小学思维数学讲义：余数性质(二)-带详解
小学思维数学讲义：余数性质(二)-带详解
余数性质（二）1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
余数的知识点总结
余数的知识点总结一、余数的概念余数的概念最早出现在我们学习除法的时候。
当我们用一个数除以另一个数时，商是一个整数，余数是一个小于被除数的正整数。
例如，当我们将13除以4时，商是3，余数是1。
因此，13÷4=3……1。
这里的1就是余数。
余数的概念可以用数学符号“mod”来表示，即a≡b(mod m)，其中a是被除数，b是余数，m是除数。
这个符号读作“a同余b模m”。
例如，13≡1(mod 4)。
二、余数的性质1. 余数的范围余数的范围是0到除数-1之间。
例如，当我们将13除以4时，余数的范围就是0到3。
这是因为余数小于除数，所以余数的范围是有限的。
2. 余数的性质余数可以满足一些基本的性质，例如：如果a≡b(mod m)且c≡d(mod m)，那么a+c≡b+d(mod m)。
这意味着如果两个数在模m下同余，那么它们的和也在模m下同余。
这个性质在数论和离散数学中有着重要的应用。
3. 余数的运算余数的运算规则和整数的运算规则是一样的。
例如，对于任意的整数a、b和m，有(a+b) mod m = ((a mod m) + (b mod m)) mod m。
这意味着在计算余数时，我们可以先对每个数取余，然后再进行加法或乘法运算，最后再取一次余数，结果不变。
三、余数的应用1. 时钟和日历在时钟和日历的应用中，余数概念起着非常重要的作用。
例如，一小时后的时间可以用（当前时间+1）mod 12来表示，从而得到12小时制的时间。
又如，计算日期间隔的时候，我们可以用（未来日期-当前日期）mod 7来表示，得到相对于当前日期的天数差。
2. 整数的性质余数概念也常常用来证明整数的性质。
例如，我们可以用余数来证明一个数的奇偶性。
对于任何整数a，a≡0(mod 2)当且仅当a是偶数；a≡1(mod 2)当且仅当a是奇数。
3. 数论问题在数论中，余数的概念是至关重要的。
例如，欧拉定理和费马小定理就是建立在余数的基础上。
小升初余数知识点总结
小升初余数知识点总结一、余数的概念1. 余数的定义余数是指在做除法的时候，被除数除以除数所得的余数。
例如，8÷3=2……2，这里的2就是余数。
其中，8为被除数，3为除数。
2. 余数的表示方法一般来说我们用R表示余数，其中R=a（mod b），a为被除数，b为除数，R为余数。
二、余数的性质1. 余数的范围余数的取值范围是从0到除数-1。
例如，当除数为5时，余数的取值范围为0-4。
2. 余数与除数的关系当被除数能被除数整除时，余数为0。
当被除数不能被除数整除时，余数一定小于除数。
三、余数的计算方法1. 除法计算在实际计算中，利用长除法进行除法计算，得到被除数、除数和商，将商取整得到整数商，用被除数减去整数商乘以除数，得到余数。
2. 余数的取值余数是通过除法计算得到的，可以用公式R=a（mod b）来表示。
3. 余数的性质除数为正整数时，余数的绝对值小于除数的绝对值。
四、余数的应用1. 余数的判断余数可以帮助我们判断一个数能否被另一个数整除。
当余数为0时，被除数能被除数整除。
2. 余数的运算在计算中，我们往往通过余数的运算来进行数字的整体运算。
例如，通过余数的运算可以判断数字的奇偶性。
3. 余数的应用余数在生活和实际问题中应用广泛。
例如，在排列问题、电话号码归属地查询、日期计算等方面均能应用余数的知识。
五、余数的题型1. 余数的计算通过给定的被除数和除数，计算余数。
2. 余数的应用通过余数的概念和计算方法，解决实际问题。
3. 余数的分析通过实际问题，了解余数的应用和意义。
六、小结余数是一个非常基础而重要的数学概念，它不仅仅是一个基本的数学运算符号，更是数学思维和逻辑问题的基础。
在小升初阶段，需要掌握余数的概念、计算方法以及应用，通过余数问题的解决，提高学生的数学思维和逻辑问题解决能力。
同时，掌握余数知识有助于学生更好地理解整数的概念和运算，为未来的学习打下理论基础。
公式推导—余数的性质
小学奥数公式推导—余数的性质目的：通过自己推导公式，更好的理解小学奥数的公式和解题方法，熟悉代数方法。
今天介绍一下余数的性质，余数的概念和性质是非常重要的，是数论的基础。
我们都知道：①和的余数=余数的和②积的余数=余数的积例如：633÷7=90 余3702÷7=100 余2那么633+702的和除以7的余数就是3+2=5那么633×702的积除以7的余数是3×2=6(如果和或乘积大于7，那么再对7取余数)这两个知识很容易背下来，用几遍就熟练了，可是却很少有孩子去考虑为什么有这个规律。
下面我们抽象一下，试着用字母来代替数把这两个数写成7m+a与7n+b（孩子们可以多练习用字母来表示数，比如偶数可以表示成2n，奇数可以表示成2n-1，3的倍数表示成3n等等。
）①和的余数=余数的和(7m+a)+(7n+b)=7m+7n+a+b前两项都是7的倍数，所以余数就取决于a+b②积的余数=余数的积(7m+a)(7n+b)接下来把括号打开，只需要明白乘法分配律即可（如果刚开始接触，括号打不开，可以把其中一个括号当作一个整体，进行2次去括号。
）7m7n+7mb+7na+ab我们发现前三项都是7的倍数，所以不影响整个和除以7的余数。
（或者利用性质①四项和的余数就是0+0+0+ab）所以就是ab除以7的余数。
如果理解了积的余数，可以利用它研究一下乘方，例如求703的703次方除以7的余数。
根据②，这个余数可以简化成3的703次方(幂同余定理，就不描述术语了，孩子不容易理解)：3的1次方除以7余33的2次方除以7余23的3次方除以7余6（利用3X2）3的4次方除以7余4（利用6X3）3的5次方除以7余5（利用4X3）3的6次方除以7余1（利用5X3）3的7次方除以7余3（开始循环）利用周期就可以求出答案。
（肯定会出现循环，因为除以7的余数只有0-6，7次以内肯定会循环）以后看见这种题应该能做出来了吧。
余数知识点总结
余数知识点总结一、余数的定义在进行整数除法时，如果被除数不能被除数整除，我们就会得到一个余数。
例如，当我们用10除以3时，商是3，余数是1，因为10除以3得到3余1。
一般来说，对于任意的整数a和b（b不为0），都存在唯一的整数q和r，使得a=bq+r，其中q是商，r是余数。
二、余数的性质1. 余数的范围余数r的范围是0到b-1。
这是因为如果r=b-1，那么a=bq+r=bq+(b-1)=(q+1)b-1。
所以当r大于等于b时，我们可以用b来替换掉r，而商q则加1。
所以余数r必然小于b。
2. 余数的相等性如果两个整数a和b除以同一个整数m得到相同的余数，那么它们的差也一定能被m整除，即如果a%m=b%m，则(a-b)%m=0。
3. 余数的加法性两个整数a和b的余数之和等于它们的和的余数，即(a+b)%m=(a%m+b%m)%m。
4. 余数的乘法性两个整数a和b的余数之积等于它们的积的余数，即(a*b)%m=(a%m*b%m)%m。
5. 余数的幂运算如果要计算a的n次幂的余数，我们可以先计算a%m的n次幂的余数，然后再对m取余。
即a^n%m=(a%m)^n%m。
6. 余数的倒数两个整数a和b互素，即它们的最大公约数是1，那么a在模b意义下一定有倒数。
即对于方程ax≡1 mod b，一定存在整数x满足条件。
三、余数的应用1. 余数的运算余数在算术运算中有着广泛的应用，可以用于简化复杂的运算。
例如在大数运算中，我们往往会对结果取模，以减小结果的数值大小，提高运算效率。
2. 余数的模运算模运算是指对一个数除以另一个数后得到的余数。
在计算机科学中，模运算常常被用于实现循环、加密和散列等操作。
例如在密码学中，模运算可以用于加解密算法中的步骤之一。
3. 余数的逆元余数的逆元是指在模意义下存在的一个数，使得与它相乘后得到的余数是1。
余数的逆元在密码学和数论中有着重要的应用，例如在RSA算法中，逆元的存在性是保证算法有效性的关键。
余数的性质及其计算
余数的性质及其计算余数是数学运算中的一个概念，通常在整除运算中使用。
当一个数被另一个数整除时，余数就是剩下的不被整除的部分。
1.余数的范围：余数的范围是0到除数减1、例如，当除数为7时，余数的范围为0到62.余数的符号：余数的符号与被除数的符号一致。
例如，当被除数为正数，除数为负数时，余数为负数；当被除数为负数，除数为正数时，余数为正数。
3.余数的递减性：当被除数递减一定倍数的除数时，余数也会递减相应的倍数。
例如，当被除数从10递减10倍除数时，余数也会从0递减10。
4.余数的计算方法：余数的计算方法通常有两种，一种是使用除法算术运算符求余，另一种是使用模运算符求余。
-除法算术运算符求余：余数可以通过被除数除以除数得到。
例如，12除以5，商为2余2，余数为2-模运算符求余：模运算符（%）可以直接计算余数。
例如，12%5=25.余数的应用：余数在很多数学问题中有广泛应用，如判断一个数是否是另一个数的倍数，确定一个数的奇偶性等。
余数也可以用于计算和数论问题，例如将一个数分解为素因子的乘积。
一个常见的问题是，如何计算一个大数除以一个较小的数的余数？当被除数较大时，我们常常使用长除法来计算余数。
长除法的步骤如下：1.将被除数按位数与除数对齐，从左至右逐位进行计算。
2.用除数除以被除数的第一位，得到一个商和一个余数。
3.将余数带到被除数的下一位，继续做除法运算，得到新的商和新的余数。
4.重复步骤3，直到计算完所有位数。
5.最终的余数就是最后一次除法运算的余数。
尽管这种方法可以得到正确的结果，但对于大数来说，计算过程可能会比较复杂和繁琐。
在计算机编程中，我们通常使用取模运算符（%）来计算余数，这种方法更加简单和高效。
总结起来，余数是数学运算中的一个概念，表示一个数被另一个数整除后的剩余部分。
余数具有一些性质，如范围、符号、递减性等。
计算余数可以使用除法算术运算符或模运算符。
对于大数的计算，常使用长除法来计算余数。
三年级上册数学思维训练讲义-第二讲 有余数的除法(含答案)
第二讲 有余数的除法第一部分：趣味数学小朋友们，笔算加法、减法、乘法都要从个位算起，可是笔算除法却要从最高位算起，你想知道这是怎么一回事儿吗？相信你看了下面的资料，一定会有所了解的！除法为什么要从高位算起？假如要把9个苹果平均分给3个小朋友，我们可以先拿出3个，1人一个；再拿出3个，1人一个；还剩下3个，1人一个，正好分完。
把上述分的过程用连减算式表示出来就是：9－3－3－3＝0，减了3次，正好减完。
如果用除法算式表示就是9÷3＝3。
所以，除法计算也可以用连减法来求商，把被除数作为被减数，除数作为相同的减数，连减的最多次数就是商。
可是，如果用减法计算369÷3，一共要减去123个3，实在是太麻烦了，改用除法计算多简便啊！原来，除法从高位算起是为了减得更快些，更快地求出商。
小朋友们，你明白了吗？有余除法：把一些书平均分给几个小朋友，要使每个小朋友分得的本数最多，这些书分到最后会出现什么情况呢？一种是全部分完，还有一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的人数少，否则还可以继续分下去。
每次除得的余数必须比除数小，这就是有余数除法计算中特别要注意的。
除法为什么要从高位除起数学谜语（开心一刻） 剃头（猜一数学名词） 除法解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知，就可以确定除数，然后再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被除数。
在有余数的除法中，要记住：（1）余数必须小于除数；（2）被除数＝商×除数＋余数。
第二部分：奥数小练【例题1】 [ ]÷6＝8……[ ]，根据余数写出被除数最大是几？最小是几？【思路导航】除数是____，根据____________，余数可填_____________.根据____________，又已知商、除数、余数，可求出最大的被除数为6×8＋5＝53，最小的被除数为____________。
列式如下：______________________答：被除数最大是53，最小是______。
五年级奥数学练习试卷思维培训资料余数问题 (2)
第五讲余数问题内容概述从此讲开始，我们来进一步研究数论的有关知识。
小学奥数中的数论问题，涉及到整数的整除性、余数问题、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，余数问题在小学数学中非常重要。
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r（也就是a=b×q+r）, 0≤r＜b；当r=0时，我们称a能被b整除；当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商余数问题和整除性问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数那么就能和整除性问题联系在一起了。
余数有如下一些重要性质，我们将通过例题给大家讲解。
例题讲析【例1】（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
分析：法1：因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088；则乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。
法2：将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的（11+1）倍，所以得到：乙数=1056÷12=88 ，甲数=1088-88=1000 。
【例2】（第十届迎春杯决赛）一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13.求所有满足条件的自然数.分析：设这个数为n，除以9所得余数r≤8，所以除以8得到的商q≥13—8=5，又显然q≤13.q=5时，r=8，n=5×8+4=44；q=6时，r=7，n=6×8+4=52；q=7时，r=6，n=7×8+4=60；q=8时，r=5，n=8×8+4=68；q=9时，r=4，n=9×8+4=76；q=10时，r=3，n=10×8+4=84；q=11时，r=2，n=11×8+4=92；q=12时，r=1，n=12×8+4=100；q=13时，r=0，n=13×8+4=108.满足条件的自然数共有9个：108，100，92，84，76，68，60，52，44.【例3】（北京八中小升初入学测试题）有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。
小学五年级奥数 余数定理
余数问题（二）本讲主线【课前小练习】(★)1. 余数的三大性质2. 三性的实际应用⑴21除以5的余数是____; 32除以5的余数是____;⑵21＋32除以5的余数是_____;⑶32－21除以5的余数是_____;⑷32×21除以5的余数是.知识要点屋版块一：余数的三大性质1. 余数的三大性质：【例1】(★★)⑴和的余数等于余数的和⑵差的余数等于余数的差⑶积的余数等于余数的积⑴123＋456＋789除以11的余数是多少？⑵123×456×789的结果除以23的余数是多少？知识要点屋1. 特征求余法：⑴尾数系，(2、5) ，(4、25) ，(8、125)⑵和系，3，9⑶11：奇数位数字之和－偶数位数字之和的差.⑷7、11、13：截断法. 【例3】(★★☆)一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个. 年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个. 请问：最后一包有多少个零件？【例2】(★★★)188＋288＋388＋…＋2088除以9、11的余数各是多少？【拓展】(★★★)自然数3100 1的个位数字是多少？1版块二：三大性质的实际应用【例4】(★★★★)(全国小学数学奥林匹克试题) 【例6】(★★★)六张卡片上分别标上2357、2367、4143、1419、2485、8465六个数，甲取4张，乙取1张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的8倍，则丙手中卡片上的数是_____.有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是_______.【例5】(★★★)(南京市少年数学智力冬令营试题)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组. 这样的数组共有组. 【例7】(★★★★)从1～20中最多可以选取多少个数，使得取出的数中任意三个数的和能被3整除？知识大总结【今日讲题】1. 余数的三大性质⑴和的余数等于余数的和⑵差的余数等于余数的差⑶积的余数等于余数的积2. 替换求余法3. 整除判定法则—特征求余法例2，例3，例4，例6【讲题心得】___________________.【家长评价】__________________________________________________________________.2。
余数之性质与周期
有趣余数之性质与周期一、基本概念余数：我们在做除法运算的时候，被除数不能被除数整除，有剩余，这个剩余部分的数我们把它叫做余数。
被除数÷除数=商…余数注：当余数大于0时也可称为不完全商被除数=除数⨯商+余数除数=（被除数-余数）÷商商=（被除数-余数）÷除数二、余数的性质余数的几个重要性质：性质1：在带余除式中，余数总是比除数小。
性质2：A、B两数如果被同一除数来除，得到两个余数，那么A、B两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数。
性质3：A、B两数如果被同一除数来除，得到两个余数，那么A、B两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积被这个除数除所得的余数。
三、余数与周期常考题型：1.图形中的周期问题；2.数列中的周期问题；3.年月日中的周期问题。
做题是需要注意几点：1.观察：数、图形或事物的变化是否重复出现并具有周期性。
2.确定：每几个数循环一次，周期长度是多少。
3.分析：每个循环节是按什么次序排列的。
4.注意：解答时要考虑把所得的余数同一个循环节内某种状态相对应。
例如：余数为3，就找循环节里面的第3个状态。
【例1】在算式( )÷15=12……( )中，被除数最大是几？最小是几？【巩固】哪些数除以6，能使商与余数相等。
【例2】一个数除以7余3，另一个数除以7余4，这两个数的和除以7余几？【巩固】求478⨯296⨯351除以17的余数。
【例3】有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？【巩固】流水线上生产小木球涂色的次序是:先5个红，再4个黄,再3个绿，再2个黑，再1个白，然后再依次是5红，4黄，3绿，2黑，1白，…继续下去第1993个小珠的颜色是色。
【例4】2002年元旦是星期二，那么，2003年1月1日是星期几？【巩固】2002年的6月1日是星期六，问这一年的10月1日是星期几？【例5】有一个数列：1，2，3，5，8，13，……。
[最新]余数之性质与周期
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有趣余数之性质与周期一、基本概念0余数：我们在做除法运算的时候，被除数不能被除数整除，有剩余，这个剩余部分的数我们把它叫做余数。
0被除数÷除数=商…余数注：当余数大于0时也可称为不完全商0被除数=除数⨯商+余数0除数=（被除数-余数）÷商0商=（被除数-余数）÷除数0二、余数的性质0余数的几个重要性质：0性质1：在带余除式中，余数总是比除数小。
0性质2：A、B两数如果被同一除数来除，得到两个余数，那么A、B两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数。
0性质3：A、B两数如果被同一除数来除，得到两个余数，那么A、B两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积被这个除数除所得的余数。
0三、余数与周期0常考题型：01.图形中的周期问题；02.数列中的周期问题；03.年月日中的周期问题。
0做题是需要注意几点：01.观察：数、图形或事物的变化是否重复出现并具有周期性。
02.确定：每几个数循环一次，周期长度是多少。
03.分析：每个循环节是按什么次序排列的。
04.注意：解答时要考虑把所得的余数同一个循环节内某种状态相对应。
0例如：余数为3，就找循环节里面的第3个状态。
0【例1】在算式( )÷15=12……( )中，被除数最大是几？最小是几？0【巩固】哪些数除以6，能使商与余数相等。
0【例2】一个数除以7余3，另一个数除以7余4，这两个数的和除以7余几？0【巩固】求478⨯296⨯351除以17的余数。
0【例3】有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？0【巩固】流水线上生产小木球涂色的次序是:先5个红，再4个黄,再3个绿，再2个黑，再1个白，然后再依次是5红，4黄，3绿，2黑，1白，…继续下去第1993个小珠的颜色是色。
0【例4】2002年元旦是星期二，那么，2003年1月1日是星期几？【巩固】2002年的6月1日是星期六，问这一年的10月1日是星期几？0【例5】有一个数列：1，2，3，5，8，13，……。
五年级余数知识点总结
五年级余数知识点总结一、余数的概念余数是指一个数除以另一个数所得到的剩下的数。
在数学中，余数通常用符号“r”表示，如果一个数a能被另一个数b整除，那么a ÷ b的商就是能整除的商，而a ÷ b的余数就是余数。
二、余数的求法1. 余数的求法有两种方法，一种是用长除法，一种是直接用模运算。
2. 用长除法求余数：将被除数除以除数，得到的商就是整数部分，余下的数是余数。
3. 用模运算求余数：a ÷ b的余数可以用a mod b或者a % b表示，其中mod是取模运算符，%是求余运算符。
三、余数的性质1. 余数的大小一定小于除数，举例来说，如果5 ÷ 2，得到的商是2，余数是1，这个余数小于2。
2. 余数的性质和奇偶性：如果一个数除以2得到的余数是0，那么这个数是偶数；如果余数是1，这个数是奇数。
3. 余数的加减乘除：如果a ÷ b得到的余数是r1，c ÷ d得到的余数是r2，那么a + c ÷ b +d得到的余数是(r1 + r2) mod b。
四、余数的应用1. 余数在计算机编程中的应用：在计算机编程中，余数常常用于对整数进行分类，判断整数的奇偶性，计算某个范围内能整除的数等。
2. 余数在数论中的应用：在数论中，余数可以用于计算最大公约数、最小公倍数，判断整数的性质，如奇偶性、能否被某个数整除等。
3. 余数在日常生活中的应用：在日常生活中，余数也有很多应用，如计算时间、计算金钱、分配物品等。
五、余数的练习方法1. 通过长除法练习求余数，例如计算98 ÷ 5的余数。
2. 通过模运算练习求余数，例如计算127 mod 8的余数。
3. 通过应用题练习余数的应用，如计算2小时30分钟后是几点，计算8个苹果分给3个人每个人能得到多少苹果等。
六、余数的注意事项1. 在计算余数时，要注意除数是不可以为0的，因为任何数除以0都是无穷大。
2. 在计算余数时，要注意不能将除数与余数直接相加，要进行模运算计算。
余数的性质及其计算
余数的性质及其计算余数是除法运算中得到的剩下的部分。
在代数中，余数通常表示为R，例如：A=BQ+R，其中A，B，Q，R都是整数，A和B不为零，Q是商数，R是余数。
余数有以下几个性质：1.余数的范围：余数的范围通常是大于等于0，小于除数的绝对值。
例如，当我们用5去除17时，商数为3，余数为2，因此余数的范围为0至42.余数的唯一性：除法运算中，当给定一个被除数和除数时，对于给定的被除数，只存在一个唯一的余数。
3.余数的循环性：当一个数被不断地除以同一个除数时，其余数会形成若干个循环。
例如，当我们用7去除100时，余数会不断循环：1，3，2，6，4，5计算余数的方法有以下几种常用的技巧：1.短除法：短除法是最常用的计算余数的方法。
首先将被除数写在上方，除数写在下方，然后进行除法运算，求商和余数。
例如，计算27除以4的余数可以使用短除法，得到商为6，余数为3```27÷4=6余3```2.余数的性质：如果一个数能被另一个数整除，那么其余数将为零。
例如，当我们用3去除9时，商为3，余数为0。
3.模运算：模运算是计算机科学中常用的计算余数的方法。
模运算是指用一个数除以另一个数，然后取得余数。
在计算机中，通常使用“%”符号表示模运算。
例如，在计算9模3时，使用9%3的结果为0。
此外，余数还具有以下一些重要的应用和性质：1.余数可以用来判断一个数的奇偶性。
如果一个数除以2的余数为0，则该数为偶数；如果余数为1，则该数为奇数。
2.余数可以用来进行数的循环计算。
例如，计算一个数的十进制表示中各位数之和可以使用余数来计算。
3.余数可以用来进行数制转换。
例如，将一个二进制数转换为十进制数时，可以使用余数和权重相乘的方式进行转换。
总之，余数在数学和计算机科学中具有重要的应用和性质。
掌握余数的计算方法和理解其性质对于数学和计算机科学的学习都是非常重要的。
六年级余数知识点总结
六年级余数知识点总结在学习数学的过程中，我们经常会遇到余数的概念和计算。
余数是指在除法运算中，除数不完全整除被除数所剩下的数。
在六年级数学课程中，我们学习了关于余数的相关知识点，本文将对这些知识进行总结。
1. 余数的定义与表示方法余数指除法中不完全整除的部分，通常用符号"r"来表示。
例如，当15除以4时，商为3，余数为3，表示为15÷4=3...3。
2. 余数的计算方法当我们需要计算一个数除以另一个数的余数时，可以借助除法的步骤来进行计算。
具体步骤如下：a. 将被除数写在除法长条上方，将除数写在下方。
b. 完成作差，找到一个最大的整数商，写在上方。
c. 完成减法运算，并记录所剩下的数，即为余数。
3. 余数与整除的关系当一个数能够被另一个数整除时，其余数为0。
例如，12除以3的余数为0，表示为12÷3=4...0。
反之，当一个数不能被另一个数整除时，其余数不为零。
4. 余数的性质余数具有以下性质：a. 余数不会大于除数。
b. 余数可以为零。
c. 如果两个数的余数相等，那么它们乘以同一个数所得到的结果的余数也相等。
5. 除数的选取对余数的影响除数的选取对余数的大小和计算次数有一定的影响。
当除数较大时，余数会较小，计算次数也相应减少；而当除数较小时，余数会较大，计算次数也相应增加。
因此，在实际计算中，我们可以根据需要选择适当的除数。
6. 余数在实际问题中的应用余数不仅仅是一种数学概念，还可以应用于实际问题的解决中。
例如，我们在进行分组时，可以利用余数来确定人数是否能够平均分配；在进行时间计算时，可以利用余数来确定特定时间点的位置等。
通过对六年级余数知识点的总结，我们对余数的概念、计算方法、性质以及应用等方面有了更深入的了解。
掌握这些知识，不仅能够帮助我们更好地理解数学概念，还可以在实际生活中应用于解决实际问题。
希望同学们能够通过不断的练习和应用，提升对余数的理解和运用能力，为将来更高级的数学学习打下坚实的基础。
小学奥数快乐思维余数知识点
余数一、余数的性质与计算1.余数：40÷16=2……8（余数）[余数小于除数]A÷B=Q……R A=B×Q＋R（方法1）2.余数的性质：①和的余数等于余数的和[给例子让小孩算，让小孩总结]②差的余数等于余数的差③积的余数等于余数的积[理论上除法也是可以的，但是小孩算容易算错，直接告诉他们不可以]替换求余法（针对算式）（方法2）[算完之后还要根据余数小于除数，多次使用替换求余，验证结果]3.余数的计算：①直接计算②替换求余法③特性求余法：（1）一个数除以2或5的余数，等于这个数的各位数字除以2或5的余数；（方法3）一个数除以4或25的余数，等于这个数的末两位数字除以4或25的余数；一个数处于8或125的余数，等于这个数的末三位除以8或125的余数；（2）一个数除以3或9的余数，等于这个数的各位数字和除以3或9的余数（3）一个数除以11的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和的差除以11的余数，如果奇位数字和比偶位数字和小，则加上若干个11再减即可。
（4）一个数除以7、11、13的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数段之和除以7、11和13的余数，如果奇数段之和比偶数段之和小，则加上若干个7、11或13再减即可。
④周期求余法：（针对a b）（方法4）[例：2100÷3余几，找出2122232425……的规律][例：100100÷7余几，则先把底数100替换成2，指数不变，找规律]⑤分解求余法：A÷B余C，A÷D余E，求A÷（B×D）余几（1）C=D，则A÷（B×D）余C/D（2）C D，用物不知数来做。
先反求出最小的被除数，再用被除数÷（B×D）二、物不知数（知除数和余数，求被除数）1.有规律的①余数相同：A÷B余K，A÷D余K被除数最小为K（当K不等于0时），第二小是K＋[B,C]，每次加[B,C]A—K=[B,C]×n②缺数相同（除数和余数的差相同）：A÷B余M，A÷C余N，B—M=C—N被除数最小为[B,C]—差，每次加[B,C]A=[B,C]×n—（B—M）③和数相同（除数和余数的和相同）：A÷B余M，A÷C余N，B＋M=C＋N被除数最小为[B,C]＋差，每次加[B,C]A=[B,C]×n＋（B＋M）2.无规律（逐步满足）一般先从除数大的开始找，找到第一个满足条件的被除数之后，以后每个加除数的最小公倍数。
六年级余数问题知识点
六年级余数问题知识点在学习数学的过程中，我们经常会遇到余数问题。
余数是指一个数被另一个数除后剩下的不足以整除的部分。
在这篇文章中，我将为大家总结六年级余数问题相关的知识点，并介绍一些解题方法和技巧。
一、什么是余数？余数是整除运算的一种结果。
当一个整数被另一个整数整除时，若除法中无法整除，则所剩下的部分即为余数。
例如，对于10除以3的情况，10 ÷ 3 = 3 余 1，这里的余数就是1。
通常用符号“%”表示余数，上述例子可以写成10 % 3 = 1。
二、整数除法中的余数性质1. 余数的范围：当我们用一个正整数n去除以另一个非零整数d时，余数的范围一定是0到d-1。
比如，7 ÷ 3 = 2 余 1，余数的范围就是0到2。
2. 余数的关系：如果两个整数a和b满足a ≡ b (mod n)，那么它们对于模n来说有相同的余数。
这个关系可以表示为a % n = b % n。
三、常见的余数问题类型1. 判断余数是否符合某个条件：题目可能会给出一个整数，要求判断它除以另一个数后的余数是否满足某个特定的条件。
例如，判断一个数的个位数是否为5，则可以用这个数除以10后的余数来判断。
2. 求最大余数或特定余数：题目中可能会给出一些条件，要求我们找出满足条件的数中的最大余数或者某个特定余数。
例如，找出100以内除以7余3的最大的数。
3. 余数的运算和性质：题目中可能出现涉及余数的运算和性质的问题。
例如，判断一个数是否是偶数，我们可以通过它除以2的余数来判断。
四、解题方法和技巧1. 列表法：当我们要找到满足某个条件的数中的最大余数或特定余数时，可以列举出满足条件的数，并计算它们的余数，然后找出最大的或特定的余数。
2. 规律性分析：有时候我们可以发现一些规律来解决余数问题。
例如，当一个数的个位数为0或5时，它被任意一个正整数除后的余数一定是0或5。
3. 除法法则：除法法则包括交换法则、结合法则和分配法则。
五年级数学思维拓展余数定理第二讲
【五年级数学思维拓展】趣味入门—勇闯智慧岛（二）——余数定理(2)了解余数定理，会用余数定理解题1.掌握余数定理2.掌握同余定理1. 求478×296×351除以17的余数。
2. 著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21…这串数列当中，第2008个数除以3所得的余数为多少？3. 有一串数：1，1，2，3，5，8，…，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？4.有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？（即是该课程的课后测试）1. (2002年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______2. 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少?3. (2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。
4. (2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________.5. 一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数1. 因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为4154884179---÷+=（）（），所以，被除数为7948324⨯+=。
2. 本题为带余除法定义式的基本题型。
根据题意设两个自然数分别为x,y ，可以得到40164016933x y x y =+⎧⎨+++=⎩,解方程组得85621x y =⎧⎨=⎩，即这两个自然数分别是856，21. 3. 设所得的商为a ，除数为b ．(19)(23)(31)2001a b a b a b +++++=，7332001a b +=，由19b <，可求得27a =，10b =．所以，这三个数分别是19523a b +=，23631a b +=，31847a b +=。
五年级数学余数知识点总结
五年级数学余数知识点总结一、余数的概念1. 除法与余数在数学中，余数是指对一个整数进行另一个整数的除法运算所得到的未被整除的部分。
比如，当我们用12除以5时，商是2，余数是2，即12 ÷ 5 = 2 ... 2。
2. 余数的性质（1）余数永远小于除数（2）如果一个数能被另一个数整除，那么它的余数一定是03. 余数的计算方法（1）利用长除法进行计算（2）利用数学定理进行计算二、余数的求解1. 长除法求余长除法是一种求解多位数的除法运算的方法，它可以用来求解任意两个整数的商和余数。
2. 余数的计算法则余数的计算法则是指在进行长除法时，如何计算出正确的余数。
比如，我们用38除以9，首先得到商是4，然后38 - 9 × 4 = 38 - 36 = 2，所以余数是2。
3. 余数的特殊情况当被除数是10的整数倍时，余数肯定是个位数；当被除数是100的整数倍时，余数肯定是十位数；当被除数是1000的整数倍时，余数肯定是百位数；依次类推。
三、余数的应用1. 余数与整除数余数与整除数是相对的概念，一个数的余数是另一个数的整除数。
2. 余数与循环余数可能会出现循环的情况，即在进行长除法计算时，出现重复的余数。
3. 余数与问题解决在实际问题中，余数经常用来解决一些计算问题，比如分配物品、计算时间等。
四、余数的性质和规律1. 余数的性质余数的性质主要包括以下几个方面：（1）余数一定小于除数（2）如果一个数可以被另一个数整除，那么它的余数一定是0（3）两个数的余数相同，他们相除得到的商也必定相同；（4）两个数的余数不同，他们相除得到的商可能相同也可能不同。
2. 余数的规律余数有很多规律，比如：（1）如果一个数的个位数是5或0，那么它能被5整除，余数一定是0；（2）如果一个数的个位数是0或者2、4、6、8，那么它能被2整除，余数一定是0；（3）如果一个数的个位数是0、1、2、3、4，那么它能被3整除，余数一定是0；（4）…….五、余数与整除的关系1. 余数与整除是密不可分的关系，一个数的余数是另一个数的整除数。
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余数性质（二）1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。
而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
知识点拨 教学目标所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。
利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用 注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。
例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。
这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。
模块一、余数性质的综合运用【例 1】 20032与22003的和除以7的余数是________．【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】南京市，少年数学智力冬令营【解析】 找规律．用7除2，22，32，42，52，62，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为20033667222⨯+=，所以20032除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以22003除以7余1．故20032与22003的和除以7的余数是415+=．【答案】5【巩固】2008222008+除以7的余数是多少？ 【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答【解析】328=除以7的余数为1，200836691=⨯+，所以200836691366922(2)2⨯==⨯＋，其除以7的余数为：669122⨯=；2008除以7的余数为6，则22008除以7的余数等于26除以7的余数，为1；所以2008222008+除以7的余数为：213+=．【答案】3【巩固】 ()30313130+被13除所得的余数是多少？【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答【解析】 31被13除所得的余数为5，当n 取1，2，3，时5n 被13除所得余数分别是5，12，8，1，5，12，8，1以4为周期循环出现，所以305被13除的余数与25被13除的余数相同，余12，则3031除以13的余数为12；30被13除所得的余数是4，当n 取1，2，3，时，4n 被13除所得的余数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，以6为周期循环出现，所以314被13除所得的余数等于14被13除所得的余数，即4，故3130除以13的余数为4；所以()30313130+被13除所得的余数是124133+-=．【答案】3【例 2】 M 、N 为非零自然数，且20072008M N +被7整除。
M N +的最小值为 。
【考点】余数性质的综合运用 【难度】4星 【题型】填空【关键词】走美杯，6年级，决赛，第7题，10分 【解析】2007除以7的余数是5，2008除以7的余数是6，所以56M N +能被7整除，经试算，M N +最小值为325+= 【答案】5例题精讲【例 3】 1234200512342005+++++除以10所得的余数为多少？【考点】余数的加减法定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的．首先计算123420123420+++++的个位数字，为1476563690163656749094+++++++++++++++++++=的个位数字，为4，由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是4100400⨯=的个位数即0，另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005，它们和的个位数字是1476523++++=的个位数 3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3．【答案】3【例 4】 已知n 是正整数，规定!12n n =⨯⨯⨯，令1!12!23!32007!2007m =⨯+⨯+⨯++⨯，则整数m 除以2008的余数为多少？【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答【关键词】清华附中【解析】 1!12!23!32007!2007m =⨯+⨯+⨯++⨯1!212!313!412007!20081=⨯-+⨯-+⨯-++⨯-（）（）（）（）2!1!3!2!4!3!2008!2007!=-+-+-++-2008!1=-2008能够整除2008!，所以2008!1-的余数是2007．【答案】2007【例 5】 设n 为正整数，2004n k =，k 被7除余数为2，k 被11除余数为3，求n 的最小值．【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答【解析】 2004被7除余数为2，被11除余数也为2，所以2n 被7除余数为2，被11除余数为3．由于122=被7除余2，而328=被7除余1，所以n 除以3的余数为1；由于82256=被11除余3，1021024=被11除余1，所以n 除以10的余数为8．可见2n +是3和10的公倍数，最小为[]3,1030=，所以n 的最小值为28．【答案】28【例 6】 试求不大于100，且使374n n ++能被11整除的所有自然数n 的和．【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答【解析】 通过逐次计算，可以求出3n 被11除的余数，依次为：13为3，23为9，33为5，43为4，53为1，…，因而3n 被11除的余数5个构成一个周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，……；类似地，可以求出7n 被11除的余数10个构成一个周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，……；于是374n n ++被11除的余数也是10个构成一个周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，……；这就表明，每一个周期中，只有第3、4、6个这三个数满足题意，即3,4,6,13,14,16,......,93,94,96n =时374n n ++能被11整除，所以，所有满足条件的自然数n 的和为：346131416...9394961343...2831480+++++++++=+++=．【答案】1480【例 7】 对任意的自然数n ，证明2903803464261n n n n A =--+能被1897整除．【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答【解析】 略【答案】18977271=⨯，7与271互质，因为29035(mod7)≡，8035(mod7)≡，4642(mod7)≡，2612(mod7)≡，所以，290380346426155220(m nn n n n n n n A =--+≡--+≡，故A 能被7整除．又因为2903193(mod271)≡，803261(mod271)≡，464193(mod271)≡，所以29038034642611932611932610(mod 271)n n n n n n n n A =--+≡--+≡，故A 能被271整除．因为7与271互质，所以A 能被1897整除．【例 8】 若a 为自然数，证明2005194910()a a -．【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答【解析】 略【答案】1025=⨯，由于2005a 与1949a 的奇偶性相同，所以200519492()a a -．20051949194956(1)a a a a -=-，如果a 能被5整除，那么1949565(1)a a -；如果a 不能被5整除，那么a 被5除的余数为1、2、3或者4，4a 被5除的余数为41、42、43、44被5除的余数，即为1、16、81、256被5除的余数，而这四个数除以5均余1，所以不管a 为多少，4a 被5除的余数为1，而56414()a a =，即14个4a 相乘，所以56a 除以5均余1，则561a -能被5整除，有1949565(1)a a -．所以200519495()a a -．由于2与5互质，所以2005194910()a a -．【例 9】 有一位奥运会志愿者，向看台上的一百名观众按顺序发放编号1，2，3，……100，同时还向每位观众赠送一个单色喇叭．他希望如果两位观众的编号之差是质数，那么他们拿到的喇叭就是不同颜色的．为了实现他自己的愿望，他最少要准备 种颜色的喇叭．【考点】余数性质的综合运用 【难度】4星 【题型】填空【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第11题【解析】 编号1、3、6、8这四个编号两两之间的差都是质数，所以这四个编号的观众应该使用不同颜色的喇叭．所以他最少应该准备4种不同颜色的喇叭，然后按编号被4除后的余数分派不同颜色喇叭．【答案】4种模块二、弃九法【例 10】 将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：1234567891011121320072008，试求这个多位数除以9的余数．【考点】弃九法 【难度】3星 【题型】解答【解析】 以19992000这个八位数为例，它被9除的余数等于()19992000+++++++被9除的余数，但是由于1999与()1999+++被9除的余数相同，2000与()2000+++被9除的余数相同，所以19992000就与()19992000+被9除的余数相同．由此可得，从1开始的自然数1234567891011121320072008被9除的余数与前2008个自然数之和除以9的余数相同．根据等差数列求和公式，这个和为：()12008200820170362+⨯=，它被9除的余数为1．另外还可以利用连续9个自然数之和必能被9整除这个性质，将原多位数分成123456789，101112131415161718，……，199920002001200220032004200520062007，2008等数，可见它被9除的余数与2008被9除的余数相同．因此，此数被9除的余数为1．【答案】1【巩固】 连续写出从1开始的自然数，写到2009时停止，得到一个多位数：123456789101119992000，请说明：这个多位数除以3，得到的余数是几？为什么？【考点】弃九法 【难度】3星 【题型】解答【关键词】希望杯【分析】 因为连续3个自然数可以被3整除，而且最后一个自然数都是3的倍数，因为1998是3的倍数，所以12345678910111998是3的倍数，又因为12345678910111999200012345678910111998000000001998119982=++++，所以123456789101119992000除以3，得到的余数是0．【答案】0【例 11】 将12345678910111213......依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是 ________．【考点】弃九法 【难度】3星 【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【解析】 本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和．19～共有9个数字，1099～共有90个两位数，共有数字：902180⨯= (个), 100999～共900个三位数，共有数字：90032700⨯= (个),所以数连续写，不会写到999,从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，(19979180)3602......2--÷=，即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位．从100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是9，其中2未写出来．因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是：702978÷= (组)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为9-27 =．【答案】7【例 12】 有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和。