3分式

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3分式

分式一、知识要点概述1、分式的概念和性质(1)定义：若用A、B表示两个整式，A÷B可以写成的形式，若B中含有字母，式子叫做分式．说明：1°分式的值为0的条件是：分子为零且分母不为0；2°当分母为零时，分式无意义；3°分式的基本性质是分式运算的重要依据，分式的运算方法和顺序与分数的运算类似．2、分式的运算法则说明：分式的符号变化法则是指整个分子分母和分数线前的符号，切忌只变分子或分母中第一项符号．3、约分：根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中的公因式约去，叫做约分．4、通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母分式，叫做通分．二、典例剖析例1、若分式的值是绝对值最小的实数．则x=________．例2、如果n为正整数，是既约分数，那么例4、若x取整数，则使分式的值为整数的x有（）A．3个B．4个C．6个D．8个一、填空题1、如果分式无意义，则x=________，使分式的值为零的y值是__________．二、选择题9、若分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）A．扩大3倍B．不变C．缩小3倍D．扩大9倍12、如果a＋b＋c=0，，那么(a＋1)2＋(b＋2)2＋(c＋3)2的值为（）A．36B．16C．14D．314、设有理数a、b、c都不为零，且a＋b＋c=0，则的值是（）A．正数B．负数C．零D．不确定三、解答题20、有理数a、b、c满足a＋b＋c=0，abc＞0，若，那么x＋2y＋3xy的值是多少？分析：绝对值最小的实数是0，从而得出分式的值为0，则分子为零且分母不为0，故可求出x．解：说明：分式的值为0，分子为零都知道，但往往忽略分母不为0，这是此类题目的考察重点．分析：n2＋3n－10=(n＋5)(n－2)，n2＋6n－16=(n＋8)(n－2)分式，分母有公因式n－2，但此分数为既约分数，从而有n－2=1，易可求n，进而求出此分式值．说明：解答此题的关键在于：巧妙运用既约分数的概念确定n的取值，注意化简分式时先要分别将分子、分母分解因式，再约分．分析：将分式进行分析，即将它变形为一个整数部分与一个分子为整数的分式之和的形式，然后再讨论其整数的个数．解：∴当2x－1=±1或±3时，x为整数，0，1，2，－1；当2x－1=±6或±2时，x都不是整数．所以符合题意的x的取值只有4个，应选B项．说明：将分式进行分拆，关键是在于把分子中含字母的部分凑成与分母相同的公因式．分析：由已知可得到关于a、b、c的值，然后代入求值．解：由3a＋2b－5=2(a－b＋2)得a＋4b－9=0①由2b＋c－1=2(3b＋2c－8)得4b＋3c－17=0②由c－3a＋2=2(2c＋a－b)得3c＋5a－14=0③解联立①②③组成的方程组得a=1，b=2，c=3．．说明：对于含条件等式的分式求值问题，除考虑对欲求的分式化简外，还要对条件进行分析适当变形，并根据需要加以转化．答案：9、A提示：因为x与y都扩大3倍，所以分子x2扩大9倍，分母x＋y扩大3倍，分式的值扩大3倍．12、A提示：∵∴(a＋1)(b＋2)＋(b＋2)(c＋3)＋(c＋3)(a＋1)=0∴(a＋1)2＋(b＋2)2＋(c＋3)2=(a＋1＋b＋2＋c＋3)2－2[(a＋1)(b＋2)＋(b＋2)(c＋3)＋(c＋3)(a＋1]=(a＋b＋c＋6)2=62=36．14、C提示：由a＋b＋c=0得a＋b=－c，∴a2＋b2－c2=－2ab，同理可得b2＋c2－a2=－2bc，c2＋a2－b2=－2ac，。

§3 分式线性映射

装订线§3分式线性映射((分式线性映射是共形映射中比较简单的但又很重要的一类映射))1、定义：由分式线性函数az bwcz d+=+(,,,a b c d为复常数且0ad bc-≠) ……(6.4)构成的映射，称为分式线性映射。

注意：任何分式线性映射总可以分解成下面函数的复合：w z b=+，0iw zeθ=，(0)w rz r=>,1wz=因为：当0c=时,(6.4)式变为az b a bw zd d d+==+ ,可以看做(0)w rz r=>和w z b=+的复合.当0c≠时，(6.4)式变为()az b c az b ad ad acz ad bc ad a bc adw+++-++--====+它可以看作w z b=+，(0)w rz r=>,1wz=参与的复合。

((由于任何分式线性映射总可以分解成上述四个函数的复合，所以只须对这四种映射进行讨论，就可以了解分式线性映射的特点))(1)平移映射：w z b=+, ( b为复数) ((从z,b的实部和虚部解释,也可以用向量的平行四边形法则解释))装订线同样将曲线C进行旋转θ角度。

(3)相似映射：(0)w rz r=>(4)反演映射：1wz=当点z在单位圆外部时，此时||1z>，故||1w<,即w位于单位圆内部。

当点z在单位圆内部时，此时||1z<，故||1w>,即w位于单位圆外部。

所以反演映射的特点是：将单位圆内部映射到单位圆外部，将单位圆外部映射到单位圆内部。

规定：反演映射1wz=将0z=映射成w=∞,将z=∞映射成0w=。

2、分式线性映射的性质1）保形性装订线定理6.5 分式线性函数在扩充复平面上是共形映射。

也就是说，分式线性函数在扩充复平面上既是保角的，也具有伸缩率不变性。

2）保圆性约定：直线是作为圆的一个特例，即直线是半径为无限的圆。

定理6.6 在扩充复平面上，分式线性映射能把圆变成圆。

专题25 分式的运算-重难点题型(举一反三)(学生版)

专题5.2 分式的运算-重难点题型【知识点1 分式的加减】同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

①同分母分式的加减：a b a bc c c±±=； ②异分母分式的加法：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=。

注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。

【题型1 分式的加减】【例1】（2021春•盐城月考）化简：（1）a a−b+b b−a；（2）x 2−4x 2−4x+4−4x x 2−2x．【变式1-1】当m ＞﹣3时，比较m+2m+3与m+3m+4的大小．【变式1-2】（2021•乐山）已知A x−1−B 2−x=2x−6(x−1)(x−2)，求A 、B 的值．【变式1-3】（2021春•河南期末）若a ＞0，M =aa+1，N =a+1a+2 （1）当a ＝1时，M ＝12，N ＝23；当a ＝3时，M ＝34，N ＝45；（2）猜想M 与N 的大小关系，并证明你的猜想．【题型2 分式与整式的混合运算】【例2】（2021•嘉兴一模）计算x 2x+2−x +2时，两位同学的解法如下：解法一：x 2x+2−x +2=x 2x+2−x+21=x 2x+2−(x+2)2x+2解法二：x 2x+2−x +2=1x+2[x 2−(x −2)(x +2)] （1）判断：两位同学的解题过程有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”．（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答．【变式2-1】（2021•梧州）计算：（x ﹣2）2﹣x （x ﹣1）+x 3−4x 2x 2．【变式2-2】（2021秋•昌平区期中）阅读下列材料，然后回答问题．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：32=1+12，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：x+1x−2，x 2x+2这样的分式是假分式；1x−2，xx 2−1这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如：x+1x−2=(x−2)+3x−2=1+3x−2，x 2x+2=(x+2)(x−2)+4x+2=x −2+4x+2．解决下列问题：（1）将分式x−2x+3化为整式与真分式的和的形式；（2）如果分式x 2+2x x+3的值为整数，求x 的整数值．【变式2-3】（2021春•玄武区期中）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：x 2−2x+3x−1=x(x−1)+x−2x+3x−1=x +−(x−1)+2x−1=x ﹣1+2x−1，这样，分式就拆分成一个分式2x−1与一个整式x ﹣1的和的形式．根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）假分式x+6x+4可化为带分式形式；（2）利用分离常数法，求分式2x 2+5x 2+1的取值范围；（3）若分式5x 2+9x−3x+2拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m ﹣11+1n−6，则m 2+n 2+mn 的最小值为．【知识点2 分式的混合运算】 1.乘法法则：db ca d cb a ⋅⋅=⋅。

人教版八年级下册数学课本知识点归纳

人教版八年级下册数学课本知识点归纳第十六章分式一、分式1. 分式：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。

(分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零 )2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除)以一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示如下：（C ≠0）其中A,B,C 是整式3．最简公分母：取各分母的所有因式的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母4．通分：分子和分母同乘最简公分母，不改变分式值，把几个整式化成相同分母的分式。

这个过程叫通分。

（分母为多项式时要分解因式）5．约分：约去分子和分母的公因式，不改变分式值，这个过程叫约分。

二、分式的运算1．分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

2．分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

上述法则可以用式子表示：C B C A B A ⋅⋅=C B C A B A ÷÷=bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =⋅=÷=⋅;3分式乘方法则：一般地，当n 为正整数时这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方4．分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。

上述法则可用以下式子表示：,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd±±±=±=±= 5．整数指数幂1．任何一个不等于0的数的0次幂等于1，即)0(10≠=a a ；当n 为正整数时，n n a a 1=- （)0≠a ，也就是说a n (a≠0)是a -n 的倒数。

正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数)（1）同底数的幂的乘法：n m n m a a a +=⋅；（2）幂的乘方：mn n m a a =)(;（3）积的乘方：n n n b a ab =)(；（4）同底数的幂的除法：n m n m a a a -=÷( a ≠0)；（5）商的乘方：n nn b a ba =)(( n 是正整数)；(b ≠0) 三、分式方程1. 分式方程：分母中含未知数的方程叫分式方程。

青岛版八年级上册数学学科素养解读课件第3章分式

知识点同分母分式的加减法
某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手抄文稿的3倍,设他手抄文稿
的速度为a字/时,那么他录入3000字文稿比手抄3000字文稿少用
小时.
所以这个人录入3000字文稿比手抄3000字文
稿少用
小时.本题中同分母分式的加减可以类比同分母分数的加减进
行计算.
知识点异分母分式的加减法
欢欢有m本课外书,乐乐有n本课外书,这时欢欢的课外书本数是乐乐课外书本数的倍;若将他们的课外书本数都增加到原来的4倍时,欢欢的课外书本数是乐乐课外书本数的倍;若将他们的课外书本数都增加到原来的a(a≠0)倍,欢欢的课外书本数是乐乐课外书本数的倍;我们可以发现欢欢的课外书本数与乐乐的课外书本数之间的关系没有发生变化,这就应用了分式的基本性质.
知识点分式的符号法则
知识点分式的符号法则
确定结果的符号.
第3章分式
3.2 分式的约分
知识点分式的约分
把3n个一样的苹果分给(6m+6)位小朋友,每位小朋友分到 3n 个
6m+6
苹果,分子、分母同时除以3,可将 3n 化简为 n .
6m+6
2m+2
知识点最简分式
某综艺类节目火爆荧幕,给观众带来激情和欢乐的同时,也启示我们,团队合作、互助友爱是成功的重要因素.瞧!“撕名牌”游戏正在火热进行,其中只有“名牌”(1)上的分式是最简分式.
知识点分式的通分
小明骑自行车沿公路以a km/h的速度行走全程的一半,又以b
km/h的速度行走余下的路程,则小明所用的时间是 h;小刚骑自行车
以a km/h的速度走全程时间的一半,又以b km/h的速度行走另一半时间

【导学案】3 分式方程的应用(2)导学案及答案

4 分式方程第3课时分式方程的应用（二）【学习目标】1.能将实际问题中的相等关系用分式方程表示,并进行方法总结.2.通过日常生活中的情境创设,经历探索分式方程应用的过程,提高学生运用方程思想解决问题的能力和思维水平.3.在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯,引导学生努力寻找解决问题的方法,体会数学的应用价值.【学习策略】让学生经历从实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型作用，关键是引导学生寻找问题中的等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力。

【学习过程】一、情境导入：1.列一元一次方程解应用题的一般步骤分哪几步？2.问题:自从上次龟兔赛跑乌龟大胜兔子以后,它就成了动物界的体育明星,可是偏偏有一只蚂蚁不服气,于是它给乌龟下了一封挑战书.比赛结束后,蚂蚁并没有取胜,已知乌龟的速度是蚂蚁的1.2倍,提前1分钟跑到终点.请你算算它们各自的速度.二.新课学习：例1. 某列车现平均速度v千米/时,用相同的时间,列车提速前行驶s千米,提速后比提速前多行驶50千米,提速前列车的平均速度为多少?例2. 轮船顺水航行40千米所用的时间与逆水航行30千米所用的时间相同，若水流的速度为3千米/时求轮船在静水中的速度？三.尝试应用：1.抗洪抢险时,需要在一定时间内筑起拦洪大坝,甲队单独做正好按期完成,而乙队由于人少,单独做则超期3个小时才能完成.现甲、乙两队合做2个小时后,甲队又有新任务,余下的由乙队单独做,刚好按期完成.求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时?2.从广州到某市,可乘坐普通列车或高铁,已知高铁的行驶路程是400千米,普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍.(1)求普通列车的行驶路程;(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍,且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时,求高铁的平均速度.3.甲、乙两人练习骑自行车，已知甲每小时比乙多走6千米，甲骑90千米所用的时间和乙骑60千米所用时间相等，求甲、乙每小时各骑多少千米？四、课堂小结列分式方程解应用题的一般步骤1).审:分析题意,找出研究对象，建立等量关系.2).设:选择恰当的未知数,注意单位.3).列:根据等量关系正确列出方程.4).解:认真仔细.5).验:有三种方法检验.6).答:不要忘记写答.五.达标测试一．选择题（共3小题）1．农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走半小时后，其余人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的3倍，若设自行车的速度为x 千米/时，则所列方程为（）A ．2115315+=x xB ．x x 1521315=-C ．2115315-=x xD ．2115315⨯=x x 2父子两人沿周长为a 的圆周骑自行车匀速行驶．同向行驶时父亲不时超过儿子，而反向行驶时相遇的频率增大为11倍．已知儿子的速度为v ，则父亲的速度为（）A ．1.1vB ．1.2vC ．1.3vD ．1.4v3．全民健身活动中，组委会组织了长跑队和自行车进行宣传，全程共10千米，自行车队速度是长跑队的速度的2.5倍，自行车队出发半小时后，长跑队才出发，结果长跑队比自行车车队晚到了2小时候，如果设长跑队跑步的速度为x 千米/时，那么根据题意可列方程为（）A.215.210210+=+x xB.5.02105.210-=-xx C.5.025.21010-=-x x D.5.025.21010+=-x x 二．填空题（共3小题）4．甲计划用若干天完成某项工作，在甲独立工作两天后，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前两天完成任务．设甲计划完成此项工作的天数是x ，则x 的值是 .5．某施工单位准备对运河一段长2240m 的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20m ，因而完成河堤加固工程所需天数将比原计划缩短2天，若设现在计划每天加固河堤x m ，则得方程为．6.A 、B 两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A 地驶出3小时后，一辆小汽车也从A 地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B 地，求两车的速度．根据题意，可列方程 .三．解答题（共3小题）7.甲、乙两座城市的中心火车站A ，B 两站相距360km ．一列动车与一列特快列车分别从A ，B 两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km /h ，当动车到达B 站时，特快列车恰好到达距离A 站135km 处的C 站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？8．吉首城区某中学组织学生到距学校20km 的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达（两条道路路程相同），已知汽车速度是自行车速度的2倍，求骑自行车学生的速度．9.甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l 起跑，绕过P 点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？参考答案4 分式方程第3课时尝试应用：1.解：设甲队单独完成全部工程需x 小时，则乙队单独完成全部工程需（x+3）小时,根据题意，得： 13232x 2=+-+++x x x 解得：x=6，经检验得：x =6是这个分式方程的解．x+3=9答：甲队单独完成全部工程需6小时，则乙队单独完成全部工程需9小时.2.解：（1）400×1.3=520（千米）（2）设普通列车平均速度为x 千米/时，则高铁的平均速度为2.5x 千米/时，由题意，得：35.2400520=-xx 解得：x=120,经检验得：x =120是这个分式方程的解．2.5x=300答：高铁的平均速度为300千米/时.3.甲、乙两人练习骑自行车，已知甲每小时比乙多走6千米，甲骑90千米所用的时间和乙骑60千米所用时间相等，求甲、乙每小时各骑多少千米？解：设乙每小时骑x 千米，则甲每小时骑（x+6）千米，根据题意得x606x 90=+ 解得：x=12，经检验得：x =12是这个分式方程的解．x+6=18答：乙每小时骑12千米，甲每小时骑18千米.达标测试答案：一、选择题1．C2.【解析】：选B ．设父亲的速度为x ，根据题意得出：=，解得：x=1.2V ．3．C二．填空题（共3小题） 4.6 解析: 根据题意，得到甲、乙的工效都是 1x．根据结果提前两天完成任务，知：整个过程中，甲做了（x-2）天，乙做了（x-4）天．再根据甲、乙做的工作量等于1，列方程求解．5.22402240220x x-=- 解析: 求的是原计划的工效，工作总量题中已有，那么一定是根据工作时间来列的等量关系．本题的等量关系为：原计划时间-实际用时=2． 6.x 38060203x 80=+- 三．解析题（共3小题）7.解：设特快列车的平均速度为xkm /h ，则动车的速度为（x +54）km /h ，由题意，得：=，解得：x =90，经检验得：x =90是这个分式方程的解． x +54=144．答：设特快列车的平均速度为90km /h ，则动车的速度为144km /h ．8. 【解析】：设骑自行车学生的速度是x 千米/时，由题意得：9. ﹣=，解得：x=20，经检验：x=20是原分式方程的解，答：骑自行车学生的速度是20千米/时．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意分式方程要进行检验，这是同学们最容易出错的地方．9. 【解析】：设乙同学的速度为x 米/秒，则甲同学的速度为1.2x 米/秒，根据题意，得，解得x=2.5．经检验，x=2.5是方程的解，且符合题意．∴甲同学所用的时间为：（秒），乙同学所用的时间为：（秒）．∵26＞24，∴乙同学获胜．答：乙同学获胜．【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式是：路程=速度×时间．。

分式(三)分式恒等变形

分式（三）分式恒等变形【学习目标】1.学习分式恒等变形常用的各类技巧方法.2.锻炼代数计算能力.3.增强轮换对称式的认识和理解.【专题简介】分式恒等变形可以包括各类代数技巧，课内大型考试不涉及，但是小型周练和老师平时的拓展会大量涉及.分式恒等变形为联赛考察热点之一，变形复杂，难度较大，学习的关键在于基本计算能力和轮换对称式的理解，同学们在学习的时候应注意多练习自己的代数计算能力，不要怕算，更不能不算，大多数题目的技巧都是计算过后才能发现和总结的.【专题分类】1、整体代入：2、连等式：3、配项法：4、乘法公式与因式分解：题型1 整体代入基础夯实【例1】已知a2－3b2＝2ab，求2a ba b+-的值.【练1】(1)若x＋y＝－4，xy＝－3，求11x+＋11y+的值.(2)已知1x＋1y＝5，求2522x xy yx xy y-+++的值.强化挑战【例2】当x分别取值12007，12006，12005，…，12，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211xx-+的值，将所得的结果相加，其和等于( )A.－1B.1C.0D.2007【练2】对于正数x ，规定f (x )＝1x x +，例如f (3)＝313+＝34，f (13)＝13113+＝14，计算：f (12013)＋f (12012)＋f (12011)＋…＋f (13)＋f (12)＋f (1)＋…＋f (2011)＋f (2012)＋f (2013)＝题型2 连等基础夯实【引例】若2x ＝3y ＝4z，求222234xy yz zx x y z ++++的值.【例3】(第20届“希望杯”全国数学邀请赛初2第1试)若a b c +＝b c a +＝c a b +，则223a b ca b c+++-＝ .【练3】(“希望杯”邀请赛试题)若a b ＝b c ＝c d ＝d a ，则a b c da b c d-+-+-+的值为 .强化挑战【拓3.1】已知x y z u ++＝y z u x ++＝z u x y ++＝u x y z ++，求x y z u ++＋y zu x++＋z u x y ++＋u x y z ++的值.【拓3.2】已知x b c a +-＝y c a b +-＝za b c+-，求(b －c )x ＋(c －a )y ＋(a －b )z 的值.【拓3.3】(第20届“希望杯”全国数学邀请赛初2第2试)已知实数x ，y ，z 满足1x x +＝2y y +＝3z z +＝3x y z++，则x ＋y ＋z ＝ .【拓3.4】已知y z x x y z +-++＝z x y y z x +-+-＝x y zz x y+-+-＝p .求p 3＋p 2＋p 的值.【拓3.5】已知p ＋q ＋r ＝9，且2p x yz -＝2q y zx -＝2r z xy -，求px qy rz x y z++++的值.【拓3.6】已知x ，y ，z 互不相等，x ＋1y ＝y ＋1z ＝z ＋1x＝k ，求 (1)xyz 的值； (2)k 的值.题型3 配项法(拆添) 强化挑战【例4】已知实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝11与1a b +＋1b c +＋1c a +＝1317，求a b c +＋b c a +＋ca b+的值.【练4】(2012年全国初中数学竞赛)如果a ，b ，c 是正数，且满足a ＋b ＋c ＝9,(不完整)【例5】若x y z +＋yz x+＋z x y +＝1，求2x y z +＋2y z x +＋2z x y +的值.【练5】若2x y z +＋2y z x +＋2z x y +＝0，求x y z +＋yz x+＋z x y +的值.巅峰突破【例6】已知a b c -＋b c a -＋ca b -＝0，求证：()2a b c -＋()2b c a -＋()2c a b -＝0.【练6】(2015年联赛初二组)已知()2ab c -＋()2bc a -＋()2ca b -＝0，求证：a b c -＋b c a -＋ca b-＝0【例7】已知a 、b 、c 满足a 2＋b 2＋c 2＝1，a (1b ＋1c )＋b (1a ＋1c)＋c (1a ＋1b )＝－3,那么a ＋b ＋c 的值为多少?【练7】已知非零实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，求证：(a b c -＋b c a -＋c a b -)(c a b -＋a b c -＋bc a-)＝9.题型4 乘法公式与因式分解强化挑战【例8】已知xyz ＝1，x ＋y ＋z ＝2，x 2＋y 2＋z 2＝16，求代数式12xy z +＋12yz x +＋12zx y+的值.【练8】(2012年全国初中数学联赛1试)已知实数a ，b ，c 满足abc ＝－1，a ＋b ＋c ＝4，231a a a --＋231bb b --＋231cc c --＝49，求a 2＋b 2＋c 2的值.【拓8】a ，b ，c 是实数，若2222b c a bc +-，2222c a b ac +-，2222a b c ab+-之和恰等于1，求证：这三个分式的值有两个为1，一个为－1.第6讲七年级尖端班课后作业分式（三）分式恒等变形【习1】实数a 、b 满足ab ＝1，记M ＝11a +＋11b +，N ＝1a a +＋1b b +，则M 与N 的关系是：( ) A .M ＞NB .M ＝NC .M ＜ND .不确定【习2】若1a ＋1b ＝5a b+，则22b a ＋22a b ＝ .【习3】当x 分别取值2013，2012，2011，…，3，2，1，…，12011，12012，12013；计算代数式2211x x -+的值，将所得的结果相加，其和等于( ) A .－1 B .1 C .0 D .2009 【习4】如果a ＋b ＋c ＝1，11a +＋12b +＋13c +＝0，那么(a ＋1)2＋(b ＋2)2＋(c ＋3)2的值为( ) A .36B .16C .49D .0【习5】有这样一组数据a 1，a 2，a 3，…，a n ，满足以下规律，a 1＝12，a 2＝111a -，a 3＝211a -，…，a n＝111n a --(n ≥2且n 为正整数)，则a 2013的值为 .(结果用数字作答)【习6】设有理数a 、b 、c 都不为零，且a ＋b ＋c ＝0，则2221b c a +-＋2221c a b +-＋2221a b c +-的值是( )A .正数B .负数C .零D .不能确定【习7】设1x －1y ＝14，求2322y xy x y x xy +---的值.【习8】已知x y ＝12，求2222x x xy y -+·22x y x y -+＋2y x y -的值.【习9】已知2m ＋n ＝0，求分式222m nm n +-·(m ＋n )的值.【习10】已知2x ＋y ＝0，求22x y x xy -+·(x 2－y 2)÷2244x xy y x-+的值.【习11】(全国数学竞赛)若4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0(xyz ≠0)，求222222522310x y z x y z +---的值.【习12】若x y z z +-＝x y z y -+＝x y z x-++，求()()()x y y z z x xyz +++的值.【习13】若x ＋y ＋z ＝3，则()()()()()()333111111x y z x y z ----+-+-的值是 .【习14】已知x＋y＋z＝3a(a≠0)，那么()()()()()()()()()222x a y a y a z a z a x ax a y a z a--+--+---+-+-的值是.【习15】已知有理数a、b、c满足1a＋1b＋1c＝1a b c++，求证：a＝－b，或b＝－c，或c＝－a.【习16】已知3x y+＝4y z+＝5z x+，则222x y zxy yz zx++++＝.【习17】设a＋b＋c＝0，求222aa bc+＋222bb ac+＋222cc ab+的值.【习18】已知xyz＝－6，x＋y＋z＝2，x2＋y2＋z2＝14，求代数式12xy z+＋12yz x+＋12zx y+的值.【习19】已知abc＝1，a＋b＋c＝2，a2＋b2＋c2＝3，求11ab c+-＋11bc a+-＋11ca b+-的值.【习20】设x，y，z为互不相等的非零实数，且x＋1y＝y＋1z＝z＋1x，求证：x2y2z2＝1。

3分式的通分

1 ， x y
1 （3） 2 2 x y
1 ， 2 x xy
若分母是多项式时，应先将各分母分解因式，再找出最简公分母。
1 （1） 2 3x
通分：
1 1 5 （2 ）， 2 2 ， x x x x 12xy
1 x , （3 ） 2 2 (2 x ) x — 4
课堂小结
1、分式通分运算的关键是什么？
2
最简公分母是：xy(x-y)2(x+y)
尝试练习一: 通分
1 1 c a b (1) 2 , 3 2 ; (2) , , ; 2a b 3a b ab bc ac
通分： y x 3 (1) 3 , 2 , ; 2 x 3 y 4 xy
1 1 3、求分式 4 x 2 x 2 与 x 2 4
做一做
2
1、约分：
x xy ( 2) 2 x
2
x 4 (1) 2 x 4x 4
2x y (3) 2 2 4x y
3
a 6a 9 (4) a 3
2
2、把下面的分数通分： 1
3、什么叫分数的通分？答：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。
2 3
42 x
3
2
2
4 7x
2
24 x 4 6x 7x 6 x 42 x
2
3
y 2x
3
y 21 21 y 2 x 21 42 x
3
3
2、试确定下列各分式的最简公分母：
（分母中虽然有的因式是多项式，但仍然是积的形式。） 1 y x x( x y ) ( x y)(x y) y( x y)

2024年上海市初三中考数学冲刺复习专题3 分式与二次根式核心知识点精讲含答案

专题03分式与二次根式核心知识点精讲1.了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；2.利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．考点1：分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点诠释：分式的概念需注意的问题：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．③当B≠0且A=0时，分式的值为零．考点2：分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算±=同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．考点3：分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．考点4：二次根式的主要性质0(0)a≥≥；2.2(0)a a=≥；(0)||(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩；4.00)a b=≥≥，；5.00)a b=≥>，.>.1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意知道每一步运算的算理；2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.【题型1：分式的有关概念及性质】【题型2：分式的运算】【题型3：分式方程及其应用】【题型4：二次根式的主要性质】因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式．【题型5：二次根式的运算】1．下列各式：3a ，7a b +，2212x y +，5，11x -，8x m 中，分式有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据分式的定义，逐一判断即可解答.本题主要考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．【详解】解：下列各式：3a ，7a b +，2212x y +，5，11x -，8x m 中，分式有：3a，11x -，8x m 故选：C ．2．若分式2321x x x --+的值为正数，则x 的取值范围是（）A ．3x >B ．3x <且1x ≠C ．3x <D ．13x <<【答案】B【分析】根据题意可得3010x x ->⎧⎨-≠⎩，然后解这两个不等式组即可求出结论．【详解】解∶()2233211x x x x x --=-+-，∵分式2321x x x --+的值为正数，∴3010x x ->⎧⎨-≠⎩，解得3x <且1x ≠．故选∶B ．【点睛】此题考查的是根据分式的值的取值范围，求字母的取值范围，掌握两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键．3．若把分式3x y xy+中的x 与y 都扩大3倍，则所得分式的值（）A ．缩小为原来的13B ．缩小为原来的19C ．扩大为原来的3倍D ．不变【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质．根据分式的基本性质即可求出答案．【详解】解：33333133333x y x y xy xyx y x y x y xy ++=⋅⨯⨯+⋅+==，故选：A ．则()2820401000x x +-≤，解得25x ≤，故答案为围棋最多可买25副．。

3分式的通分最简公分母

分式的通分最简公分母一、目标要求1、理解分式通分、最简公分母的概念。

2、掌握通分的方法，并能熟练地进行通分。

3、能正确熟练地找最简公分母。

二、重点难点重点：分式的通分。

难点：确定最简公分母。

分式的通分最简公分母1.分式的通分(1)分式的通分：与分数的通分类似，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分．(2)通分的根据：分式的基本性质．(3)最简公分母：异分母的分式通分时，一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母．要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.析规律确定最简公分母 (1)分母都是单项式时，①取所有分母的系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；②取分母中所有字母因式的最高次幂的积作为最简公分母的字母部分．(2)分母是多项式时，先因式分解，再确定最简公分母． 2.解题方法指导【例1】通分：（1）y x 283-，23125yz x ，zxy 3203-；（2）a 25-，3292b a ，24127b a c-。

分析：先找到每组分式的最简公分母，再根据分式的基本性质通分。

（1）的分母系数的最小公倍数是120，字母x ，y ，z 的最高次幂分别是x 3，y 3，z 2，所以最简公分母是120 x 3y 3z 2；（2）的分母系数的最小公倍数是36，字母a ，b 的最高次幂分别是a 4，b 3，所以最简公分母是36 a 4b 3。

解：（1）∵ 最简公分母是120 x 3y 3z 2，∴ y x 283-＝22222158153zxy y x z xy ∙⨯-＝2332212045z y x z xy -， 23125yz x ＝22321012105y yz x y ∙⨯＝233212050z y x y ， z xy 3203-＝zx z xy z x 23262063∙⨯-＝233212018z y x zx -。

3 分式的加减法

3．通分前是单项式的分子通分后就可能是多项式了，运算时记得添括号。

4．运算结果要约分，有一些运算律仍然适用。

活动目的：小结本节课的主要内容，让学生对所学习知识有一个整体把握，同时帮助梳理知识，再次点明关键点。

活动的注意事项：可以选择让学生自己小结的方式，效果可能更好。

【第三课时】【教学目标】1．会进行分母是多项式的异分母分式的加减法运算及分式与整式的加减法运算；2．提高学生对代数式化简变形的能力；3．能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值；4．会运用分式建立数学模型，从而解决实际问题，增强学生用数学的意思。

【教学重点】1．会进行分母是多项式的异分母分式的加减法运算及分式与整式的加减法运算；2．能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值；【教学难点】1．提高学生对代数式化简变形的能力；2．能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值；3．会运用分式建立数学模型，从而解决实际问题，增强学生用数学的意思。

【教学过程】第一环节复习引入问一问：同分母分式是怎样进行加减运算的？异分母分式呢？练一练：a a14)1(2+； 111)2(+--a a a ； bc c b ab b a +-+)3(. 第二环节学习新知（1）（2）第三环节练习巩固计算：（1）（2）（3）第四环节再探分式加减的应用已知2=y x ，求222y x y y x y y x x --+--的值。

与同伴交流你有几种解法？做一做根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120m 的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10m ，从而缩短了工期假设原计划每天修建盲道xm ，那么：（1）原计划修建这条盲道需要多少天？实际修建这条盲道用了多少天？（2）实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天？第五环节巩固提高活动内容1．先化简，再求值：已知101=a ，求a a a a -+--+11112的值。

已知y x 3=，求y x y x y x xy -+--224的值。

16-3分式的混合运算

详解点一、分式的混合运算分式的混合运算，关键是弄清运算顺序与分数的加减乘除混合运算一样，先要乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。

（1）在运算过程中，灵活运用交换律、结合律、分配律，简化计算。

运算结果应化为最坚实或整式。

（2）对于分式运算，应注意符合问题，同时注意加减乘除及乘方时，应把分子或分母当作一个整体。

详解点二、整数指数幂1、正整数指数幂的运算性质（1）（正整数指数幂的性质）（2）（3）（4）（5）nnna ab b =⎛⎫ ⎪⎝⎭2、零指数幂的性质：01(0)a a =≠，3、负指数幂的性质：1p p a a -=（a ≠0，n 为正整数）即任何不等于零的数的-n （n 为正数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数。

4、引入负整数指数幂后，正整数指数幂的运算法则对负整数指数幂一样适用。

详解点三、科学计数法（1）绝对值大于1的数，用科学计数法表示成a ×n10的形式，其中1≤|a|<10，n 为正整数。

（2）绝对值小于1的数，用科学计数法表示成a ×-n10的形式，其中1≤|a|<10，n 为正整数。

确定n 的方法：（1）用科学计数法表示绝对值大于1的数，那么n=该数的整数位数-1。

例如5位数20300记为 2.3×410（2）用科学计数法表示绝对值小于1的数，那么n=原数第一个非零数字前面所有零的个数。

例如0.0000203记为2.03×-510例题1、计算x x-4÷44-1--2-2x 122））（（++x x x x x 分析在分式混合运算中，加减应先通分；乘除运算，除法应转化为乘法，有括号事，应先算括号内的。

解：（1）原式=x-4x· ]2)-(x 1--)2-(x 2x [2x x + =4)-(x -x· ])2-()1-(-)2-(2)-)(x 2(x [22x x x x x x + =4)-(x -x·)2-(-4-222x x x x x + =44x -x 1-2+特别提醒：（1）在分式的四则运算中，要注意运算顺序并且要根据式子的特点，选择灵活简便的计算方法，使运算过程简化。

3 分式

专题三分式一、考点扫描1．分式：整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称AB 为分式．注：（1）若B ≠0，则A B 有意义；（2）若B=0，则A B 无意义；（2）若A=0且B ≠0，则AB =02．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 3．约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分．4．通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分． 5．分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算．6．分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘． 7．通分注意事项：（1）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；（2）易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉． 8．分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． 9．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值．二、考点训练一、选择题1.下列算式中，正确的是（）A ．2323a a a -=- B ．221a a a a÷⋅= C ．()2362a ba b =D ．()236aa --=2.化简分式2bab b +的结果为（）Ａ．1a b + Ｂ．11a b+Ｃ．21a b + Ｄ．1ab b+ 3.计算211111a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭的结果为（） A ．1a a +-B ．1a a- C ．1a a- D ．11a a+- 4.下列各式计算正确的是（）A ．623x x x=B ．21221x x -=--C ．2933m m m-=+- D ．11111x x x x +=++ 二、填空题5. 222a a b b b a⎛⎫-÷= ⎪⎝⎭ ．6.方程5311x x x +=--的解是． 7.计算x yx y x y-=-- ． 8.当99a =时，分式211a a --的值是．9.计算：211x x x x -=- ． 10.已知114a b +=，则3227a ab ba b ab-+=+- ． 11.化简：22444a a a -=++ ． 12.计算x yx y x y---的结果是． 13.化简：111x x -=+ ． 14.已知x 是一元二次方程2310x x +-=的实数根，那么代数式2352362x x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭的值为．15.已知7x y +=且12xy =，则当x y <时，11x y-的值等于．三、计算题16.先化简，然后请你选择一个合适的x 的值代入求值：2443x x xx x--÷+． 17.化简求值：2111x x x x⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中2x =． 18. 先化简：2224224422a a aa a a a ⎛⎫-+-÷⎪-+--⎝⎭，再对a 取一个你喜欢的数代入求值． 19.先化简，再求值：22564133x x x x x ++-+-+-，其中3x =． 20.请将式子211111x x x -⎛⎫⨯+ ⎪-+⎝⎭化简后，再从0，1，2三个数中选择一个你喜欢且使原式有意义的x 的值代入求值．21.先化简再求值：21111b bb b b ⎛⎫+++÷⎪--⎝⎭，其中3b =． 22. 先化简代数式22212224x x x x x +⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭，请你取一个x 的值，求出此时代数式的值． 23.先化简，再求值：269(3)26x x x x -++- ，其中5x =． 24.先化简，再求值：2121111a a a a -⎛⎫-÷⎪+-+⎝⎭，其中31a =+． 25.化简：24142x x ---． 26.计算：221111a a a a a a -÷----． 27.已知2007x =，2008y =，求222225454x xy y x y x yx xy x y x+++-÷+--的值． 28.先化简，再求值：2224124422a a a a a a⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭，其中，a 是方程2310x x ++=的根． 29.化简：24214a a a+⎛⎫+⎪-⎝⎭·． 30.先化简，再求值：321121x x x x x -⎛⎫- ⎪-+⎝⎭·，其中21x =-．31.化简：212111a a a a a -+⎛⎫+- ⎪-⎝⎭．32.先比简，再求值：311111x x x x⎛⎫-÷ ⎪+-+⎝⎭，其中5x =． 33.先化简，再求值：2222a b ab b a aa ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭，其中32a b ==，．34.先化简，再求值：223111111a a a a a ⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭ ，其中32a =-． 35.当3a =，2b =时，求2()()()2a b a b a b b+-+-的值．36.先化简，再求值：21122244a a a a a ⎛⎫+÷⎪-+-+⎝⎭，其中4a =-． 37.当13x =-时，求23111xx x x x x ⎛⎫-÷⎪-+-⎝⎭的值． 38.计算：2b a b a b++-． 39.化简：1)2)(1(31-+---x x x x ，并指出x 的取值范围． 40. 计算：22111a a ---．一、选择题 1. C 2. A 3. Ａ 4. B二、填空题5. 222a b（或222a b -）6. 1x =-7. 18. 1009.21x10. 1 11.22a a -+ 12. 1 13.1(1)x x +14. 13 15. 112三、计算题 16.解：原式(4)3(4)x x xx x -=+-- 2分23x x =-+1分代入求值． 2分 17.解：原式111(1)1(1)1x x x x x x x x x ---=÷=-=---- ．当2x =时，原式2=-．18. 解：原式212(2)2a a a a a a -==-++ ． 4分取1a =，则原式11123==+． 6分 19.解：原式(2)(3)313(2)(2)x x x x x x ++-=-++-2分3222x x x x --=--- 3分 12x =--．4分当3x =时，原式132=-- 5分23=+． 6分 20.解：原式(1)(1)1111x x x x +-⎛⎫=⨯+ ⎪-+⎝⎭1分11(1)1x x x ++⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭2分 11x =++3分 2x =+4分方法一：当0x =时， 5分原式2=．6分方法二：当2x =时， 5分原式4=．6分（注：化简正确，即1x =带入计算全题评4分；不化简直接求值结果正确全题评2分）21. 解：原式22111111b b bb b b-+-=⨯-+=+5分B =3时，原式416分 22. 原式21(2)(2)(2)22x x x x x x ⎡⎤+-+=-⨯⎢⎥--⎣⎦ 3分2(2)(2)(2)2x x x x x x +--+=⨯-5分2x x+=（取x 的值时，注意02x x ≠≠，） 7分23.原式2(3)(3)2(3)x x x -=+-2分211(3)(3)(9)22x x x =-+=-． 4分当5x =时，原式21(5)922⎡⎤=-=-⎣⎦．5分说明：化简得到21922x -同样得分．24. 解：原式212111a a a a --+=÷-+ 1(1)(1)(1)a a a =++-·11a =- 3分当31a =+时原式1311=+-13=4分33=． 5分 25.原式42(2)(2)(2)(2)x x x x x +=--+-+2分42(2)(2)x x x --=-+3分(2)(2)(2)x x x --=-+4分12x =-+． 5分 26.解：原式221111a a a a a a -=---- 2分 (1)(1)11(1)1a a a a a a a -+=---- 4分1111a a a +=--- 5分 1a a =-． 6分27.解：222225454x xy y x y x yx xy x y x +++-÷+-- 22()54(54)x y x y x yx x y x y x+--=⨯+-+ 3分2x y x yx x+-=+ 4分2x x x+=1x =+．6分∴当2007x =，2008y =时，222225454x xy y x y x yx xy x y x+++-÷+--的值为2008． 7分 28. 解：原式2(2)(2)1(2)(2)22a a a a a a ⎡⎤+--=+⨯⎢⎥--⎣⎦ 3分21(2)222a a a a a +-⎛⎫=+⨯⎪--⎝⎭4分(3)2a a +=21(3)2a a =+5分a 是方程2310x x ++=的根， 2310a a ∴++= 6分 231a a ∴+=- 8分∴原式12=-9分29. 解：原式224424a a a a-++=- 2分22(2)(2)a a a a a+=+-4分2aa =- 7分30. 解：3221(1)(1)11121(1)x x x x x x x x x x x x-+--⎛⎫-==+ ⎪-+-⎝⎭··．当21x =-时，原式2112=-+=．31. 解：原式2(1)(1)1a a a -=+--2分（一处计算正确给1分）(1)(1)a a =+--3分2= 4分32. 解：原式(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x --+=++-· 3分11(1)(1)(1)x x x x x x ---=++-··21xx -=- 4分当5x =时，原式255512-⨯==--5分33. 解：原式22()()2a b a b a ab b a a +--+=÷2()()()a b a b a a a b +-=- a b a b+=-． 6分当3a =，2b =时，原式32532a b a b ++===--． 8分 34. 解：223111111a a a a a ⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪⎪+--⎝⎭⎝⎭· 2221141111a a a a a +-=÷+--· 2分2221111141a a a a a +-=+--·· 21(1)(1)11(12)(12)1a a a a a a a +-+=+-+-·· 4分121a =-． 6分当32a =-时，原式1113214212a ===--⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭． 8分35. 解：原式()[()()]()[]()2222a b a b a b a b a b a b a b bb b b++--++-++===a b =+．6分当3a =，2b =时，原式32=+． 8分 36.解：原式2222(2)(2)(2)a a a a a a ++-=÷+-- 2分22(2)(2)(2)2a a a a a-=+-4分22a a -=+． 6分当4a =-时，原式42342--==-+．8分评分说明：若直接代入数字算出正确结果得7分．37. 解：原式3(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x+--+-=⨯-+4分2233(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x+-++-=⨯+- 24x =+6分当13x =-时，原式1243⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭8分103=9分38. 解：原式222b a b a b +-=-4分2a a b=- 5分 39.11+x ，x 的取值范围是x ≠－2且x ≠1的实数．新世纪教育网精品资料版权所有@新世纪教育网新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。

3分式的加减法》一等奖创新教学设计

3分式的加减法》一等奖创新教学设计《分式的加减法》教学设计教学背景1、课程背景本节课阐述同分母的分式加减法的运算法则及分母互为相反式的分式加减法运算。

它是第二节课异分母分式的通分、加减法的运算法则及简单的应用和第三节课则提升到分母有公因式的分式加减法、分式与整式的加减运算、分式的求值及应用的基础。

这节课的学习让学生感觉分式加减法并不难，树立起学好本章的信心，它对于第三章分式的学习有着至关重要的作用。

2、学情分析学生特点：本班学生基础很一般，多数属于动觉型思维类型，视觉型思维类型，因此本节课采用微课短视频，小游戏，音视频资源丰富课堂教学，给学生以视觉和听觉上的冲击。

同时还将学生学生进行特殊搭配分组，以产生竞争，调动学生的积极性和主观能动性，还可以带动学习能力较差的学生。

在课前准备过程中，先以学案的形式给予引导，将更有助于学生了解课堂学习的方向和重难点。

课后再配相关练习，这些相关练习也是分层练习，做到各个层次的学生都能找到适合自己的题，适度的挑战，提高自己的成就感，从而提高学习数学的兴趣。

练习也可以对本节课的知识点进行巩固与加深理解。

知识储备：学生在小学时已经学习过同分母分数的加减，异分母分数的加减运算法则，在初一学习了整式的加减，在上一章学习了因式分解，本章又学习了分式及其乘除，都为这一节课的学习做好了铺垫。

由分数加减运算类比分式的加减是这节内容的要害。

二、教学目标1、类比同分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则。

2、理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算。

3、通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想重点难点；重点：分式加减法法则，同分母和分母互为反式的分式的加减运算难点：分母互为反式的分式的加减运算三、教学方法1、深圳教育云的应用：将学生实际与深圳教育云、互联教学助手中丰富的课例资源相结合、提炼，设计适合本节课学生的课堂教学。

分式章节知识点总结

分式章节知识点总结一、分式的定义分式是指两个整数或者多项式，中间用横线隔开的表达形式，例如a/b（a、b为整数，b不等于0），a称为分子，b称为分母。

二、分式的类型1. 简单分式：分子、分母都是整数的分式。

例如3/4、5/6等。

2. 复合分式：分子或分母中包含有代数式的分式。

例如2/(x+1)、(x-1)/(x+2)等。

3. 多项式分式：分子或分母中包含有多项式的分式。

例如(x^2+3)/(x-4)、2x/(x^2+1)等。

三、分式的性质1. 分式的值：分式的值是指分子除以分母的结果，也可以看作带有未知数的一种式子。

2. 分式的约分：分式可以进行约分，即将分子和分母同时除以一个数，得到一个新的分式，值不变。

3. 分式的通分：分式可以进行通分，即寻找一个公共分母，使得分式的分母相同，然后进行运算。

四、分式的运算1. 分式的加减法：分式的加减法是将分式化成相同分母的形式，然后分别对分子进行加减运算，最后将结果化简。

2. 分式的乘法：分式的乘法是将分子分别相乘，分母分别相乘，然后化简得到最简分式。

3. 分式的除法：分式的除法是将除数的分子、分母对调位置，再乘上被除数的倒数，然后化简得到最简分式。

五、分式的应用1. 分式在方程中的应用：分式通常出现在方程的解中，需要对分式进行加减和乘除等运算，找到未知数的值。

2. 分式在不等式中的应用：分式在不等式的求解中应用广泛，通过对分式进行化简和变形，找到不等式的解集。

3. 分式在函数中的应用：分式常常用来表示函数的定义域、值域和零点等性质，在函数的运算和变形中起着重要作用。

分式作为代数中重要的一部分，需要掌握其定义、类型、性质和运算方法，灵活运用于方程、不等式和函数等各种问题的求解中。

同时，分式的深入研究还可以延伸到多项式、变量和函数的理论及实际应用中，是代数学习中的重要内容之一。

【一轮复习】2023年中考数真题分点透练-3 分式及其运算

第三讲分式及其运算【命题点1 分式的有关概念及性质】类型一分式有意义及值为0的条件1．（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．（2022•南通）分式有意义，则x应满足的条件是．3．（2022•广西）当x＝时，分式的值为零．类型二分式的基本性质4．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．（2021•莱芜）若x，y（x，y均为正）的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A．B．C．D．6．（2021•钦州）如果把的x与y（x，y均为正）都扩大10倍，那么这个代数式的值（）A．不变B．扩大50倍C．扩大10倍D．缩小到原来的【命题点2 分式化简求值】类型一分式的简单运算7．（2022•天津）计算+的结果是（）A．1B．C．a+2D．8．（2022•眉山）化简+a﹣2的结果是（）A．1B．C．D．9．（2022•包头）计算：+＝．10．（2022•苏州）化简﹣的结果是．11．（2022•武汉）计算﹣的结果是．类型二分式化简12．（2022•衢州）化简：+．13．（2022•北碚区自主招生）计算：．14．（2022•南通）计算：；15．（2022•兰州）计算：（1+）÷．16．（2022•大连）计算：÷﹣．17．（2022•十堰）计算：÷（a+）．18．（2022•常德）化简：（a﹣1+）÷．19．（2022•陕西）化简：（+1）÷．20．（2022•甘肃）化简：÷﹣．21．（2022•泸州）化简：（+1）÷．22．（2022•宁夏）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．（﹣）÷＝（﹣）•…第一步＝…第二步＝…第三步＝﹣…第四步任务一：填空①以上化简步骤中，第步是通分，通分的依据是．②第步开始出现错误，错误的原因是．任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．类型三分式化简求值23.（2022•内蒙古）先化简，再求值：（﹣x﹣1）÷，其中x＝3．24．（2022•阜新）先化简，再求值：÷（1﹣），其中a＝4．25．（2022•黄石）先化简，再求值：（1+）÷，从﹣3，﹣1，2中选择合适的a的值代入求值．26．（2022•丹东）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝sin45°．27．（2022•张家界）先化简（1﹣），再从1，2，3中选一个适当的数代入求值．28．（2022•深圳）化简求值：（﹣1）÷，其中x＝4．29．（2022•永州）先化简，再求值：÷（﹣）其中x＝+1．30．（2022•温江区校级自主招生）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣3．答案与解析【命题点1 分式的有关概念及性质】类型一分式有意义及值为0的条件1．（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．2．（2022•南通）分式有意义，则x应满足的条件是．【答案】x≠2【解答】解：∵分母不等于0，分式有意义，∴x﹣2≠0，解得：x≠2，故答案为：x≠2．3．（2022•广西）当x＝时，分式的值为零．【答案】0【解答】解：由题意得：2x＝0且x+2≠0，∴x＝0且x≠﹣2，∴当x＝0时，分式的值为零，故答案为：0．类型二分式的基本性质4．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：∵a≠b，∴，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C错误；，故选项D正确；故选：D．5．（2021•莱芜）若x，y（x，y均为正）的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍，A、，错误；B、，错误；C、，错误；D、，正确；故选：D．6．（2021•钦州）如果把的x与y（x，y均为正）都扩大10倍，那么这个代数式的值（）A．不变B．扩大50倍C．扩大10倍D．缩小到原来的【答案】A【解答】解：分别用10x和10y去代换原分式中的x和y，得＝＝，可见新分式与原分式的值相等；故选：A．【命题点2 分式化简求值】类型一分式的简单运算7．（2022•天津）计算+的结果是（）A．1B．C．a+2D．【答案】A【解答】解：原式＝＝＝1．故选：A．8．（2022•眉山）化简+a﹣2的结果是（）A．1B．C．D．【答案】B【解答】解：＝＝．故选：B．9．（2022•包头）计算：+＝．【答案】a﹣b【解答】解：原式＝＝＝a﹣b，故答案为：a﹣b．10．（2022•苏州）化简﹣的结果是．【答案】x【解答】解：原式＝＝＝x．故答案为：x．11．（2022•武汉）计算﹣的结果是．【答案】【解答】解：原式＝﹣＝＝＝．故答案为：．类型二分式化简12．（2022•衢州）化简：+．【解答】解（1）a2﹣1＝（a﹣1）（a+1）；（2）．13．（2022•北碚区自主招生）计算：．【解答】解：＝•＝•＝．14．（2022•南通）计算：；【解答】解：（1）原式＝＝＝＝1；15．（2022•兰州）计算：（1+）÷．【解答】解：原式＝＝＝．16．（2022•大连）计算：÷﹣．【解答】解：÷﹣＝•﹣＝﹣＝．17．（2022•十堰）计算：÷（a+）．【解答】解：÷（a+）＝÷（+）＝÷＝•＝．18．（2022•常德）化简：（a﹣1+）÷．【解答】解：（a﹣1+）÷＝[+]•＝•＝．19．（2022•陕西）化简：（+1）÷．【解答】解：（+1）÷＝•＝＝a+1．20．（2022•甘肃）化简：÷﹣．【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝＝1．21．（2022•泸州）化简：（+1）÷．【解答】解：原式＝＝＝＝．22．（2022•宁夏）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．（﹣）÷＝（﹣）•…第一步＝…第二步＝…第三步＝﹣…第四步任务一：填空①以上化简步骤中，第步是通分，通分的依据是．②第步开始出现错误，错误的原因是．任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．【解答】解：任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质．②第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．故答案为：①一，分式的性质．②二，去括号没有变号．任务二：（﹣）÷＝（﹣）•＝•＝•＝．类型三分式化简求值23.（2022•内蒙古）先化简，再求值：（﹣x﹣1）÷，其中x＝3．【解答】解：原式＝•＝﹣•＝﹣，当x＝3时，原式＝﹣＝﹣5．24．（2022•阜新）先化简，再求值：÷（1﹣），其中a＝4．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当a＝4时，原式＝＝．25．（2022•黄石）先化简，再求值：（1+）÷，从﹣3，﹣1，2中选择合适的a的值代入求值．【解答】解：原式＝÷＝•＝，由分式有意义的条件可知：a不能取﹣1，﹣3，故a＝2，原式＝＝．26．（2022•丹东）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝sin45°．【解答】解：原式＝﹣＝﹣＝，当x＝sin45°＝时，原式＝．27．（2022•张家界）先化简（1﹣），再从1，2，3中选一个适当的数代入求值．【解答】解：原式＝＝•+＝+＝；因为a＝1，2时分式无意义，所以a＝3，当a＝3时，原式＝．28．（2022•深圳）化简求值：（﹣1）÷，其中x＝4．【解答】解：（﹣1）÷＝＝＝，当x＝4时，原式＝＝．29．（2022•永州）先化简，再求值：÷（﹣）其中x＝+1．【解答】解：原式＝÷＝•＝x﹣1，当x＝+1时，原式＝+1﹣1＝．30．（2022•温江区校级自主招生）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣3．【解答】解：原式＝＝，当a＝﹣3时，原式＝．。

人教版初中八年级数学上册第15章章末检测试卷含答案解析及单元知识点总结和思维导图

分式测试题（总分：100分时间：90分钟）一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分。

每小题只有1个选项符合题意） 1．下列式子是分式的是( ) A.a －b 2 B.5＋y π C.x ＋3x D ．1＋x2．下列等式成立的是( )A ．(－3)－2＝－9B ．(－3)－2＝19C ．(a －12)2＝a 14D ．(－a －1b －3)－2＝－a 2b 63．当x ＝1时，下列分式中值为0的是( ) A.1x －1 B.2x －2x －2 C.x －3x ＋1 D.|x|－1x －14．分式①a ＋2a 2＋3，②a －b a 2－b 2，③4a 12（a －b ），④1x －2中，最简分式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．下列各式正确的是( )A ．－－3x 5y ＝3x －5yB ．－a ＋b c ＝－a ＋bcC.－a －b c ＝a －b c D ．－a b －a ＝a a －b6．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 21＋2a ÷1＋a 1＋2a 的结果为( ) A ．1＋a B.11＋2a C.11＋aD ．1－a7．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.000 000 000 34 m ，这个数用科学记数法表示正确的是( ) A ．3.4×10－9B ．0.34×10－9C ．3.4×10－10D ．3.4×10－118．方程2x ＋1x －1＝3的解是 ( )A ．－45 B.45 C ．－4 D ．49．若xy ＝x －y ≠0，则1y －1x ＝( )A.1xyB ．y －xC ．1D ．－1 10．甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600 kg ，甲搬运5 000 kg 所用时间与乙搬运8 000 kg 所用时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少千克货物．设甲每小时搬运x kg 货物，则可列方程为( )A.5 000x －600＝8 000xB.5 000x ＝8 000x ＋600C.5 000x ＋600＝8 000xD.5 000x ＝8 000x －600 二、填空题（本题包括10小题，每空2分，共20分） 11．（2分）计算：3m 2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫p 3n －2÷mn p 2＝________．12．（2分）若|a|－2＝(a －3)0，则a ＝________．13．（2分）把分式a ＋13b 34a －b 的分子、分母中各项系数化为整数的结果为________．14．（2分）禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000 000 102 m ，该直径用科学记数法表示为________m.15．（2分）若分式|y|－55－y的值为0，则y ＝________．16．（2分）如果实数x 满足x 2＋2x －3＝0，那么式子⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋1＋2÷1x ＋1的值为________．17．（2分）若分式方程2＋1－kx x －2＝12－x有增根，则k ＝________． 18．（2分）一列数：13，26，311，418，527，638，…，它们按一定的规律排列，则第n 个数(n为正整数)为________．19．（2分）小成每周末要到离家5 km 的体育馆打球，他骑自行车前往体育馆比乘汽车多用 10 min ，乘汽车的速度是骑自行车速度的2倍．设骑自行车的速度为x km/h ，根据题意列方程为____________________．20．（2分）数学家们在研究15 ，12，10这三个数的倒数时发现：112－115＝110－112.因此就将具有这样性质的三个数称为调和数，如6，3，2也是一组调和数．现有一组调和数：x ，5，3(x ＞5)，则x ＝________．三、解答题（本题包括6小题，共50分）21．（5分）(1)计算：(－3)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫15－1＋(－2)0； (2)计算：1x －4－2x x 2－16；(3)化简：x2x －2－x －2；(4)化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －b －2b a －b ·ab a －2b ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b .22．（5分）(1)先化简，再求值：x －3x 2－1·x 2＋2x ＋1x －3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1，其中x ＝－65.(2)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －3－x ＋1x 2－1·(x －3)，从不大于4的正整数中，选择一个合适的x的值代入求值．23．（10分）解分式方程：(1)x －2x ＋3－3x －3＝1； (2)2x ＋2x －x ＋2x －2＝x 2－2x 2－2x .24．（10分）化简求值：a 2－6ab ＋9b 2a 2－2ab ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫5b 2a －2b －a －2b －1a ，其中a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，a －b ＝2.25．（10分）观察下列等式：第1个等式：a 1＝11×3＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13；第2个等式：a 2＝13×5＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15；第3个等式：a 3＝15×7＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17；第4个等式：a 4＝17×9＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19；….请回答下面的问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a 5＝__________＝______________；(2)用含n 的式子表示第n 个等式：a n ＝__________＝______________(n 为正整数)； (3)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100的值．26．（10分）佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1 200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1 452元所购买的质量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果． (1)求第一次购买的水果的进价是每千克多少元．(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？分式测试题参考答案一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分。