天津市十二区县重点学校2020届高三毕业班联考数学试题(一)
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………12分
………13分
下面证明 令 则
即证明 ，只要证明 ……14分
设 所以 在 上恒成立
所以 在 单调递减，故 ……15分
所以 ，即 ……16分
天津市十二区县重点学校2020届高三毕业班联考（一）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
第Ⅰ卷选择题(共45分)
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出『答案』后，用2B铅笔把答题卡上对应的『答案』标号涂黑；
………13分
………14分
………15分
18．（本小题满分15分）
解：（Ⅰ） ………2分
………3分
………4分
（Ⅱ）（i）
………5分
………6分 ………7分
………8分
（ii） ………9分
………10分
………11分
………12分
………13分
………14分
………15分
19．（本小题满分15分）
解：（ ）设等比数列 的公比为 ，依题意，有 ，所以
的面积为 ，可得： ，可得 . ………3分
（公式和化简各1分）
又 ，
∴ ……5分（公式和结果各1分）
∴ ，………6分
又 ，解得 ；………7分
（Ⅱ） ………8分
，………10分（公式和结果各1分）
………12分（公式和结果各1分）
………14分（公式和结果各1分）
17.（本小题满分15分）
解：（ ）连接 , M,N为FC,AC中点
14.若存在 ，使得不等式 成立，
则实数m的取值范围是_________ .
15.已知函数 ，若函数 有三个零点，则实数 的取值范围是_________ .
三、解答题（本大题5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（本题满分14分）
中，内角 ， ， 所对的边分别为 ，已知 的面积为 ， ， .
（Ⅰ）求 和 的值；
（Ⅱ）求 的值.
17．（本小Leabharlann Baidu满分15分）
如图，平面 平面 ， 为矩形， 为等腰梯形， ， 分别为 ， 中点， ， ， .
（ ）证明： 平面 ；
（ ）求二面角 的正弦值；
（ ）线段 上是否存在点 ，使得
面 ，若存在求出 的长，
若不存在，说明理由.
18.（本小题满分15分）
已知椭圆 的左、右焦点 ，离心率为 ，点 是椭圆上的动点， 的最大面积是 .
若评分不低于80分，则认为该用户对此授课方式“认可”，否则认为该用户对此授课方式“不认可”.以该样本中A，B城市的用户对此授课方式“认可”的频率分别作为A，B城市用户对此授课方式“认可”的概率.
现从A城市和B城市的所有用户中分别随机抽取2个用户，用 表示这4个用户中对此授课方式“认可”的用户个数，则 __________；用 表示这从A城市随机抽取2个用户中对此授课方式“认可”的用户个数，则 的数学期望为_________ .
C
A
C
B
C
D
A
A
B
二、填空题:每小题5分，共30分.（两空中对一个得3分，对两个得5分）
10.-1；11.405；12. ；
13. , ；14. ; 15.
3、解答题：本大题5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）在 中，由 ，可得 ，………1分
MN//AF ………1分
… ……2分
………3分
………4分
（Ⅱ）过点A做 ,垂足为H
以 为坐标原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系
设平面 的一个方向量为
， ，
令 ， ………6分
设平面 的一个方向量为 ………7分
，
二面角 的正弦值为 .（求余弦和正弦各1分）………9分
（ ）
………10分
………11分
………12分
因为 ,所以 ，且 ，解得 或 (舍)，………1分
因为 ，所以 所以 ………2分
所以数列 的通项公式为 ………3分
当 时，
整理得 ,即 ………4分
所以数列 是首项为 的常数列.
所以 ，即 ，所以数列 的通项公式 .………5分
（ ）由(1)，得 ………7分
所以 ………9分
（ ）法1： ………10分
………11分
………12分
令
………14分
………15分
法2：
………11分
………12分
………13分
………14分
………15分
20.（本小题满分16分）
解：（ ） ……1分
（ⅰ） ………2分
（ⅱ）
………3分
无极大值…… 4分
（Ⅱ)
………5分
（ⅰ）
………6分
（ⅱ）
………7分
………8分
………9分
………10分
（ ）
令 在 上单增……11分
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）圆E经过椭圆的左右焦点，且与椭圆 在第一象限的交点为 ，且 三点共线，直线 交椭圆 于两点 ，且 .
（i）求直线 的斜率；
（ii）当 的面积取到最大值时，求直线 的方程.
19.（本小题满分15分）
等比数列 的各项均为正数， 成等差数列，且满足 ，数列 的前 项和 ，且
（ ）求数列 和 的通项公式；
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．函数 的图象大致是（）
A． B． C． D．
4．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方等于10.，三棱柱 的侧棱垂直于底面，且 ，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，利用张衡的结论可得该球的表面积为（）
A．8 B． C．12D．
5．某社区组织“学习强国”的知识竞赛，从参加竞赛的市民中抽出40人，将其成绩分成以下6组：第1组 ，第2组 ，第3组 ，第4组 ，第5组 ，第6组 ，得到如图所示的频率分布直方图.现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中按分层抽样抽取8人，则第2，3，4组抽取的人数依次为（）
参考公式：·如果事件 、 互斥，那么
柱体的体积公式 .其中 表示柱体的底面积, 表示柱体的高.
一、选择题(在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题5分，满分45分)
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知 ，则“ ”是“ 对 恒成立”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
8.关于函数 ，有下列命题：
① 的最小正周期为 ；②函数 的图象关于 对称；
③ 在区间 上单调递增；
④将函数 的图象向左平移 个单位长度后所得到的图象与函数 的图象重合．
其中正确的命题是（）
A.①②③B．②④C．①③D．①②④
9.在等腰梯形中， ， ， ， ，点F是线段AB上的一点， 为直线BC上的动点，若 ， ，且 ，则 的最大值为（）
（ ）设 ，求证: ；
（ ）设 ， ， ，
求 .
20.（本小题满分16分）
已知函数 .
（ ）求函数 的单调区间和极值；
（ ）当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（ ）若存在 ，且当 时， ，证明： .
——★ 参 考 答 案 ★——
一、选择题:每小题5分，满分45分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
『答案』
A．1，3，4B．2，3，3 C．2，2 D．1，1，6
6.若双曲线C： （ ， ）的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ，则双曲线C的离心率为（）
A．2B． C． D．
7.已知函数 的图像关于直线 对称，在 时， 单调递增.若 ， ， （其中 为自然对数的底数， 为圆周率），则 的大小关系为（）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
第Ⅱ卷非选择题(共105分)
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.把『答案』填在答题卡中的相应横线上)
10.若复数 满足： ，则复数z的虚部是_________ .
11.二项式 中，则其展开式中x的系数是_________ .
12.抛物线 ： 的焦点F，其准线过（-2,2），过焦点F倾斜角为 的直线
交抛物线于A,B两点,则 =_________ ;弦AB的长为_________ .
13.为了贯彻落实党中央对新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求，坚决防范疫情向校园蔓延，切实保障广大师生身体健康和生命的安全，教育主管部门决定通过电视频道、网络平台等多种方式实施线上教育教学工作.为了了解学生和家长对网课授课方式的满意度，从经济不发达的A城市和经济发达的B城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如下：
………13分
下面证明 令 则
即证明 ，只要证明 ……14分
设 所以 在 上恒成立
所以 在 单调递减，故 ……15分
所以 ，即 ……16分
天津市十二区县重点学校2020届高三毕业班联考（一）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
第Ⅰ卷选择题(共45分)
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出『答案』后，用2B铅笔把答题卡上对应的『答案』标号涂黑；
………13分
………14分
………15分
18．（本小题满分15分）
解：（Ⅰ） ………2分
………3分
………4分
（Ⅱ）（i）
………5分
………6分 ………7分
………8分
（ii） ………9分
………10分
………11分
………12分
………13分
………14分
………15分
19．（本小题满分15分）
解：（ ）设等比数列 的公比为 ，依题意，有 ，所以
的面积为 ，可得： ，可得 . ………3分
（公式和化简各1分）
又 ，
∴ ……5分（公式和结果各1分）
∴ ，………6分
又 ，解得 ；………7分
（Ⅱ） ………8分
，………10分（公式和结果各1分）
………12分（公式和结果各1分）
………14分（公式和结果各1分）
17.（本小题满分15分）
解：（ ）连接 , M,N为FC,AC中点
14.若存在 ，使得不等式 成立，
则实数m的取值范围是_________ .
15.已知函数 ，若函数 有三个零点，则实数 的取值范围是_________ .
三、解答题（本大题5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（本题满分14分）
中，内角 ， ， 所对的边分别为 ，已知 的面积为 ， ， .
（Ⅰ）求 和 的值；
（Ⅱ）求 的值.
17．（本小Leabharlann Baidu满分15分）
如图，平面 平面 ， 为矩形， 为等腰梯形， ， 分别为 ， 中点， ， ， .
（ ）证明： 平面 ；
（ ）求二面角 的正弦值；
（ ）线段 上是否存在点 ，使得
面 ，若存在求出 的长，
若不存在，说明理由.
18.（本小题满分15分）
已知椭圆 的左、右焦点 ，离心率为 ，点 是椭圆上的动点， 的最大面积是 .
若评分不低于80分，则认为该用户对此授课方式“认可”，否则认为该用户对此授课方式“不认可”.以该样本中A，B城市的用户对此授课方式“认可”的频率分别作为A，B城市用户对此授课方式“认可”的概率.
现从A城市和B城市的所有用户中分别随机抽取2个用户，用 表示这4个用户中对此授课方式“认可”的用户个数，则 __________；用 表示这从A城市随机抽取2个用户中对此授课方式“认可”的用户个数，则 的数学期望为_________ .
C
A
C
B
C
D
A
A
B
二、填空题:每小题5分，共30分.（两空中对一个得3分，对两个得5分）
10.-1；11.405；12. ；
13. , ；14. ; 15.
3、解答题：本大题5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）在 中，由 ，可得 ，………1分
MN//AF ………1分
… ……2分
………3分
………4分
（Ⅱ）过点A做 ,垂足为H
以 为坐标原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系
设平面 的一个方向量为
， ，
令 ， ………6分
设平面 的一个方向量为 ………7分
，
二面角 的正弦值为 .（求余弦和正弦各1分）………9分
（ ）
………10分
………11分
………12分
因为 ,所以 ，且 ，解得 或 (舍)，………1分
因为 ，所以 所以 ………2分
所以数列 的通项公式为 ………3分
当 时，
整理得 ,即 ………4分
所以数列 是首项为 的常数列.
所以 ，即 ，所以数列 的通项公式 .………5分
（ ）由(1)，得 ………7分
所以 ………9分
（ ）法1： ………10分
………11分
………12分
令
………14分
………15分
法2：
………11分
………12分
………13分
………14分
………15分
20.（本小题满分16分）
解：（ ） ……1分
（ⅰ） ………2分
（ⅱ）
………3分
无极大值…… 4分
（Ⅱ)
………5分
（ⅰ）
………6分
（ⅱ）
………7分
………8分
………9分
………10分
（ ）
令 在 上单增……11分
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）圆E经过椭圆的左右焦点，且与椭圆 在第一象限的交点为 ，且 三点共线，直线 交椭圆 于两点 ，且 .
（i）求直线 的斜率；
（ii）当 的面积取到最大值时，求直线 的方程.
19.（本小题满分15分）
等比数列 的各项均为正数， 成等差数列，且满足 ，数列 的前 项和 ，且
（ ）求数列 和 的通项公式；
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．函数 的图象大致是（）
A． B． C． D．
4．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方等于10.，三棱柱 的侧棱垂直于底面，且 ，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，利用张衡的结论可得该球的表面积为（）
A．8 B． C．12D．
5．某社区组织“学习强国”的知识竞赛，从参加竞赛的市民中抽出40人，将其成绩分成以下6组：第1组 ，第2组 ，第3组 ，第4组 ，第5组 ，第6组 ，得到如图所示的频率分布直方图.现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中按分层抽样抽取8人，则第2，3，4组抽取的人数依次为（）
参考公式：·如果事件 、 互斥，那么
柱体的体积公式 .其中 表示柱体的底面积, 表示柱体的高.
一、选择题(在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题5分，满分45分)
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知 ，则“ ”是“ 对 恒成立”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
8.关于函数 ，有下列命题：
① 的最小正周期为 ；②函数 的图象关于 对称；
③ 在区间 上单调递增；
④将函数 的图象向左平移 个单位长度后所得到的图象与函数 的图象重合．
其中正确的命题是（）
A.①②③B．②④C．①③D．①②④
9.在等腰梯形中， ， ， ， ，点F是线段AB上的一点， 为直线BC上的动点，若 ， ，且 ，则 的最大值为（）
（ ）设 ，求证: ；
（ ）设 ， ， ，
求 .
20.（本小题满分16分）
已知函数 .
（ ）求函数 的单调区间和极值；
（ ）当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（ ）若存在 ，且当 时， ，证明： .
——★ 参 考 答 案 ★——
一、选择题:每小题5分，满分45分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
『答案』
A．1，3，4B．2，3，3 C．2，2 D．1，1，6
6.若双曲线C： （ ， ）的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ，则双曲线C的离心率为（）
A．2B． C． D．
7.已知函数 的图像关于直线 对称，在 时， 单调递增.若 ， ， （其中 为自然对数的底数， 为圆周率），则 的大小关系为（）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
第Ⅱ卷非选择题(共105分)
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.把『答案』填在答题卡中的相应横线上)
10.若复数 满足： ，则复数z的虚部是_________ .
11.二项式 中，则其展开式中x的系数是_________ .
12.抛物线 ： 的焦点F，其准线过（-2,2），过焦点F倾斜角为 的直线
交抛物线于A,B两点,则 =_________ ;弦AB的长为_________ .
13.为了贯彻落实党中央对新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求，坚决防范疫情向校园蔓延，切实保障广大师生身体健康和生命的安全，教育主管部门决定通过电视频道、网络平台等多种方式实施线上教育教学工作.为了了解学生和家长对网课授课方式的满意度，从经济不发达的A城市和经济发达的B城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如下：