场论。数学方法简介

a a y az lim x r 0 x y z M r a a y az x x y z M
散度diva lim
V 0
a ds
n S
V
ax ay az x y z
性质二:
梯度的方向，是等势面的法线方向，是位势函数
变化最快的方向，且指向函数值增加的方向；大小 是场函数沿等势面法线方向的方向导数的模。
习题
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---M
1)给定平面标量场 , 设在M 点上已知两个方向的方向导数 , , 试用几何方法求M 点上的grad s1 s2
场的定义要素：

空间变量 r 或x , y , z 时间变量 t 矢量场a(r,t ) 或是 a(x,y,z,t ) 标量场φ(r,t )或是 φ(x,y,z,t )

定义举例：

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1.2场的概念
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
场的空间分布特性

同一时刻场函数随空间坐标而变化 不随空间坐标而变的场称为均匀场 反之称为非均匀场 同一点上场函数随时间而变化 如场内函数值不随时间变化而变化称为定常场 反之称为非定常场
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1.4散度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---由此，高斯定理可简化成:
对速度来讲:Vn ds divVdV
S V
an ds divadV
S V
通量为正，意味着通过S面有正的源； 通量为负，意味着通过S面有负的源（汇）； 散度为零的场，没有源和汇。
n = lim S M S
S
a
diva lim
V 0
an ds
S
M
V
散度的意义 : 矢量a通过单位体积元V的 界面S的通量.
V
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1.4散度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ----
利用高斯定理推导散度的解析表达式
矢量a通过封闭面s的通量为 : an ds
S
S
ax dydz a y dzdx a z dxdy
场的时间分布特性

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1.2场论三度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
研究场时有三个重要量 —“三度” :

梯度 散度 旋度
定义-数学意义-物理意义
下面分别描述。
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1.3梯度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
方向导数
有空间点M，和一个方向s
cos( s , i ) cos( s , j ) cos( s , k ) s x y z x i y j z k cos(s , i )i cos(s , j ) j cos(s , k )k
M'
s
cos( s , i ) Mx
x
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1.3梯度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
方向导数只是标量函数φ在一个特定方向上的变化 率，而从场的每个给定点出发有无穷个方向，也就 有无穷多个方向导数。请问：沿着哪个方向φ的变 化率最大？最大变化率是多少呢？ 从方向导数的表达式可以看到，方向s的方向余弦 表示了所取的方向，而三个偏导数则由数量场唯一 在直角坐标系中方向导数的表达式为: 确定。
习题
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 --- 1）在点电荷q所产生的静电场中, 求电位移矢量D 在任何一点M 处的散度divD.
解 : 取电荷所在之处为坐标原点.此时电位移矢量表为
D q r 3 4 r
其中: r xi yj zk , r r
对于数量场 , 若下面极限存在
(M ' ) (M ) lim MM ' 0 s MM '
称 是场 在M 处沿s方向的方向导数 s 在这里s 方向是任意方向
y
M'
s
M
o
x
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1.3梯度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---在直角坐标系中方向导数的表达式为: cos( s , i ) cos( s , j ) cos( s , k ) s x y z y 下面简证之: (M ' ) (M ) lim MM ' 0 s MM ' ( x x, y y, z z ) ( x, y, z ) lim 0 x2 y 2 z 2 x y z lim 0 x y z o cos( s , i ) cos( s , j ) cos( s , k ) x y z
1.1矢量运算
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
矢量相加
c a b c a b
a a
c

矢量相减
b b
c
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1.1矢量运算
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
矢量点积
c a axbx a yby az bz b
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1.5旋度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---环量面密度 设M为矢量场a中一点,在M处取定一个方向n,
再过M点以n为法向做微小曲面S,
若极限 存在, S
l
S
a dr
l
n
则称为矢量场在点M处沿n方向的环量面密度
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1.5旋度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
在这里仅给出旋度的定义，其意义在后面介绍。
首先介绍环量 :
给定一矢量场a(r, t ), 在场内取任意一曲线L, 作积分 :
a dr ＝ ax dx ay dy az dz
L
L
称为矢量a沿曲线L的环量。
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1.2场的概念
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
场的定义


设在空间的某个区域内定义标量函数或矢量函 数，则称定义在空间内的函数为场 如果定义的是矢量函数，则称之为矢量场

如力场，速度场，电磁场 如温度场，密度场，压力场

如果定义的是标量函数，则称之为标量场

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1.3梯度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---定义梯度 : 数量场M 点处, 存在这样一个矢量,其方 向为场函数在M 点处变化率最大的方向, 其模是这个最大的变化率.
grad i j k x y z
从而方向导数可写为:
0 grad s s 满足a grad的矢量场称为位势场, 称为位势函数.
Dx Dy Dz ? 得 : divD 0 x y z
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习题
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ----
2)证明下列结论 : 1.div(c a ) cdiva, c为常数; 2.div{a b} diva divb 3.div(ua) udiva gradu a
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1.4散度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---下面介绍矢量场散度的概念:
首先定义矢量a通过面S的通量,有以下几种表示方法
a dS a nds an ds
S S
S
y
ax cos(n, i ) a y cos(n, j ) a z cos( n, k ) ds dz
一个矢量场存在位势函数也叫“有势”
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1.3梯度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
梯度的主要性质是: 性质一:

y
M
M
'
梯度在任一方向 上的投影等于该 方向的方向导数。
0 grad s s
s n
M1
o
x
1.3梯度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---00:10:29
ax a y az dV x y z V
ax a y az V x y z M r
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1.4散度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---当V 趋近于M点时
ax a y az V an ds x y z M r lim S lim V 0 V 0 V V

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矢量微分
da dax i da y j daz k
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1.1矢量运算
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
微分运算法则
d du da (ua) a u dt dt dt da db d (ab ) b a dt dt dt d da db (a b ) b a dt dt dt
i c a b ax bx j ay by k az bz
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矢量叉积
1.1矢量运算
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
混合积
a b ca b a ) a(a c )c c a ) （ )（ c c b )（b b ) a b (a b ( c ( c
S
n
ds
dy o z
ax dydz a y dzdx a z dxdy
S
x dz dx 00:10:29
1.4散度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---定义散度: 在场内任取一点M,以体积V包之,若V界面为S, 作矢量a通过S面的通量,然后用体积V除之.令 体积V向M点收缩,得极限
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ----
第一章.数学方法简介
—矢量分析与场论
矢量分析与场论内容
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---


1.1 矢量运算 1.2 场的概念 1.3 梯度 1.4 散度 1.5 旋度 1.6 哈密尔顿算子 1.7 拉普拉斯算子与调和场
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1.4散度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 --- diva=0的矢量场称为无源场或管形场.
管形场意味着,像管子一样只能有物质的流入流出, 而不可能凭空流出物质来,也不可能吸收物质.
无源场具有一些特殊性质，如:
无源矢量a经过矢量管任一横截面上的通量保持同 一数值
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1.2场的概念
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ----
计算机模拟的温度场，红色表示高温， 冷色表示低温
1.2场的概念
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ----
协和飞机着陆时的流场
1.2场的概念
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ----
用速度矢量表示的速度场
1.2场的概念
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
s1 s1
grad
s2 s 2
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习题
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ----
2)证明下列结论 : 1.grad (c r ) c , c为常矢量;
0 2.grad{(r )} (r) gradr (r )r 3.grad{[u (r ), v(r )]} gradu gradv u v