分布列、期望与方差(答案).doc

【目标与要求】（1） （2） （3）

2.

R = 0,1,7,

其中"7 =

第十三章第一节排列与组合

执笔：李建军 审核：理数学备考小组

了解排列与组合的定义；

理解排列与组合数的性质，计算简单的排列与组合数; 解决与排列与组合有关的应用题。

1.两点分布：对于一个随机试验，如果它的结果只有两种情况，则可以用随机变量〃 =0, 1来

描述这个随机试验的结果。如果发生的概率为p,则不发生的概率为1-p,这时，称〃服 从两点分布，其中〃称为 0其分布列为： 期望En=；方差Dn=o

厂k 厂〃一A

超几何分布：P （X = k ）= w

V’ Cv

3.二项分布：在〃次独立重复试验中，事件*发生的次数X 服从二项分布，记为

p(X =k) = C ；pkq'i(q = \— p,k = &,\,2, •••〃)，表示,二项

分布的分布列为:

期望为玖=；方差为。

4.正态分布：

（1）正态曲线：如果总体密度曲线（当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频

率分布折线图就会无限接近于一条光滑曲线，即为总体密度曲线）是或近似地是以下函数 1

—（"）2

G （-00,4-00）的图象，式中的实数〃，b （b>0）是参数，分

别是总体的平均数与标准差。正态曲线具有以下性质： ①曲线在—轴的上方，与—轴不相交；②曲线关于直线 对称； ③ 曲线在的最高点的横坐标 ______ :④ 当x〃时・，曲线 ____ ,

并且当曲线向左、右两边无限延伸小j,以 ______ 轴为渐近线，向它无限靠近。

⑤ 当# 一定时，越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；CT 越小，曲线越“瘦高”，表示 总

体的分布越集中。

（2）若随机变量X 在［Q ,。）内取值的概率等于该区间上正态曲线与—轴、直线、

所围成曲边梯形的面积（即P0VX Jb ） = y ：（p”Q（x ）djc ）,则称随机变量X 服从正 态分布。记为。

记住：①P （"-o < X < “ + cr ）= __________ ；② F （“一2。< X

< X < // + 3（7）=

从理论上讲，服从正态分布的随机变量X的取值范围是R,但实际上X的取值在区间

(4-3b,# + 3b)外的可能性微乎其微，在实际问题中常常认为它是不会发生的。因此，往往认为服从正态分布的随机变量X的取值范围是(〃-3b,〃 + 3b),这就是3b原则。

在企业管理中，经常应用这个规则进行产品质量检查和工艺生产过程控制。

说明：“小概率事件”通常指发生的概率小于的事件。

5.性质：E(aX + b) =；D(Q X + b) =。

6.提示：(1)在实际中经常用期望来比较平均水平，当平均水平相近时，再用方差比较稳定

程度；(2)注意离散型随机变量的期望、方差与样本数据的平均数、方差的联系。

【考点剖析】

%1.基本公式

例1 (1)若如B(〃, p),且Eg = l2, Dg = 4，则> 1) =o 1-(-)18

(2)若X 〜N(“，4),且P(—3vX<—l) = P(3vX<5),则曰=.1

(3)己知随机变量g的分布列如下，则x=_-； Eg=_l_； Dg=__-__o

2 2

%1.基本分布列

例2.设在15个零件中有两个次品，从中任取三个，随机变量X表示取出次品的个数。

(1)指出X服从什么分布列？并求其分布列。(2)求EX、DX o

252

(1)超儿何分布；(2) —，——

5 175

变式：设在15个零件中有两个次品，从中取一个，记录后放回，连取三次，随机变量X表示取出次品的个数。

(1)指出X服从什么分布列？并求其分布列。(2)求欣、DX °

堂上练习:(1)《备考指南》112例2 (2)《备考指南》114例1

思考：(1)练习(1)、(2)有何共同之处？是什么分布列？

(2)若把练习(2)《备考指南》114例1 “不放回”改成“放回”，是是什么分布列？

2

例3.某射手每次射击击中目标的概率是一，且各次射击的结果互不影响。

3

(I )假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率

(1【)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率；

(III)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击

中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，

P(X = 2) = C 5

2x

记g 为射手射击3次后的总的分数，求§的分布列。

2\

(1)解：设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X 〜B 5,— .在5次射击中，恰有2

I 3/

次击中目标的概率

(II)解：设“第，次射击击中目标”为事件耳(，=1,2,3,4,5)； “射手在5次射击中，有3

次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A,则

〈

11

1

2 ‘2

)—X — + -X — X —+ — X — 3 3

3 < <3

_8_

(III)解：由题意可知，S 的所有可能取值为0,1,2,3,6

-------- (1 \ 1

p (〈 = o )= p (A5=-=—

H ) z /

P(0 = 1) = P (A 瓦&)+P(&A0)+P (AAA 3)

—— 2 12 4

M = 2)= P (AA 2A )= -X -X - = — J J J 乙/

一 一 <2V 1 1 (\

= 3)=

A A) + P (A4 A) = T X-+-X -

\ 3 7 3 3 \ 3

<2Y

8

心6)=财5七=方 所以s 的分布列是

••

0 1

—■ T

-一 r

J

6 -.♦ . . -

■ f ■

1 A

4 8 8

-~

I

Q

—• ~ • —•