分布列、期望与方差(答案).doc
高二数学随机变量的期望与方差试题答案及解析
高二数学随机变量的期望与方差试题答案及解析1.已知某一随机变量X的分布列如下：且，则a＝__________；b＝__________。
【答案】，【解析】由得，又由得。
【考点】随机变量的期望2.某市公租房房屋位于A、B、C三个地区，设每位申请人只申请其中一个片区的房屋，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任4位申请人中：(1)若有2人申请A片区房屋的概率；(2)申请的房屋在片区的个数的X分布列与期望．【答案】（1）（2）X的分布列为：X123【解析】解:(1)所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有C·22种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为＝.(2)X的所有可能值为1,2,3.又p(X＝1)＝＝，p(X＝2)＝＝，p(X＝3)＝＝，综上知，X的分布列为：从而有E(X)＝1×＋2×＋3×＝.3.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有人独立来该租车点则车骑游．各租一车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求出甲、乙所付租车费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列与数学期望E(X)．【答案】(1) (2) 分布列X02468【解析】解：(1)所付费用相同即为0,2,4元．设付0元为P1＝×＝，付2元为P2＝×＝，付4元为P3＝×＝，则所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝.(2)设甲，乙两个所付的费用之和为X, X可为0,2,4,6,8.P(X＝0)＝P(X＝2)＝×＋×＝P(X＝4)＝×＋×＋×＝P(X＝6)＝×＋×＝P(X＝8)＝×＝.分布列E(X)＝＋＋＋＝.4.已知离散型随机变量X的分布列如表，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.【答案】【解析】由题意知解得5.设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝p令随机变量X＝，则X的方差V(X)等于________．【答案】p(1－p)【解析】X服从两点分布，∴V(X)＝p(1－p)．6.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.(1)求乙至多击中目标2次的概率；(2)记甲击中目标的次数为Z，求Z的分布列、数学期望和标准差．【答案】(1) (2) Z的分布列如下表：【解析】解：(1)甲、乙两人射击命中的次数服从二项分布，故乙至多击中目标2次的概率为1－33＝.C303＝；(2)P(Z＝0)＝C313＝；P(Z＝1)＝C323＝；P(Z＝2)＝C333＝.P(Z＝3)＝C3Z的分布列如下表：Z0123E(Z)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，D(Z)＝2×＋2×＋2×＋2×＝，∴＝.7.样本4，2，1，0，－2的标准差是：（）A．1B．2C．4D．【答案】D【解析】，样本4，2，1，0，－2的标准差是：=，选D。
随机变量的分布列、期望、方差
„ „
P
1 1 3
4
2 1 3 3
3
5
2 3
4
1 ⑷ ~ B 5, ,
k
∴ P＝( ＝k)＝C5 ( ) ·( ) 其中 k 0,1,2,3,4,5. ∴所求 的分布列是
1 3
k
2 3
5－k
，
0
32 243
1
80 243
2
80 243
【典例解析】
考点一：随机变量的分布列
例 1. 袋子中有 1 个白球和 2 个红球． ⑴ 每次取 1 个球，不放回，直到取到白球为止．求取球次数 的分布列．
2
2013 年高考第一轮复习资—理科数学 ⑵ 每次取 1 个球，放回，直到取到白球为止．求取球次数 的分布列． ⑶ 每次取 1 个球，放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过 5 次．求取球次数 的分布列． ⑷ 每次取 1 个球，放回，共取 5 次．求取到白球次数 的分布列． 解： ⑴ 1,2,3.
1
1 3
2
1 3
3
1 3
P
⑵ 每次取到白球的概率是 ，不取到白球的概率是 2 ， 所求的分布列是
3
1 3
P ⑶
1 1 3 2 2 1 3 3
3
2 2 1 3 3 3
2 1 3 3
2
3
2 1 3 3
2
„ „
n
2 3
n 1
1 3
P 1 P 2 1 1 , 1 3 A3
1 A2 1 1 , 2 1 1 A A3 2 3 1
分布列、期望、方差
分布列、期望、方差作者：来源：《数学金刊·高考版》2013年第03期■由于离散型随机变量的分布列、期望与方差与现实生活联系密切，能充分体现数学的应用价值，也符合高考发展的方向，是近几年高考考查的热点与重点内容. 预计在今后的高考中，它仍然是考查的重点，题型有选择题、填空题、解答题，不同的地区，在命题设计上不尽相同，但以解答题为主的可能性更大.■求离散型随机变量的期望和方差，一般先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，再根据数学期望和方差的公式计算. 这类题多为解答题，常常综合考查排列组合知识、随机事件的概率等，有时还会根据概率、期望、方差等数据对某些现象进行说理. 因此在复习时要注意对概率综合题的研究，既要落实“模型题”训练，又要注重从生活情境出发进行思考.■■ 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表. 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求工期延误天数的均值与方差.■破解思路先根据条件信息求出Y=0，2，6，8时的相应概率，列出Y的分布列，再根据分布列计算期望和方差. 这类题为容易题，体现对分布列、期望、方差等的最低要求.经典答案由已知条件和概率的加法公式可得到：P（X■于是，EY=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3，DY=9.8. 故工期延误天数的均值为3，方差为9.8.？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇■ 一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球. 已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是■；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是■.（1）若袋中共有10个球，①求白球的个数；②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ.（2）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于■，并指出袋中哪种颜色的球个数最少.破解思路（1）方程思想. 先根据条件建立方程，确定白球数，再确定随机变量ξ的可能取值，并求出相应的概率，求得分布列和期望.（2）先设定两种球的个数，表示出相应的概率，由概率关系建立不等式，得到两个未知数间的关系，从而论证结论.经典答案（1）①记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P（A）=1-■=■，得到x=5. 故白球有5个.②随机变量ξ的取值为0，1， 2，3，分布列是：■ξ的数学期望Eξ=■×0+■×1+■×2+■×3=■.（2）证明：设袋中有n个球，其中y个黑球，由题得y=■n，所以2y■ 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试. 根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现设n=4，分别以a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为1，2， 3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X=1-a1+2-a2+3-a3+4-a4，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述.（1）写出X的可能值集合；（2）假设a1，a2，a3，a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的分布列；（3）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2，①试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.破解思路准确理解题意是确定随机变量X的取值的关键. 分析a1，a3与a2，a4中奇数、偶数的个数，确定X的奇偶性，然后估算X的范围，并逐一检验；借助树状图列出所有可能情形，计算X值相应的概率，得到分布列；通过计算概率，判断该品酒师酒味鉴别的能力，并说明理由.经典答案（1）由于1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以a2，a4中奇数个数与a1，a3中偶数个数相同，所以1-a1+2-a2+3-a3+4-a4的奇偶性相同，从而X的可能值必为偶数，且非负，不大于8，故X的可能值集合为{0，2，4，6，8}.（2）列树状图可得1，2，3，4的排列共有24种，计算得X的分布列如下：■（3）①由（2）知P（X≤2）=P（X=0）+P（X=2）=■，又各轮测试相互独立，所以三轮测试都有X≤2的概率为P=■■=■.②由于P=■■=■■1. 某中学选派40名同学参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如下表所示：■（1）从这40人中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率；（2）从40人中任选2名学生，用X表示这两人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望EX.2. 某高校的自主招生考试数学试卷共有8道选择题，每个选择题都给了4个选项（其中有且仅有一个是正确的）. 评分标准规定：每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分. 某考生每道题都给出了答案，已确定有4道题的答案是正确的，而其余的题中，有两道题每题都可判断其中两个选项是错误的，有一道题可以判断其中一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜. 对于这8道选择题，试求：（1）该考生得分为40分的概率；（2）该考生所得分数ξ的分布列及数学期望Eξ.3. 文科班某同学参加某省学业水平测试，物理、化学、生物获得等级A和获得等级不是A的机会相等，物理、化学、生物获得等级A的事件分别记为W1，W2，W3，物理、化学、生物获得等级不是A的事件分别记为■，■，■.（1）试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A的所有可能结果（如三科成绩均为A记为（W1，W2，W3））；（2）求该同学参加这次水平测试获得两个A的概率；（3）试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件，使该事件的概率大于85%，并说明理由.。
第17讲 概率、随机变量的分布列、期望与方差
计数原理、概率与统计
第17讲 概率、随机变量的分布列、
期望与方差
自主学习
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1.(2013· 师大附中月考)已知随机变量ξ～B(30， 1 )，则随机变量ξ的方差Dξ＝( 6 5 A. 6 25 C. 6 B．5 D．25 )
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解：随机变量 ξ 服从二项分布， 1 1 25 所以方差 Dξ＝np(1－p)＝30× ×(1－ )＝ .故 6 6 6 选 C.
【例1】(1)(2013· 六校联盟高三第一次联考)投掷一枚质地 均匀的骰子(六个面上分别标有1,2,3,4,5,6)两次，若第一次面 向上的点数小于第二次面向上的点数我们称其为前效实验， 若第二次面向上的点数小于第一次面向上的点数我们称其为 后效实验，若两次面向上的点数相等我们称其为等效试 验．那么一个人投掷该骰子两次后出现等效实验的概率是 ( ) 1 1 A. B. 2 6 1 1 C. D. 12 36
解：由n(A)＝4知，函数y＝|x2＋ax＋3|和y＝1的
2 12 － a 图象有四个交点，所以y＝x2＋ax＋3的最小值 < 4
－1，解得a>4(a<－4舍去)，所以a的取值是5,6.又因 2 1 为a的取值可能是6种，故概率是 ＝ ，故选A. 6 3
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3.(2013· 长沙市一中月考)班主任统计本班50名学 生平均每天放学回家后学习时间的数据用下图所示 条形图表示．
1－ln x 解：(2)函数的导数为f′(x)＝ ， 2 x 由f′(x)>0得1－ln x>0，即ln x<1，解得0<x<e， 所以在区间[2,3]上满足f′(x0)>0的解为 2≤x0<e， e－2 根据几何概型可知f′(x0)的概率为 ＝e－2. 3－2
随机变量的分布列 期望与方差
随机变量的分布列 期望与方差1、 设随机变量的分布如下：求常数k 的值2、设随机变量ξ的概率分布为====a k a ak P k 则为常数,,2,1,,5)( ξ . 3、设某批产品合格率为43，不合格率为41，现对该产品进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P （ξ=3）等于（ ）A ．)43()41(223⨯C B ．)41()43(223⨯C C ．)43()41(2⨯ D ．)41()43(2⨯4、设随机变量ξ只可能取5，6，7，……，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P (ξ≥9)= ；P (6<ξ≤14)= ．5、设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P （ξ=0）等于_______。
6、袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P （ξ≤6）=________.7、从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数。
（1）求ξ的分布列； （2）求“所选3人中女生人数1≤ξ”的概率。
8、罐中有5个红球，3个白球，从中每次任取一球后放入一个红球，直到取到红球为止用ξ表示抽取次数，求ξ的分布列，并计算P （1<ξ≤3）9、某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min.（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的概率分布列和数学期望。
10、一批零件中有九个合格品，三个次品安装机器时，从这批零件中随机抽取，取出的是废品则不放回，求在第一次取到合格品之前取到废品数ξ的分布列和期望。
11、在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。
从这10件产品中任取3件，求：（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。
离散型随机变量的分布列与期望和方差
离散型随机变量的分布列与期望和方差考点一：离散型随机变量的分布列 若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量 (2)方差：称D (X )＝∑ni ＝1 (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根()X D 为随机变量X 的标准差．（3）均值与方差的性质 1．E(aX ＋b)＝aE(X)＋b. 2．D(aX ＋b)＝a2D(X)(a ，b 为常数)． 考点二：超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，如果随机变量X 的分布列具有下表形式，考点三：二项分布二项分布；在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率． 基础练习1.在某公司的两次投标工作中，每次中标可以获利14万元，没有中标损失成本费8000元．若每次中标的概率为0.7，每次投标相互独立，设公司这两次投标盈利为X 万元，则EX ＝（ ） A ．18.12B ．18.22C ．19.12D ．19.222.设服从二项分布B （n ，p ）的随机变量X 的期望与方差分别是10和8，则n ，p 的值分别是（ ） A ．B ．C ．D ．3.已知X 的分布列为X ﹣1 0 1 P且Y ＝aX +3，E （Y ）＝，则a 为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44.设随机变量X ∼N(1,δ2),且P(X>2)=51,则P(0<X<1)=___.5.已知离散型随机变量x 的取值为0，1，2，且()()(),2,1,410b x p a x p x p ======若()1=X E ，则 ()=X D .6.若随机变量，且，，则当 ．（用数字作答）7.已知随机变量X 满足(23)7E X +=，(23)16D X +=，则下列选项正确的是( ) A ．7()2E X =，13()2D X = B ．()2E X =，()4D X = C ．()2E X =，()8D X = D ．7()4E X =，()8D X = 超几何分布VS 二项分布1.“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件．（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望．2.某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50~(,)X B n p 52EX =54DX =(1)P X ==条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如图的频率分布直方图：（1）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（2）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表：若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X ，求x 的分布列和数学期望．3.假设某种人寿保险规定，投保人没活过65岁，保险公司要赔偿10万元；若投保人活过65岁，则保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付4万元已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为0.9，随机抽取4个投保人，设其中活过65岁的人数为X ，保险公司支出给这4人的总金额为Y 万元(参考数据：40.90.6561=) (1)指出X 服从的分布并写出Y 与X 的关系； (2)求(22)≥P Y .(结果保留3位小数)考点四：正太分布1.已知随机变量ξ服从正态分布)9,5(N ，若)2()2(-<=+>c p c p ξξ，则c 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．72.已知随机变量服从正态分布即，且，若随机变量，则（ ）A ．0.3413B ．0.3174C ．0.1587D ．0.15863.已知随机变量X ∼N （2，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形OABC 中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（ ）A ．0.1359B ．0.7282C ．0.8641D ．0.932054.某市高三年级第二次质量检测的数学成绩X 近似服从正态分布N （82，σ2），且P （74＜X ＜82）＝0.42．已知我市某校有800人参加此次考试，据此估计该校数学成绩不低于90分的人数为（ ） A ．64B ．81C ．100D ．1215.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．X 2~(,)X N μσ()0.6826P X μσμσ-<≤+=~(5,1)X N (6)P X ≥=①利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求()E X ．12.2≈．若2(,)Z N μσ～，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)P Z μσμσ-<<+0.9544=．。
概率论分布列期望方差习题及答案
概率论分布列期望方差习题及答案The following text is amended on 12 November 2020.圆梦教育 离散型随机变量的分布列、期望、方差专题姓名：__________班级：__________学号：__________1．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为,,，假设各盘比赛结果相互独立。
（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.2．已知某种从太空带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为13，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的． (1) 第一小组做了三次实验，求实验成功的平均次数；(2) 第二小组连续进行实验，求实验首次成功时所需的实验次数的期望； (3)两个小组分别进行2次试验，求至少有2次实验成功的概率．3．一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p ，出现“×”的概率为q .若第k 次出现“○”，则a k =1；出现“×”，则a k =1-.令S n =a 1+a 2+…+a n ()n N *∈.(1)当12p q ==时，求S 6≠2的概率；(2)当p =31，q =32时，求S 8=2且S i ≥0(i =1,2,3,4)的概率.4．在一个有奖问答的电视节目中，参赛选手顺序回答123A A A 、、三个问题，答对各个问题所获奖金（单位：元）对应如下表：当一个问题回答正确后，选手可选择继续回答下一个问题，也可选择放弃．若选择放弃，选手将获得答对问题的累计奖金，答题结束；若有任何一个问题回答错误，则全部奖金归零，答题结束．设一名选手能正确回答123A A A 、、的概率分别为421534、、，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率均为12，且各个问题回答正确与否互不影响．（Ⅰ）按照答题规则，求该选手1A 回答正确但所得奖金为零的概率；（Ⅱ）设该选手所获奖金总数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．5．某装置由两套系统M,N 组成，只要有一套系统工作正常，该装置就可以正常工作。
离散型随机变量的分布列及其期望与方差
离散型随机变量的分布列及其期望与方差题组一：1、已知随机变量X 的分布列为P （X=i ）=a i 2（i=1，2，3），则P （X=2）= .2、设离散型随机变量X 的概率分布为求：（1）2X+1的概率分布；（2）|X-1|的概率分布.3、设ξ是一个离散型随机变量，其概率分布为则q 的值为 .4、设离散型随机变量ξ的分布列P （ξ=5k ）=ak ，k=1，2，3，4，5. （1）求常数a 的值；（2）求P （ξ≥53）；（3）求P （101＜ξ＜107）.题组二：1、若某一射手射击所得环数X 的概率分布如下：则此射手“射击一次命中环数X≥7”的概率是 .2、一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽两件，其中出现次品的概率是 .3、某人共有5发子弹，他射击一次命中目标的概率为，击中目标就停止射击，则此人射击次数为5的概率为 .4、设随机变量X～B(6,21),则P（X=3）= .5、某同学有2盒笔芯，每盒有25支，使用时从任意一盒中取出一支。
经过一段时间后，发现一盒已经用完了，则另一盒恰好剩下5只的概率是 .6、甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是，计算：（1）两人都击中目标的概率；（2）其中恰有一人击中目标的概率；（3）至少有一人击中目标的概率.7、已知P（AB）=103，P（A）=53，则P （B|A）= .8、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是 . 9、1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：（1）从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少（2）从2号箱取出红球的概率是多少10、甲、乙两人参加一次考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中6题，乙能答对其中8题.若规定每次考试分别都从这10题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题算合格.（1）分别求甲、乙两人考试合格的概率；（2）求甲、乙两人至少有一人合格的概率.11、有甲、乙、丙、丁四名网球运动员，通过对过去战绩的统计，在一场比赛中，甲对乙、丙、丁取胜的概率分别为，，.（1）若甲乙之间进行三场比赛，求甲恰好胜两场的概率；（2）若四名运动员每两人之间进行一场比赛，求甲恰好胜两场的概率；（3）若四名运动员每两人之间进行一场比赛，设甲获胜场次为ξ，求随机变量ξ的概率分布.12、已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为31,某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验,每次试验种一粒种子,假定某次试验种子发芽,则称该次试验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次试验是失败的.(1)第一个小组做三次试验,求至少两次试验成功的概率;(2)第二个小组进行试验,到成功了4次为止,求在第四次成功之前共有三次失败,且恰有两次连续失败的概率.13、甲、乙两人进行投篮比赛，两人各投3球，谁投进的球数多谁获胜，已知每次投篮甲投进的概率为54,乙投进的概率为21，求：（1）甲投进2球且乙投进1球的概率；（2）在甲第一次投篮未投进的条件下甲最终获胜的概率.题组三：1、一袋中装有编号为1，2，3，4，5，6的6个大小相同的球，现从中随机取出3个球，以X 表示取出的最大号码.（1）求X 的概率分布；（2）求X ＞4的概率.2、袋中有3个白球，3个红球和5个黑球.从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分.求所得分数ξ的概率分布.3、从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，则随机变量X可以取哪些值求X的概率分布.4、甲、乙两人轮流投篮直至某人投中为止，已知甲投篮每次投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，各次投篮互不影响.设甲投篮的次数为ξ,若乙先投，且两人投篮次数之和不超过4次，求ξ的概率分布.5、某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的概率分布.6、一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31.（1）设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；（2）设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的概率分布；（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.题组四：1、设一随机试验的结果只有A和A，且P（A）=p，令随机变量X=⎩⎨⎧不出现出现AA1，则D(X)= .2、设ξ～B（n，p），若有E(ξ)=12，D(ξ)=4，则n、p的值分别为 .3、已知ξ的分布列为ξ=-1,0,1,对应P=21，61，31，且设η=2ξ+1，则η的期望是 .4、随机变量ξ的概率分布如下：其中a,b,c成等差数列.若E（ξ）=31,则D（ξ）的值是 .5、设15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件检查则查得次品数的数学期望为 .6、有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中任意抽取3张卡片，则这3张卡片上的数学这和的数学期望为 .7、编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X.（1）求随机变量X的概率分布；（2）求随机变量X的数学期望和方差.8、某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求：（1）X的概率分布；（2）X的均值.9、甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p，且乙投球2次均未命中的概率为161.（1）求乙投球的命中率p；（2）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的概率分布和数学期望.10、某地区的一个季节下雨天的概率是，气象台预报天气的准确率为.某厂生产的产品当天怕雨，若下雨而不做处理，每天会损失 3 000元，若对当天产品作防雨处理，可使产品不受损失，费用是每天500元.（1）若该厂任其自然不作防雨处理，写出每天损失ξ的概率分布，并求其平均值；（2）若该厂完全按气象预报作防雨处理，以η表示每天的损失，写出η的概率分布.计算η的平均值，并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择11、有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下：其中ξ和η分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性较好.。
(理科)专题训练(二项式定理、分布列、期望与方差)
高三数学（理科）专题训练（1）-----概率、二项式定理、分布列、数学期望1.如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平面线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A．60 B．48 C．36D．242.．甲、乙两人进行象棋比赛，甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2，则甲不输的概率是()A．0.6B．0.8C．0.2D．0.43．在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为()A．0.20 B．0.60 C．0.80D．0.124．掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数a，设事件A：a＝3；事件B：a＝4；事件C：a为奇数，则下列结论正确的是() A．A与B为互斥事件B．A与B为对立事件C．A与C为对立事件D．A与C为互斥事件5．某家庭电话在家里有人时，打进电话响第一声被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前4声内被接的概率是()A．0.622 B．0.9 C．0.659 8 D．0.002 87.袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为()A．①B．②C．③D．④7.已知(x＋ax)6(a>0)的展开式中常数项为240，则(x＋a)(x－2a)2的展开式中x2项的系数为________．8．已知a＝π2(sin2x2－12)d x，则(ax＋12ax)9的展开式中，关于x的一次项的系数为________．9.自“钓鱼岛事件”以来，中日关系日趋紧张并不断升级．为了积极响应“保钓行动”，某学校举办了一场“保钓知识大赛”，共分两组．其中甲组得满分的有1个女生和3个男生，乙组得满分的有2个女生和4个男生．现从得满分的同学中，每组各任选2个同学，作为“保钓行动代言人”．(1)求选出的4个同学中恰有1个女生的概率；(2)设X为选出的4个同学中女生的个数，求X的分布列和数学期望．高三数学（理科）专题训练（2）-----概率、二项式定理、分布列、数学期望1.随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝( ) A.16B.13C.12D.23.2.设随机变量ξ的概率分布列为P (ξ＝i )＝i a )43(i，i ＝1,2,3，则a 的值是( )A.64111B.64101C.2764D.37643.设随机变量X 的概率分布列如下表所示：F (x )＝P (X ≤x )，则当x 的取值范围是[1,2)时，F (x )＝( )A.13B.16C.12D.564.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，且a 、b 、c ∈(0,1)，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为________．5.．已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n 的展开式的二项式系数之和比(a ＋b )2n 的展开式的系数之和小240，求⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中系数最大的项．6.(2014·北京)把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．7.离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝ann ＋1(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ()12＜X ＜52＝______.8.已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．9.(河南省信阳市2015届高中毕业班第二次调研检测数学理试题19).某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿； （Ⅲ）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）X －1 0 1 PabcX 0 1 2 Pa1316【参考答案】高三数学（理科）专题训练-----概率、二项式定理、分布列、数学期望（1）1.【答案】B【解析】长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36个，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12个，共36＋12＝48个，故选B.2.【答案】A【解析】甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2，所以甲不输的概率为0.4＋0.2＝0.6.故选A.3.【答案】C【解析】由互斥事件的概率加法公式可得，该乘客在5分钟内能乘上所需的车的概率为0.20＋0.60＝0.80.故选C.4.【答案】A【解析】依题意，事件A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件，但A与B不是对立事件，显然，A与C既不是对立事件也不是互斥事件．故选A.5.【答案】B【解析】根据互斥事件的概率加法公式，电话在响前4声内被接的概率＝电话响第一声被接的概率＋响第二声时被接的概率＋响第三声时被接的概率＋响第四声时被接的概率，故电话在响前4声内被接的概率是0.1＋0.3＋0.4＋0.1＝0.9，故选B.6.【答案】B【解析】从7个球中任取3个球的所有可能为：1个白球2个黑球；2个白球1个黑球；3个白球；3个黑球．故①中的两事件互斥，但不对立；②中的两事件对立；③中的两事件中不互斥；④中的两事件不互斥，故选B.7.【答案】－6【解析】(x＋ax)6的二项展开式的通项T r＋1＝C r6x6－r(ax)r＝C r6362rax-，令6－3r2＝0，得r＝4，则其常数项为C46a4＝15a4＝240，则a4＝16，由a>0，故a＝2.又(x＋a)(x－2a)2的展开式中，x2项为－3ax2，故x2项的系数为(－3)×2＝－6.8.【答案】－6316【解析】a＝π2⎰(sin2x2－12)d x＝π20⎰(1－cos x2－12)d x＝π20⎰(－cos x2)d x＝－12sin xπ20|＝－12.此时二项展开式的通项为T r＋1＝C r 9(－12x )9－r (－1x )r ＝C r 9(－12)9－r (－1)r x 9－2r ，令9－2r ＝1，得r ＝4，所以关于x 的一次项的系数为C 49(－12)9－4(－1)4＝－6316. 9.【解析】(1)设“从甲组内选出的2个同学均是男生；从乙组内选出的2个同学中，1个是男生，1个是女生”为事件A ，“从乙组内选出的2个同学均是男生；从甲组内选出的2个同学中1个是男生，1个是女生”为事件B ，由于事件A ，B 互斥，且P (A )＝C 23C 12C 14C 24C 26＝415，P (B )＝C 13C 24C 24C 26＝15.所以选出的4个同学中恰有1个女生的概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝415＋15＝715. (2)由条件知X 的所有可能值为0,1,2,3.；P (X ＝0)＝C 23C 24C 24C 26＝15，P (X ＝1)＝C 23C 12C 14＋C 13C 24C 24C 26＝715，P (X ＝3)＝C 13C 24C 26＝130，P (X ＝2)＝1－15－715－130＝310.[来源所以X 的分布列为 所以X 的数学期望为E (X )＝0×15＋1×715＋2×310＋3×130＝76.高三数学（理科）专题训练-----概率、二项式定理、分布列、数学期望（2）1.【答案】D 【解析】因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，得b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.故选D2.【答案】A 【解析】1＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝a ⎣⎡⎦⎤34＋()342＋()343，解得a ＝64111，选A. 3.【答案】D 【解析】∵a ＋13＋16＝1，∴a ＝12.[来源:学_科_网]∵x ∈[1,2)，∴F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.选D.4.【答案】124 【解析】由已知3a ＋2b ＋0×c ＝1，∴3a ＋2b ＝1，∴ab ＝16·3a ·2b ≤163a ＋2b24＝124，当且仅当a ＝16，b ＝14时等号成立． 5.【解析】由题意，得2n ＝22n －240，∴22n －2n －240＝0，即(2n －16)(2n ＋15)＝0.又∵2n ＋15＞0，∴2n －16＝0.∴n ＝4.∴⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x 4。
随机变量及其分布列、期望与方差
链教材·夯基固本 聚焦知识
4．离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义 n
①D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝___∑ i_＝_1_(_xi_－__E_(_X_)_)2_p_i ____为 随机变量 X 的方差，有时也记为 Var(X)，并称 D(X)为随机变量 X 的标准差，记为 σ(X)． ②公式：D(X)＝___E_(_X_2_)－__[_E_(_X_)_]2___．
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2．离散型随机变量的分布列
(1)一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有___唯__一__的__实__数__X_(ω__)___ 与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为有限个或可以__一__一__列__举____的随机变 量，我们称为离散型随机变量． (2)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi 的概率___P_(_X_＝__x_i_)＝__p_i___，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． (3)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝___1__．
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概率分布列及期望方差专题
离散型随机变量的概率分布列专题训（中6）编纂人：张宪东审批人：时间：2012、5一、摸球问题：1、袋中有3个黑球，2个红球，从中同时取出2个球，求取出的球中含有红球个数的概率分布列及数学期望？2、袋中有3个黑球，2个红球，从袋中取球，一次一个，不放回得取两次，求取出的球中含有红球个数的概率分布列及数学期望？3、袋中有3个黑球，2个红球，从袋中取球，一次一个，有放回得取两次，求取出的球中含有红球个数的概率分布列及数学期望？4、袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记零分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球及2分，用X表示得分数。
(1)求X的概率分布列及数学期望（2）求所得分数大于等于2的概率。
二、比赛问题：1、甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制，求甲胜的概率2、甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，那么采用5局3胜制，求乙胜的概率。
3、甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制，求比赛结束时比赛局数的分布列及数学期望4、甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为32，乙胜的概率为31，那么采用局胜制，求比赛结束时比赛局数的分布列及数学期望？5、红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘。
已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立。
（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ。
6、甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。
已知前2局中，甲乙各胜一局。
（1）求在赛2局结束这次比赛的概率。
（2）求甲获得这次比赛胜利的概率三、射击问题：1、某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．2、甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率为32，（1）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布列及数学期望 （2）求乙至多击中目标2次的概率（2719）（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率（241）3、某中学排球队进行发球训练，每人在一论练习中最多最多可发球4次，且规定一旦发球成功即停止该轮练习，否则一直发到4次为止。
由分布列求期望、方差
• 点评：当ξ的所有可能取值为x1，x2，…，xn这n个值 时，若p1＝p2＝…＝pn＝ 1/n ，则x1，x2，…，xn 的方差就是我们初中学过的方差．因此，现在学的方 差是对初中学过的方差作了进一步拓展．
• 类型一 求离散型随机变量的期望 • 解题准备：求离散型随机变量的期望，一般分两个步 骤： • ①列出离散型随机变量的分布列；②利用公式 Eξ ＝ x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…，求出期望值．
• 类型二 离散型随机变量的方差 • 解题准备： 求离散型随机变量 ξ 的期望与方差的方 法． • (1)理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； • (2)求ξ取每个值的概率； • (3)写出ξ的分布列； • (4)由期望的定义求Eξ； • (5)由方差的定义求Dξ.
• 【典例 2】 编号 1,2,3 的三位学生随意入座编号为 1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编 号相同的学生的个数是ξ. • (1)求随机变量ξ的概率分布； • (2)求随机变量ξ的数学期望和方差． • [分析] (1)随机变量ξ的意义表示对号入座的学生个数； 它的取值只有0、1或3，若2 人对号入座第3人必对号 入座，所以ξ＝2不存在．由排列知识与等可能事件概 率公式易求分布列． • (2)直接用随机变量的数学期望和方差计算公式即可．
所以，当 ξ＝4 时，其发生的概率最大，为 P(ξ＝4)＝
21 . 64
(2)Eξ＝2×
9 18 21 12 4 15 ＋3× ＋4× ＋5× ＋6× ＝ . 64 64 64 64 64 4
• [点评] 本题主要考查某事件发生概率的求法，以及 离散型随机变量分布列的数学期望的求法．问题(1)， 对ξ的取值做到不重不漏，这是学生容易出错的地 方．利用好计数原理和排列、组合数公式，求事件发 生的概率，问题(2)比较容易，用好离散型随机变量分 布列的数学期望公式即可．
离散型随机变量的分布列、期望与方差
=2.752.
学例2 (2008·广东卷)随机抽取某厂的某种
产品200件，经质检，其中有一等品126件、 二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生 产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万 元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元.设 1件产品的利润为ξ（单位：万元）.
(1)求ξ的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即ξ的数学期望);
ξ
0
1
…
M
P
C C 0 n0 M NM
C C 1 n1 M NM
CNn
CNn
…
C C m nm M NM
CNn
为⑦超几何分布列.如果随机变量ξ的分布列为超
几何分布列,则称随机变量ξ服从超几何分布.
3.离散型随机变量的分布列的性质 ⑧ Pi≥0,P1+P2+…+Pi+…=1 (i=1,2,3,…) . 4.离散型随机变量的均值 若离散型随机变量ξ的分布列为：
是随机变量的特征数，期望反映了随 机变量的平均取值，方差与标准差都 反映了随机变量取值的稳定与波动、 集中与离散的程度.在进行决策时，一 般先根据期望值的大小来决定，当期 望值相同或相差不大时，再去利用方 差决策.
备选题
某工厂每月生产某种产品三件,经检测发 现，工厂生产该产品的合格率为45.已知生产 一件合格品能盈利25万元，生产一件次品将 亏损10万元.假设该产品任何两件之间合格与 否相互之间没有影响.
设随机变量ξ表示在取得合格品以前
已取出的不合格品数，则ξ=0,1,2,3,
可得P(ξ=0)=
9 12
,
P(ξ=1)=
3× 9
12 11
=
9 44
,
第3讲 随机变量的分布列、期望与方差
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二轮提优导学案 ·数学
专题四 统计与概率
4. 已知一书包中有两本语文资料和一本数学资料，除内容不同外其他均相同，现在 有放回地抽取资料，每次抽取一本，记下科目后放回书包中，连续抽取三次，X 表示三 次中语文资料被抽中的次数，若每本资料被抽取的概率相同，每次抽取相互独立，则方
2 差 D(X)＝____3____.
其中的 2 种，所以 P(A|B)＝nnABB＝25.故选 A.
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二轮提优导学案 ·数学
专题四 统计与概率
(2) 已知盒中装有 3 个红球，2 个白球，5 个黑球，它们大小形状完全相同，现需一
个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的情况下，第二次拿到红
球的概率为( B )
1. 小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，若事件 A 为“4 个人去的景点不相同”，事件 B 为“小赵独自去一个景点”，则 P(A|B)等于( A )
2
1
A. 9
B. 3
4
5
C. 9
D. 9
【解析】小赵独自去一个景点共有 4×3×3×3＝108(种)情况，即 n(B)＝108,4 个人
去的景点不同的情况有 A44＝4×3×2×1＝24(种)，即 n(AB)＝24，所以 P(A|B)＝nnABB＝
12048＝29.故选 A. P(A|B)＝PPABB
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二轮提优导学案 ·数学
专题四 统计与概率
2. 不透明袋子中装有大小、材质完全相同的 2 个红球和 5 个黑球，现从中逐个不放
有 10 个，所以 P(B)＝1306＝158.
当蓝色骰子的点数为 3 或 6 时，两颗骰子的点数之和大于 8 的结果有 5 个，故 P(AB)
专题15分布列、期望与方差-高考数学复习资料.docx
一、选择题1.【浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考】若随机变量§满足£(1-§) = 4, 2^(1-0=4,则下列说法止确的是A. Ef=-4,Df = 4B. Ef=-3,Df = 3C. Eg =- 4,Df =- 4D.Eg =- 3,DC = 4【答案】D【解析】随机变量F満足-厂=4,巩1 —门=4,则:1_砖=4丄_1円疋=4,据此可得：必=-3,巧=4.本题选择。
选项.2.【浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考】已知甲盒子中有尬个红球，“个蓝球，乙盒子中有加-1个红球，八+ 1个蓝球(m>3,n>3),同时从甲乙两个盒子屮取出迫=1,2)个球进行交换，(a)交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为戸(心").⑴)交换后，乙盒子中含有红球的个数记为乞(心1忆)则()A. P] > P2'E(§1)V E(§2)B. P I V 卩2疋(§1)> E(§2)C. Pl > 卩2上(§1)> E(§2)D. Pl V 卩2力(§1)V E(§2)【答案】A【解析】根据题意有，如果交换一个球，有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，红球的个数就会出现mm - l,m + 1三种情况；如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，对应的红球的个数就是尬- l,m,m + l,m + 2五种情况，所以分析可以求得內 > 卩2力(§1)< W,故选A.3.【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】随机变量f的分布列如下:其屮Q, X c成等差数列，贝的最大值为()2 5 2 3A. 3 乩© C. ® D. 4【答案】A【解析】因为b, c成等差数列，・・・2b = e + G・・・ti + b + t? = 1.A b = =扌一亿□ □E^ = ~a+c = ~2a + i则Df的最犬值为扌・本题选择卫选项.4.【浙江省上虞市2018届高三第二次(5月)调测】若随机变量f满足巩1-§) = 4, D(l-()=4,则下列说法正确的是A. Ef=-4,D£ = 4B. Ef=-3,Df = 3C.図=-4,D£ =- 4D. Ef =- 3,Df = 4【答案】D【解析】随机变量§满足-0 = 4, D(l-0 =4f则：1-Ff = 4,(-l)2Df = 4,据此可得：昭=-3必=4.本题选择〃选项.10 V a V —5.【浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目检测】己知4,随机变量g的分布列如下: g-101P 314—a4a当a增大时，()A. E代)增大，D(2)增大B. E(g)减小，DU)增大C. E(g)增大，D(§)减小D. E(§)减小，D(§)减小【答案】A【解析】由随机变量§的分布列，得应(V =。
离散型随机变量的分布列,期望与方差
１、随机变量：
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示， 那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用 希腊字母 ξ、η 等表示．
随机变量将随机事件的结果数量化．
问题:某人射击一次，可能出现哪些结果？
若设射击命中的环数为ξ， 则ξ是一个随机变量. ξ可取０，1，2，…，10. ξ＝０，表示命中０环；
(1). pi 0, i 1，2，3，
(2). p1 p2 p3 1
例1、某一射手射击所得环数的分布列如下：
ξ 4 5 6 7 8 9 10
p 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概 率
一般地，离散型随机变量在某一范围内的概 率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
例1.设p是 非 负 实 数， 随 机 变 量的 概 率 分 布为
0
1
2
P
1 p 2
p
1 2
则E的 最 大 值 为______,D的 最 大 值 为______
例2.A、B是 治 疗 同 一 种 疾 病 的 两种 药 ， 用 若 干 实 验 组 进 行 对 比 实 验 。每 个 试 验 组 由4个 小 白 鼠 组 成 ， 其 中2只 服 用A， 另2只 服 用B， 然 后 观 察 疗 效 。 若 在 一 个 试 验 组中 ， 服 用A有 效 的 小 白 鼠 的 只 数 比 服 用B有 效 的 多 ， 就 称 该 试 验组 为 甲 类
写出ξ的分布列. 解: 随机变量ξ的可取值为 1,2,3.
当ξ=1时,即取出的三只球中的最小号码为1,则其它
两只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只,故
有P(ξ=1)=
分布列、期望、方差
(时间：50分钟满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·湘潭模拟)设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝p，令随机变量X＝
，则X的方差D(X)等于( )
A．pB．2p(1－p)
C．－p(1－p)D．p(1－p)
解析：X服从两点分布，故D(X)＝p(1－p)．
答案：B
4．设15000件产品中有1000件废品，从中抽取150件进行检查，查得废品的均值为()
A．20B．10C．5D．15
解析：抽一件产品为废品的概率为＝，抽取150件，即进行150次试验，因为产
品数目较大，故可看成是独立重复试验，故查得废品数X～B，所以EX＝
150×＝10.
答案：B
5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、
解析：首先X∈{0,1,2}．
∵P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.∴EX＝0·＋1·＋2·＝
＝.
答案：
8．(2009·广东理，12)已知离散型随机变量X的分布列如右表，若
EX＝0，DX＝1，则a＝________，b＝________.
解析：由B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的
最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内
都通过的最大信息总量为X，则P(X≥8)＝________.
解析：由已知，X的取值为7,8,9,10，
∵P(X＝7)＝＝，
P(X＝8)＝＝，
P(X＝9)＝＝，
P(X＝10)＝＝，
∴X的概率分布列为
X
7
8
9
10
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【目标与要求】（1） （2） （3）2.R = 0,1,7,其中"7 =第十三章第一节排列与组合执笔：李建军 审核：理数学备考小组了解排列与组合的定义；理解排列与组合数的性质，计算简单的排列与组合数; 解决与排列与组合有关的应用题。
1.两点分布：对于一个随机试验，如果它的结果只有两种情况，则可以用随机变量〃 =0, 1来描述这个随机试验的结果。
如果发生的概率为p,则不发生的概率为1-p,这时，称〃服 从两点分布，其中〃称为 0其分布列为： 期望En=；方差Dn=o厂k 厂〃一A超几何分布：P （X = k ）= wV’ Cv3.二项分布：在〃次独立重复试验中，事件*发生的次数X 服从二项分布，记为p(X =k) = C ；pkq'i(q = \— p,k = &,\,2, •••〃)，表示,二项分布的分布列为:期望为玖=；方差为。
4.正态分布：（1）正态曲线：如果总体密度曲线（当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布折线图就会无限接近于一条光滑曲线，即为总体密度曲线）是或近似地是以下函数 1—（"）2G （-00,4-00）的图象，式中的实数〃，b （b>0）是参数，分别是总体的平均数与标准差。
正态曲线具有以下性质： ①曲线在—轴的上方，与—轴不相交；②曲线关于直线 对称； ③ 曲线在的最高点的横坐标 ______ :④ 当x</J 时，曲线 _______ ；当尤>〃时・，曲线 ____ ,并且当曲线向左、右两边无限延伸小j,以 ______ 轴为渐近线，向它无限靠近。
⑤ 当# 一定时，越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；CT 越小，曲线越“瘦高”，表示 总体的分布越集中。
（2）若随机变量X 在［Q ,。
）内取值的概率等于该区间上正态曲线与—轴、直线、所围成曲边梯形的面积（即P0VX Jb ） = y ：（p”Q（x ）djc ）,则称随机变量X 服从正 态分布。
记为。
记住：①P （"-o < X < “ + cr ）= __________ ；② F （“一2。
< X </Z + 2CT ） = ____ ；③< X < // + 3（7）=从理论上讲，服从正态分布的随机变量X的取值范围是R,但实际上X的取值在区间(4-3b,# + 3b)外的可能性微乎其微，在实际问题中常常认为它是不会发生的。
因此，往往认为服从正态分布的随机变量X的取值范围是(〃-3b,〃 + 3b),这就是3b原则。
在企业管理中，经常应用这个规则进行产品质量检查和工艺生产过程控制。
说明：“小概率事件”通常指发生的概率小于的事件。
5.性质：E(aX + b) =；D(Q X + b) =。
6.提示：(1)在实际中经常用期望来比较平均水平，当平均水平相近时，再用方差比较稳定程度；(2)注意离散型随机变量的期望、方差与样本数据的平均数、方差的联系。
【考点剖析】%1.基本公式例1 (1)若如B(〃, p),且Eg = l2, Dg = 4，则> 1) =o 1-(-)18(2)若X 〜N(“，4),且P(—3vX<—l) = P(3vX<5),则曰=.1(3)己知随机变量g的分布列如下，则x=_-； Eg=_l_； Dg=__-__o2 2%1.基本分布列例2.设在15个零件中有两个次品，从中任取三个，随机变量X表示取出次品的个数。
(1)指出X服从什么分布列？并求其分布列。
(2)求EX、DX o252(1)超儿何分布；(2) —，——5 175变式：设在15个零件中有两个次品，从中取一个，记录后放回，连取三次，随机变量X表示取出次品的个数。
(1)指出X服从什么分布列？并求其分布列。
(2)求欣、DX °堂上练习:(1)《备考指南》112例2 (2)《备考指南》114例1思考：(1)练习(1)、(2)有何共同之处？是什么分布列？(2)若把练习(2)《备考指南》114例1 “不放回”改成“放回”，是是什么分布列？2例3.某射手每次射击击中目标的概率是一，且各次射击的结果互不影响。
3(I )假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率(1【)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。
另外2次未击中目标的概率；(III)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，P(X = 2) = C 52x记g 为射手射击3次后的总的分数，求§的分布列。
2\(1)解：设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X 〜B 5,— .在5次射击中，恰有2I 3/次击中目标的概率(II)解：设“第，次射击击中目标”为事件耳(，=1,2,3,4,5)； “射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A,则〈1112 ‘2)—X — + -X — X —+ — X — 3 33 < <3_8_(III)解：由题意可知，S 的所有可能取值为0,1,2,3,6-------- (1 \ 1p (〈 = o )= p (A5=-=—H ) z /P(0 = 1) = P (A 瓦&)+P(&A0)+P (AAA 3)—— 2 12 4M = 2)= P (AA 2A )= -X -X - = — J J J 乙/一 一 <2V 1 1 (\= 3)=A A) + P (A4 A) = T X-+-X -\ 3 7 3 3 \ 3<2Y8心6)=财5七=方 所以s 的分布列是••0 1—■ T-一 rJ6 -.♦ . . -■ f ■1 A4 8 8-~IQ—• ~ • —•堂上练习: A、8两队进行篮球决赛，共五局比赛，先胜三局者夺冠，旦比赛结束。
根据以往2成绩，每场中A队胜的概率为一，设各场比赛的胜负相互独立.3（1）求A队夺冠的概率；（2）设随机变量g表示比赛结束时的场数，求Eg.29 1 o 7（1）A队连胜3场的概率为［=（一）3,打4场胜3场的概率为4=仁・（一）2.土.土 =仁）33 3 3 3 37 1 ? ?打5场胜3场的概率为4 = C：• （一）2 • （_）2 = （—）4.64故A队获胜的概率为P=P\ + g + 4 =点，（2） P（g = 3） = G）3+G）3=\ p（g = 4） =印+c；・§G）3我;I 2 QP（g = 5） = C：・（5）2.（—）2=^；故g的分布列为（略）1 . 10 u 8 107/. Eq = 3x- + 4x — + 5x—=——.3 27 27 27%1.综合运用例4.袋中装着标有数字1、2、3、4、5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用&表示取出的3个小球上的最大数字，求:（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量f的数学期望。
学件；=2解：（1）记“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件A ,则尸（人）=席）3（2）由题意得，f有可能的取值为：2、3、4、5.心2）=成严一,服= 3）=《"C=2Go 3°Go 1515p （»4）=空件L% pg ）/氾件一 8Go i°Go所以随机变量4的概率分布为(略)1 o Q2 13m^™^E^2x- + 3x- + 4x- + 5x-^堂上练习：编号1、2、3的三位学生随意入坐编号为1、2、3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是g,求随机变量g的数学期望和方差.解：与座位编号相同的学生的个数&的取值为0、1、3,C1 1 C1 I 1 1服=0)=节=厂服=1)=节=5,服=3)=芸=广概率分布列为(略)，故Eg = lx； + 3x! = l，D^ = (l-0)2-- + (l-l)2 - + (l-2)2-0 + (3-l)2-- = l3 2 6例5.某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。
首次到达此门，系统会随机 (即等可能)为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。
再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到♦♦■的通道，直至走完迷宫为止。
令S表示走出迷宫所需的时间。
(1)求g的分布列；(2)求f的数学期望。
【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。
(1)必须要走到1号门才能走出，&可能的取值为1, 3, 4, 6P(g = l) = ：，P(g = 3) = ；x； = = P(g = 4) = ；x； = ：,服= 6) = "x：)xl = ；3 3 2 6 3 2 6 ~323堂上练习：《备考指南》115例1例6.如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或己知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A, B, C,则分别设为1, 2, 3等奖.⑴已知获得1,2, 3等奖的折扣率分别为50%, 70%, 90%.记随变量'为获得灯右1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量&的分布列及期望(II)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动，记随机变量〃为获得1等奖或2等奖的人次，求P(〃 = 2).解析：本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。
(I )解：由题意得；的分布列为(第19题)50%70%90%P31638716则5 =— X 50% — X 70% 90% =—.16 8 16 43 3 9 (II)解：由(I)可知，获得1等奖或2等奖的概率为—+ —16 8 16由题意得n 〜(3,—)16则P ( n=2)：-2 9 , 91701 -C3 ( ) (1- )- .3 16 16 4096堂上练习：《备考指南》115例2%1.正态分布[ X2+1()X+25例7. (1)随机变量&的总体密度曲线= 一― ，若〃〜N(0,l),且(2)已知g 〜N(4,S), MP(2<^ <6) = 0.6826，则P(|g — 2|<4)=。
0.84(3)下图是正态分布Ns(o,i)的正态分布曲线图，下面4个式子中，能表示图中阴影部分面积〃二K+。