2020-2021学年度第一学期北京市清华附中九年级12月月考数学卷 PDF版无答案
2020-2021学年北京师大附属实验中学九年级(上)月考数学试卷(12月份)
2020-2021学年北京师大附属实验中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1．二次函数y ＝﹣（x +1）2﹣2的顶点坐标为（ ）A ．（﹣1，2）B ．（1，﹣2）C ．（﹣1，﹣2）D ．（1，2）2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝4，则sin B 的值是（ ）A ．54B ．53C ．45D ．35 3．对于函数y =m−4x ，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞4 B ．m ＜4 C ．m ＞﹣4 D ．m ＜﹣44．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠ABC ＝35°，则∠AOC 的度数为（ ）A ．20°B ．40°C ．60°D ．70°5．如图，在平面直角坐标系中，以P （4，6）为位似中心，把△ABC 缩小得到△DEF ，若变换后，点A 、B 的对应点分别为点D 、E ，则点C 的对应点F 的坐标应为（ ）A ．（4，2）B ．（4，4）C ．（4，5）D ．（5，4）6．如图，等边△ABC 的边长为6，内切⊙O 切BC 边于D 点，则图中阴影部分的周长为（ ）A ．√3π3B ．73√3πC ．√3π3+2√3D ．2√37．某小区2019年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2021年屋顶绿化面积要达到2880平方米．若设屋顶绿化面积的年平均增长率为x ，则依题意所列方程是（ ）A ．2000（1+2x ）2＝2880B ．2000（1﹣x ）2＝2880C ．2000（1+x ）2＝2880D ．2000x 2＝28808．如图，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx +c 的两个交点坐标分别为A （﹣2，4），B （1，1），则关于x 的不等式ax 2﹣bx ﹣c ≥0的解集为（ ）A ．﹣2≤x ≤1B ．x ≤﹣2，或x ≥1C ．1≤x ≤4D ．x ≤1，或x ≥4二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．已知α为锐角，且2sin （α﹣10°）=√3，则a 等于 ．10．如图，小东用长为3.2米的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿和旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8米，与旗杆相距22米，则旗杆的高为 米．11．如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是 ．12．请你任写一个顶点在x轴上（不在原点）的抛物线的解析式．13．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为3，则这个反比例函数的解析式为．14．正方形边长为3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为．15．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是．16．如图，知A、B两点的坐标分别为（2√3，0），（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP＝45°，则点P的坐标为．三、解答题（本题共52分，第17题5分，第18题6分，第19，20，21，22题每小题5分，第23，24，25题每小题5分）17．已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．18．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y＜0．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y1=mx的图象与一次函数y2＝kx+b的图象交于点A（﹣4，﹣1）和点B（1，n）．（1）求这两个函数的表达式；（2）观察图象，当y1＞y2时，直接写出自变量x的取值范围；（3）如果点C与点A关于y轴对称，求△ABC的面积．20．如图，已知AB是⊙O的直径，过点作OP⊥AB，交弦AC于点D，交⊙O于点E，且使∠PCA＝∠ABC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠P＝60°，PC＝2，求PE的长．21．某文具店购进一批纪念册，每本进价为2千元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于2千元且不高于2.8千元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（千元）之间满足一次函数关系：当销售单价为2.2千元时，销售量为36本；当销售单价为2.4千元时，销售量为32本．（1）求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w千元，将该纪念册销售单价定为多少千元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少千元？22．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AC边的中点，BC＝13，AD＝12，sin B=4 5．（1）求线段CD的长；（2）求tan2∠ADE的值．23．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝ax2﹣2ax+4（a≠0）．（1）当a＝1时，①抛物线G的对称轴为x＝；②若在抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，则m的取值范围是；（2）抛物线G的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若抛物线G与线段AB恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围．24．已知△OAB和△ODC有公共顶点O，∠OBA＝∠OCD＝30°，∠OAB＝∠ODC＝60°，连接AD，BC，取AD的中点M并连接OM．（1）如图1，若点D位于线段OA上，则BCOM=．（直接写出答案）（2）如图2，若点D位于线段OB上，①不添加其它字母和连线，直接写出图中除△AOB∽△DOC外的另一组相似三角形；②猜想OM与BC的位置关系，并证明你的结论；（3）当点D运动到图3所示位置时，线段OM，BC之间的数量关系和位置关系是否发生变化？并证明你的结论．25．在平面直角坐标系xOy中，若将点P沿x轴折叠得到点P1，再将点P1绕点R顺时针旋转90°得到点P′，则称点P′是点关于x轴﹣点R的折旋点．例如：点Q（0，1）关于x轴﹣点O的折旋点是点Q′（﹣1，0）．（1）如图1，点A（0，﹣1）．①若点B是点A关于x轴﹣点C（√3，0）的折旋点，则点B的坐标为；②若点D（﹣4，1）是点A关于x轴﹣点E的折旋点，则点E的坐标为；（2）如图2，⊙O的半径为2．若⊙O上存在点M，使得点M′是点M关于x轴﹣点S （4，0）的折旋点，且点M′在直线y＝x+b上，求b的取值范围；（3）F（0，t）是y轴上的动点，⊙F的半径为2，若⊙F上存在点N，使得点N′是点N关于x轴﹣点S（4，0）的折旋点，且点N′在直线y=√33x上，直接写出t的取值范围．。
北京市北京市中国人民大学附属中学2020-2021学年九年级上学期12月月考数学试题(含答案)
C. D.
【答案】C
2.如图，已知D，E分别在直线 ， 上，且 ，若 ，则 的值是（）
A. B. C.2D.
【答案】A
3.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
A. B. C. D.
【答案】D
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9.已知，则 ，则 ______．
【答案】
10.如图，点P在反比例函数 的图象上，过点P作 轴点M， 轴于点N，若矩形 的面积为2，则k的值为______．
【答案】-2
11.如图，在 中，M，N分别是 ， 的中点，则 ______．
【答案】D
4.一元二次方程 的根是（）
A. B.
C. ， D.
【答案】C
5.如图， 的半径为1， ， 是 的两条切线，切点分别为A，B．连接 ， ， ， ，若 ，则 的周长为（）
A. B. C.6D.3
【答案】B
6.如果 ， 两点都在反比例函数 的图象上，那么 与 的大小关系是（）
A. B. C. D.无法确定
【答案】
12.在平面直角坐标系 中，点 在双曲线 上．点 关于 轴的对称点 在双曲线 上，则 的值为______.
【答案】0.
13.如图，点A，B，C，D在O上，C是弧 的中点，若 ，则 的度数为=______°．
【是边 的中点，连接 交对角线 于点 ，若 ， ，则 的长为________．
②点Q为x轴上一个动点，若线段 是点A的“关联图形”，求点Q的横坐标 的取值范围；
（2） 的圆心为 ，半径为2，直线 与x轴，y轴分别交于G，H两点，若在线段 上存在点P，使得 是点P的“关联图形”，直接写出t的取值范围．
2020-2021九年级上月考数学试卷含答案解析
2020-2021九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（每题3分计36分）1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C． D．2．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1 D．k＜1且k≠03．抛物线图象如图所示，根据图象，抛物线的解析式可能是（）A．y=x2﹣2x+3 B．y=﹣x2﹣2x+3 C．y=﹣x2+2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣34．已知⊙O过正方形ABCD顶点A，B，且与CD相切，若正方形边长为2，则圆的半径为（）A．B．C．D．15．一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么小鸟停在黑色方格中的概率是（）A．B．C．D．6．已知反比例函数的图象经过点（a，b），则它的图象一定也经过（）A．（﹣a，﹣b）B．（a，﹣b）C．（﹣a，b）D．（0，0）7．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．8．在同一直角坐标系中，函数y=kx﹣k与y=（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．9．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=5m，点P到CD的距离是3m，则点P到AB的距离是（）A．m B．C．D．10．若M（，y1）、N（，y2）、P（，y3）三点都在函数（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y3＞y2＞y111．如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中错误的是（）A． B． C． D．12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC=2，则sinB的值是（）A．B．C．D．二、填空题（每题4分计24分）13．反比例函数y=（k是常数，k≠0）的图象经过点（a，﹣a），那么该图象一定经过第象限．14．一个反比例函数y=（k≠0）的图象经过点P（﹣2，﹣1），则该反比例函数的解析式是．15．某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米，则这棵树的高度为米．16．如图，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且长方形PEOF的面积为8，则反比例函数的表达式是．17．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，请你添加一个条件，使△ABC与△AED相似，你添加的条件是．18．如图，已知△ABC∽△DBE，AB=6，DB=8，则= ．三、解答题：19．先化简，再求代数式的值：，其中a=tan60°﹣2sin30°．20．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A、B两点．（1）根据图象，分别写出A、B的坐标；（2）求出两函数解析式；（3）根据图象回答：当x为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值．21．已知如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，BC=，DB=1，求CD，AD的长．22．某中学组织部分优秀学生分别去北京、上海、天津、重庆四个城市进行夏令营活动，学校购买了前往四个城市的车票，如图是未制作完整的车票种类和数量的条形统计图，请你根据统计图回答下列问题：（1）若前往天津的车票占全部车票的30%，则前往天津的车票数是多少张？并请补全统计图．（2）若学校采取随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张（所有的车票的形状、大小、质地完全相同），那么张明抽到前往上海的车票的概率是多少？23．已知：，试判断直线y=kx+k一定经过哪些象限，并说明理由．24．已知：CP为圆O切线，AB为圆的割线，CP、AB交于P，求证：AP•BP=CP2．25．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（每题3分计36分）1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：（A）、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；（B）、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；（C）、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；（D）、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．故选B．【点评】此题考查了轴对称及中心对称图形的判断，解答本题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，属于基础题．2．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1 D．k＜1且k≠0【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴，即，解得k＞﹣1且k≠0．故选B．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键．3．抛物线图象如图所示，根据图象，抛物线的解析式可能是（）A．y=x2﹣2x+3 B．y=﹣x2﹣2x+3 C．y=﹣x2+2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣3 【考点】二次函数的图象．【专题】压轴题．【分析】抛物线开口向下，a＜0，与y轴的正半轴相交c＞0，对称轴在原点的右侧a、b异号，则b＞0，再选答案．【解答】解：由图象得：a＜0，b＞0，c＞0．故选C．【点评】此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法．4．已知⊙O过正方形ABCD顶点A，B，且与CD相切，若正方形边长为2，则圆的半径为（）A．B．C．D．1【考点】切线的性质；正方形的性质．【分析】作OM⊥AB于点M，连接OB，在直角△OBM中根据勾股定理即可得到一个关于半径的方程，即可求得．【解答】解：作OM⊥AB于点M，连接OB，设圆的半径是x，则在直角△OBM中，OM=2﹣x，BM=1，∵OB2=OM2+BM2，∴x2=（2﹣x）2+1，解得x=．故选：B．【点评】本题主要考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理，在圆的有关半径、弦长、弦心距之间的计算一般要转化为直角三角形的计算．5．一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么小鸟停在黑色方格中的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概率．【分析】确定黑色方格的面积在整个方格中占的比例，根据这个比例即可求出小鸟停在黑色方格中的概率．【解答】解：图上共有15个方格，黑色方格为5个，小鸟最终停在黑色方格上的概率是，即．故选B．【点评】用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．6．已知反比例函数的图象经过点（a，b），则它的图象一定也经过（）A．（﹣a，﹣b）B．（a，﹣b）C．（﹣a，b）D．（0，0）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】将（a，b）代入y=即可求出k的值，再根据k=xy解答即可．【解答】解：因为反比例函数的图象经过点（a，b），故k=a×b=ab，只有A案中（﹣a）×（﹣b）=ab=k．故选A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．7．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．【解答】解：解法1：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴sinA=，tanB=和a2+b2=c2．∵sinA=，设a=3x，则c=5x，结合a2+b2=c2得b=4x．∴tanB=．故选A．解法2：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解．∵A、B互为余角，∴cosB=sin（90°﹣B）=sinA=．又∵sin2B+cos2B=1，∴sinB==，∴tanB===．故选A．【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．8．在同一直角坐标系中，函数y=kx﹣k与y=（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．【解答】解：①当k＞0时，一次函数y=kx﹣k经过一、三、四象限，反比例函数的y=（k≠0）的图象经过一、三象限，故B选项的图象符合要求，②当k＜0时，一次函数y=kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数的y=（k≠0）的图象经过二、四象限，没有符合条件的选项．故选：B．【点评】此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关．9．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=5m，点P到CD的距离是3m，则点P到AB的距离是（）A．m B．C．D．【考点】相似三角形的应用．【分析】判断出△PAB与△PCD相似，再根据相似三角形对应高的比等于相似比列式计算即可得解．【解答】解：设点P到AB的距离为xm，∵AB∥CD，∴△PAB∽△PCD，∴==，解得x=m．故选C．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比，熟记性质是解题的关键．10．若M（，y1）、N（，y2）、P（，y3）三点都在函数（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y3＞y2＞y1【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】函数思想．【分析】将M（，y1）、N（，y2）、P（，y3）三点分别代入函数（k＞0），求得y1、y2、y3的值，然后再来比较它们的大小．【解答】解：∵M（，y1）、N（，y2）、P（，y3）三点都在函数（k＞0）的图象上，∴M（，y1）、N（，y2）、P（，y3）三点都满足函数关系式（k＞0），∴y1=﹣2k，y2=﹣4k，y3=2k；∵k＞0，∴﹣4k＜﹣2k＜2k，即y3＞y1＞y2．故选C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．所有反比例函数图象上的点都满足该反比例函数的解析式．11．如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中错误的是（）A． B． C． D．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解．【解答】解：∵AD∥BC∴∵CD∥BE∴△CDF∽△EBC∴，∴∵AD∥BC∴△AEF∽△EBC∴∴D错误．故选D．【点评】此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质．12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC=2，则sinB的值是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．【分析】求角的三角函数值，可以转化为求直角三角形边的比，连接DC．根据同弧所对的圆周角相等，就可以转化为：求直角三角形的锐角的三角函数值的问题．【解答】解：连接DC．根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACD=90°．根据同弧所对的圆周角相等，得∠B=∠D．∴sinB=sinD==．故选A．【点评】综合运用了圆周角定理及其推论．注意求一个角的锐角三角函数时，能够根据条件把角转化到一个直角三角形中．二、填空题（每题4分计24分）13．反比例函数y=（k是常数，k≠0）的图象经过点（a，﹣a），那么该图象一定经过第二，四象限．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据k=xy，求出k的取值范围，再根据k的取值范围即可得出图象经过的象限．【解答】解：∵反比例函数y=（k是常数，k≠0）的图象经过点（a，﹣a），∴k=a•（﹣a）=﹣a2，为负数．则经过该图象一定二，四象限．故答案为：二，四．【点评】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，本题需求得函数k的值的符号，进而判断它所在的象限．14．一个反比例函数y=（k≠0）的图象经过点P（﹣2，﹣1），则该反比例函数的解析式是y=．【考点】待定系数法求反比例函数解析式．【专题】待定系数法．【分析】先把（﹣2，﹣1）代入函数y=中，即可求出k，那么就可求出函数解析式．【解答】解：由题意知，﹣1=，∴k=2，∴该反比例函数的解析式是y=．故答案为：y=．【点评】本题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点内容．15．某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米，则这棵树的高度为 4.8 米．【考点】相似三角形的应用．【专题】转化思想．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【解答】解：设高度为h，因为太阳光可以看作是互相平行的，由相似三角形：，h=4.8m．【点评】本题考查相似形的知识，解题的关键在于将题目中的文字转化为数学语言再进行解答．16．如图，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且长方形PEOF的面积为8，则反比例函数的表达式是y=﹣．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【专题】常规题型．【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S是个定值，即S=|k|，再结合反比例函数所在的象限即可得到k的值，则反比例函数的解析式即可求出．【解答】解：设反比例函数的表达式是（k≠0），由题意知，S矩形PEOF=|k|=8，所以k=±8，又反比例函数图象在第二象限上，k＜0，所以k=﹣8，即反比例函数的表达式是y=﹣．故答案为：y=﹣．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．17．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，请你添加一个条件，使△ABC与△AED相似，你添加的条件是∠AED=∠B．【考点】相似三角形的判定．【专题】开放型．【分析】要使两三角形相似，已知有一组公共角，则可以再添加一组角相等来判定其相似．【解答】解：∠AED=∠B．【点评】这是一道开放性的题，答案不唯一．18．如图，已知△ABC∽△DBE，AB=6，DB=8，则= ．【考点】相似三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】先求出△ABC与△DBE的相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质解答．【解答】解：∵AB=6，DB=8，∴△ABC与△DBE的相似比=6：8=3：4，∴=．【点评】本题主要考查的是相似三角形面积的比等于相似比的平方．三、解答题：19．先化简，再求代数式的值：，其中a=tan60°﹣2sin30°．【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】分别化简分式和a的值，再代入计算求值．【解答】解：原式=．（2分）当a=tan60°﹣2sin30°=﹣2×=时，（2分）原式=．（1分）【点评】本题考查了分式的化简求值，关键是化简．同时也考查了特殊角的三角函数值；注意分子、分母能因式分解的先因式分解，除法要统一为乘法运算．20．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A、B两点．（1）根据图象，分别写出A、B的坐标；（2）求出两函数解析式；（3）根据图象回答：当x为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】压轴题；数形结合；待定系数法．【分析】（1）直接由图象就可得到A（﹣6，﹣2）、B（4，3）；（2）把点A、B的坐标代入两函数的解析式，利用方程组求出k、b、m的值，即可得到两函数解析式；（3）结合图象，分别在第一、二象限求出一次函数的函数值＞反比例函数的函数值的x的取值范围．【解答】解：（1）由图象得A（﹣6，﹣2），B（4，3）．（2）设一次函数的解析式为y=kx+b，（k≠0）；把A、B点的坐标代入得解得，∴一次函数的解析式为y=x+1，设反比例函数的解析式为y=，把A点坐标代入得，解得a=12，∴反比例函数的解析式为．（3）当﹣6＜x＜0或x＞4时一次函数的值＞反比例函数的值．【点评】本类题目主要考查一次函数、反比例函数的图象和性质，考查待定系数法求函数解析式的基本方法，以及从平面直角坐标系中读图获取有效信息的能力，考查数形结合的数学思想，另外，还需灵活运用方程组解决相关问题．21．已知如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，BC=，DB=1，求CD，AD的长．【考点】勾股定理；相似三角形的判定与性质．【分析】先根据勾股定理求得CD的长，再根据相似三角形的判定方法求得△BCD∽△CAD，从而得到CD2=BD•AD，其它三边的长都已知，则可以求得AD的长．【解答】解：∵BC=，DB=1∴CD=∵∠B+∠BCD=90°，∠BCD+∠DCA=90°∴∠BCD=∠DCA∴△BCD∽△CAD∵CD2=BD•AD∴AD=5．【点评】此题主要考查学生对相似三角形的性质及勾股定理的理解及运用．22．某中学组织部分优秀学生分别去北京、上海、天津、重庆四个城市进行夏令营活动，学校购买了前往四个城市的车票，如图是未制作完整的车票种类和数量的条形统计图，请你根据统计图回答下列问题：（1）若前往天津的车票占全部车票的30%，则前往天津的车票数是多少张？并请补全统计图．（2）若学校采取随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张（所有的车票的形状、大小、质地完全相同），那么张明抽到前往上海的车票的概率是多少？【考点】条形统计图；分式方程的应用；概率公式．【专题】压轴题．【分析】（1）设去天津的车票数为x张，根据条形统计图所给的数据和前往天津的车票占全部车票的30%，列出方程，求出x 的值，从而补全统计图；（2）先算出总车票数和去上海的车票数，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）设去天津的车票数为x张，根据题意得：=30%，解得：x=30，补全统计图如右图所示：（2）∵车票的总数为20+40+30+10=100张，去上海的车票为40张，∴前往上海的车票的概率==，答：张明抽到去上海的车票的概率是．【点评】此题考查了条形统计图和概率公式，从条形统计图中获得必要的信息是本题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．23．已知：，试判断直线y=kx+k一定经过哪些象限，并说明理由．【考点】一次函数的性质；比例的性质．【专题】探究型．【分析】由于a+b+c的符号不能确定，故进行分类讨论，当a+b+c≠0时，可利用等比性质求出k的值，当a+b+c=0时，可将a+b转化为﹣c，然后求出k，得到其解析式，进而判断出直线y=kx+k一定经过哪些象限．【解答】解：直线y=kx+k一定经过第二、三象限，理由如下：当a+b+c≠0时，∵，∴k===2，此时，y=kx+k=2x+2，经过第一、二、三象限；当a+b+c=0时，b+c=﹣a，此时，k===﹣1，此时，y=kx+x=﹣x﹣1经过第二、三、四象限．综上所述，y=kx+k一定经过第二、三象限．【点评】本题考查了一次函数的性质，根据已知条件求出k的值是解题的关键，要熟悉等比性质，并能进行分类讨论．24．已知：CP为圆O切线，AB为圆的割线，CP、AB交于P，求证：AP•BP=CP2．【考点】切割线定理．【专题】证明题．【分析】连接AC、BC、CO并延长交圆O于点M，连结AM．先由切线的性质得出OC⊥PC，那么∠ACP+∠ACM=90°，由圆周角定理及直角三角形两锐角互余得出∠M+∠ACM=90°，根据同角的余角相等得出∠ACP=∠M，由圆周角定理得出∠M=∠CBP，那么∠ACP=∠CBP，又∠APC=∠CPB，得出△ACP∽△CBP，根据相似三角形对应边成比例得到AP：CP=CP：BP，即AP•BP=CP2．【解答】证明：连接AC、BC、CO并延长交圆O于点M，连结AM．∵PC是圆O的切线，∴OC⊥PC，∴∠ACP+∠ACM=90°，又∵CM是直径，∴∠M+∠ACM=90°，∴∠ACP=∠M，∵∠M=∠CBP，∴∠ACP=∠CBP，又∵∠APC=∠CPB（公共角），∴△ACP∽△CBP，∴AP：CP=CP：BP，∴AP•BP=CP2．【点评】本题实际上证明了切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．涉及到的知识点有：切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，余角的性质，相似三角形的判定与性质．准确作出辅助线是解题的关键．25．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）由于抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B （3，0）两点，那么可以得到方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，然后利用根与系数即可确定b、c的值．（2）根据S△PAB=8，求得P的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P点的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B （3，0）两点，∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，∴﹣1+3=﹣b，﹣1×3=c，∴b=﹣2，c=﹣3，∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3．（2）∵y=﹣x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．（3）设P的纵坐标为|y P|，∵S△PAB=8，∴AB•|y P|=8，∵AB=3+1=4，∴|y P|=4，∴y P=±4，把y P=4代入解析式得，4=x2﹣2x﹣3，解得，x=1±2，把y P=﹣4代入解析式得，﹣4=x2﹣2x﹣3，解得，x=1，∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S△PAB=8．【点评】此题主要考查了利用抛物线与x轴的交点坐标确定函数解析式，二次函数的对称轴点的坐标以及二次函数的性质，二次函数图象上的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法得到关于b、c的方程，解方程即可解决问题．。
北京清华大学附属中学2020-2021年九年级上册期末数学试题(含答案)
29．某服装店搞促销活动，将一种原价为56元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为31.5元，设降价的百分率为x，则列出方程是______________．
②若 ，求 的长；
（2）已知 ， ， 是以 为弦的圆.
①若圆心 恰好在 边的延长线上，求 的半径：
②若 与矩形 的一边相切，求 的半径.
32．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为 ，且经过点 与 轴交于点 ，连接 ， ， .
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）点 为该抛物线上点 与点 之间的一动点.
A． B． C． D．
3．已知 （ ， ），下列变形错误的是（）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（）
A．4 B．4 C．6D．4
5．对于二次函数 ，下列说法不正确的是（）
A．其图象的对称轴为过 且平行于 轴的直线.
B．其最小值为1.
C．其图象与 轴没有交点.
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
14．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，CM是它的中线，以C为圆心，5cm为半径作⊙C，则点M与⊙C的位置关系为( )
A．点M在⊙C上B．点M在⊙C内C．点M在⊙C外D．点M不在⊙C内
15．一组数据10，9，10，12，9的平均数是（）
①若 ，求点 的坐标.
②如图②，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，连接 并延长，交 于点 ，连接 延长交 于点 .试说明 为定值.
北京市海淀区 九年级(上)月考数学试卷(12月份)
九年级（上）月考数学试卷（12月份）题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sin A的值为（ ）A. 35B. 45C. 34D. 432.点A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y=−6x图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是（ ）A. y1>y2B. y1=y2C. y1<y2D. 不能确定3.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（ ）A. 2B. −1C. 2D. 44.为了更好保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积V（m3）一定的污水处理池，池的底面积S（m2）与其深度h（m）满足关系式：V=Sh（V≠0），则S关于h 的函数图象大致是（ ）A. B. C. D.5.如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则（ ）A. S1>S2B. S1<S2C. S1=S2D. 无法确定6.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）A. ∠ABD=∠ACBB. ∠ADB=∠ABCC. AB2=AD⋅ACD. ADAB=ABBC7.如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4）．顶点A在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为（ ）A. 12B. 20C. 24D. 328.如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则cos∠EFG值为（ ）A. 157B. 327C. 217D. 257二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.若sinα=32，则锐角α=______．10.圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是______．11.反比例函数y=-1x与二次函数y=x2的共同性质有______．（写出一条符合题意的即可）12.如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点，若BC=6，cos D=23，则AB的长为______．13.若反比例函数y=kx的图象经过点A（4，1），则当y＜1时，x的取值范围是______．14.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，则S△ADES△ABC的值为______．15.如图，在△ABC中，tan A=34，∠B=45°，AB=14，则BC的长为______．16.如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（-1，0），半径为1，点P为直线y=-34x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.阅读下面材料：小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，则tan22.5°=______小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图1），他发现22.5°不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题．于是小天尝试着在CB边上截取CD=CA，连接AD（如图2），通过构造有特殊角（45°）的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：tan22.5°=______．参考小天思考问题的方法，解决问题：如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=30°，请借助△ABC，构造出15°的角，并求出该角的正切值．四、解答题（本大题共11小题，共62.0分）18.计算4cos45°+tan60°-8+（-1）219.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，DE⊥AB于点E．若DE=2，BC=3，AC=6，求AE的长．20.在数学课上，爱动脑筋的小孙同学提出了一个问题：已知线段AB和直线L，他想作一个顶点P在直线上L的特殊的∠APB，使得∠APB=30°经过课堂讨论，有的学习小组提出了如下尺规作图方案：①分别以点A，点B为圆心，以线段AB的长度为半径画弧，两条弧在线段AB上方相交于点O；②以O为圆心，OA为半径作弧，与直线L相交于P1，P2两点；③连接AP1，BP1，AP2，BP2，所以∠AP1B，∠AP2B就是所求的角请你根据上述尺规作图方案，完成下列问题：（1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：在⊙O中，连接OA，OB，∵△OAB为等边三角形（______）（填推理的依据）∴∠AOB=60°，∴∠AP1B=12∠AOB=30°∴∠AP2B=12∠AOB=30°（______）（填推理的依据）21.如图，师达中学教学楼的对面是一栋宿舍楼，小孙同学在教学楼的窗口C测得宿舍楼顶部D的仰角为18°，宿舍楼底部的俯角为20°，量得教学楼与宿舍楼之间的距离AB=30m，求宿舍楼的高BD（结果精确到0.1m）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）22.如图，已知四边形ABCD为平行四边形，其对角线相交于点O，AB⊥AC，tan∠CAD=34，求∠BDC的正弦值．23.在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=8x的一个交点为P（2，m）与x轴、y轴分别交于点A，B．（1）求m的值．（2）若PA=2AB，求点A的坐标．24.已知，如图，矩形ABCD的顶点A，D分别在△PMN的边PM，PN上，顶点B、C在△PMN的边MN上且AD=2AB．（1）请在图1中在线段AB的左侧画一个矩形EGBF∽矩形ABCD，使得点E，点G，点F分别在线段AM、AB、MB上．（保留必要的痕迹，并作简单的说明）（2）若矩形ABCD的边AD=4，tan M=12，请计算（1）中矩形EGBF的边长EF 的长度．（3）若矩形ABCD的边AD=4，tan M=m，则（1）中矩形EGBF的边长EF的长度为______．25.已知AB为⊙O的直径，BC⊥AB于B，且BC=AB，D为半圆⊙O上的一点，连接BD并延长交半圆⊙O的切线AE于E．（1）如图1，若CD=CB，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，若F点在OB上，且CD⊥DF，求AEAF的值．26.阅读下面材料：小明研究了这样一个问题：求使得等式kx+2-|x|=0（k＞0）成立的x的个数．小明发现，先将该等式转化为kx+2=|x|，再通过研究函数y=kx+2的图象与函数y=|x|的图象（如图）的交点，使问题得到解决．请回答：（1）当k=1时，使得原等式成立的x的个数为______；（2）当0＜k＜1时，使得原等式成立的x的个数为______；（3）当k＞1时，使得原等式成立的x的个数为______．参考小明思考问题的方法，解决问题：关于x的不等式x2+a-4x＜0（a＞0）只有一个整数解，求a的取值范围．27.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）28.在平面直角坐标系xOy中，若点P和点P1关于y轴对称，点P1和点P2关于直线l对称，则称点P2是点P关于y轴，直线l的二次对称点．（1）如图1，点A（-1，0）．①若点B是点A关于y轴，直线l1：x=2的二次对称点，则点B的坐标为______；②若点C（-5，0）是点A关于y轴，直线l2：x=a的二次对称点，则a的值为______；③若点D（2，1）是点A关于y轴，直线l3的二次对称点，则直线l3的表达式为______；（2）如图2，⊙O的半径为1．若⊙O上存在点M，使得点M'是点M关于y轴，直线l4：x=b的二次对称点，且点M'在射线y=33x（x≥0）上，b的取值范围是______；（3）E（t，0）是x轴上的动点，⊙E的半径为2，若⊙E上存在点N，使得点N'是点N关于y轴，直线l5：y=3x+1的二次对称点，且点N'在y轴上，求t的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，∴sinA==．故选：A．直接根据三角函数的定义求解即可．此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，用到的知识点：正弦函数的定义：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA=∠A的对边：斜边=a：c．2.【答案】C【解析】解：∵A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y=图象上的两点，∴y1=-=-6，y2=-=-2，∴y1＜y2．故选：C．根据反比例函数图象上点的坐标特征，把A点和B点坐标代入反比例函数解析式可计算出y1，y2，从而可判断它们的大小．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称．3.【答案】A【解析】【分析】根据垂径定理得到CE=DE，∠CEO=90°，根据圆周角定理得到∠COE=30°，根据直角三角形的性质得到CE=OC=1，最后由垂径定理得出结论．本题是圆的计算题，考查了垂径定理和勾股定理的运用，是常考题型；熟练掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；在圆中的计算问题中，因为常有直角三角形存在，常利用勾股定理求线段的长．【解答】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，∠CEO=90°，∵∠A=15°，∴∠COE=30°，在Rt△OCE中，OC=2，∠COE=30°，∴CE=OC=1，（直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半）∴CD=2CE=2，故选：A．4.【答案】C【解析】解：∵V=Sh（V为不等于0的常数），∴S=（h≠0），S是h的反比例函数．依据反比例函数的图象和性质可知，图象为反比例函数在第一象限内的部分．故选：C．先根据V=Sh得出S关于h的函数解析式，再根据反比例函数的性质解答，注意深度h的取值范围．本题主要考查了反比例函数的应用和反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．5.【答案】C【解析】解：过A点作AG⊥BC于G，过D点作DH⊥EF于H．在Rt△ABG中，AG=AB•sin40°=5sin40°，∠DEH=180°-140°=40°，在Rt△DHE中，DH=DE•sin40°=8sin40°，S1=8×5sin40°÷2=20sin40°，S2=5×8sin40°÷2=20sin40°．则S1=S2．故选：C．过A点作AG⊥BC于G，过D点作DH⊥EF于H．在Rt△ABG中，根据三角函数可求AG，在Rt△ABG中，根据三角函数可求DH，根据三角形面积公式可得S1，S2，依此即可作出选择．本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，关键是作出高线构造直角三角形．6.【答案】D【解析】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、∵AB2=AD•AC，∴=，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；D、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选：D．根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．7.【答案】D【解析】解：过C点作CD⊥x轴，垂足为D，∵点C的坐标为（3，4），∴OD=3，CD=4，∴OC===5，∴OC=BC=5，∴点B坐标为（8，4），∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过顶点B，∴k=32，故选：D．过C点作CD⊥x轴，垂足为D，根据点C坐标求出OD、CD、BC的值，进而求出B点的坐标，即可求出k的值．本题主要考查反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是求出点B的坐标，此题难度不大，是一道不错的习题．8.【答案】C【解析】解：如图：作GN⊥AB于N，作EM⊥AD于M，连接BE，BD∵四边形ABCD是菱形，AB=2∴CD=AD=AB=2，AB∥DC∵AB∥CD∴∠A=∠MDC=60°∵E是CD中点∴DE=1∵ME⊥AD，∠DMC=60°∴∠MED=30°，且ME⊥AD∴DM=，ME=DM=∵折叠∴AG=GE，∠AFG=∠EFG在Rt△GME中，GE2=GM2+GE2．∴GE2=（2-GE+）2+∴GE=在Rt△AGN中，∠A=60°，GN⊥AB∴AG=2AN∴AN=∴GN=∵BC=CD=2，∠C=60°∴△BCD是等边三角形∵E点是CD中点∴BE⊥CD，DE=1，∠BDC=60°∴BE=∵AB∥DC∴∠ABE=90°在Rt△EFB中，EF2=BE2+BF2．∴EF2=3+（2-EF）2．∴EF=∴AF=∵NF=AF-AN∴NF=在Rt△GNF中，GF==∴cos∠EFG=cos∠GFN==故选：C．作GN⊥AB于N，作EM⊥AD于M，连接BE，BD．在Rt△DME，Rt△GME，Rt△AGN，Rt△EFB中，根据勾股定理可求DM，ME，AN，EF的长，即可求FN 的长，即可得cos∠EFG值．本题考查了折叠问题，菱形的性质，勾股定理，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的关键．9.【答案】60°【解析】解：∵sinα=，∴α=60°，故答案为：60°．根据特殊角度的三角函数值求解．此题主要考查了特殊角度的三角函数值，是需要识记的内容．10.【答案】6π【解析】解：该扇形的面积S==6π．故答案为：6π．根据扇形的面积公式S=计算，即可得出结果．本题考查了扇形面积的计算，属于基础题．熟记公式是解题的关键．11.【答案】当x＞0时，y随x的增大而增大【解析】解：反比例函数y=-与二次函数y=x2的共同性质有当x＞0时，y随x的增大而增大，故答案为：当x＞0时，y随x的增大而增大．根据题目中的函数解析式可以写出它们共同的性质，本题得以解决．本题考查反比例函数的性质、二次函数的性质，解答本题的关键是明确它们各自的性质，注意本题答案不唯一，只要符合题意即可．12.【答案】9【解析】解：连接AC，由圆周角定理得，∠B=∠D，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴cosB==，又BC=6，∴AB=9，故答案为：9．连接AC，根据圆周角定理得到∠B=∠D，∠ACB=90°，根据余弦的定义计算即可．本题考查的是圆周角定理和锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．13.【答案】x＜0或x＞4【解析】解：∵反比例函数y=的图象经过点A（4，1），∴k=4×1=4，∴反比例函数的解析式为y=，图象如图所示．由图可知，当y＜1时，x＜0或x＞4．故答案为x＜0或x＞4．利用待定系数法求出反比例函数的解析式，画出函数的图象，再根据图象得出结论．本题考查的是利用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，利用数形结合是解答此题的关键．14.【答案】49【解析】解：∵AD=6，DB=3，∴AB=9，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=（）2=．故答案为：．条件可以求出AD：AB=2；3，再由条件可以得出△ADE∽△ABC，最后由相似三角形的性质就可以得出结论．本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．15.【答案】62【解析】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图，∵在Rt△CDA中，tanA=，设CD=3x，AD=4x，∵在Rt△CDB中，∠B=45°∴tanB==1，sinB=，∵CD=3x．∴BD=3x，BC=•3x=3x．又∵AB=AD+BD=14，∴4x+3x=14，解得x=2，∴BC=6．故答案为：6．作CD⊥AB于D，如图，先在Rt△CDA中利用tanA的定义可计算．本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解决此类问题的关键．16.【答案】22【解析】解：如图，作AP⊥直线y=-x+3，垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小，∵A的坐标为（-1，0），设直线与x轴，y轴分别交于C，B，∴B（0，3），C（4，0），∴OB=3，AC=5，∴BC==5，∴AC=BC，在△APC与△BOC中，，∴△APC≌△BOC，∴AP=OB=3，∴PQ==2．∵PQ2=PA2-1，此时PA最小，所以此时切线长PQ也最小，最小值为2．连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，当AP⊥直线y=-x+3时，PQ最小，根据全等三角形的性质得到AP=3，根据勾股定理即可得到结论．本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．17.【答案】2-1 2-1【解析】解：如图2，设CD=CA=a，则AD=a，∵∠B=22.5°，∠ADC=45°，∴∠DAB=22.5°，∴∠DAB=∠B，∴DB=DA=a，∴BC=BD+CD=（+1）a，在Rt△ABC中，tanB===-1，即tan22.5°=-1；故答案为-1；-1；如图3，延长BA到D，使AD=AB，则AB=AD=AC，∴∠D=∠ACD，∵∠CAB=∠D+∠ACD=30°，∴∠D=15°，作CH⊥AB于H，设CH=x，则AC=2x，AH=x，∴AD=AC=2x，∴DH=AD+AH=（2+）x，在Rt△DCH中，tanD===2-，即tan15°=2-．如图2，设CD=CA=a，△ACD为等腰直角三角形，则AD=a，易得∠DAB=∠B=22.5°，所以DB=DA=a，再在Rt△ABC中，利用正切定义可计算出tanB=-1，即tan22.5°=-1；如图3，延长BA到D，使AD=AB，则AB=AD=AC，则∠D=∠ACD，利用三角形外角性质易得∠D=15°，作CH⊥AB于H，设CH=x，利用含30度三边的关系得到AC=2x，AH=x，则AD=AC=2x，DH=AD+AH=（2+）x，然后在Rt△DCH中，利用正切的定义可计算出tanD=2-，即tan15°=2-．本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决本题的关键是构建含22.5度和15度的直角三角形．18.【答案】解：原式=4×22+3-22+1=22+3-22+1=3+1．【解析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．19.【答案】解：∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠AED=∠C=90°，又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，∴EACA=EDCB，又∵DE=2，BC=3，AC=6，∴EA6=23，∴AE=4．【解析】根据相似三角形的判定得出两三角形相似，得出比例式，代入求出即可．本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，能推出△AED∽△ACB是解此题的关键．20.【答案】三边相等的三角形是等边三角形同弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半【解析】解：（1）如图所示，∠AP1B，∠AP2B就是所求的角．（2）在⊙O中，连接OA，OB，∵△OAB为等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形），∴∠AOB=60°，∴∠AP1B=∠AOB=30°∴∠AP2B=∠AOB=30°（同弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半），故答案为：三边相等的三角形是等边三角形，同弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半．（1）根据作图步骤依次作图即可得；（2）根据等边三角形的判定与圆周角定理求解可得．本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质及圆周角定理．21.【答案】解：作CH⊥BD于H，如图，根据题意得∠DCH=18°，∠BCH=20°，易得四边形ABHC为矩形，则CH=AB=30，在Rt△DCH中，tan∠DCH=DHCH，∴DH=30tan18°=30×0.32=9.6（m），在Rt△BCH中，tan∠BCH=BHCH，∴BH=30tan20°=30×0.36=10.8（m），∴BD=10.8+9.6=20.4（m）．答：宿舍楼的高BD为20.4m．【解析】作CH⊥BD于H，如图，利用仰角和俯角定义得到∠DCH=18°，∠BCH=20°，利用正切定义，在Rt△DCH中计算出DH=30tan18°=9.6，在Rt△BCH中计算出BH=30tan20°=10.8，然后计算BH+DH即可得到宿舍楼的高BD．本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．22.【答案】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO=OC，AB=CD，∠ACD=∠BAC，∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∴∠ACD=90°，∵tan∠CAD=34，∴设CD=3x，AC=4x，∴OC=2x，∴OD=OC2+CD2=25x，∴sin∠BDC=OCOD=55．【解析】根据平行四边形的性质得到AO=OC，AB=CD，∠ACD=∠BAC，根据垂直的定义得到∠BAC=90°，设CD=3x，AC=4x，根据勾股定理得到OD==2x，根据锐角三角函数的定义即可得到结论．本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．23.【答案】解：（1）∵双曲线y=8x经过P（2，m），∴2m=8，解得：m=4；（2）点P（2，4）在y=kx+b上，∴4=2k+b，∴b=4-2k，∵直线y=kx+b（k≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，∴A（2-4k，0），B（0，4-2k）．作PC⊥x轴于点C．分两种情况：①如图1，点A在x轴负半轴，点B在y轴正半轴时，∵PA=2AB，∴AB=PB，则OA=OC，∴4k-2=2，解得k=1，故点A的坐标为（-2，0）；②如图2，当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴时，∵PA=2AB，∴PC=2OB，∴4=2（2k-4），解得k=3．故点A的坐标为（23，0）．综上所述，点A的坐标为（-2，0）或（23，0）．【解析】（1）将点P的坐标代入反比例函数的解析式即可求得m的值；（2）把点P（2，4）代入y=kx+b，得到b=4-2k，求出A（2-，0），B（0，4-2k）．作PC⊥x轴于点C，分两种情况进行讨论：①点A在x轴负半轴，点B在y轴正半轴；②点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是表示出A、B 两点的坐标，然后利用线段之间的倍数关系确定k的值，进行分类讨论是解题的关键．24.【答案】12m+1【解析】解：（1）如图1中，矩形EGBF即为所求．（2）∵AD=2AB，AD=4，∴AB=1，设EF=x，则EG=BF=2x，∵tanM===，∴BM=2，∴=，∴x=，∴EF=．（3）∵tanM===m，∴BM=，∴=m，∴x=．故答案为．（1）连接AC，作BE∥CA交PM于E，以EB为矩形的对角线作矩形EGBF即可．（2）由AD=2AB，AD=4，推出AB=1，设EF=x，则EG=BF=2x，根据tanM= ==，构建方程即可解决问题．（3）解法与（2）类似．本题考查相似多边形的性质，锐角三角函数，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】解：（1）连接DO，CO，∵BC⊥AB于B，∴∠ABC=90°，在△CDO与△CBO中，CD=CBOD=OBOC=OC，∴△CDO≌△CBO，∴∠CDO=∠CBO=90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADF+∠BDF=90°，∠DAB+∠DBA=90°，∵∠BDF+∠BDC=90°，∠CBD+∠DBA=90°，∴∠ADF=∠BDC，∠DAB=∠CBD，∵在△ADF和△BDC中，∠ADF=∠BDC∠DAB=∠CBD，∴△ADF∽△BDC，∴ADBD=AFBC，∵∠DAE+∠DAB=90°，∠E+∠DAE=90°，∴∠E=∠DAB，∵在△ADE和△BDA中，∠ADE=∠BDA=90∘∠E=∠DAB，∴△ADE∽△BDA，∴AEAB=ADBD，∴AEAB=AFBC，即AEAF=ABBC，∵AB=BC，∴AEAF=1．【解析】（1）连接DO，CO，易证△CDO≌△CBO，即可解题；（2）连接AD，易证△ADF∽△BDC和△ADE∽△BDA，根据相似三角形对应边成比例的性质即可解题．本题考查了相似三角形的判定和性质，考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证△ADF∽△BDC和△ADE∽△BDA是解题的关键．26.【答案】1 2 1【解析】解：（1）当k=1时，如图1，使得原等式成立的x的个数为1；（2）当0＜k＜1时，如图2，使得原等式成立的x的个数为2；（3）当k＞1时，如图3，使得原等式成立的x的个数为1．故答案为：（1）1；（2）2；（3）1．解决问题：将不等式转化为，研究函数y=x2+a（a＞0）与函数的图象的交点，如图4，∵函数的图象经过点A（1，4），B（2，2），函数y=x2的图象经过点C（1，1），D（2，4），若函数y=x2+a（a＞0）经过点A（1，4），则a=3，结合图象可知，当0＜a＜3时，关于x的不等式只有一个整数解．也就是当0＜a＜3时，关于x的不等式只有一个整数解．（1）画出y=x+2的函数图象，确定交点个数；（2）当0＜k＜1时，画出y=kx+2的函数图象，确定交点个数；（3）当k＞1时，画出y=kx+2的函数图象，确定交点个数；解决问题：将不等式转化为，研究函数y=x2+a（a＞0）与函数的图象的交点，即可解答．本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，反比例函数的图象，解决本题的关键是画出函数图象，确定两函数图形的交点个数．27.【答案】（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，则∠BDE+∠FDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠FDE+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠C=45°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°-∠C=135°，∵∠BFD=45°，DF⊥BC，∴∠BFD=45°，BD=DF，∴∠AFD=135°，∴∠EBD=∠AFD，在△BDE和△FDA中∠EBD=∠AFDBD=DF∠BDE=∠ADF，∴△BDE≌△FDA（ASA），∴AD=DE；（2）解：DE=3AD，理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，则∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，∴∠C=60°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°-∠C=120°，∵∠ABC=30°，DG⊥BC，∴∠BGD=60°，∴∠AGD=120°，∴∠EBD=∠AGD，∴△BDE∽△GDA，∴ADDE=DGBD，在Rt△BDG中，DGBD=tan30°=33，∴DE=3AD；（3）AD=DE•tanα；理由：如图2，∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠EBD=90°+α，∠AGD=90°+α，∴∠EBD=∠AGD，∴△EBD∽△AGD，∴ADDE=DGBD，在Rt△BDG中，DGBD=tanα，则ADDE=tanα，∴AD=DE•tanα．【解析】（1）首先过点D作DF⊥BC，交AB于点F，得出∠BDE=∠ADF，以及∠EBD=∠AFD，再得出△BDE≌△FDA（ASA），求出即可；（2）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE∽△GDA即可得出答案；（3）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE∽△GDA即可得出答案．此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，得出△EBD∽△AGD是解题关键．28.【答案】（3.0） -2 y=-x+2 -12≤b≤1【解析】解：（1）．①如图1中，点A（-1，0）关于y轴的对称点A1（1，0），A1关于直线x=2的对称点B（3，0）．②如图2中，由题意C（-5，0），A1（1，0），∵A1、C关于直线x=a对称，∴a=-2．③如图3中，∵A1（1，0），D（2，1），∴直线A1D的解析式为y=x-1，线段A1D的中垂线的解析式为y=-x+2，∴直线l3的解析式为y=-x+2．故答案分别为（3，0），a=-2．y=-x+2．（2）如图4中，由题意b=MM′，由此可知，当MM′的值最大时，可得b的最大值，∵直线OM′的解析式为y=x，∴∠MM′O=∠M′OD=30°，∵OM=1，易知，OM⊥OM′时，MM′的值最大，最大值为2，∴b的最大值为1，如图5中，易知当点M在x轴的正半轴上时，可得b的最小值，最小值为-，综上所述，满足条件的b取值范围为-≤b≤1．故答案为-≤b≤1．（3）如图6中，设点E关于y轴的对称点为E1，E1关于直线y=x+1的对称点为E′，易知当点N在⊙E上运动时，点N′在⊙E′上运动，由此可见当⊙E′与y轴相切或相交时满足条件．连接E1E′交直线y=x+1于K，易知直线E1E′的解析式为y=-x-t，由解得，∴K（，），∵KE1=KE′，∴E′（，），当⊙E′与y轴相切时，||=2，解得t=-4或+4，综上所述，满足条件的t的取值范围为-4≤t≤+4．（1）①②③根据二次对称点的定义，分别画出图形，即可解决问题．（2）根据二次对称点的定义，画出图形，求出b的最大值以及最小值即可解决问题．（3）如图6中，设点E关于y轴的对称点为E1，E1关于直线y=x+1的对称点为E′，易知当点N在⊙E上运动时，点N′在⊙E′上运动，由此可见当⊙E′与y轴相切或相交时满足条件．想办法求出点E′的坐标即可解决问题．本题考查圆综合题、一次函数的应用、二元一次方程组的应用、轴对称变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图形，寻找特殊位置解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．。
2020-2021北京市清华大学附属中学初三数学上期末模拟试卷(及答案)
2020-2021北京市清华大学附属中学初三数学上期末模拟试卷(及答案)一、选择题1．毕业前期，某班的全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张.设某班共有x 名学生，那么所列方程为( )A ．()1119802x x +=B ．()1119802x x -= C ．()11980x x += D ．()11980x x -=2．如图，AB 是圆O 的直径，CD 是圆O 的弦，若35C ∠=︒，则ABD ∠=（ ）A ．55︒B ．45︒C ．35︒D ．65︒3．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x+k=0的两个根，则k 的值是（ ）A ．27B ．36C ．27或36D ．184．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac ＜b 2；②方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1＝－1，x 2＝3；③3a ＋c ＞0；④当y ＞0时，x 的取值范围是－1≤x ＜3；⑤当x ＜0时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的个数是( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 5．二次函数236y x x =-+变形为()2y a x m n =++的形式，正确的是（ ）A ．()2313y x =--+B ．()2313y x =--- C ．()2313y x =-++ D ．()2313y x =-+- 6．如图，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F .P 是⊙A 上一点，且∠EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是( )A ．4－9πB ．4－89πC ．8－49πD ．8－89π 7．将抛物线y=2x 2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（ ）A ．y=2（x ﹣3）2﹣5B ．y=2（x+3）2+5C ．y=2（x ﹣3）2+5D ．y=2（x+3）2﹣58．下列函数中是二次函数的为（ ）A ．y ＝3x －1B ．y ＝3x 2－1C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝x 3＋2x －3 9．二次函数2y (x 3)2=-++图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为( )A ．向下，直线x 3=，()3,2B ．向下，直线x 3=-，()3,2C ．向上，直线x 3=-，()3,2D ．向下，直线x 3=-，()3,2-10．如图，矩形 ABCD 中，AB=8，BC=6，将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转得到矩形 AEFG ，AE ，FG 分别交射线CD 于点 PH ，连结 AH ，若 P 是 CH 的中点，则△APH 的周长为（ ）A ．15B ．18C ．20D ．2411．若20a ab -=（b ≠0），则a ab +=（ ） A ．0 B ．12 C ．0或12 D ．1或 212．关于y=2（x ﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（ ）A ．顶点坐标为（﹣3，2）B ．对称轴为直线y=3C ．当x≥3时，y 随x 增大而增大D ．当x≥3时，y 随x 增大而减小二、填空题13．抛物线y=2(x −3)2+4的顶点坐标是__________________．14．如图，抛物线y ＝﹣2x 2+2与x 轴交于点A 、B ，其顶点为E ．把这条抛物线在x 轴及其上方的部分记为C 1，将C 1向右平移得到C 2，C 2与x 轴交于点B 、D ，C 2的顶点为F ，连结EF ．则图中阴影部分图形的面积为______．15．若直角三角形两边分别为6和8，则它内切圆的半径为_____．16．如图，在直角坐标系中，已知点30A （，）、04B （，），对OAB V 连续作旋转变换，依次得到1234V V V V 、、、，则2019V 的直角顶点的坐标为__________．17．抛物线y=﹣x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是_____．18．在一个不透明的口袋中装有5个红球和3个白球，他们除颜色外其他完全相同，任意摸出一个球是白球的概率为________．19．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A 、B 、C 、D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x 2﹣6x ﹣16，AB 为半圆的直径，则这个“果圆”被y 轴截得的线段CD 的长为_____．20．已知二次函数y =a (x +3)2﹣b (a ≠0)有最大值1，则该函数图象的顶点坐标为_____．三、解答题21．一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．（1）采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；（2）求摸出的两个小球号码之和等于4的概率．22．鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？23．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米.（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；24．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣(n﹣1)＝0有两个不相等的实数根．(1)求n的取值范围；(2)若n为取值范围内的最小整数，求此方程的根．25．今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：（1）填空：每天可售出书本（用含x的代数式表示）；（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】根据题意得：每人要赠送（x-1）张贺卡，有x个人，然后根据题意可列出方程：（x-1）x=1980．【详解】解：根据题意得：每人要赠送（x-1）张贺卡，有x个人，∴全班共送：（x-1）x=1980，故选：D ．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送(x-1)张贺卡，有x 个人是解决问题的关键．2．A解析：A【解析】【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得35BAD C =∠=︒∠，再根据圆直径所对的圆周角是直角，可得90ADB ∠=︒，再根据三角形内角和定理即可求出ABD ∠的度数．【详解】∵35C ∠=︒∴35BAD C =∠=︒∠∵AB 是圆O 的直径∴90ADB ∠=︒∴18055ABD ADB BAD =︒--=︒∠∠∠故答案为：A ．【点睛】本题考查了圆内接三角形的角度问题，掌握同弧所对的圆周角相等、圆直径所对的圆周角是直角、三角形内角和定理是解题的关键．3．B解析：B【解析】试题分析：由于等腰三角形的一边长3为底或为腰不能确定，故应分两种情况进行讨论：（1）当3为腰时，其他两条边中必有一个为3，把x=3代入原方程可求出k 的值，进而求出方程的另一个根，再根据三角形的三边关系判断是否符合题意即可；（2）当3为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相等的实数根，由△=0可求出k 的值，再求出方程的两个根进行判断即可．试题解析：分两种情况：（1）当其他两条边中有一个为3时，将x=3代入原方程，得：32-12×3+k=0解得:k=27将k=27代入原方程，得：x 2-12x+27=0解得x=3或93，3，9不能组成三角形，不符合题意舍去；（2）当3为底时，则其他两边相等，即△=0，此时：144-4k=0将k=36代入原方程，得：x 2-12x+36=0解得：x=63，6，6能够组成三角形，符合题意．故k 的值为36．故选B ．考点：1．等腰三角形的性质；2．一元二次方程的解．4．B解析：B【解析】【分析】【详解】解：∵抛物线与x 轴有2个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x =1，而点（﹣1，0）关于直线x =1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax 2+bx +c =0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3，所以②正确；∵x =﹣2b a=1，即b =﹣2a ，而x =﹣1时，y =0，即a ﹣b +c =0，∴a +2a +c =0，所以③错误； ∵抛物线与x 轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x =1，∴当x ＜1时，y 随x 增大而增大，所以⑤正确． 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2﹣4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．5．A解析：A【解析】【分析】根据配方法，先提取二次项的系数-3，得到()232y x x =--，再将括号里的配成完全平方式即可得出结果．【详解】解：()()()222236=323211313y x x x x x x x =-+--=--+-=--+，【点睛】本题主要考查的是配方法，正确的掌握配方的步骤是解题的关键．6．B解析：B【解析】试题解析：连接AD ，∵BC 是切线，点D 是切点，∴AD ⊥BC ，∴∠EAF=2∠EPF=80°，∴S 扇形AEF =280?283609ππ=， S △ABC =12AD•BC=12×2×4=4， ∴S 阴影部分=S △ABC -S 扇形AEF =4-89π． 7．A解析：A【解析】把22y x =向右平移3个单位长度变为：223()y x =-，再向下平移5个单位长度变为：22(3)5y x =--．故选A ．8．B解析：B【解析】A. y =3x −1是一次函数，故A 错误；B. y =3x 2−1是二次函数，故B 正确；C. y =(x +1)2−x 2不含二次项，故C 错误；D. y =x 3+2x −3是三次函数，故D 错误；故选B.9．D解析：D【解析】【分析】已知抛物线解析式为顶点式，根据二次项系数可判断开口方向，根据解析式可知顶点坐标及对称轴．【详解】解：由二次函数y=-（x+3）2+2，可知a=-1＜0，故抛物线开口向下；顶点坐标为（-3，2），对称轴为x=-3．故选：D ．【点睛】顶点式可判断抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，最大（小）值，函数的增减性．10．C解析：C【解析】【分析】连结AC ，先由△AGH ≌△ADH 得到∠GHA ＝∠AHD ，进而得到∠AHD ＝∠HAP ，所以△AHP 是等腰三角形，所以PH ＝PA ＝PC ，所以∠HAC 是直角，再在Rt △ABC 中由勾股定理求出AC 的长，然后由△HAC ∽△ADC ，根据＝求出AH 的长，再根据△HAC ∽△HDA 求出DH 的长，进而求得HP 和AP 的长，最后得到△APH 的周长.【详解】∵P 是CH 的中点，PH ＝PC ，∵AH ＝AH ，AG ＝AD ，且AGH 与ADH 都是直角，∴△AGH ≌△ADH ，∴∠GHA ＝∠AHD ，又∵GHA ＝HAP ，∴∠AHD ＝∠HAP ，∴△AHP 是等腰三角形，∴PH ＝PA ＝PC ，∴∠HAC 是直角，在Rt △ABC 中，AC ＝＝10，∵△HAC ∽△ADC ，∴＝，∴AH ＝＝＝7.5，又∵△HAC ∽△HAD ，＝，∴DH ＝4.5，∴HP ＝＝6.25，AP ＝HP ＝6.25，∴△APH 的周长＝AP ＋PH ＋AH ＝6.25＋6.25＋7.5＝20.【点睛】本题主要考查直角三角形的性质以及相似三角形的性质，解题的关键是清楚直角三角形斜边上的中线是斜边的一半以及会运用相似三角形线段成比例求出各边长的长.11．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：∵20a ab -= ()0b ≠，∴a(a-b)=0，∴a=0，b=a．当a=0时，原式=0；当b=a时，原式=12，故选C12．C解析：C【解析】∵ y=2（x﹣3）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（3，2），对称轴为直线x=3，∴当3x 时，y随x的增大而增大.∴选项A、B、D中的说法都是错误的，只有选项C中的说法是正确的.故选C.二、填空题13．(34)【解析】【分析】根据二次函数配方的图像与性质即可以求出答案【详解】在二次函数的配方形式下x-3是抛物线的对称轴取x=3则y=4因此顶点坐标为（34）【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质解析：(3,4)【解析】【分析】根据二次函数配方的图像与性质，即可以求出答案.【详解】在二次函数的配方形式下，x-3是抛物线的对称轴，取x=3,则y=4，因此，顶点坐标为（3，4）.【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质.14．4【解析】【分析】由S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE即可求解【详解】令y＝0则：x＝±1令x＝0则y＝2则：OB＝1BD＝2OB＝2S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE＝2×2＝解析：4【解析】【分析】由S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE，即可求解．【详解】令y＝0，则：x＝±1，令x＝0，则y＝2，则：OB＝1，BD＝2，OB＝2，S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE＝2×2＝4．故：答案为4．【点睛】本题考查的是抛物线性质的综合运用，确定S阴影部分图形＝S四边形BDFE是本题的关键．15．2或-1【解析】【分析】根据已知题意求第三边的长必须分类讨论即8是斜边或直角边的两种情况然后利用勾股定理求出另一边的长再根据内切圆半径公式求解即可【详解】若8是直角边则该三角形的斜边的长为：∴内切圆解析：2-1【解析】【分析】根据已知题意，求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求出另一边的长，再根据内切圆半径公式求解即可.【详解】若8，∴内切圆的半径为：6+810=22-；若8=1.故答案为2【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的内切圆，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键.16．【解析】【分析】根据勾股定理列式求出AB的长再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环然后求出一个循环组旋转前进的长度再用2019除以3根据商为673可知第201解析：()8076,0【解析】【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2019除以3，根据商为673可知第2019个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．【详解】解：∵点A（-3，0）、B（0，4），∴，由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，∵2019÷3=673，∴△2019的直角顶点是第673个循环组的最后一个三角形的直角顶点，∵673×12=8076，∴△2019的直角顶点的坐标为（8076，0）．故答案为（8076，0）.【点睛】本题主要考查了点的坐标变化规律，仔细观察图形得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点．图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．17．－3＜x＜1【解析】试题分析：根据抛物线的对称轴为x=﹣1一个交点为（10）可推出另一交点为（﹣30）结合图象求出y＞0时x的范围解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x=﹣1已知一个交点为（1解析：－3＜x＜1【解析】试题分析：根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围．解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0），根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．故答案为﹣3＜x＜1．考点：二次函数的图象．18．【解析】【分析】【详解】解：∵在一个不透明的口袋中装有5个红球和3个白球∴任意从口袋中摸出一个球来P（摸到白球）==解析：3 8【解析】【分析】【详解】解：∵在一个不透明的口袋中装有5个红球和3个白球，∴任意从口袋中摸出一个球来，P（摸到白球）=353=38.19．20【解析】【分析】抛物线的解析式为y=x2-6x-16可以求出AB=10；在Rt△COM中可以求出CO=4；则：CD=CO+OD=4+16=20【详解】抛物线的解析式为y=x2-6x-16则D（0解析：20【解析】【分析】抛物线的解析式为y=x 2-6x-16，可以求出AB=10；在Rt △COM 中可以求出CO=4；则：CD=CO+OD=4+16=20．【详解】抛物线的解析式为y=x 2-6x-16，则D （0，-16）令y=0，解得：x=-2或8，函数的对称轴x=-2b a=3，即M （3，0）， 则A （-2，0）、B （8，0），则AB=10， 圆的半径为12AB=5， 在Rt △COM 中，OM=5，OM=3，则：CO=4，则：CD=CO+OD=4+16=20．故答案是：20.【点睛】考查的是抛物线与x 轴的交点，涉及到圆的垂径定理．20．(﹣31)【解析】【分析】根据二次函数y=a （x-h ）2+k （a≠0）的顶点坐标是（hk ）即可求解【详解】解：∵二次函数y=a(x+3)2﹣b(a≠0)有最大值1∴﹣b=1根据二次函数的顶点式方程y解析：(﹣3，1)【解析】【分析】根据二次函数y=a （x-h ）2+k （a ≠0）的顶点坐标是（h ，k ），即可求解．【详解】解：∵二次函数y =a (x +3)2﹣b (a ≠0)有最大值1，∴﹣b =1，根据二次函数的顶点式方程y =a (x +3)2﹣b (a ≠0)知，该函数的顶点坐标是：(﹣3，﹣b )， ∴该函数图象的顶点坐标为(﹣3，1)．故答案为：(﹣3，1)．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式y=a（x-h）2+k中的h、k所表示的意义．三、解答题21．(1)见解析;(2)1 3 .【解析】【分析】（1）画树状图列举出所有情况；（2）让摸出的两个球号码之和等于4的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】解：（1）根据题意，可以画出如下的树形图：从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种．（2）由树状图知摸出的两个小球号码之和等于4的有2种结果，∴摸出的两个小球号码之和等于4的概率为=．【点睛】本题要查列表法与树状图法求概率，列出树状图得出所有等可能结果是解题关键. 22．（1）y=－2x+200（30≤x≤60）（2）w=－2（x－65）2 +2000）;（3）当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元【解析】【分析】（1）设出一次函数解析式，把相应数值代入即可．（2）根据利润计算公式列式即可；（3）进行配方求值即可．【详解】（1）设y=kx+b，根据题意得806010050k bk b=+⎧⎨=+⎩解得：k2b200=-⎧⎨=⎩∴y=－2x+200（30≤x≤60）（2）W=（x－30）（－2x+200）－450=－2x2+260x－6450=－2（x－65）2 +2000）（3）W =－2（x－65）2 +2000∵30≤x≤60∴x=60时,w有最大值为1950元∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元考点：二次函数的应用．23．（1）12（2）当x=11时，y 最小=88平方米【解析】（1）根据题意得方程解即可；（2）设苗圃园的面积为y ，根据题意得到二次函数的解析式y=x （30-2x ）=-2x 2+30x ，根据二次函数的性质求解即可.解： (1)苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x )米．依题意可列方程 x (30－2x )＝72，即x 2－15x ＋36＝0．解得x 1＝3（舍去），x 2＝12．(2)依题意，得8≤30－2x ≤18．解得6≤x ≤11．面积S ＝x (30－2x )＝－2(x －152)2＋2252(6≤x ≤11)． ①当x ＝152时，S 有最大值，S 最大＝2252； ②当x ＝11时，S 有最小值，S 最小＝11×(30－22)＝88“点睛”此题考查了二次函数、一元二次不等式的实际应用问题，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可.24．(1)n ＞0；(2)x 1＝0，x 2＝2．【解析】【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可知240b ac ∆=-> ，即可求出n 的取值范围； （2）根据题意得出n 的值，将其代入方程，即可求得答案.【详解】(1)根据题意知，[]224(2)41(1)0b ac n ∆=-=--⨯⨯-->解之得：0n >；(2)∵0n > 且n 为取值范围内的最小整数，∴1n =，则方程为220x x -=，即(2)0x x -=，解得120,2x x ==．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=-的关系（①当>0∆ 时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆= 时方程有两个相等的实数根；③当∆<0 时，方程无实数根）是解题关键.25．（1）（300﹣10x ）．（2）每本书应涨价5元．【解析】试题分析：（1）每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x 元，则每天就会少售出10x本，所以每天可售出书（300﹣10x）本；（2）根据每本图书的利润×每天销售图书的数量=总利润列出方程，解方程即可求解.试题解析：（1）∵每本书上涨了x元，∴每天可售出书（300﹣10x）本．故答案为300﹣10x．（2）设每本书上涨了x元（x≤10），根据题意得：（40﹣30+x）（300﹣10x）=3750，整理，得：x2﹣20x+75=0，解得：x1=5，x2=15（不合题意，舍去）．答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．。
北京—零一中学2020-2021学年九年级上学期12月月考数学试题(解析版)
北京101中学2021届上学期初中九年级12月月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每题2分，共20分）1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解．【详解】解：第一个图形是中心对称图形，第二个图形不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形，第四个图形不是中心对称图形，所以，中心对称图有2个．故选B ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2. 若点(,)A a b 在双曲线3y x=上，则代数式8ab -的值为（ ）A. －12B. －7C. －5D. 5【答案】C【解析】【分析】把A 点坐标代入反比例函数解析式即可求出ab 的值．【详解】解：把(,)A a b 代入3y x =得，ab =3，8385ab -=-=-，故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，解题关键是把点的坐标代入解析式，然后整体代入求值．3. 方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】先求出Δ的值，再判断出其符号即可．【详解】解：∵Δ=（-3）2-4×1×(-1)=13＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情况与判别式Δ的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．4. 如图，AC与BD相交于点E，AD∥BC，若2,3,3===，则BC的长度是AE CE AD（）A. 2B. 3C. 4D. 92【答案】D【解析】【分析】由平行得到△BCE ∽△DAE ，然后得到对应边的比例关系，求解即可．【详解】∵AD ∥BC∴△BCE ∽△DAE ∴BC CEAD AE=∴39322CE BC AD AE =×=´=故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，由相似得到比例关系是解题的关键．5. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AB ＝10，AC ＝CD ＝5，则∠ABD 的度数为（ ）A. 30°B. 45°C. 50°D. 60°【答案】D【解析】【分析】连接OC 、OD ，证出△AOC 和△COD 是等边三角形，得∠AOC ＝∠COD ＝60°，则∠AOD ＝120°，由圆周角定理得出∠ABD ＝12∠AOD ＝60°即可．【详解】解：连接OC 、OD ，如图所示：∵OC ＝OD ＝OA ＝12AB ＝5，AC ＝CD ＝5，∴OA ＝AC ＝OC ＝CD ＝OD ，∴△AOC 和△COD 是等边三角形，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°，∴∠AOD ＝60°＋60°＝120°，∴∠ABD ＝12∠AOD ＝60°；故选：D ．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角为圆心角的一半是关键．6. 已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在（ ）A. ⊙O的内部B. ⊙O的外部C. ⊙O上或⊙O的内部D. ⊙O上或⊙O的外部【答案】B【解析】【分析】先解一元二次方程，得到d值，再比较d与半径4的大小，若d﹥4，则点P在⊙O的外部，若d﹤4，则点P在⊙O的内部，若d=4，则点P在⊙O上，即可解答．【详解】解：原方程可化为：（x﹣5）（x+1）＝0，解得：x1=5，x2=﹣1（舍去），∴d=5，∵d=5﹥4，∴点P在⊙O的外部，故选：B．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、解一元二次方程，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解答的关键．7. 如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，OB=，则线段BP的长为（）Ð=°，430PA. 4B. 43C. 8D. 12【答案】A【解析】【分析】要求BP，由BP在OP上，OB=4已知只要求出OP，需和切线结合，为此连OA，构成直角三角形，由OA为半径，30Ð=°，利用30º角所对直角边等于斜边的一半，可P求OP即可．【详解】连接OA，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP=90º，Q,OB=4∴OA=OB=4，在Rt△OAP中，∵30Ð=°，，P∴OP=2OA=8，BP=OP-OB=8-4=4．故选择：A．【点睛】本题考查圆外一点到圆的距离问题，关键是切点与圆心紧紧相连，构成半径，切线长，连心线组成直角三角形解决问题，掌握切线的性质，30º直角三角形的性质．8. 如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了36°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）A. πcmB. 2πcmC. 3πcmD. 4πcm【答案】B【解析】【分析】根据定滑轮的性质得到重物上升的高度即为滑轮转过的弧长，利用弧长公式计算即可．【详解】解：根据题意得：滑轮转过的弧长()3610=2cm 180p p ´则重物上升了2πcm ，故选：B ．【点睛】此题考查了旋转的性质，以及弧长公式，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．9. 如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，BA ＝BC ，将BC 绕点B 顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP ，连结CP ，过点A 作AH ⊥CP 交CP 的延长线于点H ，连结AP ，则∠P AH 的度数（ ）A. 随着θ的增大而增大B. 随着θ的增大而减小C. 不变D. 随着θ的增大，先增大后减小【答案】C【解析】【分析】由旋转的性质可得BC ＝BP ＝BA ，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC +∠BP A ＝135°＝∠CP A ，由外角的性质可求∠P AH ＝135°﹣90°＝45°，即可求解．【详解】解：∵将BC 绕点B 顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP ，∴BC ＝BP ＝BA ，∴∠BCP ＝∠BPC ，∠BP A ＝∠BAP ，∵∠CBP +∠BCP +∠BPC ＝180°，∠ABP +∠BAP +∠BP A ＝180°，∠ABP +∠CBP ＝90°，∴∠BPC +∠BP A ＝135°＝∠CP A ，∵∠CP A ＝∠AHC +∠P AH ＝135°，∴∠P AH ＝135°﹣90°＝45°，∴∠P AH 的度数是定值，故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．10. 如图，在平面直角坐标系中，直线y x =-与双曲线k y x=交于A 、B 两点，P 是以点(2,2)C 为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP ，Q 为AP 的中点．若线段OQ 长度的最大值为2，则k 的值为（ ）A. 12- B. 32- C. 2- D. 14-【答案】A【解析】【分析】连接BP ，证得OQ 是△ABP 的中位线，当P 、C 、B 三点共线时PB 长度最大，PB=2OQ=4，设 B 点的坐标为（x ，-x ），根据点(2,2)C ，可利用勾股定理求出B 点坐标，代入反比例函数关系式即可求出k 的值．【详解】解：连接BP ，∵直线y x =-与双曲线k y x=的图形均关于直线y=x 对称，∴OA=OB ，∵点Q 是AP 的中点，点O 是AB 的中点∴OQ 是△ABP 的中位线，当OQ 的长度最大时，即PB 的长度最大，∵PB≤PC+BC ，当三点共线时PB 长度最大，∴当P 、C 、B 三点共线时PB=2OQ=4，∵PC=1，∴BC=3，设B 点的坐标为（x ，-x ），则3=，解得12,22x x ==-（舍去）故B 点坐标为,22æö-ç÷ç÷èø，代入k y x =中可得：12k =-，故答案为：A ．【点睛】本题考查三角形中位线的应用和正比例函数、反比例函数的性质，结合题意作出辅助线是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分）11. 若关于x 的方程230x bx a ++=有一个根为－1，则3a b -的值为______．【答案】-1【解析】【分析】把-1代入原方程即可．【详解】解：把x= -1代入230x bx a ++=得，130b a -+=，31a b -=-，故答案为：-1．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，解题关键是理解方程根的意义，把未知数的值代入原方程．12. 已知反比例函数1k y x-=的图象分别位于第二、第四象限，请写出一个符合题意的k 的值______．【答案】0（答案不唯一，满足k<1即可）．【解析】【分析】根据反比例函数的性质得到k-1＜0，然后取k <1即可得到满足条件的k 的值．【详解】解：∵反比例函数1k y x-=的图象在第二、四象限，∴k-1＜0，∴k<1故k=0故答案为：0（答案不唯一，满足k<1即可）．【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y=k x（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．13. 如图，一块含30°角的直角三角板，将它的30°角顶点A 落在⊙O 上，边AB 、AC 分别与⊙O交于点D、E，则∠DOE的度数为______．【答案】60°【解析】【分析】根据圆周角定理解决问题即可，同弧所对圆心角是圆周角的两倍；【详解】∵∠BAC=30°，∴∠DOE=2∠BAC=60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题；14. 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，求水面宽AB＝_____m．【答案】8．【解析】【分析】连结OA，先计算OD的长，由勾股定理解得AD的长，再根据垂径定理可得AB=2AD，据此解题．【详解】连结OA，Q拱桥半径OC为5cm，5OA\=cm，8CD=Q m，853OD\=-=cm，224AD OA OD\=-==m2248AB AD\==´=m，故答案为：8．【点睛】本题考查垂径定理及其推论、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15. 如图,在平面直角坐标系xOy中,点B在y轴上,AB AO= ,反比例函数()ky xx=>的图象经过点A,若ABOV的面积为2,则k的值为.__________．【答案】2【解析】【分析】过点A作AD⊥y轴于点D,结合等腰三角形的性质得到△AD O的面积为1,所以根据反比例函数系数k的几何意义求得k的值.【详解】如图，过点A作AD⊥y轴于点D∵AB=A O,△AB O 的面积是2，∴11||122ADOABO SS k \===V V 又反比例函数的图像位于第一象限，k ＞0，则k=2.故答案是2【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，作出辅助线构建三角形是解决本题的关键.16. 一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为12π，则这个圆锥底面圆的半径为________．【答案】6【解析】【分析】利用圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长计算．【详解】设底面圆半径为r ，则2πr=12π，化简得r=6．故答案为6．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．17. 已知抛物线22(2)2y x m x m =+++-与x 轴交于A 、B （A 在B 左侧）两点，且对称轴为=1x -，则（1）m 的值为________；（2）当0y >时，x 的取值范围是_______．【答案】 ①. -1 . ②3x <-或1x >【解析】【分析】（1）根据抛物线对称轴公式2b x a=-，代入求值即可；（2）求出抛物线与x 轴的交点坐标，再根据图象确定取值范围．【详解】解：（1）∵抛物线对称轴为=1x -，∴2(2)12m +-=-，解得，m=-1，∴抛物线解析式为：223y x x =+-，当y=0时，2023x x =+-，解得，121,3x x ==-，抛物线图象如图所示，当0y >时，x 的取值范围是3x <-或1x >，故答案为：-1，3x <-或1x >．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题关键是熟知抛物线对称轴公式，树立数形结合思想，根据图象判断取值范围．18. 如图，Rt ABC D 中，90C Ð=°，6AC =，8BC =，则ABC D 的内切圆半径为________．【答案】2【解析】【分析】先由勾股定理求出AB 的长，再根据切线性质和正方形的判定这证得四边形OECF 是正方形，然后利用切线长定理求得半径r 即可．【详解】如图，∵在Rt ABC D ，90C Ð=°，6AC =，8BC =∴由勾股定理得：2210AB AC BC =+=，∵圆O 为ABC D 的内切圆，∴OE OF =，90OEC OFC C Ð=Ð=Ð=°；\四边形OECF 是正方形；由切线长定理，得：AD AF =，BD BE =，CE CF =；1()2CE CF AC BC AB \==+-，即：1(6810)22r =+-=，故答案为：2．【点睛】本题考查了切线的性质、正方形的判定与性质、切线长定理、勾股定理，熟练掌握切线性质和切线长定理是解答的关键．19. 在平面直角坐标系xOy 中，函数1()y x x m =<的图象与函数22()y x x m =³的图象组成图形G ，对于任意实数n ，过点(0,)P n 且与x 轴平行的直线总与图形G 有公共点，则实数m 的取值范围是_______．【答案】01m ££【解析】【分析】首先理解题意，任意一条平行于x 轴的直线都能与指定区间的两个图象构成的新图形G 有交点，先求得两个函数的图象的交点，根据图象即可求得．【详解】解：由 2y xy x =ìí=î解得00x y =ìí=î 或11x y =ìí=î ，∴函数y 1＝x 的图象与函数y 2＝x 2的图象的交点为（0，0）和（1，1），∵函数y 1＝x （x ＜m ）的图象与函数y 2＝x 2（x≥m ）的图象组成图形G ．由图象可知，对于任意实数n ，过点P （0，n ）且与x 轴平行的直线总与图形G 有公共点，则0≤m≤1，故答案为：0≤m≤1．【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，理解题意，求得交点坐标是解题的关键．20. 三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i ＝1，2，3．（1）记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_____；（2）记i p 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则123,,p p p 中最大的是_____．【答案】 ①. 1Q . ②2p【解析】【分析】（1）若Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q i ＝A i 的综坐标+B i 的纵坐标；进而得到答案．（2）若p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i 为A i B i 中点与原点连线的斜率；进而得到答案．【详解】解：（1）若Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，Q 1＝A 1的纵坐标+B 1的纵坐标；Q 2＝A 2的纵坐标+B 2的纵坐标，Q 3＝A 3的纵坐标+B 3的纵坐标，由已知中图象可得：Q 1，Q 2，Q 3中最大的是Q 1，（2）若p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i 为A i B i 中点与原点连线的斜率，故p 1，p 2，p 3中最大的是p 2故答案为：Q 1，p 2【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，分析出Q i和p i的几何意义，是解答的关键．三、解答题（本题共50分，第21题6分，第22~23题，每小题5分；第24~25题，每小题6分；第26~27题，每小题7分，第28题8分）21. 下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，⊙O及⊙O上一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图，作射线OP；① 在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；②连接并延长BA与⊙A交于点C；③作直线PC；则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC=90°填推理依据）．∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（填推理依据）．【答案】（1）见解析；（2）直径所对的圆周角是直角；过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据圆周角定理得到∠BPC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论．【详解】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC 即为所求；（2）证明：∵BC 是⊙A 的直径，∴∠BPC=90°（圆周角定理），∴OP ⊥PC ．又∵OP 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线（切线的判定）．故答案为：圆周角定理；切线的判定．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．22. 如图，一次函数12y x =-+的图象与反比例函数2k y x=的图象相交于A ，B 两点，点B 的坐标为(2,)n n -．（1）求出n 的值，并确定反比例函数的表达式；（2）请直接写出当x n <时，2y 的取值范围．【答案】（1）82,n y x==-；（2）24y <-或20y >．【解析】【分析】（1）把B 的坐标代入12y x =-+ 求出n 的值，得出B(4，-2)，再代入2=k y x即可求得k 的值；（2）根据函数图象即可求得2y 的取值范围；【详解】（1）∵B(2n ，-n)在12y x =-+上∴将点B 的坐标代入得-n=-2n+2，得n=2， ∴点B(4，-2)将点B(4，-2)代入2=k y x得：k=()42=8´--，∴28y =x-，（2）把x=2代入28y =x -，得28y ==42--，∴ 由图象可知，当x ＜2时，2y 的取值范围为2y ＞0或2y ＜-4；【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式，也考查了用待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力；23. 有这样一个问题：探究函数12y x x =+-的图象与性质．小亮根据学习函数的经验，对函数12y x x =+-的图象与性质进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整：（1）函数12y x x =+-中自变量x 的取值范围是______；（2）下表是y 与x 的几组对应值，请直接写出m 的值______；（）在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是_____；②该函数的图象与直线x ＝2越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线_____越来越靠近而永不相交．【答案】（1）2x ¹；（2）4m =；（3）见解析；（4）①（2，2）；② y x =．【解析】【分析】（1）根据分母不为0即可得出关于x 的一元一次不等式，解之即可得出结论；（2）将x=3代入函数解析式中求出m 值即可；（3）连点成线即可画出函数图象；（4）①观察函数图象，根据对称中心的定义即可求解；②观察函数图象即可求解．【详解】解：（1）由题意得：x-2≠0，解得：x≠2．故答案为：x≠2；+3=1+3=4，（2）当x=3时，m=1-32故答案为4；（3）图象如图所示：（4）观察函数图象发现：①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是（2，2）．故答案为（2，2）；②该函数的图象与过点（2，0y轴的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线y=x越来越靠近而永不相交．故答案为y=x．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数自变量的取值范围以及函数图象，连点成曲线画出函数图象是解题的关键．24. 如图，已知直角△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC 相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：AE AF=；（2）若10AC=，求BE的长．AE=，8【答案】（1）见解析；（2）10BE=．3【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥BC，根据平行线的判定定理得到OD∥A C，求得∠ODE＝∠F，根据等腰三角形的性质得到∠OED＝∠ODE，等量代换得到∠OED＝∠F，即可得到结论；（2）根据相似三角形的判定和性质即可得出结论；【详解】（1）连接OD，∵BC切⊙O于点D∴OD⊥BC ，∴∠ODC＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODE＝∠F，Q，OE OD=∴∠OED＝∠ODE，∴∠OED＝∠F，∴AE AF=，（2）∵OD ∥AC ，∴△BOD ∽△BAC ，∴BO OD AB AC=，∵10AE =，AC=8，即55108BE BE +=+，∴103BE =．【点睛】本题考查的切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，正确做出辅助线是解题的关键；25. 如图1，排球场长为18m ，宽为9m ，网高为2.24m ．队员站在底线O 点处发球，球从点O 的正上方1.9m 的C 点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A 时，高度为2.88m ．即BA ＝2.88m ．这时水平距离OB ＝7m ，以直线OB 为x 轴，直线OC 为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x 轴垂直于底线），求球运动的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式（不必写出x 取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P （如图1，点P 距底线1m ，边线0.5m ），问发球点O 在底线上的哪个位置？（参取1.4）【答案】（1）这次发球过网，但是出界了，理由详见解析；（2）发球点O在底线上且距右边线0.1米处．【解析】【分析】（1）求出抛物线表达式，再确定x＝9和x＝18时，对应函数的值即可求解；（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），求出PQ （2）当y＝0时，y＝﹣150＝8.4，即可求解．＝【详解】（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，，将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a＝﹣150（x﹣7）2+2.88；故抛物线的表达式为：y＝﹣150（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，当x＝9时，y＝﹣150（x﹣7）2+2.88＝0.64＞0，当x＝18时，y＝﹣150故这次发球过网，但是出界了；（2）如图，分别过点作底线、边线的平行线PQ、OQ交于点Q，在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），当y＝0时，y＝﹣150∴OP＝19，而OQ＝17，故PQ＝62＝8.4，∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处.【点睛】此题考查求二次函数的解析式，利用自变量求对应的函数值的计算，勾股定理解直角三角形，二次函数的实际应用,正确理解题意，明确“能否过网”，“是否出界”词语的含义找到解题的方向是解答此题的关键.26. 已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（1，0）和D（4，3），与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C．（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）将二次函数y＝x2+mx+n的图象在点B、C之间的部分（包含点B、C）记为图象G．已知直线l：y＝kx﹣2k+2总位于图象G的上方，请直接写出k的取值范围；（3）如果点P（x1，c）和点Q（x2，c）在函数y＝x2+mx+n的图象上，且x1＜x2，PQ＝2a，求x12﹣ax2+6a+4的值．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3，（2，﹣1）；（2）﹣2＜k＜﹣1；（3）8．2【解析】【分析】（1）代入点A(1,0)和D(4,3)，可求得m、n的值，从而可得二次函数的表达式，将表达式化为顶点式，即可求得顶点坐标．（2）由l；y=kx−2k+2=k（x−2）+2可得，过定点（2，2），再分别代入点B、C的坐标，可求得k的值，要使直线l；y=kx−2k+2总位于图象G的上方，则k的取值范围，即为分别代入点B、C的坐标所求得的k的值之间的部分．（3）由二次函数243=-+的对称轴是直线x=2，点P(x1，c)和点Q(x2，c)在函数y x x2y x mx n =++的图象上，且x 1＜x 2，可得x 1=2−a ，x 2=2+a ，代入21264a a x x +++即可求解．【详解】解：（1）根据题意得：1413m n m n +=-ìí+=-î，解得43m n =-ìí=î．故二次函数的表达式为y ＝x 2﹣4x +3，则函数的对称轴为x ＝﹣2b a＝2，当x ＝2时，y ＝x 2﹣4x +3＝﹣1，故顶点坐标为：（2，﹣1）；（2）在y ＝x 2﹣4x +3中，令x ＝0，解得y ＝3，令y ＝x 2﹣4x +3＝0，解得x ＝1或3，则C 的坐标是（0，3），点B （3，0），∵y ＝kx ﹣2k +2＝k （x ﹣2）+2，即直线故点（2，2），设该点为M ，当直线过点C 、M 或过B 、M 时，都符合要求，将点C 的坐标代入y ＝kx ﹣2k +2，即3＝﹣2k +2，解得k ＝﹣12；将点B 的坐标代入3＝kx ﹣2k +2，即0＝3k ﹣2k +2，解得k ＝﹣2；故﹣2＜k ＜﹣12，故答案为：﹣2＜k ＜﹣12；（3）∵P （x 1，c ）和点Q （x 2，c ）在函数y ＝x 2﹣4x +3的图象上，∴PQ //x 轴，∵二次函数y ＝x 2﹣4x +3的对称轴是直线x ＝2，又∵x 1＜x 2，PQ ＝2a ，∴x 1＝2﹣a ，x 2＝2+a ，∴x 12﹣2x 2+6a +4＝（2﹣a ）2﹣a （2+a ）+6a +4＝8．【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．27. 如图①，在等腰直角△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝3，在边AB 上取一点D （点D 不与点A ，B 重合），在边AC 上取一点E ，使AE ＝AD ，连接DE. 把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转(0360)a a °<<°，如图②．（1）请你在图②中，连接CE 和BD ，判断线段CE 和BD 的数量关系，并说明理由；（2）请你在图③中，画出当a ＝45°时的图形，连接CE 和BE ，求出此时△CBE 的面积；（3）若2AD =，点M 是CD 的中点，在△ADE 绕点A 逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段AM 的最大值：_______．【答案】（1）CE BD =；理由见解析；（2）92CBE SD =；（3）322+【解析】【分析】（1）如图1中，连接EC 、BD ，结论：BD=CE ，证明△AEC ≌△ADB （SAS ），即可解决问题；（2）证明：AE∥BC，推出△CBE的面积与△ABC的面积相等，即可解决问题；（3）如图3中，延长AM到N，使得MN=AM，连接CN、DM，求出AM的取值范围即可解决问题；【详解】（1）CE BD=；理由：连接CE和BD，如图1所示，由题意可知，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∵∠EAD＝∠CAB＝90°，∴∠EAC＝∠DAB，又∵,==，AE AD AC AB∴△AEC≌△ADB（SAS），∴CE BD=；（2）当a＝45°时，连接CE和BE，如图2所示，aQ＝45°，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠BAD＝∠CAD＝∠EAC＝45°，∵AC=AB，∠CAB=90°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AE∥BC，∴△CBE的面积与△ABC的面积相等，∵△ABC 的面积=133=4.52´´ ，∴△CBE 的面积=4.5．（3）如图3中，延长AM 到N ，使得MN=AM ，连接CN 、DM ，∵AM=MN ，CM=MD ，∴四边形ADNC 是平行四边形，∴，∵AC=3，∴33AN ££+，∴323AM ££+，∴3322AM +££ ，∴AM 的最大值为32+．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识；解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题；28. 等边三角形的内切圆半径为r ，外接圆半径为R ，给出如下定义：设平面内一点到等边三角形中心的距离为d ，满足r d R ££的点叫做等边三角形的“环中心点”．在平面直角坐标系xOy 中，等边△ABC 的三个顶点的坐标分别为(0,2),(3,1),1)A B C ---．（1）已知点1(2,2),(,1)2D E F --，在点D 、E 、F 中，是等边△ABC 的“环中心点”的是：________；（2）如图，①过点A 作直线交x 轴正半轴于点M ，使∠AMO ＝30°，若线段AM 上存在等边△ABC 的“环中心点”P （,m n ），求m 的取值范围；②与①中AM 平行的直线l 与x 轴、y 轴分别交于点(,0)T t 、(0,)S s ，请直接写出：当s 满足什么条件时，线段TS 上总存在等边△ABC 的“环中心点”： ________．【答案】（1）E ，F ；（2）①03m ££； ②-3≤s≤2．【解析】【分析】（1）根据中心关联点的定义，求出R 、r 、d 即可判断；（2）①由题意可知，点E 在直线AM 上，当点P 在AE 上时，点P 都是等边△ABC 的中心关联点；②设平移后的直线交y 轴于G ，作这条直线的垂线垂足为H ．当OH ＝2时，求出OG 即可判断．【详解】解：（1）由题意R ＝2，r ＝1，点O 是△ABC 的中心，∵1(2,2),(,1)2D E F --，∴OD ＝，OE ＝2，OF ，222OD OE OF =>==Q ，，<2，∴点E 、F 是△ABC 的中心关联点，故答案为E ，F ；（2）①如图1中，依题意(0,2),A M ，可求得直线AM 的解析式为323y x =-+经验证E 在直线AM 因为2OE OA ==，∠MAO ＝60°，所以△OAE 为等边三角形，所以AE当点P 在AE2OP ££，所以当点P 在AE 上时，点P 都是等边△ABC 的环中心点，所以0m ££②如图2中，设平移后的直线交y 轴于G ，作这条直线的垂线垂足为H ．当OH ＝2时，在Rt △OHG 中，OH ＝2，∠HOG ＝30°，则cos30°＝22OHOG OG == ，∴OG=43，3≤s≤2，∴满足条件的s的值为-3≤s≤2．故答案为：-3【点睛】本题考查圆综合题、等边三角形的性质、两点间距离公式、勾股定理、一次函数的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．。
北京市海淀区首都师范大学附属育新学校2020-2021学年九年级上学期12月月考数学试卷带讲解
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，掌握知识点是解题关键．
13.下列图形一定不是中心对称图形的是（ ）
A. 正六边形B. 线段
C. 圆D. 抛物线
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的定义即可得．
故③正确；
④若点(x1，y1)，(x2，y2)在对称轴右侧时，
函数y随x增大而减小
即若x1＜x2，则y1＞y2
故④错误；
故选C.
【点睛】此题考查的是二次函数图像及性质，掌握二次函数图像及性质和各系数之间的关系是解决此题的关键.
10.在平面直角坐标系中，将抛物线 向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，得到抛物线（）
故
∵2tan∠QPO为大于0的常数，
故上述函数为开口向上的抛物线，且x=a时，y取得最大值0，
故选：C．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
7.函数 的自变量 的取值范围为全体实数，其中 部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：
①函数图象关于 轴对称；
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【分析】根据二次函数图像与b2－4ac的关系、对称轴公式、点的坐标及增减性逐一判断即可.
【详解】解：①由图可知，将抛物线补全，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点
∴b2－4ac＞0
∴4ac－b2＜0，故①正确；
②∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1
A.1B.2C.4D.3
2020-2021学年北京市海淀区清华附中九年级(上)统练数学试卷(4)(附答案详解)
2020-2021学年北京市海淀区清华附中九年级（上）统练数学试卷（4）1.下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是()A. B. C. D.2.下列说法正确的是()A. 直径是弦，弦是直径B. 圆有无数条对称轴C. 无论过圆内哪一点，都只能作一条直径D. 度数相等的弧是等弧3.一元二次方程x2−2x+1=0的根的情况是()A. 有两个不等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定4.⊙O中，直径AB=a，弦CD=b，则a与b大小为()A. a>bB. a≥bC. a<bD. a≤b5.用配方法解一元二次方程x2−6x−2=0以下正确的是()A. (x−3)2=2B. (x−3)2=11C. (x+3)2=11D. (x+3)2=26.如图平行四边形ABCD中，∠A=110°，AD=DC.E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF=()A. 35°B. 45°C. 50°D. 55°7.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=2，∠ABO=60°，线段EF绕点O转动，与AD，BC分别相交于点E，F，当∠AOE=60°时，EF的长为()A. 1B. √3C. 28.已知抛物线y=ax2+bx+m是由抛物线y=−x2+2x+2先关于y轴作轴对称图形，再将所得的图象向下平移3个单位长度得到的，点Q1(−2.5,q1)、Q2(1,q2)都在物线y=ax2+bx+m上，则q1，q2的大小关系是()A. q1>q2B. q1=q2C. q1<q2D. 不能确定9.如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，若∠AOB=40°，则∠AOD的大小为______度．10.已知关于x的方程x2+6x+a=0有一根为−2，则方程的另一根为______．11.如图，已知点A(0,1)，B(0,−1)，以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于______度．12.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，若AC=AD，且∠DAC=50°，则∠B的度数为______．,10)，B(1,3)，则关于x 13.已知抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(−52的方程ax2+bx=mx+n的解为______．14.如图，在平面直角坐标系中，点A的横坐标为−1，点B在x轴的负半轴上，AB=AO，∠ABO=30°，直线MN经过原点O，点A关于直线MN的对称点A1在x轴的正半轴上，点B关于直线MN的对称点为B1，则∠AOM的度数为______；点B1的纵坐标为______．15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，点C是BD⏜中点．若AB=26，AD=10，则BC的长______．16.有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC=90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN=4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为______．17.解方程：(x+1)2=5x+5．18.如图，BD=OD，∠AOC=114°，求∠AOD的度数．19.如图，在△ABC中，∠C=40°.将△ABC绕点A按逆时针方向旋转后得△ADE，连接BD.当DE//AC时，求∠ABD的度数．20.已知：关于x的方程x2+4x+2m=0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．21.在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为y=ax2+2bx+2b−a(a≠0)．(1)当x=−1时，求y的值．(2)将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点(−1,0)，求b的值．22.如图，在Rt△ABO中，∠O=90°，以点O为圆心，OB为半径的圆交AB于点C，交OA于点D．(1)若∠A=25°，则弧BC的度数为______．(2)若OB=3，OA=4，求BC的长．23.已知一条抛物线分别过点(3,−2)和(0,1)，且它的对称轴为直线x=2，试求这条抛物线的解析式．24.如图，点A，B，C在⊙O上，BE//AC，交⊙O于点E，点D为射线BC上一动点，AC平分∠BAD，连接AC．(1)求证：AD//CE；(2)连接EA，若BC=3，则当CD=______时，四边25.如图，AB是⊙O的直径，AB=4，C为AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD=60°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时，设AF=x，DE=y(当x的值为0或3时，y的值为2)探究函数y随自变量x的变化而变化的规律．(1)通过取点、画图、测量、计算，得到了x与y的几组对应值，请补全表格：x/cm00.400.55 1.00 1.80 2.29 2.613y/cm2 3.68 3.84______ 3.65 3.13 2.702(2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(3)解决问题：点F与点O重合时，DE长度为______.(请写出精确值)26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−3ax+a+1与y轴交于点A．(1)求点A的坐标(用含a的式子表示)；(2)求抛物线的对称轴；(3)已知点M(−2,−a−2)，N(0,a).若抛物线与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27.在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，点D在AB上，连接CD，并将CD绕点D逆时针旋转60°得到DE，连接AE．(1)如图1，当点D为AB中点时，直接写出DE与AE长度之间的数量关系；(2)如图2，当点D在线段AB上时，①根据题意补全图2；②猜想DE与AE长度之间的数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A(0,1)，B(−1,0)，C(0,−1)，D(1,0).对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD 边上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d(M)．(1)已知点E(0,4)，①直接写出d(点E)的值；②直线y=kx+4(k≠0)与x轴交于点F，当d(线段EF)取最小值时，求k的取值范围；(2)⊙T的圆心为T(t,3)，半径为1.若d(⊙T)<6，直接写出t的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】B【解析】解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意；B、圆有无数条直径，故正确，符合题意；C、过圆心有无数条直径，故错误，不符合题意；D、完全重合的弧是等弧，故错误，不符合题意；故选：B．利用圆的有关性质分别判断后及可确定正确的选项．考查了圆的认识、轴对称的性质及轴对称图形的知识，解题的关键是了解圆的有关定义、性质及定理，难度不大．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac 有如下关系：①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；上面的结论反过来也成立．先根据方程的一般式得出a、b、c的值，再计算出△=b2−4ac的值，继而利用一元二次方程的根的情况与判别式的值之间的关系可得答案．【解答】解：∵a=1，b=−2，c=1，∴△=(−2)2−4×1×1=4−4=0，∴有两个相等的实数根，故选：B．4.【答案】B【解析】解：直径是圆中最长的弦，因而有a≥b．故选：B．根据直径是弦，且是最长的弦，即可求解．本题主要考查与圆有关的概念，注意理解直径和弦之间的关系．5.【答案】B【解析】解：∵x2−6x−2=0，∴x2−6x=2，则x2−6x+9=2+9，即(x−3)2=11，故选：B．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：∵平行四边形ABCD中，AD=DC，∴四边形ABCD为菱形，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE=BF，∠BEF=∠BFE=55°，∵PE⊥AB，∴∠PEB=90°∴∠PEF=90°−55°=35°，故选：A．先判定四边形ABCD为菱形，再根据菱形的性质即可得到∠BEF的度数，再根据∠PEB= 90°，即可得出∠PEF的度数．此题主要考查了菱形的性质的理解及运用，灵活应用菱形的性质是解决问题的关键．7.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB，∠ABC=∠BAD=90°，又∵∠ABO=60°，∴△ABO为等边三角形，∴∠BAO=60°，∴∠OAE=30°，∵线段EF绕点O转动，∠AOE=60°，∴∠AEO=180°−60°−30°=90°，∴四边形ABFE为矩形，∴AB=EF=2．故选：C．证得△ABO为等边三角形，得出∠BAO=60°，由三角形内角和求出∠AEO=90°，得出四边形ABFE为矩形，则可得出答案．本题考查了矩形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．8.【答案】A【解析】解：∵y=−x2+2x+2=−(x−1)2+3，∴顶点为(1,3)∴抛物线y=−x2+2x+2先作关于y轴的轴对称抛物线的顶点为(−1,3)，再向下平移3个单位长度顶点为(−1,0)，∴抛物线y=ax2+bx+m的解析式为y=−(x+1)2，∵点Q1(−2.5,q1)、Q2(1,q2)都在物线y=ax2+bx+m上，∴q1=−(−2.5+1)2=−9，q2=−(1+1)2=−4，4∴q1>q2，故选：A．根据关于y轴对称的抛物线形状相同、顶点横坐标互为相反数、纵坐标相同得出轴对称的抛物线，再得出平移后的抛物线的解析式，分别求出q1、q2的值，即可得出答案．本题主要考查二次函数与几何变换，解题的关键是根据轴对称的性质和平移的规律得出新抛物线的解析式．9.【答案】30【解析】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD，∴∠DOB=70°，∵∠AOB=40°，∴∠AOD=∠BOD−∠AOB=30°，故答案为：30．由旋转的性质可得∠DOB=70°，即可求解．本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．10.【答案】−4【解析】解：设方程的另一根为m，根据题意得：−2+m=−6，解得：m=−4．故答案为：−4．设方程的另一根为m，由根与系数的关系即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之和等于−ba是解题的关键．11.【答案】60【解析】解：∵A(0,1)，B(0,−1)，∴AB=2，OA=1，∴AC=2，在Rt△AOC中，cos∠BAC=OAAC =12，∴∠BAC=60°，故答案为60．求出OA、AC，通过余弦函数即可得出答案．本题考查了垂径定理的应用，关键是求出AC、OA的长．12.【答案】115°【解析】解：∵AC=AD，且∠DAC=50°，∴∠D=∠ACD=180°−50°2=65°，∴∠B=180°−∠D=180°−65°=115°，故答案为：115°．首先根据等腰三角形的顶角的度数求得底角∠D的度数，然后利用圆内接四边形对角互补确定答案即可．本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形对角互补，难度不大．13.【答案】x1=−52，x2=1【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(−52,10)，B(1,3)，∴关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为x1=−52，x2=1．故答案为x1=−52，x2=1．关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n交点的横坐标．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．14.【答案】75°；−1【解析】解：∵AB=AO，∴∠AOB=∠ABO=30°．∵点A关于直线MN的对称点A1在x轴的正半轴上，∴直线MN垂直平分AA1，∵直线MN经过原点O，∴AO=OA1，∴∠AOM=12∠AOA1=12(180°−∠AOB)=12×(180°−30°)=75°．如图，过A作AC⊥x轴于C，过B1作B1D⊥x轴于D．∵点A的横坐标为−1，∴OC=1，∵AB=AO，∴BO=2OC=2=OB1，∵∠B1DO=90°，∠DOB1=∠AOB=30°，∴B1D=12OB1=1，∵点B1在第四象限，∴点B1的纵坐标为−1，故答案为：75°；−1．根据等边对等角的性质得出∠AOB=∠ABO=30°，利用轴对称性质得出∠AOM=12∠AOA1，从而求出∠AOM的度数；过A作AC⊥x轴于C，过B1作B1D⊥x轴于D，根据点A的横坐标为−1求出OC=1，根据等腰三角形三线合一的性质得出BO=2OC=2= OB1，根据∠B1DO=90°和∠DOB1=30°求出B1D即可．本题是几何变换综合题，其中涉及到等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，主要考查学生的推理和计算能力．准确作出辅助线利用数形结合是解题的关键．15.【答案】4√13【解析】解：连接BD、OC，它们相交于E，如图，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，BD=√262−102=24，∵点C是BD⏜中点．∴OC⊥BD，∴DE=BE=12，∴OE=√132−122=5，∴CE=13−5=8，在Rt△BCE中，BC=√82+122=4√13．故答案为4√13．连接BD、OC，它们相交于E，如图，利用圆周角定理得到∠ADB=90°，则利用勾股定理可计算出BD=24，再根据垂径定理得到OC⊥BD，DE=BE=12，接着计算出OE=5得到CE=8，然后利用勾股定理可计算出BC的长．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．16.【答案】2√5−2【解析】解：如图，连接BE，BD．由题意BD=√22+42=2√5，∵∠MBN=90°，MN=4，EM=NE，MN=2，∴BE=12∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的圆，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为2√5−2．故答案为2√5−2．如图，连接BE，BD.求出BE，BD，根据DE≥BD−BE求解即可．本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】解：∵(x+1)2=5(x+1)，∴(x+1)2−5(x+1)=0，则(x+1)(x−4)=0，∴x+1=0或x−4=0，∴x1=4，x2=−1．【解析】利用因式分解法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18.【答案】解：设∠B=x，∵BD=OD，∴∠DOB=∠B=x，∴∠ADO=∠DOB+∠B=2x，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO=2x，∵∠AOC=∠A+∠B，∴2x+x=114°，解得x=38°，∴∠AOD=180°−∠OAD−∠ADO=180°−4x=180°−4×38°=28°．【解析】设∠B=x，根据等腰三角形的性质，由BD=OD得∠DOB=∠B=x，再根据三角形外角性质得∠ADO=2x，则∠A=∠ADO=2x，然后根据三角形外角性质得2x+ x=114°，解得x=38°，最后利用三角形内角和定理计算∠AOD的度数．本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等).也考查了等腰三角形的性质．19.【答案】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转后得△ADE，∴△ADE≌△ABC，∴∠C=∠E=，∵DE//AC，∴∠E=∠EAC，又∵∠BAD=∠EAC，∴∠BAD=∠C=40°，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠ABD=1(180°−∠BAD)=70°．2【解析】由旋转的性质得出△ADE≌△ABC，则∠C=∠E=，由平行线的性质得出∠E=∠EAC，则可得出∠ABD=∠ADB，则可求出答案．本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．20.【答案】解：(1)根据题意知△=42−4×2m=16−8m≥0，解得m≤2；(2)由m≤2且m为正整数得m=1或m=2，当m=1时，方程的根不为整数，舍去；当m=2时，方程为x2+4x+4=0，解得x1=x2=−3，∴m的值为2．【解析】(1)根据方程有实数根知△≥0，据此列出关于m的不等式，解之可得；(2)先根据m≤2且m为正整数得m=1或m=2，再分别代入求解可得．本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△<0时，方程无实数根．21.【答案】解：(1)当x=−1时，y=a−2b+2b−a=0；(2)∵将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点(−1,0)∴原抛物线经过(1,0)，把(1,0)代入解析式可得：0=a+2b+2b−a，∴b=0．【解析】(1)把x=−1代入y=ax2+2bx+2b−a，即可求得；(2)根据题意原抛物线经过(1,0)，代入解析式解方程即可求得．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，(2)求得原抛物线经过的点的坐标是解题的关键．22.【答案】解：(1)50°．(2)如图，作OH⊥BC于H．在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，OA=4，OB=3，∴AB=√OB2+OA2=√32+42=5，∵S△AOB=12⋅OB⋅OA=12⋅AB⋅OH，∴OH =3×45=125，∴BH =√OB 2−OH 2=√32−(125)2=95， ∵OH ⊥BC ，∴BH =CH ，∴BC =2BH =185．【解析】【分析】(1)连接OC ，利用三角形的内角和定理求出∠B ，再利用等腰三角形的性质求出∠BOC 即可．(2)作OH ⊥BC 于H ，利用面积法求出OH ，再利用勾股定理求出BH ，利用垂径定理BC =2BH 即可解决问题．本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【解答】解：(1)连接OC ．∵∠AOB =90°，∠A =25°，∴∠B =90°−∠A =65°，∵OB =OC ，∴∠B =∠OCB =65°，∴∠BOC =180°−65°−65°=50°，∴弧BC 的度数为50°，故答案为50°．(2)见答案．23.【答案】解：∵抛物线的对称轴为 x =2，∴可设抛物线的解析式为 y =a(x −2)2+b ，把 (3,−2)，(0,1)代入解析式得 {a(3−2)2+b =−2a(0−2)2+b =1， 解得 a =1，b =−3，∴所求抛物线的解析式为 y =(x −2)2−3．【解析】根据题意设抛物线的解析式为 y =a(x −2)2+b ，把 (3,−2)，(0,1)代入求得a 、b 即可．本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质以及求解析式的方法是解题的关键．24.【答案】3【解析】(1)证明：∵AC 平分∠BAD∴∠BAC =∠DAC∵∠E =∠BAC∴∠E =∠DAC∵BE//AC∴∠E =∠ACE∴∠ACE =∠DAC∴AD//EC(2)如图，∵四边形EBCA 是矩形，∴∠ACB =90°，∵∠BAC +∠ABC =90°，∠CAD +∠D =90°，∠BAC =∠CAD ，∴∠ABC =∠D ，∴AB =AD ，∵AC⊥BD，∴CD=BC=3，故答案为3．(1)欲证明AD//CE，只要证明∠ACE=∠DAC即可．(2)只要证明AB=AD，利用等腰三角形的性质可以推出CD=BC=3．本题考查圆周角定理，平行线的判定，矩形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】4 2√3【解析】解：(1)当x=1时，如图1所示，∵圆的半径=12AB=2，当x=1时，点F在AO的中点，即AF=OF=1=12OD，故∠FDO=30°，∴∠DOA=60°=∠ACD=60°，故点C、O重合，故DE为圆的直径，即y=4，故答案为4；(2)根据表格数据，描点连线绘制函数图象如下：(3)当点F与点O重合时，此时x=2，如图2所示，连接FE，过点F作FH⊥DE于点H，∵∠ACD=60°，则∠FDH=30°，则y=DE=2DH=2×DF⋅cos∠ODC=2×2×cos30°=2√3，故答案为2√3．(1)当x=1时，如图1所示，圆的半径=12AB=2，当x=1时，点F在AO的中点，即AF=OF=1=12OD，故∠FDO=30°，则∠DOA=60°=∠ACD=60°，即可求解；(2)根据表格数据描点连线绘制函数图象即可；(3)当点F与点O重合时，此时x=2，如图2所示，y=DE=2DH=2×DF⋅cos∠ODC= 2×2×cos30°=2√3．本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．26.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2−3ax+a+1与y轴交于A，令x=0，得到y=a+1，∴A(0,a+1)．(2)由抛物线y=ax2−3ax+a+1，可知x=−−3a2a =32，∴抛物线的对称轴x=32．(3)对于任意实数a，都有a+1>a，可知点A在点N的上方，令抛物线上的点C(−2,y)，∴y c=11a+1，①如图1中，当a>0时，y c>−a−2，∴点C在点M的上方，结合图象可知抛物线与线段MN没有公共点．②当a<0时，(a)如图2中，当抛物线经过点M时，y c=−a−2，∴a=−1，4结合图象可知抛物线与线段MN巧有一个公共点M．<a<0时，观察图象可知抛物线与线段MN没有公共点．(b)当−14(c)如图3中，当a<−1时，y c<−a−2，4∴点C在点M的下方，结合图象可知抛物线与线段MN恰好有一个公共点，综上所述，满足条件的a的取值范围是a≤−1．4【解析】(1)利用待定系数法求解即可．(2)根据抛物线的对称轴：x=−b求解即可．2a(3)对于任意实数a，都有a+1>a，可知点A在点N的上方，令抛物线上的点C(−2,y)，可得y c=11a+1，分a>0，a<0两种情形分别求解即可解决问题．本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数，构建不等式解决问题，属于中考压轴题．27.【答案】解：(1)结论：DE=AE．理由：如图1中，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴AB=2BC，∠B=60°，∵AD=DB，∴CD=AD=DB，∴△CDB是等边三角形，∴∠CDB=60°，∵DC=DE，∠CDE=60°，∴∠ADE=180°−∠ED−∠CDB=60°，∵DA=DC，DC=DE，∴AD=DE，∴△ADE是等边三角形，∴DE=AE．(2)①图形如图2所示：②如图2−1中，结论：DE=AE．理由：取AB的中点F，连接CE，CF，EF．∵∠ACB=90°，AF=BF，∴CF=AF=BF，∵∠B=60°，∴△BCF是等边三角形，∵DC=DE，∠CDE=60°，∴△ECD是等边三角形，∴∠1+∠2=∠2+∠3=60°，CE=CD，CF=CB，∴∠1=∠3，∴△ECF≌△DCB(SAS)，∴∠5=∠B=60°，∵∠6=60°，∴∠4=∠5=60°，∵EF=EF，FA=FC，∴△EFA≌△EFC(SAS)，∴AE=EC，∵EC=ED，∴AE=ED．【解析】（1）想办法证明△ADE是等边三角形即可解决问题．（2）①根据要求画出图形即可．②首先证明△的长，△FBC都是等边三角形，再证明△ECF≌△DCB，推出∠4=∠5=60°，证明△EFA≌△EFC（SAS）可得结论．本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．28.【答案】解：(1)①∵正方形ABCD的顶点分别为A(0,1)，B(−1,0)，C(0,−1)，D(1,0)，点E(0,4)在y轴上，∴点E到正方形ABCD边上C点间的距离最大值，EC=5，即d(点E)的值为5；②如图1所示：∵d(点E)=5，∴d(线段EF)的最小值是5，∴符合题意的点F满足d(点F)≤5，当d(点F)=5时，BF1=DF2=5，∴点F1的坐标为(4,0)，点F2的坐标为(−4,0)，将点F1的坐标代入y=kx+4得：0=4k+4，解得：k=−1，将点F2的坐标代入y=kx+4得：0=−4k+4，解得：k=1，∴k=−1或k=1．∴当d(线段EF)取最小值时，EF1直线y=kx+4中k≤−1，EF2直线y=kx+4中k≥1，∴当d(线段EF)取最小值时，k的取值范围为：k≤−1或k≥1；(2)⊙T的圆心为T(t,3)，半径为1，当d(⊙T)=6时，如图2所示：CM=CN=6，OH=3，∴T1C=TC=5，CH=OC+OH=1+3=4，∴T1H=√T1C2−CH2=√52−42=3，TH=√TC2−CH2=√52−42=3，∴d(⊙T)<6，t的取值范围为：−3<t<3．【解析】(1)①由题意得点E到正方形ABCD边上C点间的距离最大值，EC=5，即d(点E)的值为5②由d(点E)=5得出d(线段EF)的最小值是5，得出符合题意的点F满足d(点F)≤5，求出当d(点F)=5时，BF1=DF2=5，得出点F1的坐标为(4,0)，点F2的坐标为(−4,0)，代入y=kx+4求出k的值，再结合函数图象即可得出结果；(2)⊙T的圆心为T(t,3)，半径为1，当d(⊙T)=6时，CM=CN=6，OH=3，得出T1C=TC=5，CH=OC+OH=4，由勾股定理求出T1H=√T1C2−CH2=3，TH=√TC2−CH2=3，即可得出结果．本题是圆的综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、新定义、一次函数解析式的求法以及圆的有关知识；本题综合性强，理解新定义是解题的关键．。
北京市最新2021-2022年九年级上12月月考数学试卷含答案
12月初三数学(shùxué)单元检测卷（满分(mǎn fēn)130分，时间120分钟）一、选择题：（本大题共10小题(xiǎo tí)，每题3分，共30分）1．一元二次方程的解为（▲）A．B．C．0x或1==x=x且1=x D．02．已知点A在半径(bànjìng)为r的⊙O内，点A与点O的距离(jùlí)为6，则r的取值范围是（▲）A．r＞6 B．r≥6 C．0＜r＜6D．0＜r≤63．使有意义的的取值范围是（▲）A．B．C．D．4．4．二次函数y＝x2－4x－5的图象的对称轴为（▲）A．直线x＝4 B．直线x＝－4 C．直线x＝2 D．直线x＝－25．下列问题中，错误．．的个数是（▲）（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）正五边形是轴对称图形.A．1个；B．2个；C．3个；D．4个．6．若关于(guānyú)x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个(liǎnɡɡè)不相等的实数根，那么k的取值范围(fànwéi)是（▲）A．k＜1 B．k≠0 C．k＞1 D．k＜07．如图，一块(yīkuài)直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径(zhíjìng)重合，点D对应54°，则∠BCD的度数为（▲）A．54° B．27° C．63° D．36°第7题图第10题8．已知二次函数（h为常数），在自变量X 的值满足的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（）A ．1或 -5B ．-1或 5C ．1或 -3D ．1或39．若关于(gu āny ú)x 的一元二次方程（x ﹣2）（x ﹣3）=m 有实数根x 1、x 2，且x 1≠x 2，有下列(xi àli è)结论：①x 1=2，x 2=3；②m ＞﹣；③二次函数(h ánsh ù)y=（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）+m 的图象(t ú xi àn ɡ)与x 轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）． 其中，正确(zh èngqu è)结论的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．310．如图，点M （﹣3，4），点P 从O 点出发，沿射线OM 方向1个单位/秒匀速运动，运动的过程中以P 为对称中心，O 为一个顶点作正方形OABC ，当正方形面积为128时，点A 坐标是（ ） A ．（，）B ．（，11） C ．（2，2） D ．（，）二、填空题（每空2分，共16分.）11．若x y ＝45，则2x －y x ＋y的值为▲．12．抛物线y=﹣x 2+2x+3与x 轴两交点的距离是__________13．已知一组数据1，，3，6，7，它的平均数是4，这组数据的中（第18位数是▲．14．关于x 的一元二次方程的一个根是0，则a的值为▲．15．在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型(m óx íng)．如图所示，它的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ．则这个(zh è ge)圆锥漏斗的侧面积是▲cm 2． 16．丁丁(d īn ɡ d īn ɡ)推铅球的出手高度为，离手3m 时达到(d ád ào)最大高度2.5m ，在如图所示的直角坐标系中，铅球的落点与丁丁(d īn ɡ d īn ɡ)的距离为_________．17．如图，点P 在双曲线y ＝kx （x ＞0）上，⊙P 与两坐标轴都相切，点E 为y 轴负半轴上的一点，过点P 作PF ⊥PE 交x 轴于点F ，若OF －OE ＝6，则k 的值是▲．18．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线y 1=x 2（x ≥0）与y 2=x23（x ≥0）于B 、C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC,交y 2于E ，则DEAB=______第17题图第16题图三、解答题（本大题共10小题，共84分．解答时应写出文字说明、证明(zhèngmíng)过程或演算步骤(bùzhòu)．）19．（本小题满分(mǎn fēn)8分）（1）计算(jìsuàn)：（1）(2)化简：20（本小题满分(mǎn fēn)8分）解下列方程：（1）（2）21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2＋2(m＋1)x＋m2－1＝0. （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程(fāngchéng)两实数根分别为x1、x2，且满足(mǎnzú)(x1－x2)2＝16－x1x2，求实数(shìshù)m的值.22．(本题(běntí)满分8分)“知识改变命运，科技(kējì)繁荣祖国．”为提升中小学生的科技素养，我区每年都要举办中小学科技节．为迎接比赛，某校进行了宣传动员并公布了相关项目如下：A——杆身橡筋动力模型；B ——直升橡筋动力模型；C——空轿橡筋动力模型．右图为科技节报名参赛人数扇形统计A25%B41.67%C科技节报名参赛人数条形统计图A参赛人数（单位：人）268108612B C该校报名参加科技比赛的学生人数统计图．（1）该校报名参加B项目学生人数是▲人；（2）该校报名参加C项目学生人数所在扇形的圆心角的度数是▲ °；（3）为确定参加区科技节的学生人选，该校在集训后进行了校内选拔赛，最后一轮(yīlún)复赛，决定在甲、乙2名候选人中选出1人代表学校(xuéxiào)参加区科技节B项目(xiàngmù)的比赛，每人进行了4次试飞，对照一定的标准(biāozhǔn)，判分如下：甲：80，70，100，50；乙：75，80，75，70．如果你是教练，请你用学过的数学(shùxué)统计量分析派谁代表学校参赛？请说明理由．23．(本题满分8分) 如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径的圆，交于点．(1)求证：≌； (2)如果，，，求的长．24,(本题(b ěnt í)满分8分)一座拱桥(gǒngqiáo)的轮廓是抛物线型（如图1），拱高6m ，跨度(kuàdù)20m ，相邻两支柱(zhīzhù)间的距离均为5m ．（1）将抛物线放在所给的直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系中（如图2所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱EF 的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．yxO BAC图220m 10mF图16m25．(本题满分8分)某公司准备投资开发A、B两种新产品，信息部通过调研得到两条信息：信息一：如果投资A种产品，所获利润（万元）与投资金额x （万元）之间满足正比例函数关系：；信息(xìnxī)二：如果投资B种产品，所获利润（万元）与投资(tóu zī)金额x（万元）之间满足(mǎnzú)二次函数(hánshù)关系：根据(gēnjù)公司信息部报告，、y（万元）与投资金额x（万B元）的部分对应值如下表所示：（1）填空：y=▲；Ay=▲；B（2）如果公司准备投资20万元同时开发A、B两种新产品，设公司所获得的总利润为W（万元），B种产品的投资金额为x（万元），则A种产品的投资金额为_________万元，并求出W与x之间的函数关系式；（3）请你设计一个在（2）中公司能获得最大总利润的投资方案．26．(本题(běntí)满分8分)如图，直线(zhíxiàn)y=—x+3与x轴、y轴分别(fēnbié)交于A、C两点，对称轴为直线(zhíxiàn)x=1的抛物线过A、C两点，抛物线与x轴的另一个(yīɡè)交点为点B（B在A的左侧），顶点为D.（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）在x轴上方作矩形PMNQ，使M、N（M在N的左侧）在线段AB上，P、Q（P在Q的左侧）恰好在抛物线上，QN与直线AC交于E，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEN的面积.27(本题(běntí)满分10分).如图，C为∠AOB的边OA上一点(yīdiǎn)，OC=6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M.(1)若∠AOB=60°，OM=4，OQ=1，求证(qiúzhèng)：CN⊥OB.(2)当点N在边OB上运动(yùndòng)时，四边形OMPQ始终保持为菱形.①问：值是否发生变化？如果(rúguǒ)变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由.②设菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，求取值范围.28．(本题(běntí)满分10分)在平面直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系中，直线y=－x+5与x轴、y轴分别(fēnbié)交于点A、B，P是射线(shèxiàn)AB上一动(yīdòng)点，设AP＝a，以AP为直径作⊙C.（1）求cos∠ABO的值；（2）当a为何值时，⊙C与坐标轴恰有3个公共点；（3）过P 作PM ⊥x 轴于M ，与⊙C 交于点D ，连接OD 交AB 于点N ，若∠ABO =∠D ， 求a 的值.CABOxyPC ABOxyP D MN初三数学(shùxué)12月份参考答案一、10月份单元(dānyuán)检测双向细目表题号考查内容能力层次题型试题来源分值预计得分知识点识记理解分析应用评价探究1 一元二次方程的解法√√√选择自编 3 2.92 点与圆的位置关系√√√选择课课练 3 2.83二次根式定义√√√选择自编 3 2.8 4二次函数性质√√√√选择课课练 3 2.85圆中概念√√√选择导单 32，56 一元二次方程根的判别式√√√选择无锡江南测试3 2.67圆周角定理√√√选择市中测试3 2.28二次函数性质√选择数学俱乐部3 2.19二次函数性质√选择2021无锡中考3 1.51 0 正方形等综合√选择2021江南模拟题3 11 1 比例性质√填空课课练 2 1.81 2 二次函数性质√填空自编 2 1.81 3 中位数定义√√填空自编 2 1.81 4 一元二次方程的定义√√填空学导单 2 1.81圆锥面√√填空长寿中 2 1.55 积公式学1 6 二次函数应用√√√填空学导单 2 1.51 7 圆与反比例综合应用√√填空泰州中考2 1.21 8 旋转等综合应用√√填空扬州中考2 0.51 9 分式化简√√解答题自编8 72 0 一元二次方程解法√√解答题自编8 7,52根与系√√解答学导单8 61 数的关系题2 2 数据处理√√√解答题去年模卷8 62 3 圆中要有关综合知识√√√解答题江南模卷8 62 4 二次函数实际应用√√√解答题课课练8 42 5 二次函数的应用题√√解答题去年市中模卷8 42 6 二次函数性质√√√√解答题扬州中考8 22 7 函数综合应用√√解答题数学俱乐部8 32 8 圆与函数综合√√解答题苏州中考10 3.1合计84. 4二、参考答案一.选择(xuǎnzé)1. D2.A3.B4.C5.C6. A7.C8.B9.C 10.D二.填空(tiánkòng)11． 12．4 13．3 14． 15．16．8 17．9 18．3-3三解答(jiědá)题19 (1)(2)a+220 (1) x1=6, x2=-1 (2) x1=2, x2=21.（1）∵原方程(fāngchéng)有实数根，∴△＝4(m＋1)2－4(m2－1)≥0解得m≥－1，故m的取值范围(fànwéi)是m≥－1（2）若方程两实数根分别为x1、x2，则x1＋x2＝－2(m＋1)，x1x2＝m2－1由(x1－x2)2＝16－x1x2得(x1＋x2)2＝16＋3x1x2，即4(m＋1)2＝16＋3(m2－1)化简整理(zhěnglǐ)得，m2＋8m－9＝0，解得m＝－9或m＝1 考虑(kǎolǜ)到m≥－1，故实数(shìshù)m的值为1 22．(1) 10 ………2分； (2) 120°……4分(3) X甲＝X乙＝75 …………5分S2甲＝325 S2乙＝12.5 …………7分∵S2甲>S2乙, ∴选乙…………8分2324解：（1）根据题目(tímù)条件，的坐标(zuòbiāo)分别是．设抛物线的解析(jiěxī)式为，将的坐标(zuòbiāo)代入，得解得；所以(suǒyǐ)抛物线的表达式是。
北京市海淀区清华大学附属中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题+
初三年级12月阶段性练习数学（清华附中初21级） 2023.12一．选择题（本大题共24分，每小题3分）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．抛物线22(2)5y x =-+-的顶点坐标是( ) A ．()2,5-B ．()2,5--C ．()2,5D ．()2,5-3．用配方法解一元二次方程2810x x -+=，将其化成2()x a b +=的形式，则变形正确的是( )A ．()2417x +=B ．()2417x -=C ．()2415x +=D ．()2415x -=4．在一个不透明的口袋中装有3个白球，4个红球和5个黑球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，恰好是白球的概率为( ) A ．14B ．34C ．512 D ．135．如图，每个小正方形的边长为1，点A 、B 、C 均在格点上，则sin B 的值是( )A ．1B ．34C ．35D ．456．如图，已知DE BC ∥，且:2:1AD DB =，则:ADE BDEC S S =△四边形( )CBAA ．2:3B ．4:9C ．5:4D ．4:57．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数ky x=的图象经过点()1,P m ，且在y 轴左侧，y 随x 的增大而减小，则点P 在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：当任务完成的百分比为x 时，线段MN 的长度记为()d x ．下列描述正确的是( ) A ．当12x x >时，12()()d x d x > B ．当12()()d x d x >时，12x x >C ．当121x x +=时，12()()d x d x =D ．当122x x =时，1()2d x =2()d x二．填空题（本大题共24分，每小题3分）9．关于x 的一元二次方程220x x m -+=的一个根为1-，则m 的值为 ． 10．如图，O 的直径AB 垂直于弦CD ，38CAB ∠=︒，则BCD ∠= ︒．11．如图是函数2y ax bx c =++的部分图象，则该函数图象与x 轴负半轴的交点横坐标是 ．NAB12．如图，将ABC △绕着点A 顺时针旋转x ︒到ADE △的位置，使点E 首次落在BC 上．已知30ABC ∠=︒，35BAE ∠=︒，则x = ．13．下表显示了同学们用计算机模拟随机投针实验的某次实验的结果．下面有三个推断：①投掷1000次时，针与直线相交的次数是454，针与直线相交的概率是0.454； ②随着实验次数的增加，针与直线相交的频率总在0.477附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计针与直线相交的概率是0.477；③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为10000时，针与直线相交的频率一定是0.4769．其中合理的推断的序号是： ．14．《九章算术》中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西五里，南北九里，各开中门，出东门十里有木，问：出南门几何步而见木？”今译如下：如图，矩形ABCD ，东边城墙AB 长9里，南边城墙AD 长5里，东门点E ，南门点F 分别位于AB ，AD 的中点，EG AB ⊥，FH AD ⊥，10EG =里，HG 经过A 点，则FH 的长为 里．15．如图，矩形OABC 的顶点B 和正方形ADEF 的顶点E 都在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上，点B 的坐标为()4,3，则点E 的坐标为 ．16．定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．例如，在△ABC 中，AB ＝AC ，A ∠的正对记作sad BC A AB==底边腰．若A ∠为锐角，4sin 5A =，则sad A = ．三．解答题（本题共72分，第17题5分，第18题6分，第19~20题，每题4分，第21~22题，每小题5分，第23~26题，每小题7分，第27题8分，第28题7分） 17．计算：()212sin 602tan 48cos 422-⎛⎫︒+-︒-︒ ⎪⎝⎭．18．用适当的方法解下列方程：（1）2420x x -+=； （2）2560x x -+=．19．如图，在ABC △中，点D 在AB 上，点E 在AC 上，且DE BC ∥，3AD =，4AB =，6AC =，求EC 的长．20．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()(1)60y k x k =-+≠的图象与反比例函数(0)my m x=≠的图象的一个交点坐标为()1,n ． （1）求这个反比例函数的解析式；（2）当2x ≤-时，对于x 的每一个值，反比例函数my x=的值大于一次函数(1)6y k x =-+的值，直接写出k 的取值范围．21．如图，在ABC △中，45ACB ∠=︒，AC =1tan 2B =． （1）求BC 的长； （2）延长BC 至E ，使CE =12BC ，连接AE ，直接写出tan CAE ∠的值．22．将背面完全相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上.（1）小明从四张卡片中随机抽取一张，抽到卡片上的数字是偶数的概率为___________； （2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，卡片上的数字记为a ，再从剩下的卡片中随机抽取一张，卡片上的数字记为b ．请用列表或画树状图的方法求关于x 的一元二次方程20x ax b ++=有实根的概率．E23．如图，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，EF⊥BE交CD于点F．（1）求证：ABE DEF△∽△；（2）若4AB=，3=，求DE的长；CF FD（3）在（2）的条件下，延长EF交BC延长线于点G，直接写出FG的长．Array24．跳绳是大家喜欢的一项体育运动．集体跳绳时，需要两人同频甩动绳子，当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m．当身高为1.6m的小红站在小明右侧绳子的下方，且距小明拿绳子的手1m时，绳子恰好碰到小红的头顶．现以两人的站立点所在的直线为x轴，过小明拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求绳子所对应的抛物线的解析式；（2）若身高为1.75m的小蓝也站在绳子的下方，①当小蓝在距小明拿绳子的手右侧2m时，绳子__________（填“会”或“不会”）碰到小蓝的头顶；②设小蓝与小明拿绳子的手之间的水平距离为d m，为保证绳子不会碰到小蓝的头顶，求d的取值范围．25．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径的O 交AC 于点E ，点D 是BC 边上的中点，连接DE ． （1）求证：DE 是O 的切线；（2）连接OC 交DE 于点F ，若O 的半径为3，4DE =，求OFCF的值．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线x t =，且420a b c ++=．（1）当0c =时，求t 的值；（2）点1(1,)y -，2(3,)y ，3(5,)y 在抛物线上，若0a c >>，试比较1y ，2y 与3y 的大小关系，并说明理由．27．如图1，在ABC △中，将AB 绕点B 逆时针旋转90︒得到线段BD ，将AC 绕点C 顺时针旋转90︒得线段CE ，连接DE ，取DE 中点O ，连接OC ． （1） ①依题意补全图1，求证：A D E ∠=∠+∠，②用等式表示BC 和OC 之间的数量关系，并证明； （2）若135BAC ∠=︒，3BC =，直接写出DE 的长．图1 备用图28．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，已知点()2,0A ，点P 不在⊙O 上，给出如下定义：⊙O 上存在一点T ，使点A 关于直线PT 的对称点A '在⊙O 上，则称点P 为点A 关于⊙O 的反射点．（1）在点()10,0P ，2012,P ⎛⎫⎪⎝⎭，(3P -中，点A 关于⊙O 的反射点是 ； （2）若点()0,P y 是点A 关于⊙O 的反射点，直接写出y 的取值范围；（3）点(),P m n是直线)2y x =-上的动点，02m <<，且点P 是点A 关于⊙O 的反射点，当P A 最小时，①直接用等式表示AA '与TA '的数量关系； ②直接写出AA '的长度．。
北京—零一中学2020-2021学年九年级上学期12月月考数学试题及参考答案
北京—零一中学2020-2021学年九年级上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．若点(,)A a b 在双曲线3y x =上，则代数式8ab -的值为（ ） A ．－12 B ．－7 C ．－5 D ．5 3．方程2310x x --=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定4．如图，AC 与BD 相交于点E ，AD ∥BC ，若2,3,3AE CE AD ===，则BC 的长度是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．92 5．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AB ＝10，AC ＝CD ＝5，则∠ABD 的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．50°D ．60° 6．已知⊙O 的半径是4，点P 到圆心O 的距离d 为方程x 2﹣4x ﹣5＝0的一个根，则点P 在（ ）A ．⊙O 的内部B ．⊙O 的外部C ．⊙O 上或⊙O 的内部D ．⊙O 上或⊙O 的外部7．如图，点P 为⊙O 外一点，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，30P ∠=︒，4OB =，则线段BP 的长为（ ）A ．4B ．C ．8D ．128．如图，用一个半径为10cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了36°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）A ．πcmB ．2πcmC ．3πcmD ．4πcm 9．如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，BA ＝BC ，将BC 绕点B 顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP ，连结CP ，过点A 作AH ⊥CP 交CP 的延长线于点H ，连结AP ，则∠P AH 的度数（ ）A ．随着θ的增大而增大B ．随着θ的增大而减小C ．不变D ．随着θ的增大，先增大后减小10．如图，在平面直角坐标系中，直线y x =-与双曲线k y x=交于A 、B 两点，P 是以点(2,2)C 为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP ，Q 为AP 的中点．若线段OQ 长度的最大值为2，则k 的值为（ ）A ．12-B ．32-C ．2-D ．14-二、填空题11．若关于x 的方程230x bx a ++=有一个根为－1，则3a b -的值为______． 12．已知反比例函数1k y x-=的图象分别位于第二、第四象限，请写出一个符合题意的k 的值______．13．如图，一块含30°角的直角三角板，将它的30°角顶点A 落在⊙O 上，边AB 、AC 分别与⊙O 交于点D 、E ，则∠DOE 的度数为______．14．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD 为8m ，桥拱半径OC 为5m ，求水面宽AB ＝_____m ．15．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点B 在y 轴上, AB AO = ,反比例函数() 0k y x x=>的图象经过点A ,若ABO 的面积为2,则k 的值为.__________．16．一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为12π，则这个圆锥底面圆的半径为________． 17．已知抛物线22(2)2y x m x m =+++-与x 轴交于A 、B （A 在B 左侧）两点，且对称轴为1x =-，则（1）m 的值为________；（2）当0y >时，x 的取值范围是_______． 18．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，则ABC ∆的内切圆半径为________．19．在平面直角坐标系xOy 中，函数1()y x x m =<的图象与函数22()y x x m =≥的图象组成图形G ，对于任意实数n ，过点(0,)P n 且与x 轴平行的直线总与图形G 有公共点，则实数m 的取值范围是_______．20．三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i ＝1，2，3．（1）记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_____； （2）记i p 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则123,,p p p 中最大的是_____．三、解答题21．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，⊙O 及⊙O 上一点P ．求作：过点P 的⊙O 的切线．作法：如图，作射线OP ；① 在直线OP 外任取一点A ，以A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，与射线OP 交于另一点B ；②连接并延长BA 与⊙A 交于点C ；③作直线PC ；则直线PC 即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵ BC 是⊙A 的直径，∴ ∠BPC=90° （填推理依据）． ∴ OP ⊥PC ．又∵ OP 是⊙O 的半径，∴ PC 是⊙O 的切线 （填推理依据）． 22．如图，一次函数12y x =-+的图象与反比例函数2k y x=的图象相交于A ，B 两点，点B 的坐标为(2,)n n -．（1）求出n 的值，并确定反比例函数的表达式；（2）请直接写出当x n <时，2y 的取值范围．23．有这样一个问题：探究函数12y x x =+-的图象与性质． 小亮根据学习函数的经验，对函数12y x x =+-的图象与性质进行了探究． 下面是小亮的探究过程，请补充完整：（1）函数12y x x =+-中自变量x 的取值范围是______； （2）下表是y 与x 的几组对应值，请直接写出m 的值______；（3）在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是_____；②该函数的图象与直线x ＝2越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线_____越来越靠近而永不相交．24．如图，已知直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，E 为AB 上一点，以AE 为直径作⊙O 与BC 相切于点D ，连接ED 并延长交AC 的延长线于点F ．（1）求证：AE AF =；（2）若10AE =，8AC =，求BE 的长．25．如图1，排球场长为18m ，宽为9m ，网高为2.24m ．队员站在底线O 点处发球，球从点O 的正上方1.9m 的C 点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A 时，高度为2.88m ．即BA ＝2.88m ．这时水平距离OB ＝7m ，以直线OB 为x 轴，直线OC 为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x 轴垂直于底线），求球运动的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式（不必写出x 取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P （如图1，点P 距底线1m ，边线0.5m ），问发球点O 取1.4）26．已知二次函数2y x mx n =++的图象经过点(1,0)A 和(4,3)D ，与x 轴的另一个交点为B ，与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）将二次函数2y x mx n =++的图象在点B 、C 之间的部分（包含点B 、C ）记为图象G ．已知直线:22l y kx k =-+总位于图象G 的上方，请直接写出k 的取值范围： ______．（3）如果点1(,)P x c 和点2(,)Q x c 在函数2y x mx n =++的图象上，且12x x <，2PQ a =，求21264x ax a -++的值．27．如图①，在等腰直角△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝3，在边AB 上取一点D （点D 不与点A ，B 重合），在边AC 上取一点E ，使AE ＝AD ，连接DE. 把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转(0360)αα︒<<︒，如图②．（1）请你在图②中，连接CE 和BD ，判断线段CE 和BD 的数量关系，并说明理由； （2）请你在图③中，画出当α＝45°时的图形，连接CE 和BE ，求出此时△CBE 的面积；（3）若AD =M 是CD 的中点，在△ADE 绕点A 逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段AM 的最大值：_______．28．等边三角形的内切圆半径为r ，外接圆半径为R ，给出如下定义：设平面内一点到等边三角形中心的距离为d ，满足r d R ≤≤的点叫做等边三角形的“环中心点”．在平面直角坐标系xOy 中，等边△ABC 的三个顶点的坐标分别为(0,2),(1),1)A B C --．（1）已知点1(2,2),(,1)2D E F --，在点D 、E 、F 中，是等边△ABC 的“环中心点”的是：________；（2）如图，①过点A 作直线交x 轴正半轴于点M ，使∠AMO ＝30°，若线段AM 上存在等边△ABC 的“环中心点”P （,m n ），求m 的取值范围；②与①中AM 平行的直线l 与x 轴、y 轴分别交于点(,0)T t 、(0,)S s ，请直接写出：当s 满足什么条件时，线段TS 上总存在等边△ABC 的“环中心点”： ________．参考答案1．B【分析】根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解．【详解】解：第一个图形是中心对称图形，第二个图形不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形，第四个图形不是中心对称图形，所以，中心对称图有2个．故选B ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．C【分析】把A 点坐标代入反比例函数解析式即可求出ab 的值．【详解】解：把(,)A a b 代入3y x=得， ab =3，8385ab -=-=-，故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，解题关键是把点的坐标代入解析式，然后整体代入求值．3．A【分析】此题考查一元二次方程解的情况的判断．利用判别式24b ac ∆=-来判断，当0∆>时，有两个不等的实根；当0∆=时，有两个相等的实根；当∆<0时，无实根；【详解】题中224(3)4(1)940b ac ∆=-=--⨯-=+>，所以次方程有两个不相等的实数根，故选A ；4．D【分析】由平行得到△BCE ∽△DAE ，然后得到对应边的比例关系，求解即可．【详解】∵AD ∥BC∴△BCE ∽△DAE ∴BC CE AD AE= ∴39322CE BC AD AE =⋅=⨯= 故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，由相似得到比例关系是解题的关键．5．D【分析】连接OC 、OD ，证出△AOC 和△COD 是等边三角形，得∠AOC ＝∠COD ＝60°，则∠AOD ＝120°，由圆周角定理得出∠ABD ＝12∠AOD ＝60°即可． 【详解】解：连接OC 、OD ，如图所示：∵OC ＝OD ＝OA ＝12AB ＝5，AC ＝CD ＝5， ∴OA ＝AC ＝OC ＝CD ＝OD ，∴△AOC 和△COD 是等边三角形，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°，∴∠AOD ＝60°＋60°＝120°，∴∠ABD ＝12∠AOD ＝60°； 故选：D ．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角为圆心角的一半是关键．6．B【分析】先解一元二次方程，得到d 值，再比较d 与半径4的大小，若d ﹥4，则点P 在⊙O 的外部，若d ﹤4，则点P 在⊙O 的内部，若d=4，则点P 在⊙O 上，即可解答．【详解】解：原方程可化为：（x ﹣5）（x+1）＝0，解得：x 1=5，x 2=﹣1（舍去），∴d=5，∵d=5﹥4，∴点P 在⊙O 的外部，故选：B ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、解一元二次方程，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解答的关键．7．A【分析】要求BP ，由BP 在OP 上，OB=4已知只要求出OP ，需和切线结合，为此连OA ，构成直角三角形，由OA 为半径，30P ∠=︒，利用30º角所对直角边等于斜边的一半，可求OP 即可．【详解】连接OA ，∵PA 为⊙O 的切线，∴∠OAP=90º，∴OA=OB=4，在Rt △OAP 中，∵30P ∠=︒，，∴OP=2OA=8，BP=OP-OB=8-4=4．故选择：A ．【点睛】本题考查圆外一点到圆的距离问题，关键是切点与圆心紧紧相连，构成半径，切线长，连心线组成直角三角形解决问题，掌握切线的性质，30º直角三角形的性质．8．B【分析】根据定滑轮的性质得到重物上升的高度即为滑轮转过的弧长，利用弧长公式计算即可．【详解】 解：根据题意得：滑轮转过的弧长()3610==2cm 180ππ⨯ 则重物上升了2πcm ，故选：B ．【点睛】此题考查了旋转的性质，以及弧长公式，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．9．C【分析】由旋转的性质可得BC ＝BP ＝BA ，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC +∠BP A ＝135°＝∠CP A ，由外角的性质可求∠P AH ＝135°﹣90°＝45°，即可求解．解：∵将BC 绕点B 顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP ，∴BC ＝BP ＝BA ，∴∠BCP ＝∠BPC ，∠BP A ＝∠BAP ，∵∠CBP +∠BCP +∠BPC ＝180°，∠ABP +∠BAP +∠BP A ＝180°，∠ABP +∠CBP ＝90°， ∴∠BPC +∠BP A ＝135°＝∠CP A ，∵∠CP A ＝∠AHC +∠P AH ＝135°，∴∠P AH ＝135°﹣90°＝45°，∴∠P AH 的度数是定值，故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．10．A【分析】连接BP ，证得OQ 是△ABP 的中位线，当P 、C 、B 三点共线时PB 长度最大，PB=2OQ=4，设 B 点的坐标为（x ，-x ），根据点(2,2)C ，可利用勾股定理求出B 点坐标，代入反比例函数关系式即可求出k 的值．【详解】解：连接BP ，∵直线y x =-与双曲线k y x=的图形均关于直线y=x 对称， ∴OA=OB ，∵点Q 是AP 的中点，点O 是AB 的中点∴OQ 是△ABP 的中位线，当OQ 的长度最大时，即PB 的长度最大，∵PB≤PC+BC ，当三点共线时PB 长度最大，∴当P 、C 、B 三点共线时PB=2OQ=4，∵PC=1，∴BC=3，设B 点的坐标为（x ，-x ），则3=，解得12x x ==（舍去）故B 点坐标为22⎛- ⎝⎭， 代入k y x=中可得：12k =-， 故答案为：A ．【点睛】本题考查三角形中位线的应用和正比例函数、反比例函数的性质，结合题意作出辅助线是解题的关键．11．-1【分析】把-1代入原方程即可．【详解】解：把x= -1代入230x bx a ++=得，130b a -+=，31a b -=-， 故答案为：-1．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，解题关键是理解方程根的意义，把未知数的值代入原方程．12．0（答案不唯一，满足k<1即可）．【分析】根据反比例函数的性质得到k-1＜0，然后取k<1即可得到满足条件的k的值．【详解】解：∵反比例函数1kyx-=的图象在第二、四象限，∴k-1＜0，∴k<1故k=0故答案为：0（答案不唯一，满足k<1即可）．【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y=kx（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．13．60°【分析】根据圆周角定理解决问题即可，同弧所对圆心角是圆周角的两倍；【详解】∵∠ BAC=30°，∴∠DOE=2∠BAC=60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题；14．8．【分析】连结OA，先计算OD的长，由勾股定理解得AD的长，再根据垂径定理可得AB=2AD，据此解题．【详解】连结OA，拱桥半径OC为5cm，5OA∴=cm，8CD=m，853OD∴=-=cm，4AD∴===m2248AB AD∴==⨯=m，故答案为：8．【点睛】本题考查垂径定理及其推论、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15．2【分析】过点A作AD⊥y轴于点D,结合等腰三角形的性质得到△ADO的面积为1,所以根据反比例函数系数k的几何意义求得k的值.【详解】如图，过点A作AD⊥y轴于点D∵AB=AO,△ABO的面积是2，∴11||122ADO ABOS S k∴===又反比例函数的图像位于第一象限，k ＞0，则k=2.故答案是2【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，作出辅助线构建三角形是解决本题的关键.16．6【分析】利用圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长计算．【详解】设底面圆半径为r ，则2πr=12π，化简得r=6．故答案为6．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．17．-1 3x <-或1x >【分析】（1）根据抛物线对称轴公式2b x a=-，代入求值即可； （2）求出抛物线与x 轴的交点坐标，再根据图象确定取值范围．【详解】解：（1）∵抛物线对称轴为1x =-， ∴2(2)12m +-=-， 解得，m=-1，∴抛物线解析式为：223y x x =+-，当y=0时，2023x x =+-，解得，121,3x x ==-，抛物线图象如图所示，当0y >时，x 的取值范围是3x <-或1x >，故答案为：-1，3x <-或1x >．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题关键是熟知抛物线对称轴公式，树立数形结合思想，根据图象判断取值范围．18．2【分析】先由勾股定理求出AB 的长，再根据切线性质和正方形的判定这证得四边形OECF 是正方形，然后利用切线长定理求得半径r 即可．【详解】如图，∵在Rt ABC ∆，90C ∠=︒，6AC =，8BC =∴由勾股定理得：10AB =，∵圆O 为ABC ∆的内切圆，∴OE OF =，90OEC OFC C ∠=∠=∠=︒；∴四边形OECF 是正方形；由切线长定理，得：AD AF =，BD BE =，CE CF =；1()2CE CF AC BC AB ∴==+-， 即：1(6810)22r =+-=， 故答案为：2．【点睛】本题考查了切线的性质、正方形的判定与性质、切线长定理、勾股定理，熟练掌握切线性质和切线长定理是解答的关键．19．01m ≤≤【分析】首先理解题意，任意一条平行于x 轴的直线都能与指定区间的两个图象构成的新图形G 有交点，先求得两个函数的图象的交点，根据图象即可求得．【详解】解：由 2y xy x=⎧⎨=⎩ 解得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩ ， ∴函数y 1＝x 的图象与函数y 2＝x 2的图象的交点为（0，0）和（1，1），∵函数y 1＝x （x ＜m ）的图象与函数y 2＝x 2（x≥m ）的图象组成图形G ．由图象可知，对于任意实数n，过点P（0，n）且与x轴平行的直线总与图形G有公共点，则0≤m≤1，故答案为：0≤m≤1．【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，理解题意，求得交点坐标是解题的关键．20．1Q2p【分析】（1）若Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q i＝A i的综坐标+B i的纵坐标；进而得到答案．（2）若p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i为A i B i中点与原点连线的斜率；进而得到答案．【详解】解：（1）若Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，Q1＝A1的纵坐标+B1的纵坐标；Q2＝A2的纵坐标+B2的纵坐标，Q3＝A3的纵坐标+B3的纵坐标，由已知中图象可得：Q1，Q2，Q3中最大的是Q1，（2）若p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i为A i B i中点与原点连线的斜率，故p1，p2，p3中最大的是p2故答案为：Q1，p2【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，分析出Q i和p i的几何意义，是解答的关键．21．（1）见解析；（2）直径所对的圆周角是直角；过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据圆周角定理得到∠BPC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论．【详解】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；（2）证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC=90°（圆周角定理），∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（切线的判定）．故答案为：圆周角定理；切线的判定．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．22．（1）82,n y x ==-；（2）24y <-或20y >． 【分析】（1）把B 的坐标代入12y x =-+ 求出n 的值，得出B(4，-2)，再代入2=k y x 即可求得k 的值；（2）根据函数图象即可求得2y 的取值范围；【详解】（1）∵B(2n ，-n)在12y x =-+上∴ 将点B 的坐标代入得-n=-2n+2，得n=2，∴ 点B(4，-2)将点B(4，-2)代入2=k y x 得： k=()42=8⨯--，∴ 28y =x-， （2）把x=2代入28y =x -，得28y ==42--， ∴ 由图象可知，当x ＜2时，2y 的取值范围为2y ＞0或2y ＜-4；【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式，也考查了用待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力；23．（1）2x ≠；（2）4m =；（3）见解析；（4）①（2，2）；② y x =．【分析】（1）根据分母不为0即可得出关于x 的一元一次不等式，解之即可得出结论；（2）将x=3代入函数解析式中求出m 值即可；（3）连点成线即可画出函数图象；（4）①观察函数图象，根据对称中心的定义即可求解；②观察函数图象即可求解．【详解】解：（1）由题意得：x-2≠0，解得：x≠2．故答案为：x≠2；（2）当x=3时，m=132-+3=1+3=4，故答案为4；（3）图象如图所示：（4）观察函数图象发现：①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是（2，2）．故答案为（2，2）；②该函数的图象与过点（2，0）且平行于y轴的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线y=x越来越靠近而永不相交．故答案为y=x．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数自变量的取值范围以及函数图象，连点成曲线画出函数图象是解题的关键．24．（1）见解析；（2）103 BE=．【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥BC，根据平行线的判定定理得到OD∥A C，求得∠ODE＝∠F，根据等腰三角形的性质得到∠OED＝∠ODE，等量代换得到∠OED＝∠F，即可得到结论；（2）根据相似三角形的判定和性质即可得出结论；【详解】（1）连接OD，∵BC切⊙O于点D∴OD⊥BC ，∴∠ODC＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODE＝∠F，OE OD=，∴∠OED＝∠ODE，∴∠OED＝∠F，∴AE AF=，（2）∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC ，∴BO OD AB AC=，∵10AE=，AC=8，即55108 BEBE+=+，∴103 BE=．【点睛】本题考查的切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，正确做出辅助线是解题的关键；25．（1）这次发球过网，但是出界了，理由详见解析；（2）发球点O在底线上且距右边线0.1米处．【分析】（1）求出抛物线表达式，再确定x＝9和x＝18时，对应函数的值即可求解；（2）当y＝0时，y＝﹣150（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），求出PQ＝8.4，即可求解．【详解】（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a＝﹣1 50，故抛物线的表达式为：y＝﹣150（x﹣7）2+2.88；当x＝9时，y＝﹣150（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，当x＝18时，y＝﹣150（x﹣7）2+2.88＝0.64＞0，故这次发球过网，但是出界了；（2）如图，分别过点作底线、边线的平行线PQ、OQ交于点Q，在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，当y＝0时，y＝﹣150（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），∴OP＝19，而OQ＝17，故PQ＝＝8.4，∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处.【点睛】此题考查求二次函数的解析式，利用自变量求对应的函数值的计算，勾股定理解直角三角形，二次函数的实际应用,正确理解题意，明确“能否过网”，“是否出界”词语的含义找到解题的方向是解答此题的关键.26．（1）243y x x =-+， 顶点坐标为（2，－1）；（2）122k -<<-；（3）8． 【分析】 （1）代入点(1,0)A 和(4,3)D ，可求得m 、n 的值，从而可得二次函数的表达式，将表达式化为顶点式，即可求得顶点坐标．（2）由():2222l y kx k k x =-+=-+可得，过定点（2，2），再分别代入点B 、C 的坐标，可求得k 的值，要使直线:22l y kx k =-+总位于图象G 的上方，则k 的取值范围，即为分别代入点B 、C 的坐标所求得的k 的值之间的部分．（3）由二次函数243y x x =-+的对称轴是直线2x =，点1(,)P x c 和点2(,)Q x c 在函数2y x mx n =++的图象上，且12x x <，可得122,2x a x a =-=+，代入21264x ax a -++即可求解．【详解】解：（1）根据题意得：1413m n m n +=-⎧⎨+=-⎩解得43m n =-⎧⎨=⎩二次函数的表达式为243y x x =-+， ()224321=-+=--y x x x∴顶点坐标为（2，－1）（2）()2222y kx k k x =-+=-+∴直线l 过定点（2，2）∵二次函数的表达式为243y x x =-+∴可得点B （3，0），点C （0，3）当l 过点B 时，即：0322k k =-+∴k=－2当l 过点C 时，即：322k =-+∴k=12-∴直线:22l y kx k =-+总位于图象G 的上方， k 的取值范围为：122k -<<-（3）1(,)P x c 和点2(,)Q x c 在函数243y x x =-+的图像上，PQ ∴//x 轴，又∵二次函数243y x x =-+的对称轴是直线122,,2x x x PQ a =<=，122,2x a x a ∴=-=+，221264(2)(2)648x ax a a a a a ∴-++=--+++=．【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．27．（1）CE BD =；理由见解析；（2）92CBE S ∆=；（3）32+ 【分析】（1）如图1中，连接EC 、BD ，结论：BD=CE ，证明△AEC ≌△ADB （SAS ），即可解决问题；（2）证明：AE ∥BC ， 推出△CBE 的面积与△ABC 的面积相等，即可解决问题；（3）如图3中，延长AM 到N ，使得MN=AM ，连接CN 、DM ，求出AM 的取值范围即可解决问题；【详解】（1）CE BD =；理由：连接CE 和BD ，如图1所示，由题意可知，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∵∠EAD ＝∠CAB ＝90°，∴∠EAC ＝∠DAB ，又∵,AE AD AC AB ==，∴△AEC ≌△ADB （SAS ），∴CE BD =；（2）当α＝45°时，连接CE和BE，如图2所示，α＝45°，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠BAD＝∠CAD＝∠EAC＝45°，∵ AC=AB，∠CAB=90°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AE∥BC，∴△CBE的面积与△ABC的面积相等，∵△ABC的面积=133=4.52⨯⨯，∴△CBE的面积=4.5．（3）如图3中，延长AM到N，使得MN=AM，连接CN、DM，∵AM=MN，CM=MD，∴四边形ADNC是平行四边形，∴，∵AC=3，∴33AN≤≤+∴323AM≤≤+，AM ≤≤，∴AM 的最大值为32+．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识；解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题；28．（1）E ，F ；（2）①0m ≤≤ ②． 【分析】（1）根据中心关联点的定义，求出R 、r 、d 即可判断；（2）①由题意可知，点E 在直线AM 上，当点P 在AE 上时，点P 都是等边△ABC 的中心关联点；②设平移后的直线交y 轴于G ，作这条直线的垂线垂足为H ．当OH ＝2时，求出OG 即可判断．【详解】解：（1）由题意R ＝2，r ＝1，点O 是△ABC 的中心，∵1(2,2),(,1)2D E F --，∴OD ＝，OE ＝2，OF ，222OD OE OF =>==，，， ∴点E 、F 是△ABC 的中心关联点，故答案为E ，F ；（2）①如图1中，依题意(0,2),A M ，可求得直线AM 的解析式为2y x =+ 经验证E 在直线AM 因为2OE OA ==，∠MAO ＝60°， 所以△OAE 为等边三角形，所以AE当点P 在AE 2OP ≤≤，所以当点P 在AE 上时，点P 都是等边△ABC 的环中心点，所以0m ≤≤②如图2中，设平移后的直线交y 轴于G ，作这条直线的垂线垂足为H ．当OH ＝2时，在Rt △OHG 中，OH ＝2，∠HOG ＝30°，则cos30°＝2OH OG OG == ，∴OG=3，∴满足条件的s 的值为-3≤s≤2，故答案为：≤s≤2． 【点睛】 本题考查圆综合题、等边三角形的性质、两点间距离公式、勾股定理、一次函数的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．。