线性代数与空间解析几何复习(哈工大)

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矩阵的相似对角化条件
1．n阶方阵A可相似对角化的充分必要条件 是A有n个线性无关的特征向量 2．n阶方阵A有n个不同的特征值是A可相似 对角化的充分条件 3．若n阶方阵A与B有相同的特征值，且特征 值均为单根，则A与B相似 4．T-1AT=Λ为对角阵的充分必要条件是T的n 个列向量是A的n个线性无关的特征向量，且 这n个特征向量对应的特征值依次为对角阵Λ 的主对角线上的元素
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非齐次方程组的求解步骤
1．写出非齐次方程组的增广矩阵 2．利用初等行变换将其化成行阶梯形，根据系数矩 阵与增广矩阵的秩讨论其解 3．继续利用初等行变换将其化成行最简阶梯形 4．确定自由未知数(非特异列对应的未知数作为自 由未知数，其个数为n-R(A))，写出同解方程组(将 自由未知数项移至方程右边) 5．对自由未知数取值(可取任意数，仅取一组）， 求得方程组的特解 6. 对自由未知数取值（取n-r个n-r维线性无关的向 量），求出方程组的导出组的基础解系 7. 写出方程组的通解
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含参数的方程组的解
如果系数矩阵为方阵，一般地，首先计 算方程组的系数行列式，然后，对参数 的不同取值，分别求解方程组 如果系数矩阵不是方阵，直接利用矩阵 的初等行变换，将其化成行阶梯形，分 别对特异元中参数进行讨论，从而确定 其解（不能在某行同乘含参数的因式）
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第六章
相似矩阵
方阵的特征值与特征向量的定义 AX=λX⇔(λEn-A)X=O⇔(A-λEn)X=O 特征多项式|λEn -A| 特征方程|λEn -A|=0 特征方程的全部根就是A的全部特征值 对每个不同的特征值λi，齐次线性方程 组(λiE-A)X=O的全部非零解就是A的属于 特征值λi的全部特征向量
线性代数与空间解析几何
复习指导
课程基本框架
行列式 线性方程组
矩阵
特征值、特征向量和相似矩阵
n 维向量
二次型与二次曲面
几何向量
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矩阵是基础 行列式和向量是工具 线性方程组是阶梯 相似矩阵和二次型是矩阵的应用
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概念多
代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换 与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩 阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量 组），线性组合与线性表示，线性相关与线 性无关，极大线性无关组，基础解系与通 解，解的结构与解空间，特征值与特征向 量，相似与相似对角化，二次型的标准形与 规范形，正定，合同变换与合同矩阵
A1 B1 C1 = = A2 B2 C2
重合
A1 B C D = 1 = 1 = 1 A − x1 y − y1 z − z1 = = m1 n1 p1
x − x2 y − y 2 z − z 2 = = m2 n2 p2
与直线 垂直 m1m2+n1n2+p1p2=0 平行
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特征值与特征向量的性质
1．n阶方阵A的n个特征值之和等于A的n个对 角线元素之和，即 λ1+ λ2+… +λn= a11+ a22 +… + ann 称a11+ a22 +… + ann为方阵A的迹，记为tr(A) 2．A的n个特征值之积等于A的行列式，即 λ1λ2…λn=|A| n 阶方阵A可逆当且仅当 A的n个特征值 全不为零
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非齐次线性方程组解的存在性
记A=(α1,α2,…, αn)，B= R(A β)=(α1,α2,…, αn, β) 为非齐次方程组Am×nX=β的系数矩阵和增广矩 阵 AX=β 有解 ⇔ β可由向量组α1,α2,…, αn线性表示 ⇔向量组 α1,α2,…, αn与α1,α2,…, αn, β等价 ⇔向量组 α1,α2,…, αn与α1,α2,…, αn, β等秩 ⇔ R(A)=R(B)=R(A β)
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齐次方程组的求解步骤
1．写出齐次方程组的系数矩阵 2．对系数矩阵利用初等行变换将其化成行最 简阶梯形 3．根据系数矩阵的秩，判定方程组的解的情 况
若系数矩阵的秩r=未知数的个数n，方程组只 有零解 若系数矩阵的秩r<未知数的个数n，方程组有 （无穷多个）非零解，有n-r个线性无关的解
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在方程组有非零解时
4．确定自由未知数（非特异列对应的未知数 作为自由未知数，其个数为n-R(A)），将自由 未知数所在项移至等式右端，得同解方程组 5．对自由未知数取值：取n-r个n-r维线性无 关向量 6．将自由未知数的取值分别代入简化的同解 方程组，求得该齐次线性方程组的一组基础 解系（有n-r个线性无关向量） 7．最后，写出齐次方程组的通解
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距离
点（x0, y0, z0）到平面Ax+By+Cz=D
d= | Ax0 + By0 + Cz0 − D | A + B +C
2 2 2
异面直线间距离
s1 × s 2 d = P1 P2 • | s1 × s 2 |
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位置关系
平面π1：A1x+B1y+C1z=D1与 平面π2：A2x+B2y+C2z=D2 垂直 A1A2+B1B2+C1C2=0 平行
第五章
线性方程组
齐次线性方程组Am×nX=O解的判定 R(A)=n ⇔ AX=O只有零解 R(A)=r<n ⇔ AX=O有(无穷多个)非零解 有n-r个线性无关的解向量 AX=O解的结构 若R(A)=r<n，则AX=O的基础解系中有n-r 个向量ξ1， ξ2， …，ξn-r AX=O的通解为 X=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r
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求方阵的逆的方法
利用伴随矩阵求逆 A-1=A*/|A| 利用矩阵的初等变换求逆 (A⎪E) 行 (E⎪A-1)
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解矩阵方程
A为m阶可逆方阵，B为n阶可逆方阵 AX=C，X=A-1C XA=C，X=CA-1 AXB=C，X=A-1CB-1
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矩阵的秩
理解秩的概念（难点） 掌握秩的性质 求矩阵秩的方法 定义法 利用初等变换法（重点） 将矩阵用初等变换化成行最简阶梯形
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第二章
矩阵
了解矩阵的概念及与行列式的区别 矩阵的运算 加法、减法、数乘 乘法 方阵的伴随矩阵A* AA*=A*A=|A|E
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方阵的逆
方阵可逆的充要条件：|A|≠0
n 阶方阵A可逆的等价条件：
|A|≠0 R(A)=n A的行向量组和列向量组都线性无关 齐次方程组AX=O只有零解 存在n阶方阵B使得AB=E或BA=E
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运算量大
许多题型运算量大，运算繁琐 利用矩阵的初等行（或列）变换，求可逆方 阵的逆，求齐次线性方程组的基础解系和求 非齐次线性方程组的通解，求方阵的特征值 和特征向量，将矩阵相似对角化，以及将二 次型化成标准形等
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第一章
行列式
行列式的定义 了解行列式的概念（行列式的值为一个 数值） 理解元素的余子式和代数余子式的概念 行列式的计算 掌握二阶、三阶和四阶行列式的计算 熟悉特殊的高阶行列式的计算
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运算法则多
行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩 阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的 秩与极大线性无关组，向量组线性相关性的 判定，求齐次线性方程组的基础解系，求非 齐次线性方程组的通解，求方阵的特征值与 特征向量，判断与求相似对角矩阵，用正交 变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交 变换化二次型为标准形）
m1 n1 p1 = = m2 n2 p2
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直线与平面
直线 与平面 Ax+By+Cz=D 垂直
A B C = = m n p
x − x0 y − y0 z − z0 = = m n p
平行 mA+nB+pC=0 直线在平面上 mA+nB+pC=0，Ax0+By0+Cz0=D
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第四章 n维向量
x − x1 y − y1 y2 − y1 y3 − y1 z − z1 z 2 − z1 = 0 z3 − z1
三点式： x2 − x1
x3 − x1
x y z 截距式： + + = 1 a b c
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直线方程
x − x0 y − y0 z − z0 直线方程的标准式（点向式） m = n = p
n维向量的定义和运算 n维向量组和矩阵间的关系 向量组线性相关与线性无关的定义、性质 矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列 向量组的秩
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向量组线性相关与线性无关的判定 求向量组的秩和极大（最大）线性无关组
将向量组按列组成矩阵 利用矩阵的初等行变换将其化成行阶梯形 判定
向量组的秩等于矩阵的秩 若矩阵的秩等于其列数，该向量组线性无关 若矩阵的秩小于其列数，该向量组线性相关 行阶梯形矩阵的特异列对应的向量组为该向量组的极 大无关组 22
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4．设λ为可逆方阵A的特征值，则λk（k为整 数）是Ak的特征值 特别地，1/λ是A-1的特征值，|A|/λ是A的 伴随矩阵A*的特征值 5．属于不同特征值的特征向量线性无关
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实对称阵的特征值、特征向量的性质
6．若A是实对称阵，则A的特征值都是实数 7．若A是实对称阵，则A的属于不同特征值 对应的特征向量两两正交 8．n阶实对称矩阵A一定有n个线性无关的特 征向量
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相似矩阵
设A，B为n阶方阵，如果存在n阶可逆阵 T ，使得 T-1AT=B 则称A相似于B，称T为从A到 B的相似变 换矩阵
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相似矩阵的性质
若n阶方阵A与B相似，则 A与B有相同的特征多项式，即 |λE-A|=|λE-B| A与B有相同的特征值 tr(A)=tr(B)，|A|= |B| 若ϕ(x)为多项式，则ϕ(A)与ϕ(B)相似 对任意的t，tE-A与tE-B相似 A与B等价，从而R(A)=R(B)