代入单球面折射成像公式
医用物理学答案第09
f1 =
1 ×5.55 =16.65 mm 4 −1 3
4 f1 = 3 ×5.55 = 22.2 mm 4 −1 3
视网膜上月球的像的大小为 15tan1°=0.26mm 9-5 将折射率为 1.50,直径为 10cm 的玻璃棒的两端磨成凸的半球面, 左端
的半径为 5cm 而右端的半径为 10cm.两顶点间的棒长为 60cm,在左端顶点左方 20cm 处有一物(在光轴上).（1）作为右端面的物是什么？（2）右端面的物距为 多少？（3）此物是实的还是虚的？（4）最后所成的像在何处？ 解:（1）根据题意可知左端面的像作为右端面的物 （2）已知n 1 =1, n 2 =1.5, u=20cm, r 1 =5cm, d=60cm代入单球面成像公式得
对于凹透镜u 2 =10cm−20cm=−10cm， f 2 =−40cm，代入薄透镜成像公式得
1 1 1 + = − 10 v 2 − 40 v 2 = 13.3cm
9-12 把一物放在会聚透镜前方适当距离处时,像落在离透镜 20cm 处的屏
幕上.现将一发散透镜放在会聚透镜与屏幕中间,我们发现,为了得到清晰的像必 须把屏幕向离开透镜的方向移远 20cm.这发散透镜的焦距是多少？ 解 : 一 物经 会 聚 透 镜 所成 的 像 作 为 发散 透 镜 的 物 , 此物 距 u 2 = −10cm ， v 2 =30cm代入薄透镜成像公式得
第九章 9-1
几何光学习题解答
一只坛子装了 100.0cm 深的甘油， 观察者观察坛底好像提高了 32.5cm，
求甘油的折射率. 解：由题意知n 2 =1，u=100cm，v=-67.5cm，r = ∞，代入单球面成像公式得
n1 1− n1 1 + = ∞ 100 − 67.5
单球面折射成像公式及其应用_张家乐
ｖ ＝８．０ｃｍ 所 成的像点的位置在Ａ 点正上方８．０ｃｍ 处，即
Ｂ 点正上方１６．０ｃｍ 处．
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２０１６年第３期 物理通报 竞赛与物理专题研修
（２）当容器内装满折射 率 为 １．３０ 的 液 体 时，根
据单球面折射成像公式得
ｎ１ ｕ
１ 公式推导 如图１，设其中折射球面的球心为 Ｃ，球面 两 侧
θ（ＰＢ 为近轴光线，θ很小），它以入射角ｉ１ 射到 球 面 上的Ｂ 点，以折射角ｉ２ 折射进入另一介质，并与主光 轴交于 Ｐ′ 点．此时我们可将 Ｐ 和Ｐ′ 分别称之为物
櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆
脱太阳的束缚，脱离 太 阳 系 运 动 到 太 阳 系 之 外 的 宇 矛盾．
宙空间．
真 理 的 探 求 是 一 个 过 程 ，要 坚 持 真 理 ，但 要 看 清
量变引 起 质 变，发 射 速 度 的 改 变 引 起 人 造 天 体 真理成立的条件，任 何 客 观 真 理 都 是 绝 对 性 和 相 对
小 角 度 ，式 （１１）、（１４）、（１５）可 写 为
ｎ１θ ＝ｎ２φ
（１６）
θＣＤ ＝αＢＣ
（１７）
φＣＤ ＝βＣＥ 由 式 （１６）、（１７）可 得
（１８）
（ ） α＋θ＝φ
１＋ＣＤ ＢＣ
ｎ２ ｎ１
＝１．０７φ ＞φ
所 考 虑 的 光 线 是 发 散 的 ，故 所 成 的 像 为 虚 像 ．由
后所成的像点的位置在 Ｃ 点 正 下 方 ２６．２５ｃｍ 处 或
在 Ｂ 点正下方２０．０ｃｍ 处．
２．１．２ 利用单球折射成像公式解答 （１）当容器内未 装 任 何 液 体 时，根 据 单 球 面 折
1单球面折射公式
f 0.12 1.2
即配戴焦度为7.5D的凸透镜。
32
3、散光眼
散光眼的角膜表面不是球 面，其角膜的各个方向子 午线的半径不相等，点物 发出的光线经角膜折射后 不能形成一清晰的点像， 既散光眼为非对称折射系 统。右图表示散光眼的角 膜及其成像。
散光眼的眼球纵向子午线半径最短，横向子午线的半径最长， 其它方向子午线半径介于二者之间。使得远处的平行光线经 角膜折射后，不能在一点成像。常把一点物看成一条很短的 线条，这就使他看物体时感到模糊不清。
n-n2 1 + 1 = (n -1)( 1 - 1 )
r2 u v
r1 r3 2
二、薄透镜组合
两个或两个以上薄透镜组成的共轴系统， 称为薄透镜组合，简称透镜组。
4
透镜组的成像公式：
二、薄透镜组合
1+1= 1 + 1 u v f1 f2
当υ=∞时，对应的u值即为透镜组的等效焦
距f，则
1= 1+ 1
复习
1、单球面折射公式
n1 + n2 = n2 - n1
2、光焦度 u u
r
f = n2 - n1
r
3、焦距
f1
=
n1 n2 - n1
r
f2
=
n2 n2 - n1
r
1
4、单球面折射成像的高斯公式 ：
f1 + f2 = 1
uu
5、 共轴球面系统：逐次成像法
2
6、 薄透镜公式
n1+ n2= n - n1 u v r1
于远视眼的近点较正视眼远些，因此，远视眼在看 眼前较近的物体时，所选择的凸透镜必须将此 物体的虚象成在远视眼的近视点处。
单球面反射和折射
5. 特例
（1）球面反射
n n'
1 1 2 p p' r
平行光线入射，p ，代入物像公式 1 1 2 得 pf'' 2r 2r，f ' 此时对应的像点叫焦点（fpocusp）' r 焦点到顶点的距离— 焦距（focal length）
物像公式为
11 1 p p' f '
（Gauss公式）
1.5 1.0
(8) (1)
1.2
,即成正立、放大的实像。
总的横向放大率
1
2
3
0.5 (
1) 1.2 3
为20cm和15cm，薄透镜折射率为1.5，在凸面 镀银。在球面前方40处的主轴上置一高为1cm 的物，求像的位置和成像的性质。
[解]（1）P经凹球面折射成像：
p1=-40cm，n=1.0，n’=1.5，r1=-20cm，代入
n' n n'n p1' p1 r1
1
np1 ' n' p1
1 2
,
1.5 1.0 0.5 p1' 40 20
三、傍轴球面折射的物象关系式
nn'n (u(' u in)) unn('(n'('niu'))') n
p
u
i o
n' h i' c u '
p'
u h p'
r
p
p'
u h p
h
n n nn
p' p r
物像关系式
r
定义 光焦度
Φ n'n r
球面镜成像公式
球面镜成像公式
球面镜成像公式是用于计算光线通过球面镜后所形成的像的位
置和大小的公式。
在球面镜成像中，物体与球面镜的距离、物体的大小、球面镜的曲率半径和折射率等因素都会对成像产生影响。
对于一个物体在球面镜前方的情况，其像的位置和大小可以用如下公式计算：
1. 对于凸球面镜：
1/f = (n-1) * (1/R1 - 1/R2)
其中，f代表焦距，n代表介质的折射率，R1和R2分别是球面镜两侧的曲率半径。
像距p可以使用以下公式计算：
1/p + 1/q = 1/f
其中，q代表像距。
像的大小可以使用以下公式计算：
h2/h1 = -q/p
其中，h1和h2分别代表物体和像的大小。
2. 对于凹球面镜：
1/f = (n-1) * (-1/R1 - 1/R2)
像距p和像的大小h2/h1的公式与凸球面镜相同。
球面镜成像公式在光学实验和光学仪器设计中有着广泛的应用，对于理解光学原理和优化光学系统具有重要意义。
- 1 -。
医用物理学 几何光学习题解答
第十一章 几何光学一、内容概要【基本内容】1. 单球面折射公式r n n p n p n 1221'-=+ （1）近轴条件（2）符号规定：凡是实物、实像的距离，p 、'p 均取正值；凡是虚物、虚像的距离, p 、'p 均取负值；若是入射光线对着凸球面，则r 取正值，反之，若是入射光线对着凹球面，则r 取负值．2. 单球面折射焦距 r n n n f 1211-=r n n n f 1222-= 3．折射面的焦度 rn n Φ12-=或2211f n f n Φ== 4. 单球面折射成像的高斯公式（近轴）1'21=+p f p f 5．共轴系统成像规则 采用逐次成像法，先求出物体通过第一折射面后所成的像I 1，以I 1作为第二折射面的物，求出通过第二折射面后所成的像I 2，再以I 2作为第三折射面的物，求出通过第三折射面所成的像I 3，依次类推，直到求出最后一个折射面所成的像为止．6. 薄透镜成像（1）成像公式 )11('112100r r n n n p p --=+ （2）焦距公式 12100)]11([---=r r n n n f （3）空气中 121)]11)(1[(---=r r n f （4）高斯公式 fp p 1'11=+7. 薄透镜组合 21111f f f += 或 21ΦΦΦ+= 8. 厚透镜成像 采用三对基点作图9. 透镜的像差远轴光线通过球面折射时不能与近轴光线成像于同一位置，而产生像差，这种像差称为球面像差．物点发出的不同波长的光经透镜折射后不能成像于一点的现象，称为色像差．10. 简约眼 生理学上常常把眼睛进一步简化为一个单球面折射系统，称为简约眼.11. 能分辨的最小视角视力1= 最小视角以分为单位．例如医学视力表，最小视角分别为10分，2分，1分时，其视力分别是0.1，0.5，1.0．标准对数视力表，规定 θlg 5-=L ，式中视角θ以分为单位．例如视角θ分别为10分，2分，1分时，视力L 分别为4.0，4.7，5.0．12．近视眼和远视眼 当眼睛不调节时，平行入射的光线，经折射后会聚于视网膜的前面，而在视网膜上成模糊的像，这种眼称为近视眼，而成像在视网膜后，这样的眼称为远视眼．11. 放大镜的角放大率 fy f y a 2525//==12. 显微镜的放大率 （1）理论放大率 2'2'2525f y y y f y M ⋅=⋅= 其中y y /'为物镜的线放大率（m ），2/25f 为目镜的角放大率（a ） （2）实际放大率 21212525f f s f f s M =⋅= 式中s 为显微镜与目镜之间的距离；f 1为物镜的焦距；f 2为目镜的焦距。
单球面折射成像
一、符号规则（2）
• 角度： 一律以锐角来ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量，规定顺时针为正，
反之为负。 1. 起始轴和转动方向：
U、U ’ —— 由光轴起转到光线； I（入射角）、I ’ （折射角） —— 由光线起 转到法线；
符号规则的应用：
符号规则的意义：
• 可使某种情况下推出的公式普遍使用于各种情况。
符号规则会直接影响公式的形式，而应用一定 形式的公式时就必须遵守一定的符号规则。否则， 由于符号弄错了，即使公式和运算都正确，而其 所得的结果仍然是错误的。
屈光力和焦距的关系
n ' n • F= r
n′r f ′=
n′－ n
nr f =－
n′－ n
Fn'nn' n r f' f
Fn'nn' n r f' f
• f’>0时，像方焦点位于球面顶点右边， 为 实焦点，反之，f’<0时，为虚焦点。
• 焦距或屈光力的正负决定了折射面对光 束的会聚或发散特性
• F>0时，会聚；F<0时，发散，故凹透镜 度数为负，凸透镜度数为正
单球面成像的不完善性
当U很小时，U’ ，I与I’ 也相应很小， 则这些角度的正弦值可近似地用弧度值 来代替，并改用小写字母 u，u’ ，i，i’ 来表示。此时，其他各量均用相应小写 字母来表示。
当u角很小，光线很靠近光轴，这样的光线 称为近轴光线（或称傍轴光线）。近轴 光线所在的区域，称为近轴区（或称傍 轴区）(Paraxial region)。
符号规则的应用意义及注意点：
• 光路图中所有几何量一律以绝对值标注，负号则 表示该几何量的方位。
• 应用一定形式的公式可进行各种光路的正确计算。 • 推导公式时，也要使用符号规则，以便使导出的
单球面反射和折射成像规律的分析
２ 单球 面 成 像 的基 本 理 论 ：
依 据几 何光 学的基 本原理 ， 近轴近 似下 ， 球 在 单 面反 射和 折射成 像 都可 归 结 为单 球 面 折射 成 像 ， 反 射可作 为折 射 ｎ ＝ ｎ的特 殊 情形 ， 面 只讨 论 单 球 ＝ ＝ 下 面折射 成像 的规 律 。从 费马原理 或光 的折 射定律 出 发 ， 近轴 近似下 ， 用 新 笛卡 尔 坐标 ， 以推 知 单 在 采 可
依 据 Ｉ ＝ Ｉ ／Ｉ 可得 Ｉ ＞ １ 为放 大 Ｇ Ｉ Ｉ， ｆ Ｘ Ｉ ， ｐ
的像 。
像 距 像 的虚 实
０＜ ｓ ｆ ＜ 虚 像
ｓ Ｏ ＞ 实像 正立
进行 了分 析 ， 对其 规律进 行 了归纳 和总结 。
３ 单 球 面 成像 的性 质 分 析
物体经 光学 系统 成像后 的性质 主要包括像 的虚 实、 正立和 倒立 、 放大 和缩小 。实像 是 由实 际光线汇 聚 而成 的 ， 虚像 是 由实 际光 线 的 反 向延长 线 汇 聚而 成 的 。对 于单球 面反 射 ， 由于 入射 光 线和 反 射光 线 都 在镜 面 的 同一 侧 ， 而 当像 和 入射 光线 在 镜 面的 因
旦 一
Ｓ ｒ
（） １
Ｓ
其中 ， ｎ和 ｎ分别 为 折 射前 后 两种 介 质 的 折 射
率 ， 和 ｓ分别 为物 距和像 距 ， 为球 面 的曲率半 径 。 ｓ ｒ 依据 焦距 的定义 可得 像方焦 距和 物方 焦距分 别
为：
ｆ： １ ｒ ， ＿
ｎ — ｎ
ｆ 一 ＝
义， 当放大 率为正 时 ， 像和 物 的方 向相 同 ， 正立 的 为 像， 当放大率 为负 时 ， 像为倒 立的像 。对于像 的放大 和缩小 ， 当放 大率 的 绝 对值 大 于 １时 ， 放 大 的像 ， 为 当放大率 的绝对值 小 于 １ ， 时 为缩小 的像 。下 面 ， 分 四种 情形对 单球 面成像 的性质 进行分 析 。
工程光学习题一答案
第一章 习题答案4. 一厚度为200mm 的平行平板玻璃（设n=1.5），下面放一直径为1mm 的金属薄片。
若在玻璃板上盖一圆形的纸片，使得在玻璃板上方任何方向上都看不到该金属薄片，问纸片的最小直径应为多少？解：如图所示，设纸片的最小直径为L ，考虑边缘光线满足全反射条件时6667.090sin sin 0212==n n I74536.06667.01cos 22=-=IL=(2x+1)mm=358.77mm16. 一束平行细光束入射到一半径mm r 30=、折射率n=1.5的玻璃球上，求经玻璃球折射后会聚点的位置。
如果在凸面（第一面）镀反射膜，其会聚点应爱何处？如果在凹面（第二面）镀反射膜，则反射光束在玻璃中的会聚点又在何处？反射光束经前表面折射后，会聚点又在何处？说明各个会聚点的虚实。
解：（1）此时的成像过程如图（4）所示，平行细光束入射到玻璃球上，经左侧球面折射后形成中间像'1A ，它又是右侧球面的物2A ，经右侧球面再次成像于'2A 。
将-∞=1l ，11=n ，5.1'1=n ，mm r 301=代入单个折射球面成像公式r n n l n ln -=-'''得 mm mm n n r n l 905.0305.11'1'1'1=⨯=-=由于1l 和'1l 异号，01'1'111<=l n l n β，故无限远物与像'1A 虚实相同，即'1A 为实像。
但由于右侧球面的存在，实际光线不可能到达此处，故对于右侧球面2A 为虚物。
将mm r n n mm mm r l l 30,1,5.1,30)6090(22'22'12-====-=-=再次代入单个折射球面成像公式得151305.1305.01'2=+--=l 所以mm l 15'2=，此时02'21'222>=l n l n β，物2A 与像'2A 虚实相反，即'2A 为实像。
医用物理学第 章 课后习题解答
第十一章 几何光学通过复习后，应该:1.掌握单球面折射成像、共轴球面系统、薄透镜成像、薄透镜的组合、放大镜和显微镜;2.理解共轴球面系统的三对基点、眼的分辨本领和视力、近视眼、远视眼、散光眼的矫正;3.了解透镜像差、眼的结构和性质、色盲、检眼镜、光导纤维内窥镜。
11-1 一球形透明体置于空气中，能将无穷远处的近轴光线束会聚于第二个折射面的顶点上，求此透明体的折射率。
习题11-1附图（原11-2附图）解: 无穷远处的光线入射球形透明体，相当于物距u 为∞，经第一折射面折射，会聚于第二折射面的顶点，则v=2r（r 为球的半径），已知n 1 =1.0，设n 2 =n（即透明体的折射率），代入单球面折射成像公式，得rn r n 1.0-20.1=+∞ 解得n =2.0，即球形透明体的折射率。
11-2 在3m 深的水池底部有一小石块，人在上方垂直向下观察，此石块被观察者看到的深度是多少?（水的折射率n =1.33）习题11-2附图（原11-3附图）解: 这时水池面为一平面的折射面，相当于r 为∞，已知u =3m，n 1 =1.33，n 2 =1.0，观察者看到的是石块所成的像，设其像距为v ，应用单球面折射成像公式，得∞=+ 1.33-.010.1m 333.1v 解得v =-2.25m，这表明石块在水平面下2.25m 处成一虚像，即观察者看到的“深度”。
11-3 圆柱形玻璃棒（n =1.5）放于空气中，其一端是半径为2.0cm 的凸球面，在棒的轴线上离棒端8.0cm 处放一点物，求其成像位置。
如将此棒放在某液体中（n =1.6），点物离棒端仍为8.0cm，问像又在何处?是实像还是虚像?习题11-3附图 （a）【原11-5附图（a）】解: ①如本题附图（a）所示，已知n 1 =1.0，n 2 =1.5，u =8.0cm，r =2.0cm，代入单球面折射成像公式，得cm0.2 1.0-.515.1cm 0.80.1=+v得v =12cm，在玻璃棒中离顶点12cm 处成一实像。
球面折射成像公式
球面折射成像公式描述了当光线通过球面界面时形成的折射成像情况。
公式如下：
1/f = (n - 1)(1/R1 - 1/R2)，其中f是球面镜的焦距，n是介质的折射率，R1和R2是球面镜的半径。
这个公式基于薄透镜假设，并假设光线在球面附近以近似平行线的形式传播。
公式的推导基于斯涅尔定律（也称为折射定律），根据光线在界面上的折射行为进行推导得出。
通过球面折射成像公式，可以计算出在球面界面上的物体和像的位置关系，以及物体和像的大小关系。
但需要注意，此公式只适用于薄球面透镜的情况，且在一些特殊情况下，如超过球面的临界角度或光线非近似平行的情况下，该公式的适用性可能有限，需要考虑其他因素。
初中物理竞赛教程 光学中的成像问题
物理竞赛教程浅谈光学中的成像问题光在同一种均匀介质中传播时遵循光的直线传播规律,若从一种介质进入另一种介质,在其介面上要同时发生反射与折射现象,其光线分别遵循光的反射定律与光的折射定律,这就是几何光学的三大传播规律.在高中物理竞赛辅导的过程中,经常会遇到有关物体成像问题.光学中的成像问题可归结为两类：一类是反射成像,也就是反射光直接相交成像（实像）,或反射光延长线相交成像（虚像 ）；另一类是折射成像,也就是折射光直接相交成像（实像）,或折射光延长线相交成像（虚像 ）. 现将光学竞赛中涉及的成像问题作一归类分析.一、 反射镜与反射成像反射镜遵循光的反射定律,如果反射面是平的我们就称是平面镜,如果反射面是球面的一部分,这种镜叫球面镜.反射面如果是凹面的叫凹面镜,简称凹镜；反射面是凸面的叫凸面镜,简称凸镜.它们有共同的成像规律： 成像公式：f v u 111=+=R2（R 为球面镜的曲率半径） 像的长度放大率：uv f u f AB B A m =-==11 这些公式只适用于近轴光线成像.u 、v 的符号法则与透镜类似,即实物u 为正值,虚物u 为负值；实像v 为正值,虚像v 为负值；凹镜的焦距f>0,凸镜的焦距f<0.而对于平面镜可看作是球面镜的一个特例,即曲率半径R=∞.这样,我们可得到平面镜成像的简单公式：1,=-=m u v二、 折射镜与折射成像棱镜与透镜的成像规律遵循光的折射定律,属于折射镜.这里只谈薄透镜成像的规律.薄透镜是一种理想化的物理模型,它们两表面的曲率中心之间的距离大于它两个顶点之间的距离.对近轴光线,其成像规律与球面镜相似. 成像公式：fv u 111=+ 其中透镜的焦距)11)(1(121r r n f +-= (1r 、2r 是二球面的半径,n 是透镜的折射率) 像的长度放大率：uv f u f AB B A m =-==11 u 、v 的符号法则：实物u 为正值,虚物u 为负值；实像v 为正值,虚像v 为负值；凸透镜的焦距f>0,凹透镜的焦距f<0.三、 光具组成像各个光学元件组成的光光系统称为光具组.解物体通过光具组成像这类问题的总原则是：物体通过前一光学元件所成的像就是后一光学元件的物,遇到平面镜、球面镜等反射镜,就考虑光线折回后再成像这一点.具体地说,可有以下几个结论：1、后一次成像的物距（有正负）等于前后两光具的距离（总为正）与前一次成像的像距（有正负）之差,即n n n v d u -=+12、最终成像位置由最后一个光具所成像的位置决定.0>n v 表示最终成像在最后光具沿主轴的正向侧,0<n v 表示最终成像在最后光具的反向侧.3、最终成像的虚实,由最后一次成像决定,0>n v 为实像,0<n v 为虚像.4、总放大系数等于各次放大系数的乘积,即 321m m m m =5、最后成像正倒的确定：先根据单次成像时,实物成实像与虚物成虚像为倒立,实物成虚像与虚物成实像为正立的原则确定正、倒立的总次数,再根据倒立了偶数次则最终成像正立、倒立了奇数次则最终成像倒立确定最终成像的正倒情况.如果各光学元件之间的距离0=d ,那么整个光具组的总焦距f 与各个光学元件的焦距f 1、f 2、f 3之间存在如下的关系： +++=3211111f f f f .我们就可应用整个光具组成像法解决成像问题.四、 应用举例例1：一平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射,经透镜折射会聚于透镜后f=48cm 处,透镜的折射率为n=1.5.若将此透镜的凸面镀银,物置于平面前12cm 处,求最后所成像的位置. 分析与求解：根据透镜的焦距公式)11)(1(121r r n f +-=, 而r 1=∞,21)1(1r n f -= 解得凸球面的半径r 2=24cm. 凸面镀银后,相当于有三个光学元件组合成像,即先通过透镜折射成像,再经球面镜反射成像,最后再经透镜折射成像. 先经透镜成像111111v u f +=,得cm v 161-= 再经凹面镜成像cm u 162=,22222111r f v u ==+ 得cm v 482=最后又经透镜成像cm u 483-= ,331111v u f +=,cm v 243=. 即最后成像在透镜前24cm 处.此题还有另外一种解法.由于三个光学元件之间的间距为0,设整个光学系统的总焦距为f,则有3211111f f f f ++=,得光具的总焦距为f=8cm.再由成像公式f v u 111=+,811121=+v ,得cm v 24= 例2：在焦距为15cm 的会聚透镜左方30cm 处放一物体,在透镜右侧放一垂直于主轴的平面镜,试求平面镜在什么位置,才能使物体通过此系统所成的像距离透镜30cm?分析与求解：设平面镜与透镜的距离为d,物距cm u 301=,焦距cm f 151=111111v u f +=, 得cm v 301=. 由平面镜成像时cm d u )30(2-=,cm d v )30(2-=最后又经透镜成像,cm d v d u )302(23-=-=331111v u f += 解得452)302(153--=d d v 若成实像cm v 303=, 此时d=30cm若成虚像cm v 303-=, 此时d=20cm例3：设有两个薄凸透镜o 1和o 2,其焦距分别为f 1=20cm,f 2=30cm,两者共轴,相距d=35cm,在主光轴上透镜o 1左方100cm 处垂直于主轴放一长为4cm 的物体,求最终成像的位置、大小和虚实情况.分析与求解：物体先经透镜o 1成像,物距cm u 1001=,焦距cm f 201= 由111111v u f +=, 得cm v 251=.放大率25.0211==u v m再经透镜O 2成像,cm cm d u 10)25(2=-=,焦距cm f 302= 由222111v u f +=,得cm v 152-=.放大率5.1222==u v m 最终成像的总放大率375.021==m m m ,像长为1.5cm 倒立的虚像,像在透镜O 2左方15cm 处.例4、一平凸透镜焦距为f,其平面上镀了银,现在其凸面一侧距它2f 处,垂直于主轴放置一高为Ｈ的物,其下端在透镜的主轴上.1、用作图法画出物经镀银透镜所成的像,并标明该像是虚、是实.2、用计算法求出此像的位置和大小.分析与求解：1. 用作图法求得物AP ,的像''A P 及所用各条光线的光路如图预解16-5所示.说明：平凸薄透镜平面上镀银后构成一个由会聚透镜L 和与它密接的平面镜M 的组合LM ,如图所示．图中O 为L 的光心,'AOF 为主轴,F 和'F 为L 的两个焦点,AP 为物,作图时利用了下列三条特征光线：（1）由P 射向O 的入射光线,它通过O 后方向不变,沿原方向射向平面镜M ,然后被M 反射,反射光线与主轴的夹角等于入射角,均为α.反射线射入透镜时通过光心O ,故由透镜射出时方向与上述反射线相同,即图中的'OP ．（2）由P 发出已通过L 左方焦点F 的入射光线PFR ,它经过L 折射后的出射线与主轴平行,垂直射向平面镜M ,然后被M 反射,反射光线平行于L 的主轴,并向左射入L ,经L 折射后的出射线通过焦点F ,即为图中的RFP ．（3）由P 发出的平行于主轴的入射光线PQ ,它经过L 折射后的出射线将射向L 的焦点'F ,即沿图中的'QF 方向射向平面镜,然后被M 反射,反射线指向与'F 对称的F 点,即沿QF 方向.此反射线经L 折射后的出射线可用下法画出：通过O 作平行于QF 的辅助线'S OS ,'S OS 通过光心,其方向保持不变,与焦面相交于T 点,由于入射平行光线经透镜后相交于焦面上的同一点,故QF 经L 折射后的出射线也通过T 点,图中的QT 即为QF 经L 折射后的出射光线.上列三条出射光线的交点'P 即为LM 组合所成的P 点的像,对应的'A 即A 的像点．由图可判明,像''A P 是倒立实像,只要采取此三条光线中任意两条即可得''A P ,即为正确的解答.2.计算物AP 经LM 组合所成像的位置、大小.解法一：按光具组整个系统成像计算像的位置和大小.由于三个光学元件之间的间距为0,设整个光学系统的总焦距为总f .这三个光学元件分别是两个透镜和一个平面镜. 根据3211111f f f f ++=总,其中f f f ==31,=2f ∞ 解得光具组的总焦距2f f =总 再由成像公式总f v u 111=+,得 f v 32= 总的放大率31==u v m ,像高为物高的13. 解法二：按陆续成像计算物AP 经LM 组合所成像的位置、大小.物AP 经透镜L 成的像为第一像,取12u f =,由成像公式可得像距12v f =,即像在平向镜后距离2f 处,像的大小'H 与原物相同,'H H =.第一像作为物经反射镜M 成的像为第二像.第一像在反射镜M 后2f 处,对M 来说是虚物,成实像于M 前2f 处.像的大小H ''也与原物相同,H H H '''==.第二像作为物,而经透镜L 而成的像为第三像,这时因为光线由L 右方入射,且物（第二像）位于L 左方,故为虚物,取物32u f =-,由透镜公式33111u v f+=可得像距 333203fu v f u f ==>- 上述结果表明,第三像,即本题所求的像的位置在透镜左方距离23f 处,像的大小H '''可由3313v H H u '''==''求得,即 1133H H H '''''==,像高为物高的13. 例5、两个薄透镜L 1和L 2共轴放置,如图所示.已知L 1的焦距f 1＝f,L 2的焦距f 2＝－f,两透镜间距离也是f.小物体位于物面P 上,物距u 1＝3f.（1）小物体经这两个透镜所成的像在L 2的＿＿＿＿边,到L 2的距离为＿＿＿＿,是＿＿＿＿像（虚或实）、＿＿＿＿像（正或倒）,放大率为＿＿＿＿.（2）现在把两透镜位置调换,若还要给定的原物体在原像处成像,两透镜作为整体应沿光轴向＿＿＿＿边移动距离＿＿＿＿.这个新的像是＿＿＿＿像（虚或实）、＿＿＿＿像（正或倒）,放大率为＿＿＿＿.分析与求解：（1）由题意知：f u 31=,f 1=f11111v u f += 得f v 5.11= 而ff f v d u 5.05.112-=-=-=22111v u f +=-,得f v =2 放大率15.035.121=⨯==ff f f m m m 所以像成在L 2的右边,到L 2的距离为f,像的放大率为1,是倒立的实像.（2）根据光路可逆原理及共轭成像的规律,物距1u 应为f,最终的像距为3f.整个光具组应向左移动2f,成倒立等大的实像.一道光学竞赛试题的解法探析2004年第21届全国中学生物理竞赛预赛题试卷第6题,此题涉及有关单球面折射成像问题.而原试卷评分标准中的分析与解答显得非常繁琐,计算任务艰巨,学生在应试时很难解答完整.笔者参加了这次预赛试题的评卷工作,发现很多学生对该题没有解答,有的同学只是乱画了一些光路图,没有形成正确的解题的思维程序.本文就从不同的角度谈谈该题的一些解法.原题（2004年第21届全国中学生物理竞赛预赛题试卷第6题）一种高脚酒杯,如图1所示．杯内底面为一凸起的球面,球心在顶点O 下方玻璃中的C 点,球面的半径R = 1.50cm,O 到杯口平面的距离为8.0cm ．在杯脚底中心处P 点紧贴一张画片,P 点距O 点6.3cm ．这种酒杯未斟酒时,若在杯口处向杯底方向观看,看不出画片上的景物,但如果斟了酒,再在杯口处向杯底方向观看,将看到画片上的景物．已知玻璃的折射率56.11=n ,酒的折射率34.12=n ．试通过分析计算与论证解释这一现象．一、利用单球面折射成像公式直接求解.光在单球面上从一种介质折射进入另一种介质时,其成像公式可表示为： r n n L n L n -=-```.式中L 和`L 分别为物距和像距,n 和`n 分别是物方和像方的介质的折射率,r 为球面的半径,其中L 、`L 和r 都含有符号.如图2所示,并且我们这样来规定它的符号法则：①以球面顶点（O ）为参考点②都以实际光线进行方向做为参考方向,如果该距离与实际光线方向一致,那么该距离为“+”,反之为“负”.在图2中,C 为球面的球心,根据符号法则以球面顶点O 为参考原点,因为S 点在球面的左方,故实际光线方向应该是由左到右为距离的正方向.物距L 为OS 与实际光线参考方向相反,取负号；像距`L 为OS `与实际光线参考方向相同,取正号；而球面半径r 为OC 方向与实际光线参考方向相反,取负号.1．未斟酒时的成像规律杯底凸球面的两侧介质分别为玻璃和空气,其折射率分别为：56.1=n 1`=n 物距cm L 3.6-= cm r 50.1-=.由单球面成像公式r n n L n Ln -=-```得： 50.156.113.656.11`--=--L 解得cm L 9.7`=,像距为“正”的7.9说明像在符号法则的正方向.如图3所示,由此可见,未斟酒时,画片上景物所成实像在杯口距O 点7.9cm 处．已知 O 到杯口平面的距离为8.0cm,当人眼在杯口处向杯底方向观看时,该实像离人 眼太近,所以看不出画片上的景物．2．斟酒后的成像规律杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒,其折射率分别为：56.1=n 34.1`=n 物距cm L 3.6-= cm r 50.1-= 由单球面成像公式r n n L n L n -=-```得： 50.156.134.13.656.134.1`--=--L解得cm L 13`-=像距为“负”的13cm 说明像在符号法则的负方向.如图4所示.由此可见,斟酒后画片上景物成虚像于S ＇处,距O 点13cm ．即距杯口21cm.虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离,但仍然离杯口处足够远,所以人眼在杯口处向杯底方向观看时,可以看到画片上景物的虚像．二、利用近轴光线成像规律求解1．未斟酒时的成像规律杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n 1和n 0＝1．在图5中,P 为画片中心,由P 发出经过球心C 的光线PO 经过顶点不变方向进入空气中；由P 发出的与PO 成角的另一光线PA 在A 处折射．设A 处入射角为i ,折射角为r ,半径CA 与PO 的夹角为,由折射定律和几何关系可得： rn i n sin sin 01=αθ+=i在△PAC 中,由正弦定理,有iPC R sin sin =α 考虑近轴光线成像,、i 、r 都是小角度,则有i n n r 01= i PCR =α 由以上各式中的n 0、n 1、R 的数值及cm CO PO PC 8.4=-=,可得i 31.1=θ i r 56.1=因此有θ>r由上式及图5可知,折射线将与PO 延长线相交于P ',P '即为P 点的实像．画面将成实像于P '处．在△CA P ＇中,由正弦定理有 r P C R sin sin '=β 又有βθ+=r 考虑到是近轴光线,可得：R r r P C θ-=' 又有R P C P O -'='由以上各式并代入数据,可得cm P O 9.7='由此可见,未斟酒时,画片上景物所成实像在杯口距O 点7.9cm 处．已知O 到杯口平面的距离为8.0cm,当人眼在杯口处向杯底方向观看时,该实像离人眼太近,所以看不出画片上的景物．2．斟酒后的成像规律杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒,折射率分别为n 1和n 2,如图6所示.考虑到近轴光线有：i n n r 21= 代入n 1和n 2的值,可得i r 16.1=由此我们知道 θ<r由上式及图6可知,折射线将与OP 延长线相交于P ',P '即为P 点的虚像．画面将成虚像于P '处．计算可得：R rr P C -='θ 又有R P C P O +'='由以上各式并代入数据得 P O '＝13cm由此可见,斟酒后画片上景物成虚像于P＇处,距O点13cm．即距杯口21cm．虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离,但仍然离杯口处足够远,所以人眼在杯口处向杯底方向观看时,可以看到画片上景物的虚像．。
1.5 光在单球面上的反射和折射
B y A
n
i
n
A
o
i
C
s
B
y
s
y i . s
在上图的折射系统中, 由几何关系,得
AB 是 AB 的像.
y i , s
近轴条件下，在入射点 O 处，由折射定律:
ni ni
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将
y y i , i s s
(1) 物和像的虚实
< 0 物像互为倒立实物实像或虚物虚像,
> 0物像互为正立, 实物虚像或虚物实像.
(2) 像的放大和缩小
> 1，像放大； <1，像缩小；
= 1，物象等大.
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（2）角放大率
B
u
A
h
C
u s
A' B'
s
和
在上图折射系统中, A和A是一对共轭物像点,
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2、近轴光线条件下，球面折射的物象公式
在近轴光线条件下， 很小，在一级近似下， cos1，
• P
n u
s
i
A
i
C
n
n
O
u
P'
•
r
B
因此
s
l [r (r s )]2 s
l ' [r ( s ' r )]2 s '
u 是一对共轭角. 我们定义角放大率为 u , u
u
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由上图可得
u s , u s
医用物理学-几何光学习题解答
2)利用通过节点的光线平行射出，定出H2和N2
3）利用平行光线出射后通过焦点，定出F2
11-14 一近视眼患者的远点在眼前2m处，今欲使其能看物，问至少应配戴什么样的眼睛？
11-4 显微镜的放大倍数越大，是否其分辨本领越高？
答：不是，因为分辨本领的大小只决定于物镜，与目镜无关。
11-5 电子显微镜与普通光学显微镜的主要区别？
答：电子显微镜用波长很短的电子射线代替可见光制作成的普通显微镜。
11-6 一直径为20cm，折射率为1.53的球有两个气泡，看上去一个恰好在球心，另一个从最近的方向看去，好象在球面表面和中心的中间，求两气泡的实际位置？
4.激光扫描共聚焦显微镜是在荧光显微镜成像的基础上加装了激光扫描装置。使用紫外光或激光激发荧光探针，可以得到细胞或组织部微细结构的荧光图像，从而可以观察细胞的形态变化或生理功能的改变，能产生真正具有三维清晰度的图像，同时可在亚细胞水平上观察诸如Ca2+、pH值和膜电位等生理信号及细胞形态的实时动态变化。激光扫描共聚焦显微镜成为形态学、分子细胞生物学、神经科学、药理学和遗传学等领域中新的有力研究工具，在基因芯片，克隆技术中都有较好的应用．
根据透镜成像： 得 （2）
解得 cm，说明物体通过凸透镜成像在凹透镜后20cm处，由此可得
=5cm+20cm=25cm，代入（1）式，有
解得：p1=37.5cm
11-13 如图11-2所示，已知物、像和厚透镜的第一主焦点F1的位置，厚透镜的两侧为同一媒质。适用做图的方法找出厚透镜的第二主焦点F2，一对主点H1，H2和一对节点N1，N2。
光学讲义几何光学基本公式
14. 在水深 S = 1.0m 的水池有一长度 l = 10cm 的物体。物体经一透镜成像于水面 上 方 H = 80cm 处 的 屏 幕 上 。 已 知 透 镜 焦 距 F = 10cm ， 透 镜 材 料 折 射 率 n = 1.50 ，水的折射率 nw = 1.33 。 求：透镜到水面的距离 h ，以及像的长度 l′ 。
焦距： f = r 2
凹面镜： r > 0 凸面镜： r < 0
横向放大倍数 M ≡ y′ = − v
yu
单球面透镜透镜透镜
n1 + n2 = − n1 − n2
uv
R
M = − n1 ⋅ v n2 u
凸面迎光 R>0
凹面迎光 R<0
薄透镜
1+1= 1 uv f M =−v
u
焦距公式：
1 f
=
(n
−1)
⎛ ⎜
⎝
1 R1
−
1 R2
⎞ ⎟ ⎠
如像与物都在折射率为 n1 的介质中，则
1 f
=
(n′
−
1)
⎛ ⎜
⎝
1 R1
−
1 R2
⎞ ⎟
，
n′
=
⎠
n n1
理想几何光学成像系统 物方任一点发出的所有经过成像系统的光线都汇聚于像方一点。成像系 统的成像特性可用主面 (H) 和焦点 (F) 描述。
7. 已知屏到物的距离为 l = 90cm 时物成像与屏上。保持屏到物的距离不变，透 镜移动距离 d = 30cm ，物再次成像与屏上。 求：薄透镜的焦距 f 。
符号法则单个折射球面成像
于一定的介质及一定形状的表面来说是一个不变量，它 表征球面的光学特征，称之为该面的光焦度，以表示：
n'n
(16)
r
当r以米为单位时， 的单位称为折光度，以字母D表 示。例如，n´=1.5，n=1.0，r=100mm的球面，= 5D.
单折射球面两焦距和光焦度之间的关系为
n'Байду номын сангаас n
f f
(17)
方光轴上无限远处，这时可认为由物体发出的 光束是平等于光轴的平等光束，即L=－∞，U=0， 如下图所示。此时，不能用（1）式计算入射角I， 而入射角应按下式计算
sin I h
(5)
r
h为光线的入射高度。
10
三.近轴光的光路计算公式
如果限制U角在一个很小的范围内，即从A点发出的 光线都离光轴很近，这样的光线称为近轴光。由于U 角很小，其相应的I、I´、U´等也很小，这时这些角 的正弦值可以用弧度来代替，用小写字母u,i,i´, u´来 表示。近轴光的光路计算公式可直接由（1）式～ （4）式得到
l l
2
1
该式表明，球面反射镜的轴向放大率永 为负值，当物体沿光轴移动时，像总以 相反的方向沿轴移动。当物体经偶数次 反射时，轴向放大率为正。
五.球面反射情况下的拉亥不变量 J uy uy
30
例题:一个点状物体放在离凹球面镜前0.05m处，凹球面镜的曲 率半径为0.20m，试确定象的位置和性质．
斯像。高斯像的位置由l´决定，通过高斯像点垂直于
光轴的像面，称为高斯像面。构成物像关系的这一
对点，称为共轭点。
显然，对于近轴点，如下关系成立：
h lu lu
(8)
12
§1.4 单个折射球面近轴区成像
7-2 单个折射球面的光路计算
l
－
r
l－r
×
u (h)
÷
r
i
×
n
÷
n’
i’
×r
÷ u’ (h’)
+
r
l’
u
+
i
－
i’
u’
光路1
光路2
光路3
i=(l-r)/r*u i’＝n/n’*i l’＝r+r*i’/u’ u’=i+u-i’
例题－§7.2 单个球面的折射
1、一根被空气包围的玻璃棒，折射率为1.5163，其左端磨 制成一个半径为20mm的左凸的半球，如在距离半球顶点 左侧60mm处放置一个点光源，试计算该点光源发出的同 心光束中，U＝－10、 －20和－30的三条光路。
U’=I+U-I’
例题
1、光路计算公式－折射球面近轴区光路计算
当光线限制在光轴附近时，取 sina ≈a，cosa ≈1
可得折射球面近轴区的光路计算公式
sinI=(L-r)/r×sinU sinI’＝n/n’×sinI U’=I+U-I’ L’＝r+r×sinI’/sinU’
i=(l-r)/r×u i’＝n/n’×i u’=i+u-i’ l’＝r+r×i’/u’
A 60mm
作业－§7.2 单个球面的折射
1、7－4 （将“求U＝－20的光路”更改为“求U＝－ 20的光路及近轴区光路”）
三、列表法－单个折射球面的光路计算
n
n’
r
光路1
L
－
r
L－r
× sinU (h)
÷
r
sinI
×
n
÷
n’
关于球面折射物象公式的两种推导
关于球面折射物象公式的两种推导作者：汤慧娟来源：《时代教育·下半月》2013年第10期摘要：本文分别用三角函数、几何方法两种方式推导出近轴光线条件下球面折射的物象公式，并对各种推导方法进行比较。
关键词：球面折射物象公式近轴光线中图分类号：G712 文献标识码：C DOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2013.10.0331 引言球面折射成像知识在几何光学成像理论中占有举足轻重的地位。
课本上任意多个球面成像即理想光具组问题的求解常常是利用单球面折射成像公式，然后在使用逐次成像法来解答。
任何的涉及到基础光学的书籍中都有球面折射物象公式的推导。
对于球面折射的球面物象公式，大多数书籍都是由费马原理出发逐步推导出来的，有的则是将折射定律与几何知识相结合导出其公式的。
下文将从三角函数和几何方法出发推导出近轴光线条件下球面折射的物象公式。
2 从三角函数出发推导球面折射物象公式下图1中，n、n'分别表示两种不同媒质的折射率，r表示分界面曲率半径，o表示入射光线与主光轴之间产生的夹角，与分界面交于A点，A点距主光轴距离为h，分析物距-s，象距s'的关系[1]。
由折射定律nsinα=n'sinβ （1）（3）式为非近轴条件下单球面折射成像的精确公式在近轴条件下△≈0 h≈0（3）式化为[[n（s-r）s]=[n'（s'-r）s']]化简得近轴条件下折射物象公式[[n's']-[ns]=[n'-nr]]3 从几何方法出发推导球面折射物象公式几何光学中描述光线只需两个量，即光线和光轴的夹角及光线在某些关键点离开光轴的高度[1]。
图2中，设光线射到球形折射面的方向为-θ，到达球面折射面时高度为h。
可记为（-θ，h），此光线折射后偏折角为α-β。
在近轴条件下，s]，近似的折射定为nα≈n'β，所以光线偏折角写为光线（-θ，h）在均匀介质中行进l后（沿光轴方向计量），高度增加l（-θ）.即h➝h+l（-θ）（5）（8）（9）为近轴几何基础，光线（θ，0）从P出发，到达折射面时为高这光线继续行进s'后，高度变为零，即4 结论本文在运用三角函数推导球面折射物象公式[2]时，是先推导非近轴条件下的物象公式，然后按照近轴近似得出近轴条件下物象公式。
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n2 n1 n n1 n2 n
s' s r1
r2
n n1 n2 n
r1
r2
焦
距
f ' n'r n'n
f nr n'n
f ' f r 2
f ' n2 f n1
单球面折射 高斯公式 f ' f 1
s' s
单球面反射 11 1 s' s f '
5. 共轴球面系统的组合
f ' f1' f2 f1' f2 d
p f1' d f1' f2 d
Hale Waihona Puke p' f2d f1' f2 d
空气中薄透镜的组合
d ( f1' f2 ')
f ' f1' f2 ' f1' f2 ' f
f1' f2 'd
1.0 n n 1.0 . 14.6 20 r
解得：r＝－76.84毫米
2.物与像相距为1米，如果物高4倍于像高，求凹面镜 的曲率半径，并作出光路图．
解: 题中给出是凹面镜，r 0，又知物高４倍于像
高，即||=1/4，所以应有两种情况．
（１） 当=＋1/4
ns s 1
Q
nds 0 注意对极值的正确理解。
p
由此得出的光的可逆性原理，及透镜成 像的等光程性。
2. 单球面折射、反射及薄透镜的成像公式
单球面折射 单球面反射
薄透镜
物象关系 n' n n'n s' s r
光 焦 度 n'n r
1 1 2 s' s r 2n
p f1' d f 1 d
p' f2d f 2' d
几何光学的作图法求像
M
P
F
M F P
P F
H
H
K ´ K´ F´
P´
习题选讲
1. 在报纸上放一个平凸透镜，眼睛通过透镜看报纸， 当平面在上时，报纸的虚像在平面下13.３毫米处， 当凸面在上时，报纸的虚像在凸面下14.6毫米处．若 透镜的中央厚度为20毫米，求透镜的折射率和凸球面 的曲率半径．
ns1 n' s
1.0 (30) 1.5 (40)
1 2
第二次反射成像，以Ｏ2为原点，向右为正．物距 为－30cm，像距S2，曲率半径r２=－15cm，代入 球面反射成像公式，得
11 2 .
s2 30 15
s2 10cm,
第二次成像的横向放大率为
2
s2 s1
40cm
奇妙的光现象
法线
Ｃ
Ｆ 实像
虚物
（2） =－1/4 ，则
ns ns
s，s
1 4
即 s＝4s．这说明物像位于凹面镜的同侧．由于物
像之间距离为1000毫米，故可得出像距|s|=333.3毫
米． 若以s=333.3毫米，s=1333.3毫米代入，则得r0，
不合题意．
若用s=-333.3毫米， s=-1333.3毫米代入，可 求得凹面镜的曲率半径为r=-533.3毫米．此种情 况是实物成实像。
ns s 4
即 s＝－4s．这说明物像分居于凹面镜的两侧．由
于物像之间距离为1000毫米，故可得出像距|s|=200
毫米．凹面镜成像公式为
1 12 s s r
若以s=200毫米，s=-800毫米代入，则得r0，
不合题意．
若用s=-200毫米， s=800毫米代入，可求得凹 面镜的曲率半径为r=-533.3毫米．此种情况是虚 物成实像 。 这种情况的光路图如下图所示
(n 1)( 1 1 )
r1 r2
f ' f 1
1
(n)(
1 r1
1 r2
)
横向放大率
s'
s
x' f
f' x
4. 共轴球面系统的基点和基平面
主点： 节点：
1
1
主平面
焦点与焦平面 几种简单系统的基点的位置：
1 单球面折射系统 2 单球面反射系统 3 薄透镜
第三章 几何光学
习题课
主讲人 杜泉 / 谌晓洪
第
1. 几何光学基本定律与费马原理
三
2. 单球面折射、反射的成像公式
章
主
3.薄透镜的物象公式及横向放大率
要
4. 共轴球面系统的基点和基平面
内
容
5. 共轴球面系统的组合
1. 几何光学基本定律与费马原理
光的独立传播定律，反射定律，折射定律，
直线传播定律，费马原理等。
40cm
O1 O2
第一次折射成像，以O1为原点，向右为正，物距 为S＝－40cm，物方折射率为１.0，像方折射率为 １.5，r1=－20cm，代入单球面折射成像公式，得
1.5 1.0 1.5 1.0 . S1 40 20
解得第一次成像的像距为：S1＝－30cm
横向放大率为
1
解：人眼看到的是字透过透镜 成的像．第一种情况，字在球 面的顶点，此次成像物、像重 合．字再经过平面折射成像， 物距为－20毫米，像距为-13.3 毫米，由成像公式，得
报纸
解得：
1.0 n 0 13.3 20
n 1.5
第二种情况，字仅通过单球面折射成像，物距为 －20毫米，像距为－14.6毫米，成像公式为
第二种情况的光路图如下
法线
实物
Ｃ
Ｆ
实象
两种情况所得到的凹面镜的曲率半径相同
3.一个新月形状的薄凸透镜，由折射率 n=1.5的玻 璃制成．半径为15厘米的后表面镀铝，半径为20厘 米的前表面正前方40厘米处的光轴上，有一高1厘 米的实物．试求最后像的位置、大小和虚实．
解：薄透镜厚度不计， 如图所示，O1 O2距离 可视为零．物经系统 P 三次成像．
10 30
1 3
第 距三为次－折10c射m成，像像，距以为ＯS´1．为物顶方点折，射向率右为为1正.5．，物像 方折射率为1.0，曲率半径为－20cm．代入成像 公式，得
1.0 1.5 1.0 1.5 s 10 20
第三次成像横向放大率为
s 8cm
3
薄透镜
f ' f 1 s' s
牛顿公式 xx' ff ' xx' f 2
xx' ff '
横向放大率 ns'
n' s
s'
s
n1s'
n2 s
x' f
f' x
3. 空气中的薄透镜（n1＝n2＝1）
11 1
物象关系
s' s f '
光焦度
焦距
1.5 (8) 1.0 (10)
1.2
系统的总放大率为：
1
2
3
1 2
( 1) 1.2 3
0.2.
因此，系统最后成像高为
y y 0.2 1 0.2cm.
系统最后成像的位置在镜前８cm处，是一缩小 的、倒立的实象.
P
O1 O2
P´