式(5)的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :m m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代入(5)式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i =.从而得到所求方程的特解为x m e x Q y λ)(=*(2) 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式(5)成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.(3) 若λ是特征方程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ 02=+p λ.要使(5)式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式，可令)()(2x Q x x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式(1)中的x m e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为xm k e x Q x y λ)(=*其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r . λ=-2是特征方程的单根, 令xe xb y 20-=*,代入原方程解得230-=b故所求特解为 xxe y 223--=* .例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解.特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 x e x C C Y )(21+=.再求所给方程的特解1)(,1-==x x P m λ由于1=λ是特征方程的二重根,所以x e b ax x y )(2+=*把它代入所给方程,并约去x e 得126-=+x b ax比较系数,得61=a 21-=b于是 xe x x y )216(2-=*所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=* 3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法 ,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数.此时,方程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' (7)这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解*y 也应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为)sin cos (x b x a x y k ωω+=*其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取0;当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取1;例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解.解 1=ω，ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根，0=k .因此原方程的特解形式为x b x a y sin cos +=*于是 x b x a y cos sin +-=*'x b x a y sin cos --=*''将*''*'*y y y ,,代入原方程，得⎩⎨⎧=--=+-442024b a b a 解得 54,52-=-=b a原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=* 例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解.解 先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为0322=--r r3,121=-=r rx x e C e C Y 321+=-再求非齐次方程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是原方程的一个特解.由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为)sin cos (21x c x b ae y y y x ++=+=***代入原方程,得 x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--比较系数,得14=-a 024=+c b 142=-c b解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给方程的一个特解为 x x e y x s i n 51c o s 10141-+-=* 所以所求方程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。
二阶次线性微分方程
1° 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2， 即 ° rx r x r1 ≠ r2. 那么，这时函数 y1 = e 1 和 y2 = e 2 都是 ④ 那么， y1 的解， 的解，且 线性无关， = e ( r1 − r2 ) x ≠ 常数 , 所以 y1 与 y2 线性无关， y2 因而它的通解为 r1 x r2 x y1 = C1e + C 2e . 这时， 这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个 特解 y1 = erx. 还需再找一个与 y1 线性无关的特解 y2， 为此， 为此，设 y2 = u(x)y1， 其中 u(x)为待定函数 将 y2 及 为待定函数. 为待定函数 其一阶、 其一阶、二阶导数 y′2 = (uerx)′ = erx(u′(x) + ru(x))， ′ ′ ′ ， y″2 = erx (u″(x) + 2ru′(x) + r2u(x))， 代入方程 y″+ ″ ″ ′ ， ″ py′ + qy = 0 中，得 ′
* * y1 + y2 是方程 ① 的特解 的特解， 的特解. 的特解，则
②
③
分别是② 的特解， 证 因为 y1* 与 y2* 分别是② 与 ③ 的特解， 所以有 y1*″ + p(x)y1*′ + q(x)y1* = f 1(x)， ， 与 于是有 y2*″ + p(x)y2*′ + q(x)y2* = f 2(x) .
定理 4
设二阶线性非齐次方程为 y″ + p(x)y′ + q(x)y = f1 (x) + f2 (x)， ″ ′ ， ①
* * 且 y1 与 y2 分别是
y″ + p(x)y′ + q(x)y = f1 (x)， ″ ′ ， 和 y″ + p(x)y′ + q(x)y = f2 (x) ″ ′
微分方程解法的十种求法(非常经典)
微分方程解法的十种求法(非常经典)本文将介绍微分方程的十种经典求解方法。
微分方程是数学中重要的概念，广泛应用于物理学、工程学等领域。
通过研究这十种求解方法，读者将更好地理解和应用微分方程。
1. 变量可分离法变量可分离法是最常见和简单的微分方程求解方法之一。
该方法适用于形如dy/dx=f(x)g(y)的微分方程，其中f(x)和g(y)是关于x和y的函数。
通过将方程两边分离变量，即把f(x)和g(y)分别移到不同的方程一边，然后进行积分，最后得到y的表达式。
2. 齐次方程法齐次方程法适用于形如dy/dx=F(y/x)的微分方程。
通过令v=y/x，将微分方程转化为dv/dx=g(v)，其中g(v)=F(v)/v。
然后再使用变量可分离法求解。
3. 线性微分方程法线性微分方程法适用于形如dy/dx+a(x)y=b(x)的微分方程。
通过乘以一个积分因子，将该方程转化为可以进行积分的形式。
4. 恰当微分方程法恰当微分方程法适用于形如M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的微分方程。
通过判断M(x,y)和N(x,y)的偏导数关系，如果满足一定条件，则可以找到一个函数u(x,y)，使得u满足偏导数形式的方程，并且通过积分得到原方程的解。
5. 一阶线性常微分方程法一阶线性常微分方程法适用于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的微分方程。
通过先求齐次线性方程的通解，然后再利用待定系数法找到特解，最后求得原方程的通解。
6. 二阶常系数齐次线性微分方程法二阶常系数齐次线性微分方程法适用于形如d²y/dx²+a1dy/dx+a0y=0的微分方程。
通过设y=e^(mx)，将微分方程转化为特征方程，然后求解特征方程得到特征根，利用特征根找到原方程的通解。
7. 二阶非齐次线性微分方程法二阶非齐次线性微分方程法适用于形如d²y/dx²+a1dy/dx+a0y=F(x)的微分方程。
通过先求齐次线性方程的通解，再利用待定系数法找到非齐次线性方程的特解，最后求得原方程的通解。
二阶常系数线性微分方程
§6 二阶常系数线性微分方程
高阶线性微分方程在实际问题中应用比较多， 本节以讨论二阶线性微分方程为主，所得的结果 可以推广到二阶以上的线性微分方程。 定义 形如
d2y dy P( x) Q( x) y f ( x) 2 dx dx 的方程，称为二阶线性微分方程。
E-mail: xuxin@
(ii) 当 是单实根, 即2 + p1 + p2 = 0 , 但2 + p2 0. Q(x)是 m+1次多项式, 取常数项为零. Q(x) = x Qm(x)
y* xe Qm ( x)
x
E-mail: xuxin@
y (C1 C 2 x)e x .
因=1是特征方程的重根，Pm(x)=x+1,故特解形 式为： 2 x y* x e (ax b).
E-mail: xuxin@
代入原方程中得
6ax 2b x 1.
所以 从而有一特解为
1 1 a ,b . 6 2 1 1 y* x e ( x ). 6 2
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.
E-mail: xuxin@
例6 求方程 y''+y=xcos2x 的通解. 解： 特征方程为 r2+1=0, 其根为r1,2= i, 所以对应齐次线性方程的通解为 y = C1cosx + C2sinx. 因 i =2i不是特征方程的根, P1(x)=x, Qn(x)0, 故可设特解为 y* = (ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x y*'' = (–4ax+4c–4b)cos2x+(–4cx–4a–4d)sin2x
二阶常微分方程
二阶常微分方程
二阶常微分方程(Ordinary Differential Equations, ODEs)是一类数学模型，用来描述和分析物理、化学、生物和其他领域中的变化。
它们通常表示为一个或多个未知函数的微分方程，并用来描述物理系统运动的规律性变化。
二阶常微分方程的一般形式是：
d2y dx2+a
dy
dx
+by=f(x)
其中a,b是常数，y(x)是未知函数，f(x)是已知函数。
该方程有不同的形式，比如
二阶常微分线性方程、欧拉方程、变分方程等。
二阶常微分方程的解可以用不同的方法求解，比如积分法、变量变换法、Laplace
变换法、Frobenius法和特征值解法。
其中，积分法最为常用，是通过将未知函数
y(x)分解为多个小段，每段求解一个积分方程，并将各段的解组合在一起，得到整
体的解。
另外，求解二阶常微分方程还可以使用数值方法，如Euler法、Runge-Kutta法、Adams-Bashforth-Moulton法等。
在数值方法中，通常将一个二阶常微分方程改写
成两个一阶常微分方程，然后再使用某种一阶常微分方程求解算法来求解。
二阶常微分方程在实际应用中十分广泛，如力学中的物体运动方程，电磁学中的电流和电场方程，热力学中的热导和温度分布方程，化学反应动力学中的反应速度方程，以及生物学中的进化方程等。
总之，二阶常微分方程是一个重要的数学模型，可以用来分析和描述许多实际问题。
由于不同的形式和求解方法，它可以用来描述复杂的物理、化学和生物系统中的变化状态，并解释各个物理参数之间的关系。
二阶常系数线性微分方程
例5
的一个特解.（补充题）
解: 本题 0 , 而特征方程为
0 不是特征方程的根 .
设所求特解为
代入方程 :
比较系数, 得 于是所求特解为
b0
1 ,
b1
1 3
目录 上一页 下一页 退 出
2. 指数函数的情形 f x Aex
这时二阶常系数线性非齐次方程为 y p y qy A eαx ，
目录 上一页 下一页 退 出
例 1 验证 y1 ex , y2 2ex 是方程 y y 0
的解，但 y C1y1 C2y2 不是方程的通解. 证 将 y1 ex , y2 2ex 代入，易知其均为方程的解，
从而 y C1y1 C2y2 也是方程的解.
又C1 y1 C2 y2 C1ex 2C2ex (C1 2C2 )ex Cex (C C1 2C2 )
第六章
第五节 二阶线性微分方程
(Higher linear differential equation)
一、二阶线性微分方程举例 二、二阶线性微分方程的解的结构 三、非齐次线性方程与
其对应齐次方程解的关系 四、小结与思考练习
目录 上一页 下一页 退 出
定义1 形如 y" P x y ' Q x y f x
其中α，A 为常数．
推测 y p y qy A eαx 的特解具有形式 y Bx keαx ，
其中 B 为待定常数．k 的取值由α是否为特征方程的根
的情况而定，具体方法如下：
(1) 当α不是特征方程的根时，取 k 0 ． (2) 当α是特征方程的单根时，取 k 1 ． (3) 当α是特征方程的重根时，取 k 2 .
目录 上一页 下一页 退 出
二阶微分方程的解法
二阶微分方程的解法引言：在微积分中，二阶微分方程是一种常见的数学工具，用于描述复杂的物理和工程问题。
解决二阶微分方程可以提供对系统的深入理解，并有助于预测和控制其行为。
本文将介绍几种常见的二阶微分方程的解法，包括常系数线性二阶微分方程、非齐次线性二阶微分方程以及常见特殊形式的二阶微分方程。
一、常系数线性二阶微分方程的解法：常系数线性二阶微分方程的一般形式可以表示为：\\[ay'' + by' + cy = 0\\]其中，a、b、c为常数，y是未知函数。
这个方程中的三个系数a、b、c决定了方程的性质和解的形式。
1.特征方程法：解决常系数线性二阶微分方程的一种常见方法是通过求解特征方程来获得解的形式。
通过设定y=e^(rx)，将其代入原方程，可以得到特征方程：\\[ar^2 + br + c = 0\\]根据特征方程的解，可以将原方程的通解表示为：\\[y = C_1e^(r_1x) + C_2e^(r_2x)\\]其中，r1和r2是特征方程的解，C1和C2是待定常数。
这个方法适用于特征方程有两个不相等的实根的情况。
2.欧拉方程法：对于具有复数解的特征方程，可以使用欧拉方程法来解决。
通过设y=e^(rx)，将其带入原方程，并使用欧拉公式进行变换，可以得到解的形式：\\[y = e^(ax) (C_1cos(bx) + C_2sin(bx))\\]其中，a和b是特征方程的实部和虚部，C1和C2是待定常数。
这个方法适用于特征方程有复数解的情况。
二、非齐次线性二阶微分方程的解法：非齐次线性二阶微分方程的一般形式可以表示为：\\[ay'' + by' + cy = f(x)\\]其中，f(x)是已知函数。
为了解决这个方程，首先需要求解对应的齐次方程\\(ay'' + by' + cy = 0\\)的通解。
然后，根据待定系数法或常数变易法，找到非齐次方程的一个特解。
二阶常系数线性微分方程的解法版资料
第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成0=+'+''qy y p y (2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数.证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有0111=+'+''qy y p y 0222=+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得)()()(221122112211y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为0sin cos 122≡--x x又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无关.3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解.例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+=( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rxe y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rxe y =满足方程(2).将rx e y =求导,得 rx rx e r y re y 2,=''='把y y y ''',,代入方程(2),得0)(2=++rx eq pr r 因为0≠rx e , 所以只有 02=++q pr r (3)只要r 满足方程式(3),rx e y =就是方程式(2)的解.我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程(2)y y y ,,'''的系数. 特征方程(3)的两个根为 2422,1q p p r -±-=, 因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形. (1) 当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根. 2421q p p r -+-=,2422q p p r ---= x r x r e y e y 2121,==是方程(2)的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为 x r x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根. 221p r r -==,这时只能得到方程(2)的一个特解x r e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )(12x u e y x r =)2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代入方程(2), 得 []0)()2(12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e x r 整理,得0])()2([12111=+++'++''u q pr r u p r u e x r由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 因为1r 是特征方程(3)的二重根, 所以02,01121=+=++p r q pr r从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程(2)的另一个解 x r xe y 12=.那么,方程(2)的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 xr e x C C y 1)(21+=.(3) 当042<-q p 时,特征方程(3)有一对共轭复根 βαβαi r i r -=+=21, (0≠β)于是 x i x i e y ey )(2)(1,βαβα-+== 利用欧拉公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为)sin (cos )(1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+)sin (cos )(2x i x e e e e y x x i x xi ββαβαβα-=⋅==-- 21,y y 之间成共轭关系,取-1y =x e y y x βαcos )(2121=+, x e y y i y x βαsin )(2121_2=-= 方程(2)的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程(2)的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααt a n c o s s i n 12常数,所以方程(2)的通解为 )sin cos (21x C x C e y x ββα+=综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程02=++q pr r(2)求特征方程的两个根21,r r(3)根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程(2)的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-=所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 求方程0222=++S dt dS dtS d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解 所给方程的特征方程为0122=++r r121-==r r通解为 te t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是 t e t C S -+=)4(2,对其求导得te t C C S ---=')4(22 将初始条件20-='=t S 代入上式,得 22=C所求特解为t e t S -+=)24(例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设*y 是方程(1)的一个特解,Y 是式(1)所对应的齐次方程式(2)的通解,则*+=y Y y 是方程式(1)的通解.证明 把*+=y Y y 代入方程(1)的左端:)()()(*++*'+'+*''+''y Y q y Y p y Y=)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+*+=y Y y 使方程(1)的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程(1)的解. 定理4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端)(x f 是几个函数之和,如 )()(21x f x f qy y p y +=+'+'' (4) 而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程(4)的特解, 非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法 )()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式. 方程(1)的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程(1)的特解可能为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 x e x Q y λ)(=*x e x Q x Q y λλ)]()(['+=*'x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*''代入方程(1)并消去xe λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ (5)以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:(1) 若λ不是方程式(2)的特征方程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式(5)的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :m m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代入(5)式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i =.从而得到所求方程的特解为x m e x Q y λ)(=*(2) 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式(5)成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.(3) 若λ是特征方程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ 02=+p λ.要使(5)式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式，可令)()(2x Q x x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式(1)中的x m e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为x m k e x Q x y λ)(=*其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r . =-2是特征方程的单根, 令xe xb y 20-=*,代入原方程解得230-=b故所求特解为 xxe y 223--=* .例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解.特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 xe x C C Y )(21+=.再求所给方程的特解1)(,1-==x x P m λ由于1=λ是特征方程的二重根,所以x e b ax x y )(2+=*把它代入所给方程,并约去x e 得126-=+x b ax比较系数,得61=a 21-=b于是 xe x x y )216(2-=*所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=* 3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法 ,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数.此时,方程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' (7)这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解*y 也应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为)sin cos (x b x a x y k ωω+=*其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取0;当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取1;例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解.解 1=ω，ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根，0=k .因此原方程的特解形式为x b x a y sin cos +=* 于是 x b x a y cos sin +-=*'x b x a y sin cos --=*''将*''*'*y y y ,,代入原方程，得⎩⎨⎧=--=+-442024b a b a 解得 54,52-=-=b a原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=* 例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解.解 先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为0322=--r r3,121=-=r rx x e C e C Y 321+=-再求非齐次方程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是原方程的一个特解.由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为)sin cos (21x c x b ae y y y x ++=+=*** 代入原方程,得x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--比较系数,得14=-a 024=+c b 142=-c b解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给方程的一个特解为 x x e y x s i n 51c o s 10141-+-=* 所以所求方程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。
6-6二阶常系数线性微分方程和Euler方程
. 例2 求方程 y′′ + 2 y′ + 5 y = 0的通解
解 特征方程为 r 2 + 2r + 5 = 0 , 解得 r1， = −1 ± 2 j , 2 故所求通解为
y = e − x (C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x ).
例3. 求 程 y′′ − 2 y′ − 3 y = 0 的通解 的通解. 方 特征根: 1 解: 特征方程 r 2 − 2r − 3= 0, 特征根 r = −1, r2 = 3 , 因此原方程的通解为
若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项 若特征方程含 k 重复根 对应项 则其通解中必含
. 例1 求方程 y′′ + 4 y′ + 4 y = 0的通解
解 特征方程为 解得
r 2 + 4r + 4 = 0 ,
r1 = r2 = −2 ,
y = (C1 + C 2 x )e − 2 x . 故所求通解为
解
r 2 − 3 r + 2 = 0, 特征方程 特征根 r1 = 1，r2 = 2，
对应齐次方程通解 Y = c1 e x + c 2 e 2 x ,
于是 y = x( x − 1)e 2 1 x 2x 2x 原方程通解为 y = C1e + C2e + x( x − 1)e .
1 A = 2 , 代入方程, 代入方程 得 2 Ax + B + 2 A = x ∴ B = −1 1 2x
r1 x
y = eα x (C1 cos β x + C2 sin β x )
以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
6.6 二阶常系数线性微分方程、欧拉方程(教资优择)
它对应的齐方程为
y p y q y 0。 ( 1 )
我们只讨论函数 f ( x ) 的几种简单情形下，(2) 的
特解。
教资借鉴
20
1. f ( x) e x Pn ( x) 的情形
y p y q y f (x) (2) y p y q y 0。 (1)
其中 Pn ( x) a0 x n a1 x n1 an1 x an 。
故原方程的通解为
y c1 cos x c2 sin x c3 x cos x c4 x sin x
y (c1 c3 x) cos x (c2 c4 x) sin x .
教资借鉴
19
6.6.2 二阶常系数非齐线性微分方程
形如
y p y q y f ( x) (2)
的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程， 其中 p、q 为(实)常数。
教资借鉴
11
例
求方程
d2 s d t2
2ds dt
s
0
满足初始条件的解：
s 4， d s 2。
t0
d t t0
解 特征方程 2 2 1 0，
特征根 1 2 1，
所求通解为 s et (C1 C2 t )。
由初始条件
s
4，d s
t0
dt
2
t0
得
C1 4，C2 2，
故所求特解为
d2 dt
x
2
a2
x
0，
x
t0
x0
， dx 教资借d鉴t
0。
t0
14
特征方程 2 a2 0， 特征根 1,2 i a ，
d2 dt
x
2
a
2
二阶常系数线性微分方程
（3）原方程通解为：
A 3 2
B 3
y
y
y*
(3 2
x2
3x)ex
C1ex
C2e2x
例5．求 y y x2 1 的一个特解.
解：（1） r2 r 0. r1 0, r2 1
（2） 0 是特征单根，设
y* x( Ax2 Bx C) 代入方程，得 3Ax2 2(3A B)x 2B C x2 1
所以 y1=e-x是方程 y '' y ' 2 y 0
的解
同理，y2=e2x,y3=e1-x也是方程
y '' y ' 2y 0 的解
由定理1可知，c1ex c2e2x 是原方程的解。因c1,c2不能合并
为阶一的个，常因数此（c1e即 xc1,cc22e是2 x独是立方的程）的而通方解程；Cy 1''e
比较系数，得
3A 1
3A B 0
2B C 1
（3） y* 1 x3 x2 3x
3
A 1 , B 1,C 3 3
小结：重点（1）y py qy 0 的解的结构与求解
方法——特征方程法。
（2） y py qy Pm(x)ex 的求解方法——待
对共轭的复数根 r1 i, r2 i ，这时,
y1
e( i) x , y2
e( i) x ( y1 y2
常数) 是方程的两个线性无关
的特解。因此，方程的通解为：
y= C1e( i)x C2e( i)x = ex (C1 cos x C2 sin x)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
是方程 (1) 的两个线性无关的解，故方程 (1) 的通 解为
y C1 y1 C 2 y2 C1e
1 x
C 2e
2 x
。
二阶常系数齐线性微分方程
y p y q y 0
的特征方程为
(1)
2 p q 0 。
2) 特征方程有实重根 1 2 ，则
1 2 (实重根)
y e 1 x (C1 C 2 x )
1, 2 i (共轭复根) y e x (C1 cos x C 2 sin x )
例
求方程 y 2 y 3 y 0 的通解。
解
特征方程
特征根
2 2 3 0 ，
1 ，2 。
单根
你认为方程应该 有什么样子的特解？
二重根
一对共轭复根
假设方程 x y p y q y e Pn ( x ) 有下列形式的特解：y e x u( x ) ，则
( 2)
y e x u e x u ，
2 x x x y e u 2 e u e u ，
一对共轭k 重复根
1, 2 i
2k项 e x [(C1 C 2 x C k x k 1 ) cos x
( D1 D2 x Dk x k 1 ) sin x ]
例 解
d3 y d2 y dy 求方程 3 3 y 0 的通解。 3 2 dx dx dx
解
取 x 轴如如图所示。
由力学的虎克定理，有
f k x 。 （ 恢复力与运动方向相反 ）
O
x0
由牛顿第二定律，得
d2 x m 2 k x 。 dt
x
它能正确描述我 k 移项，并记 a ，则有 们的问题吗？ m d2 x 2 a x 0 ， (a 0) 。 2 dt 记拉长后，突然放手的时刻为 t 0 ，则有初始条件：
1 ＝－ 1， 2 3 ，
y C1e x C 2e 3 x 。
所求通解为
例
解
求方程 y 2 y 5 y 0 的通解。
特征方程
2 2 5 0 ，
特征根
1 1 2 i ， 2 1 2 i ，
y e x (C1 cos 2 x C 2 sin 2 x ) 。
非齐次线性微分方程。而称方程 y p y q y 0 （6.50） 为与方程（6.49）对应的齐次线性微分方程。
6.6.1 二阶常系数齐次线性微分方程
形如
y p y q y 0
(1)
的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程， 其中 p、q
为(实)常数。
假设方程有形如 y e x 的解，则代入方程后， 得
k x x0 cos a t ， ( a )。 m
n 阶常系数齐线性微分方程
形如
y ( n ) p1 y ( n1) pn1 y pn y 0
的方程，称为 n 阶常系数齐线性微分方程，
其中 p1 ,, pn
为(实)常数。
( 1 )
n 阶常系数齐线性微分方程的特征方程为
x
y p y q y f ( x) (2) y p y q y 0 。 (1)
其中 Pn ( x ) a0 x n a1 x n1 an1 x an 。
方程 (2) 对应的齐方程 (1) 的特征方程及特征根为
特征方程
特征根
2 p q 0 ；
ds 4， dt
2 得 C 1 4 ， C2 2，
t 0
故所求特解为
s e t (4 2 t ) 。
例
（略） 用手将悬挂着的质量为 m 的弹簧从静止状态 开始拉长， 当点 O 的位移为 x x0 时， 突然放手， 此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹 簧运动的规律（设其弹性系数为 k ）。
r 4 5r 3 6r 2 0, 解 (1) 特征方程为 即r 2 ( r 6)( r 1) 0, 得特征值为
得特征值为 r1 r2 0, r3 6, r4 1.
故原方程的通解为
y c1 c2 x c3e 6 x c4e x .
( 2) 特征方程为 r 4 2r 2 1 0, 即( r 2 1) 0,
p 2 4q 0 ，
由求根公式
1, 2
p p 2 4q p ， 2 2
此时，y1 e 1 x 是方程 ( 1 ) 的一个解。
由刘维尔公式求另一个解：
pd x
p 21 0
e 1 x 1 x ( p 2 1 ) x y2 e 1 x 2 d x e e dx (e )
u( x ) Qn ( x ) b0 x n b1 x n1 bn1 x bn ，
故当 f ( x ) e x Pn ( x ) 中的 不是方程( 2) 的特征根时，
方程 (2) 有下列形式的特解:
y* e x Qn ( x ) 。
y e x u( x)
y e x u( x)
y p y q y e x Pn ( x) (2) u (2 p) u ( 2 p q) u Pn ( x) 。 (3)
(1) 若 不是特征根，则
2 p q 0，
由方程 (3) 及多项式求导的特点可知，应有
y p y q y e x Pn ( x) (2) u (2 p) u ( 2 p q) u Pn ( x) 。 (3)
(2) 若 是单特征根，则
p 而 ，即 2 p 0 。此时，方程( 3) 为 2
2 p q 0，
e 1 x d x x e 1 x。
于是，当特征方程有重实根时，方程 ( 1 ) 的通 解为
y C1e 1 x C 2 x e 1 x e 1 x (C1 C 2 x )。
二阶常系数齐线性微分方程 y p y q y 0 (1)
的特征方程为 2 p q 0 。
形如
y p y q y f ( x )
( 2)
的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程，
其中 p、q 为(实)常数。
它对应的齐方程为
y p y q y 0 。
(1)
我们只讨论函数 f ( x ) 的几种简单情形下，(2) 的 特解。
1. f ( x ) e Pn ( x ) 的情形
0。
t 0
所求通解为
由 x
dx 由 dt
t 0
y C1 cos a t C2 sin a t 。
x0 ，得 C1 x0 ；
＝ (aC1 sin a t aC2 cos a t ) t 0 C2 a 0 ，得 C2 0 。
简谐振动
t 0
从而，所求运动规律为
所求通解为
例
d2 s ds 求方程 2 s 0 满足初始条件的解： 2 dt dt
s
解
t 0
ds 4， dt
2 。
t 0
特征方程
2 2 1 0 ，
特征根
1 2 1，
s e t (C1 C 2 t ) 。
t 0
所求通解为
由初始条件 s
代入方程 (2) ，得
e x [u ( 2 p) )，
即 u ( 2 p) u ( 2 p q ) u Pn ( x ) 。 ( 3)
方程 (3) 的系数与方程 (2) 的特征根有关。
3) 特征方程有一对共轭复 根： 1 x ( i ) x
1 i ，2 i ，则
y1 e
e
， y 2 e 2 x e ( i ) x
1 2
是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解，其通解 为 ( i ) x ( i ) x y C y C y C e C e 。
1 i ，2 i
时，原方程的通解可表示为
y e (C1 cos x C 2 sin x ) 。
x
二阶常系数齐线性微分方程
y p y q y 0
特征方程
特征根
1 2 (实根)
p q 0。
2
通解形式
y C1e 1 x C 2e 2 x
6.6 二阶常系数线性微分方程与Euler方程 在二阶线性微分方程 y p( x ) y q( x ) y f ( x )
如果p( x )，q( x )均为常数，则该方程变 为 y p y q y f ( x ) （6.49） 其中p、q均为常数，则称（6.49）为二阶常系数
1 1 2 2
利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位 i 。
欧拉公式： e i cos i sin 。
y1 e ( i ) x e x e i x e x (cos x i sin x ) ，
y1 e ( i ) x e x e i x e x (cos x i sin x ) 。
2e x p e x q e x 0 ，
即
2 p q 0 。
特征方程
二阶常系数齐线性微分方程 y p y q y 0 (1)
的特征方程为
2 p q 0 。
1) 特征方程有两个不同的实根 1 2 ，则
y1 e 1 x， y2 e 2 x
由线性方程解的性质：
1 y ( y1 y2 ) e x cos x ， 2