考研高数总复习专题三第2讲数列求和及数列的综合应用(讲义)
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本 1 1 1 1 1 1 1 讲 － ＋ － ＋„＋ － ＝ 1 ＋ ＋ 栏 4 2 3 3 4 n－1 n 目 开 关 5 1 1 7 1 7
＝ ＋ － ＝ － < ， 4 2 n 4 n 4
1 1 1 7 所以对一切正整数 n，有 ＋ ＋„＋ < . a1 a2 an 4
主干知识梳理
(3)倒序相加法 这是在推导等差数列前 n 项和公式时所用的方法，也就是将 一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可 提， 并且剩余项的和易于求得， 则这样的数列可用倒序相加法
本 讲 栏 目 开 关
求和． (4)裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项或 n 项的差，通过相加过 程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于 1 求通项为 的数列的前 n 项和，其中{an}若为等差数列， anan＋1 1 1 1 1 则 ＝da －a . ＋ anan＋1 n n 1
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设数列{an}满足 a1＝2，an＋1－an＝3· 22 n 1 .
－
(1)求数列{an}的通项公式； (2)令 bn＝nan，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
本 解 (1)由已知，得当 n≥1 时， 讲 栏 an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)] ＋a1 目 开 2n－1 关 ＝3(2 ＋22n－3＋„＋2)＋2＝22(n＋1)－1.
(2)S1＋S2＋„＋S100＝________.
1 当 n 为偶数时，an－1＝－ n， 2 1 当 n 为奇数时，2an＋an－1＝ n， 2 1 1 ∴当 n＝4 时，a3＝－ 4＝－ . 2 16
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根据以上{an}的关系式及递推式可求． 1 1 1 1 a1＝－22，a3＝－24，a5＝－26，a7＝－28， 1 1 1 1 a2＝22，a4＝24，a6＝26，a8＝28. 1 1 1 ∴a2－a1＝2，a4－a3＝23，a6－a5＝25，„， ∴S1 ＋ S2 ＋ „ ＋ S100 ＝ (a2 － a1) ＋ (a4 － a3) ＋ „ ＋ (a100 － a99) － 1 1 1 1 ＋ 2＋ 3＋„＋ 100 2 2 2 2
第2讲
本 讲 栏 目 开 关
数列求和及数列的综合应用
【高考考情解读】 高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题： 1．以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查学 生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属 中档题. 2． 通过分组、 错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题， 考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用， 属中档题．
本 讲 栏 目 开 关
3n＋1 1 ＝ 1－ n ， 3 4
3n＋1 3n＋1 4 1 ∴Rn＝ 1－ n ＝ 4－ n－1 . 9 4 9 4
热点分类突破
错位相减法求数列的前 n 项和是一类重要方法．在
本 讲 栏 目 开 关
应用这种方法时， 一定要抓住数列的特征， 即数列的项可以看 作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的 求和问题．
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fx 已知 x ， ， 3 (x≥0)成等差数列．又数列 2 {an}(an>0)中，a1＝3，此数列的前n项和为Sn，对于所有大于1 的正整数n都有Sn＝f(Sn－1)．
解
本 讲 栏 目 开 关
(1)当a1＝3时，不合题意；
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意； 当a1＝10时，不合题意． 因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3. 故an＝2· 3n－1 (n∈N*)． (2)因为bn＝an＋(－1)nln an ＝2· 3n－1＋(－1)nln(2· 3n－1)
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考点一 例1
本 讲 栏 目 开 关
分组转化求和法
等比数列{an}中，a1，a2，a3 分别是下表第一、二、三行
中的某一个数，且 a1，a2，a3 中的任何两个数不在下表的同 一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 2 4 8 10 14 18
热点分类突破
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前n项 和Sn.
① ②
4Rn＝42＋43＋„＋ 4n－1 ＋ 4n
①－②得： n－1 3 1 1 1 4Rn＝4＋42＋„＋4n－1－ 4n
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1 1 1 － － n 1 4 1 4 n－1 1 n－ 1 ＝ － n ＝ 1－4n－1－ n 1 4 3 4 1－ 4
① ②
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(2)由题意知，Tn＝λ－
∴当 n≥2 时，
n－1 n－2 bn＝Tn－Tn－1＝λ－ n－1－λ－ n－2 ＝ n－1 . 2 2 2
2
n－1，
n
n
本 n－1 * 讲 ∴cn＝b2n＝ n－1 (n∈N )． 4 栏 n－1 1 2 目 ∴Rn＝c1＋c2＋„＋cn－1＋cn＝0＋ ＋ 2＋„＋ n－1 4 4 4 开 关 1 n－2 n－1 1 2
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1 2 两式相减得 2an＝nan＋1－(n－1)an－ (3n －3n＋1)－(2n－1) 3 2 － ， 3
本 讲 栏 目 开 关
整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)， an＋1 an a2 a1 即 － n ＝1，又 2 － 1 ＝1， n＋1
a1 an 故数列 n 是首项为 1 ＝1，公差为1的等差数列，
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数列求和的方法：(1)一般地，数列求和应从通项 入手，若无通项，就先求通项，然后通过对通项变形，转化
本 讲 栏 目 开 关
为与特殊数列有关或具备适用某种特殊方法的形式，从而选 择合适的方法求和得解．(2)已知数列前n项和Sn或者前n项和 Sn与通项公式an的关系式，求通项通常利用an＝ S1n＝1 .已知数列递推式求通项，主要掌握“先猜 Sn－Sn－1n≥2 后证法”“化归法”“累加(乘)法”等．
主干知识梳理
1．数列求和的方法技巧
本 讲 栏 目 开 关
(1)分组转化法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列 通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的 数列，即先分别求和，然后再合并． (2)错位相减法 这是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种 方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和，其中{an}，{bn}分 别是等差数列和等比数列．
an 所以 n ＝1＋(n－1)×1＝n，所以 an＝n2， 所以数列{an}的通项公式为 an＝n2，n∈N*.
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1 1 1 1 1 1 1 1 (3)证明 ＋ ＋ ＋„＋a ＝1＋ ＋ 2＋ 2＋„＋ 2 a1 a2 a3 4 3 4 n n 1 1 1 1 <1＋ ＋ ＋ ＋„＋ 4 2×3 3×4 nn－1
②
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考点三 裂项相消求和法 2Sn 例3 (2013· 广东)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1， n 1 2 2 ＝an＋1－ n －n－ ，n∈N*. 3 3
本 讲 栏 目 开 关
(1)求a2的值； (2)求数列{an}的通项公式； 1 1 1 7 (3)证明：对一切正整数n，有 ＋ ＋„＋a < . a1 a2 n 4 1 2 (1)解 2S1＝a2－3－1－3，又 S1＝a1＝1，所以 a2＝4. 1 3 2 2 (2)解 当 n≥2 时，2Sn＝nan＋1－3n －n －3n， 1 2 3 2 2Sn－1＝(n－1)an－3(n－1) －(n－1) －3(n－1)，
本 讲 栏 目 开 关
1－3n n 当n为偶数时，Sn＝2× ＋ ln 3 1－3 2 n n ＝3 ＋2ln 3－1； n－1 1－3n 当n为奇数时，Sn＝2× －(ln 2－ln 3)＋ － n ln 3 2 1－3 n－1 n ＝3 － 2 ln 3－ln 2－1. n n n为偶数， 3 ＋2ln 3－1， 综上所述，Sn＝ 3n－n－1ln 3－ln 2－1， n为奇数. 2
再验证是否可以合并为一个公式．
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(2013· 湖南)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan 1 － n，n∈N*，则： 2 (1)a3＝________；
本 讲 解析 ∵a ＝S －S ＝(－1)na － 1 －(－1)n－1a ＋ 1 ， n n n－1 n n－1 栏 2n 2n－1 目 1 开 n n－1 关 ∴an＝(－1) an－(－1) an－1＋2n.
而a1＝2，符合上式， 所以数列{an}的通项公式为 an＝22n－1.
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(2)由 bn＝nan＝n· 22n－1 知 Sn＝1· 2＋2· 23＋3· 25＋„＋n· 22n－1.
本 讲 栏 目 开 关
①
从而 22· Sn＝1· 23＋2· 25＋3· 27＋„＋n· 22n＋1. ①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋„＋22n－1－n· 22n＋1， 1 ＋ 即 Sn＝ [(3n－1)22n 1＋2] ． 9
本 讲 栏 目 开 关
主干知识梳理
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数 时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3)混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的
本 讲 栏 目 开 关
模型． (4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增 加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我 们称该模型为生长模型．如分期付款问题，树木的生长与砍 伐问题等． (5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项 an－1(或前n项)间的递推关系式，我们可以用递推数列的知识 来解决问题.
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在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思 想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，
本 在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列， 哪些项构成等比数 讲 栏 列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的 目 开 各项是正负交替的，所以一般需要对项数 n 进行讨论，最后 关
＝2· 3n 1＋(－1)n[ ln 2＋(n－1)ln 3]
－
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＝2· 3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3， 所以Sn＝2(1＋3＋„＋3n－1)＋[ －1＋1－1＋…＋(－1)n] · (ln 2－ ln 3)＋[ －1＋2－3＋…＋(－1)nn] ln 3.
1 1 1 1 1 1 1 1 ＝2＋23＋„＋299－2＋22＋„＋2100 ＝32100－1.
本 讲 栏 目 开 关
答案
1 (1)－16
1 1 (2)32100－1
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考点二 例2 错位相减求和法
(2013· 山东)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， 且 S4＝4S2，
a2n＝2an＋1.
本 讲 栏 目 开 关
(1)求数列{an}的通项公式； an＋1 (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn，且 Tn＋ n ＝λ(λ 为常 2 数)．令 cn＝b2n，n∈N*，求数列{cn}的前 n 项和 Rn.
解 (1)设公差为 d，令 n＝1，
则 a2＝2a1＋1，a1＝d－1， 又S4＝4S2，即2a1＝d， 由①②得：a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1(n∈N*)．
主干知识梳理
常见的拆项公式： 1 1 1 ① ＝ － ； nn＋1 n n＋1 1 11 1 ② ＝ ( － )； nn＋k k n n＋k 1 1 1 1 ③ ＝ ( － )； 2 2n－12n＋1 2n－1 2n＋1 1 1 ④ ＝k( n＋k－ n)． n＋ n＋k 2．数列应用题的模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该 模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．
＝ ＋ － ＝ － < ， 4 2 n 4 n 4
1 1 1 7 所以对一切正整数 n，有 ＋ ＋„＋ < . a1 a2 an 4
主干知识梳理
(3)倒序相加法 这是在推导等差数列前 n 项和公式时所用的方法，也就是将 一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可 提， 并且剩余项的和易于求得， 则这样的数列可用倒序相加法
本 讲 栏 目 开 关
求和． (4)裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项或 n 项的差，通过相加过 程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于 1 求通项为 的数列的前 n 项和，其中{an}若为等差数列， anan＋1 1 1 1 1 则 ＝da －a . ＋ anan＋1 n n 1
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设数列{an}满足 a1＝2，an＋1－an＝3· 22 n 1 .
－
(1)求数列{an}的通项公式； (2)令 bn＝nan，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
本 解 (1)由已知，得当 n≥1 时， 讲 栏 an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)] ＋a1 目 开 2n－1 关 ＝3(2 ＋22n－3＋„＋2)＋2＝22(n＋1)－1.
(2)S1＋S2＋„＋S100＝________.
1 当 n 为偶数时，an－1＝－ n， 2 1 当 n 为奇数时，2an＋an－1＝ n， 2 1 1 ∴当 n＝4 时，a3＝－ 4＝－ . 2 16
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根据以上{an}的关系式及递推式可求． 1 1 1 1 a1＝－22，a3＝－24，a5＝－26，a7＝－28， 1 1 1 1 a2＝22，a4＝24，a6＝26，a8＝28. 1 1 1 ∴a2－a1＝2，a4－a3＝23，a6－a5＝25，„， ∴S1 ＋ S2 ＋ „ ＋ S100 ＝ (a2 － a1) ＋ (a4 － a3) ＋ „ ＋ (a100 － a99) － 1 1 1 1 ＋ 2＋ 3＋„＋ 100 2 2 2 2
第2讲
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数列求和及数列的综合应用
【高考考情解读】 高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题： 1．以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查学 生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属 中档题. 2． 通过分组、 错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题， 考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用， 属中档题．
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3n＋1 1 ＝ 1－ n ， 3 4
3n＋1 3n＋1 4 1 ∴Rn＝ 1－ n ＝ 4－ n－1 . 9 4 9 4
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错位相减法求数列的前 n 项和是一类重要方法．在
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应用这种方法时， 一定要抓住数列的特征， 即数列的项可以看 作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的 求和问题．
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fx 已知 x ， ， 3 (x≥0)成等差数列．又数列 2 {an}(an>0)中，a1＝3，此数列的前n项和为Sn，对于所有大于1 的正整数n都有Sn＝f(Sn－1)．
解
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(1)当a1＝3时，不合题意；
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意； 当a1＝10时，不合题意． 因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3. 故an＝2· 3n－1 (n∈N*)． (2)因为bn＝an＋(－1)nln an ＝2· 3n－1＋(－1)nln(2· 3n－1)
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考点一 例1
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分组转化求和法
等比数列{an}中，a1，a2，a3 分别是下表第一、二、三行
中的某一个数，且 a1，a2，a3 中的任何两个数不在下表的同 一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 2 4 8 10 14 18
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(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前n项 和Sn.
① ②
4Rn＝42＋43＋„＋ 4n－1 ＋ 4n
①－②得： n－1 3 1 1 1 4Rn＝4＋42＋„＋4n－1－ 4n
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1 1 1 － － n 1 4 1 4 n－1 1 n－ 1 ＝ － n ＝ 1－4n－1－ n 1 4 3 4 1－ 4
① ②
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(2)由题意知，Tn＝λ－
∴当 n≥2 时，
n－1 n－2 bn＝Tn－Tn－1＝λ－ n－1－λ－ n－2 ＝ n－1 . 2 2 2
2
n－1，
n
n
本 n－1 * 讲 ∴cn＝b2n＝ n－1 (n∈N )． 4 栏 n－1 1 2 目 ∴Rn＝c1＋c2＋„＋cn－1＋cn＝0＋ ＋ 2＋„＋ n－1 4 4 4 开 关 1 n－2 n－1 1 2
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1 2 两式相减得 2an＝nan＋1－(n－1)an－ (3n －3n＋1)－(2n－1) 3 2 － ， 3
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整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)， an＋1 an a2 a1 即 － n ＝1，又 2 － 1 ＝1， n＋1
a1 an 故数列 n 是首项为 1 ＝1，公差为1的等差数列，
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数列求和的方法：(1)一般地，数列求和应从通项 入手，若无通项，就先求通项，然后通过对通项变形，转化
本 讲 栏 目 开 关
为与特殊数列有关或具备适用某种特殊方法的形式，从而选 择合适的方法求和得解．(2)已知数列前n项和Sn或者前n项和 Sn与通项公式an的关系式，求通项通常利用an＝ S1n＝1 .已知数列递推式求通项，主要掌握“先猜 Sn－Sn－1n≥2 后证法”“化归法”“累加(乘)法”等．
主干知识梳理
1．数列求和的方法技巧
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(1)分组转化法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列 通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的 数列，即先分别求和，然后再合并． (2)错位相减法 这是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种 方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和，其中{an}，{bn}分 别是等差数列和等比数列．
an 所以 n ＝1＋(n－1)×1＝n，所以 an＝n2， 所以数列{an}的通项公式为 an＝n2，n∈N*.
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1 1 1 1 1 1 1 1 (3)证明 ＋ ＋ ＋„＋a ＝1＋ ＋ 2＋ 2＋„＋ 2 a1 a2 a3 4 3 4 n n 1 1 1 1 <1＋ ＋ ＋ ＋„＋ 4 2×3 3×4 nn－1
②
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考点三 裂项相消求和法 2Sn 例3 (2013· 广东)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1， n 1 2 2 ＝an＋1－ n －n－ ，n∈N*. 3 3
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(1)求a2的值； (2)求数列{an}的通项公式； 1 1 1 7 (3)证明：对一切正整数n，有 ＋ ＋„＋a < . a1 a2 n 4 1 2 (1)解 2S1＝a2－3－1－3，又 S1＝a1＝1，所以 a2＝4. 1 3 2 2 (2)解 当 n≥2 时，2Sn＝nan＋1－3n －n －3n， 1 2 3 2 2Sn－1＝(n－1)an－3(n－1) －(n－1) －3(n－1)，
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1－3n n 当n为偶数时，Sn＝2× ＋ ln 3 1－3 2 n n ＝3 ＋2ln 3－1； n－1 1－3n 当n为奇数时，Sn＝2× －(ln 2－ln 3)＋ － n ln 3 2 1－3 n－1 n ＝3 － 2 ln 3－ln 2－1. n n n为偶数， 3 ＋2ln 3－1， 综上所述，Sn＝ 3n－n－1ln 3－ln 2－1， n为奇数. 2
再验证是否可以合并为一个公式．
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(2013· 湖南)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan 1 － n，n∈N*，则： 2 (1)a3＝________；
本 讲 解析 ∵a ＝S －S ＝(－1)na － 1 －(－1)n－1a ＋ 1 ， n n n－1 n n－1 栏 2n 2n－1 目 1 开 n n－1 关 ∴an＝(－1) an－(－1) an－1＋2n.
而a1＝2，符合上式， 所以数列{an}的通项公式为 an＝22n－1.
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(2)由 bn＝nan＝n· 22n－1 知 Sn＝1· 2＋2· 23＋3· 25＋„＋n· 22n－1.
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①
从而 22· Sn＝1· 23＋2· 25＋3· 27＋„＋n· 22n＋1. ①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋„＋22n－1－n· 22n＋1， 1 ＋ 即 Sn＝ [(3n－1)22n 1＋2] ． 9
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主干知识梳理
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数 时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3)混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的
本 讲 栏 目 开 关
模型． (4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增 加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我 们称该模型为生长模型．如分期付款问题，树木的生长与砍 伐问题等． (5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项 an－1(或前n项)间的递推关系式，我们可以用递推数列的知识 来解决问题.
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在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思 想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，
本 在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列， 哪些项构成等比数 讲 栏 列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的 目 开 各项是正负交替的，所以一般需要对项数 n 进行讨论，最后 关
＝2· 3n 1＋(－1)n[ ln 2＋(n－1)ln 3]
－
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＝2· 3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3， 所以Sn＝2(1＋3＋„＋3n－1)＋[ －1＋1－1＋…＋(－1)n] · (ln 2－ ln 3)＋[ －1＋2－3＋…＋(－1)nn] ln 3.
1 1 1 1 1 1 1 1 ＝2＋23＋„＋299－2＋22＋„＋2100 ＝32100－1.
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答案
1 (1)－16
1 1 (2)32100－1
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考点二 例2 错位相减求和法
(2013· 山东)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， 且 S4＝4S2，
a2n＝2an＋1.
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(1)求数列{an}的通项公式； an＋1 (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn，且 Tn＋ n ＝λ(λ 为常 2 数)．令 cn＝b2n，n∈N*，求数列{cn}的前 n 项和 Rn.
解 (1)设公差为 d，令 n＝1，
则 a2＝2a1＋1，a1＝d－1， 又S4＝4S2，即2a1＝d， 由①②得：a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1(n∈N*)．
主干知识梳理
常见的拆项公式： 1 1 1 ① ＝ － ； nn＋1 n n＋1 1 11 1 ② ＝ ( － )； nn＋k k n n＋k 1 1 1 1 ③ ＝ ( － )； 2 2n－12n＋1 2n－1 2n＋1 1 1 ④ ＝k( n＋k－ n)． n＋ n＋k 2．数列应用题的模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该 模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．