需求与价格具有相关性下的会员制商场阶段型价格折扣模型研究

设 S ( p)为商品在 p价格下的销售量 ,
∫ 可以得到 : s ( p)
=
∞ 0
x
f
(
x
/
p)
dx,则
9S ( p) 9p
< 0。
在商场和会员都是理性的情况下 ,对于商场 采用的价格策略 ,会员会有一个折扣的期望值 x13 。商场吸引顾客第一次购买所付出的单位产 品的经营活动费用为 f, 根据“开发一个新顾客的 成本是维持一个老顾客成本的 5 倍 ”, 假设以后 维持顾客每次继续购买所付出的单位产品的经营
3 模型建立与求解
3. 1 前提假设
假设有一个商场 ,一个会员 ,会员按照一定的
折扣政策购买商场的产品 , x为产品的随机需求 ;
f ( x / p)为价格相关下需求的概率密度函数 ; F ( x /
p)为价格相关下的需求分布函数 , 由于需求是价
格的减函数 ,因此
9F ( x / p) 9p
> 0。
2 博弈分析
某商场采用以下的价格折扣策略 :直接积累 会员的消费总额 ,会员在购买商品的时候就会将 其消费金额累计在会员的会员证上 ,会员证一般 采用磁卡或 IC卡的方式 。会员在累计消费总额 达到一定的数额的时候 ,就会得到相应的价格优 惠 ,商场会确定几个累计的阶段点 ,会员的累计消 费金额达到相应的阶段 ,就会得到相应的优惠 ,折 扣随着消费总额的增加不断增大 。
第一次购买商场的利润函数为 : Ya = pS ( 1 X ) - S ( p) ( e + f) ( X 代表 xi 序列 )
以后每次购 买 商 场 的 利 润 函 数 为 : Ya = pS ( p) ( 1 - X ) - S ( p) ( e + 012f) ( X 代表 xi 序列 )
会员的消费受益函数为 : Ybi = pS ( p) X ( X 代 表 xi 序列 ) 3. 2 第一阶段购买的最优价格和最优价格折扣 阶段点
本阶段的研究思路是根据商场第一阶段的利
润函数 Ya = pS ( p) ( 1 - X ) - S ( p) ( e + f) 和需求
∫∞
和价格的关系 S ( p) = xf ( x / p) dx 确定在商场 0
利润最大化的情况下的最优价格 p。随后 , 理性 的会员会根据自己的得益函数 Ybi = pS ( p) X, 得 到一个期望的最佳折扣率 x13 ,使得自己的得益最 大 。同时根据得到的上述结果结合给定的第一阶
第 28卷 第 6期 2007年 11月
科 研 管 理 Science Research Management
文章编号 : 1000 - 2995 (2007) 06 - 005 - 0182
Vol. 28, No. 6 November, 2007
需求与价格具有相关性下的会员制商场 阶段型价格折扣模型研究
(1)
商场的利润最大化策略就是对 p求 ( 1)式的
极值 。
∫∞
将 S ( p) = xf ( x / p) dx带入 ( 1) 式得到 : 0
∫ ∫ ∞
∞
Ya
=p 0
xf ( x / p) dx ( 1 - x1 )
-
0
xf ( x / p) dx
( e + f)
令 p13 为给定需求下的最优价格 , 则 p13 必须 满足下面的条件 :
中图分类号 : F270 文献标识码 : A
1 问题的提出
会员制营销目前在西方国家应用广泛 ,在国 内却较鲜见 [ 1, 2 ] ,某商场是某市唯一定位于高端 的商场 ,实行会员制已有近 3年的历史 ,拥有会员 3万余人 ,但是对于会员制营销中较重要的价格 折扣策略却至今仍依靠经验法确定 ,在后续的经 营中曾出现由于价格和折扣策略制定不合理而出 现利润下降等问题 。
商场和会员相继行动 ,因此两者之间构成有 限次动态博弈过程 ,用博弈树表示如下 : (见图 1)
收稿日期 : 2006 - 11 - 30. 作者简介 :张 旭 (1971 - ) , 男 (汉 ) , 辽宁抚顺人 , 大连理工大学管理学院副教授 , 研究方向 : 战略管理与组织文化 。
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
价格 p13 。
3. 2. 2 消费者的得益最大化策略
消费者在第一阶段购买的得益函数为 :
Ybi = pS ( p) X
(5)
消费者的得益最大化策略就是求这个函数的
最大值 。
∫∞
同理把 S ( p) = xf ( x / p) dx带入 ( 5) 式 ,得 0
到:
∫∞
Yb1
=p 0
x1 f ( x1 / p) dx1 x1
(6)
令 x13 为给定需求下的最优价格 , 则 x13 必须
满足下面的条件 :
9Yb1 ( x1 ) 9x1
=
∫∞
Fra Baidu bibliotek0 x1 f ( x1 / p) dx1 x1
∫∞
9 x1 f ( x1 / p) dx1 x1
0
9p
=0
+p (7)
联立 (2)式和 ( 3)式即可得到第一阶段商场 最优价格 p13 和消费者最优折扣 x13 。
图 1 商场和会员的博弈树模型
分析可以得出 ,此博弈树中存在纯策略纳什 均衡 ,也就是商场选择最优价格 ,会员购买 ,在达 到折扣阶段点的时候 ,商场给予会员期望的折扣 点 ,会员仍旧继续购买 。也就是说 ,只要商场采用 最优价格和最优价格折扣阶段点 ,理性的会员就 会选择本商场进行重复的消费 。以下根据本博弈 模型计算最优价格及最优价格折扣阶段点 。
段的折扣阶段点 c1 计算第一阶段的商场总利润 , 为以后确定余下的折扣阶段点 cn 作准备 。 3. 2. 1 商场的利润最大化策略
商场的利润最大化策略就是对商场的利润函
数求关于价格 p的极值 。 首阶段购买时 ,商场的利润函数为 :
Ya = pS ( p) ( 1 - x1 ) - S ( p) ( e + f)
何勇等对需求与价格具有相关性下退货模型进行 过深入研究 [ 7 ] ,对此类问题有一定的借鉴意义 。
针对某商场的实际情况 ,本文应用“报童模 型 ”和何勇等人研究的基本思想 ,根据某商场的 实际情况 ,研究在需求不确定且与价格具有相关 性的前提下 ,采用博弈论的研究范式 ,根据企业实 际建立会员制商场阶段型价格折扣模型 ,并试图 找出商场与会员之间的均衡策略 。
第二阶段购买中商场的利润函数变化为 :
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第 6期
张 旭 :需求与价格具有相关性下的会员制商场阶段型价格折扣模型研究
∫ 9Ya ( p) 9p
∞
= 0
xf ( x / p) dx ( 1 - x1 )
+ [ p ( 1 - x1 )
∫∞
9 xf ( x / p) dx
- ( e + f) ] 0 9p
=0
(2)
只要价格相关下需求的概率密度函数 f ( x /
p)已知 ,由 ( 2 ) 式即可解出第一阶段商场的最优
= ( c2
-
c1 )
(1 -
x2 )
-
2 ( c2 p23
c1 )
( e + 012f)
( 11 )
根据两阶段利润相等的假设 , 两阶段购买获
得的利润存在如下关系 :
Y2a = Y1a ,将 x2 = x1 - h带入并整理 ,得到 :
产品的需求量表达式为
S ( p)
=
c1 p13
, 将它带
入 (1)式中 , 得到会员在第一阶段购买中给商场
带来的利润总额 :
Y1a = p13
c1 p13
(1 -
x13
)
-
c1 p13
( e + f) = c1 ( 1 - x13 )
-
c1 p13
( e + f)
(10)
3. 3 第二阶段折扣阶段点 c2
由于理论推导出的最优折扣率 x13 仅仅满足 的是假设的数学模型的解 , 并不一定符合实际的 情况 ,所以还应对 x13 的取值合理性 (即 x13 < 1 ) 进行证明 。
3. 2. 3 第一阶段购买商场的总利润
第一次购买过程中 ,根据会员第一阶段购买 的总额 c1 计算购买量 S ( p) , 同时将第一阶段得 到的最优价格 p13 和最优折扣率 x13 带入商场的 利润函数中 ,从而计算第一阶段会员给商场带来 的总利润 。
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科 研 管 理
2007 年
的计算 , c1 的确定根据商场的经营策略而定 。) , 商场将给予其后续购买的折扣 ; 会员在累计购买 达到 c2 时 ,商场将给予其后续购买 x2 的折扣 ; 以 此类推 ,会员在累计购买达到 cn 时 , 商场将给予 其后续购买 xn 的折扣 。 x1 到 xn 一个首项未知 , 公差为 h ( h已知 , 原因在于现有商场的价格折扣 大多是以等差数列制定的 。)的等差递减数列 , 序 列 c1 到 cn 之间的关系为会员从 ci + 1到 ci 的消费 过程中给商场带来的利润等于其从 ci - 1到 ci 的消 费过程中给商场带来的利润 。
价格折扣模型于 70 年代逐渐被国外学者所 重视 [ 3, 4, 5 ] ,但此类模型多用于供应链管理等相关 领域 ,在会员制商场价格折扣模型的研究中应用 还未见 [ 6 ] 。即使在供应链管理领域 ,对最优价格 和最优折扣率的计算的前提假设多为古典经济学 中的需求函数 。但是 ,需求虽必然受价格的影响 , 但影响方式很不确定 。针对此类需求不确定的问 题 ,“报童模型 ”与其衍生模型应运而生 ,其本意 是为了解决需求为随机状态下根据产品的销售预 期而决定产品订购量决策问题 ,但大多将价格视 为外生变量 ,与现实情况有一定差距 。国内学者
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张 旭 :需求与价格具有相关性下的会员制商场阶段型价格折扣模型研究
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其中 c0 代表散户购买的商场得益 , Yb0代表顾客以 散户形式购买的得益 ; c1 代表第一阶段购买的商 场得益 , Yb1代表第一阶段购买的顾客得益 ; nc1 代 表 n阶段购买的商场得益 , ∑Ybn代表 n阶段购买 的顾客得益 ;ε代表较微小的增量 。
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Ya = pS ( p) ( 1 - X ) - S ( p) ( e + 012f) 根据模型得到 x2 = x13 - h 与第一阶段购买的计算同理 , 可以得到第二 阶段购买商场所获得的利润总额为 :
Y2a = p13
c2 p13
c1 ( 1 -
x2 )
-
c2 p23
c1 ( e + 012f)
张 旭
(大连理工大学 管理学院 ,辽宁 大连 116024)
摘要 :本文基于某会员制商场的实际情况 ,采用“报童模型 ”的基本原理 ,在需求不确定且与价格具有相关性 的前提下 ,应用博弈论基本范式建立并分析了会员制商场与会员之间的价格折扣博弈模型 ,进而给出最优价 格和最优价格折扣阶段点的计算方法 。 关键词 :博弈 ;均衡策略 ;最优价格 ;最优价格折扣阶段点
活动费用为 012f,产品的单位进价为 e。 商场对会员采用累计购物款额阶段型折扣政
策 ,数学化描述为 :会员在累计购买达到 c1 时 ( c1 给定 ,这是因为对于一个确定的商场利润函数和 会员的得益函数 , 就有一个确定的最优价格和最 优折扣率 ,累计的购物款额也是以不变的边际利 润递增的 ,只有确定一个累计的 c1 ,才能进行以下
由分析可以得出 ,会员以散户形式购买 ,商场 与会员的得益为 ( c0 , Yb0 ) ; 当会员的购物累计达
到 c1 之后 ,理性的商场继续采用低于最优价格的 价格策略 ,如果这时商场给予会员最大化其得益 的折扣 ,则会员会继续购买 ,在 n阶段后商场与会 员的得益为 ( nc1 , ∑Ybn ) ; 如果商场不给予会员最 优的价格折扣 ,则会员不购买时商场和会员的得 益为 ( c1 , Yb1 ) ,会员在这时即使继续购买 ,也只会 给商场和会员得益带来分别较微小的增量 ε。