代数基本定理的证明方法研究(论文)
本科毕业论文_多项式方程的判别式与求根公式
本科毕业论⽂_多项式⽅程的判别式与求根公式东莞理⼯学院本科毕业论⽂（2015届）题⽬: 多项式⽅程的判别式与求根公式学⽣姓名: 姚培基学号: 201141410230院（系）:计算机学院专业班级: 信息与计算科学（2）班指导教师:起⽌时间: 2015年1⽉—2015年5⽉多项式⽅程的判别式与求根公式摘要: 近代数学史甚⾄能说是⼀部求解多项式⽅程的历史。
对于⾼次⽅程的数值根求解法，⼈们从很早就开始并⼀直探求这样的问题。
⽽且在古代，很多⼈都想出了⼀个办法来解决各种各样的多项式⽅程。
如卡尔⽶诺的《⼤术》，贾宪的《黄帝九章算法细草》，秦九韶的《数书九章》等等。
在⽬前，有关问题求解多项式⽅程根的在⼯程实践中占有举⾜轻重的地位。
如在⼈类的⽣活过程中，经济建设和科学技术的发展过程中，计算⼀直起着⾮常重要的作⽤。
当⼈们在进⾏科学或者⼯程计算时，求解多项式⽅程组更是⾮常容易遇到的问题之⼀。
许多领域如⾃然⽣活和⼯程科学最终都可以归结为求解多项式⽅程组的问题。
这个时候⼈们就通常需要处理求解代数⽅程组的问题，如果当项较简单或变元较少时，计算过程就好相对来说简单⼀些;但是当项⾮常复杂或变元⾮常多的时候，那么其求解的过程中往往会遇到⽐较多的困难。
对多项式⽅程的判别式和求根公式的研究，在理论研究和实际⼯程计算中，具有⼗分重要的意义。
关键词: 多项式; 判别式; 求根公式; MATLABDiscriminant and seek the root of polynomial equationsAbstract: the modern mathematics that would become a history of polynomial equation solution. People long ago began to explore the problem of high order equation of numerical method. But in ancient times, many people have been developed to solve all kinds of method of polynomial equations. Such as "chapter nine of the yellow emperor algorithm fine grass" of jia xian, chiu-shao the number of book chapter nine, Carl mino "big operation" and so on.In nowadays, polynomial equation for the root problem has a pivotal position in the engineering practice. As in human life, economic construction and development of science and technology in the process of calculation is always plays a very important role. In science and engineering calculation, to solve the polynomial equations is one of the most common problems in the natural life and the computing problem in the field of engineering science and many other eventually all boils down to solving the polynomial equations. At this time often need to deal with algebraic equations to solve the problem, if the argument or a simpler, less calculation process is relatively simple; And when the argument is very more or when the item is very complex, itssolving process is often more difficult.The discriminant and seek the root of polynomial equations, in theoretical research and practical engineering calculation, have very important significance.Key words: polynomial; The discriminant. Root formula; MATLAB⽬录⼀、引⾔ (1)（⼀）⼀元⼆次⽅程的判别式和求根与韦达定理 (1)⼆、⼀元多次多项式 (8)（⼀）代数基本定理 (9)（⼆）域论基础 (10)（三）多项式⽅程的判别式 (11)（四）⽜顿恒等式 (12)（五）关于⼀元五次⽅程 (19)三、总结与展望 (20)参考⽂献 (23)致谢 (25)⼀、引⾔在⼈类研究数学的历史长河中，追溯到公元9世纪的波斯，数学家、天⽂学家及地理学家花拉⼦⽶作为第⼀⼈给出了⼀元⼆次⽅程的⼀般解法。
代数学基本定理的系统证明与推广应用
其中函数 当 →∞时，一致趋于零。又因为 1 =2 。
所以|
|
(| |= →∞)。 故lim 1 [ 1
max|
│ │=
+
|| 1 |=2 max| │ │= ]=
|→0 （2）
并且| 0 | =max| | 记 = 0+ ，选取 0足够小使当 0
（*） 0，0 2 时,有
0<记
点。所以原方程在复平面上有且只有 个根。
三、代数学基本定理的推广与应用
（一）代数学基本定理的推广
定义 1：设 0, 1,… 是复数域上的 +1个 阶矩阵，称
=
+ 1 1+…+ 1 1+ 0
为复数域上的一个 次 阶矩阵多项式，如果 阶矩阵 0
满足 =0（该 0 表示 阶零矩阵），则称 0 是方程的 的
常系数齐线性方程的求解、特征值、微分方程的稳定性等方面的基础应用。
关键词：代数学基本定理；证明；应用
中图分类号：O15
文献标识码：A
文章编号：1009-0118（2010）-05-0140-04
一、预备知识
存在正数 ,当| | 时，有| |> 由引理 1 的结论知， =
（一）代数学基本定理
+…+ 1 1+ 0 0 在| |< 内至少有一个零点。
特征值与特征向量在线性代数中具有举足轻重的地位，
相当于一个线性变换 = 得到特征方程| | =0 用如
由特征值求出特征向量在把线性变换矩阵 A 化为最简形式。 上的方法求出该矩阵 特征值 ，由特征值确定微分方程的
所有特征向量加上零向量形成特征子空间 0. N 个特征向量 奇点类型以及它的稳定性，从而可以清楚绘画出微分方程零
代数基本定理的证明方法研究(论文)..
代数学基本定理在代数学中占有十分重要的地位，而在整个数学界中也起着基础作用。
代数学基本定理有两种等价的陈述方式。
第一种陈述方式为：“任何一个一元n次复系数多项式p(z) = a n z n- a n jz°J... a i z a0( n _ 1，a n = 0)在复数域内至少有一根”，它的第二种陈述方式为：“任何一个一元n次复系数多项式p(z) = a n z n - a nJ z nJ - ... - a1z - a0(n—J a n -0)在复数域内有n个根，重根按重数计算”。
尽管这个定理被命名为代数基本定理，但，迄今为止，该定理尚无纯代数方法证明。
数学家J.P赛尔曾经指出：代数基本定理的所有证明本质上都是拓扑的。
美国数学家John Willard Mil nor在数学名著《从微分观点看拓扑》中给了一个证明，是几何直观的，但其中用到了和临界点测度有关的萨尔德定理。
在复变函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中运用了很多经典的复变函数的理论成果。
代数基本定理的第一个证明是由法国数学家达朗贝尔给出的，但其证明是不完整的。
紧接着，欧拉也给出了一个证明，但也有缺陷。
严格来说，第一个完整的证明是数学家高斯给出的，他在分析了拉格朗日的证明方法以后于1799年给出的，他是运用的纯解析的方法证明。
而后，到高斯71岁时，共给出了四种证明方法。
十九世纪七十年代，数学家H.W.Kuhn18】对于该定理给出了引人注目的构造性证明，这种方法的数学形象极好，并已实际用于复系数代数方程求根，堪称不动点算法的范例。
如果将复数域理解为复平面，将p(z)二a n Z n- a n^z nJ - ... - a1z - a0 ( n-1，a^= 0)的根理解为它在复平面上的零点，那么就可以借助复变函数的理论去证明代数学基本定理。
这种证明方法比较简洁，方法也有多种。
近年来，诸多数学家又给出了其它的证明方法，例如2003年翁东东6】对代数基本定理进行了多种方法的分析，并给予了形象的证明。
数学与应用数学专业的论文题目
数学专业论文题目A、1、极限思想的产生和发展；2、利用泰勒展式求函数极限；3、数列极限和函数极限的统一；4、求函数极限的方法；5、等价无穷小求函数极限；6、求二重极限的方法；7、三角函数的极值求法；8、有界非连续函数可积的条件；9、正项级数收敛的判别方法；10、Riemann可积条件探究；11、凸函数的几个等价定义；12、函数的本质探讨；13、数学概念的探究教学法；14、学习《数学分析》的读书报告。
15、用复数证明几何问题；16、用复数证明代数问题；17、解析函数展开成幂级数的方法分析；18、解析函数展开成罗伦级数的方法分析；19、利用残数定理计算一类实积分；20、利用对数残数计算复积分；21、利用辐角原理确定一类方程根的范围；22、学习《复变函数论》的读书报告。
23、采用某某教学方法对试验班的成绩影响（利用假设检验分析试验班的成绩显著水平）；24、概率统计在教学管理中的应用；25、利用假设检验分析班级成绩的显著水平；26、有理数域上多项式不可约的判定；27、利用行列式分解因式。
28、n阶矩阵可对角化的条件；29、有理数域上多项式的因式分解；30、矩阵在解线性方程组中的应用；31、行列式的计算；32、求极值的若干方法；33、数形结合法在初等数学中的应用；34、反例在中学数学教学中的作用；35、生成函数证明递归问题；36、一类组合恒等式的证明；37、一个组合恒等式的推广；38、常生成函数的几个应用；39、指数生成函数的几个应用；40、学习《组合数学》的读书报告；41、学习《离散数学》的读书报告；42、论数学史的教育价值43、学习《常微分方程》的读书报告；44、中学生数学学习目的及学习现壮的调查分析；45、数学优秀生（或后进生）家庭内外状况的分析；46、中学生数学学习习惯和学习状况的调查分析；47、如何通过平面几何教学提高学生逻辑思维能力；48、中学生的数学创新思维的培养；49、在中学数学教学中渗透数学史的教育。
数学史论文高斯
高斯对数学的主要贡献数学科学学院数学与应用数学李娜 20101103766指导教师套格图桑摘要正如莱布尼茨所说：“不学习数学史就不能正确的了解数学这门学科的发展。
”学习数学史能够正确的认识到数学是什么；数学的发展过程；数学的研究领域以及数学与其他学科的交叉；数学在人类文明过程中的作用。
数学是一门基础学科，但它研究的范畴横跨了整个自然学科，毫不夸张的说，没有数学就没当今的文明。
因此，数学史是每一学习者的必修课程。
关键词高斯；十七边形作图；最小二乘法；贡献高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。
他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了“最小二乘法原理”。
高理的数论研究总结在《算术研究》中，这本书奠定了近代数论的基础，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的经典著作之一。
高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理，他的存在性证明开创了数学研究的新途径。
高斯在1816年左右就得到非欧几何的原理。
他还深入研究复变函数，建立了一些基本概念发现了著名的柯西积分定理。
他还发现椭圆函数的双周期性，但这些工作在他生前都没发表出来。
1828年高斯出版了《关于曲面的一般研究》，全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学，并提出内蕴曲面理论。
高斯的曲面理论后来由黎曼发展。
高斯一生共发表155篇论文，他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来。
1820到1830年间，高斯为了测绘汗诺华公国的地图，开始做测地的工作，他写了关于测地学的书，由于测地上的需要，他发明了日观测仪。
为了要对地球表面作研究，他开始对一些曲面的几何性质作研究。
高斯和韦伯一起从事磁的研究，他们的合作是很理想的：韦伯作实验，高斯研究理论，韦伯引起高斯对物理问题的兴趣，而高斯用数学工具处理物理问题，影响韦伯的思考工作方法。
以伏特电池为电源，构造了世界第一个电报机，设立磁观测站，写了《地磁的一般理论》，和韦伯画出了世界第一张地球磁场图，而且定出了地球磁南极和磁北极的位置。
数学研究方法与论文写作（5篇）
数学研究方法与论文写作（5篇）第一篇：数学研究方法与论文写作数学研究方法与论文写作一、研究方法概要就研究方法而言，主要可归类为两个范式，即科学主义研究范式和人本主义研究范式。
主要的表现形式就是实证主义研究范式和解释主义研究范式，也即我们常说的“定量研究”和“定性研究”。
定量研究主要指注重测量、实验设计、统计分析、精确量化的实证研究（孔德的实证主义，冯特的心理学实验室(1879)，涂尔干的社会调查方法），类似于自然科学的研究方法，崇尚“价值无涉”、客观性、确定性、概括性、普遍性等不受人为的主观因素干扰的“演绎”过程。
因此，定量研究（也称量的、量化研究）是一种对事物可以量化的部分进行测量和分析、以检验研究者自己有关理论假设的方法。
定量研究有一套完备的操作技术，包括抽样方法（如随机抽样、分层抽样、系统抽样、整群抽样）、资料收集方法（如问卷法、实验法）、数据统计方法（如描述性统计、推断性统计）。
这种方法主要用于相关因素的分析，如南师大数学系入学成绩与毕业成绩的关系、学习态度与学习成绩之间的关系、性别与数学学习成绩的关系、认知风格与知识迁移的关系研究等等。
定性研究主张以直觉方法、内省方法和心理体验等手段展开研究，强调主观性、意义性、特例性、“主体间性”、研究者的“在场”参与性等，不推崇抽样、数据统计等量化指标，而是关注“解释性理解”、“自然探究”、归纳分析等（胡塞尔的现象学，狄尔泰、海得格尔-存在主义、加达默尔的阐释学）。
定性研究的这种主观特色，正好体现了研究者的心路历程，从而折射出研究过程和结论的真实性、可信性。
因此，定性研究是以研究者本人为研究工具，在自然情境下凭借自身的参与观察、探究、访谈等手段收集资料，对某个数学问题或某种现象进行整体探索，使用归纳法分析资料并进行意义建构和解释性理解的一种研究活动。
比如，欲了解数学课堂教学中师生的互动情况，就需要研究者深入课堂现场进行观摩、考察，进行定性研究。
定性研究与定量研究的主要区别定量研究定性研究目的证实假设、预测解释性理解，提出新问题内容事实、原因、影响的事物事件、过程、意义、整体探究层面宏观微观问题事先确定在过程中产生手段数字、计算、统计分析语言、图象、描述分析工具量表、统计软件、问卷研究者本人形式问卷、统计表、实验访谈、观察、实物分析抽样方式随机、样本较大、控制无关变量目的性、样本小、个案形式多成文方式抽象、概括、客观描述为主、研究者的个人反省效度固定的检测方法、证实相关关系、证伪、可信性信度可重复不能重复研究关系分离、研究者独立于研究对象密切接触、相互影响、藕动鉴于大学生数学学习的特点，所进行的数学研究活动大多是学生本人或小组为解决学习过程中遇到的问题或专门就感兴趣的问题而进行的探索。
高斯的数学贡献
高斯的数学贡献高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）（1777年4月30日—1855年2月 23日），生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。
高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。
他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。
《高斯全集》(Carl Friedrich Gauss'Werke)的出版历时67年(1863—1929)，由众多著名数学家参与，最后在 F．克莱因(Klein)指导下完成．全集共分12卷．前7卷基本按学科编辑：第1，2卷，数论；第3卷，分析；第4卷，概率论和几何；第5卷，数学物理；第6，7卷，天文．其他各卷的内容如下：第8卷，算术、分析、概率、天文方面的补遗；第9卷是第6卷的续篇，包括测地学；第10卷分两部分：Ⅰ，算术、代数、分析、几何方面的文章及日记，Ⅱ，其他作家对高斯的数学和力学工作的评论；第11卷也分两部分：Ⅰ，若干物理学、天文学文章，Ⅱ，其他作家对高斯测地学、物理学和天文学工作的评论；第12卷，杂录及《地磁图》．历史贡献高斯分布18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法。
通过对足够多的测量数据的处理后，可以得到一个新的、概率性质的测量结果。
在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，并成功得到高斯钟形曲线(正态分布曲线)。
其函数被命名为标准正态分布（或高斯分布），并在概率计算中大量使用。
在高斯19岁时，仅用没有刻度的尺子与圆规便构造出了正17边形（阿基米德与牛顿均未画出）。
并为流传了2000年的欧氏几何提供了自古希腊时代以来的第一次重要补充。
三角形全等定理高斯在计算的谷神星轨迹时总结了复数的应用，并且严格证明了每一个n阶的代数方程必有n个复数解。
在他的第一本著名的著作《数论》中，作出了二次互反律的证明，成为数论继续发展的重要基础。
代数基本定理的八种证明方法
维普资讯
代 数 基 本 定 理 的 八 种 证 明 方 法
潮 兰萍
（安徽 广播 电视 大学安庆 市分校 ，安 徽 安庆 ２４６００１）
摘 要：本文应用复变函数的知识 ，引进多项式的分析性质 ，从复变函数 的解析性 出发 ，分别利用指数 函数的 性质 ，最大模原理 ，最小模原理 和复积分的有关定理中的柯西积分定理 ，平均值定理和残数定理对代 数基本定理给出了八种证 明方法。
上解 析 ，根据柯 西积分定理 有
ｆ 出＝ｏ （ ．１２ｌ …
另一方 面 ，令 Ｍ＝ｍａｘ｛Ｊ ａ．Ｊ，ｉ＝０，ｌ…． 一１Ｉ， 我 们可 推知
ｆ ＝０
与 （２）矛盾 【证 法三 ］ 记ｍ＝ｉｎｆｌ Ｐ（ｚ）ｌ 因 ｌ Ｐ（＝）ｌ一 ＋∞
Ｉ 一号ｌ＜
（ｚ一 ＊）所 以存在 ｏ使 Ｊ Ｐ（ ）ｌ＿ 现证 明 ｍ＝０，
≥Ｊ口 Ｊ ｝ 一｝ ＋．一·＋乎
Ｉ ｌ州－一（１ ｌ＋－．·＋ｌ乎
』
（其 中 ０ ＝ｍ／Ｄ ，ｉ＝０，１，… ，Ｒ一１）。取正数 使 当
（其中 ａ，６为任意 给定 的复数 ，ＦＲ：Ｉ ｚｌ： 包 Ｉ ｚＩ 时有
围 。．６）。由残 数定 理
，（４ ６）：击 （－，（６）一－，（ｄ））
界 ）。令 Ａ为 ０（Ｃ ）的一个 连通分支 、则 ＯＡ［ ０（０
（Ｃ １）。于是存 在 Ｚ０Ｅ Ａ使 Ｉ Ｐ（Ｚ０）ｓ Ｉ Ｐ（ｚ）Ｉ，Ｖ Ｅ
且ｕ Ｍ 。又 Ｐ（ｚ）在 以 内不 为常数 ，故 由最小 模原理 ，
Ｐ（ ）在 以 内至少存 在一个零 点 。
从证 明中可 以看 出 ，对 Ｖｍ＞ ０，集合 ０（Ｃ ）的每
几何与代数的证明
几何与代数的证明作为数学的两个重要分支，几何和代数在解决问题和证明定理时有着密切的联系。
几何主要研究空间中的形状、大小、位置等概念，而代数则关注数与符号之间的关系和运算。
本文将探讨几何与代数之间的证明方法，并分别以几何证明和代数证明为例进行详细说明。
一、几何证明几何证明是通过运用几何学的基本定理、公理和推理方法来证明几何问题。
下面以证明平行线性质为例进行说明。
定理：若两条直线与一条横截线形成内错角，则这两条直线平行。
证明：设直线l1与直线l2与横截线m形成内错角∠α和∠β。
根据内错角性质可知，α+β=180°。
为了证明l1与l2平行，我们需要证明∠α与∠β的对应角相等。
因为l1与m相交，所以有两个内角∠1和∠2与∠α相对，根据同位角性质可知∠1=∠α。
同理，l2与m相交时也有两个内角∠3和∠4与∠β相对，根据同位角性质可知∠3=∠β。
由于∠1=∠α，∠3=∠β，所以我们可以得出∠1=∠3。
由此可证明∠α和∠β的对应角相等，即∠α=∠β。
根据等角对应定理可知，若两个对应角相等，则这两条直线l1和l2平行。
以上便是通过几何证明方法证明平行线性质的过程。
在几何证明中，我们通过观察图形、构造辅助线、利用基本定理和推理等方法，来推出结论并证明定理的正确性。
二、代数证明代数证明是通过代数运算和方程等手段来证明数学问题。
下面以证明平方差公式为例进行说明。
定理：对于任意实数a和b，有(a+b)(a-b)=a^2-b^2。
证明：我们可以采用代数的方法证明平方差公式。
首先展开左边的表达式(a+b)(a-b)，得到a^2-ab+ab-b^2。
再根据加法结合律和加法逆元的性质，可以将中间的ab和-b^2合并得到a^2-b^2。
因此，左边等于右边，即(a+b)(a-b)=a^2-b^2。
通过代数运算和运用等式的性质，我们可以证明平方差公式的正确性。
代数证明的过程中，我们经常运用数学定律和运算法则，通过逻辑推理将给定的问题归结为已知的数学结论。
高斯简介及主要事迹(3篇)
第1篇一、高斯简介卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss，1777年4月30日-1855年2月23日），德国数学家、物理学家、天文学家。
高斯是数学史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”。
他的研究成果涵盖了数学的各个分支，对现代数学的发展产生了深远的影响。
二、高斯的主要事迹1. 数论领域的贡献（1）证明了代数基本定理：高斯在1801年发表的论文《算术研究》中，证明了代数基本定理，即每一个非零的复系数多项式都有至少一个复根。
这一成果为复数理论的发展奠定了基础。
（2）提出了高斯整数：高斯在1801年的论文中，首次提出了高斯整数的概念，即形如a+bi的数，其中a、b为整数，i为虚数单位。
高斯整数在数论研究中具有重要的地位。
（3）解决了二次互反律：高斯在1801年发现了二次互反律，即对于任意的两个整数m和n，当n不等于0且m的奇偶性与n的奇偶性相同时，存在整数x和y，使得m^2 = nx^2 + ny^2。
这一成果为解决丢番图方程奠定了基础。
2. 几何学领域的贡献（1）非欧几何的萌芽：高斯在1827年发表了论文《关于曲面的一般研究》，提出了非欧几何的基本思想。
他认为，几何学的研究对象不仅仅是平面，还包括曲面。
这一观点为后来的非欧几何发展奠定了基础。
（2）最小二乘法：高斯在1795年提出了最小二乘法，这是一种处理数据误差和不确定性问题的数学方法。
最小二乘法在统计学、物理科学等领域有着广泛的应用。
3. 天文学领域的贡献（1）高斯-塞德尔迭代法：高斯在1809年提出了高斯-塞德尔迭代法，这是一种求解线性方程组的迭代方法。
该方法在数值计算中具有重要的地位。
（2）地球椭球形的计算：高斯在1821年计算出了地球椭球形的参数，为后来的地球物理研究和地理信息系统的发展提供了重要的数据基础。
4. 物理学领域的贡献（1）电磁学：高斯在电磁学领域的研究成果为麦克斯韦方程组的建立奠定了基础。
数学专业毕业论文参考题目
数学与计算机学院数学专业（师范类）毕业论文参考题目二○一一年十一月第一部分第二部分1、浅谈建构主义与数学教育2、试论中学数学习题课教学(可结合一个年级)3、中学数学中的探究式学习4、浅谈高中数学课程中的××专题教学5、Banach空间中压缩映射原理的推广及应用.6、Desargues 定理的几种证明方法7、奥数中的构造方法8、不等式证明的常用方法和技巧9、选谈高中数学课程的数列与差分专题教学10 抽屉原则在数学竞赛中的应用.11、初等几何中的面积法和体积法。
12、初等数学教学中的数学文化及数学人文。
13、创设疑问开展一题多解激发学习兴趣14、大数定理及其在随机理论中的应用15、对高中数学课程设计改革的思考16、对偶原理在二次曲线的应用17、对数学课堂教学中创新能力培养的认识18、对中学数学教育实习中若干问题的思考19、多媒体教学在中学数学教学中的地位和作用、怎样开展多媒体教学、20、二阶曲线上的对合及其应用21、二维异素射影变换及其应用22、发展学生数学应用意识的研究23、反例在高等教学中的作用。
24、反证法及反证思想在中学数学中的应用25、非初等函数的表示方法26、分配问题中事件概率的计算的讨论27、概率论在数学中的某些应用28、概率统计在经济中的应用。
29、高等几何对初等几何指导的研究。
30、高中导数教学中所蕴含的数学思想和应用31、高中导数教学中所蕴含的数学思想方法32、高中数学思想方法及运用33、高中数学探究性学习的探讨34、高中数学中的数学建模及数学实验教学探讨35、高中微积分初步中的数学文化及数学人文36 古典概型恒等式的证明37、古典概型解题规律探讨.38、古典概型在现实生活中的应用39、古典概型中样本空间的选取的研讨40、关于二阶曲线切点切线的方法探讨41、关于高楼层的疏散与控制42、关于函数最值问题43、关于立体几何中如何培养空间想象力的探讨.44、关于中学生学习数学兴趣的研究45 关于诸点共线与诸线共点的证明方法探讨46 级数敛散性判定法研究(归结已有的各科判别法，阐述之间的关系47 几何变换在几何作图中的应用。
高等代数期末论文学习总结
高等代数期末论文学习总结LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020高等代数学习总结摘要:两学期的高等代数已经接近尾声了，高等代数作为数学专业的基础学科之一。
本文主要讲述本人两学期下来学习高等代数的一些知识总结和学习体会。
关键词:行列式矩阵二次型正文:《高等代数》是数学学科的一门传统课程。
在当今世界的数学内部学科趋于统一性和数学在其他学科的广泛应用性的今天，《高等代数》以其追求内容结构的清晰刻画和作为数学应用的基础，是大学数学各个专业的主干基础课程。
它是数学在其它学科应用的必需基础课程，又是数学修养的核心课程。
高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。
它是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。
这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。
通过学习后，我们知道，不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。
因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。
在学习之前，我一直认为高等代数就是把线性代数重学一遍，因为大一的时候线性代数学得不深，而且也没有学完。
经过两学期的学习后，我发现，这两者之间区别还是挺大的。
高等代数数学专业开设的专业课，更注重理论的分析，需要搞懂许多概念是怎么来的，而线性代数，只是一种运算工具，是供工科和部分医科专业开设的课程，只注重应用。
经过两学期的学习，我对高等代数里面的知识有了个初步的认识和接触，特别是代数的一些思想，也从中收获不少。
下面就对两学期的学习做一个回顾和总结。
行列式行列式是代数学中的一个基本概念，它不仅是讨论线性方程组理论的有力工具，而且还广泛的应用于数学及其他科学技术领域定义：设A=（）为数域F上的n n矩阵，规定A的行列式为其中，为1,2，…，n的一个排列。
代数基本定理高斯证明
高斯在他的博士论文中证明了代数基本定理，即一个带有复数系数的n次代数方程g(x)=0，其中n为正整数，至少有一个复数解。
高斯给出了四种不同的证明方法，其中第一种方法是在他的博士论文中首次提出的。
高斯的第一种证明方法是通过纯粹的存在性证明，他并没有具体构造出多项式方程的解，而是证明了这样的解一定存在。
他的证明基于复数域的完备性，即任何复数多项式都可以表示为一次因式的乘积。
他通过考虑多项式的根和系数的关系，以及多项式的因式分解，证明了代数基本定理的正确性。
高斯的第二种证明方法是通过几何论据来证明的，但这种方法相对复杂，不是很容易理解。
第三种证明方法是通过判别式来证明的，即证明每两个根之差的乘积可以表示成多项式和它的导数的线性组合，这种方法也不易理解。
第四种证明方法是基于前三种方法的变种，但高斯更自由地使用了复数，使得证明更加简洁和易于理解。
总之，高斯的代数基本定理证明在数学史上具有重要地位，它不仅解决了长期以来数学家们对于多项式方程解的存在性的疑惑，而且为复数域的研究奠定了基础。
高斯的证明方法也展示了他在数学领域的卓越才华和创新思维。
线代论文之论行列式的计算方法及在生活中的实际应用
线代论文之论行列式的计算方法及在生活中的实际应用论行列式的计算方法及在生活中的实际应用10数字印刷一班孙晓康100220211行列式就是线性代数中的一个基本工具。
无论是高等数学领域里的高深理论，还是现实生活里的实际问题，都或多或少的与行列式有著轻易或间接的联系。
行列式的排序具备一定的规律性和技巧性。
针对各种行列式的结构特点概括了行列式排序的常用计算方法，并以实例予以表明。
行列式的计算是学习高等代数的基石,它是求解线性方程组,求逆矩阵及求矩阵特征值的基础,但行列式的计算方法很多,综合性较强,在行列式计算中需要我们多观察总结,便于能熟练的计算行列式的值。
目前我们常用的计算行列式的方法有对角线法则，化为三角形行列式,拆分法,降阶法，升阶法，待定系数法和数学归纳法，乘积法，加边法。
1.对角线法则此法则适用于于排序低阶行列式的值（如2阶，3阶行列式的值），即为主对角线的元素的乘积乘以辅或次对角线上的元素的乘积，其主要思想就是根据2阶，3阶行列式的定义排序行列式的值。
2.化成三角行行列式利用行列式的性质，把行列式化为上（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的结论，可得到相应行列式的值3.分拆法把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式性质将原行列式写成二个行列式的和,使问题简化以利于计算。
4.降阶法(包括递推降阶法和依据定理展开)(1)关系式降阶法：关系式法可以分成轻易关系式和间接关系式。
用轻易关系式法排序行列式的关键就是找到一个关于的代数式去则表示，依次从逐级关系式便可以算出的值；间接关系式的作法就是，转换原行列式以结构出来关于和的方程组，解出就可以Champsaur。
(2)依据定理展开法：依据行列式展开定理，可以把所给行列式展开成若干个低一阶的行列式的和。
如果能把行列式变形，使其某一行（列）的元素只有一个不为零，那么这个行列式就可以变形为一个低一阶的行列式来计算。
5.升阶法在排序行列式时.我们往往先利用行列式的性质转换取值的行列式，再利用进行定理使之降阶，从而并使问题获得精简。
关于不等式的证明及推广
百度文库- 让每个人平等地提升自我I关于不等式的证明及推广摘要在初等代数和高等代数中，不等式的证明都占有举足轻重的位置。
初等代数中介绍了许多具体的但相当有灵活性和技巧性的证明方法，例如换元法、放缩法等研究方法；而高等数学中，可以利用的方法更加灵活技巧。
我们可以利用典型的柯西不等式的结论来证明类似的不等式；除此还可以利用导数，微分中值定理，泰勒公式，积分中值定理等有关的知识来证明不等式；结合凸函数的性质，凸函数法也可以证明一类不等式；在正定的情况下，也可以用判别式法；掌握了定积分化为重积分的内容之后，对于某类不等式，也可以将定积分化为重积分，再证明所求的不等式。
由此我们可以看到，不等式的的求解证明方法并不唯一，但是初等数学里的不等式，都可以用高等数学的知识来解决，解答更为简洁。
所以，高等数学对初等数学的教学和学习具有重要的指导意义。
本文归纳和总结了一些求解证明不等式的方法与技巧，突出了不等式的基本思想和基本方法，便于更好地了解各部分的内在联系，从总体上把握不等式的思想方法；注重对一些著名不等式的论证、推广及应用的介绍。
本篇论文一共分为三章，其中第三章和第四章为正文部分。
第三章分两小节，第一节介绍了23种初等代数中不等式的证明方法。
而第二节则介绍了6种高等代数中不等式的证明方法。
第四章介绍了一些著名不等式的证明、推广和应用。
关键词：不等式证明方法百度文库- 让每个人平等地提升自我IIAbstractIn elementary algebra and advanced algebra,The inequality proof all holds the pivotalposition. In the elementary algebra introduced many concrete but has quite had mystical powers activeness and skill the proof method,For example the structure proof method, the comparison test, puts item by item shrinks research technique and so on the law; But in higher mathematics,We may a use method more nimble skill. We may use the model west the tan oak the inequality conclusion to prove the similar inequality; Eliminates this also to be possible to use the derivative, Differential theorem of mean, Taylor formula; integra intermediate value theorem And so on the related knowledge proves the inequality;Union convex function nature,The convex function law also may prove a kind of inequality; In is deciding in situation,Also may use the discriminant law; After grasped the definite integral to change into the multiple integral the content, Regarding some kind of inequality,Also may change into the definite integral the multiple integral, Again proved asks inequality. May see from this us to, Inequality solution proof method not only, But in elementary mathematics inequality, All may use the higher mathematics the knowledge to solve, answer is ,The higher mathematics has the important guiding sense to the elementary mathematics teaching and the study, Not only must grasp in the elementary mathematics each inequality proof method,Must grasp in the higher mathematics the inequality proof method, This article induced and summarized some solution proof inequalities methods and the skill,Has highlighted the inequality basic thought and the essential method, Is advantageous for understands each part of inner links well, Grasps the inequality from the overall the thinking method; Attention to some famous inequalities proofs.This paper altogether divides into three chapters, third chapter and fourth chapter is the main chapter minutes two sections, First section introduceds in 23 kind of elementary algebras the inequality proof method. But second then introduced in 6 kind of advanced algebras the inequality proof chapter introduced some famous inequalities proofs, the promotion and the application.Key word: Inequality proof method百度文库- 让每个人平等地提升自我III 目录摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)第一章引言（绪论） (1)第二章文献综述 ·······················································································第三章不等式的证明方法 ·······································································初等代数中不等式的证明 ·····································································3.1.1比较法····················································································3.1.2分析法 ·······························································································3.1.3反证法·······························································································3.1.4数学归纳法 ························································································3.1.5换元法 ·······························································································3.1.6放缩法 ·······························································································3.1.7调整法 ·······························································································3.1.8构造法 ·······························································································3.1.9利用已知的不等式证明 ·······································································3.1.10利用一元二次方程的判别式证明 ·······················································3.1.11用几何特性或区域讨论 ·····································································3.1.12利用坐标和解析性证明 ·····································································3.1.13利用复数证明 ···················································································3.1.14参数法 ·····························································································3.1.15利用概率证明 ···················································································3.1.16利用向量证明 ···················································································3.1.17面积法 ·····························································································3.1.18化整法 ·····························································································百度文库- 让每个人平等地提升自我IV 3.1.19步差法 ·····························································································3.1.20通项公式法 ······················································································3.1.21转化成数列法 ···················································································3.1.22增量法 ·····························································································3.1.23裂项法 ·····························································································高等代数中不等式的证明 ·······································································3.2.1由函数的上、下限证明·····································································3.2.2由柯西不等式证明 ···········································································3.2.3由Taylor公式及余项证明·································································3.2.4由积分的性质证明 ···········································································3.2.5由中值定理证明···············································································3.2.6利用求函数的最值证明·····································································第四章几个著名不等式的证明、推广及其应用···································关于绝对值不等式 ·················································································4.1.1三角形不等式 ··················································································4.1.2三角形不等式的推广 ········································································4.1.3三角形不等式的应用 ········································································平均值不等式··························································································4.2.1算术平均数与几何平均数 ·································································4.2.2几个平均数的关系 ···········································································4.2.3平均值不等式的应用 ········································································贝努利不等式··························································································排序不等式······························································································柯西不等式······························································································4.5.1柯西不等式的定理和初等证明 ··························································4.5.2柯西不等式的推广 ···········································································百度文库- 让每个人平等地提升自我V 闵可夫斯基不等式 ·················································································赫尔德不等式··························································································契比雪夫不等式 ·····················································································琴生不等式······························································································艾尔多斯—莫迪尔不等式 ·····································································结论··············································································································致谢··············································································································参考文献······································································································附件··············································································································。
高 斯(Gauss)
高 斯(Gauss)
被誉为“数学王子”德国大数学家，物理学家和王天文学家
另外一个著名的故事亦可以说明高斯很小时就有很快的计算能力。当他还在小学读书时，有一天，算术老师要求全班同学算出以下的算式：
1+2+3+4+…+98+99+100=？
在老师把问题讲完不久，高斯就在他的小石板上端端正正地写下答案5050，而其他孩子算到头昏脑胀，还是算不出来。最后只有高斯的答案是正确无误。
高斯用代数方法解决了2019多年来的几何难题，而且找到正17边形的直尺与圆规的作法。他是那么的兴奋，因此决定一生研究数学。据说，他还表示希望死后在他的墓碑上能刻上一个正17边形，以纪念他少年时最重要的数学发现。
1799年高斯呈上他的博士论文，这论文证明了代数一个重要的定理：任何一元代数议程都有根。这结果数学上称为“代数基本定理”（Fundamental theorem of algebra）。
1979年4月30日是德国大数学家高斯（Carl Fredrich Gauss 1777-1855）诞生202周年。在去年这个时候，德国政府准备发行新的五马克纪念盾币，上面就有高斯的像，以纪念这位18-19世纪德国最伟大、最杰出的科学家。
如果单纯以他的数学成就来说，很少在一门数学的分支里没有用到他的一些研究成果。
高斯的家里很穷，在冬天晚上吃完饭后，父亲就要高斯上床睡觉，这样可以节省燃料和灯油。高斯很喜欢读书，他往往带一棵芜菁（Turnip）上他的顶楼去。他把芜菁当中挖空，塞进用粗棉卷成的灯芯，用一些油脂当烛油，于是就在这发出微弱光亮的灯下，专心地看书。等到疲劳和寒冷压倒他时，他才钻进被窝睡觉。
代数基本定理的几种证明
2014-3050-021 本科毕业论文（设计）代数基本定理的几种证明学生姓名：黄容学号：1050501021系院：数学系专业：数学与应用数学指导教师：覃跃海讲师提交日期：2014年4月27日毕业论文基本要求1．毕业论文的撰写应结合专业学习,选取具有创新价值和实践意义的论题.2．论文篇幅一般为理科以3000至5000字为宜.3．论文应观点明确,中心突出,论据充分,数据可靠,层次分明,逻辑清楚,文字流畅,结构严谨.4．论文字体规范按《广东第二师范学院本科生毕业论文管理办法（试行）》和“论文样板”执行.5．论文应书写工整,标点正确,用微机打印后,装订成册.本科毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计）,是本人在指导老师的指导下,独立进行研究工作所取得的成果,成果不存在知识产权争议,除文中已经注明引用的内容外,本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明.本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担.学生签名：时间：年月日关于论文（设计）使用授权的说明本人完全了解广东第二师范学院关于收集、保存、使用学位论文的规定,即：1.按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；2.学校有权保存学位论文的印刷本和电子版,并提供目录检索与阅览服务,在校园网上提供服务；3.学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；本人同意上述规定.学生签名：时间：年月摘要代数基本定理是代数学上一个重要的定理,甚至在整个数学上都起着基础作用.最早在1629年由荷兰数学家吉拉尔在他的论著《代数新发现》提出, 然而没有给出证明.1637年迪卡儿也都提出这个定理,但同样没有给出证明.一直到一百年多后, 于1746年达朗贝尔才给出第一个证明.到十八世纪后半叶,欧拉等人也给出一些证明,然而这些证明都不够严格,都先是假设了一些条件,然后才得出证明.直到1799年高斯才给出了第一个实质的证明.在二十世纪以前该定理对于代数学都是起着核心的作用，因为代数学所研究的对象都是建立在复数域上的, 因此也就之称为代数基本定理.然而直到现在该定理却还是没有纯代数证法,用纯代数证明该定理却是十分困难的,很多人相信根本不存在纯代数的证法.不过后来随着复变理论的发展,该定理已成为其他一些定理的推论了,用复函数理论可以很完美的证明了.现在据说也已经有了两百多种证法.虽然前人已做了很多研究,但从多方面知识总结这些证明还是很有意义的.本论文基于多项式、柯西积分定理、儒歇定理、刘维尔定理、最大模定理和最小模定理这几个方面介绍了代数基本定理的几种证法.[关键词]：代数基本定理；多项式；柯西积分定理；儒歇定理；刘维尔定理AbstractFundamental Theorem of Algebra is one of the important theorem of algebra, and even in the whole of mathematics plays a fundamental role. First in 1629 by the Dutch mathematician Girard in his treatise "Algebra newly discovered" put forward, but he did not give proof. In 1637, Descartes are also raised this theorem without proof. Been to more than a hundred years later, Jean le Rond d'Alembert was given the first proof in 1746. Until 1799 Gauss was given the first real proof in the twentieth century before the theorem of algebra for all plays a central role, because the object being studied algebra are built on complex field, so it's called the fundamental Theorem of Algebra. However, until now the theorem is no purely algebraic proofs, many people believe that it does not exist. With the development of complex variable theory, this theorem has become a corollary of some other theorem, and with a complex function theory can be proved perfectly. Now said to have already had more than two hundred kinds of proofs.Although the fundamental theorem of algebra predecessors have done a lot of research. Summarize these methods still makes sense. This paper based on polynomial, Cauchy integral theorem, Ro che’s theorem, Lowville Theorem, the maximum modulus theorem and the minimum modulus theorem.[Key Words]：Fundamental Theorem of Algebra; Polynomial; Cauchy integral theorem; Roche’s theorem; Lowville Theorem目录摘要 (I)Abstract (II)1. 引言 ................................................................................................................... - 1 -2.1. 利用多项式证明..................................................................................... - 2 -2.1.1. 引理................................................................................................ - 2 -2.1.2. 利用多项式证明代数基本定理.................................................... - 2 -2.2. 利用柯西积分定理证明......................................................................... - 3 -2.2.1. 柯西积分定理................................................................................ - 3 -2.2.2. 利用柯西积分定理证明代数基本定理........................................ - 4 -2.3. 利用刘维尔定理证明............................................................................. - 5 -2.3.1. 刘维尔定理.................................................................................... - 5 -2.3.2. 利用刘维尔定理证明代数基本定理............................................ - 6 -2.4. 利用儒歇定理证明................................................................................. - 7 -2.4.1. 儒歇定理........................................................................................ - 7 -2.4.2. 利用儒歇定理证明代数基本定理................................................ - 7 -2.5. 利用最大模定理证明............................................................................. - 8 -2.5.1. 最大模定理.................................................................................... - 8 -2.5.2. 利用最大模定理证明代数基本定理............................................ - 9 -2.6. 利用最小模定理证明........................................................................... - 10 -2.6.1. 最小模定理.................................................................................. - 10 -2.6.2. 利用最小模定理证明代数基本定理.......................................... - 10 -3. 总结 ................................................................................................................. - 11 - 参考文献.............................................................................................................. - 12 -致谢……………………………………………………………………………….-12 -代数基本定理的几种证明1. 引言一元一次方程只有一个实数根,而在复数域内有两个根,那么一元N 次方程在复数域上会不会有N 个根？另外,在积分运算中部分分式法也有与这样的问题,所有实系数多项式是不是都可以分解成一次因式的乘积或者分解成实系数的一次因式和二次因式的乘积？上述这些问题关键在于证明代数基本定理.根据钟玉泉编写的《复变函数论》,代数基本定理的具体描述为：任何n 次多项式方程在复数域中至少有一个根.根据该定理我们可以直接得到一个结果,在复数域内对于所有n 次多项式方程有且只有n 个根[1].可见证明代数基本定理意义十分重要.这个定理最早在1629年由荷兰数学家吉拉德在他的论著《代数新发现》中提出，但没有得到证明。
代数基本定理的证明
收 稿 １３期 ：２００６—１２—１６ 作者简介 ：菅典兵（１９６３一），男 ，河南永城人 ，商丘 师范学 院副教授 ，主要 从事代数学研 究；孙 胜利 （１９６３一），男 ，河南 民权人 ，商丘职业技 术学 院教授 ，主要从事随机分析与金融数学研究．
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则 称 Ｅ 是 ｆ（ｘ）在 Ｆ上 的分 裂域 （ｓｐｌｉｔｔｉｎｇ ｆ ｉｅｌｄ）． 定 理 １ 设 ｆ（ｘ）∈Ｆ［ｘ］是 Ｆ上 的一个 不可 约 的多项式 ，则 存在 Ｆ上 一个 扩域 Ｅ，包含 ｆ的一 个根 ，且 （Ｅ：
Ｆ）＝ｄｅｇｆ（ｘ）． 证 明 因为 ｆ（ｘ）在 Ｆ上不 可约 ，令 Ｅ＝Ｆ［ｘ］／（ｆ（ｘ）），则 Ｅ是域 ．首先 要证 Ｅ是 Ｆ的扩 域．作 Ｆ到 Ｅ的
代 数 基 本定 理 的证 明
菅典 兵 ，孙胜 利
（１．商丘师 范学 院 计算机科学 系 ，河南 商丘 ４７６０００；２．商丘职业技术学院 ，河南 商丘 ４７６１００）
摘 要 ：文 ［１］中的第一章 “多项式 ”中给 出了复数 域上 的一个重 要定理——代 数基本定 理 ，但 并没有 给 出定
１．２ 刘 维 尔 定 理 和 儒 歇 定 理
刘维 尔定理 【 】 嘶’ 有界 整 函数 ｆ（ｚ）必 为常 数 ． 儒歇 定理 『３］（嘶 设 Ｃ是一 条 围线 ，函数 ｆ（ｚ），ｇ（ｚ）满足 以下 条件 ： （１）它们 在 Ｃ的内部均 解析且 连续 到 Ｃ；（２）在 Ｃ上 ，Ｉｆ（ｚ）Ｉ＞Ｉ ｇ（ｚ）Ｉ． 则 函数 ｆ（ｚ）与 ｆ（ｚ）＋ｇ（ｚ）在 Ｃ的 内部 有 同样多 的零 点 ，即 Ｎ（ｆ＋ｇ，Ｃ）＝Ｎ（ｆ，Ｃ）．
２ 代 数 基本 定 理 及 其 证 明
代数学 基本 定理 … 在 ｚ平 面上 ，ｎ次多项 式 Ｐ（ｚ）＝ａ０ｚ“＋ａ。ｚ ’＋… ＋ａ 至少有 一个 零点 ．
判别代数方程根的存在性的几种方法
判别代数方程根的存在性的几种方法摘要：代数方程通常指整式方程，即由多项式组成的方程。
有时也泛指由未知数的代数式所组成的方程，包括整式方程、分式方程和无理方程。
在数学学习中，常常要计算一些代数方程的解，然而在解代数方程时，我们首先就要判断这类方程的解的存在性。
本文从复变函数论、连续函数零点、多项式根的判别式、不动点定理、Kronecker定理方面判别代数方程根的存在性。
总结前人的研究成果，并略作一些整理，使分散的知识点汇聚在一起，以方便阅读。
关键词：代数方程；根；存在性Several methods ofdetermining the existence of Algebraic EquationWang Sheng-feng，College of Mathematics and Computer Science Abstract：Algebraic equations usually mean equations of integral expression, that is composed of polynomial equations. Sometimes it also refers to the unknown algebraic equations, including equation of integral expression, fractional equation and irrational equation. During learning mathematics, often to calculate the number of algebraic equation, but in solving algebraic equations, we must first determine the existence of solutions of these equations. From the theory of complex functions, continuous functions’zero, polynomial root discriminant, fixed point theorem, Kronecker theorem of algebraic equations determine the root of the problem. We summarize previous research results, and slightly up a bit, so that brings together scattered knowledge points to facilitate reading.Key words：Algebraic equations；Root；Existence1 引言中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问。
近世代数凯莱定理证明_概述说明
近世代数凯莱定理证明概述说明1. 引言1.1 概述近世代数是研究代数结构的一个重要分支，它在数学和物理学领域中有着广泛的应用。
凯莱定理是近世代数中一项非常重要的定理，它关于群论的一个基本结果。
证明凯莱定理是近世代数领域内的一项经典研究课题，对于加深对近世代数以及群论的认识具有重要意义。
1.2 文章结构本文将围绕凯莱定理的证明展开详细讨论。
首先，在引言部分概述凯莱定理以及文章内容。
之后，我们会介绍近世代数的背景知识，包括定义与基本概念、关键定理和结果以及基础工具与技巧。
接下来，我们将会详细讲解凯莱定理的介绍与意义，包括凯莱定理的历史背景、核心内容以及在数学和物理中的应用。
然后，我们会对近世代数凯莱定理证明进行详述，包括准备工作与思路分析、主要步骤与推导过程以及重要细节与关键观察点。
最后，我们将进行结论与展望，总结回顾凯莱定理证明的要点，并对近世代数的未来发展进行展望和可能性探讨。
1.3 目的本文的目的是系统地介绍近世代数中凯莱定理的证明过程，帮助读者深入理解该定理以及相关的数学背景知识。
通过阅读本文，读者可以掌握凯莱定理证明所需的基本概念、技巧和推导过程，并在此基础上拓宽对近世代数领域的认识。
同时，本文也旨在引起读者对未来近世代数研究方向的思考，并为可能出现的新颖应用提供一些启示。
2. 近世代数的背景知识2.1 定义与基本概念:近世代数是代数学的一个分支，主要研究从16世纪到19世纪中叶的代数学发展。
在这个时期，代数学经历了一系列重要的转变和创新，从传统的基于几何概念和计算方法的代数进化为一门由抽象代数结构和符号运算定义的理论。
在近世代数中，人们广泛研究了群、环和域等抽象结构以及它们之间的关系。
群是指在一个集合上定义了一个二元运算，并满足一些特定的性质，如封闭性、结合律、单位元和逆元等。
环是指在一个集合上定义了两个二元运算，并满足一些特定的性质，如封闭性、结合律、分配律等。
域则是在一个集合上定义了两个二元运算，并满足更多特定性质，如交换律以及每个非零元素都有乘法逆元素等。
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前 言代数学基本定理在代数学中占有十分重要的地位，而在整个数学界中也起着基础作用。
代数学基本定理有两种等价的陈述方式。
第一种陈述方式为：“任何一个一元n 次复系数多项式0111...)(a z a z a z a z p n n n n ++++=--（1≥n ，0≠n a ）在复数域内至少有一根”，它的第二种陈述方式为：“任何一个一元n 次复系数多项式0111...)(a z a z a z a z p n n n n ++++=--（1≥n ，0≠n a ）在复数域内有n 个根，重根按重数计算”。
尽管这个定理被命名为代数基本定理，但，迄今为止，该定理尚无纯代数方法证明。
数学家J.P 赛尔曾经指出：代数基本定理的所有证明本质上都是拓扑的。
美国数学家John Willard Milnor 在数学名著《从微分观点看拓扑》中给了一个证明，是几何直观的，但其中用到了和临界点测度有关的萨尔德定理。
在复变函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中运用了很多经典的复变函数的理论成果。
代数基本定理的第一个证明是由法国数学家达朗贝尔给出的，但其证明是不完整的。
紧接着，欧拉也给出了一个证明，但也有缺陷。
严格来说，第一个完整的证明是数学家高斯给出的，他在分析了拉格朗日的证明方法以后于1799年给出的，他是运用的纯解析的方法证明。
而后，到高斯71岁时，共给出了四种证明方法。
十九世纪七十年代，数学家H.W.Kuhn []18对于该定理给出了引人注目的构造性证明，这种方法的数学形象极好，并已实际用于复系数代数方程求根，堪称不动点算法的范例。
如果将复数域理解为复平面，将0111...)(a z a z a z a z p n n n n ++++=--（1≥n ，0≠n a ）的根理解为它在复平面上的零点，那么就可以借助复变函数的理论去证明代数学基本定理。
这种证明方法比较简洁，方法也有多种。
近年来，诸多数学家又给出了其它的证明方法，例如2003年翁东东[]6对代数基本定理进行了多种方法的分析，并给予了形象的证明。
他并没有采用常用的刘维尔定理和儒歇原理运用复变函数的方法进行证明，而是采用了初等方法证明了代数基本定理，说明可不用复变函数理论中的有关概念和定理进行证明该定理。
本论文结合有关知识点，主要目的是归纳总结代数基本定理几种代表性的证明方法。
第一章运用复变函数理论中的柯西定理、刘维尔定理、儒歇定理、辐角原理、最大模原理、最小模原理、留数定理来证明代数学基本定理，并对这些证明方法进行说明、比较与总结。
第二章主要介绍了翁东东的初等方法的证明。
第三章介绍了Kuhn 的两个构造性的证明方法。
第四章简单介绍了高斯的纯解析证明方法。
1．代数基本定理的复变函数理论证明将复数域理解为复平面，将0111...)(a z a z a z a z p n n n n ++++=--（其中1≥n ，0≠n a ）的根理解为它在复平面上的零点，那么就可以借助复变函数的理论去证明代数学基本定理。
这种证明方法比较简洁，方法也有多种。
本章主要针对于代数基本定理的两种陈述方式，运用复变函数理论中的柯西定理、刘维尔定理、儒歇定理、辐角原理、最大模原理、最小模原理、留数定理来证明代数学基本定理，并对这些证明方法进行说明、比较与总结。
1.1代数学基本定理的第一种陈述方式的证明代数学基本定理的第一种陈述方式为：任何一个一元n 次复系数多项式0111...)(a z a z a z a z p n n n n ++++=--（其中1≥n ，0≠n a ）在复数域C 内至少有一根。
1.1.1利用柯西定理证明柯西于1825年给出了复变函数的积分和积分路径无关的条件，它是研究解析函数理论的基础，是复变函数的基本定理定理1.1.1（柯西定理） 设函数)(z f 在整个z 平面上的单连通区域D 内解析，C 为D 内任何一条简单闭合曲线，那么()0Cf z dz =⎰。
证明：设C 所围成的区域是0D ，取一个四边平行于坐标轴的矩形，把C 包含在内。
用线段连接矩形对边的中点，最多可把0D 分成四块。
不妨设分成1D ，E ，F ，G 四块。
由于()f z 沿的积分等于沿这四块区域边界积分的和，所以必有一块边界上的积分，满足11()()4D Cf z dz f z dz ∂≥⎰⎰用的同样的方法把1D 分成四块，其中必有一块2D 使得21211()()()44D D Cf z dz f z dz f z dz ∂∂≥≥⎰⎰⎰把这种做法一直进行下去可以得到曲线C 内的一串矩形区域或矩形被曲线C 截得的区域n D ，使得21()()4nD Cf z dz f z dz ∂≥⎰⎰存在唯一一点0z 属于每个n D 或n D ∂，而且n →∞时，0n D z →。
因为(z)f 在0z 有导数0()f z '，所以对任何0ε>，当z 与0z 充分接近时，0000()()()()f z f z z z f z z z ε'---≤-因为()0nD f z dz ∂=⎰，0()()0nD z z f z dz ∂'-=⎰，所以当n 充分大时，0000()()()()()nnnD D D f z dz f z f z z z f z ds z z ds ε∂∂∂'≤---≤-⎰⎰⎰设最大矩形的周长是L 。
当n 充分大时，对于n z D ∈∂，有0n z z D -<∂的周长，所以2012224n n n n n n D D L LL L z z ds ds εεεε∂∂-≤≤⨯=⎰⎰，由以上两式得2()Cf z dz L ε≤⎰因为ε为任意正数，所以()0Cf z dz =⎰。
基本定理的证明:设0111...)(a z a z a z a z p n n n n ++++=--，其中1≥n ，0≠n a 。
假设)(z p 在复平面上无零点，即对任意z C ∈，有0)(≠z p ， 于是()()p z p z '在z 平面解析，由柯西定理()0()Cp z dz p z '=⎰（其中C 是圆周R z =） (1-1) 另一方面，()()p z p z '=01111211......)1(a z a z a z a a z a n z na n n n n n n n n ++++++-+----- )1...11()11...111(01111n nn n n n n n za a z a a z za a n z a a n n n +++++-+=---)](1[2z q n+= 其中函数()p z 满足当∞→z 时，一致趋于零。
又因为12C dz i zπ=⎰，所以()1max ()2max ()0C C z R z Rq z dz q z dz q z z z π==≤=→⎰⎰ （z R =→∞） (1-2) 故1(z)lim[]C C R dz q dz n i z zπ→∞+=⎰⎰， 比较(1-1)与(1-2)得0=n ，这与定理的条件矛盾，所以()p z 在平面上至少有一个零点，即一元n 次方程在复数域内至少有一个根。
证毕。
1.1.2利用刘维尔定理证明刘维尔定理是复变函数论中的一个著名定理，在复变函数中有着广泛的应用。
下面介绍其内容及运用该定理证明代数基本定理的方法。
定理1.1.2（刘维尔定理） 有界整函数必为常数。
证明：()f z 是有界整函数，即存在(0,)M ∈+∞，使得对任意的z ∈，()f z M <， 因此任意的0z ∈及任意的(0,)ρ∈+∞,()f z 在}{0z z z ρ-≤上解析，从而有0()f z M ρ'≤，令ρ→+∞，可见对任意的0z ∈，0()0f z '=，从而()f z 在复数域上恒等于常数。
基本定理的证明:假设1110()...n n n n p z a z a z a z a --=++++在z 平面上无零点。
则()p z 为整函数且当∞→z 时，∞→+++=-)...()(01n n n n zaz a a z z p 。
令)(1)(z p z f =，则()f z 也是整函数。
又因为z lim ()0f z →∞=，所以)(z f 在整个复平面上有界。
由刘维尔定理知)(z f 为常数，与)(z p 不是常数矛盾。
因此一元n 次方程在复数域内至少有一个根。
证毕。
刘维尔定理的应用非常广泛。
用刘维尔定理做证明题时常见的方法有两种：一种是利用反证法来证明，另一种是构造辅助函数来证明。
而在刘维尔定理证明代数学基本定理的过程中巧妙地把这两种方法结合了起来。
它的证明思路很清晰：利用反证法，并构造辅助函数)(1)(z p z f =，由)(z f 为整函数且在复数域上有界，得到)(z f 为常数，这与假设相比得出矛盾，从而得出结论一元n 次方程在复数域内至少有一个根。
它的证明过程也很简洁，很容易让初学者理解和掌握。
1.1.3利用最大模原理证明最大模原理在复变函数理论中也是很重要的定理，它深刻反映着解析函数的性质。
下面介绍运用该定理证明代数基本定理的方法。
定理 1.1.3（最大模原理） 设函数)(z f 在区域D 内解析，且恒不为常数，则()f z 在区域D 内任意点都取不到最大值。
证明：假定()f z 在D 内不恒等于一常数，那么1()D f D =是一区域。
设()f z 在0z D ∈达到最大值。
显然，001()w f z D =∈且0w 必有一充分小的邻域包含在1D 内，于是在这邻域内可找到一点w '满足0w w '>，从而在D 内有一点z '满足()w f z ''=以及0()()f z f z '>，这与题设矛盾。
因此()f z 在D 内恒等于一常数。
基本定理的证明:假设n n n a z a z z p +++=-...)(11在复平面上没有零点，即0)(≠z p ， 则)(1)(z p z g =在z 平面上解析。
显然当R z =且R 充分大时有 nnnza z a z z p +++=...1)(1n n n nR R a R a R 21)...1(1≥---≥ 因此，在R z =上且R 充分大时，有n Rz p z g 2)(1)(≤=，从而由最大模原理，有 2max ()n z Rg z R=≤特别地，在0=z 处，有2)0(1)0(2R g p a n ≥==。
而这对于充分大的R 显然不成立。
这就说明了“)(z p 在z 平面上没有零点”的假设是不成立的，从而可以得到)(z p 在z 平面至少有一个零点，即一元n 次方程在复数域内至少有一个根。