场论。数学方法简介
数学在物理学中的应用
数学在物理学中的应用引言数学作为一门精确的科学，广泛应用于各个领域。
而在物理学中，数学更是起着举足轻重的作用。
本文将探讨数学在物理学中的应用，并从几个具体的领域进行深入的分析。
一、微积分在力学中的应用微积分是数学中的一门重要分支，广泛应用于力学领域。
以牛顿力学为例，运用微积分的概念，可以推导出牛顿第一、第二、第三定律，并解决力学中的运动问题。
通过对位移、速度和加速度的关系进行微积分运算，我们可以准确地描述和预测物体的运动轨迹和行为。
二、线性代数在量子力学中的应用线性代数是数学中的另一个重要分支，其应用也十分广泛。
在量子力学中，线性代数起着至关重要的作用。
通过线性代数的工具，我们可以描述和分析微观粒子的量子态、哈密顿算符以及相应的本征值和本征函数等。
线性代数的概念也帮助我们理解量子纠缠以及薛定谔方程等复杂的物理现象。
三、概率论在统计物理中的应用概率论是数学中的一门应用广泛的分支，也在统计物理中发挥着重要作用。
统计物理是研究大量微观粒子的行为和性质的学科，而概率论则提供了一种描述这些微观粒子集体行为的数学工具。
通过概率论的概念和方法，我们可以理解气体分子的运动和分布规律，以及固体和液体的热力学性质等。
四、偏微分方程在场论中的应用偏微分方程是数学中一个重要的分支，其应用范围广泛。
在场论中，偏微分方程的方法被广泛用于描述和研究各种物理场的行为。
例如，通过用偏微分方程描述电场、磁场和引力场等场的分布和演化，我们可以研究和解决电磁学和引力学中的复杂问题。
五、数学方法在宇宙学中的应用宇宙学是研究宇宙的起源、结构和演化等问题的学科。
数学在宇宙学中扮演着重要的角色。
通过数学方法，我们可以理解宇宙的膨胀和演化模型，并预测宇宙的终极命运。
数学的工具还可以帮助我们研究黑洞的形成和性质，以及宇宙微波背景辐射等一系列的宇宙现象。
结束语综上所述，数学在物理学中的应用不可忽视。
微积分、线性代数、概率论和偏微分方程等数学分支为物理学家解决和理解各种物理问题提供了强大的工具。
化工数学-第6章-场论初步
9
6.2 向量的导数.
6.2.1 向量对于一个纯量的导数
(1)向量函数 v 是纯量t的函数，v = v(t) 。
dv (t )
v(t + Dt)- v(t)
= lim
dt
Dt? 0
Dt
在直角坐标系中 v = vxi + vy j + vzk
(6-1)
dv = dvx i + dvy j + dvz k
若 r = r (x, y, z)， S = S(x, y, z) ，则
抖 抖x (r ? S)
r? S x
?r ?x
?
S
抖 抖x (r ? S)
r? S x
?r ?x
?
S
抖2
抖x
(r ? S) y
抖x 轾 犏 犏 臌抖y (r ? S)
抖x
轾 犏 犏 臌r ?
抖S y
?
r y
?
S
抖2 S
r 抖S
dt
dt dt dt
d（a ? b) da ? b a ? db
dt
dtБайду номын сангаас
dt
(6 - 5) (6 - 6)
(6 - 7) (6 8)
2019/9/9
化工数学-第六章－场论初步
d（j a) = dj a + j da 其中j = j (t)是数量函数
dt
dt
dt
13
（6－9）
d（a? b) da ? b a? db
a = a1? a2
ijk 2 3 4 = - 14i + 8 j + k 1 2 -2
量子场论中的费曼图与格林函数
量子场论中的费曼图与格林函数量子场论是研究基本粒子相互作用与行为的一门科学，它是现代物理学领域的一个重要分支。
在量子场论中，费曼图和格林函数起着十分重要的作用。
本文就量子场论中的费曼图与格林函数进行探讨和阐述。
一、量子场论基础量子场论是量子力学和相对论的合一产物，其基础概念是量子化的场（荷、自旋、能量、动量等）与基于散射理论的费曼图。
它通过描述场的动力学变化、反应和相互作用，揭示了物质的量子结构。
量子场论的本质是通过描述物质粒子那些复杂的运动和转变，以及描述它们之间相互作用的本质，得到对物质的最终理解。
二、费曼图的含义费曼图是为了研究散射理论而提出的，它是在碰撞或反应过程中，对各种粒子之间相互作用的形象表示。
它用复杂的图形来描述粒子的属性和行为。
费曼图中有三类线段，表示粒子和反粒子2种载体，和介子2种介质。
费曼图中每一条线表示一个粒子，并伴随着一个波浪线表示粒子之间的相互作用。
费曼图又可称为“幺正时间排序图”，图中任何一个相互作用的位置是真实时间轴时序的排列。
量子场论中所涉及的费曼图要求每个粒子的能量和动量均为可用、精确的物理量，其图形对于物理观测结果拥有极高的预测性和准确性。
三、格林函数格林函数是描述一个物理模型中的某个观测结果随时间和空间的变化的数学工具，它是量子场论的一种重要表达方式。
在量子场论中，格林函数提供了不同量子场变量之间的关联和信息传递。
因此，格林函数是研究量子场理论中时间和空间耦合性质的一种工具。
格林函数常常用来描述各种物理信号在时间上和空间上的传递及其产生的各种效应。
在量子场论中，每个场都有其相应的格林函数。
例如电子场的费米格林函数被用来刻画一个电子在某个时间和位置被激发后再次回到一定动力学环境中时的行为方式。
一个场的格林函数中包含的信息有：空间的相关性、时间的相关性以及能量的信息等。
四、费曼图与格林函数的关系费曼图和格林函数在量子场论的求解中密不可分。
自然界中的所有的基本粒子都可以被描述为带有很多费曼图的量子场的激发态，费曼图在描述基本粒子之间相互作用和散射过程中起着至关重要的作用。
高等数学场论基本概念
数学物理基础梯度、散度和旋度梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。
之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。
这里假设读者已经了解了三者的定义。
它们的符号分别记作如下：从符号中可以获得这样的信息：①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。
这里φ称为势函数；②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下的；③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。
这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式(1)其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。
下面先给出梯度、散度和旋度的计算式：(2)(3)(4)旋度公式略显复杂。
这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。
I.梯度的散度：根据麦克斯韦方程有：而(5)则电势的梯度的散度为这是一个三维空间上的标量函数，常记作(6)称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。
事实上因为定义所以有当然，这只是一种记忆方式。
当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。
II.散度的梯度：散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。
这就好比说清水中滴入一滴红墨水，起初水面红色浓度最高，杯底浓度最低，这样水面与杯底形成一个浓度梯度，红墨水由水面向杯底扩散，最后均匀。
论场论三度与两大定理在物理的应用
论场论三度与两大定理在物理的应用张 晗30901068信计0901时间与空间是物理最基本的物理量：我们也为了了解物理量随时间变化而做多次实验，定义了很多关系，比如速度等于位移随时间变化率, 加速度等于速度随时间变化率,v 等于能量随时间变化率等, 因为时间是纯量 所以处理起来还算比较简易。
我们也经常想了解物理量随空间的变化, 但是空间有方向性因此其变化比较多些,于是就有了梯度，散度与旋度等数学运算。
首先，我们可以先了解一下梯度。
梯度在教材上的定义是，如果f 在点a 所有的偏导数都存在，称向量()()()n f n D f D ℜ∈αα,,1为f 在点a 的梯度（gradient ），记为()αf ∇或grad ()αf 。
如果f 在点a 可导，根据全导数的定义，()().)(1ναανα⋅∇=∑==f i v n i f i D T 当u 是单位向量时，方向导数()u f ;α'有着明显的几何意义，如果().0≠∇αf 记θ是向量u 和梯度()αf ∇的夹角，则()()()().cos cos ;θαθαααf u f u f u f ∇=∇=⋅∇='当u 与()αf ∇同方向时，θ=0，所以在f 在点a 的全部方向导数中，沿着()αf ∇的单位向量()()a f f ∇∇α的方向导数最大。
在2ℜ中，梯度经常写为()()();j ,i ,,y x yf y x x f y x f ∂∂+∂∂=∇ 在3ℜ中，梯度写为()()()().k ,,j ,,i ,,,,z y x zf z y x y f z y x x f z y x f ∂∂+∂∂+∂∂=∇在物理中，力做功将能量储存成位能Fzdz -dy Fy -dx -Fx dU **=(或者以向量内积 F ．d r 表示)因此反过来可知dx dU -Fx =,dy dU -Fy =, dz dU -Fz =因此定义Ｆ＝Fx i + Fy j +Fz k = -▽U 其中▽U= du/dx i +dU/dy j + du/dz k 称为位能Ｕ的梯度。
工程数学场论
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3.矢量场的矢量线 矢量线: 设 C 为矢量场
中的曲线，如果C
上每一点对应的矢量 都与 C 相切,则称之为矢量线.
设
为曲线上一点，
r OM xi yj zk
d r dxi dyj dzk
A
因为 d r A , 所以矢量线满足
dx dy dz Ax Ay Az
工程数学---------矢量分析与场论
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第二节 数量场的方向导数与梯度
1.方向导数
定义1：设
M
是数量场u
0
u(M
)
中的一点，若沿方向 l
l
lim u lim u(M ) u(M 0 )
M M0
M M0
M0M
存在，则称此极限为 在点
M M0
处沿 l 方向的方向导数，记作
A d S 0
S
推论3：若在矢量场 A 内某些点上有div A 0，或
div A不存在，而在其他点上div A 0，则穿出包围
这些点的任一封闭曲面的通量都相等.
工程数学---------矢量分析与场论
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例2. 求矢量场
A (3x2 2yz)i ( y3 yz2 ) j (xyz 3xz2 ) k
div A P Q R A x y z
证明：由奥-高公式
A d S P d y d z Q d z d x Rdx d y
S
S
(
P x
Q y
R z
)
d
v
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又由中值定理得
场论中的拉格朗日量及其守恒定理
场论中的拉格朗日量及其守恒定理场论是物理学中研究场的动力学规律的一门学科，其中拉格朗日力学是一种重要的描述方法。
在场论中，拉格朗日量是描述场的一种数学量，它包含了场的动力学信息，并且通过最小作用量原理来确定场的运动方程。
除此之外，拉格朗日量还可以用来导出一些守恒定理，这些定理对于理解和预测物理现象非常重要。
拉格朗日量是描述场的物理量，它通常由场的各个分量及其导数构成。
在物理学中，拉格朗日量是一个标量，它不随坐标变换而改变。
通过选择适当的拉格朗日量，可以描述不同的物理场，如电磁场、引力场等。
场的运动方程可以通过最小作用量原理得到，而最小作用量原理可以用拉格朗日量来表示。
最小作用量原理认为，物理系统的运动是使作用量取极小值的路径。
作用量由拉格朗日量和时间积分构成，它描述了物理系统在一定时间内的运动情况。
通过变换场或场的分量，可以得到不同的场方程，从而描述不同的物理现象。
在场论中，拉格朗日量可以导出一些守恒定理，这些定理对于解释和预测物理现象非常重要。
守恒定理表明，在一些特定的条件下，某些物理量在时间和空间中保持不变。
例如，能量-动量守恒定理和角动量守恒定理是场论中最基本的守恒定理之一。
能量-动量守恒定理指出，在一个封闭系统中，能量和动量的总量保持不变。
封闭系统是指不受外界力或力矩作用的系统。
对于一般的场论，能量-动量守恒定理可以通过拉格朗日量的对称性来推导。
例如，如果拉格朗日量在某个坐标变换下保持不变，那么相应的能量和动量一定守恒。
这个定理在研究物体的运动和相互作用时非常有用，可以帮助我们理解物质和能量的转移和转化。
角动量守恒定理指出，在一个封闭系统中，角动量的总量保持不变。
角动量是描述物体绕某一轴旋转的物理量，它由物体的质量、速度和距离决定。
通过拉格朗日量和对称性的分析，可以得到角动量守恒的条件。
这个定理在研究旋转体系和粒子自旋时非常重要，可以帮助我们理解物体的稳定性和旋转行为。
除了能量-动量守恒定理和角动量守恒定理，还有一些其他的守恒定理在场论中起着重要的作用。
第03讲预备知识-场论1
e3
顺时针为负
置换符号说明： i、j 、k取值不同值时， εijk取1 或-1（6个），其余分量（21个）为零。即：
e2 e1 逆时针为正
ε 123 = ε 231 = ε 312 = 1
ε 132 = ε 213 = ε 321 = −1
置换法则：任意2个自由指标对换后差一个负号 正负取值规律：按右图中，逆时针取值为正，顺时针取值为负。
a = ax i + a y j + az k
任意一点M的矢径 矢径微分
r = xi + yj + z k
M z y o x
a
dr = dxi + dyj + dzk
dr × a = 0
r
叉积为零：
这就是向量线的微分方程(Differential Equation) 在直角坐标系(System Of Rectangular Coordinates)当中表示为
可以列表表示：
e1
′ e1
e2
e3
α 11 α12 α13 α 21 α22 α23
α 31 α 32 α 33
ei′ = α ij e j ei = α ji e ′j
e′ 2
′ e3
上述关系可简写为：
同理，老坐标的单位向量可用新坐标的单位向量表示：
根据上述单位向量的性质和关系可导出：
ei ⋅ e j = e′ ⋅ e′j i
a ⋅ bc = (a ⋅ b)c = (b ⋅ a )c = c (a ⋅ b)
ab ⋅ cd = a (b ⋅ c )d = (b ⋅ c )ad = ad (c ⋅ b) c ⋅ ab ⋅ d = (c ⋅ a )(b ⋅ d ) = (b ⋅ d )(c ⋅ a )
数学物理中的场论
数学物理中的场论场论可以说是数学物理学中非常重要的一个分支，其主要研究的是具有空间分布性质的物理场，如电磁场、引力场、量子场等。
场论是数学和物理学高深复杂的交叉学科，其应用广泛，贯穿于整个物理学和工程学的各个领域。
首先，让我们来看一下什么是物理场。
物理场是由在空间中存在的物理量所构成的。
物理量指的是描述物理世界状态和性质的数或向量。
比如我们所熟悉的温度、速度、电场、电势等物理量，这些物理量都是可以在空间中建立起来的，它们随着位置的变化而变化，从而形成了物理场。
场论的基础概念是场和场量。
场是空间中各个点的物理量在某种范围内的集合，场存在于物理空间中。
物理学家常说的物质场是指物质状态在空间和时间上分布的物理量，比如说电磁场、流体力学场和引力场等等。
而更为基础的是标量场，即不随空间方向而变化的物理变量。
比如说温度场，电势场等等。
场量是指场在某一点的值或场的变化量，是一种与场相关的数值，比如说电荷、质量、能量等等。
场论主要分为经典场论和量子场论两个方面。
经典场论是研究电磁场、引力场和流体场等经典物理场的性质和相互作用的物理学理论。
它是在经典物理学范畴内发展起来的，在宏观世界中非常有效。
量子场论跟经典场论类似，试图描述宇宙中各种基本粒子的行为，它着重于描述物质粒子的行为，特别是声子、玻色子等量子粒子的行为。
量子场论与经典场论有很大的差别，其中最基本的差别是对物理量的测量不可能完全精确，因此基本粒子的性质在量子场论中是随机和模糊的。
场论的研究涉及到数学、物理学、天文学、化学、工程学等众多学科。
在数学中，场论使得微分方程、椭圆方程和双曲方程可以更加容易被处理。
在物理学中，场论首先被用来研究电磁波的性质。
后来，它被用来研究引力场以及基本粒子之间的相互作用，成为了研究宇宙学的重要工具。
总之，场论是数学物理学中至关重要的一个分支，它为了解自然世界的本质起到了至关重要的作用，目前仍在不断被推陈出新，拓展着我们对宇宙的认识。
场论拉普拉斯算子课件
05
拉普拉斯算子的应用 实例
一维波动方程
总结词
描述一维波动现象
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现象的基本方 程，如弦的振动、波在固体中的传播等。拉 普拉斯算子在这个方程中起到关键作用，通 过求解该方程可以获得波的传播规律和特性 。
二维泊松方程
总结词
描述二维空间中的电荷分布问题
详细描述
二维泊松方程是描述电荷在二维空间中分布 的偏微分方程，常用于电场和电荷分布问题 的研究。拉普拉斯算子在求解这个方程中起 到重要作用，通过求解该方程可以获得电荷
分布的电场强度和电势。
高阶偏微分方程
总结词
描述更复杂的现象
详细描述
高阶偏微分方程可以描述更复杂的现象，如波动传播 、热传导、流体动力学等。在这些方程中，拉普拉斯 算子也扮演着重要的角色，通过求解这些方程可以深 入了解这些现象的内在规律和特性。
06
拉普拉斯算子的未来 发展与展望
数值计算方法的改进
总结词
研究三维空间中曲面上的几何对象和性质。
详细描述
在曲面几何中，拉普拉斯算子用于研究曲面上的曲线、切线和向量场的性质。通 过拉普拉斯算子，可以分析曲面上的曲率、切线方向和向量场的散度等，进一步 揭示曲面几何对象的微分性质和内在规律。
高维几何
总结词
研究高维空间中几何对象的性质和关系。
详细描述
在高维几何中，拉普拉斯算子用于研究高维空间中的超曲面、向量场和张量场的性质。通过拉普拉斯 算子，可以分析高维空间中的曲率、张量场的高阶导数等，进一步揭示高维几何对象的微分性质和内 在规律。
Δf = d^2f/dx^2 + d^2f/dy^2 + d^2f/dz^2 （ 在三维空间中）
数学分析22.4场论初步(含习题及参考答案)
第二十二章 曲面积分4 场论初步一、场的概念概念：若对全空间或其中某一区域V 中每一点M ，都有一个数量(或向量)与之对应，则称V 上给定了一个数量场(或向量场).温度场和密度场都是数量场. 若数量函数u(x,y,z)的偏导数不同时为0, 则满足方程u(x,y,z)=c(常数)的所有点通常是一个曲面.曲面上函数u 都取同一个值时，称为等值面，如温度场中的等温面.重力场和速度场都是向量场. 设向量函数A(x,y,z)在三坐标轴上投影分别为：P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), 则A(x,y,z)=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)), 其中P , Q, R 为定义区域上的数量函数，且有连续偏导数.设向量场中的曲线L 上每点M 处的切线方向都与向量函数A 在该点的方向一致，即P dx =Q dy =Rdz, 则称曲线L 为向量场A 的向量场线. 如, 电力线、磁力线等都是向量场线.二、梯度场概念：梯度是由数量函数u(x,y,z)定义的向量函数grad u=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,, 且grad u 的方向是使lu∂∂达到最大值的方向, 其大小为u 在这个方向上的方向导数. 所以可定义数量场u 在点M 处的梯度grad u 为在M 处最大的方向导数的方向，及大小为在M 处最大方向导数值的向量. 因为方向导数的定义与坐标系的选取无关，所以梯度定义也与坐标系选取无关. 由梯度给出的向量场，称为梯度场. 又数量场u(x,y,z)的等值面u(x,y,z)=c 的法线方向为⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,, 所以 grad u 的方向与等值面正交, 即等值面法线方向. 引进符号向量： ▽=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ,,. 将之视为运算符号时, grad u=▽u.基本性质：若u,v 是数量函数, 则 1、▽(u+v)=▽u+▽v ；2、▽(uv)=u(▽v)+(▽u)v. 特别地▽u 2=2u(▽u)；3、若r=(x,y,z), φ=φ(x,y,z), 则d φ=dr ▽φ；4、若f=f(u), u=u(x,y,z), 则▽f=f ’(u)▽u ；5、若f=f(u 1,u 2,…,u n ), u i =u i (x,y,z) (i=1,2,…,n), 则▽f=i ni iu u f∑=∇∂∂1. 证：1、▽(u+v)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+∂∂+∂∂+∂z v u y v u x v u )(,)(,)(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂z v z u y v y u x v x u ,, =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z v y v x v ,,=▽u+▽v. 2、▽(uv)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z uv y uv x uv )(,)(,)(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂z v u v z u y v u v y u x v u v x u ,,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z v u y v u x v u,,+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂v z u v y u v x u ,,=u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z v y v x v ,,+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,v=u(▽v)+(▽u)v. 当u=v 时，有▽u 2=▽(uv)=u(▽v)+(▽u)v =2u(▽u).3、∵dr=dx+dy+dz, ▽φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,, ∴dr ▽φ=(dx+dy+dz)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,=dz z dy y dx x ∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕ=d φ. 4、∵▽f=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z f y f x f ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u du df y u du df x u du df ,,, 又▽u=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,, f ’(u)=du df, ∴f ’(u)▽u=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u du df ,,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u du df y u du df x u du df ,,=▽f. 5、▽f =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z f y f x f ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∑∑∑===n i i i n i i i n i i i z u u f y u u f x u u f 111,,=∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ni i i i i i i z u u f y u u f x u u f 1,,=∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂n i i i i iz u y u x u u f1,,=i n i iu u f∑=∇∂∂1.例1：设质量为m 的质点位于原点, 质量为1的质点位于M(x,y,z), 记OM=r=222z y x ++, 求rm的梯度. 解：rm∇=⎪⎭⎫ ⎝⎛-r z r y r x r m ,,2.注：若以r 0表示OM 上的单位向量，则有r m∇=02r rm -, 表示两质点间引力方向朝着原点, 大小是与质量的乘积成正比, 与两点间的距离的平方成反比. 这说明引力场是数量函数r m 的梯度场. 所以称rm为引力势.三、散度场概念：设A(x,y,z)=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))为空间区域V 上的向量函数, 对V 上每一点(x,y,z), 定义数量函数D(x,y,z)=zRy Q x P ∂∂+∂∂+∂∂, 则 称D 为向量函数A 在(x,y,z)处的散度，记作D(x,y,z)=div A(x,y,z).设n 0=(cos α, cos β, cos γ)为曲面的单位法向量, 则=n 0dS 就称为曲面的面积元素向量. 于是得高斯公式的向量形式：⎰⎰⎰VdivAdV =⎰⎰⋅SdS A .在V 中任取一点M 0, 对⎰⎰⎰VdivAdV 应用中值定理,得⎰⎰⎰VdivAdV =div A(M*)·△V=⎰⎰⋅SdS A , 其中M*为V 中某一点，于是有div A(M*)=VdSA S∆⋅⎰⎰. 令V 收缩到点M 0(记为V →M 0) 则M*→M 0, 因此div A(M 0)=VdSA SM V ∆⋅⎰⎰→0lim.因⎰⎰⋅SdS A 和△V 都与坐标系选取无关，所以散度与坐标系选取无关.由向量场A 的散度div A 构成的数量场，称为散度场.其物理意义：div A(M 0)是流量对体积V 的变化率，并称它为A 在点M 0的流量密度.若div A(M 0)>0, 说明在每一单位时间内有一定数量的流体流出这一点，则称这一点为源.反之，若div A(M 0)<0, 说明流体在这一点被吸收，则称这点为汇. 若向量场A 中每一点皆有div A=0, 则称A 为无源场.向量场A 的散度的向量形式为：div A=▽·A.基本性质：1、若u,v 是向量函数, 则▽·(u+v)=▽·u+▽·v ； 2、若φ是数量函数, F 是向量函数, 则▽·(φF)=φ▽·F+F ·▽φ；3、若φ=φ(x,y,z)是一数量函数, 则▽·▽φ=222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕ.证：1、记u(P 1(x,y,z),Q 1(x,y,z),R 1(x,y,z)), v(P 2(x,y,z),Q 2(x,y,z),R 2(x,y,z)), 则▽·(u+v)=zR R y Q Q x P P ∂+∂+∂+∂+∂+∂)()()(212121 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q x P z R y Q x P 222111=▽·u+▽·v. 2、▽·(φF)=z R y Q x P ∂∂+∂∂+∂∂)()()(ϕϕϕ=zR z R y Q y Q x P x P ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕϕϕϕ =φ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q x P +(P ,Q,R)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ϕϕϕ=φ▽·F+F ·▽φ. 3、∵▽φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,, ∴▽·▽φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂z z y y x x ϕϕϕ=222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕ.注：算符▽的内积▽·▽常记作△=▽·▽=222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂，称为拉普拉斯算符, 于是有▽·▽φ=△φ.例2：求例1中引力场F=⎪⎭⎫⎝⎛-r z r y r x r m,,2所产生的散度场.解：∵r 2=x 2+y 2+z 2, ∴F=3222)(z y x m ++-(x,y,z),▽·F=-m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂333r z z r y y r x x =0.注：由例2知，引力场内每一点处的散度都为0(除原点处外).四、旋度场概念：设A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))为空间区域V 上的向量函数, 对V 上每一点(x,y,z), 定义向量函数F(x,y,z)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q y R ,,, 称之为向量函数A 在(x,y,z)处的旋度, 记作rot A.设(cos α,cos β,cos γ)是曲线L 的正向上的单位切线向量t 0的方向余弦, 向量ds =(cos α,cos β,cos γ)ds= t 0dl 称为弧长元素向量. 于是有 斯托克斯公式的向量形式：⎰⎰SdS rotA ·=⎰Lds A ·.向量函数A 的旋度rot A 所定义的向量场，称为旋度场.在流量问题中，称⎰L A ·为沿闭曲线L 的环流量. 表示流速为A 的不可压缩流体在单位时间内沿曲线L 的流体总量，反映了流体沿L 时的旋转强弱程度. 当rot A=0时，沿任意封闭曲线的环流量为0，即流体流动时不成旋涡，这时称向量场A 为无旋场.注：旋度与坐标系的选择无关. 在场V 中任意取一点M 0,通过M 0作平面π垂直于曲面S 的法向量n 0, 且在π上围绕M 0作任一封闭曲线L, 记L 所围区域为D ，则有⎰⎰SrotA ·=⎰⎰DdS n rotA 0·=⎰LA ·. 又由中值定理有 ⎰⎰DdS n rotA 0·=(rotA ·n 0)M*μ(D)=⎰LA ·, 其中 μ(D)为区域D 的面积, M*为D 中的某一点. ∴(rotA ·n 0)M*=)(·D A Lμ⎰.当D 收缩到点M 0(记作D →M 0)时, 有M*→M 0, 即有 (rotA ·n 0)0M =)(·limD A LMD μ⎰→ .左边为rot A 在法线方向上的投影，即为旋度的另一种定义形式. 右边的极限与坐标系的选取无关，所以rot A 与坐标系选取无关.物理意义：⎰⎰DdS n rotA 0·=(rotA ·n 0)M*μ(D)=⎰LA ·, 表明向量场在曲面边界线上的切线投影对弧长的曲线积分等于向量场旋度的法线投影在曲面上对面积的曲面积分. 即流体的速度场的旋度的法线投影在曲面上对面积的曲面积分等于流体在曲面边界上的环流量.刚体旋转问题：设一刚体以角速度ω绕某轴旋转，则角速度向量ω方向沿着旋转轴，其指向与旋转方向的关系符合右手法则，即右手拇指指向角速度ω的方向，其它四指指向旋转方向. 若取定旋转轴上一点O 作为原点，则刚体上任一点P 的线速度v 可表示为v=ω×r, 其中r=OP 是P 的径向量. 设P 的坐标为(x,y,z),便有r=(x,y,z),设ω(ωx ,ωy ,ωz ), ∴v=(ωy z-ωz y,ωz x-ωx z,ωx y-ωy x), ∴rot v=(2ωx ,2ωy ,2ωz )=2ω或ω=21rot v.即线速度向量v 的旋度除去21, 就是旋转的角速度向量ω. 也即 v 的旋度与角速度向量ω成正比.基本性质：rot A=▽×A. 1、若u,v 是向量函数, 则 (1)▽×(u+v)=▽×u+▽×v ；(2)▽(u ·v)=u ×(▽×v)+v ×(▽×u)+(u ·▽)v+(v ·▽)u ； (3)▽·(u ×v)=v ·(▽×u)-u ·(▽×v)；(4)▽×(u ×v)=(v ·▽)u-(u ·▽)v+(▽·v)u-(▽·u)v.2、若φ是数量函数, A 是向量函数, 则▽×(φA)=φ(▽×A)+▽φ×A.3、若φ是数量函数, A 是向量函数, 则 (1)▽·(▽×A)=0, ▽×▽φ=0,(2)▽×(▽×A)=▽(▽·A)-▽2A =▽(▽·A)-△A.证：1、记u(P 1(x,y,z),Q 1(x,y,z),R 1(x,y,z)), v(P 2(x,y,z),Q 2(x,y,z),R 2(x,y,z)),则(1)▽×(u+v)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂+∂-∂+∂∂+∂-∂+∂∂+∂-∂+∂yP P xQ Q xR R zP P zQ Q yR R )()(,)()(,)()(212121212121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ xR zP zQ yR 111111,,+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q yR 222222,,=▽×u+▽×v. (2)∵▽(u ·v)=▽(P 1P 2+Q 1Q 2+R 1R 2)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂++∂∂++∂∂++∂z R R Q Q P P y R R Q Q P P x R R Q Q P P )(,)(,)(212121212121212121 = ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂,122112211221x RR x R R x Q Q x Q Q x P P x P P,122112211221y RR y R R y Q Q y Q Q y P P y P P ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎭⎫∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z R R z R R z Q Q z Q Q z P P z P P 122112211221.又u ×(▽×v)=u ×⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q yR 222222,, = ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂-∂∂,21212121xRR z P R y P Q xQ Q ⎪⎪⎭⎫∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂z Q Q y R Q x R P z P P x R P z P P y P R x Q R 2121212121212121,. v ×(▽×u)= ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂-∂∂,12121212xR R zP R yP Q xQ Q ⎪⎪⎭⎫∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂z Q Q y R Q x R P z P P x R P z P P y P R x Q R 1212121212121212,. (u ·▽)v=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q x P 111v =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R y R Q x R P z Q R y Q Q x Q P z P R y P Q x P P 212121212121212121,,(v ·▽)u=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R yR Q xR P zQ R yQ Q xQ P zP R yP Q xP P 121212121212121212,,; ∴▽(u ·v)=u ×(▽×v)+v ×(▽×u)+(u ·▽)v+(v ·▽)u. (3)∵▽·(u ×v)=▽·(Q 1R 2-R 1Q 2,R 1P 2-P 1R 2,P 1Q 2-Q 1P 2) =zP Q Q P y R P P R xQ R R Q ∂-∂+∂-∂+∂-∂)()()(212121212121=y P R y R P y R P y P R x R Q x Q R x Q R x R Q ∂∂-∂∂-∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂+∂∂1221122112211221zQP z P Q z P Q z Q P ∂∂-∂∂-∂∂+∂∂+12211221.又v ·(▽×u)=v ·⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ xR zP zQ yR 111111,,=yP R xQ R xR Q zP Q zQ P yR P ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂121212121212;u ·(▽×v)=yPR x Q R x R Q z P Q z Q P yR P ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂212121212121;∴▽·(u ×v)=v ·(▽×u)-u ·(▽×v).(4)∵▽×(u ×v)=▽×(Q 1R 2-R 1Q 2,R 1P 2-P 1R 2,P 1Q 2-Q 1P 2)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂-∂-∂-∂∂-∂-∂-∂∂-∂-∂-∂y Q R R Q x R P P R x P Q Q P z Q R R Q z R P P R y P Q Q P )()(,)()(,)()(212121212121212121212121= ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂+∂∂,1221122112211221zP R zR P zR P zP R yQ P yP Q yP Q yQ P,1221122112211221x QP x P Q x P Q x Q P z R Q z Q R z Q R z R Q ∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂+∂∂y R Q y Q R y Q R y R Q x P R x R P x R P x P R 1221122112211221; 又(v ·▽)u=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R yR Q xR P zQ R yQ Q xQ P zP R yP Q xP P 121212121212121212,,; (u ·▽)v=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R y R Q x R P z Q R y Q Q x Q P z P R y P Q xP P 212121212121212121,,;(▽·v)u=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q xP 222u =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R y Q R x P R z R Q y Q Q x P Q z R P y Q P xP P 212121212121212121,,; (▽·u)v=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R yQ R xP R zR Q yQ Q xP Q zR P yQ P xP P 121212121212121212,,; ∴▽×(u ×v)=(v ·▽)u-(u ·▽)v+(▽·v)u-(▽·u)v. 2、记φ=φ(x,y,z), A=A(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)), 则▽×(φA)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ xR zP zQ yR )()(,)()(,)()(ϕϕϕϕϕϕ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂+∂∂∂∂-∂∂-∂∂+∂∂∂∂-∂∂-∂∂+∂∂P yyP Q xxQ R xxR P zzP Q zzQ R yyR ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ,,=φ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ x R zP z Q yR ,,+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂P yQ xR xP zQ zR yϕϕϕϕϕϕ,,=φ(▽×A)+▽φ×A.3、记φ=φ(x,y,z), A=A(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)), 则(1)▽·(▽×A)=▽·⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ x R zP z Q yR ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂y P x Q z x R z P y z Q y R x=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y P z x Q z x R y z P y z Q x y R x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂z Q x x Q z y P z z P y x R y y R x =0. ▽×▽φ=▽×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x y y x z x x z y z z y ϕϕϕϕϕϕ,,=0. (2)▽×(▽×A)=▽×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ x R zP z Q yR ,,= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂z Q y R y x R z P x y P x Q x z Q y R z x R z P z y P x Q y ,, =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂z y Q y R x R z x P y x P x Q z Q y z R x z R z P y P x y Q 222222222222222222,,; 又▽(▽·A)=▽⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R yQ xP=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂z R y Q x P z z R y Q x P y z R y Q x P x ,,, =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂∂∂∂∂+∂+∂∂∂∂∂∂+∂∂∂+∂∂222222222222,,z R y z Q x z P z y R y Q x y P x z R y x Q x P ; ▽2A=△A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂222222222222222222,,z R y R x R z Q y Q x Q z P y P x P ;∴▽×(▽×A)=▽(▽·A)-▽2A =▽(▽·A)-△A.五、管量场与有势场概念：对无源场A ，即div A=0，由高斯公式知，此时沿任何闭曲面的曲面积分都为0，这样的向量场称为管量场. 因为 在向量场A 中作一向量管，即由向量线围成的管状曲面， 用断面S 1, S 2截它，以S 3表示所截出的管的表面，即得到 由S 1, S 2, S 3围成的封闭曲面S ，于是有⎰⎰⋅SdS A =⎰⎰⋅外侧1S dS A +⎰⎰⋅外侧2S dS A +⎰⎰⋅外侧3S dS A =0. 又由向量线与曲面S 3的法线正交知,⎰⎰⋅外侧3S dS A =0.∴⎰⎰⋅外侧1S dS A +⎰⎰⋅外侧2S dS A =0, 即⎰⎰⋅内侧1S dS A +⎰⎰⋅外侧2S dS A . 等式说明，流体通过向量管的任意断面流量相同,∴称场A 为管量场. 如例2，由梯度rm ∇所成的引力场F 是管量场.概念：对无旋场A ，即rot A=0，由斯托克斯公式知，这时在空间单连通区域内沿任何封闭曲线的曲线积分都等于0，该向量场称为有势场. 因为当rot A=0时，由定理22.7推得此时空间曲线积分与路线无关, 且有u(x,y,z), 使得du=Pdx+Qdy+Rdz, 即grad u=(P ,Q,R), u 称为势函数. 所以，若向量场A 的旋度为0，则必存在某势函数u ，使得grad u=A. 这也是一个向量场是某个数量场的梯度场的充要条件. 例1中引力势u=r m 就是势函数. ∴▽u=F=-⎪⎭⎫⎝⎛r z r y r x r m ,,2. 又▽×▽u ≡0, ∴▽×F=0, 它也是引力场F 是有势场的充要条件.若向量场A 既是管量场，又是有势场，则称其为调和场.例2中的引力场F 就是调和场. 若A 是一个调和场，则必有 ▽·A=0, ▽u=A. 显然▽·▽u=▽2u=△u=0, 即必有势函数u 满足222222z uy u x u ∂∂+∂∂+∂∂=0, 这时称函数u 为调和函数. 习题1、若r=222z y x ++, 计算▽r, ▽r 2, ▽r1, ▽f(r), ▽r n (n ≥3). 解：∵x r ∂∂=r x , y r ∂∂=r y , z r ∂∂=r z, ∴▽r=⎪⎭⎫ ⎝⎛r z r y r x ,,=r1(x,y,z); 记u=r 2=x 2+y 2+z 2, ∵x u ∂∂=2x, y u ∂∂=2y, zu ∂∂=2z, ∴▽r 2=▽u=2(x,y,z);记v=r1, ∵x v ∂∂=-3r x , y v ∂∂=-3r y , z v∂∂=-3rz , ∴▽r 1=▽v=31r -(x,y,z);∵x f ∂∂=f ’(r)r x , y f ∂∂=f ’(r)ry , z f∂∂=f ’(r)r z , ∴▽f(r)=f ’(r)r 1(x,y,z); ∴▽r n =nr n-1⎪⎭⎫ ⎝⎛r z r y r x ,,=nr n-2(x,y,z), (n ≥3).2、求u=x 2+2y 2+3z 2+2xy-4x+2y-4z 在O(0,0,0), A(1,1,1), B(-1,-1,-1)处的梯度，并求梯度为0的点. 解：∵x u ∂∂=2x+2y-4, y u ∂∂=4y+2x+2, zu∂∂=6z-4,∴在O(0,0,0), grad u=(-4,2,-4); 在A(1,1,1), grad u=(0,8,2); 在B(-1,-1,-1), grad u=(-8,-4,-10);又由2x+2y-4=0, 4y+2x+2=0, 6z-4=0, 解得x=5, y=-3, z=32, ∴在(5,-3,32), |grad u|=0.3、证明梯度的基本性质1~5. 证：见梯度的基本性质.4、计算下列向量场A 的散度与旋度：(1)A=(y 2+z 2,z 2+x 2,x 2+y 2)；(2)A=(x 2yz,xy 2z,xyz 2)；(3)A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++xy z zx y yz x . 解：(1)∵P=y 2+z 2, Q=z 2+x 2, R=x 2+y 2； ∴div A=x ∂∂(y 2+z 2)+y ∂∂(z 2+x 2)+z ∂∂(x 2+y 2)=0；又y ∂∂(x 2+y 2)-z ∂∂(z 2+x 2)=2y-2z; z ∂∂(y 2+z 2)-x∂∂(x 2+y 2)=2z-2x; x∂∂(z 2+x 2)-y ∂∂(y 2+z 2)=2x-2y. ∴rot A=2(y-z,z-x,x-y).(2)∵P=x 2yz, Q=xy 2z, R=xyz 2； ∴div A=x ∂∂(x 2yz)+y ∂∂(xy 2z)+z∂∂(xyz 2)=6xyz ；又y ∂∂(xyz 2)-z ∂∂(xy 2z)=x(z 2-y 2); z ∂∂(x 2yz)-x∂∂(xyz 2)=y(x 2-z 2); x∂∂(xy 2z)-y ∂∂(x 2yz)=z(y 2-x 2). ∴rot A=(x(z 2-y 2),y(x 2-z 2),z(y 2-x 2)).(3)A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++xy z zx y yz x . ∵P=yz x , Q=zxy, R=xy z ；∴div A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂yz x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂zx y y +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂xy z z =xyzx yz 111++； 又⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂xy z y -⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂zx y z =22xy z xz y -; ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂yz x z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂xy z x =22yz x y x z-; ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂zx y x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂yz x y =z x y z y x 22-. ∴rot A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---x y y x z x x z y z z y xyz 222222,,1.5、证明散度的基本性质1~3. 证：见散度的基本性质.6、证明旋度的基本性质1~3. 证：见旋度的基本性质.7、证明：场A=(yz(2x+y+z),zx(x+2y+z),xy(x+y+2z))是有势场并求其势函数.证：P=yz(2x+y+z), Q=zx(x+2y+z), R=xy(x+y+2z),y ∂∂[xy(x+y+2z)]-z∂∂[zx(x+2y+z)]=x 2+2xy+2xz-x 2-2xy-2xz=0; z ∂∂[yz(2x+y+z)]-x∂∂[xy(x+y+2z)]=2xy+y 2+2yz-2xy-y 2-2yz=0; x∂∂[zx(x+2y+z)]-y ∂∂[yz(2x+y+z)]=2xz+2yz+z 2-2xz-2yz-z 2=0.∴对空间任一点(x,y,z)都有rot A=(0,0,0)=0i+0j+0k=0, ∴A 是有势场. 由d[xyz(x+y+z)]=yz(2x+y+z)dx+xz(x+2y+z)dy+xy(x+y+2z)dz 知， 其势函数为u(x,y,z)=xyz(x+y+z)+C.8、若流体流速A=(x 2,y 2,z 2), 求单位时间内穿过81球面x 2+y 2+z 2=1, x>0,y>0,z>0的流量.解：设S 为所给81球面，S 1, S 2, S 3分别是S 在三个坐标面上的投影, 则 所求流量为：⎰⎰⋅SdS n A 0+⎰⎰⋅11S dS n A +⎰⎰⋅22S dS n A +⎰⎰⋅33S dS n A =⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛球体81V divAdV=⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(2=⎰⎰⎰++103202sin )cos sin sin cos (sin 2dr r d d ϕϕθϕθϕϕθππ=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2021)sin (cos 421πθθθπd =83π.注：其中n 0, n 1, n 2, n 3分别是S, S 1, S 2, S 3的单位法矢，显然有A|n i (i=1,2,3)，∴A ·n i =0，从而⎰⎰⋅iS i dS n A =0 (i=1,2,3), 于是所求流量为：⎰⎰⋅SdS n A 0=83π.9、设流速A=(-y,x,c) (c 为常数)，求环流量： (1)沿圆周x 2+y 2 =1, z=0；(2)沿圆周(x-2)2+y 2 =1, z=0.解：(1)圆周x 2+y 2 =1, z=0的向径r 适合方程r=costi+sintj+0k(0≤t ≤2π). ∵A ·dr=(-sinti+costj+ck)·(-sinti+costj+0k)dt=dt, ∴所环流量为⎰⋅c dr A =⎰π20dt =2π.(2)圆周(x-2)2+y 2 =1, z=0的向径r=(2+cost)i+sintj+0k (0≤t ≤2π); ∵A ·dr=[-sinti+(2+cost)j+ck]·(-sinti+costj+0k)dt=(2cost+1)dt, ∴所环流量为⎰⋅c dr A =⎰+π20)1cos 2(dt t =2π.。
0 场论与张量基本知识
l 上的单位向量， 设e cos i sin j 是方向
由方向导数公式知
f f f f f cos sin { , } {cos , sin } x y l x y gradf ( x , y ) e | gradf ( x , y ) | cos , 其中 ( gradf ( x, y ), e ) f 当 cos( gradf ( x , y ), e ) 1时， 有最大值. l
如果已知区域 S 中的场，根据斯托克斯定理即可求出
边界 l 上的场，反之亦然。
1.2.6 基本运算公式列表
a、微分公式
(1) 1
(2) 1 (3) (4)
1 2 2 1 f f A B A B
数学中的高斯定理 (Gauss’s theorem) 将体积 积分与面积积分联系起来，在流体力学中，可以 利用这一定理将通量与散度联系在一起。 令 V 为一封闭曲面所包围的体积，在曲面上 考虑一微小面积 dS，其外法线方向为n， dS＝ ndS 是一向量 ( 其大小为 dS ，方向为 n) ，令 A 表示一个 标量场、向量场或张量场，则高斯公式为
1.2.2 向量场的散度
(2) 向量A的散度 在直角坐标系中，A＝Ax i＋Ay j＋Az k
Ax Ay Az div A A x y z
散度等于零 (divA ＝ 0) 的向量场称为无源场或管式 场。div u＝0是不可压缩流体流动的连续性方程。 散度基本运算法则：
在向量场 A 中任取一点 M ，包围 M 作一微小体积 ΔV ， 其界面的表面积为ΔS。考虑向量A通过ΔS面的通量，除以 体积ΔV，令体积ΔV向M点无限收缩，得极限
数学物理方法课件：场论的基本概念
的模，称矢量G(M)为函数u在点M处的梯度
u |{u , u , u}| cos({cos , cos , cos },l0 )
l x y z
G gradu {u , u , u} x y z
G gradu u i u j u k x y z
i, j, k 分别是x, y, z方向的单位矢量。
间形成的电势场）
u 1
q
4 x2 y2 z2
求解任意点M(x, y, z)的梯度。
引力场： u M
1
G x2 y2 z2
求解任意点M(x, y, z)的梯度。
方向导数、梯度的数理含义
数学含义： 数量场中每一点M处的梯度，必垂直于过该点的场 函数的等值面u(x, y, z)=c（常数）, 并指向函数增大 的方向。
场论的基本概念
《数理方法》课程必备基础； 在弹性力学、流体力学、电磁学等学科中具有应 用广泛； 掌握场论基本概念及其计算方法，对数理方程的 学习至关重要；
场的概念
场 如果在全空间或部分空间中的每一点，都对应 着某个物理量的一个确定的值，就称这空间里确定 了该物理量的场。
场的实例 温度场、密度场、电势场； 重力场、流场、加速度场；
x2 y2 z2
1
2k
a
3
x2 y2 z2
1 2
x
a
20
x2 y2 z2
grad及div a ,其中
x2 y2 z2
1. 2
解：grad i j k
x y z
x
x2 y2 z2
3
2 i y
x2 y2 z2
3
2j
z
x2 y2 z2
3
2k
理解数学中的场论与高斯定理
理解数学中的场论与高斯定理场论是数学中的一个分支，研究的是物理学中的场的属性和行为。
场是指在空间中每一点上的物理量，例如电场、磁场和重力场等。
而高斯定理是场论中的一个重要定理，揭示了场的密度和场的流量之间的关系。
本文将深入探讨数学中的场论与高斯定理。
一、场论的概念与基本原理在物理学中，场被定义为在空间中的每一点上都有数值的物理量。
场可以是标量场，如温度场或者电势场，也可以是矢量场，如速度场或者磁场。
通过场论的研究，我们可以描述和理解物理现象中的相互作用和传递行为。
场论的基本原理是场的导引方程，它描述了场在空间中传播和演化的规律。
导引方程通常采用微分方程的形式，根据具体的场和物理现象而定。
通过求解导引方程，我们可以得到场在空间中的分布和变化规律，从而理解和解释相应的物理现象。
二、电场与高斯定理电场是一种标量场，用来描述电荷在空间中的作用。
高斯定理是电场理论中的一个重要定理，它揭示了电场的密度和电场的流量之间的关系。
根据高斯定理，电场的流出或者进入某个封闭曲面的总电通量等于该曲面内的电荷总量除以电介质的电响应。
换句话说，电场通过封闭曲面的流量与曲面内的电荷分布有关，电荷的分布越密集，电场通过曲面的流量也就越大。
高斯定理的数学表达可以用以下公式表示：∮E·dA = Q/ε₀其中，∮E·dA表示电场E通过封闭曲面的流量，Q表示曲面内的电荷总量，ε₀为真空中的电介质常数。
从公式中可以看出，高斯定理将电场的流量和电荷的密度联系在一起，为解析和计算电场提供了便利。
三、磁场与高斯定理磁场是一种矢量场，用来描述磁荷和电流在空间中的作用。
不同于电场，磁场的高斯定理并不以这种形式存在。
事实上，高斯定理在磁场理论中不适用，因为不存在磁荷的单极矩。
然而，在磁场理论中存在安培环路定理，它类似于高斯定理。
安培环路定理描述了磁场的环路积分与该环路内的电流之间的关系。
根据安培环路定理，磁场的环路积分等于该环路内的电流总量。
场论三大定理
场论三大定理三大定理是数学领域中的重要理论，包括费马大定理、哥德巴赫猜想和四色定理。
下面将以人类的视角为题，通过叙述的方式向读者介绍这三大定理，并展示它们的重要性和影响力。
我们来看费马大定理。
这个定理最早由法国数学家费马提出，他在边注中写道：“我有一种非常美妙的证明方法，可惜这个边注的空间太小，无法容纳。
”这个定理的表述是：当n大于2时，方程x^n + y^n = z^n在正整数范围内没有解。
费马大定理一度成为数学史上最有名的未解之谜，无数数学家为之奋斗，但直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯才成功证明了这个定理。
费马大定理的证明具有极高的难度和复杂性，它的解决引起了全球范围内的轰动，被誉为“数学界的伟大胜利”。
接下来是哥德巴赫猜想。
这个猜想最早由德国数学家哥德巴赫在1742年提出，他认为任何大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。
这个猜想看似简单，但却一直没有被证明。
直到20世纪末，数学家们才通过计算机的帮助，逐一验证了哥德巴赫猜想直到数百亿的范围，几乎可以确定这个猜想是成立的。
虽然哥德巴赫猜想没有像费马大定理那样引起全球轰动，但它的解决也给数学界带来了巨大的进步。
最后是四色定理。
这个定理是关于地图着色的问题，即任何平面地图可以用四种颜色进行着色，使得任意相邻的地区颜色不同。
这个问题最早由数学家弗朗西斯·加斯顿·爱德华·贝洛克提出，并在1976年由数学家汤姆·阿普尔森和威廉·哈肯成功证明。
四色定理的证明过程相当复杂，涉及到图论和计算机算法等多个数学领域，它的解决使得地图着色问题得到了完美解决，对于计算机科学等领域的发展也产生了重要影响。
三大定理的解决不仅仅在数学领域具有重要意义，它们的背后也反映了人类对于数学的追求和智慧的结晶。
这些定理的证明过程，不仅需要数学家们的才智和毅力，也需要他们对于数学美的感悟和深入思考。
这些定理的解决不仅仅是数学的胜利，更是人类智慧的胜利。
规范场论简介
［４］李厚彪，李红，蒲 和 平 等．关 于 一 道 线 性 代 数 试 题 的 思 考 ［Ｊ］．高 等 数 学 研 究 ，２０１７，２０（３）：６７．
［５］王莲花．矩阵与其友矩阵相似 的 一 个 充 要 条 件 及 其 证 明 ［Ｊ］．大 学 数 学 ，２０１０，２６（５）：１６１１６４．
（摘 自：百 度 百 科，ｈｔｔｐｓ：／／ｂａｉｋｅ．ｂａｉｄｕ．ｃｏｍ／ｉｔｅｍ／％ Ｅ８％ Ａ７％８４％ Ｅ８％８Ｃ％８３％ Ｅ５％９Ｃ％ ＢＡ％ Ｅ８％ ＡＥ％ ＢＡ／ ６４９８３２８？ｆｒ＝ａｌａｄｄｉｎ）
参考文献
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［２］邱 岫 岩 ．两 矩 阵 相 似 充 要 条 件 定 理 浅 释 ［Ｊ］．辽 宁 师 范 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ），１９９０，１２（１）：６２６５．
５２
高等数学研究
２０１９ 年 ５ 月
（Ｄ） 犃＋犃－１与 犅＋犅－１相似． 解 根据推论４，选 项 （Ａ）不 论 犃 与犅 是 不 是 可 逆 矩 阵 ，都 是 正 确 的 ；选 项 （Ｂ）和 （Ａ）类 似 ，由 犘－１（犃＋犃－１）犘＝犘－１犃犘＋犘－１犃－１犘＝犅＋犅－１ 可 知 （Ｄ）也 是 正 确 的 ．选 项 （Ｃ）是 错 误 的 ，如 ：
［１］ＹａｎｇＣ．Ｎ．，ＭｉｌｌｓＲ．Ｌ．（１９５４）．“ＣｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎｏｆＩｓｏｔｏｐｉｃＳｐｉｎａｎｄＩｓｏｔｏｐｉｃＧａｕｇｅＩｎｖａｒｉａｎｃｅ”．Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．９６： １９１１９５．Ｂｉｂｃｏｄｅ：１９５４ＰｈＲｖ．．．９６．．１９１Ｙ．ｄｏｉ：１０．１１０３／ＰｈｙｓＲｅｖ．９６．１９１．
数学分析简明教程22 各种积分间的联系与场论初步
第二十二章 各种积分间的联系与场论初步§1 各种积分间的联系1．应用格林公式计算下列积分：(1)ydx x dy xy L ⎰-22，其中L 为椭圆22a x +22by =1取正向；（2）,)()(⎰-++Ldy y x dx y x L 同（1）;（3）dy y xdx y x L)()(222+-+⎰， L 是顶点为)5,2(),2,3(),1,1(C B A 的三角形的边界，取正向；（4）,1,)()(223333=+--+⎰y x L dy y x dx y x L为取正向；（5）,sin sin ydy exdx e xLy-+⎰L 为矩形d y c b x a ≤≤≤≤, 的边界,取正向；（6）],))cos(sin ())cos(sin [(dy y x xy x dx y x xy y e L xy+++++⎰其中L 是任意逐段光滑闭曲线．解（1）原式 =()()d xdy y x dxdy x yDD⎰⎰⎰⎰+=--2222)(=ab()r dr r b r a d ⎰⎰+122222220sin cos θθθπ(广义极坐标变换）=())(3sin cos 3122202222b a ab d b a ab +=+⎰πθθθπ．（2)⎰-++Ldy y x dx y x )()(=⎰⎰=-Ddxdy 0)11(．(3）原式 ⎰⎰+-=Ddxdy y x x ))(22(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-+215231143124322yy y y D dx ydy dx ydy ydxdy9143))5(127)(47(2252221-=-+--=⎰⎰dy y y dy y y ．（4）原式π23)(3)33(2222-=+-=--=⎰⎰⎰⎰DD dxdy y x dxdy y x ． （5)原式 dxdy x e y e Dy x ⎰⎰--=-)cos sin ( )cos sin (⎰⎰⎰⎰+-=-bad cdcydy b axe dx x ydy dx e)sin )(sin ()cos )(cos 11(a b e e c d ee cd b a --+--=．（6))]cos(sin [),(y x xy y e y x P xy ++=，)]cos(sin [),(y x xy x e y x Q xy++=，)]sin(cos [sin )]cos(sin [y x xy xy xy e y x xy x ye xQxy xy --++++=∂∂ )]sin()cos(sin )cos (sin [y x y x y xy xy xy xy e xy --+++=，)]sin(cos [sin )]cos(sin [y x xy xy xy e y x xy y xe yPxy xy +-++++=∂∂ )]sin(cos sin )cos (sin [y x xy x xy xy xy xy e xy +-+++=，)cos()(y x x y e yPx Q xy +-=∂∂-∂∂， 所以，原式⎰⎰+-=Dxy dxdy y x x y e ,)cos()( 其中D 为L 包围的平面区域． 2．利用格林公式计算下列曲线所围成的面积： （1)双纽线θ2cos 22a r =；(2)笛卡尔叶形线)0(333>=+a axy y x ；（3）t t a x sin )cos 1(2+=，t t a y cos sin 2⋅=,π≤≤20t ． 解(1）⎰⎰⎰⎰==12||D Ddxdy dxdy D ⎰-⨯=L ydx xdy 212 ⎰=--=44)]sin (sin cos cos [ππθθθθθd r r r r 24424422cos a d a d r ===⎰⎰--ππππθθθ，其中1D 由θ=2cos 22a r ，44π≤θ≤π-所围成． （2）作代换,tx y =则得曲线的参数方程为313tatx +=,3213t at y +=．所以, dt t t a dx 233)1()21(3+-=,dt t t at dy 233)1()2(3+-=， 从而，dt t t a ydx xdy 2322)1(9+=-，于是，面积为 D =⎰C x y y x d -d 21=dt t t a ⎰∞++02322)1(29=223a ．（3）D =⎰-cydx xdy 21= {}⎰-++⋅--⋅+π2022322]sin )sin (cos 2cos )cos 1[(cos sin )sin cos sin 2(sin )cos1(21dtt t t t t a t t a t t t a t t a{}⎰π-++⋅--⋅+2022322]sin )sin (cos 2cos )cos 1[(cos sin )sin cos sin 2(sin )cos1(21dt t t t t t a t t a t t t a t t a=21tdt t t a 2cos )cos 1(sin 22022+⎰π=24a π 3．利用高斯公式求下列积分：（1）y x z x z y z y x sd d d d d d 222++⎰⎰。
场论,标量场的梯度, 矢量场的散度和旋度
通过闭合面S的通量的物理意义： a) 若 ψ 0，穿出闭合曲面的通量多于穿入的通量， 闭合面内有产生矢量线的正发射源；例如，静电场 中的正电荷就是发出电力线的发射源；
b) 若 ψ 0 ，穿出闭合曲面的通量少于穿入的通量， 闭合面内有吸收矢量线的负吸收源；静电场中的负 电荷就是接受电力线的吸收源；
这个方向的投影，梯度方向是等值面的法线方向。
梯度 (Gradient)定理
积分结果与路径无关。Fra bibliotek通量与散度, 散度(高斯)定理
Flux, divergence of a vector field, divergence theorem
矢量场的通量(Flux of a vector field)
定义：若矢量场A分布于空间中，在空间中存在 任意曲面S，则
A dS
S
为矢量 A 沿有向曲面S 的通量。 若S 为闭合曲面
A dS
S
矢量场的通量
在直角坐标系中，通量可以写成
ψ A dS Ax dydz Ay dzdx Az dxdy
S S
物理意义：表示流入和流出闭合面S的矢量通量的代数和。 在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量； 在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。
矢量场的例子
(a) 有发射源 (Source)的场 (b) 有漏(Sink)或有吸收源的场 (c) 旋转 (Circulation)场 Videos are from: MIT online Open Course Resources
麦克斯韦方程组
静电学方程
E
B E t
Q
量子场论中的费曼图技术
量子场论中的费曼图技术量子场论是理论物理学中的重要分支，它描述了微观世界中粒子的行为和相互作用。
费曼图技术是量子场论中的一种重要工具，它通过图形化的方式来描述粒子的传播和相互作用过程。
本文将介绍费曼图技术的原理和应用。
费曼图技术的基本原理是基于量子力学的路径积分理论。
在路径积分理论中，我们考虑所有可能的粒子路径，并对每条路径赋予一个幅度，然后将所有路径的幅度相加得到最终的结果。
费曼图是路径积分的一种图形化表示，它将粒子的路径划分为多个时间段，每个时间段内粒子的行为由一个顶点表示。
通过连接不同时间段的顶点，我们可以得到描述粒子传播和相互作用的图形。
费曼图的每个顶点代表一个相互作用过程，它可以是粒子的发射或吸收，也可以是粒子之间的散射或衰变。
每个顶点都有一个相应的数学表达式，用来描述相互作用的强度和形式。
通过将所有顶点的数学表达式相乘，我们可以得到整个费曼图的数学表达式。
费曼图的边代表粒子的传播，它们可以是实数或虚数。
实数边表示实际的粒子传播，而虚数边表示虚拟粒子传播。
虚拟粒子是一种不存在于实验室中的粒子，它们只存在于计算中，用来描述相互作用的过程。
虚拟粒子的传播是量子场论中的一个关键概念，它们可以在费曼图中自由传播，也可以通过顶点相互转换。
费曼图技术在量子场论中有广泛的应用。
首先，它可以用来计算粒子的散射截面和衰变速率。
通过将所有可能的散射或衰变过程表示为费曼图，我们可以根据图形的拓扑结构和数学表达式来计算相应的截面和速率。
这为理论与实验的比较提供了一个重要的工具。
其次，费曼图技术还可以用来研究量子场的量子化。
量子场是描述粒子的场，它满足量子力学的波动方程和对易关系。
通过将量子场表示为费曼图，我们可以计算场的各种物理量，如格林函数和散射振幅。
这些计算为理解量子场的性质和行为提供了一个有效的方法。
此外，费曼图技术还可以应用于量子场论中的相互作用修正。
量子场论中的相互作用是通过相互作用哈密顿量来描述的，而费曼图可以用来计算相互作用的修正。
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s1 s1
grad
s2 s 2
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习题
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ----
2)证明下列结论 : 1.grad (c r ) c , c为常矢量;
0 2.grad{(r )} (r) gradr (r )r 3.grad{[u (r ), v(r )]} gradu gradv u v
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ----
第一章.数学方法简介
—矢量分析与场论
矢量分析与场论内容
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
1.1 矢量运算 1.2 场的概念 1.3 梯度 1.4 散度 1.5 旋度 1.6 哈密尔顿算子 1.7 拉普拉斯算子与调和场
00:10:29
00:10:29
1.3梯度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---定义梯度 : 数量场M 点处, 存在这样一个矢量,其方 向为场函数在M 点处变化率最大的方向, 其模是这个最大的变化率.
grad i j k x y z
从而方向导数可写为:
0 grad s s 满足a grad的矢量场称为位势场, 称为位势函数.
00:10:29
1.2场的概念
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
场的定义
设在空间的某个区域内定义标量函数或矢量函 数，则称定义在空间内的函数为场 如果定义的是矢量函数，则称之为矢量场
如力场，速度场，电磁场 如温度场，密度场，压力场
如果定义的是标量函数，则称之为标量场
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cos( s , i ) cos( s , j ) cos( s , k ) s x y z x i y j z k cos(s , i )i cos(s , j ) j cos(s , k )k
性质二:
梯度的方向，是等势面的法线方向，是位势函数
变化最快的方向，且指向函数值增加的方向；大小 是场函数沿等势面法线方向的方向导数的模。
习题
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---M
1)给定平面标量场 , 设在M 点上已知两个方向的方向导数 , , 试用几何方法求M 点上的grad s1 s2
M'
s
cos( s , i ) Mx
x
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1.3梯度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
方向导数只是标量函数φ在一个特定方向上的变化 率，而从场的每个给定点出发有无穷个方向，也就 有无穷多个方向导数。请问：沿着哪个方向φ的变 化率最大？最大变化率是多少呢？ 从方向导数的表达式可以看到，方向s的方向余弦 表示了所取的方向，而三个偏导数则由数量场唯一 在直角坐标系中方向导数的表达式为: 确定。
1.2场的概念
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ----
计算机模拟的温度场，红色表示高温， 冷色表示低温
1.2场的概念
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ----
协和飞机着陆时的流场
1.2场的概念
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ----
用速度矢量表示的速度场
1.2场的概念
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
ax a y az dV x y z V
ax a y az V x y z M r
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1.4散度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---当V 趋近于M点时
ax a y az V an ds x y z M r lim S lim V 0 V 0 V V
00:10:29
1.5旋度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---环量面密度 设M为矢量场a中一点,在M处取定一个方向n,
再过M点以n为法向做微小曲面S,
若极限 存在, S
l
S
a dr
l
n
则称为矢量场在点M处沿n方向的环量面密度
一个矢量场存在位势函数也叫“有势”
00:10:29
1.3梯度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
梯度的主要性质是: 性质一:
y
M
M
'
梯度在任一方向 上的投影等于该 方向的方向导数。
0 grad s s
s n
M1
o
x
1.3梯度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---00:10:29
00:10:29
1.5旋度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
在这里仅给出旋度的定义，其意义在后面介绍。
首先介绍环量 :
给定一矢量场a(r, t ), 在场内取任意一曲线L, 作积分 :
a dr ＝ ax dx ay dy az dz
L
L
称为矢量a沿曲线L的环量。
1.1矢量运算
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
矢量相加
c a b c a b
a a
c
矢量相减
b b
c
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1.1矢量运算
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
矢量点积
c a axbx a yby az bz b
00:10:29
1.4散度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 --- diva=0的矢量场称为无源场或管形场.
管形场意味着,像管子一样只能有物质的流入流出, 而不可能凭空流出物质来,也不可能吸收物质.
无源场具有一些特殊性质，如:
无源矢量a经过矢量管任一横截面上的通量保持同 一数值
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Dx Dy Dz ? 得 : divD 0 x y z
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习题
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ----
2)证明下列结论 : 1.div(c a ) cdiva, c为常数; 2.div{a b} diva divb 3.div(ua) udiva gradu a
对于数量场 , 若下面极限存在
(M ' ) (M ) lim MM ' 0 s MM '
称 是场 在M 处沿s方向的方向导数 s 在这里s 方向是任意方向
y
M'
s
M
o
x
00: 进 系 流 体 力 学 ---在直角坐标系中方向导数的表达式为: cos( s , i ) cos( s , j ) cos( s , k ) s x y z y 下面简证之: (M ' ) (M ) lim MM ' 0 s MM ' ( x x, y y, z z ) ( x, y, z ) lim 0 x2 y 2 z 2 x y z lim 0 x y z o cos( s , i ) cos( s , j ) cos( s , k ) x y z
场的定义要素：
空间变量 r 或x , y , z 时间变量 t 矢量场a(r,t ) 或是 a(x,y,z,t ) 标量场φ(r,t )或是 φ(x,y,z,t )
定义举例：
00:10:29
1.2场的概念
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
场的空间分布特性
同一时刻场函数随空间坐标而变化 不随空间坐标而变的场称为均匀场 反之称为非均匀场 同一点上场函数随时间而变化 如场内函数值不随时间变化而变化称为定常场 反之称为非定常场
00:10:29
1.4散度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---由此，高斯定理可简化成:
对速度来讲:Vn ds divVdV
S V
an ds divadV
S V
通量为正，意味着通过S面有正的源； 通量为负，意味着通过S面有负的源（汇）； 散度为零的场，没有源和汇。
习题
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 --- 1）在点电荷q所产生的静电场中, 求电位移矢量D 在任何一点M 处的散度divD.
解 : 取电荷所在之处为坐标原点.此时电位移矢量表为
D q r 3 4 r
其中: r xi yj zk , r r
矢量微分
da dax i da y j daz k
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1.1矢量运算
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
微分运算法则
d du da (ua) a u dt dt dt da db d (ab ) b a dt dt dt d da db (a b ) b a dt dt dt
00:10:29
1.4散度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---下面介绍矢量场散度的概念:
首先定义矢量a通过面S的通量,有以下几种表示方法
a dS a nds an ds
S S
S
y
ax cos(n, i ) a y cos(n, j ) a z cos( n, k ) ds dz
S
n
ds
dy o z
ax dydz a y dzdx a z dxdy