高中数学理科综合试卷

高二数学

第Ⅱ卷 (选择题 共60分)

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合

题目要求的。 1.已知集合A ={x ||x |≥2}，B ={x |x 2

−3x >0} ,则 A ∩B =( ) A. ∅ B. {x |x >3或x ≤2} C. {x |x ≥2或x <0 } D. {x |x >3或x <0 }

2.复数z =i

1+i （i 是虚数单位）的虚部是( )

A.1

2

B.− 1

2

C. 1

2

i D.− 1

2

i

3.（√x −1

x ）6

的展开式中的常数项为 ( )

A.-15

B.20

C.15

D.-20

4. 已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=4,则 (a -b )﹒b = ( ) A.-16 B.-13 C.-12 D.-10

5.“m =4

3”是“直线x −my +4m −2=0与圆x 2

+y 2

=4相切”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

6.已知a >b >0,且a +b =1，x =(1

a )

b ，y =log ab (1

a +1

b )，z =log b 1

a ，则x ，y ，z 的大小关系 是( )

A. x >z >y

B. x >y >z

C. z >y >x

D. z >x >y

7.某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课的时间为7:50～8:30，课间休息10分钟，某同学请假后返校，若他在8:50～9:30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为( )

A.1

5

B. 1

4

C. 1

3

D.1

2

8.某几何体三视图如图所示，则它的体积为( )

A.2

3 B. 4

3

C. 13

D.1

6

9.若矩形ABCD 的对角线焦点为O ′，周长为4√10，四个顶点都在球O 的表面上，且OO ′=√3 ，

则球O 的表面积的最小值为( ) A.32√2π3 B.64√2π

3

C.32π

D.48π

10. 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6+a 4a 7=18，则log 3a 1+log 3a 2+⋯log 3a 10=( ) A.12 B.10 C.8 D.2+ log 35

11.已知椭圆

x 24

+y 23

=1的右焦点F 作抛物线y 2=2px(p >0)的焦点，过F 作倾斜角为60°的直线

交抛物线于A , B （A 在x 轴上方）两点，则|AF ||BF |

的值为( )

A.√3

B.2

C.3

D.4

12.已知函数f (x )={x 2+x,(x ≤0)

ln x x

,(x >0)，g (x )=f (x )−ax ，若g (x )有4个零点，则a 的取值范

围是( )

A.（0，2

e ） B.（0，1

2e ） C.（2

e ，1） D.（

22e

，1）

二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若f (x )=a −2

2x +1

是奇函数，则a = .

14.曲线y =x 3在点（1,1）处的切线与x 轴及直线x=a 所围成的三角形面积1

6，则实数a= .

15.边长为2的正三角形ABC 中，点P 满足AB

→ =1

3

(AB

→ +AC

→ ),则BP → ∙BC

→ = .

16.已知正三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，棱锥的底面是边长为2√3的正三角形， 侧棱长为2√5，则球O 的表面积为 .

三、 解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）.∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b csc B =a csc C +ccsc A . （1）求角B 的大小；

（2）若b =2，求∆ABC 面积的最小值.

18.（12分）某市有A ，B ，C ，D 4个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A 的概率为2

3

，游客B ，C 和D 的概率都是1

2，且该游客是否游览这4个景点相互独立.

（1）求该游客至多游览1个景点的概率；

（2）用随机变量X 表示该游客游览的景点的个数，求X 的分布列和数学期望E （X ）. 19.（12分）如图，在四凌锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ， AB ∥CD ,AD ⊥DC ，AB =AD =2DC =2，E 为PB 中点.

（1）求证：CE ∥平面PAD ；

（2）若PA =4,求平面CDE 与平面ABCD 所成锐二面角的大小.

20.（12分）已知点M (-1,0)，N (1,0)，若点P (x , y )满足|PM |+|PN |=4. （1）求点P 的轨迹方程；

（2）过点M （−√3,0）的直线l 与（1）中曲线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求∆AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程.

21.(12分)已知函数f (x )=e 2x −2ae x −2ax ，其中a >0.

（1）当a =1时，求曲线y =f (x )在点（0，f (0)）处的切线方程； （2）若函数f (x )有唯一零点，求a 的值.

22.(10分)[选修4-4：坐标与参数方程]

已知直线l 的参数方程为{x =1

2+√3

2t

y =1

2t

（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；

（2）设点P （1

0,0）直线l 与曲线C 交于A ,B 两点，求|PA |+|PB |的值.