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二次相遇问题的解题思路
二次相遇问题的解题思路
二次相遇问题是指两个或多个人在不同的时间和地点出发，经过一段时间后再次相遇的问题。
这种问题在实际生活中很常见，例如两个人在不同的地点出发，要在某个地点同时到达，或者一个人在走回家的路上遇到了另一个人，然后在某个地方又再次相遇等等。
解决二次相遇问题的基本思路是利用两者行进的时间、速度、起点和终点等信息，结合一些基本的数学知识，进行推导和计算。
具体的解题思路如下：
1. 先确定二者的起点和终点，以及他们分别的出发时间和速度。
2. 利用速度、时间和路程之间的关系，计算出两者分别到达终点的时间。
3. 然后计算出他们在终点之前的相遇时间，即两者行程时间的差值。
4. 如果两者在终点之前只相遇了一次，那么计算完两者在终点之前相遇的时间后，再根据相遇时的路程、时间和速度等信息，计算出相遇点的位置。
5. 如果两者在终点之前多次相遇，那么需要用到循环的思路，即在计算出两者相遇的时间后，将其中一个人的出发时间更新为相遇时间，然后重新计算两者到达终点的时间。
6. 重复上述过程，直到两者都到达终点，或者达到某一个预设的相遇次数为止。
总之，解决二次相遇问题需要运用数学知识，并结合实际情况进
行推导和计算。
掌握了这种问题的解题思路和方法，可以帮助我们更好地解决实际生活中遇到的问题。
次相遇问题的解题思路
二次相遇问题的解题思路一、直线二次相遇甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）.在出发后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇.问小张和小王的速度各是多少？解：画示意图如下：如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的3倍，因此所需时间是40×3÷60＝2（小时）.从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了6×2-2＝10（千米）.小王已走了 6＋2=8（千米）.因此，他们的速度分别是小张10÷2＝5（千米/小时），小王8÷2=4（千米/小时）.答：小张和小王的速度分别是5千米/小时和4千米/小时.知识要点提示：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。
一般知道AC和AD的距离，主要抓住第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。
例题：1.甲乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇，它们各自到达对方车站后立即返回，在距A地42千米处相遇。
请问A、B两地相距多少千米？【答案】A。
解析：设两地相距x千米，由题可知，第一次相遇两车共走了x，第二次相遇两车共走了2x，由于速度不变，所以，第一次相遇到第二次相遇走的路程分别为第一次相遇的二倍，即54×2=x-54+42，得出x=120。
54乘3再减去42=120，再用120减去54加42的和=24因为第一次相遇距离B地54千米，说明行完一个全程乙走了54千米，到甲乙第二次相遇时总共走了三个全程，也就是说，这时乙走了54乘3千米，也就是16 2千米，这个162千米也是乙走完一个全程后还包括多走的42千米，所以用16 2减去42就是一个AB之间的全程。
再用120减去两次相遇距离A地和B地的距离，就是两相遇点之间的距离。
两次相遇行程问题的解法
两次相遇行程问题的解法在小学阶段关于行程的应用题是作为一种专项应用题出现的，简称“行程问题〞。
有一种“行程问题〞中出现了第二次相遇〔即两次相遇〕的情况，较难理解。
其实此类应题只要掌握正确的方法，解答起来也十分方便。
例1．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米处相遇。
求A、B两地间的路程。
[分析与解]根据题意可画出下面的线段图：由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地80千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。
两车同时出发同时停止，共行了3个全程，说明两车第二次相遇时甲共行了8×3＝240〔千米〕，从图中可以看出来甲车实际行了一个全程多60千米，所以A、B两地间的路程就是：240－60＝180〔千米〕例2．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距A地60千米处相遇。
求A、B两地间的路程。
[分析与解］根据题意可画出线段图：由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地8O千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。
两车同时出发同时停止，共行了3个全程。
说明两车第二次相遇时甲车共行了：80×3＝24O〔千米〕，从图中可以看出来甲车实际行了两个全程少60千米，所以A、B两地间的路程就是：〔24O＋6O〕÷2＝150〔千米〕可见，解答两次相遇的行程问题的关键就是抓住两次相遇共行三个全程，然后再根据题意抓住第一次相遇点与三个全程的关系即可解答出来。
例1 AB两城间有一条公路长240千米，甲乙两车同时从A、B两城出发，甲以每小时45千米的速度从A城到B城，乙以每小时35千米的速度从B城到A城，各自到达对方城市后立即以原速沿原路返回，几小时后，两车在途中第二次相遇？相遇地点离A城多少千米？分析:从图上可以看出，甲乙两人第一次相遇时，行了一个全程。
多次相遇问题
一、知道两人速度和任意两次迎面相遇的距离，求路程S是多少。
解题思路：根据速度比转化为全程路程的份数，确定其中一人为研究对象，再确定研究对象两次相遇的位置，根据相距的份数，求出全程距离。
注意，确定距离哪一端有几份距离的时候，一定要细心。
【例题精讲】例1. 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。
甲车每小时行45千米，乙车每小时行36千米，已知两车第2次与第3次迎面相遇的地点相距40千米，则A、B相距多少千米？例2.甲、乙两车分别从A，B两地出发，并在A，B两地间不断往返行驶。
已知甲车的速度是15千米／时，乙车的速度是25千米／时，甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千米。
求A，B两地的距离。
例3.欢欢和乐乐在操场上的A、B两点之间练习往返跑，欢欢的速度是每秒8米，乐乐的速度是每秒5米。
两人同时从A点出发，到达B点后返回，已知他们第二次迎面相遇的地点距离AB的中点5米，AB之间的距离是________。
例4. 甲乙两辆汽车同时分别从A、B两地相对开出，甲车每小时行42千米，乙车每小时行45千米。
甲乙两车第一次相遇后继续前进，甲、乙两车各自到达B、A两地后，立即按原路返回。
两车从开始到第二次相遇共用了6小时。
求A、B 两地的距离．例5.一辆汽车和一辆摩托车同时从甲乙两地相对开出，摩托车每小时行54千米，汽车每小时行48千米。
两车相遇后又以原来的速度继续前进，摩托车到乙地立即返回，汽车到甲地立即返回，两车在距离中点108千米的地方再次相遇，那么甲乙两地的距离是多少？例6. 甲、乙两车同时分别以不同的速度从A，B两地相向而行，在距A地90千米处相遇，相遇后两车继续以原速前进，在各自达到对方车站后立即返回，途中又在距B地70千米处相遇。
已知第一次相遇与第二次相遇恰好间隔4小时，求甲、乙两车的速度？例7.甲、乙两个运动员同时从游泳池的两端相向下水做往、返游泳训练。
从池的一端到另一端甲要3分钟，乙要3.2分钟。
两次相遇行程问题的解法-
两次相遇行程问题的解法在小学阶段关于行程的应用题是作为一种专项应用题出现的，简称“行程问题”。
有一种“行程问题”中出现了第二次相遇（即两次相遇）的情况，较难理解。
其实此类应题只要掌握正确的方法，解答起来也十分方便。
例1．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米处相遇。
求A、B两地间的路程。
[分析与解]根据题意可画出下面的线段图：由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地80千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。
两车同时出发同时停止，共行了3个全程，说明两车第二次相遇时甲共行了8×3＝240（千米），从图中可以看出来甲车实际行了一个全程多60千米，所以A、B两地间的路程就是：240－60＝180（千米）例2．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距A地60千米处相遇。
求A、B两地间的路程。
[分析与解］根据题意可画出线段图：由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地8O千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。
两车同时出发同时停止，共行了3个全程。
说明两车第二次相遇时甲车共行了：80×3＝24O （千米），从图中可以看出来甲车实际行了两个全程少60千米，所以A、B两地间的路程就是：（24O＋6O）÷2＝150（千米）可见，解答两次相遇的行程问题的关键就是抓住两次相遇共行三个全程，然后再根据题意抓住第一次相遇点与三个全程的关系即可解答出来。
例3 AB两城间有一条公路长240千米，甲乙两车同时从A、B两城出发，甲以每小时45千米的速度从A城到B城，乙以每小时35千米的速度从B城到A城，各自到达对方城市后立即以原速沿原路返回，几小时后，两车在途中第二次相遇？相遇地点离A城多少千米？分析:从图上可以看出，甲乙两人第一次相遇时，行了一个全程。
两次相遇行程问题的解法-
两次相遇行程问题的解法在小学阶段关于行程的应用题是作为一种专项应用题出现的，简称“行程问题〞。
有一种“行程问题〞中出现了第二次相遇〔即两次相遇〕的情况，较难理解。
其实此类应题只要掌握正确的方法，解答起来也十分方便。
例1．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米处相遇。
求A、B两地间的路程。
[分析与解]根据题意可画出下面的线段图：由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地80千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。
两车同时出发同时停顿，共行了3个全程，说明两车第二次相遇时甲共行了8×3＝240〔千米〕，从图中可以看出来甲车实际行了一个全程多60千米，所以A、B两地间的路程就是：240－60＝180〔千米〕例2．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距A地60千米处相遇。
求A、B两地间的路程。
[分析与解］根据题意可画出线段图：由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地8O千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。
两车同时出发同时停顿，共行了3个全程。
说明两车第二次相遇时甲车共行了：80×3＝24O 〔千米〕，从图中可以看出来甲车实际行了两个全程少60千米，所以A、B两地间的路程就是：〔24O＋6O〕÷2＝150〔千米〕可见，解答两次相遇的行程问题的关键就是抓住两次相遇共行三个全程，然后再根据题意抓住第一次相遇点与三个全程的关系即可解答出来。
例3 AB两城间有一条公路长240千米，甲乙两车同时从A、B两城出发，甲以每小时45千米的速度从A城到B城，乙以每小时35千米的速度从B城到A城，各自到达对方城市后立即以原速沿原路返回，几小时后，两车在途中第二次相遇？相遇地点离A城多少千米？分析:从图上可以看出，甲乙两人第一次相遇时，行了一个全程。
多次相遇问题(解析版)
多次相遇问题（解析版）一、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N 个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键 几个全程多人相遇追及的解题关键 路程差【例 1】 小明和小红两人在长100米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为6米/秒，小红的速度为4米/秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟．在这段时间内，他们迎面相遇了多少次？【解析】 第一次相遇时，两人共跑完了一个全程，所用时间为：1006410÷+=（）(秒)．此后，两人每相遇一次，就要合跑2倍的跑道长，也就是每20秒相遇一次，除去第一次的10秒，两人共跑了126010710⨯-=(秒)．求出710秒内两人相遇的次数再加上第一次相遇，就是相遇的总次数．列式计算为：1006410÷+=（）(秒)，1260101023510⨯-÷⨯=（）（），共相遇35136+=(次)。
注：解决问题的关键是弄清他们首次相遇以及以后每次相遇两人合跑的路程长．【例 2】 A 、B 两地间有条公路，甲从A 地出发，步行到B 地，乙骑摩托车从B 地出发，不停地往返于A 、B 两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达B 地时，乙追上甲几次？【解析】第一次追上第一次相遇乙甲F E B由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在1008020-=(分钟)内所走的路程恰等于线段FA 的长度再加上线段AE 的长度，即等于甲在(80100+)分钟内所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍(18020=÷)，则BF 的长为AF 的9倍，所以，甲从A 到B ，共需走80(19)800⨯+=(分钟)乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程差为一个AB 全程．从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个AB 全程，因此，追及时间也变为200分钟(1002=⨯)，知识精讲所以，在甲从A到B的800分钟内，乙共有4次追上甲，即在第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟．【例 3】（难度等级3）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的23，二人相遇后继续行进，甲到B地、乙到A地后立即返回．已知两人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是100千米，那么，A、B两地相距千米．【解析】由于甲、乙的速度比是2:3，所以在相同的时间内，两人所走的路程之比也是2:3．第一次相遇时，两人共走了一个AB的长，所以可以把AB的长看作5份，甲、乙分别走了2份和3份；第二次相遇时，甲、乙共走了三个AB，乙走了236⨯=份；第三次相遇时，甲、乙共走了五个AB，乙走了2510⨯=份．乙第二次和第三次相距10－6=4（份）所以一份距离为：100÷4=25（千米），那么A、B两地距离为：5×25＝125（千米）【巩固】（难度等级※※※）小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，两人第一次在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处相遇(追上也算作相遇)，则甲、乙两地的距离为千米．【解析】由于两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本题中追上也算相遇，所以两人第二次相遇可能为迎面相遇，也可能为同向追及．①如果第二次相遇为迎面相遇，如下图所示，两人第一次在A处相遇，第二次在B处相遇．由于第一次相遇时两人合走1个全程，小王走了3千米；从第一次相遇到第二次相遇，两人合走2个全程，所以这期间小王走了326⨯=千米，由于A、B之间的距离也是3千米，所以B与乙地的距离为(63)2 1.5-÷=千米，甲、乙两地的距离为6 1.57.5+=千米；李王乙甲甲王李乙②如果第二次相遇为同向追及，如上图，两人第一次在A处相遇，相遇后小王继续向前走，小李走到甲地后返回，在B处追上小王．在这个过程中，小王走了633-=千米，小李走了639+=千米，两人的速度比为3:91:3=．所以第一次相遇时小李也走了9千米，甲、乙两地的距离为9312+=千米．所以甲、乙两地的距离为7.5千米或12千米．【巩固】（难度级别3）A，B两地相距540千米。
初二一元两次方程两次相遇问题思路
初二一元两次方程两次相遇问题思路现在数学思想方法的指导下，学生的思维能力都有很大的提高，他们能够对很多数学问题进行分析和判断。
尤其是一元两次方程的思想方法，学生在初中阶段会学习一些，但它是一个比较抽象的数学思想方法，很多学生往往是通过理解之后，不一定能完全消化。
但是到了初中阶段，很多题型就变成了常考的东西了。
很多同学对于方程这类的学习，都是认为只要是学过的式子我们都能用出来！所以这类题目我们不需要理解其思想方法。
但是实际上这样做出来的方程其实并不难!-式两次相遇。
一、求 y=-1-2 x+3 x+4 x+5 x+5 x+5 x+6解析：题中 y=-1-2 x+3 x+4 x+5 x+5 x+6是三个相等的数组，在这个数组里有3个和，因此2 x+2 x=0,所以 m=2 n,所以 n=3;由 y=-1-2 x+3 x+4 x+5 x+5 x+6可以看出三个数分别为3 g、2 m和3 m+3 a (a+ b)=0!所以 m=3 g,也就是3x2+3 k,3 g+3 a+3 a+3 a=0!所以 m=3 g。
3 g又表示3 x中所有两个数中的任意一个数。
所以 m是方程的解！需要注意：这里 m指的是 m的值！所以可以直接用 m=-1来代替！二、列方程例2.(2019)年浙江金华某地有个中学校门口的十字路口，南北长为8米、东西宽为6米、行人过马路时，都要走圆周，过圆周后，如果有2人，则第一人的左半边走圆周，第二人的右半边走圆周，故第一人左半边所走路线与第二人相同；求这2人的最小距离？解析：因为两人第一次从第一个十字路口走到第二个十字路口，均有左半边行驶。
所以只要找到路口所在的直线为圆的半径或圆的长度即可。
例3.已知小丁和小袁于 A路口相遇, B路口的最短距离为 A路口的两倍。
根据题意我们可以把小丁和小袁两人所走的路线作为他们第一次相遇的圆的半径。
因此选择 B或者 C选项；小丁和小袁的距离等于 A和 C的最小距离之和。
“多次相遇问题”解题技巧
“多次相遇问题”解题技巧“多次相遇”问题有直线型和环型两种模型。
相对来讲，直线型更加复杂。
环型只是单纯的周期问题。
一、直线型直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。
“两岸型”是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行；“单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。
（一）两岸型两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，可以是迎面碰头相遇，也可以是背面追及相遇。
题意如果没有明确说明是哪种相遇，对两种情况均应做出思考。
1、迎面碰头相遇：如下图，甲、乙两人从A、B两地同时相向而行，第一次迎面相遇在a处，（为清楚表示两人走的路程，将两人的路线分开画出）则共走了1个全程，到达对岸b后两人转向第二次迎面相遇在c处，共走了3个全程，则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一次相遇的2倍。
之后的每次相遇都多走了2个全程。
所以第三次相遇共走了5个全程，依次类推得出：第n次相遇两人走的路程和为（2n-1）S，S为全程。
而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，分开看每个人都是2倍关系，经常可以用这个2倍关系解题。
即对于甲和乙而言从a到c走过的路程是从起点到a的2倍。
相遇次数相遇次数 全程个数全程个数全程个数 再走全程数再走全程数再走全程数1 1 12 3 23 5 24 7 2…… …… ……n 2n-1 22、背面追及相遇与迎面相遇类似，背面相遇同样是甲、乙两人从A 、B 两地同时出发，如下图，此时可假设全程为4份，份，甲甲1分钟走1份，乙1分钟走5份。
份。
则第一次背面追及相遇在则第一次背面追及相遇在a 处，再经过1分钟，两人在b 处迎面相遇，到第3分钟，甲走3份，乙走15份，两人在c 处相遇。
我们可以观察，我们可以观察，第一次背面相遇时，第一次背面相遇时，第一次背面相遇时，两人的路程差是两人的路程差是1个全程，个全程，第二次背面相遇时，第二次背面相遇时，第二次背面相遇时，两人的两人的路程差为3个全程。
同样第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，单看每个人多走的路程也是第一次的2倍。
行程问题-多次相遇
行程问题“多次相遇”行程问题是相对较难解决的一种题型。
而路程=速度×时间是行程问题中最基本公式。
这个基本公式中暗含着的正反比关系也是考生在复习过程中需要重点注意的地方。
正因如此，比例思想是我们解决行程问题的常用方法。
其次，数形结合也是不可或缺的工具。
即对于行程问题，最主要的是根据题干信息画出行程图，理清路程、速度、时间三者之间的关系，进而解题。
行程问题实际上还包含很多小的模块，比如：简单的相遇和追及、多次相遇问题、流水行船、时钟问题、牛吃草问题等等。
(1)最基本的多次相遇问题是指两人同时从不同的地点同时相向而行，在第一次相遇后没停，继续向前走到打对方终点后返回再次相遇，如此循环往返的过程是多次相遇问题。
基本模型如下：从出发开始到等等依次类推到第n次相遇。
在此运动过程中，基本规律如下：(1)从出发开始，到第n次相遇：每一次相遇会比前一次夺走2个全程;即：路程和具有的特点是1：2：2：2：……，含义是第一次走1个全程，第二次开始都增加2个全程;(2)由于二者在运动过程中，速度和是不变的，故每次相遇所用时间和路程和成正比，若设第一次相遇的时间为t，则第一次到第二次所用时间为2t，依次类推，每次相遇所用的时间关系也为1：2;2：2……，含义是第一次相遇用时间t，第二次开始相遇时间都会增加2t的时间;(3)各自所走路程也满足这个关系。
设第一次相遇甲走路程为S0，则从第二次相遇开始甲走的路程会增加2S0，即关系式仍为1：2：2：2……。
例题1：甲从A地、乙从B地同时以均匀的速度相向而行，第一次相遇离A地6千米，继续前进，到达对方起点后立即返回，在离B地3千米处第二次相遇，则A、B两地相距多少千米?A.10B.12C.18D.15【答案】D。
解析：直线多次相遇问题。
第一次相遇时，两人走的总路程为A、B之间的路程，即1个AB全程。
第二次相遇时，甲、乙两人共走了3个全程，即两人分别走了第一次相遇时各自所走路程的3倍。
多次相遇问题
多次相遇问题：例：甲乙两车同时分别以不同的速度从A 、B 两地相向而行，在距A 地90千米处相遇。
相遇后两车继续以原速度前进，在各自到达对方车站后立即返回，途中又在距B地70千米处相遇。
已知第一次相遇与第二次相遇恰好间隔4小时，求甲乙两车的速度。
分析：1、由题意知：第一次相遇甲乙走了一个全程，第二次相遇又走了两个全程；A、B两个全程共用了4小时，所以第一次相遇时用时为：4÷2=2 （小时）。
2、甲2小时行驶90千米，所以甲速为：90÷2=45（千米/时）。
3、甲2小时行驶90千米，那么甲行驶的总路程应为90×3=270（千米）A、B全程为270-70=200（千米）。
4、所以乙的速度为：相遇路程÷相遇时间-甲的速度=200÷2-45=55（千米/时）。
拓展：（第六届小机灵杯四年级邀请赛复赛）两辆汽车同时从甲乙两站出发相向而行，第一次在距家站80千米处相遇。
第一次相遇后两车仍以原速度继续行驶，并在到达对方车站立即按原速度返回，返回途中两车又在距乙站100千米处第二次相遇，两辆汽车第一次相遇的地方与第二次相遇的地方相距多少千米？分析：1、第二次相遇时共行驶了3倍的两站距离，所以甲共行驶了3倍的80千米。
80×3=240（千米）2、甲乙全长为240-100=140（千米）3、所以两次相遇点的距离为80+100-140=40（千米）。
数量关系之行程问题解题原理及方法时间：2010-6-21 9:39:31 点击：143核心提示：两个速度不同的人或车，慢的先行（领先）一段，然后快的去追，经过一段时间快的追上慢的。
这样的问题一般称为追及问题。
有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题，因为这两种情况都满足速度差×时间=追及（或领先的）路程对于有三个以上人或车同时参...两个速度不同的人或车，慢的先行（领先）一段，然后快的去追，经过一段时间快的追上慢的。
多次相遇问题原理及解题方法
多次相遇问题原理及解题方法多次相遇问题指的是在一定条件下，两个或多个人或物体在某一时刻相遇，然后经过一段时间后再次相遇。
这种问题可以应用于很多场景，如两个人在同一地点同时出发，同时以不同的速度前往另一个地点，问他们何时再次相遇。
解决多次相遇问题可以使用最小公倍数的概念。
最小公倍数是指能被两个或多个整数整除的最小正整数。
对于多次相遇问题，我们需要找到两个或多个物体在相遇之间所需的时间间隔，然后将这些时间间隔的最小公倍数作为解。
假设有两个人A和B，在同一地点同时出发，A的速度是a，B的速度是b。
设t是他们再次相遇的时间，那么在这段时间内，A走了a*t的距离，B走了b*t的距离。
因为他们再次相遇时，走过的距离是相同的，所以可以得到以下等式：a*t =b*t。
从中解出t的值，就可以得到他们再次相遇的时间。
而在解决多次相遇问题时，我们需要找到一个最小的t的值，也就是他们多次相遇的最小时间间隔。
这个最小的t值就是两个速度a和b的最小公倍数。
解题方法可以总结如下：1. 确定问题中的已知条件，如两个物体的速度，或者多个物体的速度等。
2. 根据已知条件，列出方程或等式。
根据两个物体再次相遇时走过的距离相等的原则，可以得到相应的方程。
3. 求解方程，得到两个物体再次相遇的时间。
4. 如果问题要求多次相遇的最小时间间隔，找到所有时间的最小公倍数，即为解。
继续以上面的问题为例，假设A和B两人同时出发，A的速度是3m/s，B的速度是5m/s。
我们想知道他们何时再次相遇。
根据以上的解题方法，我们可以列出方程：3t = 5t，其中t为他们再次相遇的时间。
解这个方程可以得到t=0，但这显然不符合实际情况，因为他们必须要有一段时间才能相遇。
我们知道，t的最小值就是他们再次相遇的时间，但我们想要求的是他们多次相遇的最小时间间隔。
为了求得最小时间间隔，我们需要求解出两个物体相遇的周期。
两个物体再次相遇的周期是两个物体速度的最小公倍数。
小学奥数训练专题 多次相遇和追及问题.学生版【精品】.doc
1. 学会画图解行程题2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．【例 1】 甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【巩固】 甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【巩固】 甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A 背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A 沿跑道上的最短路程是多少米?【例 2】 甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。
如果二人的速度各增加1千米／时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。
问：甲、乙二人的速度各是多少？知识精讲教学目标3-1-4多次相遇和追及问题|初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲第页2板块二、运用倍比关系解多次相遇问题【例3】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？【例4】甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A，B两地之间。
已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。
问：甲车的速度是乙车的多少倍？【例5】如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．【巩固】A、B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇．已知C离A有75米，D离B有55米，求这个圆的周长是多少米？【巩固】如右图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇。
两次相遇行程问题的解法 (1)讲解
两次相遇行程问题的解法在小学阶段关于行程的应用题是作为一种专项应用题出现的，简称“行程问题”。
有一种“行程问题”中出现了第二次相遇（即两次相遇）的情况，较难理解。
其实此类应题只要掌握正确的方法，解答起来也十分方便。
例1．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米处相遇。
求A、B两地间的路程。
[分析与解]根据题意可画出下面的线段图：由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地80千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。
两车同时出发同时停止，共行了3个全程，说明两车第二次相遇时甲共行了8×3＝240（千米），从图中可以看出来甲车实际行了一个全程多60千米，所以A、B两地间的路程就是：240－60＝180（千米）例2．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距A地60千米处相遇。
求A、B两地间的路程。
[分析与解］根据题意可画出线段图：由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地8O千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。
两车同时出发同时停止，共行了3个全程。
说明两车第二次相遇时甲车共行了：80×3＝24O （千米），从图中可以看出来甲车实际行了两个全程少60千米，所以A、B两地间的路程就是：（24O＋6O）÷2＝150（千米）可见，解答两次相遇的行程问题的关键就是抓住两次相遇共行三个全程，然后再根据题意抓住第一次相遇点与三个全程的关系即可解答出来。
例1 AB两城间有一条公路长240千米，甲乙两车同时从A、B两城出发，甲以每小时45千米的速度从A城到B城，乙以每小时35千米的速度从B城到A 城，各自到达对方城市后立即以原速沿原路返回，几小时后，两车在途中第二次相遇？相遇地点离A城多少千米？分析:从图上可以看出，甲乙两人第一次相遇时，行了一个全程。
多次相遇问题
“多次相遇问题”剖析一、直线型直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。
“两岸型”是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行；“单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。
现在分开向大家一一介绍：(一)两岸型两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，可以是迎面碰头相遇，也可以是背面追及相遇。
题干如果没有明确说明是哪种相遇，考生对两种情况均应做出思考。
1、迎面碰头相遇：如下图，甲、乙两人从A、B两地同时相向而行，第一次迎面相遇在a处，(为清楚表示两人走的路程，将两人的路线分开画出)则共走了1个全程，到达对岸b后两人转向第二次迎面相遇在c处，共走了3个全程，则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一次相遇的2倍。
之后的每次相遇都多走了2个全程。
所以第三次相遇共走了5个全程，依次类推得出：第n次相遇两人走的路程和为(2n-1)S，S为全程。
而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，分开看每个人都是2倍关系，经常可以用这个2倍关系解题。
即对于甲和乙而言从a到c走过的路程是从起点到a的2倍。
相遇次数全程个数再走全程数1 1 12 3 23 5 24 7 2………n 2n-1 22、背面追及相遇与迎面相遇类似，背面相遇同样是甲、乙两人从A、B两地同时出发，如下图，此时可假设全程为4份，甲1分钟走1份，乙1分钟走5份。
则第一次背面追及相遇在a 处，再经过1分钟，两人在b处迎面相遇，到第3分钟，甲走3份，乙走15份，两人在c处相遇。
我们可以观察，第一次背面相遇时，两人的路程差是1个全程，第二次背面相遇时，两人的路程差为3个全程。
同样第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，单看每个人多走的路程也是第一次的2倍。
依次类推，得：第n次背面追及相遇两人的路程差为(2n-1)S。
(二)单岸型单岸型是两人同时从一端出发，与两岸型相似，单岸型也有迎面碰头相遇和背面追及相遇两种情况。
1、迎面碰头相遇：如下图，假设甲、乙两人同时从A端出发，假设全程为3份，甲每分钟走2份，乙每分钟走4份，则甲乙第一次迎面相遇在a处，此时甲走了2份，乙走了4份，再过1分钟，甲共走了4份，乙共走了8份，在b处迎面相遇，则第二次相遇多走的跟第一次相遇相同，依次类推，可得出：当第n次碰头相遇时，两人的路程和为2ns。
两次相遇行程问题的解法-
两次相遇行程问题的解法在小学阶段关于行程的应用题是作为一种专项应用题出现的，简称“行程问题”。
有一种“行程问题”中出现了第二次相遇（即两次相遇）的情况，较难理解。
其实此类应题只要掌握正确的方法，解答起来也十分方便。
例1．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米处相遇。
求A、B两地间的路程。
[分析与解]根据题意可画出下面的线段图：由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地80千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。
两车同时出发同时停止，共行了3个全程，说明两车第二次相遇时甲共行了8×3＝240（千米），从图中可以看出来甲车实际行了一个全程多60千米，所以A、B两地间的路程就是：240－60＝180（千米）例2．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距A地60千米处相遇。
求A、B两地间的路程。
[分析与解］根据题意可画出线段图：由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地8O千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。
两车同时出发同时停止，共行了3个全程。
说明两车第二次相遇时甲车共行了：80×3＝24O （千米），从图中可以看出来甲车实际行了两个全程少60千米，所以A、B两地间的路程就是：（24O＋6O）÷2＝150（千米）可见，解答两次相遇的行程问题的关键就是抓住两次相遇共行三个全程，然后再根据题意抓住第一次相遇点与三个全程的关系即可解答出来。
例3 AB两城间有一条公路长240千米，甲乙两车同时从A、B两城出发，甲以每小时45千米的速度从A城到B城，乙以每小时35千米的速度从B城到A城，各自到达对方城市后立即以原速沿原路返回，几小时后，两车在途中第二次相遇？相遇地点离A城多少千米？分析:从图上可以看出，甲乙两人第一次相遇时，行了一个全程。
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二次相遇问题的解题思路
一、直线二次相遇
甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到
达另一村后就马上返回） . 在出发后 40分钟两人第一次相遇 . 小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇 . 问小张和小王的速度各是多少？
解：画示意图如下：
如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的 3倍，因此所需时间是
40×3÷60＝ 2（小时） .
从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了
6×2-2 ＝ 10（千米） .
小王已走了 6 ＋2=8（千米） .
因此，他们的速度分别是
小张10÷2＝ 5（千米 / 小时），
小王8÷2=4（千米 / 小时） .
答：小张和小王的速度分别是5千米 / 小时和 4千米 / 小时 .
知识要点提示：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到 B 地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在 D 地相遇。
一般知道AC和 AD的距离，主要抓住第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。
例题：
1.甲乙两车同时从 A、B 两地相向而行，在距 B 地 54 千米处相遇，它们各自到达对方车站
后立即返回，在距 A 地 42 千米处相遇。
请问 A、 B 两地相距多少千米？
【答案】 A。
解析：设两地相距x 千米，由题可知，第一次相遇两车共走了x，第二次相遇两车共走了2x，由于速度不变，所以，第一次相遇到第二次相遇走的路程分别为第一
次相遇的二倍，即54×2=x -54+42 ，得出 x=120。
54 乘 3 再减去 42=120，再用 120 减去 54 加 42 的和 =24
因为第一次相遇距离 B 地 54 千米，说明行完一个全程乙走了 54 千米，到甲乙第二次相遇时总共走了三个全程，也就是说，这时乙走了 54 乘 3 千米，也就是 16 2 千米，这个 162 千米也是乙走完一个全程后还包括多走的 42 千米，所以用 16 2 减去42 就是一个 AB之间的全程。
再用 120 减去两次相遇距离 A 地和 B 地的距离，就是两相遇点之间的距离。
2.两汽车同时从 A、B 两地相向而行，在离 A 城 52 千米处相遇，到达对方城市后立即以
原速沿原路返回，在离 A 城 44 千米处相遇。
两城市相距（）千米
【答案】 D。
解析：第一次相遇时两车共走一个全程，第二次相遇时两车共走了两个全
程，从 A 城出发的汽车在第二次相遇时走了52×2=104 千米，从 B城出发的汽车走了52+44 =94 千米，故两城间距离为（104+96）÷ 2=100 千米。
绕圈问题：
3. 在一个圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行，8 分钟后两人相遇，再
过 6 分钟甲到 B 点，又过10 分钟两人再次相遇，则甲环行一周需要（）？
A． 24 分钟
B． 26 分钟
C． 28 分钟
D． 30 分钟
【答案】 C。
解析：甲、乙两人从第一次相遇到第二次相遇，用了6+10=16 分钟。
也就
是说，两人16 分钟走一圈。
从出发到两人第一次相遇用了8 分钟，所以两人共走半圈，即
从 A 到 B 是半圈，甲从 A 到 B 用了 8+6=14 分钟，故甲环行一周需要14×2=28 分钟。
也是一个倍数关系。
甲乙二人分别从A、B 两地同时出发，并在两地间往返行走。
第一次二人在距离 B 点 400 米处相遇，第二次二人又在距离B点 100 米处相遇，问两地相距多少米？
答案：
(1) 第一次二人在距离 B 点 400 米处相遇 . 说明第一次相遇时乙行400 米.
(2)甲、乙从出发到第二次相遇共行 3 个全程。
从第一次相遇后时到第二次相遇他们共行
2 个全程。
在这 2 个全程中甲行 400+100=500 米。
说明甲在每个全程中行500/2=250 米。
（ 3）因此在第一次相遇时（一个全程）
250+400=650 米
答：两地相距650 米。
甲、乙两车同时从A、B 两站相对开出，第一次相遇离 A 站有 90 千米，然后各自按原速继续
行驶，分别到达对方出发站后立即沿原路返回。
第二次相遇时离 A 站的距离占AB两站全长
的 65%。
求 AB两站的距离。
答案：
两车第一次相遇时，共行了 1 个全程，其中甲车行了90 千米
两车第二次相遇时，共行了 3 个全程，其中甲车行了 1 个全程加上全程的1-65%=35%，为 1+35%=个全程
两车共行 3 个全程，甲车应该行90×3=270 千米
所以 AB距离 270/=200 千米
例题甲乙 2人从 AB两地相向而行，甲速度 42km/h，乙速度 30km/h，两人在途中相遇后继续
前行，各自到达AB点后返回，途中再次相遇，与第一次相遇点距离80km，求 AB点距离 ?
用算术方法解：
第一次相遇，
甲走全程的： 42/(42+30)=7/12
乙走全程的： 1-7/12=5/12
第二次相遇，甲乙共走全程的3倍，
甲走了 3*7/12=21/12 ，从折返算起，走了 21/12-1=9/12.距甲开始出发地距离为1-9/12=3/12，两点之间距离为全程的：7/12-3/12=4/12=1/3，就是80km,
则全程 =80/ （ 1/3 ） =240(km)
例题甲乙二人分别从A、 B 两地同时出发，并在两地间往返行走。
第一次二人在距离 B 点
400米处相遇，第二次二人又在距离 B 点 100米处相遇，问两地相距多少米？
解析：
(1)第一次二人在距离 B 点 400米处相遇 . 说明第一次相遇时乙行 400米 .
(2) 甲、乙从出发到第二次相遇共行3个全程。
从第一次相遇后时到第二次相遇他们共行2个
全程。
在这 2个全程中甲行400+100=500米。
说明甲在每个全程中行500/2=250 米。
（3）因此在第一次相遇时（一个全程）
250+400=650米
答：两地相距 650米。
二、环形二次相遇
环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而
行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。
如图， A、 B 是圆的直径的两端，小张在A点，小王在 B 点同时出发反向行走，他们在 C 点
第一次相遇， C 离 A 点 80米；在 D 点第二次相遇， D 点离 B 点6O 米 . 求这个圆的周长.
解：第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈.
从出发开始算，两个人合起来走了一周半. 因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第
一次相遇时合起来所走的行程的 3倍，那么从 A 到 D 的距离，应该是从 A 到 C距离的 3倍，即A
到 D是
80×3＝ 240（米） .
240-60=180 （米） .
180×2＝ 360（米） .
答：这个圆的周长是360米 .
如图 38-1 ，A、B 是圆的一条直径的两端，小张在 A 点，小王在 B 点，同时出发逆时针而行，
第一周内，他们在 C 点第一次相遇，在 D 点第二次相遇。
已知 C点离 A 点80米， D 点离 B 点60米。
求这个圆的周长。
【分析】这是一个圆周上的追及问题。
从一开始运动到第一次相遇，小张行了80米，小王行了“半个圆周长 +80”米，也就是在相同的时间内，小王比小张多行了半个圆周长，然
后，小张、小王又从 C 点同时开始前进，因为小王的速度比小张快，要第二次再相遇，只能
是小王沿圆周比小张多跑一圈。
从第一次相遇到第二次相遇小王比小张多走的路程（一个圆周长）是从开始到第一次相遇小王比小张多走的路程（半个圆周长）的2倍。
也就是，前者所花的时间是后者的2倍。
对于小张来说，从一开始到第一次相遇行了80米，从第一次相遇到第二次相遇就应该行160米，一共行了 240米。
这样就可以知道半个圆周长是180（ =240-6 0）米。
【解】（80+80×2-60 ）× 2=360（米）。