【公务员必备】行测数学运算总结(不看后悔)

数学运算
一、数的整除特性
（1）被2整除偶数
（2）被3整除看各位数字和能不能被3整除
（3）被4/25整除看数的后两位可不可以被4/25整除（4）被5整除数的末位是0或5
（5）被6整除能够同时被2和3整除
（6）被12整除能够同时被3和4整除
被72整除能够同时被8和9整除
由（5）（6）可总结出：如果一个数可以表示为两个互质的数的乘积，那么它的整除性就是要同时满足这两个互质的数的整除性。

（7）被7/11/13整除划后三位，用大数减小数，看能不能被7/11/13整除
例12568 568-12=556 由于556不能被7/11/13整除，所以12568也不能被7/11/13整除。

（8）被8/125整除看数的后三位可不可以被8/125整除（9）被11整除的另外一种情况奇偶数位数字分别相加后做差
例12345 首先奇数位相加1+3+5=9，再偶数位相加2+4=6，由于9-6=3，而3不能被11整除，所以12345也不能被11整除。

二、余数的性质（其实与整除性是相通的）
（1）和的余数等于余数的和
例（89+78）/7的余数
先看各个数的余数，89除7余5，78除7余1，5+1=6，而6除7余6，所以（89+78）除7也余6.
（2）倍数的余数等于余数的倍数
例89除以7的余数为5，那么89*3除以7的余数为？
因为89除以7的余数为5，又因为3*5=15，而15除以7的余数是1，所以89*3除以7的余数是1.
（3）积的余数等于余数的积
例（89*78）除以5
先分别求各个数的余数，89除5的余数是4，78除5的余数是3，用4*3除以5，余数为2，所以89*78除以5的余数也是
2.
（4）多次方的余数等于余数的多次方
例1 2010^2009除以7的余数
求底数除以7的余数，2010除以7余数为1，所以原式就是求1^2009除以7的余数，即1除以7的余数。

1除以7余数是1，所以2010^2009除以7余数也是1.
例22008^2009除以7的余数
求底数除以7的余数，2008除以7余数为6，余数为6其
实相当于余（-1），所以原式就是求（-1）^2009除以7的余数，即（-1）除以7的余数。

（-1）除以7余数为（-1），相当于余6，所以2008^2009除以7的余数是6.
三、数的分解
分解质因数（可求约数的个数）
例求1440的约数有多少个
1440分解质因数=2^5*3^2*5
约数的个数等于（指数的个数+1）的乘积
所以1440的约数个数=6*3*2=36个。

另：一个数有几个大于1的奇约数，就有几种连续自然数分解。

例将450拆分成若干连续自然数的和，共有几种拆法？
450=2*3^2*5^2
所以共有（2+1）*（2+1）-1=8种。

利用公式求极值
a^2+b^2>=2ab
ab<=[(a+b)/2]^2当且仅当a=b时，使得等号成立。

例1a、b都是自然数，且a+b=12，求ab的范围。

当a、b相差最大时，取得ab的最小值为0
当a、b相差最小是，即a=b=6时，取得ab的最大值36
所以0<=ab<=36
例2已知3a+2b=12，求ab的范围。

当3a、2b相差最大时，取得ab的最小值为0
当3a、2b相差最小时，即3a=2b=6时，也就是a=2、b=3
时，ab取得最大值为6，所以0<=ab<=6
例3已知ab=36，求a+b的范围。

当a、b相差最小时，即a=b=6时，a+b取得最小值12
当a、b相差最大时，a+b取得最大值37
所以12<=a+b<=37
四、奇数和偶数
性质：奇数+奇数=偶数
偶数+偶数=偶数
奇数=偶数=奇数
奇数*偶数=偶数
奇数*奇数=奇数
例某次测验有50道判断题，每做对一题得3分，不做或做错一题倒扣1分，某学生共得82分，问答对题数和答错题数（包括不做）相差多少。

A 33
B 39
C 17
D 16
设答对X道，答错Y道。

3X-Y=82，由于82是偶数，所以3X和Y同为奇数或同为偶
数，又因为3X的奇偶性完全取决于X，所以X和Y同为奇数或同为偶数。

所以X-Y肯定是偶数，看选项，只有D符合。

五、公倍数和公约数
性质：若A=2^3*3^2*5
B=2^5*3^5*7
则A、B的最大公约数=2^3*3^2
最小公倍数=2^3*3^2*5*2^5*3^5*7/2^3*3^2
六、尾数计算（前提是选项4和答案尾数完全不同）
例1+2+3+4+……+N=2005003，则自然数N=？
A 2000
B 2001
C 2002
D 2003
根据等差数列求和公式，可得到2005003=N+(N^2-N)/2
整理以后是4010006=N(N+1)，看选项，尾数能得到6的只有2002，。

七、提取公因式
13又4/19+89又9/19*0.25+0.625*89又9/19+89又9/19*0.125=？
A 75
B 100
C 89又9/19
D 93又6/19
八、重复数字的因式分解
2007*200620062006-2006*200720072007=？
2007*2006*100010001-2006*2007*100010001=0
9039030/43043=？
903*10010/43*1001=210
九、整体代换
（1+1/2+1/3）*(1/2+1/3+1/4)-(1+1/2+1/3+1/4)*(1/2+1/3)=？
把（1/2+1/3）看作一个整体，比如A，(1/2+1/3+1/4)看作一个整体，比如B，所以整个式子就化为了（1+A）*B-(1+B)*A=B-A=1/2+1/3+1/4-1/2-1/3=1/4
十、利用公式法计算
20*20-19*19+18*18-17*17+……+2*2-1*1=?
A 3245
B 2548
C 210
D 156
这个观察以下其实就是个等差数列，20*20-19*19=（20+19）（20-19）=39，18*18-17*17=（18+17）（18-17）=35……公差为4，第一项为3，第N项为39，共10项，带入等差数列求和公式可得到结果是
210.
（2+1）*（2^2+1）*(2^4+1)*(2^8+1)=？
看到这个应该会想到平方差公式，所以我们可以在（2^2+1）前面乘以（2^2-1），这样就可以看出可以利用公式计算了，，在乘了以后，一定要记得后面要除去。

原式就变为了（2+1）*（2^2+1）*(2^4+1)*(2^8+1)/ （2^2-1）=(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)=(2^8-1)(2^8+1)=2^16-1
十一、裂项相消法
性质：A/n(n+d)=A/d(1/n-1/n+d)
1/1*2*3+1/2*3*4+1/3*4*5+……+1/n(n+1)(n+2)=？
1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
十二、错位相减法
通项形如an=An*Bn(其中An为等差数列，Bn为等比数列)的数列的求和问题，可以考虑采用错位相减法。

求和：Sn=1+3x+5x^2+7x^3+……+(2n-1)x^(n-1)=？一式xSn= x+3x^2+5x^3+……+(2n-3)x^(n-1)+ (2n-1)x^n 二式一式减二式（1-x）Sn=1+2x+2x^22x^3+……+2x^(n-1)- (2n-1)x^n
十三、放缩法
若X=1/1/1980+1/1981+1/1982……+1/1997,则X的整数部分是？设A=1/1980+1/1981+1/1982……+1/1997
则A<1/1980+1/1980+1/1980……+1/1980=18/1980
A>1/1997+1/1997+1/1997……+1/1997=18/1997
18/1997 < A < 18/1980
所以1980/18 < 1/A < 1997/18
110 < X < 110又17/18
所以X的整数部分是110
十四、利用函数的性质(函数的性质这部分，学过去很久了，到底是为什么已经很模糊了，大家见谅哈)
(1) 若f(x)=ax^2+bx+c (a≠0)
函数的对称轴方程是x=-b/2a
顶点坐标是（-b/2a,（4ac-b^2）/4a）
(2)若f(a+x)=f(b-x)
函数的对称轴方程是x=(a+b)/2
(3)特殊情况，若f(a+x)=f(a-x)
函数的对称轴方程是x=a
(4)若f(x)= f(x+a)
函数就具有周期性，周期T=a
已知f(x)=x^2+ax+3,若f(2+x)=f(2-x),则，f(2)=?
A 0
B -1
C -2
D -3
对称轴为X=2，即-a/2*1=2,所以a=-4。

f(2)=4-8+3=-1
十五、比例问题
例、有一辆车子，前轮周长是（5又12分之5），后轮周长为（6又3分之1）。

则前进多少米？才能使前轮转的圈数比后轮转的圈数多99圈？
A 895
B 1650
C 3705
D 4528
前轮与后轮的周长比=5又12分之5：6又3分之1=65：76
即当前轮转76圈时，后轮转65圈
76-65=11 99/11=9 5又12分之5*76*9=3705
十六、行程问题
相遇问题（核心是速度和问题）
例、甲乙两人从距离为60千米的AB两地同时相向而行，6小时后相遇。

如果二人的速度都增加1千米，则相遇地点距前一次相遇地点1千米的距离。

已知甲的速度比乙快,则甲的速度为( )千米/小时
A.8
B.15/2
C.7
D.6
6V甲+6V乙=60，V甲+V乙=10
设第2次相遇时间为T，则有
（V甲+1）T+(V乙+1) T=60 可得到T=5
由题意：6V乙-5（V乙+1）=1，可得到V乙=6
二次相遇问题（第2次相遇时走的路程是第1次相遇时走的路程的两倍）
例甲乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇，他们各自到达对方车站后立即返回车站后立即返回，在距A地42千米处相遇。

请问A、B两地相距多少千米？
A 120
B 100
C 90
D 80
行程问题的常规解法是画图列方程，画图一目了然了就。

画图，设第一次相遇地点和第二次相遇地点之间的距离为A
根据第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍，看甲走的路程列方程
54*2+A=2（42+A）解出A=24
所以总距离是42+24+54=120
追及问题（核心是速度差的问题）
和相遇问题思路一样的，没找例题。

流水问题（核心是公式：顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速-水速，由这两个公式可以推导出另外两个公式：船速=（顺水速+逆水速）/2，水速=（顺水速—逆水速）/2）
例一艘轮船在两码头之间航行。

如果顺水航行需8小时，如果逆水
航行需11小时。

已知水速为每小时3千米，那么两码头之间的距离是多少千米？
A.180
B.185
C.190
D.176
设距离是S，则顺水速=S/8，逆水速=S/11
所以水速= （S/8 -S/11）/2=3 可得到S=176
练习画展9点开门，但早就有人排队等候入场了.从第一个观众来到时起,每分钟来的观众人数一样多,如果开3个入场出口则9点9分就不再有人排队,如果开5个入场口,则9点5分就每人排队,那么第一个观众到达的时间是8点几分
A 8点10分
B 8点15分
C 8点30分D8点45分
设第一个观众到达的时候距9点差X分钟
每分钟来人A，每门每分钟进人B
则有：A(X+A)=9*3*B
A(X+5)=5*5*B
两个式子一比，就可得到X=45，即第一个观众到达的时间是8点15分。

十七、工程问题
十八、浓度问题
例把浓度为20%、30%和50%的某溶液混合在一起,得到浓度为
36%的溶液50升.已知浓度为30%的溶液用量是浓度为20%的溶液用量的2倍,浓度为30%的溶液的用量是多少升?
2014 1
30366 2
5016N
16*1+6*2=14*N
N=2
1+2+2=5 50/5=10 10*2=20
十九、利润利率
核心公式：利润=销售价-成本
利率=利润/成本=（销售价-成本）/成本=销售价/成本-1
销售价=成本*（利率+1）
成本=销售价/（利率+1）
例某商品按定价出售，每个可以获得45元的利润，现在按定价的八五折出售8个，按定价每个减价35元出售12个，所能获得的利润一样。

这种商品每个定价多少元？（）
A.100
B.120
C.180
D.200
设定价为A，则成本为（A-45）
由利润相等可得到[0.85A-(A-45)]*8=[(A-35)-(A-45)]*12
可得到A=200
二十、日期年龄
四年一润，百年不润，四百年再润。

二十一、植树问题
（封闭）总路线长=间距*棵数
（不封闭）总路线长=间距*（棵数-1）
例水池的四周栽了一些树，小贾和小范一前一后朝同一个方向走，他们都边走边数树的棵数，小贾数的第21棵在小范那里是第6棵；小贾数的第8棵在小范那里是第95棵。

则水池四周栽了多少棵树？
A.142
B.137
C.102
D.100
贾21 20 19 18 17 16 (8)
范 6 5 4 3 2 1 95
8到16中间共7棵，所以95+7=102
二十二、方阵问题
方阵总人数=最外层每边人数的平方、
方阵最外层每边人数=方阵最外层总人数/4+1
方阵外一层总人数比内一层总人数多8
去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数*2-1
例用方砖铺一块正方形地面，四周用不同颜色的地砖加以装饰，用47块不同颜色的砖装饰了这间地面相邻的两边，这块地面一共要用多少块砖？
A 324
B 576
C 891
D 1024
47-1=46，46/2=23，23+1=24，24^2=576
二十三、集合和容斥问题
画文氏图，找关系
二十四、抽屉原理
原则：最不利原则
例一个袋内有100个球,其中有红球28个,绿球20个,黄球12个,篮球20个,白球10个,黑球10个.现在从袋中人一摸球出来,如果要使摸出来的球中,至少有15个球的颜色相同,问至少要摸出几个球才能保证满足上述要求?
A,78B,77C,75D,68
红绿黄蓝白黑
1 1 1 1 1 1
共10组6*10=60
1 1 1 1 X X
1 1 1 1
2*4=8
1 1 X 1
1 1 1
1
3*2+1=7
所以至少60+8+7=75
二十五、统筹问题（好像这样的题目不多，做一个记住一个吧，应该考的可能性也不是很大吧，大家谁还见过别的，补充一下啊）1换瓶问题
2时间优化问题
5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需
的时间分别是1分钟，2分钟，3分钟，4分钟和5分钟。

如
果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，才能
使每个人排队和打水的时间总和最小？并求出最小值。

1 1
22+1 3
33+3 6
44+6 10
55+10 15
1+3+6+10+15=35
3安排工人问题
一个车队有三辆汽车担负着五家工厂的运输任务,这五家工厂
分别需要7,9,4,10,6名装卸工,共计36名,如果安排一部分装卸
工跟车装卸则不需要那么多装卸工而只需要在装卸任务较多
的工厂在安排一些装卸工就能完成任务,那么在这种情况下总
共需要( )名装卸工
A26B27 C28 D29
把7,9,4,10,6从大到小排列就是10，9，7，6，4.
共三辆车，所以10+9+7=26
结论就是：几辆车，就按从大到小排列好顺序后前几个数相加。

二十六、排列组合和概率问题
排列组合
一排队
6个人站成一排，有多少种排法？A6,6
1 优先法甲不站在两端，有多少种排法？C4,1A5,5
2 捆绑法甲乙必须相邻，有多少种排法？2*A5,5
3 插空法甲乙必须分开，有多少种排法？A5,2
4 对陈法甲必须在已的左边，有多少种排法？A6,6/2
5 分类法甲不站排头，已不站排尾，有多少种排法？
乙站排头A5，5 乙不站排头C4,1C4,1A4,4
二插板法（条件1 相同元素 2 每份至少一个）
1 10台电脑分给3所学校，每所学校至少分一台，有多少种分法？C9,2
每所学校至少分两台呢？C6,2
现在给这三所学校编号1，2，3，要使每所学校的电脑数不
小于他们的编号数，有几种分法？C6,2
2 有10粒糖，如果每天至少吃一粒，吃完为止，求有多
少种不同吃法？
一天吃完1种，2天吃完C9,1,类推，1+C9,1+C9,2+……
+C9,9=2^9=512
三去除顺序对称法
将8个苹果平均分给4个小朋友，有多少种分法？
C8,2C6,2C4,2C2,2
将8个苹果平均分成4堆，有几种分法？
C8,2C6,2C4,2C2,2/A4,4
6个人站成一圈，有几种排法？A6,6/6
一张节目单原有3个节目，先保持3个节目相对顺序不变，添进两个新节目，问多少种不同方法？（只记得题的大体意思了
哈，大家见谅）A5,5/A3,3
四错位重排问题
3个数的错位排列数D (3)=2种
D (4)=9
D（5）=44
D（n）=(n-1)[D(n-1)+D(n-2)] 5个瓶子，其中3个贴错了标签，一共多少种贴错方法？C5,3*2=20五传球问题（适用于从某元素开始，中间不考虑，最终回到起点的问题）
1 画图法
2 公式法
1 有4人传球，从甲开始传，经过5次，回到甲手里，共有多少种传法？
画图法：甲
甲——非甲——非甲——非甲——非甲——甲
甲
甲——非甲3种
非甲——非甲2种
非甲——甲1种
上：3*1*3*2*1=18
中：3*2*2*2*1=24
下：3*2*1*3*1=18
所以18+24+18=60种
公式法：M人传了N次总次数S
S=(M-1)^N+(-1)^N(M-1)/M
带入这题就是S=（4-1）^5+（-1）^5（4-1）/4=60种
六一例题
某单位今天新进了3个工作人员，可以分配到3个部门，但每个部门至多只能接收2个人，共有多少种不同的分配方案？
A 12
B 16
C 24
D 以上都不对
A3,3+C3,2A3,2=6+18=24
概率
一三局两胜和五局三胜模型
甲乙两队进行一场排球赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜已队的概率是0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜3局的队获胜，比赛结束，设各局比赛相互间没有影响。

求 1 前三局比赛甲队领先的概率（三局两胜模型）C3,2*0.6^2*0.4
2 本场比赛已队3：2取胜的概率
最后一局一定是乙胜，前四局打平了。

C4,2*0.4^2*0.6^2*0.4
二硬币模型
任意抛3枚硬币，恰好有一枚正面朝上的概率？
A 1/4
B 1/3
C 3/8
D 3/4
C3,1*0.5*0.5^2
三袋中拿球模型(不放回)
袋中有4个红球，6个白球，除颜色不同无其他区别，现在把球
随机的一只只摸出来，求第2次摸到的球是红球的概率。

方法1 6/10*4/9+4/10*3/9
方法2 4*A9,9/A10,10（10个排一排）（整体考虑）
方法3 4*9/A10，2（只考虑前两种情况）
方法4 C9，3/C10，4
四两个例题
1 某气象站天气预报的准确率为80%，计算它5次预报中至少一次报错的概率。

80%^5-20%^5
2 一种电器在出厂时每6个正品装成一箱，在装箱时不小心把两件次品和4件正品装入了一箱，为了找出该箱中的次品，我们对该箱中的产品进行了不放回测试，每次取出一个。

求 1 前两次取出都是次品的概率A2,2/A6,2
2 取3次才能取出2件次品的概率2*C2,1C4,1*1/A6,3
二十七、代入法和倒推法
例、李白去买酒，无事街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒，壶中原有多少酒？
A 1斗
B 0.875斗
C 0.5斗
D 0.375斗
倒推法：店——花——店——花——店——花
0.875——1.75——0.75——1.5——0.5——1
二十八、数学归纳法
例1在一张正方形的纸片上，有900 个点，加上正方形的4 个顶点，共有904 个点。

这些点中任意3 个点不共线，将这纸剪成三角形，每个三角形的三个点是这904 个点中的点，每个三角形都不含这些点。

可以剪多少个三角形？
刚开始画图，4个点2个
5个点4个
6个点6个
即多一个点，多俩三角形。

所以多900个点时，多了1800个三角形
即总共可以剪出1800+2=1802个三角形
例2有一楼梯共10级,如规定每次只能跨上一级或两级,要登上第10级,有多少种不同的走法?
A 89
B 55
C 34
D 78
级数走法
4 1
5 2
6 3
7 5
(8)
13
21
34
55
89
归纳：因为一次只能走一步或两步，若想迈到第10级，上一步一定是在第8或9级上，所以就是就是8级和9级的步法相加。

例3小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。

已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层
到二层共有多少种不同的走法？
A 54
B 64
C 57
D 37
和上个题目是一样的道理，因为一次只能迈2步或3步，若想上到16级，上一步必须是在第13或14级上，规律就是隔一项的前两项相加。

列举以下即可得到答案是37.
例45^3+6^3+7^3+……+20^3=?
归纳可得规律：1^3=1，1^3+2^3=9=(1+2)^2，1^3+2^3+3^ 3=36=(1+2+3)^3，类比以下就好了。

这个结果是44000。