导数的实际应用

a 所以 V ( x) 4x 4ax a x (0 x ) 2
3 2 2
V ( x) 12 x 8ax a
2
2
令 V ( x) 12 x2 8ax a 2 0
1 解得x1= a， x2= a（舍去）， 2 1 1 在区间(0， a ) 内，且当 0< x < a 时， 2 6
(R r)
实验表明，当ε，r 一定时，输出功率由 负载电阻R的大小决定， 当R很小时，电源的功率大都消耗在 内阻r上，输出的功率可以变的很小；R很 大时，电路中的电流强度很小，输出的功 率也会变的很小，因此R一定有一个适当
的数值，使输出的功率最大。
( R r ) 2 R( R r ) ]' 令 P '( R) [ 2 4 (R r) (R r) 2 rR 0 2 (R r) 2 即 (R r ) 0 ，解得R=r，
d x
在开区间(0，d)内，
令f ′(x)=k(d2－3x2)=0，
3 其中负根没有意义，舍去. 解得x=± d， 3 3 当0<x< d时，f ′ (x)>0，当 3 d<x<d时， 3 3
f ′ (x)<0，
因此在区间(0，d)内只有一个极大值点
x=
3 3 d，所以f(x)在x= d取得最大值， 3 3
令L’=0 , 即 求得唯一的极值点 q=84.
答：产量为q=84时，利润L最大
1 q 21 0 4
1、实际问题中的应用.
在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的 最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法 求最值是求解这类问题常见的解题思路. 在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域.
导数的实际应用
例1：在边长为a cm的正方形铁片的 四角切去相等的正方形，再把它的边 沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的 方底箱子，箱底的边长是多少时，箱 底的容积最大？最大容积是多少？
x
a
解：设小正方形边长 为x cm，则箱子容积
a V ( x) (a 2 x) x, 0<x 2
2
1 1 2 解：收入 R q p q 25 q 25q q 8 8
利润
1 2 L R C 25q q (100 4q) 8 1 2 q 21q 100 (0<q<100) 8
1 L q 21 4
2 2 2
R
因此，当R=r 时，输出的功率最大。
练习3 圆柱形金属饮料罐的容积一定 时，它的高与底与半径应怎样选取，才 能使所用的材料最省？ 解：设圆柱的高为h，底半径为R， 则表面积 S=2π Rh+2π R2 V 由V=π R2h，得 h 2 R V 2 S ( R )=2 π R +2 π R 2 则 2V R = +2π R2 R
练习1 横截面为矩形的横梁的强度同它的 断面高的平方与宽的积成正比，要将直径 为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的 宽度和高度应是Leabharlann Baidu少？ 解：如图，设断面的宽为x， h 高为h，则h2=d2－x2， 横梁的强度函数f(x)=kxh2 (k为强度系数, k>0)， 所以f(x)=kx(d2－x2)，0<x<d，
这就是横梁强度的最大值，
6 这时h d x d 3
2 2
即当宽为 强度最大。
6 3 d，高为 d 3 3
时，横梁的
练习2 如图，已知电源的电动势为ε， 内电阻为r，问当外电阻取什么值时，输 出的功率最大？ 解：由欧姆定律得电流强度
I

Rr
电源
r
R
在负载电路上的输出功率是 2 R 2 P=P(R)=I R= 2
在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个 点使 f ( x ) 0的情形,如果函数在这个点有极大(小)值, 那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值. 这里所说的也适用于开区间或无穷区间. 满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.
2、实际应用问题的表现形式，常常不是 以纯数学模式反映出来。
1 6
V′(x)>0，当
1 a<x<a时，V′ 6
(x)<0，
因此x=
1 6
a是极大值点，
1 a时，容 6
因此当截下的正方形边长是 积最大。
在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间内
只有一个x0 使f ´(x0)=0,而且从实际问题本身又可
以知道函数在这点有极大(小)值，那么不与端点 比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
2V 令 s( R) 2 4 R 0 R V 解得 R= 3 2 V V V 3 2 从而h= R 2 V 2 3 ( ) 2
即h=2R， 因为S(R)只有一个极值， 所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所 用材料最省
已知某商品生产成本C与产量q的函数关 系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数 关系式为．求产量q为何值时，利润L最 大？
首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质。
其次，建立相应的数学模型, 将应用问题转化为数学问题,再解。
3、求最大（最小）值应用题的一般方法
(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为 数学问题，建立函数关系式，这是关键一步。 (2)确定函数定义域，并求出极值点。 (3)比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实 际，确定最值或最值点。