[论文] 采样数据的平滑处理

4.2.4采样数据的平滑处理

1.算法介绍

一般说来，在数据采集系统采集到的数据中，往往叠加有噪声。噪声主要有两大类:一类为周期性的;另一类为不规则的。前者的典型代表为50Hz 的工频干扰，后者的代表为随机信号。由于随机干扰的存在，使得采样得到的离散数据绘成的曲线多呈折线形状，这表明采样数据中的高频成分比较丰富。为了消除或减弱干扰的影响，提高曲线的光滑度，须对采样数据进行平滑处理。常用的平滑处理方法有:平均法、样条函数法和五点三次平滑法等。平均法相对比较简单，滤波效果也较差，样条函数法利用样条插值逼近采样点的方法来实现平滑滤波，算法多样，效果较好。五点三次平滑法利用多项式的最小二乘逼近来对采样点实现平滑滤波，算法简单，效果较好。

数据平滑处理的一般原则是既要消除数据中的干扰成分，又要保持原有曲线的变化特性。

2.五点三次平滑滤波法的基本算法

对采集到的离散数据序列()s nT x 进行平滑处理，设采样得到的12+N 个等间隔点

N N N N N N x x x x x x x x x x x ,,,,,,,,,,,1221012,21----+-+--

上的采样值为：

N N N N N N y y y y y y y y y y y ,,,,,,,,,,,1221012,21----+-+-- 。

设h 为等间隔采样的步长，做变换()h x x t /0-=，则上述12+N 个等间隔点变为

N

t N t N t t t t t t N t N t N t N N N N N N =-=-====-=-=+-=+-=-=----+-+--,1,2,,2,

1,0,1,2,,2,1,122101221

假设用m 次多项式

()m m t a t a a t y +++= 10 来平滑所得到的采样值，为了使多项式能够很好地平滑采样离散值，必须找出一组适当的系数()m j a j ,,1,0 =。将所有点()i i y t ,代入(4.4)式，有12+N 个等式

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨⎧=-++++=-++++=-+++++-+-+-+-+------N N m N m N N N N m N m N N N N m N m N N R y t a t a t a a R y t a t a t a a R y t a t a t a a 22101112121102210

由于平滑的曲线不一定通过所有的点()i i y t ,，所以这些等式不全为0。根据最小二乘原理，对于()12+N 组数据()i i y t ,，求其最好的系数j a ，就是求能使误差j R 的平方和为最小值的那些j a 值。设

()∑∑∑-==-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=N N n m m j n j n

j N N n n a a a y t a R ,,,102

02 ϕ 即

∑∑∑-=+=-==N N n j i n m j j N N n k n n t a t y 0

当3,2==m N 时，注意到N 与i t 的关系，有

()()()

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++=++++=+-+-=+++++=+--------2211202211202211312101220813344341023410105y y y y a a y y y y a a y y y y a a y y y y y a a 由（4.5）解出3210,,,a a a a ，再代入（4.4），令2,1,0±±=t ,得五点三次平滑公式：

()

()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧++-+-=+++-=-+++-=+-++=-+-+=------------21012221012121012021012121012269464701227128235131217123351281227235146469701y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y 当点数很多时，为对称起见，除起始点用(4.6)的1，2式，末尾两点用4，5式外，中间各点均用3式进行平滑，这其实相当于在每个子区间用不同的三次最小二乘多项式进行平滑。

在数据采集系统中，数据多以n=l ，么…，N 的次序排列，为了统一起见，将(4.6)式改写为:

()[]()[]()()[]()()[]()[]()()[]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+-++-=++-+++++-=++++-=-+++=--++=---------+-+-n n n n n n n n n n n n i i i i i i y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y 6964701271282351171233511712335181227235164697012134'1234'11122'34251'343251'253421'1 在(4.7)式中，称i y 的系数为滤波因子，即：

()()()()()()()()()0857

.0,3429.0,4857.0,3429.0,0857.0,2,1,,1,2=++--=t h i h i h i h i h i h t h 实际上，五点三次平滑滤波是利用平滑因子来达到平滑的目的，即用 ()()()()N h h N h t h ,,0,, -=对离散采样值进行滤波，滤波的效果取决于平滑因子

()t h 的频谱

()()∑-=-=

N N n nTf j e n h f H π2

的特性，当0=f 时，()f H 达到最大值，当f 远离零时，()f H 较小，这相当于对曲线进行低通滤波，高频成分被削弱，曲线也就变得平滑。