三角坐标图练习
三角函数的图像和性质知识点及例题讲解
三角函数的图像和性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 2 sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值 当22x k ππ=+时，max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-．当2x k π=时，max 1y =；当2x k ππ=+时，min1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数； 在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭上是增函数．对称性 对称中心(),0k π 对称轴2x k ππ=+对称中心,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称轴x k π=对称中心,02k π⎛⎫⎪⎝⎭无对称轴函数 性质例作下列函数的简图(1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π]例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：21sin )1(≥x 21cos )2(≤x3、周期函数定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一般称为周期）正弦函数、余弦函数：ωπ=2T 。
高一数学三角函数图象变换试题答案及解析
高一数学三角函数图象变换试题答案及解析1.为了得到函数的图像，只需将函数的图像( )A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【答案】B【解析】先用诱导公式将化为= =，由平移知识知，只需将函数的图像向右平移个长度单位，故选B.考点:诱导公式；平移变换2.为了得到函数的图像，只需把函数的图像（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位【答案】B【解析】=sin2（x-），为了得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位即可，故选A．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换.三角函数图像的平移.3.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的僻析式是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数，再将所得的图象向左平移个单位，得函数，即故选C．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．4.函数（其中，的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】A【解析】由图知，，∴，∴．又由图可得，∵，∴，∴，∴为了得到的图象，可以将的图象向右平移个单位长度，故选A．【考点】1、三角函数的图象；2、函数的图象变换．5.要得到函数y=cos()的图像，只需将y=sin的图像( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】A【解析】本题考查三角函数的图像平移问题，要注意将函数解析式变为，然后根据“左加右减”的口诀平移即可.【考点】三角函数图像平移.6.函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合.则的解析式是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】根据反方向知：的图像向左平移个单位后得到,根据左加右减的平移原理得到：,故选C.【考点】的图像变换7.函数的最小正周期为（）A．B．C．D．【答案】【解析】由三角函数的最小正周期得.解决这类问题，须将函数化为形式，在代时，必须注意取的绝对值，因为是求最小正周期.【考点】三角函数的周期计算8.将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为（）A．B．C．0D．【答案】B【解析】根据题意，由于将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到，故可知的一个可能取值为，故答案为B.【考点】三角函数的图象变换点评：主要是考查了三角函数的图象变换的运用，属于基础题。
初二数学图形与坐标试题答案及解析
初二数学图形与坐标试题答案及解析1.如图，△ABC中（1）画出△ABC关于x轴对称的△（2）将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转后的△。
【答案】略.【解析】（1）分别得出A（-2，3），B（-3，1），C（-1，2）关于x轴对称的点的坐标即可得出△A1B1C1．（2）分别得出A（-2，3），B（-3，1），C（-1，2）关于原点对称的点的坐标即可得出△A2B2C2试题解析：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2即为所求；【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．2.将点P(－3，2)向右平移2个单位后，向下平移3个单位得到点Q，则点Q的坐标为（）A．（－5，5)B．(－1，－1)C．(－5，－1)D．(－1，5)【答案】B.【解析】：∵点P（-3，2）向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到点Q，∴点Q的横坐标为-3+2=-1，纵坐标为2-3=-1，即点Q的坐标为：（-1，-1）．故选B．【考点】坐标与图形变化-平移．3.在直角坐标系中，点M（3，-5）到x轴的距离是_____.到原点的距离是_____.【答案】5,.【解析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度求解，再利用勾股定理列式计算求出到原点的距离．试题解析：点M（3，-5）到x轴的距离是5，到y轴的距离是3，到原点的距离是．【考点】点的坐标．4.已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度。
在平面直角坐标系内，现有一动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到点P1，第2次从点P1出发按乙方式运动到点P2，第3次从点P2出发再按甲方式运动到点P3，第4次从点P3出发再按乙方式运动到点P4，……。
依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P所在位置P11的坐标是______________【答案】（-3，-4）．【解析】先根据P点运动的规律求出经过第11次运动后分别向甲，向乙运动的次数，再分别求出其横纵坐标即可．试题解析：由题意：动点P经过第11次运动，那么向甲运动了6次，向乙运动了5次，横坐标即为：2×6-3×5=-3，纵坐标为：1×6-2×5=-4，即P11的坐标是（-3，-4）．【考点】点的坐标．5.已知点P（，2）为平面直角坐标系中一点，则点P到原点的距离为．【答案】3.【解析】求出与2的平方和的算术平方根即可．试题解析：点P（，2）到原点的距离是．【考点】两点间的距离公式．6.已知点A（2-，+1）在第四象限，则的取值范围是【答案】a＜-1．【解析】根据第四象限点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组，求解即可．试题解析：∵点A（2-a，a+1）在第四象限，∴，解不等式①得，a＜2，解不等式②得，a＜-1，∴a的取值范围是a＜-1．【考点】1.点的坐标；2.解一元一次不等式组．7.在直角坐标系中，有两个点A（-6，3），B（-2，5）．在y轴上找一个点C，在x轴上找一点D，画出四边形ABCD，使其周长最短（保留作图痕迹，不要求证明）【解析】作出A关于X轴的对称点，作出B关于Y轴的对称点，连接于X、Y轴的交点就是C、D点．①作A关于X轴的对称点Aˊ（-6，-3），②作B关于Y轴的对称点Bˊ（2，5），③连接A'B'交X轴于D，交Y轴于C，连接BC、AD，得到四边形ABCD．【考点】1.轴对称-最短路线问题；2.坐标与图形性质．8.如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点与原点O重合，AB＝2，AD＝1，点E的坐标为（0，2）．点F（x，0）在边AB上运动，若过点E、F的直线将矩形ABCD的周长分成2:1两部分，则x的值为．【答案】或﹣．【解析】当点F在OB上时，设EF交CD于点P，可求点P的坐标为（，1）．则AF+AD+DP=3+x， CP+BC+BF=3﹣x，由题意可得：3+x=2（3﹣x），解得：x=．由对称性可求当点F在OA上时，x=﹣，故满足题意的x的值为或﹣．故答案是或﹣．【考点】动点问题．9.已知直角坐标系中的点A，点B的坐标分别为A（-2，6），B（0，-4），且P为AB的中点，若将线段AB向右平移3个单位后，与点P对应的点为Q，则点Q的坐标为．【答案】（2，1）．【解析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．试题解析：根据中点坐标的求法可知点PD坐标为（-1，1），因为左右平移点的纵坐标不变，由题意向右平移3个单位，则各点的横坐标加3，所以点Q的坐标是（2，1）．【考点】坐标与图形变化-平移．10.平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上。
三角函数的图像和变换以及经典习题和答案
3.4函数sin()y A x ωϕ=+的图象与变换【知识网络】1．函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义；２．函数sin()y A x ωϕ=+图象的变换（平移平换与伸缩变换） 【典型例题】 ［例1］(1)函数3sin()226x y π=+的振幅是 ；周期是 ；频率是 ；相位是 ；初相是 ．（１）32； 14π；26x π+；6π （2）函数2sin(2)3y x π=-的对称中心是 ；对称轴方程是；单调增区间是 ． （２）(,0),26k k Z ππ+∈；5,212k x k Z ππ=+∈； ()5,1212k k k z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(3) 将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=- C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=- （３）C 提示：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=． (4) 为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点 （ ）（A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）（C ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （４）C 先将R x x y ∈=,sin 2的图象向左平移6π个单位长度，得到函数2sin(),6y x x R π=+∈的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像(5)将函数x x f y sin )(= 的图象向右平移4π个单位后再作关于x 轴对称的曲线，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 的表达式是 （ ）（A ）x cos （B ）x cos 2 （C ）x sin （D ）x sin 2 （５）B 提示: 212sin cos 2y x x =-=的图象关于x 轴对称的曲线是cos 2y x =-,向左平移4π得cos 2()sin 24y x x π=-+=2sin cos x x =［例2］已知函数2()2cos 2,(01)f x x x ωωω=+<<其中，若直线3x π=为其一条对称轴。
几种常见地理三角坐标图题例
几种常见地理三角坐标图题例地理三角坐标图是一种有利于描述世界地理形势的常用地图类型。
地理三角坐标图如同数学应用中的三角形，使用经纬度和高程信息来绘制地图，以更加精细的方式展示空间形态。
理三角坐标图上的点和线，在介绍范围较大的地图，如世界地图或全国地图时，可以节约空间，界定更准确的地理位置，更加直观的描述地理形势。
以下将介绍几种常见的地理三角坐标图题例：一、求某点的经纬度例：已知：A点（34°54N，105°31E），B点（31°54N，105°33E），求C点的经纬度？答案：C点的经纬度为：33°N，106°E。
解析：可用三角形的性质求解，设AC为纬线，BC为经线，由AB 两点可求出边BC的长度，计算出AB两点之间的角度，据此可以推出C点的经纬度。
二、求两点间的距离例：纬度N 31°20，经度E 114°18的一点P，纬度N 31°30，经度E 114°36的一点Q。
求PQ的距离。
答案：PQ的距离为14.3km。
解析：利用球面三角形的公式求解，PQ的距离即球面的弧长，弧长可以通过两点的经纬度计算出来。
三、求某点的高程例：已知：A点（34°54N，105°31E，2000m），B点（31°54N，105°33E，1500m），求C点的高程？答案：C点的高程为1800m。
解析：可以根据AB点的高程，假设AB两点之间的差值为一段底边的高程，再根据纬经度的角度做比例，求出C点的高程。
四、求地理位置例：已知：A点（34°54N，105°31E），B点（31°54N，105°33E），求C点的地理位置？答案：C点的地理位置为：33°N，106°E。
解析：可以根据AB点的地理位置，做等边三角形相加，移动AB 点的经度之后，C点的地理位置就会发生改变。
一线三角模型及例题
相似三角形判定的复习：1.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
2.相似三角形的判定定理：(1)两角对应相等两三角形相似。
(2)两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
(3)三边对应成比例，两个三角形相似。
3.直角三角形相似的判定定理：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)一直角三角形的斜边和一条直角边与另一直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两三角形相似。
相似三角形的性质：要点1：相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例要点2：相似三角形的性质定理：相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形的性质定理2：相似三角形的周长的比等于相似比相似三角形的性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方要点3：知识架构图1、如图，锐角∆ABC 的高CD 和BE 相交于点O ，图中相似三角形有多少对？请分别写出.AB C DE O2、如图，在锐角∆ABC 中，∠ADE=∠ACB ，图中相似三角形有多少对？请分别写出.AB C DE O周长之比等于相似比相似三角形的性质 对应角相等、对应边成比例面积之比等于相似比的平方 对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于相似比．3、如图已知∠BAC=∠BDC=90°，8,16==∆∆ADE EBC S S . 问：∠BEC 的大小确定吗？若确定，求期度数；若不确定，请说明理由.4、如图，在ABC △中，90BAC ∠=，AD 是BC 边上的高，点E 在线段DC 上，EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F G ，．求证：（1）EG CG AD CD=； （2）FD ⊥DG ．GFE D C B A5、如图，四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点E ，AC ⊥AB ,BD ⊥CD. S ∆EBC =16，S ∆AED =8.(1)求AD BC的值； （2）问：∠BEC 是不是定角？如果是，把它求出来；如果不是，请说明理由. AB C DE5、如图，在△ABC 中，角ACB 为直角，CD⊥AB 于点D ，又△ACE 与△BCF 都是等边三角形，连结DE 、DF ；求证:DE⊥DFEA D C FBAB C DE中考热点：一线三等角型的相似三角形一、问题引入如图，ABC ∆中，90B ∠=︒，CD AC ⊥，过D 作DE AB ⊥交BC 延长线与E 。
高中数学圆锥曲线系统讲解第18讲《三角形面积公式的坐标形式》练习及答案
第18讲 三角形面积公式的坐标形式知识与方法公式1：设点()11,A x y ，()22,B x y ，O 为原点，则122112OABS x y x y =−. 公式2：设点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ， 则()()()()2131312112ABCSx x y y x x y y =−−−−−. 典型例题【例题】在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,1A ，()1,3B −，则OAB 的面积为______.【解析】解法1：如图，易求得OA OA 的方程为2 0x y −=，所以点B 到直线OA 的距离d ==，从而1722OABS==解法2：()17231122OABS =⨯−−⨯=. 【答案】72变式1 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,1A ，()1,3B −，()1,1C −，则ABC 的面积为______.【解析】解法1：直线AC 的斜率()11221k −−==−，所以直线AC 的方程为()122y x −=−，即230x y −−=，从而点B 到直线AC 的距离d =，又AC ==，所以11422ABCSAC d =⋅==.解法2：如图，将A 、B 、C 三点同时向左移1个单位，向上移1个单位，则C 移到原点，A 、B 分别移到()1,2A '，()2,4B '−， 所以()1142242ABCOA B SS''==⨯−−⨯=. 【答案】4 【反思】当三角形的三个顶点都不在原点时，可以通过平移转化为有一个顶点在原点的情形来计算面积.变式2 在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 为抛物线2:2C y x =上的两点，若OA OB ⊥，则OAB 的面积最小值为______.【解析】解法1：如图，显然直线AB 不与y 轴垂直，故可设其方程为()0x my t t =+≠)，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22x my ty x=+⎧⎨=⎩消去x 整理得：2220y my t −−=，判别式()242m t ∆=+， 由韦达定理，122y y t =−，所以222121222y y x x t =⋅=，因为OA OB ⊥，所以121221OA OB y y k k x x t⋅=⋅=−=−，从而2t =，满足0∆>，故直线AB 过定点()2,0D ，所以1211124222OABSOD y y OD =⋅−=⋅=⨯=， 当且仅当0m =时取等号，所以OAB 的面积的最小值为4.解法2：设直线OA 的方程为()0y kx k =≠，则直线OB 的方程为1y x k=−，联立22y kx y x=⎧⎨=⎩解得：00x y =⎧⎨=⎩或222x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以222,A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将k 换成1k −即得()22,2B k k −，所以()2212222222242OABSk k k k k k k k =⋅−−⋅=+=+≥=， 当且仅当22k k=，即1k =±时取等号，故OAB 的面积的最小值为4. 解法3：设()211A y，()222B y ，则由题意，1222121221y y y y ⋅==−，所以122y y =−，212y y =−，从而()2212211212111112242OABSy y y y y y y y ⎫=−=−=+=+≥=⎪⎪⎭ 当且仅当112y y =，即1y =时取等号，故OAB 的面积的最小值为4. 【答案】4强化训练1.(★★)在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0A ，()2,2B ，()1,3C −，则ABC 的面积为______.【解析】如图，()()()()172130112022ABCS=⨯−⨯−−−−⨯−=.【答案】722.（★★★）设直线:22l y x =−与抛物线2:4C y x =相交于A 、B 两点，若点()0,1D ，则DAB 的面积为______.【解析】解法1：如图，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2224y x y x=−⎧⎨=⎩消去y 整理得：2310x x −+=，不难发现直线l 过抛物线C 的焦点F ，所以1225AB x x =++=， 而点D 到直线l 的距离d ==11522DABSAB d =⋅=⨯=. 解法2：如图，由题意，可设()11,22A x x −，()22,22B x x −， 联立2224y x y x=−⎧⎨=⎩消去y 整理得：2310x x −+=判别式()234115∆=−−⨯⨯=， 所以()()()()12211213302210221222DABSx x x x x x =−−−−−−−=−==.3.（★★★★）在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 为抛物线2:4C y x =上的两点，若直线OA 、OB 的斜率之积等于2−，则OAB 的面积最小值为______.【解析】解法1：如图，显然直线AB 不与y 轴垂直，故可设其方程为()0x my t t =+≠，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立24x my t y x=+⎧⎨=⎩消去x 整理得：2440y my t −−=，判别式()216m t ∆=+，由韦达定理，124y y m +=，124y y t =−，所以222121244y y x x t =⋅=，故直线OA 、OB 的斜率之积为12124y y x x t⋅=−，由题意，42t−=−，故2t =，满足0>，从而直线AB 过定点()2,0D ，故1211122212OABSOD y y OD =⋅−=⋅⋅=⨯= 当且仅当0m =时取等号，所以OAB的面积的最小值为解法2：设直线OA 的方程为()0y kx k =≠，则直线OB 的方程为2y x k=−，联立24y kx y x=⎧⎨=⎩解得：00x y =⎧⎨=⎩或244x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以244,A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将k 换成2k −即得()2,2B k k −，所以()22144442222OABSk k k k k k k k =⋅−−⋅=+=+≥=， 当且仅当42k k=，即k =OAB的面积的最小值为 解法3：设()211,2A y y ，()222,2B y y ，则由题意，122112122242y y y y y y ⋅==−，所以122y y =−，212y y =−，从而 ()22122112121111122222222OABSy y y y y y y y y y y y ⎛⎫=⋅−⋅=−=+=+≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当112y y =，即1y =时取等号，故OAB的面积的最小值为【答案】。
几种常见地理三角坐标图题例
几种常见地理三角坐标图题例三角坐标图是近几年地理高考试题中常出现的一种地理统计图。
其特点是：构成要素一定是三项，不能任意增减；三项要素各自所占的比重之和一定为100%；三项要素在数轴上的比例由低到高递增的方向一致，要么呈顺时针方向递增，要么呈逆时针方向递增。
这种图要求学生读取三个坐标变量的数据，并根据数据比较、分析一些重要的地理现象的地理特征、形成原因及对策等。
下面举例介绍地理三角坐标图几种常见的类型题。
一、人口年龄构成坐标图如右图，我国人口年龄构成图，图中“*”表示我国人口年龄构成状况，读图回答我国0-14岁人口的比重大约是多少？【解题思路】1.沿着三个坐标轴数值增大的方向画出三个箭头，如图1中的箭头①、②、③。
2.过图中标出的点（在图1中为“?~”），分别画出与上述三个箭头平行且延伸方向一致的三条斜线。
注意：在图1中平行斜线应取a，而不是取b；因为斜线b的延伸方向与箭头②不一致。
3.读出上述斜线与三个坐标轴的交点坐标，这就是待求点在三个坐标轴上的坐标。
在图1中待求点“?~”的三个坐标是0-14岁为23%，15-64岁为73%；65岁以上为4%。
二、三大产业比重结构坐标图如下图表示①、②、③、④四个地区三大产业的就业构成，读图回答1-3题。
1.④地区一、二、三产业的就业比例为A、37.6：17.4：45.0B、31.6：30.5：37.9C、15.5：24.5：60.0D、37.6：24.5：37.92.四个地区中城市化水平最高的是A、①B、②C、③D、④3.四个地区中工业化程度最低的是A、①B、②C、③D、④【解题思路】第1题易错在不知道三角坐标图的读图方法和技巧。
第2、3题选择错误的原因是不知道城市化水平高低和工业化程度高低的主要判断依据。
解答此题的关键是判读四个地区三大产业就业比重的数值。
工业化推动城市化，其高低取决于三大产业的比例关系。
一般而言，工业化程度越低，第一产业比重越大；经济发展水平越高，第三产业比重越大。
三角统计图读图技巧
三角形统计图的读图解题技巧高一地理组张英丽三角形统计图是采用数字坐标形式来表现多项地理要素的数字信息图像，常用百分数（%）表示某地理事物局部与整体的结构比例，三条边分别表示三个不同的地理要素。
许多同学看到三角统计图感到无从下手，下面以例题具体分析读图的方法。
例1：下图中A点表示我国某次人口调查的人口年龄结构状况，三条轴分别表示0～14岁、15～64岁、65岁以上的人口比重，各年龄段的人口比重分别是多少？分析：首先分析0～14岁人口比重。
从图中可以找出0～14岁所在轴的0点，相当于直角坐标系中的原点。
再由原点来确定两个轴，即它是由0～14岁、65岁以上所代表的这两条边构成的坐标系。
然后根据直角坐标系中点的坐标读法，过A点向0～14岁所在的轴作“65岁以上”轴的平行线，与0～14岁的轴的交点即为0～14岁的比重，可以估计为23%；同理，要确定65岁以上的人口比重时，可以按65岁以上、15～64岁两条轴确定的坐标系来读，大约为18%；15～64岁的人口比重是由15～64岁、0～14岁两条轴来确定，大约为59%。
根据以上的读图过程，总结读图步骤：先确定原点及两个坐标轴，然后作平行线读数。
三角形统计图主要应用于人口年龄结构的比重、三大产业构成比重、工业区位因素的影响程度等，这类题目不仅要求能准确地读出点的三项指标的百分比，同时还会进行综合分析事物的特征，发展趋势等。
例2：右图表示某些工业部门对区位因素（仅考虑原料、能源、劳动力）的依赖程度。
判断图中①、②、③代表的工业部门可能是（）。
A.炼铝服装家具制造B.炼铝制糖服装C.汽车造船水泥D.炼铜奶制品制鞋分析：该题需从题中读出①、②、③所代表的工业部门对图示中所要求的能源、原料、劳动力三个区位因素的依赖程度，即各自所占百分比。
根据例1所述的方法，读图结果见右表。
然后再根据三种工业部门所占比例最大的主要区位因素，对照四个选项中的工业部门进行筛选。
第一个工业部门“能源”所占比重最大，表明这种工业部门是动力指向型工业，因此可以排除C选项；第二个工业部门“原料”所占比重最大，表明这种工业部门是原料指向型工业，因此可以排除A选项；第三个工业部门“劳动力”是主要区位因素，而B选项中的“服装”和D选项中的“制鞋”都符合，因此正确答案为B、D。
三角函数图像变换3(xin)
)的图像， 只须将 y sin 2x的图像（ 4
B、向右平移 8 个单位 D、向右平移 4 个单位
A
）
例4、 关于函数f ( x ) 4 sin( 2x )( x R ), 有下列命题： 3
①由f ( x1 ) f ( x 2 ) 0可得，x 1 x 2必是的整数倍； ② y f ( x )的表达式可改写为y 4 cos( 2x ); 6 ③ y f ( x )的图像关于( ,0 )对称; 6 ④ y f ( x )的图像关于直线x 对称； 6 其中正确的例题是：— — — — — —.
1、将函数y cos x的图象上每一个点的 横 坐标不变，
2 2 缩短到原来的 倍 ，可得到函数y cos x的图象. 纵 坐标 3 3
2 2、将函数y sin x图象上每一个点的横 坐标不变， 5 5 纵 坐标 伸长到原来的2 倍 ，可得到函数y sin x的图象.
例 1
A. y 2sin(4 x ) 1 3
，初相为
3
，
（ A）
C. y 2sin(4 x ) 1 3
B. y 2sin(4 x ) 1 3
D. y 2sin(4 x ) 1 3
已知函数y 2 sin(2 x
3
)
①振幅是: 频率是: 初相是: ② 定义域是:
2
1
3
周期是 : 相位是:
π
2x 3
x k ( k Z ) 2 ③当x __________ 时,y max _______ ； 12 _____
［k
R
人教版八年级上册 第11章 三角形有关作图题 专项训练
三角形作图题1.已知一个三角形的两条边长a，b与一个内角为40°．（1）请你用“尺规作图”画出一个满足题设条件的三角形．（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请用“尺规作图”画出，若不能，请说明理由．2.作图题：（1）分别作出点P，使得PA=PB=PC；（2）观察各图中的点P与△ABC的位置关系，并总结规律：当△ABC为锐角三角形时，点P在△ABC的______ ；当△ABC为直角三角形时，点P在△ABC的______ ；当△ABC为钝角三角形时，点P在△ABC的______ ；反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个．3.学之道在于悟．希望同学们在问题（1）解决过程中有所悟，再继续探索研究问题（2）．（1）如图①，∠B=∠C，BD=CE，AB=DC．①求证：△ADE为等腰三角形．②若∠B=60°，求证：△ADE为等边三角形．（2）如图②，射线AM与BN，MA⊥AB，NB⊥AB，点P是AB上一点，在射线AM 与BN上分别作点C、点D满足：△CPD为等腰直角三角形．（要求：利用直尺与圆规，不写作法，保留作图痕迹）4.已知一个三角形的两边长分别是1cm和2cm，一个内角为40°．（1）请你借助图画出一个满足题设条件的三角形；（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在下图画这样的三角形；若不能，请说明理由．（3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°，”那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有几个？分别画出草图，并在图中相应位置标明数据．（画图请保留作图痕迹，并把符合条件的图形用黑色笔画出来）第 1 页5.课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．请你在图2中用三种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）6.【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL“）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90○，根据______ ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．（2）如图②，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，∠B，∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）7.我们经常遇到需要分类的问题，画“树形图”可以帮我们不重复、不遗漏地分类．【例题】在等腰三角形ABC中，若∠A=80°，求∠B的度数．分析：∠A、∠B都可能是顶角或底角，因此需要分成如图1所示的3类，这样的图就是树形图，据此可求出∠B=【应用】（1）已知等腰三角形ABC周长为19，AB=7，仿照例题画出树形图，并直接写出BC的长度；（2）将一个边长为5、12、13的直角三角形拼上一个三角形后可以拼成一个等腰三角形，图2就是其中的一种拼法，请你画出其他所有可能的情形，并在图上标出所拼成等腰三角形的腰的长度．（选用图3中的备用图画图，每种情形用一个图形单独表示，并用①、②、③…编号，若备用图不够，请自己画图补充）8.如图，已知网格上最小的正方形的边长为1．（1）分别写出点A、B、C三点的坐标；（2）作△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′（不写作法）；（3）写出△ABC关于x轴对称的三角形的各顶点坐标．9.在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD，CD，其中CD交直线AP于点E．（1）依题意补全图1；（2）若∠PAB=30°，求∠ACE的度数；（3）如图2，若60°＜∠PAB＜120°，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明．答案和解析【答案】1. 解：（1）如图1，△ABC即为所求作三角形；（2）如图2，△DEF中，∠D=40°，DE=a，EF=b，当△ABC与△DEF不全等．2. 内部；斜边的中点；外部3. （1）①证明：在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（SAS），∴DA=DE，即△ADE为等腰三角形；②解：∵△ABD≌△DCE，第 3 页∴∠BAD=∠CAE，∵∠B=60°，∴∠BAD+∠ADB=120°，∴∠CAE+∠ADB=120°，∴∠ADE=60°，又△ADE为等腰三角形，∴△ADE为等边三角形；（2）有三种情况，PC=PD、CP=CD、DC=DP，如图所示：4. 解：（1）如图（1）所示：（2）如图（2）所示：（3）如图所示：．5. 解：（1）如图所示：（2）如图所示：（3）如图所示：6. HL7. 解：（1）树形图如下：当AB为底边，BC为腰时，BC =（19-7）=6；当AB为腰，BC为腰时，BC=AB=7；当AB为腰，BC为底边时，BC=19-2×7=5；综上所述，BC的长度是5、6或7．（2）如图所示，共有6种情况．（2）如图所示：（3）△ABC关于x轴对称的三角形的各顶点坐标（-3，-3）、B（-5，-1）、C（-1，0）．第 5 页9. 解：（1）所作图形如图1所示：（2）连接AD，如图1．∵点D与点B关于直线AP对称，∴AD=AB，∠DAP=∠BAP=30°，∵AB=AC，∠BAC=60°，∴AD=AC，∠DAC=120°，∴2∠ACE+60°+60°=180°，∴∠ACE=30°；（3）线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形．证明：连接AD，EB，如图2．∵点D与点B关于直线AP对称，∴AD=AB，DE=BE，∴∠EDA=∠EBA，∵AB=AC，AB=AD，∴AD=AC，∴∠ADE=∠ACE，∴∠ABE=∠ACE．设AC，BE交于点F，又∵∠AFB=∠CFE，∴∠BAC=∠BEC=60°，∴线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形．【解析】1. 解：①三角形的周长是它的中点三角形的周长的2倍是真命题；②三角形的三条中线不能平分它的中点三角形的三边是假命题；③三角形的三条角平分线平分它的中点三角形的三个内角，是真命题；故选：B．根据中点三角形的性质判断即可．本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．2. （1）设已知角为∠A，在∠A的一条边上截取AB=b，在另一条边上截取AC=a，连接BC，则△ABC就是要作的三角形；（2）先作一个等于已知40°的∠D，然后在∠D的一条边上截取DE=a，再以E为圆心，b为半径画弧交∠D的另一边于点F，则△DEF就是要作的三角形．本题考查了作图-复杂作图，掌握利用“边角边”画三角形的方法与“角边边”画三角形是解题的关键，需要注意，根据画法的不同，因为边角的对应关系发生改变，而导致最后两个三角形不全等，所以在平时的学习中对定理的记忆一定要准确．3. 解：（1）如图所示：分别作出三角形任意两边垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可得两直线的交点，即是P点．（2）结合图象可知：故填：内部；斜边的中点；外部利用三角形外心的作法，确定P点的位置，根据三角形的形状不同，圆形与三角形有三种位置关系．此题主要考查了三角形外心的作法，以及外心与不同三角形的位置关系．4. （1）①先根据∠B=∠C，BD=CE，AB=DC，判定△ABD≌DCE，得出AB=DC，进而得到△ADE为等腰三角形；②根据△ABD≌△DCE，得出∠BAD=∠CDE，再根据∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，得到∠ADE=∠B=60°，最后判定等腰△ADE为等边三角形；（2）分三种情况讨论：∠CPD为直角顶点；∠PCD是直角顶点；∠PDC是直角顶点，分别进行画图即可．第一种情况：使得AP=BD，BP=AC；第二种情况：使得AC=AB，CE=AP，BD=AE；第三种情况：使得BD=AB，DF=BP，AC=BF．本题主要考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法．解题时注意分类讨论思想的运用．5. （1）利用已知条件画出符合要求的图形即可；（2）利用已知条件画出符合要求的图形即可；（3）利用已知条件画出符合要求的图形即可．此题主要考查了应用设计与作图，利用三角形的形状不确定得出是解题关键．6. （1）先以底边为腰作顶角为45°的等腰三角形，然后再作腰的垂线得到含顶角为90°的等腰三角形和顶角为135°的等腰三角形；（2）先过腰上的高得到顶角为90°的等腰三角形，再作此高的垂直平分线得到顶角为135°的等腰三角形和顶角为45°的等腰三角形．本题考查了作图-应用与设计作图：首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质作出草图，然后利用基本作图的方法作图．也考查了等腰直角三角形的性质．7. （1）解：HL；（2）证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，∵∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，∴180°-∠B=180°-∠E，即∠CBG=∠FEH，在△CBG和△FEH中，，∴△CBG≌△FEH（AAS），∴CG=FH，在Rt△ACG和Rt△DFH中，，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），∴∠A=∠D，在△ABC和△DEF中，第 7 页，∴△ABC≌△DEF（AAS）；（3）解：如图，△DEF和△ABC不全等；（1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明；（2）过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等；（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC不全等；（4）根据三种情况结论，∠B不小于∠A即可．本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细．8. （1）分三种情况：当AB为底边，BC为腰时，BC=（19-7）=6；当AB为腰，BC为腰时，BC=AB=7；当AB为腰，BC为底边时，BC=19-2×7=5；（2）将一个边长为5、12、13的直角三角形拼上一个三角形后拼成一个等腰三角形，据此可得图形与等腰三角形的腰的长度．本题考查了等腰三角形的性质：等边对等角；求等腰三角形的角和边长的计算要注意分类讨论．解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．9. （1）根据各点在坐标系中的位置即可得出结论；（2）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；（3）根据关于x轴对称的点的坐标特点即可得出结论．本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．10. （1）根据题意作出图形；（2）根据题意可得∠DAP=∠BAP=30°，然后根据AB=AC，∠BAC=60°，得出AD=AC，∠DAC=120°，最后根据三角形的内角和公式求解；（3）由线段AB，CE，ED可以构成一个含有60度角的三角形，连接AD，EB，根据对称可得∠EDA=∠EBA，然后证得AD=AC，最后即可得出∠BAC=∠BEC=60°．本题考查了根据轴对称变换作图以及等腰三角形的性质，解答本题的关键是根据轴对称的性质作出对应点的位置以及掌握等腰三角形的性质．。
地理三角坐标图的读法
地理三角坐标图的简易判读方法三角坐标图是近几年地理高考试题中常常出现的一种地理统计图。
一些考生由于没有掌握它的正确判读方法，很容易失分。
其实，这类统计图的判读关键在于掌握以下阅读步骤：1.沿着三个坐标轴数值增大的方向画出三个箭头，如图1中的箭头①、②、③。
2.过图中标出的点（在图1中为“﹡”），分别画出与上述三个箭头平行且延伸方向一致的三条斜线。
注意：在图1中平行斜线应取a，而不是取b；因为斜线b的延伸方向与箭头②不一致。
3.读出上述斜线与三个坐标轴的交点坐标，这就是待求点在三个坐标轴上的坐标。
在图1中待求点“﹡”的三个坐标是0～14岁为23﹪，15～46岁为73﹪；65岁以上为4﹪。
举例说明于下：例1 （福州市2005年高中毕业班质量检查）图2表示我国西部地区某乡人口数量、耕地面积、粮食单产20世纪70年代和90年代的情况图(a点代表70年代，b点代表90年代)。
据图中信息判断，下列各数据趋于减小的是( )A．粮食总产量B．人均粮食占有量C．耕地面积D．粮食单产【解析】按照上述步骤分别读出a、b两点各自的三个坐标；再进行对比，即可得出答案为D。
只是在第一步划出三个坐标轴数值增大方向时，需要注意本题与一般的三角形坐标图有所不同：一般的三角形坐标图三个箭头为顺时针方向，而这里为逆时针方向（如图2所示）。
【答案】D例2 根据土壤中粘土、粉砂、砂的比例，将某区的土壤分为子～亥十二种类型。
某块田地的土壤，粘土、粉砂、砂的比例分别为：10%、20%、70%，该土壤应该属于图三哪一种类型（）A.子B.申C.辰D.戌【解析】这实际上是本文所述方法的变形运用。
如图4，在①轴（砂）上过70%的坐标点作③轴的平行线（注意：不是②轴的平行线，因为这样与箭头②的方向相反。
如图中虚线箭头所示，虽与箭头②平行但与箭头②方向不一致）。
在②轴（粘土）上过10%的坐标点作①轴的平行线（注意：不是③轴的平行线）。
在③轴（粉砂）上过20%的坐标点作②轴的平行线（注意：不是①轴的平行线）。
三角坐标图
三角坐标图
平面等边三角形坐标图的判读在各类地理数据统计图表的判读中是难度较大的一种，为此高考对其是情有独钟。
平面等边三角形坐标图将三角形的三条边作为坐标轴，形象直观地揭示地理事物的内在联系和变化发展规律，经常用来考察人口年龄的构成情况、产业结构构成等问题。
常见的三角形坐标图具有如下2个特点：①图中数据只表示相对量，即“比重”或“比例”，不表示绝对量；②各构成要素所占比重的总和是100％。
下面利用例题来说明判读三角形坐标图的巧妙方法。
如下图，三种产业的构成图，求图中某点的产业构成比例。
第一种方法：如B点。
B点四周有六条辐射线，且相邻两条之间相差60°；指向其中任何一种产业都有两条辐射线，并对应两个数字，则较小的数值就是这个产业所占的比例构成。
如第一产业所对应的数字是60、80，就取60％；第二产业所对应的数字是20、40，就取20％；第三产业所对应的数字是20、80，就取20％。
故B点的产业构成是第一产业占60％，第二产业占20％，第三产业占20％。
第二种方法：如A点。
首先，沿三角形的各边数值增大的方向画三个箭头。
其次，在A 点作外围三个箭头的平行线，且方向相同，即画三个箭头，且这三个箭头所在线之间夹角为120°。
那么这三个箭头所指的数字就是其对应的产业所占的比例构成。
因此，A点的产业构成是第一产业占20％，第二产业占40％，第三产业占40％。
直角坐标系中的三角形专项练习
直角坐标系中的三角形专项练习1．在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），AB＝10，如图作∠DBO＝∠ABO，∠CAy＝∠BAO，BD交y轴于点E，直线DO交AC于点C．（1）①求证：△ACO≌△EDO；②求出线段AC、BD的位置关系和数量关系；（2）动点P从A出发，沿A﹣O﹣B路线运动，速度为1，到B点处停止运动；动点Q从B出发，沿B﹣O﹣A运动，速度为2，到A点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PG⊥CD于点G，QF⊥CD于点F．问两动点运动多长时间时△OPG 与△OQF全等？2．已知：在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别在y轴、x上，且∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，当A（0，﹣2），C（1，0），点B在第四象限时，则点B的坐标为；（2）如图2，若BO平分∠ABC，交AC于D，过A作AE⊥y轴，垂足为E，则AE与BD之间的数量关系是（3）如图3，当点C在x正半轴上运动，点A在y正半轴上运动，点B在第四象限时，作BD ⊥y于点D，试判断①与②中是定值（只填序号），并求出这个定值．3．如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0）交y轴于点B（0，b），且a、b满足＝0，P为线段AB上的一点．（1）如图1，若AB＝6，当△OAP为AP＝AO的等腰三角形时，求BP的长．（2）如图2，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，点M从顶点A、点N 从顶点O同时出发，且它们的速度都为1cm/s，则在M、N运动的过程中，S四边形PNOM的值是否会发生改变？如发生改变，求出其面积的变化范围；若不改变，求该面积的值．（3）如图3，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD⊥OP，交OP、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且∠PEA＝∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．4．（2020秋•黄陂区期中）已知点A（4m﹣6，0），B（0，m+3）分别为两坐标轴正半轴上一点，OA ＝OB．（1）直接写出m＝，A（，），B（，）；（2）若点D为线段OA上一点（不与O，A重合）．①如图1，若AB＝OB，将线段BO沿直线BD翻折，使点O落在AB边上的点E处，点P是直线BD上一动点，求△PEA的周长的最小值；②如图2，点F为AB的中点，点C在y轴负半轴上，若AD+OC＝CD，则∠CFD的大小是否发生改变，若不变，请求∠CFD度数；若变化，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（a，0），B（0，b），且a，b满足（a﹣4）2+|b ﹣4|＝0，连接AB，∠OBA＝45°．（1）求点A、点B的坐标．（2）动点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒，连接AP，过点P作PM⊥AP，且PM＝P A，点M在第一象限，请用含有t的式子表示点M的坐标．（3）在（2）的条件下，连接MB并延长交x轴于点Q，连接AM，过点B作PM的平行线交x 轴于点R，当S△MQA＝28时，求点R的坐标．参考答案与试题解析1．【解答】解：（1）①如图，∵∠DBO＝∠ABO，OB⊥AE，∴∠BAO＝∠BEO，∴AB＝BE，∴AO＝OE，∵∠CAy＝∠BAO，∴∠CAy＝∠BEO，∴∠DEO＝∠CAO在△ACO与△EDO中，，∴△ACO≌△EDO（ASA）；②由①知，△ACO≌△EDO，∴∠C＝∠D，AC＝DE，∴AC∥BD，AC＝BD﹣10；（2）设运动的时间为t秒，（i）当点P、Q分别在y轴、x轴上时PO＝QO得：6﹣t＝8﹣2t，解得t＝2（秒），（ii）当点P、Q都在y轴上时PO＝QO得：6﹣t＝2t﹣8，解得t＝（秒），（iii）当点P在x轴上，Q在y轴时若二者都没有提前停止，则PO＝QO得：t﹣6＝2t﹣8，解得t＝2（秒）不合题意；当点Q提前停止时，有t﹣6＝6，解得t＝12（秒），综上所述：当两动点运动时间为2、、12秒时，△OPE与△OQF全等2．【解答】解：（1）过点B作BD⊥OD，∵∠BCD+∠ACO＝90°，∠ACO+∠OAC＝90°，∴∠BCD＝∠OAC，在△AOC和△CDB中，，∴△AOC≌△CDB（AAS），∴CD＝OA，BD＝OC，∴点B坐标为（3，﹣1）；（2）延长BC，AE交于点F，∵AC＝BC，AC⊥BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵BD平分∠ABC，∴∠COD＝22.5°，∠DAE＝90°﹣∠ABD﹣∠BAD＝22.5°，在△ACF和△BCD中，，∴△ACF≌△BCD（ASA），∴AF＝BD，在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（ASA），∴AE＝EF，∴BD＝2AE；（3）作BE⊥OC，则BD＝OE，∵∠CAO+∠ACO＝90°，∠ACO+∠BCE＝90°，∴∠CAO＝∠BCE，在△ACO和△BCE中，，∴△ACO≌△BCE（AAS），∴CE＝OA，∴OA+DB＝OC．∴＝1．3．【解答】解：（1）∵a、b满足＝0，∴b＝6＝a∴点A（6，0），点B（0，6）∴AO＝BO＝6∵P A＝AO＝6∵BP＝AB﹣AP∴BP＝6﹣6（2）如图：连接OP∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∠BAO＝45°∵点是AB中点∴OP＝AP＝BP，∠BOP＝∠AOP＝45°＝∠BAO∵点M、N分别是OA、OB边上的动点，点M从顶点A、点N从顶点O同时出发，且它们的速度都为1cm/s，∴AM＝ON，且ON＝AM，∠BOP＝∠BAO∴△PNO≌△PMA（SAS）∴S△OPN＝S△APM∵S四边形PNOM＝S△POM+S△OPN＝S△POM+S△APM∴S四边形PNOM＝S△AOP＝S△AOB＝××6×6＝9（3）相等如图：过点A作AM⊥OA，延长OP交AM于点M∵BD⊥OP，∠AOB＝90°∴∠DBO+∠BOF＝90°，∠BOF+∠AOM＝90°∴∠DBO＝∠AOM且AO＝BO，∠BOD＝∠MAO＝90°∴△BOD≌△OAM（ASA）∴∠BDO＝∠AMO，OD＝AM∵AM⊥OA，∠BAO＝45°∴∠BAM＝∠BAO＝45°∵∠BDO＝∠AEP，∠BDO＝∠AMO∴∠AEP＝∠AMO，且∠BAM＝∠BAO＝45°，AP＝AP∴△APM≌△APE（AAS）∴AM＝AE，且AM＝OD∴AE＝OD【点评】本题考查了三角形综合题，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．4．【解答】解：（1）∵OA＝OB，又∵点A（4m﹣6，0），B（0，m+3），∴4m﹣6＝m+3，∴m＝3，∴点A（6，0），点B（0，6），故答案为3，6，0，0，6；（2）如图，连接OP，∵点A（6，0），点B（0，6），∴OA＝OB＝6，∵AB＝OB，∴AB＝6，∵将线段BO沿直线BD翻折，使点O落在AB边上的点E处，∴BE＝BO＝6，OP＝PE，∵△PEA的周长＝PE+EA+P A＝OP+EA+AP，∴当点P与点D重合时，△PEA的周长最短，∴△PEA周长的最小值＝EA+OP+P A＝EA+OA＝AB＝6；（3）∠CFD的大小不发生改变，理由如下：如图2，连接OF，在BO上截取OH＝AD，连接HF，∵OA＝OB，点F是AB的中点，∠AOB＝90°，∴OF⊥AB，OF＝AF＝BF，∠BAO＝∠BOF＝45°，又∵OH＝AD，∴△ADF≌△OHF（SAS），∴HF＝DF，∠AFD＝∠OFH，∵∠AFD+∠DFC+∠OFC＝90°，∴∠DFC+∠OFC+∠HFO＝90°，∴∠HFD＝90°，∵AD+OC＝CD，OH+OC＝HC，∴HC＝CD，又∵CF＝CF，HF＝FD，∴△CFD≌△CFH（SSS），∴∠DFC＝∠HFC＝45°．【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．5．【解答】解：（1）∵a，b满足（a﹣4）2+|b﹣4|＝0，∴a﹣4＝0，b﹣4＝0，∴a＝4，b＝4，∴A（4，0），B（0，4）；（2）如图所示，过M作MC⊥y轴于C，则∠PCM＝∠AOP＝90°，∵PM⊥AP，∴∠CPM+∠APO＝∠OAP+∠APO＝90°，∴∠CPM＝∠OAP，在△CPM和△OAP中，，∴△CPM≌△OAP（AAS），∴CM＝OP＝t，CP＝AO＝BO＝4，∴CB＝OP＝t，∴CO＝CP+OP＝4+t，∴M（t，4+t）；（3）如图所示，连接MB并延长交x轴于点Q，连接AM，过点B作PM的平行线交x轴于点R，∵CB＝CM＝t，∴△BCM是等腰直角三角形，∴∠CBM＝∠OPQ＝45°，∴△BOQ是等腰直角三角形，∴OQ＝OB＝4，即Q（﹣4，0），又∵A（4，0），∴AQ＝8，又∵M（t，4+t），∴S△MQA ＝×8×（4+t）＝28，∴t＝3，∴OP＝3，∵BR∥PM，∴∠OBR＝∠CPM，又∵∠CPM＝∠OAP，∴∠OBR＝∠OAP，在△OBR和△OAP中，，∴△OBR≌△OAP（ASA），∴OR＝OP＝3，∴R（﹣3，0）．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质以及非负数的性质的综合应用，解决问题的关键是判定全等三角形，依据全等三角形的对应边相等进行推导计算．11。
三角形坐标系图的判读
三角形坐标系图的判读河北永清县第一中学王云飞三角形坐标系图往往给出一个正三角形，内作若干条三边的平行线，标明三个坐标代表的变量，要求考生读取一些重要的地理要素的数据。
它能直观形象的反映地理事物数量特征和关系，信息承载量大，是近年来地理考试的热点之一。
解答此类坐标图，读懂每一坐标代表的变量是基础，而正确的找出坐标原点和两个坐标轴是关键。
读图的方法是“平行法”。
第一步，要弄清楚表示某项指标变化的轴是三角形的哪条边？该项指标的起点所在的边是哪条边？第二步，通过观察坐标系数值的变化规律，确定坐标原点和坐标轴。
通常情况下每条坐标轴的原点（一般为0）与其他坐标轴100％的坐标（即为辅助坐标轴）相交，要读取某点在某条坐标轴上的数据，过该点做平行于辅助坐标轴的平行线，此平行线与该坐标轴相交的那个点所反映出的数据即为该点在该坐标轴上的数据。
如果三坐标轴的最小值均不为0，则可把每条坐标轴上的最小值所在点看作原点。
【例题解析一】读下图，（a、b、c分别表示0～14岁、15～64岁、65岁以上三种年龄人数所占总人口比重），据此回答1～2题：1．图中①②③④四个国家中，老龄化问题最严重的是（）A．① B．② C．③ D．④2．为实现经济的可持续发展，图中②国应采取的相应措施是（）A．计划生育B．鼓励生育C．采取移民政策D．鼓励人员出国解析：正确读取数据是解答该类题的关键，比如要读①国0～14岁所占总人口比重，先找到a值的坐标原点即最左边的点，那么辅助坐标就是c所在的正三角形的一边，过①做c边的平行线与a坐标轴相交，得出0～14岁所占总人口比重为20％，同理得出①国15～64岁所占总人口比重为68％，65岁以上所占总人口比重为12％；②国三种年龄人数所占总人口比重分别为60％、30％、10％；③国三种年龄人数所占总人口比重分别为25％、55％、20％；④国三种年龄人数所占总人口比重分别为35％、60％、5％。
可知一般情况下，每组数据之和应为100％。
资料分析-三角图
在此详细地介绍平面直角坐标系中点的读数方法，目的是我们可以把直角坐标系中的读图方法迁移到三角形坐标系中来。
掌握读图技巧，提高读图分析能力。
下面以例题为例来具体分析读图方法。
例1，图2表示我国人口年龄构成的比重图，三个轴分别表示0～14岁、15～64岁、65岁以上的人口比重。
图中A点表示某次人口调查结果我国人口年龄结构状况，试分析各年龄段的人口比重分别是多少。
分析：首先分析0～14岁人口比重。
从图中可以找出0～14岁所在轴的0点，相当于直角坐标系中的原点。
要读出0～14岁人口比重，那要首先把它转化成两个轴的坐标系。
如何确定它是由两个轴组成的呢？由原点来确定两个轴，即它是由0～14岁、65岁以上所代表的这两条边构成的坐标系。
然后根据直角坐标系中点的坐标读法，过A点向0～14岁所在的轴作“65岁以上”轴的平行线，与0～14岁的轴的交点即为0～14岁的比重，可以估计为23%；同理，要确定65岁以上的人口比重时，可以按65岁以上、15～64岁两条轴确定的坐标系来读，大约为18%；15～64岁的人口比重是由15～64岁、0～14岁两条轴来确定，大约为59%。
我们看看读出的这三个比重值有什么关系呢？这三个值之和恰好是100%，这也是这类题目的一个规律。
我们可以根据这个规律来检查读出的值是否正确。
根据以上分析的读图的过程，我们可以总结读图的步骤：先确定原点及两个坐标轴，然后作平行线读数。
读图的关键是确定原点和坐标轴。
以上分析的是此类图如何去准确地读出点的三项指标的百分数。
三角形统计图的适用范围比较广，我们常遇到的类型有人口年龄结构的比重、三大产业构成比重、工业区位因素的影响程度等，这类题目不仅要求学生能准确地读出点的三项指标的百分比，同时还会进行综合分析，分析事物的特征，发展趋势等。
解读这种题目时要注意认真审题，既要审清题目中的问题要求，也要审清题目中蕴含的地理信息，只要审清图中表述的地理信息，准确提取有效信息，就把握了解题关键，最后运用所学地理知识进行综合分析、判断、推理。
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三角坐标图创新训练
据我国第五次人口普查资料，全国共有12.95亿人，图中“*”表示我国人口年龄构成状况 回答1—3题。
1.其中0～14岁人口的比重约是
A ．93％
B ．23％
C ．13％
D ．60％
2．与10年前相比，我国人口中0～14岁人口比重下降了4.8％，65岁以上人口比重上升了1.39％，而总人口仍增加了近1.3亿。
因此，我国新世纪人口问题的主要任务是 A ．控制人口盲目流动 B ．继续稳定低生育水平
C ．遏制人口老龄化加速势头
D ．适度提高少年儿童人
口比重
3．我国人口变化的趋势是
①“十五”期间，我国人口增长率下降，人口总数下降 ②若干年后，我国人口增长速度下降
③老龄人口比重继续增大，社会步入老龄化，劳动力不足 ④青壮年承担的负担加重，社会福利增大，经济增长缓慢 A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④ D ．①③④ 读三角形坐标图，回答4~7题。
4．如果a 、b 、c 料投入、科技投入，下列各点中最能代表亚洲水稻种植业的是： A ．① B
．② C ．③ D ．④
5．如果a 、b 、c 素，则下列最能代表炼铝工业的点是：（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④
6．如果a 、b 、c 分别代表第一、二、三产业所占的比重，则表示城市化水平最高的点是：（ ）
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
7．如果a 、b 、c 分别代表矿物质和有机质、水分、空气，图中③点代表我国某地土壤组成物质的体积分数，则该土壤：（ ）
A ．水分较少，植物易枯萎
B ．空气受到排挤，土温较低
C ．通气透水，但有机质含量低
D ．该土壤成酸性，可能为红壤 8.读图分析回答：
（1）下列国家劳动力在农业、工业、服务业的比例依次为：①美国，5%、_____ %，____ %。
②墨西哥，____％、２６％、____％。
③．泰国，____ ％、____％、１２％。
（2）图中Ａ、Ｂ两组国家劳动力的就业结构与国家发展水平之间的关系是，
Ａ组国家。
Ｂ组国家
9.将图中的数码，填在对应的工业部门栏目中，并回答影响某布局的主导因素：
有色金属冶炼__________，影响主导因素是__________。
面包制作___________，影响主导因素是___________。
炼钢工业___________，影响主导因素是__________。
成衣制造___________，影响主导因素是_____________。
10.读“我国三个地带的产业结构图”，回答下列问题
（1）A、B、C三个地带中，第一产业、第二产业、第三产
业比重最大的分别是、、。
（2）A、B、C代表的经济地带分别是 A ，
B ，
C 。
（3）从产业结构情况可知，我国地带工业化，城
镇化程度高。
（4）当前，三个地带的经济差异主要表现为：东部地
带、科技力量强，而中部地带具有和
资源等方面的优势。
11.根据土壤中粘土、粉砂、砂的比例，将某区的土壤分为子～亥十二种类型。
某块田地的土壤，粘土、粉砂、砂的比例分别为：10%、20%、70%，该土壤应该属于哪一种类
型（）
A.子
B.申
C.辰
D.戌
12．读某国三大产业比重图，A点和B点分别代表该国1985年和1995年的三大产业构成，读图回答：
(1)填写该国产业构成变化表(%)
(2)说出该国三大产业构成10年来的变化；
(3)分别比较该国与中国、缅甸、美国产业构成状况及工业化程度的相同点和不同点。
【参考答案】
1．B阅读三角形坐标图时，需要把握几个关键：①图中数据只表示相对量，即“比重”或“比例”，而不是绝对量。
②三个构成要素所占比重的和必然是100％。
③三项要素在数轴上比例由小到大方向一致，都向右延伸。
分析某点在三项中的比重时，都从该点向该数轴的左下方作辅助线，交该数轴于一点，这个点的比重即是在该数轴上的比重。
如“*”号向左下方延伸在“0～14”岁数轴上交于23％这点。
2．B新世纪我国在人口方面的基本国策没变，仍然是“计划生育”，以控制人口数量。
3．C 根据我国人口的基本现状及国家实行的人口政策分析，我国人口的变化趋势有②③④点正确。
4.C
5.A
6.B
7.B（4-7题解析：这几道小题是一图多用，关键是要掌握亚洲的水稻种植属于精耕细作型农业，需要大量劳动力；炼铝工业属于高耗能企业应靠近能源；城市化水平高的区域，其第三产业比较发达；从图中不难读出③点有机质含量大，水分多，这种土壤类型在我国应该分布在东北地区，因此地温较低）
8.解析这是一种比较新颖的用三角形坐标来表现劳动力的结构图，相对来说判读比较困难。
关键在于找出“零点”（即数轴的原点），然后以“零点”为中心的二条线段为坐标，作平行线来判读各点的比重。
本题很明显地看出以美国为代表的发达国家，经济比较发达。
服务业占劳动就业的人口比例特别高。
以印度为代表的发展中国家，经济发展水平低，农业就业人口比重大
答案（1）
（2）本题很明显地看出以美国为代表的A组发达国家，经济比较发达，服务业占劳动就业的
人口比例特别高。
以印度为代表的B组发展中国家，经济发展水平低，农业就业人口比重大。
9.解析图中列出了影响工业区位的三个要素：市场、原料和动力（或能源）。
此题不同于例1，图中没有标出三条坐标轴变化的方向。
但是可以由各要素数值的变化得到其变化的趋势。
根据高中地理“工业区位”部分的知识，不难知道：影响有色金属的冶炼、面包制作、钢铁工业和成衣制造的区位因素分别主要是动力、市场、原料和能源、廉价劳动力和资源等。
图中2受动力、原料、市场的影响分别是约50%、20%、约30%，3受动力、原料、市场的影响分别大约是10%、8%、91%，1受动力、原料、市场的影响分别大约是20%、7%、91%，4受动力、原料、市场的影响分别大约是35%、55%、45%。
据此可以得出答案“2”，能源，“3”，市场，“4”，原料和能源，“1”，廉价劳力及原材料和市场。
答案“2”，能源，“3”，市场，“4”，原料和能源，“1”，廉价劳力及原材料和市场。
10.解析由图可知，A经济地带第一、第二、第三产业的比重分别大约是：18%、50%和32%；B经济地带第一、第二、第三产业的比重分别大约是：28%、38%和34%；C经济地带第一、第二、第三产业的比重分别大约是：26%、48%和26%。
答案（1）B A A（2）东部经济地带中部经济地带西
部经济地带（3）东部（4）资金能源。
11.B 如图，在①轴（砂）上过70%的坐标点作③轴的平
行线（注意：不是②轴的平行线，因为这样与箭头②的方
向相反。
如图中虚线箭头所示，虽与箭头②平行但与
箭头②方向不一致）。
在②轴（粘土）上过10%的坐标
点作①轴的平行线（注意：不是③轴的平行线）。
在③轴
（粉砂）上过20%的坐标点作②轴的平行线（注意：不是
①轴的平行线）。
三条平行线的交点刚好落在申的位置。
12．【解析】：缅甸以第一产业为主，比重比该国大，属于生产力水平低、工业化尚未真正开始的发展中国家。
美国第一产业比重比该国小，第三产业比重比该国大，属于工业化已实现的发达国家。
【答案】 (1)1985年：35；45；20 1995年：20；50；30
(2)第一产业比重下降；第二、第三产业比重上升。
(3)该国与中国同属于正在进行工业化的发展中国家。