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泊松方程： 适用于所有物质或电荷的重力场或静电场。 波动方程式：未知函数 u(x,y,z,t):
热传导方程式： 其中 k 代表该材料的热导率。
初始条件和边界条件称为定解条件，未附加定解条件的 偏微分方程称为泛定方程。对于一个具体的问题，定解 条件与泛定方程总是同时提出。定解条件与泛定方程作 为一个整体，称为定解问题。
u t
a
2
(
2u x2
2u y 2
2u y 2
),
这里a
2
k
/
c.
当物体有内部热源的时候，方程为
u t
a
2
(
2u x2
2u y 2
2u y 2
)
f
(x,
y, z,t).
因为
c t2 udtdV t2
k(x, y, z) u dSdt
t2
c F(x, y, z,t)dtdV.
t1 t
T (x) cos T (x x) cos 0
T (x) sin T (x x) sin ma
这里α，β，a分别是两个力和水平方向的夹角，以及弦线 在竖直方向的加速度。
注意到弦仅仅在接近水平位置振动，所以α和β都是很小 的量，于是前一个方程可以近似为
T (x) T (x x) 0
(u
- u1)。
第三边界条件，表示外界温度为u1,表面 的热量和温度差成正比。
2.1 一些常见的偏微分方程
Poisson 方程
带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布，不 可压缩流体的稳定无旋流动及静电场的电势等均满足这类 方程。下面的方程是Poisson 方程的第一边值问题。
偏微分方程讲义 建模、数值解和Matlab工具箱
温罗生 2016.7
提纲
• 几个偏微分方程的典型问题建模 ➢偏微分方程的基本概念 ➢偏微分方程的建模 • 偏微分方程的数值方法 ➢偏微分方程求解的数值方法 ➢偏微分方程的Matlab求解工具 ➢Pdetool的使用方法 • 练习题
1.1 偏微分方程的基本概念
t1 x
y
z
t2
(k u ) (k u ) (k u )dVdt
t1 x x y y y y
t2
t1 div(kgradu)dVdt
所以有
t2 div(kgradu) c u dVdt 0
t1
t
由t和V的任意性知道，被积函数恒为0，特别的，如果k 是一个常量时，得到方程
Q
c
t2 u dtdV
t1 t
再根据能量守恒定理，传入的热量等于温度升高所 需要的热量，于是有
c
t2 u dtdV
t2
k(x, y, z) u dSdt.
t1 t
t1
n
后一方程进一步使用高斯公式
t2 k(x, y, z) u dSdt
t1
n
t2
k(u cos nx u cos ny u cos nz)dSdt
t2
Q
k(x, y, z) u dSdt.
t1
n
因为
c(u(x, y, z,t2 ) u(x, y, z,t1))dm
c(u(x, y, z,t2 ) u(x, y, z,t1))(x, y, z)dV
t2 u(x, y, z,t)dt(x, y, z)dV t1 t
该区域的问题升高需要的热量满足
含有未知多元函数及其偏导数的方程，称之 为偏微分方程。方程中出现的未知函数偏导数的 最高阶数称为偏微分方程的阶。 如果方程中对于 未知函数和它的所有偏导数都是线性的，这样的 方程称为线性偏微分方程，否则称它为非线性偏 微分方程。 一些常见的偏微分方程：
拉普拉斯方程：
uxx + uyy + uzz = 0 适用于重力场或静电场。
这代表张力和位置无关。直观的理解这是显然的。同 时因为α和β都是很小，也有如下的近似关系
sin tan,sin tan
于是竖直方向的方程可以改写为
T tan T tan ma
T
u ( x) x
T
u(x x
x)
ds
2u(x) t 2
注意到弧长ds近似等于dx，因此上述方程又可以写成
仅仅通过上面的方程并不能完全确定弦的状态，我们必 须先给出在初始时刻t=0时的状态，也就是所谓的初始时 刻，即
u(x, t) |t0 (x), ut (x, t) |t0 (x)
也就是给出初始位置和初始速度。 根据方程和上面的初始条件，仍然不能决定，还需要 给出边界条件。更加具体的情况，一般有三类边界条 件，第一类是两个端点固定，也就是
T
u(x) u(x x)
x
x
2u(x)
dx
t 2
2u(x) a2 2u(x) 0,这里a2 = T
t 2
x2
当弦受竖直方向的外力F(x,t)作用时，竖直方向的方程 可以写成
F (x,t)x
T
2u(x) x2
x
x
2u(x) t 2
因此方程可以写成
2u(x) t 2
a2
2u(x) x2
f (x,t)
u(0,t) 0,u(l,t) 0.
第二类边界条件描述端点受到外力作用的情况，有
G(t)
T
u( x, t ) x
|x0
0.
第三类边界条件描述端点受到弹性支撑的情况，结合虎 克定理，能得到条件
u( x, t ) G(t) x |x0 ku(0,t) 0.
例子2，热传导方程
热传导定理的推导依据两个定理，一个是傅里叶定理和 能量守恒定理。傅里叶定理说热量从高温区域向低温区 域传播，热流强度满足
t1
n
t1
左边是升高温度需要的热量，右边第一项是传入的热量， 第二项是内部热源的效果。
类似与弦振动方程，要确定温度，也需要初始条件和边 界条件。
u(x, y, z, 0)已知。 初始条件
u | 已知。
第一边界条件，表示表面各点温度已知。
u 已知。 n
第二边界条件，表示表面各点热流已ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。
k
u n
k2
dQ k(x, y, z) u dSdt n
所谓热流强度是单位时间通过单位横截面积的热量。上 面dt是时间段，k是热传导系数。 u dS 是温度场梯度方向 面积的投影，u(x,y,z,t)是t时刻在空间n 点(x,y,z)的温度。 取点(x,y,z)的一个小邻域Ω，从时间t1到t2流入该区域的热 量为
1.2偏微分方程的建模
例子1，弦的振动方程
一根长为L的均匀细线，线密度为ρ(x)，放于x轴上拉紧 后，让它离开平衡位置做微小振动。求任意时刻t弦线的 位移u(x,t)。 使用元素法的思想，在弦上取[x,x+∆x]一段进行分析。因 为弦的质量相对于张力非常小，因此可以看成弦仅仅受 到两个张力，T(x)和T(x+ ∆x)，利用力学基本定律，可以 得到水平和竖直方向两个方程