数学文化与数学教学(汪晓勤)教学提纲
(高二语文教案)《数学与文化》教案设计-教学教案
数学与文化教案设计－教学教案--------------------------------------------------------------------------------【教学目的】1.概括文中所述数学文化的特点，把握提炼文章要点的方法。
2.领悟对数学的高度评价，以及从文化兴衰、民族兴亡的高度生疏数学的思想。
3.提高同学对数学文化的生疏，培育同学树立正确的科学观。
【教学重难点】1.体会文章语言的精确性，生疏数学文化的特点。
2.揣摩文中较难理解的句子，分析并理解其含义。
3.把握并学会运用提要钩玄的阅读方法。
【教学设想】教学方法1.整体把握，理清思路。
从解决文中疑难语句入手，逐层深化地分析文章。
2.同学自读，归纳阅读中发觉的问题，集中争辩解决。
教学时数两课时【教学步骤】方案一第一课时一、导语设计2021年8月，世界数学家大会在我国召开。
这标志着我国在数学领域的争辩已经跨入世界先进行列。
然而作为文化组成局部的数学，你又了解多少呢罗素在100年前说了一句经常被人引用的俏皮话：我们不知道数学争辩的是什么，也不知道争辩的结果是真是假；20世纪最宏大的数学家之一外尔给数学下定义说，“数学是无穷的科学〞。
这些都让人们渴望了解数学，今日我们就学习数学与文化一课，来真正生疏数学这门无穷的科学。
二、解题课文节选自数学与文化一书的绪言，是全书的总论。
课文论述了数学作为“现代科学技术的语言和工具〞的重要地位，分析了数学能够影响人类生活的几个特点，高度评价了数学在促进人类思想解放、使人类摆脱宗教迷信等方面的历史功绩，认为它最根本的特征是“表达了一种探究精神〞，并把数学提高到文化盛衰、民族兴亡的高度来生疏。
齐民友是当代有名数学家、博士生导师，曾任武汉大长。
三、研习课文1.整体把握，理清思路。
〔1〕默读课文，画出文中消灭的成语以及直接说明观点的句子。
明确：成语：泽被天下、风调雨顺、淋漓尽致。
说明观点的句子：a.首先，它追求一种完全确定、完全牢靠的学问。
第四届新青年数学教师论坛 汪晓勤：HPM从实践到理论
分割方案之二
分割方案之三
案例2 三角形中位线定理
• 刘徽和欧几 里得的转化 思想
重构式
复制式
顺应式
• 古巴比伦土 地分割问题
数学史的运用方式
重构式
复制式
• 原原本本运 用历史上的 数学问题、 思想方法或 其他素材
顺应式
附加式 • 数学家的故 事等 • 改编历史上 的问题或思 想方法
案例3 数系的扩充与复数的引入
9 8 7 6 5 10 1 2 3 4
案例1 数列的概念
知识拓展：数列与谷神星的发现
行 星 Bode 距离 4 7 10 16 28 52 100 196 388 772 实际距离（单位: 天文单位/10） 3.9 7.2 10.0 15.2 27.6 （G. Piazzi，1801年） 52.0 95.3 192（Herschel，1781年） 301 396
案例4 三角形内角和
等腰三角形拼图方案
案例4 三角形内角和
不等边三角形拼图方案
案例4 三角形内角和
案例4 三角形内角和
三角形内角和的说理 [教师让学生在图中锁定某一 个三角形，通过添加辅助线 来说理。按位置，六个三角 形分别称为上左、上中、上 右、下左、下中和下右三角 形。各小组经过讨论之后， 产生了多种方案。]
HPM：从实践到理论
汪晓勤 华东师范教师教育学院 2017-07-29
第四届全国新青年数学教师发展论坛 暨数学史与数学教育（HPM）暑期学校
HPM的先驱者
F·克莱因 (1849-1925)
卡约黎 (1859-1930)
史密斯 (1860-1944)
波利亚 (1887-1985)
弗赖登塔尔 (1905-1990)
基于数学史的数学文化课例研究
ʌ课堂研究·特设专栏：ＨＰＭ课例研究（之二十四）ɔ编者按：随着新一轮数学课程改革的发展，数学文化逐渐融入数学教育教学，日益受到师生的关注㊂为推动基于数学史的数学文化课例教学的实证研究，２０２１年，本刊将继续特邀华东师范大学汪晓勤教授及其ＨＰＭ研究团队分享基础教育阶段数学文化课例教学的实证研究，旨在让大家更好地认识数学本质㊁洞见数学价值㊁品味数学文化，促进教师专业发展，落实数学学科立德树人的教育任务㊂基于数学史的数学文化课例研究余庆纯１，汪晓勤２（１ 华东师范大学数学科学学院，上海㊀２００２４１；２ 华东师范大学教师教育学院，上海㊀２０００６２）ʌ摘㊀要ɔ基于数学史的数学文化课例研究聚焦数学的知识源流㊁学科联系㊁社会角色㊁审美娱乐与多元文化五个维度，彰显数学四大价值㊂数学文化课例研究强调数学史内容㊁实证方法与技术融合㊂ 互联网＋教育 时代，数学文化课例研究要不断深挖数学史素材，扎根实证教学，融合信息技术，促进文化育师，落实立德树人的根本任务㊂ʌ关键词ɔ数学史；数学文化；课例研究；实证方法；技术融合ʌ作者简介ɔ余庆纯，华东师范大学数学科学学院在读博士研究生，主要从事数学史与数学教育研究；汪晓勤，华东师范大学教师教育学院教授㊁博士生导师，主要从事数学史与数学教育研究㊂ʌ基金项目ɔ上海高校 立德树人 人文社会科学重点研究基地之数学教育教学研究基地研究项目 数学课程与教学中落实立德树人根本任务的研究（Ａ８）什么是数学文化？有研究者基于国内数学文化研究，分别从数学学科㊁文化㊁数学共同体㊁数学活动等多元角度阐释数学文化的内涵，即数学文化是指一群人（数学家），当他们从事数学活动时，遵循共同的数学规则，经过长期的㊁历史的沉淀，形成了关于数学知识㊁精神㊁思想方法㊁思维方式等的共同约定的总和［１］㊂‘普通高中数学课程标准（２０１７年版）“（以下简称‘标准“）提出，数学文化不仅是指数学的思想㊁精神㊁语言㊁方法㊁观点以及它们的形成和发展，还包括数学在人类生活㊁科学技术㊁社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动［２］㊂其中，数学史是数学文化的有机组成部分，不仅展现了数学概念公式㊁定理命题㊁问题解决㊁思想方法等的演进过程，而且展现了多元文化背景下数学的学科联系㊁社会角色与人文活动㊂课程改革以来，我国全面深化新时代教师队伍改革，强调教师要树立正确的历史观㊁民族观㊁国家观㊁文化观，开展中小学教师活动，促进教师终身学习与专业发展［３］㊂因此，如何在数学课程中提升数学教师的专业发展，促进数学文化的教学实践，已然成为新时代数学教师队伍改革普遍关注的热点问题之一㊂有研究表明，学科教学是教师专业发展的核心，课例研究是教师专业发展的有效抓手㊂早在２１世纪初，顾泠沅教授便开展了基于数学学科的课例教学研究，依据行动研究的实证范式，总结数学教师教学特征与实践智慧，推进新世纪数学教师队伍的专业发展［４］㊂ＨＰＭ（数学史与数学教育之间的关系）是数学教育的重要研究领域之一，其以喜闻乐见的形式呈现数学知识的来龙去脉，在科学严谨的数学逻辑体系中渗透丰富多彩的数学文化㊂从２１世纪初至今，在ＨＰＭ与教师专业发展研究中，课例研究不仅提升了数学教师个体的专业知识㊁教学能力与人文情怀，而且帮助一线数学教师㊁教研员与高校数学教育研究者共同组建教师专业学习共同体（ｐｒｏ⁃ｆｅｓｓｉｏｎａｌｌｅａｒｎｉｎｇｃｏｍｍｕｎｉｔｙ，简称ＰＬＣ）㊂其中，在课例教学环节里，已有实证研究表明，教育取向的数学史在不同程度上彰显知识之谐㊁方法之美㊁探究之乐㊁能力之助㊁文化之魅㊁德育之效等教育价值［５］㊂然而，在ＨＰＭ教学实践中依旧存在 高评价㊁低运用 的现象㊂为了突破这一教学实践困境，教师专业学习共同体基于‘标准“中数学文化的概念内涵与数学四类价值，提出基于数学史的数学文化理论框架［６－７］，借鉴该理论框架，在基础教育阶段开展一系列的数学文化课例实践，旨在推动数学文化走进课堂㊁助教学㊁促成长㊂鉴于此，本研究主要阐述基于数学史的数学文化内涵与理论框架，介绍基于数学史的数学文化课例研究的基本要素㊁实证方法㊁技术融合等内容，为促进文化育师，落实立德树人的根本任务提供理论支撑与实践参考㊂一㊁数学文化内涵扎根于西方学者总结的数学史教育价值，结合‘标准“提出的课程目标㊁教学建议等内容，构建基于数学史的数学文化的概念内涵与理论框架，将其分成知识源流㊁学科联系㊁社会角色㊁审美娱乐与多元文化五个维度（见表１），指向数学的科学价值㊁应用价值㊁文化价值㊁审美价值四类价值（见表２），进一步基于德尔菲法㊁文本分析法对该理论框架进行修正与论证，且以初中和高中ＨＰＭ课例实证该理论框架的普适性（如图１）［８］㊂表１㊀基于数学史的数学文化内涵的五个维度五个维度具体内涵知识源流在某个知识点的历史演进过程中，涉及的人物与事件㊁概念与术语㊁问题与求解㊁命题与证明等学科联系数学与其他学科之间的密切联系社会角色数学在人类生活㊁科学技术㊁社会发展中的价值㊁贡献与意义审美娱乐数学美（包括对称美㊁奇异美㊁简洁美㊁统一美等）与趣味数学，展现出人类对美学标准㊁智力好奇㊁趣味娱乐的追求多元文化不同时期㊁不同地域的数学家在同一数学课题上的贡献，以及与数学相关的人文活动表２㊀数学的四类价值四类价值价值内涵科学价值数学是自然科学的基础，不仅是运算和推理的工具，而且是表达和交流的语言，帮助人们理解和表达现实世界中事物的本质㊁关系与规律应用价值数学与人类社会生活紧密关联，数学应用渗透到现代社会及人们日常生活的各个方面；数学助力现代科学技术的发展，推动社会生产力的发展，为社会创造价值文化价值数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分㊂数学相关的人文活动展现科学主义与人文主义的丰富底蕴，彰显数学的人文内涵审美价值数学能陶冶情操，让人从感性走向理性，提升审美情趣和审美能力；数学改善思维品质，在形象思维的基础上增强理性思维能力图１㊀基于数学史的数学文化理论框架随着新一轮基础教育改革的不断推进，基于数学史的数学文化理论逐渐走进一线教学实践，分别在基础教育阶段开展实证性的课例研究，旨在探寻数学学科文化育人的本质内涵，更加深刻地揭示数学文化的核心教育价值，促进数学学科立德树人的有效落实㊂二㊁数学文化课例研究（一）研究内容基于数学史的数学文化课例研究，是指教师专业学习共同体（ＰＬＣ）围绕某一特定的数学概念术语㊁公式定理㊁问题解决等内容，借助线上线下融合式研修的形式，携手开展主题课例的系列研修活动，如资料习得㊁教学设计㊁交流研讨㊁实践教学㊁反馈评价㊁反思整理㊁课例记录等㊂基于数学史的数学文化课例研究，其主要流程有五个基本环节（如图２）㊂图２㊀基于数学史的数学文化课例研究流程（１）确定课例主题㊂数学文化课例研究强调数学史内容，聚焦某一特定的数学概念术语㊁公式定理㊁问题解决等内容，进行教育取向的数学史料研究，且基于数学史的数学文化五个维度展开分析㊂（２）规划教学设计㊂聚焦该主题的数学文化㊁课标要求㊁教材比较㊁教学实况㊁学情基础等相关内容，综合考虑 历史发生序 数理逻辑序 心理认知序 三个序列的有机统一，经历数学文化课例主题的教学设计㊁共同研讨㊁优化设计等过程㊂现以 锐角三角比的意义 课例主题为例，进行阐述说明㊂①知识源流：借鉴２０世纪上㊁中叶英美教科书中的锐角三角函数的引入方式，选择性地进行教学重构，以校园生活为背景，引导学生基于不同实际情境，探究系列 不可测问题 的解决方法，在分析问题㊁解决问题的过程中掌握锐角三角比的概念定义，学会根据直角三角形中两边的长求解锐角三角比的值，揭示学习锐角三角比的重要性㊁必要性，为学生在高中学习三角函数奠定基础㊂②学科联系：在跨学科联系中，锐角三角比是天文学㊁航海学的重要内容之一㊂③社会角色： 日晷 作为古代计时工具，凝结着锐角三角比在社会生活中的实际运用，展现出数学源于生活㊁服务于生活的重要角色㊂④审美娱乐：正切和余切等锐角三角比有着密切关系，体现了数学的简洁美㊁统一美㊂⑤多元文化：基于２０世纪早期英美教科书，将数学家们探索 锐角三角比的意义 的过程转化为校园生活中 不可测问题 的活动探究㊂通过古今对照，表现出不同时期㊁不同文化下数学家们对 锐角三角比 研究的贡献，展现多元的数学文化㊂（３）实施课堂教研㊂开展数学文化课例教学与研究，要聚焦课堂教学的自然生成㊁数理人文的和谐统一；同时要注意收集学生反馈㊁同行评议等实证数据㊂（４）反思课例教学㊂反思主题课例教学中数学史文化素材的运用与教育价值的达成㊁教师自身专业知能的发展㊁教师专业学习共同体的合作等，有助于进一步优化课例㊂（５）撰写课例记录㊂基于数学史的数学文化课例研究流程，记录课例研究过程的实践智慧㊁心得体会与专业成长，进一步聚焦数学文化课例的教学与评价，为今后开展主题的数学文化课例提供参考㊂（二）研究主体数学文化课例研究的主体是由一线数学教师㊁教研员与高校ＨＰＭ研究者共同组成，形成教师专业学习共同体（ＰＬＣ）㊂近年来，其从个体化学习转向合作式学习，聚焦特定的课例主题，开展自主学习＋合作学习的行动研究，在设计 教学 观察 反思中螺旋式地优化数学文化课例研究㊂教师学习（ｔｅａｃｈｅｒｌｅａｒｎｉｎｇ）是教师专业发展的必经之路［９］，教师主体角色从教学者向学习者转变㊂对于数学文化课例研究的教师专业学习共同体来说，需要树立共享学习的价值观，充分发挥各自的专业优势，如一线数学教师㊁教研员扎根于基础教育实践，提供本土化的教学智慧；高校ＨＰＭ研究者立足数学文化课例研究等教育理论，聚焦国际化的教育洞见㊂这将打通基础教育阶段与高等教育阶段之间的教育鸿沟，形成 中小学 大学 合作机制（ｓｃｈｏｏｌａｎｄｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙｐａｒｔｎｅｒｓｈｉｐｍｅｃｈａｎｉｓｍ，简称ＳＵＰＭ）㊂（三）研究形式数学文化课例研究主要有以下四种形式㊂（１）专家引导㊂采用专家讲座的方式，自上而下对数学史㊁数学文化㊁课例研究等相关内容进行专业性的引导㊂（２）自主学习㊂学习基于数学史的数学文化等ＨＰＭ相关理论，阅读相关主题的数学史素材，分析数学文化内涵不同维度的分布情况，比较不同版本的课标㊁教材之间的异同等㊂（３）合作学习㊂聚焦某一课例主题，以线上线下融合的方式进行小组合作学习，开展基于数学史的数学文化课例主题汇报㊂同时，教师专业学习共同体基于理论或实践视角，对该课例汇报内容进行反馈与评价㊂（４）实践应用㊂融合数学文化素材，开展课例教学，收集学生反馈㊁同行评价等数据，不断优化数学文化课例实践㊂（四）实证方法一般而言，教育研究分为思辨研究和实证研究两类㊂思辨研究主要解决 应然 问题，注重概念㊁理论与观点等内容的构建，通过逻辑推理来回答概念性㊁规范性的问题，而实证研究主要关注 实然 问题，基于收集与分析数据信息得出研究结果㊂实证研究又分为质性研究㊁量化研究与混合研究㊂长期以来，在传统的思辨研究范式主导下，理论研究常常具有较大的争议性㊁不确定性㊂近年来，随着对科学化㊁规范化研究方法的不断探索，数学教育研究逐渐摆脱思辨研究的束缚，开展了实证研究新范式㊂在数学文化课例研究中，教师专业学习共同体主要基于行动研究范式，开展课例设计 教学 观察 反思，这与２１世纪初顾泠沅教授开展的课例研究有相似之处㊂在数学文化课例研究的不同环节，呈现出不同的教育实证研究方法，其中较具有代表性的为以下几个方面㊂（１）在教育取向的数学史研究中，高校研究者往往采用历史研究法，按照历史演进的时间顺序㊁数学文化内涵的分类维度等，对不同主题的数学史料进行解析㊂（２）在数学文化课例教学中，教师经常采用问卷调查㊁深度访谈㊁视频分析等方法，对学生反馈㊁同行评议㊁教师反思等方面的实证数据进行收集，基于理论与实践的角度，共同评价数学文化课例的教学质量㊂其中，问卷调查聚焦课例教学前后学生认知水平的变化情况㊁数学文化的感知异同与情感信念的转变发展；深度访谈关注学生在教学前后转变的深层动因；视频分析常运用于课例教学，通过分析教学片段中的师生互动㊁生生互动，深度解析数学文化融入教学的分布状况与价值彰显，助力教师改进教学，促进其专业化发展㊂（五）技术融合在 互联网＋教育 时代，技术在数学文化课例的研究过程中扮演着重要的角色，线上线下融合式的课例研究成为主流㊂基于在线网络平台开展数学文化课例研究，常采用线上形式进行资料共享㊁主题汇报㊁交流研讨，线下形式进行自主学习㊁教学设计㊁实践教学㊁观察反思等，助力教师专业学习共同体的多元发展㊂其中，线上课例研讨可借助腾讯会议㊁钉钉㊁Ｃｌａｓｓｉｎ㊁微信等在线网络平台搭建网络学习社区，运用腾讯文档㊁思维导图等技术工具呈现教学设计，开展在线编辑；在课例教学中，教师可结合几何画板㊁ＧｅｏＧｅｂｒａ㊁希沃白板㊁流转笔记等信息化工具，再现数学家探寻概念公式㊁命题定理等过程，揭示化曲为直㊁以直代曲㊁数形结合等方法的本质；基于ＰＰＴ㊁数位板㊁白板等演示工具制作的ＨＰＭ微视频㊁微课，生动地展示数学知识的来龙去脉㊁数学思想的古今传承，彰显不同时期㊁不同国家数学文化的历史性㊁人文性㊂三㊁结语基于数学史的数学文化课例研究聚焦数学的知识源流㊁学科联系㊁社会角色㊁审美娱乐与多元文化五个维度，彰显数学四大价值㊂数学文化课例研究强调数学史内容㊁实证方法与技术融合㊂在 互联网＋教育 时代，为进一步提升数学文化课例研究的数理人文，教师专业学习共同体需做好以下三个方面的工作㊂（１）深挖数学史素材㊂数学文化课例扎根于数学史研究，为数学教学提供丰富的教学素材与思想养料，然而在教学实证研究中，笔者发现数学文化内涵的五个维度运用却不均衡，因此教师专业学习共同体需要进一步深挖数学史素材，梳理数学知识的来龙去脉与文化维度的分布情况，寻找数学与其他学科之间的密切联系，发现数学在社会生活中的重要运用，品味数学奇趣之美，揭示东西方数学文化的互融互通㊂（２）扎根实证教学㊂基于数学史的数学文化课例研究，承载了发展学生数学学科核心素养的理性知能与人文情怀，支撑了教师专业学习共同体的合作学习与专业发展㊂可见，数学文化课例教学不仅要聚焦教学实践，而且要注重教育实证方法㊂基于问卷调查㊁深度访谈㊁视频分析等实证方法，还原数学文化课堂的自然生成，揭示数学的教育价值㊂（３）融合信息技术㊂信息技术为数学文化课例研究插上腾飞的翅膀，优化教学内容，提高教学效率，提升教学水平，推动信息化课例研修的历史性嬗变㊂数学教师借助信息技术开展基于数学文化的章节起始课㊁基于问题解决的探究重构课㊁基于历史命题的单元复习课，巧妙地融入翻转课堂㊁同步课堂㊁云课堂等多元教学形式，借助电子学习单㊁流转笔记㊁电子档案袋等形式，开展以学生为本的数学阅读㊁数学写作等活动，助力 互联网＋教育 时代数学文化课例的实践㊂参考文献：［１］杨豫晖，吴姣，宋乃庆．中国数学文化研究述评［Ｊ］．数学教育学报，２０１５（１）：８７－９０．［２］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（２０１７年版）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１８．［３］张侨平，陈敏．课例研究的缘起和流变：回顾与前瞻［Ｊ］．全球教育展望，２０２０（８）：７５－９１．［４］顾泠沅，王洁．教师在教育行动中成长：以课例为载体的教师教育模式研究［Ｊ］．全球教育展望，２００３（１）：４４－４９．［５］ＷＡＮＧＸＱ，ＷＡＮＧＫ．Ａｃａｔｅｇｏｒｉｚａｔｉｏｎｍｏｄｅｌｆｏｒｅｄｕｃａ⁃ｔｉｏｎａｌｖａｌｕｅｓｏｆｈｉｓｔｏｒｙｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ：ａｎｅｍｐｉｒｉｃａｌｓｔｕｄｙ［Ｊ］．Ｓｃｉ⁃ｅｎｃｅ＆Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，２０１７（２６）：１０２９－１０５２．［６］汪晓勤．基于数学史的数学文化内涵课例分析［Ｊ］．上海课程教学研究，２０１９（２）：３７－４３．［７］余庆纯，汪晓勤．基于数学史的数学文化内涵实证研究［Ｊ］．数学教育学报，２０２０（３）：６８－７４．［８］林庄燕，汪晓勤．初中ＨＰＭ课例中的数学文化内涵分析［Ｊ］．教育研究与评论（中学教育教学），２０１９（１）：５７－６３．［９］桑国元．教师作为学习者：教师学习研究的进展与趋势［Ｊ］．首都师范大学学报（社会科学版），２０１７（１）：１４２－１４８．（责任编辑：陆顺演）（上接第４页）本技能和基础性核心素养的落实㊂在此前提下，教学还要关注学生学习的差异性㊂不同区域㊁不同家庭背景㊁不同学生的个性特征，对教学目标的设立㊁教学内容的选择㊁教学方法的运用㊁教学评价的指标都有所不同㊂当然，教学的差异应该统一在一个课程标准㊁一本语文教材中，即无论何时何地的教学，都应该努力实现课程标准和语文教材所设立的基准，以基准为轴心并在基准上，向左右拓展㊁向纵深发展，形成丰富多彩的差异化㊁风格化教学㊂（三）高标期求与底线坚守语文教材为学生的语文知识学习和能力获得提供了基本资源，也提出了基本的达标要求㊂但是，作为 语文要素 和 人文主题 双线并进的语文教材，没有明确的人文达标的标准和具体要求，这一问题不仅表现在教材中，也表现在‘课程标准（２０１１）“中，或许正是‘课程标准（２０１１）“对人文素养语焉不详以致语文教材无从做实做细㊂这就给语文教育中的人文教育带来了难题㊂在语文教学中，人文教育时常 天马行空 ，不仅内容上空疏高远而不切实际，而且在目标与程度上也混乱模糊㊂有些语文教学热衷于在人文主题教育上往高处飘㊁往大处行㊁往空里谈㊂况且，语文教材中涉及人文教育的内容，一般是宏大叙事㊁英雄典范㊁道德楷模㊁君子圣贤，有些教学更是喜欢对此拔高渲染，要求学生与之看齐，自以为这样做可以收到感动㊁震动的效果㊂殊不知，这样过高过大的道德教育不仅没有实效，反而适得其反，会导致学生道德的低能感和挫败感㊂因为，我们的孩子往往终归平凡㊂事实上，基础教育阶段就是平凡的教学教平凡的人㊂语文教学中关于人文教育的着力点主要是底线教育㊁准则教育，引导学生坚守道德底线，在日常生活中恪守准则，这便是基础教育基础性的人文要义，也是基础教育阶段人文教育的重心所在㊂如何处理好人文理想教育与道德底线教育关系，是当代语文教育迫切需要解决的重大课题㊂参考文献：［１］叶圣陶．叶圣陶语文教育论集［Ｍ］．北京：教育科学出版社，２０１５．（责任编辑：罗小荧）。
数学文化MathematicalCulture
II
c-b
a
c-a
刘徽和赵爽的证明
I + II = III ⇒ (a + b − c)2 = 2(c − a)(c − b)
6.1 Ancient Chinese Mathematics: Geometry
3.4.4 勾股容方与容圆
《九章算术》勾股章：“今
b
有勾五步，股十二步，问勾
中容方几何。”
d = ab a+b
C1 ' C1
B 1' B1
中国堤积公式
V=
1 6
( 2h1
+
h2
)
a1
+ 2
b1
+
( 2h2
+
h1 )
a2
+ 2
b2
l
6.1 Ancient Chinese Mathematics: Geometry
a2
l a1
h
羡除
a3
V羡除＝
1 6
(a1
+
a2
+
a3
)bh
6.1 Ancient Chinese Mathematics: Geometry
数学文化 Mathematical Culture
汪晓勤 华东师范大学数学系
第6讲 大哉言数 2013-11-25
Lecture 6 Mathematics in history
6.1 几何 6.2 数论
6.1 Ancient Chinese Mathematics: Geometry
● 三角形面积公式
6.1 Ancient Chinese Mathematics: Geometry
华东师范大学--文化视角下的高等数学教学
法告诉了洛必达。
案例 2 是谁解决了0 / 0 ?
• 1696年，洛必达出版了世界上
第一本微积分教材——《无穷
小分析》，书中有一章专门讲
述0/0型的解法，这个解法因此
被称为“洛必达法则”。
• 1704年洛必达去世后，伯努利
公开声称0/0型的解法是他的发
现。
案例3 “巨大”之魂何处寻
区区一个有限数， 无穷级数囊中收。 “巨大”之魂何处寻？
维特罗（ca. 1270）
波兰物理学家、自然哲
学家和数学家维特罗在阿
尔· 海森的基础上进一步
研究折射现象，但他仍然 Witelo (ca.1230- ca.1300)
Cauchy 判别法之三：
若un 0, un , 则级数 u0 2u1 4u3 8u7 与u0 u1 un 同敛散。
案例3 “巨大”之魂何处寻
Cauchy 判别法之四：
ln un r， n 1 ln n 则当r 1时，级数 若un 0, lim u1 u2 u1 u2 un un 收敛； 发散。 r 1时，级数
365 12 4 2 1
连续利息
2.714567482
8760
雅各· 伯努利（Jacob Bernoulli, 1654-1705）
1 1 8760
2.718126691
1 lim 1 e n n
n
案例 4 东晴西雨
案例 4 东晴西雨
文化视角下的高等数学教学
附加式 复制式 顺应式 重构式
案例5 叶形线的诞生
y y=f ( x ) Q P f(x ) e A O B C Q' R f ( x+e ) x T
从历史到课堂—汪晓勤教授讲座(6)
案例1 三角形内角和
小组合作，探究一般三角形的内角和
案例1 三角形内角和
等腰三角形拼图方案
32
13
1
2 31
2
2
1 32
1
31
23
2
2
1
3
1
3
13
22
31
3
1
3
1
2
2
案例1 三角形内角和
不等边三角形拼图方案
13
21
2
31 2
3
HPM与 教师专
业发展
教学实 践与案 例开发
引言
教师专业发展
学科内容知识
教学内容知识
一信知 般念内 识容
（CCK）
水平内容 知识
（HCK）
内容与学生
知识（知 KC识S）
专门内容 知识
（SCK）
内容与教学 知识
（KCT）
能力
内容与课程 知识
（KCC）
教学取向的数学知识（MKT）的构成
案例1 三角形内角和
3
213
2
12
31
3
1
3
2
2
1
21
33
2
12
1
2
3
1
3
案例1 三角形内角和
案例1 三角形内角和
三角形内角和的说理
在拼图方案1中，锁定某个三角形，通过添加辅助 线来说理。
13
21
2
31 2
3
3
213
2
12
31
案例1 三角形内角和
《数学文化透视》教学大纲
《数学文化透视》教学大纲（全校公共选修课，通识课程）主讲人：数学系 林 磊（汪晓勤）一、说明1.本课程的目的、任务本课程的目的是让学生了解数学在人类文明发展过程中的作用、数学与现实世界的联系、数学与人文科学及社会科学、艺术等领域的联系，从而帮助学生逐步形成正确的数学观。
2.本课程的教学要求理解数学的价值，欣赏数学的美，了解数学与其他知识领域的联系。
教学重点：数学成就、数学历史、数学与自然、数学与艺术。
本课程的教学以教师教授为主。
3.参考书目（1）教材：目前国内没有合适的教材，只能自编讲义。
（2）部分参考书目：[1] 张楚廷，数学文化[M]，北京：高等教育出版社，2000年7月[2] 李文林，数学史教程[M]，北京：高等教育出版社，施普林格出版社，2000年8月[3] 张顺燕，数学的源与流[M]，北京：高等教育出版社，2000年9月[4] 张奠宙，20世纪数学经纬[M]，上海：华东师范大学出版社，2002年3月[5] 西蒙辛格著, 薛密译, 费马大定理一个困惑了世间智者358年的谜[M], 上海：上海译文出版社, 1998年第一讲引言（无处不在的数学）（一）本讲的教学目的与要求简单了解数学在各个学科以及日常生活中的应用。
（二）教学内容第一节本课程讲授的主要内容介绍第二节体育、计算机、医学中的数学问题第三节经济学中的数学问题第四节《开心辞典》中的数学问题第五节社会学、心理学与数学第六节校验数的应用第二讲数学与人类文明（一）本讲的教学目的与要求了解数学在人类文明的发展过程中的贡献以及数学学科的特点、发展史。
（二）教学内容第一节数学的内容第二节数学的特点第三节数学对人类文明的贡献第四节数学发展简史第五节现代数学发展的新趋势第六节计算机对数学发展的影响第七节有趣的中国现象第三讲从欧拉公式谈起（一）本讲的教学目的与要求了解多面体的欧拉公式以及它的应用。
（二）教学内容第一节多面体的欧拉公式第二节欧拉公式的大致由来第三节正多面体的分类第四节欧拉公式的适用范围第五节欧拉公式的证明第六节其他类型的多面体第七节欧拉公式在高维的推广第八节高维的正多面体第四讲从《几何原本》谈起（一）本讲的教学目的与要求了解欧几里德的《几何原本》及其在中国的引入过程。
《数学与文化》教学设计
《数学与文化》教学设计《数学与文化》教学设计篇1［导学新概念］高六册第一单元支配的是科技说明文和科技论文的阅读，《数学与文化》是其中的第一篇。
阅读科技说明文和科技论文，需要提要钩玄。
“提要”就是提炼出文章论述的要点，“钩玄”就是探究文章更精微的内涵。
换言之，提要就是概括文章的内容要点，钩玄就是分析的思想观点。
因此，学习本单元，要通过对文章内容的提要钩玄，加深对文章的理解，增加对文章概括分析的力量。
《数学与文化》一文，主要阐述了作为人类文化组成部分的数学的特点，读后可让我们感觉到数学对于人类的乐观作用。
阅读时要把握提示语，提取概括句。
更重要的是对每一个特点作认真的分析，找到数学与文化的关系、数学与人类的关系。
［资料显示屏］北大数学所所长张恭庆院士将数学的作用分为三个层次。
第一个层次，为其他学科供应语言、概念、思想、理论和方法。
自然科学和经济、管理等社会科学，离开了数学，便无从产生和进展。
其次个层次是直接应用于工程技术、生产活动，这类例子是大量的。
第三个层次，是作为一种文化，对全社会的成员起着潜移默化的作用。
一个民族数学修养的凹凸，对这个民族奈拿饔泻艽蟮挠跋臁?nbsp;——《数学——撬起将来的杠杆》数学正越来越广泛地应用到人文科学、社会科学领域。
世界上许多经济学家，经常是先获得了数学博士学位后才讨论经济的。
有人曾用概率统计法讨论《红楼梦》的语言习惯，发觉后四十回与前八十回是很全都的。
说明曹雪芹曾创作了后四十回，至少留下了后四十回的部分手稿。
原苏联曾有人对《悄悄的顿河》一书的真正创提出过疑问。
有人用概率统计法讨论该书的用词习惯，发觉与肖洛霍夫其他著作的习惯是全都的，因而认为此书确是他写的。
——《数学——撬起将来的杠杆》回顾过去的一个世纪，数学学科的巨大进展，比以往任何时代都更坚固地确定了它作为整个科学技术的基础的地位。
数学正突破传统的应用范围向几乎全部的人类学问领域渗透，并越来越直接地为人类物质生产和日常生活作出贡献。
数学传统文化融入初中数学教学的研究
教改研究232023年12月·242023/24（总第622期）数学传统文化融入初中数学教学的研究冯亮戴阔斌【摘要】将数学传统文化融入初中数学教学有着重要的意义。
教师可深刻挖掘教材中的数学文化元素，综合资源拓展数学文化内涵，适时从各个教学环节中融入数学传统文化，遵循文化融入有效性的原则，在活动过程中提高学生的文化素养。
通过探索多样化的文化融入途径，将数学传统文化充分融入数学教学中发挥其育人价值。
【关键词】中华优秀传统文化数学传统文化初中数学【中图分类号】G623.5【文献标识码】A【文章编号】1002-3275（2023）24-23-03冯亮/黄冈师范学院数学与统计学院，从事教育文化、教学论研究；戴阔斌/黄冈师范学院数学与统计学院，副教授，从事数学教学研究（黄冈438000）一、数学传统文化融入初中数学教学的意义教育部印发的《中华优秀传统文化进中小学课程教材指南》（以下简称《指南》）指出：“中华优秀传统文化进中小学课程教材，是强化中华优秀传统文化铸魂育人功能，落实以中华优秀传统文化涵养社会主义核心价值观，实现中华优秀传统文化传承发展系统化、长效化、制度化的重要举措。
”《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调，要落实好立德树人的根本任务，致力于实现义务教育阶段的培养目标，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上能够得到不同的发展。
数学课程是初中课程体系的重要组成部分，将中华优秀传统文化融入初中数学教学中，是弘扬中华优秀传统文化的有效途径，有助于引导学生形成正确的历史观、文化观、民族观，对于教育的长远发展具有重要意义。
《指南》首次对中华优秀传统文化的融入策略进行了顶层设计，关于今后如何有效落实文化教育、培养什么样的人给出了建议。
坚持文化育人，发挥中华优秀传统文化的育人价值，培养学生用科学客观的态度来对待中华优秀传统文化，取其精华，去其糟粕，不仅要传授给学生实用的知识技能，而且要培养学生科学的人生观、价值观，强化学生的民族归属感、自豪感，坚定学生的道路自信、理论自信、制度自信、文化自信，因此中华优秀传统文化融入数学教学对于人才培养具有重要价值。
汪晓勤新课程中的数学史-文档资料152页
正方形数
案例1 从多边形数到棱锥数
古希腊数学家Iamblichus（公元4世纪）在研究 Nicomachus《算术引论》一书时发现
a n 1 2 3 n 1 n n 1 3 2 1 = n2
k
r
n r21n(n1)2n1
r1
r1 k1 r1
r1
6
案例 3 二次幂和公式
吉尔森（R. Levi Ben Gershon, 1288-1344） 《计算者之书》(Maaseh Hoshev)
1 2 n 2 3 n n 1 2 2 2 n 2 1 2 2 2 n 2 n 1 n 1 1 2 n
16807
总数
19607
案例 2 等比数列求和公式
莱因得纸草上的等比数列问题
案例 2 等比数列求和公式
S n a a q a2q an q 1
a q a a a q 2 q a n 2 q
aq Sn1
a qS n an 1 q
Sn
a aqn 1 q
q 1
案例 2 等比数列求和公式
欧几里得《几何原本》（公元前3世纪） 第 9 卷命题 35
a2 a3 an1
a1 a2
an
a2a1a3a2 an1an
a1
a2
an
案例 2 等比数列求和公式
an1a1 a2a1q1
a1a2 an a1
案例1 从多边形数到棱锥数
前四个四棱锥数为
1 1+4
1+4+9
汪晓勤新课程中的数学史共152页
案例 3 二次幂和公式
n2
32 1 12 22
12
3
n
边长分别为 1、2、3、… n 的 n
个正方形面积之和即为二次幂和
案例 3 二次幂和公式
n
n
3
n
2
3
n
12
3
n
吉尔森公式的几何图示：扩缩法
案例 3 二次幂和公式
n
n
r2
nknnr1 rn
r 1
课服务，或为必修课内容之拓展和深入； 科学性：数学史专题的教学内容应符合史实，教学设计应
符合课程标准及有关教学理论； 可操作性：数学史专题的内容应为教师所易于接受，教学
设计应为教师所易于操作。
案例1 从多边形数到棱锥数
形数（figured numbers）理论可以上溯到毕达哥 拉斯（Pythagoras, 569 B.C.～500 B. C.）本人。 用一点（或一个小石子）代表1，两点（或两个 小石子）代表2，三点（或三个小石子）代表3， 等等，毕达哥拉斯学派在世界数学史上首次建 立了数和形之间的联系。早期毕达哥拉斯学派 似乎已经熟悉利用小石子或点来构造三角形数 和正方形数；晚期的毕达哥拉斯学派成员尼可 麦丘（Nicomachus, 60?～120?）以及稍后的泰 恩（Theon, 约2世纪上半叶）则讨论了各种平面 数（包括三角形数、正方形数、长方形数、五 边形数、六边形数等等）和立体数（包括立方 数、棱锥数等等）。
分别令 r =1，2，…，n，将个等式相加即得
n
n
(n1)3n13r3r2
r1
r1
n r21n(n1)2n1
r1
6
案例 3 二次幂和公式
数学史与初中数学教学(汪晓勤)
结论：找不到一个有限小数或无限循环小数表示x。
案例2 实数的概念
• 概念形成
➢ 2 的引入，几何意义 ➢ 根号的历史 问题4：面积为3和5的正方形边长分别为多少？ ➢ 无理数的定义 视频：无理数的历史（无理数的发现；无理数理论 的发展；无理数的辞源）
数学史的教育价值与数学课程目标
数学课程目标
四基
四能
核心素养
情感与信念
知识之谐
方法之美
探究之乐
能力之助
文化之魅
德育之效
数学融入数学教学
背景
选题与准备 确定课题 查阅历史 搜集素材
研讨与设计 教学设计 交流研讨 改进设计
实施与评价 实施教学 学生反馈 同行评议
整理与写作 教学实录 资料分析 撰写课例
HPM教学设计、实施、评价与案例写作
案例2 实数的概念
问题2：已知正方形边长为1，如何求它的对角线呢？ 思考：我们知道，已知正方形的面积，可以求相应的 边长。那么，能否构造以正方形对角线为边长的正方 形呢？
案例2 实数的概念
拼图方案之一
拼图方案之二
案例2 实数的概念
拼图方案之三
案例2 实数的概念
问题3：所得到的正方形的面积为2，其边长为多少呢？
• 无理数和有理数的定义是如何产生的？
背景
HPM：Relationship between History and Pedagogy of Mathematics
ICME-2 ： 历史与教学 之关系国际 研究小组 （HPM）
ICME-3 ： HPM 正 式 隶属于国际 市教育委员 会 （ ICMI ）
《数学与文化》教案
《数学与文化》教案一、教学目标1. 让学生了解数学与文化之间的关系，认识到数学在文化传承与发展中的重要作用。
2. 培养学生对数学的兴趣，提高数学素养，增强民族自豪感。
3. 通过数学文化案例的学习，让学生感受到数学的优美、逻辑性和严谨性。
4. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高创新意识。
二、教学内容1. 数学与文化概述2. 数学在中国的历史与发展3. 数学在西方的历史与发展4. 数学在其他文化中的传播与影响5. 数学在现代社会中的应用与价值三、教学重点与难点1. 教学重点：数学与文化之间的关系，数学在各个文化领域中的应用。
2. 教学难点：数学理论的产生与发展，数学在其他文化中的传播与影响。
四、教学方法1. 采用讲授法、讨论法、案例分析法等多种教学方法，引导学生深入了解数学与文化之间的关系。
2. 通过多媒体课件、实物模型等教学资源，增强课堂教学的直观性与生动性。
3. 组织学生进行小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
五、教学安排1. 课时：共计10课时。
2. 教学过程：第1-2课时：数学与文化概述第3-4课时：数学在中国的历史与发展第5-6课时：数学在西方的历史与发展第7-8课时：数学在其他文化中的传播与影响第9-10课时：数学在现代社会中的应用与价值六、教学评价1. 学生能够理解数学与文化之间的关系，认识到数学在文化传承与发展中的作用。
2. 学生能够了解数学在各个领域中的应用，提高解决实际问题的能力。
3. 学生能够感受到数学的优美、逻辑性和严谨性，培养对数学的兴趣和爱好。
4. 学生能够了解数学在不同文化中的传播与影响，增强民族自豪感和国际视野。
七、教学资源1. 多媒体课件：介绍数学与文化、历史发展、应用领域等方面的内容。
2. 教材：提供系统的数学与文化知识，方便学生学习和参考。
3. 案例分析：选取具有代表性的数学文化案例，让学生深入了解数学与文化之间的关系。
4. 实物模型：展示数学在建筑、艺术等领域的应用，增强学生的直观感受。
《数学文化》课程教学大纲
《数学文化》课程教学大纲一、教师信息二、课程基本信息课程名称（中文）：数学文化课程名称（英文）：Culture of Mathematics课程性质：□公共必修课√□专业必修课□限选课□任选课□实践性环节课程性质: √□学术知识类□方法技能类□研究探索类□实践体验类课程代码：4210213周学时： 2 总学时：32 学分: 2先修课程：微积分开设专业：小学教育专业理科方向三、课程简介本课程是小学教育专业四年制本科理科方向的一门专业必修课，小教专业的数学文化课程内容具有鲜明的专业特色，主要体现在“小学数学文化”和“讲数学故事”这两个部分。
“小学数学文化”这个部分是课程内容的重点和难点，旨在探讨小学数学中一些核心概念的背景知识，帮助未来小学教师在文化大背景下对这些核心概念有更为深入的了解，并在此基础上对数学的文化性获得深入体验。
“讲数学故事”这个部分，由老师指定一些和小学数学密切关联的数学故事，学生通过课前读故事，课上讲故事、听故事以及评故事，对于以故事形式讲授数学有了深入体验。
数学故事这一课程内容通过培养师范生讲数学故事的能力，有助于增强未来小学教师对于数学的积极情感，并体验到数学的文化性。
四、课程目标小学教育专业数学文化课程应达成如下目标：①了解数学发展脉络；②掌握小学数学背景知识；③培养讲数学故事能力。
五、教学内容与进度安排*（每周两个课时）六、修读要求纪律1.课堂学习不要缺课。
如果你缺了两次课，会特别关注此事并和你进行一次谈话。
2.课堂上不使用QQ和微信等社交软件。
如果必须打电话或者回复短信，请告诉你的老师。
期待1.上课前做好准备工作。
完成教材和补充材料的阅读，并记下两三个自己的感想，这样做不仅为课堂讨论做好了准备并有助于从别人的发言中很快得到一些启发。
2.课堂上对他人的观点有兴趣并持有尊重的态度，主动提出问题并对他人提出的问题积极回答，从而创设一个可以分享富有挑战性智力活动的课堂学习环境。
数学文化融入高中数学教学策略探索
Course Education Research课程教育研究2023年第12期1981年美国数学家怀尔德在《作为文化体系的数学》一书中提出“数学文化”,认为数学是一般文化的子文化,明确提出数学是一个文化体系。
与此同时,国内越来越多的学者也开始关注数学文化的教育价值,如促进学生对数学的理解,改变数学观,培养学生处理现实问题的思维等。
进入21世纪之后,数学文化的研究更加深入。
“双新”背景下,《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称“新课标”)课程结构的设计依据之一就是重视数学文化,各版本的数学教材都增加了关于数学文化的内容,数学文化真正走进了中小学课堂,融入课程内容里。
1.数学文化在高中数学教学中的价值1.1了解历史发展,激发学习兴趣从小学学习开始,数学就是学生花费时间和精力最多的一门功课。
在学生心中,数学的主要功能有两个,一个是取得好成绩,二是在自然科学领域可以解决问题。
无论如何,数学几乎以这种工具的形式出现在学生面前,很少有人真正了解数学从何而来,一个定理被发展出来的过程是怎样的。
《新课标》提倡学生用数学的眼光看待问题,即理解数学是如何在不同的时代和问题解决中得到发展和运用的,如果能从文化观的角度切入数学教学,当学生了解了一个概念、定理的提出其背后的时代背景、原因及对问题解决所产生的作用,原本单调乏味的知识就变得丰富立体,数学学习的兴趣就可以被激发出来。
例如,教材中对数是从指数的“逆运算”发展得到的,学生仅仅凭借对数运算性质或许也能完成题目的求解,但是因为不了解对数的起源、发展及应用,部分学生总是会把对数的基本性质(a>0且a≠1,M,N>0)log a M·N=log a M+log a N 和log a M N=log a M-log a N记成log a M·N=(log a M)·(log a N)和log a M N=log a M log a N,导致题目解答错误。
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案例 2 昔非今比
• Josse Verniers（1584） 士兵问题：一座房子里有14 个房间，每个房间有里14张 床，每张床上躺着14个士兵， 每个士兵有14支枪，每支枪 里有14颗子弹。问：共有床、 士兵、枪、子弹各多少。
案例 2 昔非今比
• Kamp（1877）
妇女问题：有12个妇女，每人带 有12根棍子，每根棍子上绑有12 根绳子，每根绳子上系有12个袋 子，每个袋子里装有12个盒子， 每个盒子里含有12先令。问：共 有多少先令？
案例 2 昔非今比
七兄弟分财产，最小的 兄弟得2，后一个比前一 个多得1/6，问所分财产 共有多少？
数学泥版MS 1844 （约公元前2050年）
案例 2 昔非今比
数学泥版 M 7857 （古巴比伦时期）
649539 大麦 72171 麦穗 8019 蚂蚁
891 鸟 99 人
案例 2 昔非今比
数学文化与数学教学
汪晓勤 石家庄 2011-10-12
数学文化与数学教学
一座宝藏
一条进路 一缕书香 一种视角
案例 1 跨越时空
希腊几何学的鼻祖泰勒斯发现了角 边角定理。普罗克拉斯（Proclus, 5 世纪）告诉我们：“欧得姆斯在其 《几何史》中将该定理归于泰勒斯。 因为他说，泰勒斯证明了如何求出 海上轮船到海岸的距离，其方法中 必须用到该定理。”
案例 1 跨越时空
T1: 这样的课教师和学生都很感兴趣，很生动，学生的积极 性完全调动起来，是数学与实际结合最好的范例。 T2: 最好能资源共享，多展示几节这样的课，让学生更好地 体会数学与生活紧密相关，让学生发现生活中的数学问题， 并用学过的知识解决它。如果所有的课都能以这种形式来上， 那么学生一定都会喜欢数学课!
• 佛陀年轻时代的故事 7原子=1极微尘 7极微尘=1微尘 7微尘=1尘， …………………… 1里长度中共有717个原子
案例 2 昔非今比
• 《佛本行集经》卷12： 悉达多太子讲授“微尘数”的算法：“凡七微尘， 成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成 一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于 一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥 子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节； 累七指节，成于半尺。合两半尺，成于一尺，二 尺一肘，四肘一弓，五弓一杖。其二十杖，名为 一息；其八十息，名拘卢奢；八拘卢奢，名一由 旬。于此众中，有谁能知，几许微尘成一由旬？
Thales （前6世纪）
F A
E
D C
案例 1 跨越时空
泰勒斯在海边的塔或高丘上利 用一种简单的工具进行测量。 直竿 EF 垂直于地面，在其上 有一固定钉子A，另一横杆可 以绕 A 转动，但可以固定在任 一位置上。将该细竿调准到指 B 向船的位置，然后转动EF（保 持与底面垂直），将细竿对准 岸上的某一点C。则根据角边 角定理，DC = DB。
案例 1 跨越时空
上述测量方法广泛使用于 文艺复兴时期。右图是16 世纪意大利数学家贝里 （S. Belli, ?～1575）出版 于1565年的测量著作中的 插图，图中所示的方法与 泰勒斯所用方法相同。
案例 1 跨越时空
有一个故事说，拿破仑军队在 行军途中为一河流所阻，一名 随军工程师用运用泰勒斯的方 法迅速测得河流的宽度，因而 受到拿破仑的嘉奖。因此，从 古希腊开始，角边角定理在测 量中一直扮演者重要角色。
a q a aq aq2 L aqn2
a qSn1
a q Sn aqn1
Sn
a aqn Biblioteka qq 1案例 2 昔非今比
《几何原本》第 9 卷命题 35
a2 a3 L an1
a1 a2
an
a2 a1 a3 a2 L an1 an
案例 2 昔非今比
• Adams 《学者算术》 （1801）
妻子问题：
我赴圣地伊夫斯， 路遇一男携七妻； 一妻各把七袋负， 一袋各装七猫咪。 猫咪生仔数又七， 几多同去伊夫斯？
案例 2 昔非今比
莱因得纸草书（约公元前1650年）
1
2801
2
5602
4 11204
19607
房屋
7
猫
49
老鼠
343
案例 1 跨越时空
在抗美援朝战争 中，一名志愿军 战士利用泰勒斯 的方法测量敌营 的距离。
案例 1 跨越时空
学生在课上演示泰勒斯的方法
案例 1 跨越时空
A
A
A
B
C
D
BE
C
D
B
C
D
学生在课上给出的测量全等三角形方案
案例 1 跨越时空
S1: 所有的话题都让学生感兴趣，提高了上课的效率，多年 之后故事会永远留在头脑中。 S2: 不会影响学习成绩，更不会影响学习时间。这样的课在 我们理论的基础上多一种知识的了解，而且这个了解不是 可有可无的而是有多有少的。在正课当中，无论从哪个角 度讲解都会让我们对知识印象更深，增加对知识的理解， 当然一定要以正课为主。
麦穗
2401
容积
16807
总数
19607
莱因得纸草上的等比数列问题
案例 2 昔非今比
S5 7 49 343 230116807
71 7 49 343 2301
7 2801 19607
1
7
2
14
\4
28
\8
56
12
84
埃及乘法127
Sn a aq aq2 L aqn1
a1
a2
an
an1 a1 a2 a1 q 1
a1 a2 L an
a1
Sn
a1
qn 1 q 1
q 1
案例 3 牛刀小试
C. Ptolemy (85-165)
案例 2 昔非今比
七极微为一微量， 积微至七为一金尘， 积七金尘为水尘量， 水尘积至七为一兔毛尘， 积七兔毛尘为羊毛尘量， 积羊毛尘七为一牛毛尘， 积七牛毛尘为隙游尘量， 隙尘七为虮， 七虮为一虱， 七虱为穬麦， 七麦为指节……
《俱舍论》卷12（玄奘译）
案例 2 昔非今比
• 斐波纳契《计算之书》（1202） “7翁去罗马，每个人牵着7匹骡 子，每匹骡子负7只麻袋，每只袋 子装7块面包，每块面包配有7把 小刀，每把刀配有7个刀鞘，问老 翁、骡子、面包、刀、鞘的总数 是多少。”