1-2 简谐运动的能量及其合成

-A2
内容小结
1. 掌握简谐运动系统的能量特征;
2. 掌握两个同方向同频率、两个同方向不同频 率、两个相互垂直且同频率的简谐运动的合成.
今日作业
9－22、 9－25、 9－27、 9－30
x 2 y 2 2 xy 2 cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) A12 A2 A1 A2 2） 2 1 π 2
A2
讨论
1） 2 1 0
y
A2
y
A2 y x A1
3） 2 1 π
o
A1
x
x y 2 1 2 A1 A2
2
O

A
x
x
x x1 x2 Acost
仍然是简谐运动！
其中:
A A1 A2 2 A1 A2cos(2 1 )
2 2
x2
1

x1
A1
A1 sin 1 A2 sin 2 tg A1 cos 1 A2 cos 2
二、简谐运动的合成
T2
m
T1
T2 T1
o
y
o
mg
mg k y cos t k m J R2
二、简谐运动的合成
1. 两个同方向、同频率简谐运动的合成
由振动叠加原理，
x1 A1 cost 1 x2 A2 cost 2
A2
O
x
A
x
2. 简谐运动系统机械能与振幅平方成正比。
Simple Harmonic Motion (SHM)
4. 简谐运动的能量特征 说明：
3. 从机械能守恒可推导出简谐运动方程。
1 2 1 2 E mv kx 常量 2 2
d 1 2 1 2 ( mv kx ) 0 dt 2 2 dv dx mv kx 0 dt dt 2 d x k x0 2 dt m
与哪些因素有关？
其机械能守恒吗？
Simple Harmonic Motion (SHM)
4. 简谐运动的能量特征
x, v
x A cos(t )
o
能量
x t
T
v t
t
0 x Acost v A sin t
1 2 2 E Ek Ep kA A 2
例1 一弹簧振子作简谐运动，当其位移为振
幅的一半时，其动能为总能量的 （
1 A. 2
）
3 E. 4
1 B. 2
C.
3 2
1 D. 4
例2 图示一轻质绳一端连接轻质弹簧，其劲度系
数为 k ，绳另一端绕过一转动惯量为 J 的薄圆盘与 物体 m 相连，圆盘半径为 R 。开始时，使弹簧处于 原长，然后静止释放物体，求物体运动的方程。
2
2
o
x A1
A2 y x A1
A2
o
y
A1
4）2 1 π 2 y
x
x y 2 1 2 A1 A2
2
2
A2
o
x A1
二、简谐运动的合成
5. 两个相互垂直、不同频率简谐运动的合成
x A1 cos(1t 1 )
y A2 cos( 2t 2 )
合振动比较复杂，且一般轨迹不稳定。这里只介绍 两种简单情况： （1）若两振动的频率有微小差异，则可近似看成 是同频率振动的合成。但由于相位差随时间缓慢增 加，于是合运动按直线→椭圆→直线的顺序变化。 （2）当1 2 成简单整数比时，合运动是周期运 与 动，轨迹为稳定的闭合曲线（Lissajous’ Figure）
NO. 1－2
第九章
振动
（Chapter 9 Vibration）
简谐运动的能量特征 Energy character of SHM
简谐运动的合成 Superposition of SHMs
Simple Harmonic Motion (SHM)
4. 简谐运动的能量特征
（1）自学教材P13-14 （2）回答下列问题: 做简谐运动的系统能量有何特点？
此时，合运动的轨迹形状不仅与原来的两分振动 的频率比有关，而且与两振动的初相差有关。
二、简谐运动的合成
5. 两个相互垂直、不同频率简谐运动的合成 x A1 cos(1t 1 ) y A2 cos( 2t 2 )
当频率为无理数比时： 其合成运动将永远不重复已走过的路径，它的 轨迹将逐渐密布在振幅所限定的整个矩形面内。这 种非周期性运动称为准周期运动。
2. 多个同方向、同频率简谐运动的合成
x x1 x2 xn
N sin 2 A A0 sin 2
xN A0 cos[t ( N 1) ]
x1 A0 cost x2 A0 cos(t ) x3 A0 cos(t 2 )
二、简谐运动的合成
4. 两个相互垂直、同频率简谐运动的合成
x A1 cos(t 1 )
质点运动轨迹为:
y A2 cos(t 2 )
x y 2 xy cos(2 1 ) sin 2 (2 1 ) 2 2 A1 A2 A1 A2
2
2
两个相互垂直、同频率简谐运动的合成
Q
R
N
A0
P
A


Acos(t )
O A B 1

A2
1 N 1 2
二、简谐运动的合成
3. 两个同方向、不同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(1t 1 )
讨论：
x2 A2 cos(2t 2 )
A1 A2 A 设 1 2
准周期运动在结构上是不稳定的， 参量稍有变化（如引入微弱的耦合）， 构成它的两个振动的频率就会被锁定到 一个相近的有理数比值上的现象称为同 步锁模现象。 —— 皮秒激光器
例3 两个同方向的简谐运动曲线如图所示， 则合振动的振幅为 ，合振动的运动方 程为 。
x
A2 A1 O -A1 1 2
T/2
T
t
Ep 1 kA 2 cos 2 t 2
o
T 4
T 2
3T 4
T
t
1 Ek m 2 A2 sin 2 t 2
Simple Harmonic Motion (SHM)
4. 简谐运动的能量特征Hale Waihona Puke Baidu说明：
1. 简谐运动系统的动能和势能均随时间做周期性 变化，但机械能守恒。 E
p
C
E
Ek
Ep
B
A
此时的合振动不再是简谐振动！
2 1 1 2 的情况
2 1
2 t ) cos(
x(2 A cos
振幅部分
2 1
2
t )
低频振动
高频振动
当两个频率很大且比较接近时，合振动的振幅 随时间发生周期性变化。—— “拍” 拍频（振幅变化的频率）： 2 1