第5章-对流-扩散方程的离散格式

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§5.4 对流-扩散方程5种3点格式系数特性的分析
一、通量密度及其离散表达式
d d d u dx dx dx
总通量密度J：单位时间内、单位面积上由扩散 及对流作用而引起的某一物理量的总转移量。 d d J u P dx x d x x
Fw exp Pw Fe aE , aW exp Pe 1 exp Pw 1 aP a E aW Fe Fw
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三、指数格式（续）
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四、乘方格式(Patankar,1979)
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§5.3 对流-扩散方程的混合格式及乘方格式
一、系数aE与aW 之间的内在联系
aE(i)与aW (i+1)共享同一个界面。 对流项中心差分：
Fe Fw aE De , aW Dw 2 2 aW i 1 aE i P P 1 1 P D D 2 2
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二、系数A、B间的关系（续）
指数格式系数A、B间的关系 P exp P P B P , A P exp P 1 exp P 1
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三、系数特性的重要推论
BP 和差特性： A P P 对称特性： B P A P , A P B P 重要推论： 对5种3点格式的任何一种，若在P>0时， P P P A(P的计算式为已知，则在 的范围内A(P、 B(P的计算式均可得出。
uw 0 , W ; uw 0 , P
u w Fww W max Fw , 0 P max Fw , 0
W Fw ,0 P Fw ,0
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三、对流项的迎风格式（续）
* Jw B Pw W A Pw P
* * J J D J D J J通量密度守恒方程 e w e e w w 0
De B Pe Dw A Pw P De A Pe E Dw B Pw W
B Pe A Pe Pe A Pe Pe ,0 B Pw A Pw Pw A Pw Pw ,0
迎风格式离散形式：
aPP aEE aWW
a E De Fe , 0 aW Dw Fw , 0 a P a E aW Fe Fw
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四、中心差分与一阶迎风格式的讨论
1、对流项中心差分在不发生振荡的参数范围内，比一 阶迎风格式的误差更小。 2、一阶迎风格式离散方程系数永远大于零，不会引起 解的振荡，得到物理上看似合理的解。 3、一阶迎风格式截差阶数低，除非采用相当密的网格， 否则计算结果的误差较大。 4、一阶迎风格式的启示：应当在迎风方向取更多的信 息构造格式，更好地反映对流过程的物理本质。 5、在调试程序或计算的中间过程仍可以采用一阶迎风 格式。
e w u e u w E W 2 2 x e x w
记：F = u 通过界面的流量。 D= x 界面上单位面积扩散阻力的倒数(扩导)。 F u u x = P D x 5/59
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二、对流项的中心差分（续）
Fe Fw Fe Fw De Dw P De E Dw W 2 2 2 2 aPP aEE aWW
aP aE aW Fe Fw Fe Fw , aE De , aW Dw 2 2
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五、5种3点格式系数汇总
格式 中心差分 定
aE 只需给出 定义式 De
义
Pe 1 2
1 Pe , 0
迎风格式
混合格式 乘方格式 指数格式
Pe , 1 0.5Pe , 0
0 , 1 0.1 P 5 + 0 , P e e Pe exp Pe 1
d


udx


C
C2
ln C1
ux
C1eux C2
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一、一维对流-扩散问题模型方程的精确解（续）
0 eux 1 e Pex L 1 uL Pe L 0 e 1 e 1
Peclet数：
在数值计算过程中，如果连续性方程始终得到满足， 则： aP aE aW 在求解过程中，始终保持连续性方程满足非常重要。 常物性条件下均分网格： 1 0.5P E 1 0.5P W P
2
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二、对流项的中心差分（续）
例：在一维模型方程离散求解的 均分网格中，已知W =100， E =200。试对P =0，1，2及4 四种情况按中心差分格式计算 P之值。
Pe
uL

0
Pe表示对流与扩散作用 的相对大小。
0
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二、对流项的中心差分
d d d u 采用控制容积积分法 对方程 dx dx dx e u e w u w P 2 2 x w x e
0 5 aE 1 0.1Pe De 1 0.1P 5 P e e Pe
, Pe 10
, 0 Pe 10 , 10 Pe 0 , Pe 10
5 aE 0 , 1 0.1 Pe + 0 , Pe De
负系数会导致物理上不真实的解。
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三、对流项的迎风格式
Taylor展开法
d i i 1 , ui 0 dx i x
i 1 i , ui 0 x
控制容积积分法 e界面 ue 0 , P ; ue 0 , E w界面 uw 0 , W ; uw 0 , P
B P C A P D B P D A P C B P A P C A P B P D
B P A P 0 即 B P A P A P B P 0 即 A P B P
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第5章 对流-扩散方程的离散格式
2009年3月13日
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§5.1 对流项离散格式的重要性 及两种离散方式 一、对流项离散格式的重要性
1、数值解的准确性（假扩散） 2、数值解的稳定性 3、数值解的经济性
二、构造离散格式的两种方式
1、Taylor展开法 2、控制容积积分法
二、系数A、B间的关系
1、和差特性 当 i i 1 时，界面上的扩散通量为零，于是：
J * Pi Pi 1 J * Bi Ai 1 Pi Pi 1
B A P
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二、系数A、B间的关系（续）
2、对称特性 坐标系I： J * B P C A P D 坐标系II： J * B P D A P C 因为： J * J * 于是：
aE De Fe ,0 , aW Dw Fw ,0
对流项一阶迎风：
aW i 1 aE i 1 P ,0 1 P ,0 P D D



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利用精确解得到相邻节点间符合精确解的关系式。
Fe exp Pe Fw P exp Pe 1 exp Pw 1 Fw exp Pw Fe E W exp Pe 1 exp Pw 1
aPP aEE aWW
A P P
B P A P P A P P ,0 P B P A P P ,0
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四、aE、aW的通用表达式
* Je B Pe P A Pe E
二、混合格式(Spalding,1971)
0 aE 1 0.5Pe De Pe , Pe 2 , , 2 Pe 2 Pe 2
aE Pe , 1 0.5Pe , 0 De
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三、指数格式
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三、对流项的迎风格式（续）
e界面
ue 0 , P ; ue 0 , E
u e Fee P max Fe , 0 E max Fe , 0
w界面
P Fe ,0 E Fe ,0
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三、系数特性的重要推论（续）
证明：
P 0 , A P A P 0
P 0 , A P B P P A P P
A P A P P ,0
J d J P D d x x
*
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一、通量密度及其离散表达式（续）
J*的离散表达式：
J * Bi Ai 1
Behind Ahead 界面后的项 界面前的项 以坐标轴正方向为依据的“前”、“后”。
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两种定义截差阶数一致，但截差首项系数有所不同。
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§5.2 对流项的中心差分与迎风格式
一、一维对流-扩散问题模型方程的精确解
d d d u dx dx dx
边界条件： x 0 , 0 ; x L , L